데굴데굴

$r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$을 질량 중심과 접촉점 사이의 거리라고 하자. 표면이 평평할 때, 이는 가장 넓은 단면 주위의 물체의 반지름입니다. 질량 중심은 접점을 중심으로 회전하는 것처럼 즉각적인 속도를 가지므로 속도는 ${\displaystyle {vc\text{.o.}}_{}m{}_{}}$= r ω ${\displaystyle v_{\text{$c.o.m.}}$=r\$omega }. 대칭성으로 인해 질량의 물체 중심은 그 축에 있는 한 점입니다. ${\displaystyle {\text{I}}_{}}$회전 {\$displaystyle I_{\text${rotation$}}$를 대칭축을 중심으로 한 순수 회전의 관성으로 하고 평행축 정리에 따르면 롤링과 관련된 회전 관성은 $I$ ${\displaystyle {\text{롤링}}_{}}$ = ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$회전 {\displaystyle I_{\text{rolling}} = mr^{$2}+$입니다.$I_{\text{rotation}}($접점을 중심으로 순수 회전하는 회전관성과 동일). 회전 운동에너지에 대한 일반적인 공식을 사용하면 다음과 같습니다.

${\displaystyle {begin{aligned}K_{\text{rolling}}&={\frac {1}{2}}I_{\text{rolling}}\omega ^{2}\\&={\frac {1}{2}}mr^{2}\omega ^{2}+{\frac {1}{2}}I_{\text{rotation}}\omega ^{2}\\&={\frac {1}{2}}m(r\omega )^{2}+{\frac {1}{2}}I_{\text{rotation}}\omega ^{2}\\&={\frac {1}{2}}mv_{\text{c.o.m.}}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{\text{rotation}}\omega ^{2}\&=K_{\text{translation}}+K_{\text{rotation}}\\\end{aligned}}}$

물체에 토크가 $작용$하지 않는 외부$$ 힘 F$($0 모멘트 암이 있음), 접촉 지점의 정적 마찰(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\text{마찰}}_{}}$ ${\$이 토크를 제공하고 관련된 다른 힘이 취소된다고 가정합니다. ${\displaystyle F_{}}$ ${\displaystyle {\text{마찰}}_{}}$ ${\$는 물체와 표면의 접촉점에서 접선이고 F ${\displaystyle {\text{외부}}_{}}$ ${\$ 방향에서는 반대입니다$.$ 이 힘이 양인 부호 규칙을 사용하면 알짜 힘은 다음과 같습니다.

${\displaystyle F_{\text{net}}=F_{\text{external}-F_{\text{fraction}}$

${\displaystyle (1)}$

${\displaystyle \mathrm{슬립}}$이 없으므로 r α$$= {\display r\alpha = a} 가 ${\displaystyle \mathrm{유지}}$됩니다$.$ 뉴턴 제2법칙의 선형 및 회전 버전에$$ $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}$와 ${\displaystyle$ a$}$를 대입한 다음, $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\text{마찰}}_{}}$ ${\$을 해결합니다$.$

${\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {\tau }{I}}&={\frac {F_{\text{net}}}{m}}\\r{\frac {rF_{\text{friction}}}{I}}&={\frac {F_{\text{net}}}{m}}\\F_{\text{fraction}}&={\fract{IF_{\text{net}}}{mr^{2}}\\\end{aligned}}}$

$({\displaystyle 1)}$ ${\displaystyle (1)}$에서 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\text{마찰}}_{}}$ ${\$ 전개$:$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\text{net}}&=F_{\text{외부}}-{\frac{IF_{\text{net}}}{mr^{2}}}\\&=F_{\text{external}-{\frac {I}{mr^{2}}F_{\text{net}}\&={\frac {F_{\text{external}}{1+{\frac {I}{mr^{2}}\\\end{aligned}}}$

마지막 등식은 ${\displaystyle {\text{Fnet}}_{}}$ ${\$의 첫 번째 공식이며$,$ 이를 뉴턴의 제2법칙과 함께 사용한 다음 축소하면 ${\displaystyle$ a$}$의 공식이 얻어집니다$$.

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {F_{\text{net}}{m}}\&={\frac {\left ({\frac {F_{\text{external}}{1+{\frac {I}{mr^{2}}}\right)}{m}}\\&={\frac {F_{\text{external}}}{m\left(1+{\frac {I}{mr^{2}}}\right)}}\&={\frac {F_{\text{external}}{m+{\frac {I}{r^{2}}}\\\end{aligned}}}$

회전 반경은$$ ${\displaystyle {\text{다음}}_{}}$과 같이$Fnet$ {\$displaystyle F_{\text{$net}}의 첫 번째 공식에 포함될 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{gyr.}}&={\sqrt {\frac {I}{m}}}\\r_{\text{gyr.}}^{2}&={\frac {I}{m}}\\{\frac {I}{mr^{2}}}&={\frac {\left({\frac {I}{m}}\right)}{r^{2}}}\\&={\frac {r_{\text{gyr.}}^{2}}{r^{2}}}\\&=\left({\frac {r_{\text{gyr.}}}{r}}\r}\right)^{2}\\end{aligned}}$

${\displaystyle {\text{위}}_{}}$의 최신$등식$을 Fnet {\$displaystyle F_${\text$${net$}}$의 첫 번째 공식에 대입하면 다음과 같습니다.

${\displaystyle F_{\text{net}}={\frac {F_{\text{external}}{1+\left({\frac {r_{\text{gyr.}}}{r}}\r}^{2}}$

물체가 경사면 방향으로 하방으로 굴리도록(부분적으로 옆으로 구르지 않고) 배치되어 있다고 가정하면, 구르는 방향의 성분과 경사면에 수직인 성분으로 중량을 분해할 수 있습니다. 첫 번째 힘 성분만 물체를 굴리고, 두 번째 힘 성분은 접촉력에 의해 균형을 이루지만, 물체와 작용 ‐ 반응 쌍을 형성하지는 않습니다(테이블 위에 정지해 있는 물체처럼). 따라서 이 분석의 경우 첫 번째 성분만 고려하므로 다음과 같습니다.

${\displaystyle F_{\text{external}} = gm\sin \left(\theta \right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {F_{\text{net}}{m}}\&={\frac {\left ({\frac {F_{\text{external}}{1+\left({\frac {r_{\text{gyr.}}}{r}}\right)^{2}}}\right)}{m}}\&={\frac {\left ({\frac {gm\sin \left(\theta \right)}{1+\left ({\frac {r_{\text{gyr.}}}{r}}\right)^{2}}}\right)}{m}}\\&={\frac {gm\sin \left(\theta \right)}{m\left(1+\left ({\frac {r_{\text{gyr.}}}{r}}\right)^{2}\right)}}\&={\frac {g\sin \left(\theta \right)}{1+\left ({\frac {r_{\text{gyr.}}}{r}}\r}\r)^{2}}\\\end{align}}}$

마지막 평등에서 분모는 힘에 대한 공식과 동일하지만 $인자{\displaystyle }$ m ${\displaystyle m}$은 뉴턴의 제3법칙으로 인해 중력에 대한 인스턴스가 인스턴스와 함께 취소되기 때문에 사라집니다$$.