Matrica (matematika)

Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, matrica je pravougaona tabela brojeva, ili općenito, tabela koja se sastoji od apstraktnih objekata koji se mogu sabirati i množiti.

Matrice se koriste za opisivanje linearnih jednačina, za praćenje koeficijenata linearnih transformacija, kao i za čuvanje podataka koji ovise od dva parametra. Matrice se mogu sabirati, množiti i razlagati na razne načine, što ih čini ključnim konceptom u linearnoj algebri i teoriji matrica.

Horizontalne se linije u matrici zovu retcima, a vertikalne stupcima matrice. Matrica sa m redaka i n stupaca se naziva m-sa-n matricom (kaže se i zapisuje da je formata m×n) a m i n su dimenzije matrice.

Član matrice A koji se nalazi u i-tom retku i j-tom stupcu se naziva (i,j)-ti član matrice A. Ovo se zapisuje kao A_i,j ili A[i,j]. Uvijek se prvo naznačuje redak, pa stupac.

Često se piše ${\displaystyle A:=(a_{i,j})_{m\times n}}$ kako bi se definirala m × n matrica A čiji se svaki član A[i,j] naziva a_i,j za sve 1 ≤ i ≤ m i 1 ≤ j ≤ n. Međutim, konvencija da i i j počinju od 1 nije univerzalna: neki programski jezici započinju od nule, u kom slučaju imamo 0 ≤ i ≤ m − 1 i 0 ≤ j ≤ n − 1.

Matricu čija je jedna od dimenzija jednaka jedinici često nazivamo vektorom, i interpretiramo je kao element realnog koordinatnog prostora. 1 × n matrica (jedan redak i n stupaca) se naziva vektor redak, a m × 1 matrica (jedan stupac i m redaka) se naziva vektor stupac.

Matrice imaju oblik ^[1]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}}$

Za matricu koja ima m redova i n kolona, kaže se da je tipa ${\displaystyle m\times n}$.

Za matricu koja je ${\displaystyle m\times n}$ tipa kažemo da je pravougaona matrica.

Za matricu kod koje je broj redova jednak broju kolona tj ${\displaystyle m=n}$, kažemo da je kvadratna matrica reda ${\displaystyle n}$.

Elementi kvadratne matrice ${\displaystyle n\times n}$ (reda n) ${\displaystyle a_{11},\ a_{22},...,a_{nn}}$ čine glavnu dijagonalu matrice.

Matrica ${\displaystyle m\times n}$ se označava sa ${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{ij}\end{vmatrix}}_{n,n}}$

Primjer

Matrica

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&7\\4&9&2\\6&0&5\end{bmatrix}}}$

je 4×3 matrica. Element A[2,3] ili a_2,3 je 7.

Matrica

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\end{bmatrix}}}$

je 1×9 matrica, ili vektor redak sa 9 elemenata.

Kvadratna matrica kod koje su svi elementi ispod ili iznad glavne dijagonale jednaki nuli je trouglasta matrica Može biti gornja trouglasta ako je ${\displaystyle a_{ij}=0}$ za ${\displaystyle i>j}$ i donja trouglasta ako je ${\displaystyle a_{ij}=0}$ za ${\displaystyle i<j}$

Kvadratna matrica, čiji su svi elementi van glavne dijagonale jednaki nuli zove se dijagonalna matrica. ${\displaystyle a_{ij}=0}$ za ${\displaystyle i\neq j}$

Vrsta matrice	matrica reda ${\displaystyle n=3}$
Dijagonalna matrica	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\\\end{bmatrix}}}$
donja trouglasta matrica	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}}$
gornja trouglasta matrica	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\\\end{bmatrix}}}$

Dijagonalna matrica čiji su svi elementi na glavnoj dijagonali međusobno jednaki, naziva se skalarna matrica. ${\displaystyle a_{11}=a_{22}=...=a_{nn}}$

Dijagonalna matrica čiji su svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki jedinici, naziva se jedinična matrica (ili identična matrica) i obiljeležava se sa I tj ${\displaystyle a_{11}=a_{22}=...a_{nn}=1}$

Primjer

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$ je jedinična matrica tipa ${\displaystyle 3\times 3}$

Matrica ${\displaystyle B}$ je podmatrica ili submatrica matrice ${\displaystyle A}$, ako izostavljanjem nekih vrsta i kolona matrice ${\displaystyle A}$ možemo dobiti matricu ${\displaystyle B}$.

