프랑켈-콘토로바 모델

FK 모델로도 알려진 Frenkel-Kontorova 모델은 저차원 비선형 물리학의 기본 모델이다.^[1]

일반화된 FK 모델은 가장 가까운 이웃 상호작용을 가지고 있고 주기적인 현장 기질 전위를 받는 고전적인 입자 사슬을 설명한다.^[2]그것의 원래 형태와 가장 단순한 형태에서 상호작용은 조화롭고 입자의 평형 거리에 상응하는 주기성과 정현상일 가능성이 있다.상호작용과 기질 전위 및 추진력의 포함에 대한 다른 선택은 다양한 물리적 상황을 설명할 수 있다.

원래 탈구 코어 근처에 있는 결정 격자의 구조와 역학을 기술하기 위해 1938년 야코프 프레켈과 타티아나 콘토로바에 의해 도입된 FK 모델은 많은 물리적 현상을 기술하는 적용가능성 때문에 응축물리학의 표준모델 중 하나가 되었다.FK모델로 모델링할 수 있는 물리적 현상으로는 탈구, 표면의 흡착층, 군중, 자석적으로 정렬된 구조물의 도메인 벽, 긴 조셉슨 결합체, 수소결합체인, DNA형 체인이 있다.^[3]^[4]FK 모델인 Tomlinson 모델의 개조는 조난학 분야에서 중요한 역할을 한다.

FK 모델의 고정형 구성에 대한 방정식은 확률론 표준 지도 또는 치리코프-테일러 지도로 감소한다.^[1]

연속선 한계 근사치에서 FK 모델은 정확히 통합 가능한 SG(Sine-Gordon) 방정식으로 감소하며, 이를 통해 솔리톤 솔루션이 가능하다.이러한 이유로 FK 모델은 "분리 사인-고든" 또는 "주기적 클라인-고든" 방정식으로도 알려져 있다.

역사

주기적 기질 전위에서의 단순한 조화 사슬 모델은 1928년 Ulrich Dehlinger에 의해 제안되었다.데흘링거는 이 모델의 안정적 용액에 대한 대략적인 분석 표현을 도출했는데, 이것을 그는 오늘날 꼬인 쌍이라고 불리는 것에 해당하는 Verhakungen이라고 불렀다.본질적으로 유사한 모델은 1912/13년에 루드비히 프란틀에 의해 개발되었지만 1928년까지 출판물을 보지 못했다.^[5]

이 모델은 탈구 근처의 수정 격자의 역학을 설명하고 수정 트윈을 묘사하기 위해 야코프 프레켈과 타티아나 콘토로바가 1938년 논문에서 독자적으로 제안한 것이다.^[4]표준 선형 조화 사슬에서 원자의 어떤 변위는 파동을 야기할 것이며, 유일하게 안정된 구성은 사소한 것이 될 것이다.Frenkel과 Kontorova의 비선형 체인에 대해서는 사소한 것 외에 안정된 구성이 존재한다.작은 원자 변위의 경우 상황은 선형 사슬과 유사하지만, 충분히 큰 변위의 경우 Frenkel과 Kontorova에 의해 분석적 해결책이 도출된 움직이는 단일 변위를 만들 수 있다.^[6]이러한 탈구의 모양은 스프링의 질량 및 탄성 상수와 같은 계통의 매개변수에 의해서만 정의된다.

솔리톤이라고도 불리는 탈구는 국소적이지 않은 결함을 분포하며 수학적으로 위상학적 결함의 일종이다.솔리톤/디로케이션의 결정적인 특징은 그들이 안정된 입자처럼 행동하고, 전체적인 모양을 유지하면서 움직일 수 있다는 것이다.동일 방향과 반대 방향의 두 솔리톤은 충돌 시 취소할 수 있지만, 솔리톤 한 개로는 자연 소멸할 수 없다.

일반화 모형

일반화된 FK 모델은 가장 가까운 상호작용의 원자의 1차원 체인을 주기적인 현장 전위로 취급하며, 이 시스템의 해밀턴은

{\mathcal{H}={\frac {m_{a}}}}\sum _{n}\왼쪽({\frac {dx_}}{dt}\오른쪽)^{2}+U,

(1)

여기서 첫 번째 용어는 $질량$ m $m_{a}$ ${\$ 의 n $n$ 원자의 $n$ 운동 에너지이며, 잠재적 에너지 $U$ $U$ 은 $U$ 가장 가까운 이웃 상호작용과 기질 전위의 상호작용으로 인한 잠재적 에너지의 합이다. ${\$ $U_{\text{int}}$ .

