Koule

• Koule je velmi symetrická: středově (podle středu), osově a rovinově podle libovolné přímky, resp. roviny procházející středem.
• Objem: ${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ 
• Povrch: ${\displaystyle S=4\pi r^{2}}$ 
• Průmět: ${\displaystyle S=\pi r^{2}}$ 
• Kulová výseč: ${\displaystyle V={\frac {2}{3}}\pi r^{2}v}$ 
• Kulová vrstva: ${\displaystyle V={\frac {\pi r_{1}^{2}v}{2}}+{\frac {\pi r_{2}^{2}v}{2}}+{\frac {\pi v^{3}}{6}}}$ 
• Objem kulové úseče: ${\displaystyle V={\frac {\pi r_{1}^{2}v}{2}}+{\frac {\pi v^{3}}{6}}}$ 

• Mezi plochami uzavírajícími daný objem má kulová plocha nejmenší obsah a naopak, mezi plochami s daným obsahem uzavírá kulová plocha největší objem. Proto se koule často vyskytuje v přírodě, např. ve formě kapek a bublin, jejichž povrch je minimalizován povrchovým napětím.
• Koule je rotační těleso, může vzniknout otáčením kruhu podle osy; pokud by se místo kruhu otáčela elipsa, vznikl by rotační elipsoid.
• Válec opsaný kouli má povrch i objem rovný 3/2 povrchu, resp. objemu koule.
• Útvary na kulové ploše je možné popisovat pomocí sférické geometrie.
• Koule s různými poloměry a shodnými středy se označují jako soustředné (koncentrické) koule.

Nechť je funkce f(x) spojitá a nezáporná na intervalu <a,b> a má zde spojitou derivaci f'(x). Potom pro obsah rotační plochy vzniklé rotací kolem osy x platí:

${\displaystyle S=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}dx}$ 

Obecná rovnice kružnice se středem v počátku je:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$  >>> vyjádříme y:

${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$ 

A dosadíme do vzorce výše - meze od -r po r.

${\displaystyle S=2\pi \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1+(-{\frac {x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}})^{2}}}dx}$ 

Po úpravách dostáváme:

${\displaystyle S=2\pi \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {r^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}dx}$ 

${\displaystyle S=2\pi \int _{-r}^{r}rdx}$  - integrujeme:

${\displaystyle S=2\pi [rx]_{-r}^{r}}$  - odečítáme dolní hodnotu od horní:

${\displaystyle S=2\pi r^{2}-(-2\pi r^{2})=4\pi r^{2}}$ 

Nechť je funkce f(x) spojitá a nezáporná na intervalu <a;b> a nechť T je těleso v ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ , které vznikne rotací grafu f(x) kolem osy x. Potom pro objem tělesa T je dán vzorcem:

${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}(f(x))^{2}dx}$ 

Obecná rovnice kružnice se středem v počátku je:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$  >>> vyjádříme y:

${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$ 

A dosadíme do vzorce výše - meze od -r po r.

${\displaystyle V=\pi \int _{-r}^{r}({\sqrt {r^{2}-x^{2}}})^{2}dx}$ 

${\displaystyle V=\pi \int _{-r}^{r}r^{2}-x^{2}dx}$  - integrujeme

${\displaystyle V=\pi [r^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}]_{-r}^{r}}$  - odečteme dolní hodnotu od horní:

${\displaystyle V=\pi [r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}]-\pi [-r^{3}+{\frac {r^{3}}{3}}]}$ 

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ 

Odvození objemu koule bez použití integrálního počtu umožňuje Cavalieriův princip.

V analytické geometrii lze kouli se středem [x₀, y₀, z₀] a poloměrem r definovat jako množinu bodů [x, y, z], pro která platí nerovnost:

${\displaystyle {(x-x_{0})}^{2}+{(y-y_{0})}^{2}+{(z-z_{0})}^{2}\leq r^{2}}$ .

Kulovou plochu se středem [x₀, y₀, z₀] a poloměrem r lze parametrizovat následujícími rovnicemi:

${\displaystyle x=x_{0}+r\cos \varphi \sin \theta }$ 

${\displaystyle y=y_{0}+r\sin \varphi \sin \theta }$ 

${\displaystyle z=z_{0}+r\cos \theta \,}$ 

přičemž ${\displaystyle 0<\varphi \leq 2\pi }$ , ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }$ .

Obecná rovnice kulové plochy je

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+mx+ny+pz+q=0}$ 

Ze tvaru této rovnice je vidět, že rovnici kulové plochy získáme z obecnější rovnice kvadratické plochy tehdy, pokud v rovnici kvadratické plochy vymizí součiny ${\displaystyle xy,xz,yz}$  a koeficienty u druhých mocnin jsou stejné.

Uvedenou rovnici lze přepsat do tvaru

${\displaystyle {\left(x+{\frac {m}{2}}\right)}^{2}+{\left(y+{\frac {n}{2}}\right)}^{2}+{\left(z+{\frac {p}{2}}\right)}^{2}={\frac {m^{2}+n^{2}+p^{2}}{4}}-q}$ 

Tato rovnice odpovídá kulové ploše se středem ${\displaystyle \left[-{\frac {m}{2}},-{\frac {n}{2}},-{\frac {p}{2}}\right]}$  a poloměrem ${\displaystyle r={\sqrt {{\frac {1}{4}}(m^{2}+n^{2}+p^{2})-q}}}$ . Je-li výraz pod odmocninou kladný, hovoříme o reálné kulové ploše. Je-li výraz pod odmocninou záporný, pak dané rovnici nevyhovuje žádný bod prostoru (jde o tzv. imaginární kulovou plochu). Je-li výraz pod odmocninou nulový, vyhovuje rovnici právě jeden bod prostoru.

Kouli (resp. kulovou plochu) lze považovat za trojrozměrnou obdobu kruhu (resp. kružnice). Obdoba koule v ještě vyšších dimenzích je tzv. hyperkoule.

V metrickém prostoru X je otevřená koule definována jako množina bodů, jejichž vzdálenost d od daného bodu x je ostře menší než poloměr r, tedy ${\displaystyle U(x,r)=\{y\in X:\;d(x,y)<r\}}$ . Otevřená koule je pochopitelně otevřená množina. Sféra je definována jako množina bodů, jejichž vzdálenost d od daného bodu x je rovna poloměru r, tedy ${\displaystyle S(x,r)=\{y\in X:\;d(x,y)=r\}}$ . Sféra je uzavřená množina.

V topologii je koule taková množina, která je homeomorfní běžné eukleidovské kouli.

• Geometrický útvar
• Elipsoid
• Sférická geometrie

•   Obrázky, zvuky či videa k tématu koule na Wikimedia Commons
•   Téma Koule ve Wikicitátech
•   Slovníkové heslo koule ve Wikislovníku