반복 한계

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다변량 미적분학에서 반복한 한계는 형식의 표현이다.

${\displaystyle \lim _{y\to q}{\big (}\lim _{x\to p}f(x,y){\big )}\,}$

하나는 적어도 두 개의 변수에 따라 값이 달라지는 식을 가지고 있는데, 하나는 두 변수 중 하나가 어떤 숫자에 접근하여 다른 변수에만 따라 값이 달라지는 식을 얻고, 그 다음 하나는 다른 변수가 어떤 숫자에 가까워질 때 한도를 취한다.이것은 한계와 같은 방식으로 정의되지 않는다.

${\displaystyle \lim _{(x,y)\to(p,q)}f(x,y)\,}$

반복된 한계가 아니잖아둘 이상의 변수의 이 후자의 한계가 특정 수 L과 동일하다고 말하는 것은 점(x, y)을 점(p, q)에 충분히 가깝게 하여 원하는 만큼 L에 가깝게 만들 수 있다는 것을 의미한다.그것은 처음에는 한 가지 한도를, 다음에는 다른 한도를 취하는 것을 포함하지 않는다.

백작샘플

는 것은 모든 경우에 사실이 아니다.

${\displaystyle \lim _{(x,y)\to(p,q)}f(x,y)=\lim _{x\to p}f(x,y)=\lim _{y\to q(x,y)={x\to p}f(x,y).}$

(1)

표준 counterexamp 중 다음과 같은 것이 있다.

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}}:{x^{2}+y^{2}}}}}$

그리고

${\displaystyle f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}},}$^[1]

및 (p, q) = (0, 0).

첫 번째 예제에서 두 반복한 한계의 값은 서로 다르다.

${\displaystyle \lim _{y\to 0}\left(\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}:{x^{2}+y^{2}){2}}}}\오른쪽)=\lim _{y\to 0}0=0,}$

그리고

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\좌측(\lim _{y\to 0}{\frac {x^{2}}:{x^{2}+y^{2})}}}\오른쪽)=\lim _{x\to 0}1=1.}$^[2]

두 번째 예에서는 (x, y) → (0, 0)로 한계가 존재하지 않음에도 불구하고 두 개의 반복한 한계가 서로 동일하다.

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left(\lim _{y\to 0}{\frac {xy}{x^}+y^{2})}}}\오른쪽)=\lim _{x\to 0}0=0}$

그리고

${\displaystyle \lim _{y\to 0}\좌측(\lim _{x\to 0}{\frac {xy}{x^}{x^}+y^{2})}}}\오른쪽)=\lim _{y\to 0}0=0,}$

그러나 y = x 선을 따라 (x, y) → (0, 0)의 한계가 다르다.

${\displaystyle \lim _{\Big (}x,y)\to (0,0)\,:\,y=x{\Big )}}}{\frac {x^{x^{2}+y^{2}}}}{2}}}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}:{x^{2}+x^{2}}}}={\frac{1}{2}.}$

그 뒤를 잇는다.

${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}}}$

존재하지 않는다.

충분한 조건

(1)이 보유하기에 충분한 조건은 무어-오스굿 정리다.${\displaystyle \underset{}{im}}$ ${\displaystyle \underset{}{x}}$→ ${\displaystyle \underset{}{}}$ (${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)}$이(가) q와 다른 y 각각에 대해 포인트 방식으로 존재하며$$, ${\displaystyle \underset{}{im}}$y → ${\displaystyle \underset{}{}}$ f${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$) ${\displaysty \lim _{$y\$to q}f$(x,y$)}f$)}f)가 x uniformly p에 대해 균일하게 수렴되면 이중 한도와 반복 한계가 존재하며 동일하다.^[3]

참고 항목

• 제한적 운영의 상호 교환

참조