기질 전위는 주기적인 것이다. ${\displaystyle U_{\text}}}(x+a_{s})$ $=U_{\text}}{sub$ }( $x)}$ 에서 s ${\$ 을(를) 참조하십시오 $U_{\text{sub}}(x+a_{s})=U_{\text{sub}}(x)$ $a_{s}$

비조화 교호작용 및/또는 비신성 전위의 경우, FK 모델은 동등한-비신사이드 위상 전환을 발생시킬 것이다.

FK 모델은 하나의 서브시스템을 선형 체인으로 근사하게, 두 번째 서브시스템을 움직이지 않는 기질 전위로 근사하게 추정할 수 있는 두 개의 결합된 서브시스템으로 취급할 수 있는 모든 시스템에 적용할 수 있다.^[1]

예를 들어 결정 표면에 층을 흡착하는 것이 그 예일 것이다. 여기서 흡착 층은 체인으로, 결정 표면은 현장 전위로 근사하게 추정될 수 있다.

클래식 모델

이 절에서는 FK 모델의 가장 단순한 형태를 자세히 살펴본다.이 파생의 상세한 버전은 문헌에서 찾을 수 있다.^[2]이 모델은 고조파 가장 가까운 이웃 상호작용을 가지고 있고 사인파 전위에 영향을 받는 원자의 1차원 체인을 설명한다.원자의 횡방향 운동은 무시된다. 즉, 원자는 사슬을 따라만 움직일 수 있다.이 상황에 대한 해밀턴인은 1에 의해 주어진다. 여기서 우리는 상호작용 가능성을 지정한다.

U_{\text{int}={\frac {g}{2}}\sum _{n}(x_{n+1}-x_{n}-a_{0}}^{2}}}}

여기서 $g$ $g$ 은 $g$ 탄성 상수이고, $a_{0}$ ${\$ 은 교차 평형 거리이다 $a_{0}$ .기질 전위는

U_{\text{sub}={\frac {\epsilon _{s}}}{n}\좌측[1-\cos{2\pi x_{n}}}{a_{s}}}}\우측,

amplitude $\epsilon _{s}$ ${\$ 이 진폭이고 $\epsilon _{s}$ s $a_{s}$ {\ $displaystyle a_{s}}$ 기간이다 $a_{s}$ .

해밀턴계를 다시 쓰기 위해 다음과 같은 차원이 없는 변수가 도입된다.

x_{n}\to \left({\frac {2\pi }{a_{s}}}\right)x_{n},\quad t\to \left({\frac {2\pi }{a_{s}}}\right){\sqrt {\frac {\epsilon _{s}}{2m_{a}}}}t,\quad a_{0}\to {\frac {2\pi }{a_{s}}},\quad g\to g{\frac {a_{s}/2\pi ^{2}}{\epsilon _{s}/2}}.

차원 없는 형태에서 해밀턴인은

H={\frac {\mathcal {H}}{\epsilon _{s}/2}}=\sum _{n}\left[{\frac {1}{2}}{\frac {dx_{n}}{dt}}^{2}+\left(1-\cos x_{n}+{\frac {1}{2}}g(x_{n+1}-x_{n}-a_{0})^{2}\right)\right],

$a_{s}=2\pi$ = 2 $a_{s}=2\pi$ 의 사인파 전위(s = 2 $)$ 에서 단위 질량 원자의 조화 사슬을 설명하고 진폭 $\epsilon _{s}=2$ $\epsilon _{s}=2$ = 2 $\epsilon _{s}=2$ = 2 ${\$ $displaystyle a_{s}=2\pi }$ 을 $a_{s}=2\pi$ $\epsilon _{s}=2$ 진폭 ϵ = 2 {\ $displaystyle \epsilon_{s}=2}.$ 이 해밀턴인의 운동 방정식은

{\dyplaystyle {\frac {d^{2}x_{n}{dt^{2}}+\sin x_{n}-g(x_{n+1}+x_{n-1}-2x_{n}=0).}

${\$ 과 $a_{0}$ ( $a_{s}$ ) ${\$ 이(가) 일치하는 $a_{s}$ 경우만 고려하며, 단순성을 $a_{0}=a_{s}$ $a_{0}=a_{s}$ = $a_{0}=a_{s}$ ${\$ 를 취한다 $a_{0}=a_{s}$ 그러므로 사슬의 접지 상태에서 기질 전위의 각 최소는 하나의 원자에 의해 점유된다.정의한 $u{n}$ 를 소개한다.

x_{n}=na_{s}+u_{n}.

