Distribució de Weibull

La seva funció de densitat de probabilitat és

${\displaystyle f(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,}$ 

per a ${\displaystyle x\geq 0}$  i f(x; k, λ) = 0 per a x < 0, on ${\displaystyle k>0}$  és el paràmetre de forma i ${\displaystyle \lambda >0}$  és el paràmetre d'escala.

La funció de distribució pot calcular-se de forma explícita, fet que fa la distribució de Weibull atractiva per a modelar certs tipus de dades, com per exemple en l'anàlisi de la supervivència.

${\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}}$ 

${\displaystyle h(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}.}$ 

Mitjana: ${\displaystyle \lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,}$ 

Mediana: ${\displaystyle \lambda \ln(2)^{1/k}\,}$ 

Moda: ${\displaystyle \lambda \left({\frac {k-1}{k}}\right)^{\frac {1}{k}}\,}$  if ${\displaystyle k>1}$ 

Variància: ${\displaystyle \lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}\,}$ 

Asimetria: ${\displaystyle {\frac {\Gamma (1+{\frac {3}{k}})\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}$ 

Moment d'ordre n: ${\displaystyle m_{n}=\lambda ^{n}\Gamma (1+n/k)\,}$ , on ${\displaystyle \Gamma }$  és la funció Gamma.

Existeix una genelització de la distribució de Weibull, que empra tres paràmetres. La funció de densitat de probabilitat és:

${\displaystyle f(x;k,\lambda ,\theta )={k \over \lambda }\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-({x-\theta \over \lambda })^{k}}\,}$ 

per a ${\displaystyle x\geq \theta }$  i f(x; k, λ, θ) = 0 per x < θ, on ${\displaystyle k>0}$  és el paràmetre de forma, ${\displaystyle \lambda >0}$  és el paràmetre d'escala i ${\displaystyle \theta }$  és el paràmetre de localització. Quan θ=0, aquesta expressió es redueix a la distribució Gamma de dos paràmetres.

La funció de distribució és

${\displaystyle F(x;k,\lambda ,\theta )=1-e^{-({x-\theta \over \lambda })^{k}}}$ 

per a x ≥ θ, i F(x; k, λ, θ) = 0 per a x < θ.

Donada una observació aleatòria U obtinguda de la distribució uniforme en l'interval (0, 1), aleshores

${\displaystyle X=\lambda (-\ln(U))^{1/k}\,}$ 

segueix una distribució de Weibull amb paràmetres k i λ. Aquest resultat és una conseqüència immediata d'aplicar la transformació de distribució inversa.

• ${\displaystyle X\sim \mathrm {Exponential} (\lambda )}$  és una distribució exponencial si ${\displaystyle X\sim \mathrm {Weibull} (\gamma =1,\lambda ^{-1})}$ .
• ${\displaystyle X\sim \mathrm {Rayleigh} (\beta )}$  és una distribució de Rayleigh si ${\displaystyle X\sim \mathrm {Weibull} (\gamma =2,{\sqrt {2}}\beta )}$ .
• ${\displaystyle \lambda (-\ln(X))^{1/k}\,}$  segueix una distribució de Weibull si ${\displaystyle X\sim \mathrm {Uniform} (0,1)}$ .
• Si X segueix una distribució de Weibull, 1/X segueix una distribució de Weibull inversa amb funció de densitat de probabilitat ${\displaystyle f(x;k,\lambda )=(k/\lambda )(\lambda /x)^{(k+1)}e^{-(\lambda /x)^{k}}}$ 
• Vegeu també la distribució generalitzada del valor extrem.