부분 집합

수학에서, 집합 A는 집합 B의 부분 집합이며, 만약 A의 모든 요소가 B의 요소라면, 집합 A는 집합 B의 부분 집합이다. 그러면 집합 B는 집합 B의 하위 집합이다.A와 B가 같을 수 있습니다.이것들이 같지 않으면 A는 B의 적절한 서브셋입니다.한 집합이 다른 집합의 부분 집합인 관계를 포함(또는 때로는 포함)이라고 합니다.A는 B의 부분집합이며, B는 A를 포함(또는 포함)하거나 B에 A를 포함(또는 포함)할 수 있다.

부분 집합 관계는 집합의 부분 순서를 정의합니다.실제로, 주어진 집합의 부분 집합은 부분 집합 관계 하에서 부울 대수를 형성하고, 여기서 결합과 만남은 교차점과 결합에 의해 주어지며, 부분 집합 관계 자체가 부울 포함 관계이다.

정의들

A와 B가 세트이고 A의 모든 요소가 B의 요소인 경우:

• A는 B의 서브셋으로, A$display$ B(\$displaystyle$A\$subseteq$ B$)$ 또는 동등하게 $표시$됩니다.
• B는 A의 슈퍼셋으로 ${\displaystyle B}$로 $.{$ $displaystyle$B \ $supseteq$ A$$

A가 B의 하위 집합이지만 A가 B와 같지 않은 경우(즉, A의 요소가 아닌 B의 요소가 적어도 하나 이상 존재함), 다음 절차를 수행합니다.

• A는 B의 적절한(또는 엄밀한) 서브셋입니다.$b$B \ $displaystyle$ A \ $subsetneq$ B$（$ ） 。
• B는 A의 적절한(또는 엄밀한) 슈퍼셋으로, B$(\displaystyle$ B$\supsetneq$ A$)$로 나타납니다.

{ $}$ { $display$ style \ {$$\ \$$} $\{{\displaystyle }$$た$${\displaystyle },{\displaystyle }$ , , {\ {\ {\ {\ {\ {\ ${\,,,,,$ 、 X 집합의 서브셋과 자기 자신을 제외한 모든 집합의 적절한 서브셋입니다.포함관계$(\displaystyle \subseteq)$는 $(\displaystyle\mathcal {P})$의 부분 순서입니다(S$).$A ets^[1] B $subs{\displaystyle }$ A$$B \ $displaystyle A$ \ $if seteq$ B$）$ 。또한 A ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle B\text{및}}$ ${\displaystyle B}$ $style$ 을 ${\displaystyle \mathrm{정의}}$하는 것으로${\displaystyle ,}$ P ( ${\displaystyle S}$) \ $display$ { $P$} ($S$ )를 부분적으로$$ $주문$할 수 있습니다$.$

수량화된 ${\displaystyle A}$의${\displaystyle }$B$(\displaystyle$ A${\displaystyle \backslash }$$subseteq$ B$)$는 ${\displaystyle x(x)}$로 표시됩니다$.\displaystyle \forall$ x$\left(x\in$ A$\implies$x\$in$ B$\right)$$}$^[2]

element^[3] 인수라고 불리는 증명 기법을 적용함으로써 A '$'$ (\$displaystyle$ A$\subseteq$ B$)$ $스테이트먼트$를 증명할 수 있습니다.

세트 A와 세트 B가 주어집니다.$A{\displaystyle b}$B ,$$\ $displaystyle$A \ $subseteq$ B ,$$} 를 증명합니다.

1. 가 A의 특정 요소이지만 임의로 선택된 요소라고 가정한다.
2. a가 B의 원소임을 알 수 있다.

이 기법의 유효성은 범용화의 결과로 볼 수 있습니다.이 기법은 임의의 요소 c에 대해 c ${\displaystyle a}$A${\displaystyle c}$ c${\displaystyle b}$ B$$\ $displaystyle$c \ $in$A \ $implies$c \ $in$ B$$}를$$ $나타냅니다{\displaystyle }$.그 후 유니버설 일반화는 ${\displaystyle 위}$의 A${\displaystyle }$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$$、$ \ $displaystyle$\$forall$x \$left ( x$ \ $in$A \ $implies$x \ $in$B \ right $),$\ $displaystyle$A \ $subseteq$ B $)$를 의미합니다.

특성.

• 집합 A는 교차가 A와 동일한 경우에만 B의 부분 집합이다.

형식:

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and if }A\cap B=A인 경우에만 표시.}$

• 집합 A는 결합이 B와 동일한 경우에만 B의 서브셋입니다.

형식:

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and if }A\cup B=B인 경우에만.}$

• 유한 집합 A는 교점의 카디널리티가 A의 카디널리티와 동일한 경우에만 B의 서브셋이다.

