Editando Lóxica matemática (seición)

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== Aspeutos metalógicos y algorítmicos ==

=== Metalógica ===
{{AP|Metalógica}}
[[Leopold Löwenheim]] ([[#CITEREFL.C3.B6wenheim1915|1915]]) y [[Thoralf Skolem]] ([[#CITEREFSkolem1920|1920]]) formularon el llamáu [[teorema de Löwenheim-Skolem]], qu'afirma que cualesquier [[sistema axomáticu]] basáu na [[lóxica de primer orde]] nun puede controlar la cardinalidad de les estructures non finitas que satisfaen los axomes de dichu sistema. Skolem entendió qu'esti teorema podría aplicase pa les formalizaciones de primer orde de la [[teoría de conxuntos]], siendo felicidá formalización numerable, esistiría un modelu numerable para dicha teoría entá cuando la teoría afirma qu'esisten conxuntos non contables. Esta resultancia contraintuitivo ye la conocida [[paradoxa de Skolem]].

Na so tesis doctoral, [[Kurt Gödel]] ([[#CITEREFGödel1929|1929]]) demostró'l [[teorema de completitud de Gödel]], qu'establez una correspondencia ente la sintaxis y la semántica de la lóxica de primer orde. Gödel usó dichu teorema de completitud pa probar el llamáu [[teorema de compacidad]], demostrando la naturaleza fintiaria del operador de consecuencia lóxica. Estes resultancies ayudaron a establecer a la lóxica de primer orde como'l tipu de lóxica dominante nes matemátiques actual.

En 1931, Gödel publicó ''[[On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems]]'', que demostraba la incompletitud (nun sentíu distintu del términu) de cualquier sistema axomáticu abondo espresivu, que'l so sistema d'axomes fuera recursivamente enumerable. Esti tipu de resultancies, conocíos como [[teorema de incompletitud de Gödel]], implica que los sistemes axomáticos de primer orde tienen severes llimitaciones pa encontar les matemátiques, y supunxeron un duru golpe pal llamáu [[programa de Hilbert]] pa la fundamentación de les matemátiques. Unu de los resultaos de Gödel estableció que ye imposible que pueda formalizase la consistencia de l'aritmética nuna teoría formal na que pueda formalizase la mesma aritmética. Per otra parte, mientres dalgún tiempu nin Hilbert nin otros de los sos collaboradores fueron conscientes de la importancia del trabayu de Gödel pa la so pretensión d'encontar les matemátiques por aciu el citáu "programa de Hilbert".

=== Teoría de modelos ===
{{ap|Teoría de modelos}}
La teoría de modelos introducida enantes dexa atribuyir una interpretación semántica a les espresiones puramente formales de los llinguaxes formales. Pero amás, dexen estudiar en sí mesmos los conxuntos d'axomes, el so completitud, la so consistencia, la independencia d'unos d'otros y dexen introducir un importante númberu de cuestiones [[metalógica|metalógiques]].

=== Teoría de la computabilidad ===
{{ap|Teoría de la computabilidad|Recursividad}}
La Teoría de la computabilidad ye la parte de la [[Teoría de la computación]] qu'estudia los [[problema de decisión|problemes de decisión]] que pueden ser resueltos con un [[algoritmu]] o equivalentemente con una [[máquina de Turing]].

=== Teoría de la demostración ===
{{ap|Teoría de la demostración}}
La [[teoría de la demostración]] ye la caña de la lóxica matemática que trata a les [[demostración matemática|demostraciones]] como oxetos matemáticos, facilitando'l so analís por aciu téuniques matemátiques. Les demostraciones suelen presentase como [[estructura de dato|estructures de datos]] inductivamente definíes que se constrúin acordies colos [[axoma|axomes]] y [[regla de inferencia|regles de inferencia]] de los sistemes lóxicos. Nesti sentíu, la teoría de la demostración ocupar de la [[sintaxis]], en contraste cola [[teoría de modelos]], que trata cola [[semántica]]. Xunto cola [[teoría de modelos]], la [[teoría de conxuntos]] axomática y la [[teoría de la computabilidad|teoría de la recursión]], la teoría de la demostración ye unu de los "cuatro pilares" de los [[fundamentos de les matemátiques]].

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