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== Caltenimientu == === Mecánicu newtoniana === Nun sistema mecánicu de partícules aislláu (zarráu) nel cual les [[fuercia|fuercies]] esternes son cero, el momentu llinial total caltién si les partícules materiales exercen fuercies paraleles a la recta que les xune, yá que nesi casu dientro de la [[mecánica newtoniana|dinámica newtoniana]] del [[dinámica del puntu material|sistema de partícules]] puede probase qu'esiste una [[integral de movimientu integral del movimientu]] dada por: :<math>\mathbf{P}( \mathbf{r}_i , \dot{\mathbf{r}}_i ) = \sum_{i=1}^{N} m_i \dot{\mathbf{r}}_{i}</math> Onde <math>\mathbf{r}_i,\dot{\mathbf{r}}_i</math> son respeutivamente los vectores de posición y les velocidaes pa la partícula ''i''-ésima midíes por un observador inercial. === Mecánica lagrangiana y hamiltoniana === En [[mecánica lagrangiana]] «''si'l lagrangiano nun depende explícitamente de dalguna de les coordenaes xeneralizaes entós esiste un momentu xeneralizáu que se caltién constante a lo llargo del tiempu''», resultando por tanto esa cantidá una integral del movimientu, esto ye, esiste una llei de caltenimientu pa dicha magnitú. Pongamos por casu qu'un sistema mecánicu tien un lagrangiano con ''n'' graos de llibertá y la so lagrangiano nun depende d'una d'elles. Por casu, la primera d'elles, esto ye: :<math>L:O\subset \R^{2n} \to \R, \qquad (\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}}) \mapsto L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}}) = \sum_{i,j} \dot{q}_i\frac{g_{ij}(q_2,...,q_n)}{2}\dot{q}_j \ - \ V(q_2,...,q_n)</math> Nesi casu, en virtú de les [[ecuaciones de Euler-Lagrange]] esiste una magnitú caltenida <math>p_1\,</math> que vien dada por: :<math> 0 = \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_1} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_1} = \frac{d}{dt}\left(\sum_j g_{ij}\dot{q}_j\right) \ - \ 0 \Rightarrow p_1 = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_1} = \sum_j g_{ij}\dot{q}_j = \mbox{constante} </math> Si'l conxuntu de [[coordenaes xeneralizaes]] usáu ye [[Coordenaes cartesianes|cartesianu]] entós el [[tensor métricu]] ye la [[delta de Kronecker]] <math>g_{ij}(q_2,...,q_n) = \delta_{ij}</math> y la cantidá <math>p_1\,</math> coincide col momentu llinial na direición dada pola primer coordenada. En [[mecánica hamiltoniana]] esiste una forma bien senciella pa determinar si una función que depende de les coordenaes y momentos xeneralizaos da llugar o non a una llei de caltenimientu en términos del [[paréntesis de Poisson]]. Pa determinar esa espresión calculemos la derivada a lo llargo de la trayeutoria d'una magnitú: :<math> \frac{df(\mathbf{p},\mathbf{q})}{dt} = \sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\dot{q}_i + \frac{\partial f}{\partial p_i}\dot{p}_i\right) = \sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i} + \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\right) = \{f,H\}_{pq}</math> A partir d'esa espresión podemos ver que pa «''un momentu xeneralizáu va caltenese constante nel tiempu, si y namái si, el hamiltoniano nun depende explícitamente de la coordenada xeneralizada conxugada''» como puede vese: :<math>0 = \frac{dp_j}{dt} = \{p_j,H\}_{pq} = \sum_i\left( 0 \cdot \frac{\partial H}{\partial p_i} + \delta_{ij}\frac{\partial H}{\partial q_i}\right) = \frac{\partial H}{\partial q_j}</math> === Mecánica del mediu continuu === Si tamos interesaos en pescudar la cantidá de movimientu de, por casu, un fluyíu que se mueve según un [[campu vectorial|campu de velocidaes]] ye necesariu sumar la cantidá de movimientu de cada partícula del fluyíu, esto ye, de cada ''diferencial de