虛數單位

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle {{i}^{-{3}}}=i}$

${\displaystyle {{i}^{-{2}}}=-1}$

${\displaystyle {{i}^{-{1}}}=-i}$

${\displaystyle {{i}^{0}}=1}$

${\displaystyle {{i}^{1}}=i}$

${\displaystyle {{i}^{2}}=-1}$

${\displaystyle {{i}^{3}}=-i}$

${\displaystyle {{i}^{4}}=1}$

${\displaystyle {{i}^{5}}=i}$

${\displaystyle {{i}^{6}}=-1}$

${\displaystyle \ldots }$

虛數單位${\displaystyle i}$ 定義為二次方程式${\displaystyle x^{2}+1=0}$ 的兩個根中的一個。這方程式又可等價表達為：

${\displaystyle {{x}^{2}}=-1}$ 。

由於實數的平方絕不可能是負數，我們假設有這麼一個數目解答，給它設定一個符號${\displaystyle i}$ 。很重要的一點是，${\displaystyle i}$ 是一個良定義的數學構造。

另外，虛數單位同樣可以表示為：

${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 

然而${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 往往被誤認為是錯的，他們的證明的方法是：

因為${\displaystyle -1=i\cdot i=\left({\sqrt {-1}}\right)\times \left({\sqrt {-1}}\right)={\sqrt {\left(-1\right)\times \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=1}$ ，但是-1不等於1。

但請注意：${\displaystyle {\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}}$ 成立的條件有${\displaystyle a}$ ,${\displaystyle b}$ 不能為負數。

實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時，我們只需要假設${\displaystyle i}$ 是一個未知數，然後依照${\displaystyle i}$ 的定義，替代任何${\displaystyle i^{2}}$ 的出現為-1。${\displaystyle i}$ 的更高整數冪數也可以替代為${\displaystyle -i}$ ，${\displaystyle 1}$ ，或${\displaystyle i}$ ，根據下述方程式：

${\displaystyle i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i}$ ，

${\displaystyle i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1}$ ，

${\displaystyle i^{5}=i^{4}i=(1)i=i}$ 。

一般地，有以下的公式：

${\displaystyle i^{4n}=1}$ 

${\displaystyle i^{4n+1}=i}$ 

${\displaystyle i^{4n+2}=-1}$ 

${\displaystyle i^{4n+3}=-i}$ 

${\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}}$ 

其中${\displaystyle {\bmod {4}}}$ 表示被4除的余数。

方程${\displaystyle x^{2}=-1}$ 有两个不同的解，它们都是有效的，且互为共轭虚数及倒數。更加确切地，一旦固定了方程的一个解${\displaystyle i}$ ，那么${\displaystyle -i}$ （不等于${\displaystyle i}$ ）也是一个解，由于这个方程是${\displaystyle i}$ 的唯一的定义，因此这个定义表面上有歧义。然而，只要把其中一个解选定，并固定为${\displaystyle i}$ ，那么实际上是没有歧义的。这是因为，虽然${\displaystyle -i}$ 和${\displaystyle i}$ 在数量上不是相等的（它们是一对共轭虚数），但是${\displaystyle i}$ 和${\displaystyle -i}$ 之间没有质量上的区别（-1和+1就不是这样的）。在任何的等式中同時將所有i替換為-i，該等式仍成立。

${\displaystyle -i^{2}=1}$ 

${\displaystyle -i=i^{-1}={\frac {1}{i}}}$ 

虚数单位有时记为${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ 。但是，使用这种记法时需要非常谨慎，这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立。例如，公式${\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}}$ 仅对于非负的实数${\displaystyle a}$ 和${\displaystyle b}$ 才成立。

假若這個關係在虚数仍成立，則會出現以下情況：

${\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1}$ （不正确）

${\displaystyle -1=i\cdot i=\pm {\sqrt {-1}}\cdot \pm {\sqrt {-1}}=\pm {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}=\pm {\sqrt {1}}=\pm 1}$ （不正确）

${\displaystyle {\frac {1}{i}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {-1}}=i}$ （不正确）

 

许多实数的运算都可以推广到${\displaystyle i}$ ，例如平方根、冪、对数和三角函数。以下运算除第一项外，均为与${\displaystyle i}$ 有关的多值函数，在实际应用时必须指明函数的定义选择在黎曼面的哪一支。下面列出的仅仅是最常采用的黎曼面分支的计算结果。

• ${\displaystyle i}$ 的平方根为：

${\displaystyle \pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}$ 

这是因为：

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right]^{2}&=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\\&=i\end{aligned}}}$ 

使用算术平方根符号表示：

${\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}$ 

其解法為先假設兩實數${\displaystyle x}$ 及${\displaystyle y}$ ，使得${\displaystyle (x+iy)^{2}=i}$ ，求解${\displaystyle x,y}$ ^[1]

• 一个数的${\displaystyle ni}$ 次幂为：

${\displaystyle x^{ni}=\cos \ln x^{n}+i\sin \ln x^{n}}$ 

一个数的${\displaystyle ni}$ 次方根为：

${\displaystyle {\sqrt[{ni}]{x}}=\cos \ln {\sqrt[{n}]{x}}-i\sin \ln {\sqrt[{n}]{x}}}$ 

利用歐拉公式

${\displaystyle i^{i}=\left[e^{i({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}\right]^{i}=e^{i^{2}({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}=e^{-({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}}$ ，${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ 

代入不同的${\displaystyle k}$ 值，可計算出無限多的解。当${\displaystyle k=0}$ 最小的解是${\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{2}}}\approx }$ 0.20787957635076...^[2]

• 以${\displaystyle i}$ 为底的对数为：

${\displaystyle \log _{i}x={{2\ln x} \over i\pi }}$ 

• ${\displaystyle i}$ 的余弦是一个实数：

${\displaystyle \cos i=\cosh 1={{e+{\frac {1}{e}}} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}\approx }$ 1.5430806348152...

• ${\displaystyle i}$ 的正弦是纯虚数：

${\displaystyle \sin i=i\sinh 1={{e-{\frac {1}{e}}} \over 2}i={{e^{2}-1} \over 2e}i\approx }$ 1.1752011936438...${\displaystyle i}$ 

• 大部分的程式語言都不提供虛數單位，且平方根函數(大多為sqrt()或Math.Sqrt())的引數不可以是負數，因此，必須自行建立類別後方可使用。
• 但Lisp的许多实现与方言，如Common Lisp，内建虚数和複數的支持。不少动态语言受其影响，也在语言本身或标准库中支持虚数和複數，如Python、Ruby。
• 一些传统编程语言，如C语言，也从C99开始支持虚数和複數。
• 在Matlab，虛數單位的表示方法為i或j，但i和j在for迴圈可以有其他用途。
• 在Mathematica，虛數單位的表示方法為I、𝕚或𝕛。
• 在Maple，必須啟用虛數功能，並選擇用i還是j表示虛數單位。
• Go語言於第 1.0 版就内建虚数和複數的支持，變數類型為 complex64和complex128^[3]。

• 代數基本定理
• 虚数
• 复平面
• 单位根
• i

• Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

• 欧拉对多项式的复数根的研究
• i作為-1的平方根（英文視頻）^{[永久失效連結]}
• ${\displaystyle i^{7321}}$ 的計算方法舉例（英文視頻）