Neka je ${\displaystyle A}$ matrica tipa ${\displaystyle m\times n}$ komatrica matrice A je njena podmatrica koja nastaje uklanjanjem i-tog reda i j-te kolone matrice A i obilježavamo je sa ${\displaystyle A_{i,j}}$.

Ako su date matrice A i B, dimenzija m-sa-n, njihov zbir A + B je m-sa-n matrica, izračunata sabiranjem odgovarajućih elemenata (t.j. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Naprimjer:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}$

Primjer

Neka je

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&3&1\\-2&1&2\end{bmatrix}}\&\ B={\begin{bmatrix}1&2&0\\1&-3&4\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A+B={\begin{bmatrix}3&5&1\\-1&-2&6\end{bmatrix}}=B+A}$

Osobine

1. ${\displaystyle A+B=B+A}$ komutativnost
2. ${\displaystyle (A+B)+C=A+(B+C)}$ asocijativnost
3. ${\displaystyle A+0=0+A=A}$
4. ${\displaystyle (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}}$^[2]

Ako uzmemo matricu A i broj c, skalarni produkt cA se računa množenjem skalarom c svakog elementa A (t.j. (cA)[i, j] = cA[i, j] ). Naprimjer:

${\displaystyle 2{\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot (-3)\\2\cdot 4&2\cdot (-2)&2\cdot 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}}$

Operacije sabiranja i množenja skalarom pretvaraju skup M(m, n, R) svih m-sa-n matrica sa realnim članovima u realni vektorski prostor dimenzije mn.

Osobine

1. ${\displaystyle m(nA)=(mn)A}$
2. ${\displaystyle (m+n)A=mA+nA}$
3. ${\displaystyle IA=AI=A}$
4. ${\displaystyle A0=0A=0}$^[3]

Množenje dvije matrice je dobro definisano samo ako je broj stupaca lijeve matrice jednak broju redaka desne matrice. Ako je A matrica dimenzija m-sa-n, a B je matrica dimenzija n-sa-p, tada je njihov proizvod AB matrica dimenzija m-sa-p (m redaka, p stupaca) dat formulom:

${\displaystyle \,\!(AB)[i,j]=A[i,1]B[1,j]+A[i,2]B[2,j]+...+A[i,n]B[n,j]}$

za svaki par i i j.

Na primjer:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1\cdot 3+0\cdot 2+2\cdot 1)&(1\cdot 1+0\cdot 1+2\cdot 0)\\((-1)\cdot 3+3\cdot 2+1\cdot 1)&((-1)\cdot 1+3\cdot 1+1\cdot 0)\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle ={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\\\end{bmatrix}}}$

Množenje matrica ima sljedeće osobine:

• (AB)C = A(BC) za sve k-sa-m matrice A, m-sa-n matrice B i n-sa-p matrice C (asocijativnost).
• (A + B)C = AC + BC za sve m-sa-n matrice A i B i n-sa-k matrice C (desna distributivnost).
• C(A + B) = CA + CB za sve m-sa-n matrice A i B i k-sa-m matrice C (lijeva distributivnost).
• ${\displaystyle m(AB)=(mA)B}$
• ${\displaystyle A(mB)=m(AB)}$
• (${\displaystyle AB)^{T}=B^{T}A^{T}}$

Valja znati da komutativnost ne vrijedi u općem slučaju; ako su date matrice A i B, čak i ako su oba umnoška definirana, u općem slučaju je AB ≠ BA.^[4]

Množenje matrica nije komutativno

Posebno, skup M(n, R) svih kvadratnih matrica reda n je realna asocijativna algebra sa jedinicom, koja je nekomutativna za n ≥ 2.

${\displaystyle AA=A^{2}}$

${\displaystyle AAA=A^{3}}$

${\displaystyle \underbrace {AA\cdots A} _{n}=A^{n}}$

Po definiciji je

${\displaystyle A^{0}=I}$

Transponovana matrica matrice

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\&\cdots &\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a{mn}\end{bmatrix}}_{mn}}$

je matrica ${\displaystyle A^{T}}$ oblika ${\displaystyle A^{T}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}&\cdots &a_{m1}\\a_{12}&a_{22}&\cdots &a_{m2}\\&\cdots &\\a_{1n}&a_{2n}&\cdots &a{mn}\end{bmatrix}}_{nm}}$ tj

${\displaystyle A\to A^{T}<=>a_{ij}\to a_{ji}}$

Primjer

Ako je

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-1&3&2\\0&2&1&3\end{bmatrix}}}$ onda je