masa'' o elementu infinitesimal: {{ecuación| <math>\mathbf{p}=\int \mathbf{v}\ dm = \int_V \mathbf{v}\ \rho dV</math> ||left}} Si introduz el [[tensor de tensiones]] que caracteriza les fuercies internes nel interior d'un mediu continuu la ecuación de balance de la cantidá de movimientu en términos de les fuercies esteriores puede espresase como: {{ecuación| <math>\boldsymbol{\nabla\cdot\sigma} + \rho \mathbf{f} = \rho \frac{d\mathbf{v}}{dt}</math> ||left}} onde: :<math>\boldsymbol{\sigma}</math> ye'l tensor de tensiones de Cauchy. :<math>\rho\,</math> ye la densidá de materia. :<math>\mathbf{f}</math> la [[densidá de fuercia]] sobre'l cuerpu. :<math>\mathbf{v}</math> la velocidá en cada puntu del mediu continuu. === Mecánica relativista === En [[teoría de la relatividá]] la cantidá de movimientu o [[cuadrimomento]] defínese como un vector ''P'' el productu de la [[cuadrivelocidad]] ''O'' pola masa (en reposu) d'una partícula: {{Ecuación|<math>P^\alpha = mU^\alpha\ = m\frac{dx^\alpha}{d\tau}</math>||left}} En relatividá xeneral esta cantidá caltién si sobre ella nun actúen fuercies esteriores. En [[relatividá xeneral]] la situación ye daqué más complexa y puede vese que la cantidá de movimientu caltener pa una partícula si esta muévese a lo llargo d'una llinia [[xeodésica]]. Pa ver esto basta comprobar que la derivada respectu al [[tiempu propiu]] amenorgar a la ecuación de les xeodésiques, y esta derivada anúlase si y namái si la partícula mover a lo llargo d'una [[llinia d'universu]] que seya xeodésica:<ref>Landau y Lifshitz, 1992, ''Teoría clásica de los campos'', p. 342</ref> {{Ecuación|<math>\frac{dP^\alpha}{d\tau} = O^\beta\nabla_\beta P^\alpha = O^\beta\left[m\frac{dU^\alpha}{dx^\beta}+ m\Gamma^\alpha_{\gamma\beta}O^\gamma \right] = m\left[ \frac{d^2x^\alpha}{d\tau^2}+ \Gamma^\alpha_{\gamma\beta} \frac{dx^\gamma}{d\tau} \frac{dx^\beta}{d\tau} \right]</math>||left}} Polo xeneral pa un cuerpu macroscópico sólidu de ciertu tamañu nun campu gravitatorio que presenta variaciones importantes d'un puntu a otru del cuerpu nun ye posible que caúna de les partícules siga una llinia xeodésica ensin que'l cuerpu estácese o perdiendo la so integridá. Esto asocede por casu en rexones del [[espaciu-tiempu]] onde esisten fuertes variaciones de [[combadura del espaciu-tiempo|curvatura]]. Por casu na cayida dientro d'un [[furacu negru]], les fuercies de marea resultantes de la distinta combadura del espaciu-tiempu d'un puntu a otru despedazarían un cuerpu sólidu cayendo dientro d'un furacu negru. === Mecánica cuántica === Como ye sabíu en mecánica cuántica una cantidá caltién si'l [[operador autoadjunto]] que representa a dicha magnitú o observable conmuta col [[Hamiltoniano (mecánica cuántica)|hamiltoniano]], de manera similar a como en mecánica hamiltoniana una magnitú caltién si'l paréntesis de Poisson col hamiltoniano anúlase. Tomando como [[espaciu de Hilbert]] del sistema d'una partícula dientro d'un potencial una representación de tipu <math>L^2(\R^3)</math>. Tiense que: {{ecuación| <math>\frac{d \hat{p}_i}{d t} = -\frac{i}{\hbar}[\hat{p}_i, \hat{H}] = - \boldsymbol{\nabla} V(x_i) </math> ||left}} Por tanto, si'l [[enerxía potencial|potencial]] nun depende de les coordenaes <math>x_i </math>, entós la cantidá de movimientu de la partícula caltiénse. Amás, la última espresión ye formalmente equivalente a la del casu clásicu en términos del [[paréntesis de Poisson]]. Teniendo en cuenta ta claro, qu'ésti ye'l [[hamiltoniano cuánticu]], y que les cantidaes físiques, nun son les mesmes que na [[mecánica clásica]], sinón operadores que representen les cantidaes clásiques ([[observable]]s).
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