$u_{n}\ll a_{s}$ 변위 $u_{n}\ll a_{s}$ $u_{n}\ll a_{s}$ $u_{n}\ll a_{s}$ $u_{n}\ll a_{s}$ ${\$ 의 경우 움직임 방정식을 $u_{n}\ll a_{s}$ 선형화할 수 있으며 다음과 같은 형태를 취할 수 있다.

{\dxyle {\frac {d^{2}u_{n}{dt^{2}}+u_{n}-g(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_{n}=0).}

This equation of motion describes phonons with $u_{n}\propto \exp[i(\omega _{\text{ph}}(\kappa )t-\kappa n)]$ with the phonon dispersion relation ${\displaystyle \omega _{\text{ph}}^{2}(\kappa )=\omega _{\text{min}}^{$ $2}+2g(1-\cos \kappa )}$ with the dimensionless wavenumber $\kappa \leq \pi$ . This shows that the frequency spectrum of the chain has a band gap $\omega _{\text{min}}\equiv \omega _{\text{ph}}(0)=1$ with cut-off frequency $\omega _{\text{max}}\equiv \omega _{\text{ph}}(\pi )={\sqrt {\omega _{\text{min}}^{2}+4g}}$ $\omega _{\text{max}}\equiv \omega _{\text{ph}}(\pi )={\sqrt {\omega _{\text{min}}^{2}+4g}}$ $\omega _{\text{max}}\equiv \omega _{\text{ph}}(\pi )={\sqrt {\omega _{\text{min}}^{2}+4g}}$ $\omega _{\text{max}}\equiv \omega _{\text{ph}}(\pi )={\sqrt {\omega _{\text{min}}^{2}+4g}}$ + $\omega _{\text{max}}\equiv \omega _{\text{ph}}(\pi )={\sqrt {\omega _{\text{min}}^{2}+4g}}$ g $\omega _{\text{max}}\equiv \omega _{\text{ph}}(\pi )={\sqrt {\omega _{\text{min}}^{2}+4g}}$ \ $displaystyle \omega _{\text{max}}\equiv \omega _{\text{pi )={\qrt{\min}^{2}+4g$

움직임의 선형화된 방정식은 원자 변위가 작지 않을 때는 유효하지 않으며, 움직임의 비선형 방정식을 사용해야 한다.비선형 방정식은 FK 모델의 연속 한계 근사치를 고려함으로써 가장 잘 조명되는 새로운 유형의 국부적 배설물을 지원할 수 있다.Rosenau의^[7] 표준 절차를 적용하여 이산 격자로부터 연속-한계 방정식을 도출하면 변곡된 사인-고든 방정식이 된다.

u_{tt}+\sin u-(a_{s}^{2}g)u_{xx}=\epsilon f(u),

그 기능이 있는 곳

\epsilon f(u)={\frac {1}{12}a_{s}^{2}(u_{xxt}+u_{x}^{2}\sin u-u_{xx}\cos u)}

체인의 불완전성으로 인한 효과를 첫 순서로 설명한다.

디스커버리시 효과를 무시하고 $x\to {\frac {x}{a_{s}{\sqrt {g}}}}$ → $x\to {\frac {x}{a_{s}{\sqrt {g}}}}$ $x\to {\frac {x}{a_{s}{\sqrt {g}}}}$ ${\$ x $\to {\frac$ {x $}{a_{s}{\sqrt{g}}}}}$ 을(를) 도입하면 표준 형태의 사인-고든(SG) 방정식에 대한 운동 방정식이 감소한다 $x\to {\frac {x}{a_{s}{\sqrt {g}}}}$ .

u_{tt}-u_{xx}+\sin u=0.

SG방정식은 꼬임, 호흡기, 음소 등 세 가지 기본적인 흥분/해결을 발생시킨다.

킨크, 즉 위상학적 용해제는 주기적 기질 전위의 가장 가까운 두 개의 동일한 미니마를 연결하는 용액으로 이해할 수 있으므로, 지반 상태의 퇴화로 인한 결과물이다.이 해결책들은

u_{\text{k}(x,t)=4\tan ^{-1}(\exp[-\dllma \ \ma \ \(v))(x-vt)),

여기서 $\sigma =\pm 1$ = $\sigma =\pm 1$ ± $\sigma =\pm 1$ $\sigma =\pm 1$ 은 위상적 전하(Topological Charge)이다 $\sigma =\pm 1$ . $\sigma =-1$ $\sigma =1$ = $\sigma =1$ ${\displaystyle$ $\$ $sigma =1}$ 의 경우 솔루션을 $\sigma =1$ 꼬임이라고 하며 $\sigma =-1$ $\$ = - 1 {\ $displaystyle$ \sigma =- $1}$ 의 $\sigma =-1$ 경우 반칭입니다.The kink width $\gamma$ is determined by the kink velocity $v$ , where $v$ is measured in units of the sound velocity $c$ and is $\gamma (v)=1/{\sqrt {1-v^{2}}}$ . For kink motion with $v^{2}\ll c^{2}$ $v^{2}\ll c^{2}$ $v^{2}\ll c^{2}$ ${\$ 폭은 1에 가깝다.치수 없는 단위의 꼬임 에너지는

E_{\text{k}}=mc^{2}\gamma(v)\관련 mc^{2}+{\frac{1}{2}}mv^{2},

여기서 ink의 나머지 질량은 $m={\frac {2}{\pi ^{2}{\sqrt {g}}}}$ = 2 $m={\frac {2}{\pi ^{2}{\sqrt {g}}}}$ 2 g ${\$ m $={\frac {2}{\pi$ ^{2 $}{\pi$ ^{\ $sqrt{$ g}}}}, $m={\frac {2}{\pi ^{2}{\sqrt {g}}}}$ $\epsilon _{\text{k}}=mc^{2}=8{\sqrt {g}}$ k $\epsilon _{\text{k}}=mc^{2}=8{\sqrt {g}}$ = m $\epsilon _{\text{k}}=mc^{2}=8{\sqrt {g}}$ $\epsilon _{\text{k}}=mc^{2}=8{\sqrt {g}}$ = $\epsilon _{\text{k}}=mc^{2}=8{\sqrt {g}}$ $\epsilon _{\text{k}}=mc^{2}=8{\sqrt {g}}$ ${\$

거리 $R$ $R$ 을(를) 가진 두 개의 인접한 정적 꼬임에는 반발 에너지가 있다 $R$ .

v_{\text{int}\text{k}\sinh ^{-2}{\frac {R}{2a_{s}{\sqrt{g},},

반면 꼬임과 안티킹크는 상호 작용으로 끌어당긴다.

v_{\text{int}(R)\trawth -\epsilon _{\text{k}\cosh^{-2}{\frac {R}{2a_{s}{\sqrt{g}}}}}}.

한숨 돌리면

u_{\br}(x,t)=4\tan ^{-1}\왼쪽[{\frac {\sqrt{1-\Oomega ^{2}}}}{\frac {\sin(\Oomega t)}{\cosh(x{1-\sqrt}}}}}})\오른쪽),},

$0<\Omega <\omega _{\text{min}}$ < $0<\Omega <\omega _{\text{min}}$ < $0<\Omega <\omega _{\text{min}}$ Ω min > {\ $displaystyle \Oomega$ $\Omega$ 0 < $0<\Omega <\omega _{\text{min}}$ $0<\Omega <\omega _{\text{min}}$ > ${\$ 의 비선형 진동을 설명한다 $0<\Omega <\omega _{\text{min}}$

브리더 휴식 에너지

\epsilon _{\text{br}=2\epsilon _{\text{k}}{\sqrt{1-\Oomega ^{2}}.

저주파수 $\Omega \ll 1$ $\Omega \ll 1$ $\Omega \ll 1$ $\Oomega \ll1$ 의 경우 브리더를 $\Omega \ll 1$ 커플링된 ink-antikink 쌍으로 볼 수 있다.킨크와 브리더는 어떤 방탕 에너지 손실 없이 체인을 따라 움직일 수 있다.더욱이 SG 방정식의 모든 배설물 사이의 충돌은 위상 이동만을 초래한다.따라서 꼬임과 브리더는 SG 모델의 비선형 준입자로 간주될 수 있다.FK 모델 꼬임 연속체 근사치와 같은 SG 방정식의 거의 통합 가능한 수정의 경우, 분리 효과가 작다면 변형 가능한 준입자로 간주할 수 있다.^[2]

페얼스-나바로 전위

단일 꼬임에 대한 FK 모델의 고정 구성.상단 이미지는 안정적인 구성에 해당한다.하단 이미지는 불안정한 구성에 해당한다.

앞 절에서 FK 모델의 생략은 연속 한계 근사치에서 모델을 고려함으로써 도출되었다.꼬임 특성은 일차 모델의 불완전성에 의해 약간만 수정되므로, SG 방정식은 시스템의 대부분의 특징과 역학을 적절히 설명할 수 있다.

그러나 이산형 격자는 Peierls-Nabarro(PN) $V_{\text{PN}}(X)$ V $V_{\text{PN}}(X)$ ) $V_{\text{PN}}(X)$ {\ $displaystyle V_{\$ text{\ $text}$ 의 존재와 함께 독특한 방식으로 꼬임 운동에 영향을 미친다. $PN}}(X$ $X$ 서 X ${\displaystyle$ X $}$ 은 $X$ (는) 꼬임 중심 위치.PN 전위의 존재는 이산형 체인에 변환 불변성이 부족하기 때문이다.연속 한계에서 시스템은 체인을 따라 꼬인 부분의 어떤 번역에도 불변한다.이산형 체인의 경우, $a_{s}$ ${\$ 의 격자 간격의 정수 배수인 변환만 시스템 불변성을 유지한다 $a_{s}$ .PN 장벽, $E_{\text{PN}}$ $E_{\text{PN}}$ ${\$ $PN}}$ 은 $E_{\text{PN}}$ 는) 꼬인 부분이 격자를 통해 움직일 수 있도록 극복하기 위한 가장 작은 에너지 장벽이다.PN 장벽 값은 안정적이고 불안정한 정지 구성을 위한 팅크의 전위 에너지 사이의 차이다.^[2]정지된 구성은 그림에 도식적으로 표시된다.

참조

^ ^a ^b ^c Kivshar Y. S., Benner H. ,Braun O. M. (2008). "Nonlinear models for the dynamics of topological defects in solids". Nonlinear Science at the Dawn of the 21st Century. Vol. Lecture Notes in Physics, Vol. 542. p. 265. Bibcode:2000LNP...542..265K. ISBN 9783540466291.{{cite encyclopedia}}: CS1 maint: 작성자 매개변수 사용(링크)
^ ^a ^b ^c ^d Braun, Oleg M.; Kivshar, Yuri S. (1998). "Nonlinear dynamics of the Frenkel–Kontorova model". Physics Reports. 306 (1–2): 1–108. Bibcode:1998PhR...306....1B. doi:10.1016/S0370-1573(98)00029-5.
^ Kivshar Y. S., Braun O. M. (2013). The Frenkel-Kontorova Model: Concepts, Methods and Applications. Springer Science & Business Media. p. 9. ISBN 978-3662103319.{{cite book}}: CS1 maint: 작성자 매개변수 사용(링크)
^ ^a ^b "Frenkel-Kontorova model". Encyclopedia of Nonlinear Science. Routledge. 2015. ISBN 9781138012141.
^ Yuri S. Kivshar, Oleg M. Braun (2013). The Frenkel-Kontorova Model: Concepts, Methods and Applications. Springer Science & Business Media. p. 435. ISBN 978-3662103319.
^ Filippov, A. T. (2010). The Versatile Soliton. Modern Birkhäuser Classics. Springer Science & Business Media. p. 138. ISBN 9780817649746.
^ Rosenau, P. (1986). "Dynamics of nonlinear mass-spring chains near the continuum limit". Physics Letters A. 118 (5): 222–227. Bibcode:1986PhLA..118..222R. doi:10.1016/0375-9601(86)90170-2.

[:0-1] Kivshar Y. S., Benner H. ,Braun O. M. (2008). "Nonlinear models for the dynamics of topological defects in solids". Nonlinear Science at the Dawn of the 21st Century. Vol. Lecture Notes in Physics, Vol. 542. p. 265. Bibcode:2000LNP...542..265K. ISBN 9783540466291.{{cite encyclopedia}}: CS1 maint: 작성자 매개변수 사용(링크)

[:1-2] Braun, Oleg M.; Kivshar, Yuri S. (1998). "Nonlinear dynamics of the Frenkel–Kontorova model". Physics Reports. 306 (1–2): 1–108. Bibcode:1998PhR...306....1B. doi:10.1016/S0370-1573(98)00029-5.

[3] Kivshar Y. S., Braun O. M. (2013). The Frenkel-Kontorova Model: Concepts, Methods and Applications. Springer Science & Business Media. p. 9. ISBN 978-3662103319.{{cite book}}: CS1 maint: 작성자 매개변수 사용(링크)

[:2-4] "Frenkel-Kontorova model". Encyclopedia of Nonlinear Science. Routledge. 2015. ISBN 9781138012141.

[5] Yuri S. Kivshar, Oleg M. Braun (2013). The Frenkel-Kontorova Model: Concepts, Methods and Applications. Springer Science & Business Media. p. 435. ISBN 978-3662103319.

[6] Filippov, A. T. (2010). The Versatile Soliton. Modern Birkhäuser Classics. Springer Science & Business Media. p. 138. ISBN 9780817649746.

[7] Rosenau, P. (1986). "Dynamics of nonlinear mass-spring chains near the continuum limit". Physics Letters A. 118 (5): 222–227. Bibcode:1986PhLA..118..222R. doi:10.1016/0375-9601(86)90170-2.

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