${\displaystyle A^{T}={\begin{bmatrix}1&0\\-1&2\\3&1\\2&3\\\end{bmatrix}}}$

Kvadratna matrica ${\displaystyle A}$ je: simetrična tj ${\displaystyle a^{T}=A}$, tj. ${\displaystyle a_{ji}=a_{ij}}$ za sve ${\displaystyle i,\ j}$ antisimetrična

${\displaystyle A^{T}=-A}$ tj ${\displaystyle a_{ji}=-a_{ij}}$ za sve ${\displaystyle i,\ j}$. Tada je i ${\displaystyle a_{ii}=-a_{ii}=0}$ za sve ${\displaystyle i}$

1. ${\displaystyle (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}}$
2. ${\displaystyle (\lambda A)^{T}=\lambda A^{T}}$
3. (${\displaystyle A^{T})^{T}=A}$
4. ${\displaystyle (AB)^{T}=B^{T}A^{T}}$ ^[5]

Ako za matricu ${\displaystyle A}$ postoji matrica ${\displaystyle A^{-1}}$ takva da je ${\displaystyle A^{-1}A=AA^{-1}=I}$ onda je ${\displaystyle A^{-1}}$ inverzna matrica

Inverzna matrica definiraana je samo za (neke) kvadratne matrice i pri tome vrijedi ako je ${\displaystyle A}$ ranga n onda je i ${\displaystyle A^{-1}}$ ranga n Ako kvadratna matrica ima inverznu, nazivamo je regularna. U protivnom je singularna.

Ako postoji inverzna matrica, ona je jedinstvena. Odnosno Ako su ${\displaystyle B}$ i ${\displaystyle C}$ inverzne matrice od ${\displaystyle A}$ onda je

${\displaystyle B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C}$

1. ${\displaystyle (A^{-1})^{-1}=A}$
2. ${\displaystyle (\lambda A)^{-1}={\frac {1}{\lambda }}A^{-1}}$
3. ${\displaystyle (A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}}$
4. ${\displaystyle (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}$

Matrice A i B su jednake ako i samo ako su istog reda i svi odgovarajući elementi su im međusobno jednaki.

${\displaystyle A=B<=>{\begin{Bmatrix}a_{ij}=b_{ij}\ za\ i=1,2,3,...m\\j=1,2,3,...n\end{Bmatrix}}}$

Matrice mogu na zgodan način predstaviti linearne transformacije jer množenje matrica odgovara slaganju preslikavanja, kao što će dalje biti opisano. Upravo ovo svojstvo matrice čini moćnom strukturom podataka u višim programskim jezicima.

Ovdje i u nastavku, promatramo Rⁿ kao skup stupaca ili n-sa-1 matrica. Za svako linearno preslikavanje f : Rⁿ → R^m postoji jedinstvena m-sa-n matrica A, takva da f(x) = Ax za svako x u Rⁿ. Kažemo da matrica A predstavlja linearno preslikavanje f. Ako k-sa-m matrica B predstavlja drugo linearno preslikavanje g : R^m → R^k, tada je njihova kompozicija g o f također linearno preslikavanje R^m → Rⁿ, i predstavljeno je upravo matricom BA. Ovo slijedi iz gore pomenute asocijativnosti množenja matrica.

Općenito, linearno preslikavanje iz n-dimenzionog vektorskog prostora u m-dimenzioni vektorski prostor je predstavljeno m-sa-n matricom, ako su izabrane baze za svaki.

Rang matrice A je dimenzija slike linearnog preslikavanja predstavljenog sa A; ona je ista kao dimenzija prostora generiranog retcima A, i također je iste dimenzije kao prostor generiran stupcima A.

Transponirana matrica, matrice m-sa-n, A je n-sa-m matrica A^tr (nekad se zapisuje i kao A^T ili ^tA), koja nastaje pretvaranjem stupaca u retke i redaka u stupce, to jest A^tr[i, j] = A[j, i] za svaki i i j. Ako A predstavlja linearno preslikavanje u odnosu na dvije baze, tada matrica A^tr predstavlja linearno preslikavanje u odnosu na dualne baze (Vidi: Dualni prostor).

Vrijedi (A + B)^tr = A^tr + B^tr i (AB)^tr = B^tr A^tr.

• Rang matrice
• Adjungovana matrica
• Sarrusovo pravilo

1. 6. LINEARNA ALGEBRA( 6.1 Matrice)
2. Matrice
3. Matrice
4. Matrix
5. Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages / June 2010.
6. Matrix and vector online calculator
7. Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose)