負整數

（重定向自负整数）

各种各样的数

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正數 $\mathbb {R} ^{+}$
自然数 $\mathbb {N}$
正整數 $\mathbb {Z} ^{+}$
小数
 有限小数
 无限小数
 循环小数
 有理数 $\mathbb {Q}$
代數數 $\mathbb {A}$
实数 $\mathbb {R}$
複數 $\mathbb {C}$
高斯整數 $\mathbb {Z} [i]$

负数 $\mathbb {R} ^{-}$
整数 $\mathbb {Z}$
负整數 $\mathbb {Z} ^{-}$
分數
 單位分數
 二进分数
 規矩數
 無理數
 超越數
 虚数 $\mathbb {I}$
二次無理數
 艾森斯坦整数 $\mathbb {Z} [\omega ]$

延伸

二元数
 四元數 $\mathbb {H}$
八元数 $\mathbb {O}$
十六元數 $\mathbb {S}$
超實數 $^{*}\mathbb {R}$
大實數
 上超實數

雙曲複數
 雙複數
 複四元數
共四元數（英语：Dual quaternion）
超复数
 超數
 超現實數

其他

質數 $\mathbb {P}$
可計算數
 基數
 阿列夫數
 同餘
 整數數列
 公稱值

規矩數
 可定义数
 序数
 超限数
 $p$ 進數
 数学常数

圓周率 $\pi =3.14159265$ …
自然對數的底 $e=2.718281828$ …
虛數單位 $i={\sqrt {-{1}}}$
無限大 $\infty$

負整數，在数学中是指小於0的整數。負整數是负数与整数的交集。和整數一样，負整數也是一個可數的無限集合。這個集合在数学上通常用粗體Z^-或 $\mathbb {Z} ^{-}$ 来表示。^[1]在任何大于0的自然数前面加上性质符号“−”，所得的数即为负整数，例如−1、−2、−3等。负整数可以被认为是自然数的扩展。負整數与0则统称为非正整数。

性質

負整數是指小於零的整數^{[註 1]}。負整數存在最大值負一，但不存在最小值；負整數與負整數的和仍是負整數，而負整數與負整數的積會變為正整數。

負整數的平方

由於負整數與負整數的積會變為正整數，因此負整數的平方與其相反數的平方數相同

{(-n)}^{2}={n}^{2}

負整數的方根

若不考慮複數，負整數不能取平方根，但能夠取奇數次的方根。在複數域中，負整數的平方根為其相反數平方根的虛數單位倍。

{\sqrt {-n}}=i{\sqrt {n}}

負整數的對數

在實數域中，負整數的對數不存在。但在复数域，根据欧拉恒等式 ${{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0$ ，可以得出-1的自然对数 $\ln {(-1)}=i\pi$ ，再依據對數性質 $\log _{\alpha }MN=\log _{\alpha }\!M+\log _{\alpha }\!N$ ，負整數的對數 $\ln {(-n)}=\ln {(-1\times n)}=\ln {(-1)}+\ln {(n)}$ ，得到：

\ln {(-n)}=\ln {(n)}+i\pi

負整數的因數

負整數的正因數與其相反數的正因數相同^[2]。在質因數分解中，能夠透過將負一提出來完成質因數分解^[3]^[4]，而除了-1外，其他的質因數亦與其相反數相同。

部分的負整數

-1

負數單位。
最大的負整數、最大的負奇數。
平方根為虛數單位。

-2

负数，因數有-2、-1、1和2。
質因數分解， $-1\times 2$ 。
最大的負偶數。
立方體下闭集合中欧拉示性数的最小值^[5]。

-3

负数，因數有-3、-1、1和3。
質因數分解， $-1\times 3$ 。
負三分貝為半能點。
二次域 $\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$ 為簡單歐幾里得整環。^{[註 2]}
四維超立方體（或四維超方形）下闭集合中欧拉示性数的最小值^[5]

-4

负数，因數有-4、-2、-1、1、2和4。
質因數分解， $-1\times 2^{2}$ 。
五維超立方體（或五維超方形）下闭集合中欧拉示性数的最小值^[5]
平方根為2i

-6

负数，因數有-6、-3、-2、-1、1、2、3和6。
質因數分解， $-1\times 2\times 3$ 。
廣義的三角形數、廣義的六邊形數與雙Pochhammer三角形（Double Pochhammer triangle）（OEIS數列A039683）。

-7

负数，因數有-7、-1、1和7。
質因數分解， $-1\times 7$ 。
二次域 $\mathbb {Q} [{\sqrt {-7}}]$ 為簡單歐幾里得整環。^{[註 2]}

-10

负数，因數有-10、-5、-2、-1、1、2、5和10。
質因數分解， $-1\times 2\times 5$ 。
六維超立方體（英语：6-cube）（或六維超方形）下闭集合中欧拉示性数的最小值^[5]

-11

负数，因數有-11、-1、1和11。
質因數分解， $-1\times 11$ 。
二次域 $\mathbb {Q} [{\sqrt {-11}}]$ 為簡單歐幾里得整環。^{[註 2]}

-14

负数，因數有-14、-7、-2、-1、1、2、7和14。
質因數分解， $-1\times 2\times 7$ 。
-14是Glaisher's chi數（OEIS數列A002171）
-14是廣義的斯特靈三角數（OEIS數列A049444）

-40

负数，因數有-40、-20、-10、-8、-5、-4、-2、-1、1、2、4、5、8、10、20和40。
質因數分解， $-1\times 2^{3}\times 5$ 。
華氏及攝氏溫標的平等點，即-40℉=-40℃。

参见

正整數

註釋

^ 在資訊領域中提到的負零一般不屬於數論中的負整數集合中。
^ ^2.0 ^2.1 ^2.2 有此性質的負數只有-11, -7, -3, -2, -1（OEIS數列A048981）^[6]

參考文獻

^ Weisstein, Eric W. (编). Negative Integer. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2023-11-24]. （原始内容存档于2023-06-06）（英语）.
^ Factors of a Negative Number. sciencing.com. 2018-03-18 [2020-03-20]. （原始内容存档于2017-07-01）.
^ José Luis Gómez Pardo. Introduction to Cryptography with Maple. SpringerLink : Bücher. Springer Berlin Heidelberg. 2012: 336. ISBN 9783642321665. LCCN 2012944964.
^ Bard, G.V. Sage for Undergraduates. American Mathematical Society. 2015: 269. ISBN 9781470411114. LCCN 14033572.
^ ^5.0 ^5.1 ^5.2 ^5.3 Sloane, N.J.A. (编). Sequence A214283 (Smallest Euler characteristic of a downset on an n-dimensional cube). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
^ LeVeque, William J. Topics in Number Theory, Volumes I and II. New York: Dover Publications. 2002: II:57,81 [1956]. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001.

外部連結

埃里克·韦斯坦因. 負整數. MathWorld.

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