费希尔-柯尔莫哥洛夫方程

费希尔-柯尔莫哥洛夫方程是以英国统计学家罗纳德·费希尔和俄国数学家安德雷·柯尔莫哥洛夫命名的非线性偏微分方程，常见于热传导、燃烧理论、生物学、生态学等领域。某些文献^[1]^[2]中又称费希尔-柯尔莫哥洛夫方程为柯尔莫哥洛夫-彼得罗夫斯基-皮斯库诺夫方程（Kolmogorov–Petrovsky–Piskunov equation），或KPP方程，费希尔-KPP方程。费希尔-柯尔莫哥洛夫方程是费希尔方程的推广形式。费希尔-柯尔莫哥洛夫方程的基本形式为^{[注 1]}：

{\frac {\partial u}{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+au+bu^{m}

其中，a、b、D、m为任意常数，且m不等于1。^[3]^[4]

通过重新定义时间的尺度，可以不失一般性地令参数 D 等于1，因此一些文章中直接将形如 $u_{t}-u_{xx}+\mu u+\nu u^{2}+\delta u^{3}=0$ 称为KPP方程^[1]^[2]。其他形似KPP方程的，例如 ${\partial u}/{\partial t}={\frac {D}{2}}{\partial ^{2}u}/{\partial x^{2}}+f(u)$ ^[5] 和 $u_{t}+(-\Delta )^{\alpha }u=\mu (x)u-u^{2}$ ^[6] 被称作“KPP型方程（KPP type equation）”或“费希尔-KPP型方程（Fisher-KPP type equation）”。

解析解

形如 ${\frac {\partial u}{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+au+bu^{m}$ 的KPP方程有以下解析解^[3]：

u(x,t)=[\beta +exp(\lambda t+{\frac {\mu x}{\sqrt {D}}}]^{\frac {2}{1-m}}

其中，

\lambda ={\frac {a(1-m)(m+3)}{2(m+1)}}

\mu ={\sqrt {\frac {a(1-m)^{2}}{2(m+1)}}}

\beta ={\sqrt {-{\frac {b}{a}}}}

KPP方程的解

行波图

利用Maple的TWSolutions软件包，当m = 2时，可以得到如下的行波图:

注释

^ Graham所著的《Traveling wave analysis of partial differential equations : numerical and analytical methods with MATLAB and Maple》一书中第八章提到的“Fisher–Kolmogorov Equation”实际上是第十章“Kolmogorov–Petrovskii–Piskunov Equation”（即下式）在 D = 1、a = 1、b = -1、m = q + 1 时的特殊情况。

参考文献

^ ^1.0 ^1.1 Ma, W.X.; Fuchssteiner, B. Explicit and exact solutions to a Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov equation. International Journal of Non-Linear Mechanics. 1996-05, 31 (3): 329–338 [2018-02-09]. doi:10.1016/0020-7462(95)00064-X.
^ ^2.0 ^2.1 Unal, ARZU OGUN. On the Kolmogorov–Petrovskii–Piskunov equation (PDF). Commun. Fac. Sci. Univ. Ank. Ser. A1. 2013, 62 (1): 1-10 [2018-02-09]. （原始内容存档 (PDF)于2018-06-02）.
^ ^3.0 ^3.1 Schiesser, Graham W. Griffiths, William E. Traveling wave analysis of partial differential equations : numerical and analytical methods with MATLAB and Maple. Amsterdam: Academic Press. 2011 [2018-02-09]. ISBN 0123846528.
^ Adomian, G. Fisher-Kolmogorov equation. Applied Mathematics Letters. 1995-03, 8 (2): 51–52. doi:10.1016/0893-9659(95)00010-N.
^ al.], Mark Freidlin...[et. Surveys in applied mathematics.. New York: Springer. 1995 [2018-02-09]. ISBN 978-1-4615-1991-1. （原始内容存档于2019-12-02）.
^ Cabre, Xavier; Coulon, Anne-Charline; Roquejoffre, Jean-Michel. Propagation in Fisher-KPP type equations with fractional diffusion in periodic media. arXiv:1209.4809 [math]. 2012-09-21 [2018-02-09]. doi:10.1016/j.crma.2012.10.007. （原始内容存档于2019-08-27）.

延伸阅读

谷超豪《孤立子理论中的达布变换及其几何应用》上海科学技术出版社
阎振亚著《复杂非线性波的构造性理论及其应用》科学出版社 2007年
李志斌编著《非线性数学物理方程的行波解》科学出版社
王东明著《消去法及其应用》科学出版社 2002
何青王丽芬编著《Maple 教程》科学出版社 2010 ISBN 9787030177445
Richard H. Enns George C. McCGuire, Nonlinear Physics Birkhauser,1997
Inna Shingareva, Carlos Lizárraga-Celaya,Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple Springer.
Eryk Infeld and George Rowlands,Nonlinear Waves,Solitons and Chaos,Cambridge 2000
Saber Elaydi,An Introduction to Difference Equationns, Springer 2000
Dongming Wang, Elimination Practice,Imperial College Press 2004
David Betounes, Partial Differential Equations for Computational Science: With Maple and Vector Analysis Springer, 1998 ISBN 9780387983004
George Articolo Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple V Academic Press 1998 ISBN 9780120644759

[3] Graham所著的《Traveling wave analysis of partial differential equations : numerical and analytical methods with MATLAB and Maple》一书中第八章提到的“Fisher–Kolmogorov Equation”实际上是第十章“Kolmogorov–Petrovskii–Piskunov Equation”（即下式）在 D = 1、a = 1、b = -1、m = q + 1 时的特殊情况。

[ExactSolution-1] 1.0 ^1.1 Ma, W.X.; Fuchssteiner, B. Explicit and exact solutions to a Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov equation. International Journal of Non-Linear Mechanics. 1996-05, 31 (3): 329–338 [2018-02-09]. doi:10.1016/0020-7462(95)00064-X.

[OntheKPP-2] 2.0 ^2.1 Unal, ARZU OGUN. On the Kolmogorov–Petrovskii–Piskunov equation (PDF). Commun. Fac. Sci. Univ. Ank. Ser. A1. 2013, 62 (1): 1-10 [2018-02-09]. （原始内容存档 (PDF)于2018-06-02）.

[Graham-4] 3.0 ^3.1 Schiesser, Graham W. Griffiths, William E. Traveling wave analysis of partial differential equations : numerical and analytical methods with MATLAB and Maple. Amsterdam: Academic Press. 2011 [2018-02-09]. ISBN 0123846528.

[5] Adomian, G. Fisher-Kolmogorov equation. Applied Mathematics Letters. 1995-03, 8 (2): 51–52. doi:10.1016/0893-9659(95)00010-N.

[6] .], Mark Freidlin...[et. Surveys in applied mathematics.. New York: Springer. 1995 [2018-02-09]. ISBN 978-1-4615-1991-1. （原始内容存档于2019-12-02）.

[7] Cabre, Xavier; Coulon, Anne-Charline; Roquejoffre, Jean-Michel. Propagation in Fisher-KPP type equations with fractional diffusion in periodic media. arXiv:1209.4809 [math]. 2012-09-21 [2018-02-09]. doi:10.1016/j.crma.2012.10.007. （原始内容存档于2019-08-27）.

[1]

[2]

[注 1]

[3]

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[5]

[6]

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注释

参考文献

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