反證法

給出命題 ${\displaystyle p}$  和命題 ${\displaystyle {\bar {p}}}$ （非 ${\displaystyle p}$ ），根據排中律，兩者之中起碼有一個是真（更強的說法為，除了真和假之外並無其他的情況），所以如果其中一個是假的，另一個就必然是真。給出命題 ${\displaystyle q}$  和命題 ${\displaystyle {\bar {q}}}$ （非 ${\displaystyle q}$ ），根據無矛盾律，兩者同時為真的情況為假。給出命題 ${\displaystyle {\bar {p}}}$  和 ${\displaystyle r}$ ，根據否定後件律，如果若 ${\displaystyle {\bar {p}}}$  成立時出現 ${\displaystyle r}$ ，則 ${\displaystyle r}$  為假時 ${\displaystyle {\bar {p}}}$  即為假。反證法在要證明 ${\displaystyle p}$  時，透過顯示出若 ${\displaystyle {\bar {p}}}$  成立時出現矛盾（${\displaystyle q}$  和 ${\displaystyle {\bar {q}}}$ ），即 ${\displaystyle {\bar {p}}}$  為假，從而證明 ${\displaystyle p}$  為真。

证明：假设${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 是有理数，那么可以写成 ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$  的形式，其中 ${\displaystyle p}$ 、${\displaystyle q}$  皆為正整數且 ${\displaystyle p}$ 、${\displaystyle q}$  互质。那么有

• ${\displaystyle p={\sqrt {2}}\times q}$ 
• ${\displaystyle p^{2}=2\times q^{2}}$ 

可得 ${\displaystyle p^{2}}$ 是偶数。而只有偶数的平方才是偶数，所以 ${\displaystyle p}$  也是偶数。因此可设 ${\displaystyle p=2s}$ ，從而 ${\displaystyle p^{2}=4s^{2}}$ ，代入上式，得：${\displaystyle q^{2}=2s^{2}}$ 。所以 ${\displaystyle q^{2}}$ 也是偶數，故可得 ${\displaystyle q}$  也是偶数。这样 ${\displaystyle p}$ 、${\displaystyle q}$  都是偶数，不互质，这与假设 ${\displaystyle p}$ 、${\displaystyle q}$  互质矛盾，假设不成立。因此${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 为无理数。

數學上有許多的定理可用反證法來證明，以下是一小部分的例子：

1. 证明有无限多个质数。
2. 任意6人当中，求证或者有3人两两相识，或者有3人互不相识。
3. 现有90张纸，每张纸都写有一个非负整数，已知这90个数之和小于1980，证明至少有三张数目相同的纸。
4. 集合 ${\displaystyle S=\{x:0<x<1\}}$  没有最小值。
5. 设 ${\displaystyle n}$  是大于1的整数，若所有小于或等于${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ 的质数都不能整除 ${\displaystyle n}$ ，则 ${\displaystyle n}$  是质数。
6. 已知三角形ABC是锐角三角形，且${\displaystyle \angle A>\angle B>\angle C}$ 。求证：${\displaystyle \angle B>45^{\circ }}$ 。
7. 已知 ${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$  为正实数，求证：${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}}$ 。
8. 已知 ${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ 、${\displaystyle c}$ 、${\displaystyle d}$  是实数，且${\displaystyle ad-bc=1}$ ，求证：${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ab+cd\neq 1}$ 。
9. 一個群若同時是交換群和單群，則該群是循環群
10. 若一個循環群是單群，則該群的階為質數
11. 若一個循環群的階為質數，則該群為單群
12. 鴿籠原理

• 英國數學家高德菲·哈羅德·哈代在他的文章《一個數學家的辯白》描述：「歐幾里得最喜歡用的反證法，是數學家最精良的武器。它比起棋手所用的任何戰術還要好：棋手可能需要犧牲一隻兵甚至更多，但數學家卻是犧牲整個棋局來獲得勝利。」

• 歸謬法
• 排中律
• 直覺主義邏輯：一種不承認排中律的邏輯系統
• 數學構成主義
• 可反證性

• J. Franklin and A. Daoud, Proof in Mathematics: An Introduction, Quakers Hill Press, 1996, ch. 6