형식:

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and only if }} A\cap B = A . }$

and 및 symbols 기호

어떤 저자들은 기호를 나타내는{\displaystyle \subset}과⊃{\displaystyle \supset}⊂ 부분 집합과 상위 각각;그리고 상징이라고 하는 대신 ⊆{\displaystyle \subseteq}과 ⊇ 예를 들어.{\displaystyle \supseteq.}[4], 이러한 작가들에게, 그것은 일련의 그것,와 같은 뜻을 사용한다. At$모자{\displaystyle }$ $.$ {$style$ A$\subset$ A$}.$

다른 작가들은{\displaystyle \subset}과⊃{\displaystyle \supset}각각 적절한(또한 엄격한 전화)부분 집합과 적절한 상위를 나타내는 ⊂이 심볼을 사용하는 것, 즉의 심볼과로 대신의 같은 의미 ⊊{\displaystyle \subsetneq}과 ⊋.{\displaystyle \supsetneq.}[5]이 미국에 있다.ge든다구⊆{\displaystyle \subseteq}과 ⊂{\displaystyle \subset}은 불평등 기호 ≤{\displaystyle \leq}과<>if)≤ y. 예를 들어{\displaystyle<>.},{x\leq는 y\displaystyle,} 다음 그는 하지만 같지 않을 수도 있지만 만약 x<>y,{\displaystyle x<, y,} 다음 분명히 암컷과 비슷하다.아닌 동등한y, y보다 작습니다.마찬가지로 $"\$$displaystyle$$$$\$$subset"$이 적절한$$ 서브셋이라는 규칙을 사용하면 ${\displaystyle A}$가$$B와 같을 수도 있고 $아닐$ 수도 있지만 A가${\displaystyle B}$와 같을 $수$도 있지만 A가 B와 같을 경우에는 A가$B$와 같을 수도 있습니다$.$

서브셋의 예

• 집합 A = {1,2}은 B = {1, 2, 3)의 적절한 부분 집합이므로 A${\displaystyle b}$ B$(\displaystyle$A\$subseteq$ B$$$)$ $및{\displaystyle }$ A ${\displaystyle ⊊}$ $(\displaystyle$ A$\subsetneq$ B$)$ 식$$ $모두{\displaystyle }$ 참입니다.
• 집합 D = {1, 2, 3}은 E = {1, 2, 3}의 하위 집합(그러나 적절한 하위 집합은 아님)이므로 D${\displaystyle e}$E {\$displaystyle$ D$\subseteq E}$는 $참$이고 D${\displaystyle e}$E {\$displaystyle$ D$\subsetneq$ E$}$는 참(거짓)이 아닙니다.
• 임의의 집합은 그 자체의 서브셋이지만 적절한 서브셋은 아닙니다.( ${\displaystyle }$ $)$ ${\displaystyle X}$ ( \ $display style$X \ $subseteq$X )는 true이고 X$$ ${\displaystyle X}$ ( \ $displaystyle$X \ $subsetneq$X )는$$ false입니다).
• 집합 {x: x는 10보다 큰 소수}은(는) {x의 올바른 하위 집합입니다. x는 10보다 큰 홀수입니다.
• 자연수 집합은 유리수 집합의 적절한 부분 집합이며, 마찬가지로 선분의 점 집합은 선에 있는 점 집합의 적절한 부분 집합입니다.이들은 서브셋과 전체 집합이 모두 무한하고 서브셋이 전체와 동일한 카디널리티(유한 집합의 크기, 즉 요소의 수에 대응하는 개념)를 갖는 두 가지 예입니다. 이러한 경우는 초기 직관에 반할 수 있습니다.
• 유리수의 집합은 실수 집합의 적절한 부분 집합입니다.이 예에서는 두 세트 모두 무한대이지만 후자의 세트에는 전자의 세트보다 큰 카디널리티(또는 파워)가 있습니다.

오일러 다이어그램의 또 다른 예:

• 

  A는 B의 적절한 서브셋이다.

• 

  C는 B의 서브셋이지만 적절한 서브셋은 아니다.

포함의 기타 속성

include는 표준 부분 순서입니다.즉, 모든 부분 순서 집합$({\displaystyle X}$ ${\displaystyle ,)}$ $){$ $displaystyle (X$, \ $preceq$)은$$ 포함 순서 집합의 일부와 동형입니다.서수 n은 간단한 예입니다.각 서수n이 n보다 작거나 같은 모든 서수의 집합 $]{$$displaystyle$$[n]{$$displaystyle$a\$leq$ b$}$로 $식별$되는 경우${\displaystyle }$[${\displaystyle a][}$ b$].\displaystyle [a]\subseteq [b]$입니다.$}$

그 전력 P⁡ 집합 S의({\displaystyle \operatorname{{P\mathcal}}(S)}, k의 주문 isomorphism—the 가른 제품 포함 부분 순서 is—up)세트 들어 S{0,1}{\displaystyle\와 같이{0,1\}에};1은 부분 순서의(S의 카디널리티)부에 0<>{\displaystylek= S}. {\d$isplaystyle 0 < 1$$. }$ 이는 S ${\displaystyle =}$ { ${\displaystyle {}_{}{}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{s\mathrm{}}_{}}$ 2 , ${\displaystyle ...}$ , s ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle \}}$, { $style$ S = \$left$ \ { $s _$ { s _ {$1}$ , \$ldots$, $s$_ $k$} ,$$$및$ 각 $서브셋 T$${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle S}$（ ${\displaystyle i^{}}$）에 관련지어 설명할 수 있습니다.$\{0,1\}^{k},$ i${$}}가 T의 멤버인 $경우$에만 ih 좌표가 1이다.

「 」를 참조해 주세요.

• 볼록 부분집합
• 포함순서
• 지역
• 부분집합 문제
• 지하 격납 시설
• 총 서브셋

레퍼런스

참고 문헌

• Jech, Thomas (2002). Set Theory. Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.

외부 링크

• Wikimedia Commons 서브셋 관련 미디어
• Weisstein, Eric W. "Subset". MathWorld.