Nombre pentatòpic

Un nombre pentatòpic és un nombre de la cinquena diagonal del triangle de Pascal. Els primers nombres d'aquesta casta són 1, 5, 15, 35, 70, i 126.^[1]

Els nombres pentatòpics són nombres figurats. Es poden representar en dimensió 4 mitjançant un politop constituït d'un empilament de tetràedres regulars.

El nombre pentatòpic de rang n és la suma dels n primers nombres tetraèdrics

${\displaystyle P_{4}(n)=\sum _{k=1}^{n}P_{3}(n)=\sum _{k=1}^{n}{n+2 \choose 3}}$

Hom n'obté, doncs, la fórmula

${\displaystyle P_{4}(n)={n+3 \choose 4}={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}}$

La suma infinita dels recíprocs de tots els nombres pentatòpics és ${\displaystyle 4/3}$. Això es pot deduir fent servir sèries telescòpiques.

${\displaystyle \!\ \sum _{n=0}^{\infty }{4! \over {(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}}={4 \over 3}}$