경제주문수량

이코노미오더수량(EOQ, Economic Order Quantity, EPQ)은 재고관리에서 총 보유비용과 발주원가를 최소화하는 주문수량이다. 그것은 가장 오래된 고전적인 생산 스케줄링 모델 중 하나이다. 이 모델은 포드 W. 해리스가 1913년 개발했지만, 이를 광범위하게 적용한 컨설턴트 R. H. 윌슨과 K. 안들러는 심층 분석의 공로를 인정받는다.^[1]

개요

EOQ는 한 해 동안 제품에 대한 수요가 일정하고 재고가 0에 도달했을 때 각각의 새로운 주문이 완전하게 전달될 때만 적용된다. 주문 건수에 관계없이 발주한 각 주문에 대해 고정 비용이 있으며, 주문에는 1개만 포함된다고 가정한다. 보관소에 보관되어 있는 각 단위의 비용도 있는데, 일반적으로 보관비라고 하며, 때로는 물품 구입비의 백분율로 표시되기도 한다. EOQ 제형은 간단하지만 실제 적용 시 고려해야 할 운송료 및 수량 할인 등의 요소가 있다.

우리는 제품의 구매, 배송, 보관과 관련된 총 비용을 최소화하기 위해 최적의 주문 수량을 결정하기를 원한다.

솔루션에 필요한 매개변수는 연간 총 수요량, 품목별 구매 비용, 단일 품목에 대한 발주 고정 비용, 품목별 연간 보관 비용이다. 주문 횟수는 다른 매개변수에서 결정할 수 있지만, 주문 횟수도 총 비용에 영향을 미친다는 점에 유의하십시오.

변수

• ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ $$= 연간 총 재고 원가
• ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ $$= 구매 단가, 단가
• ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ $$= 주문 수량
• $∗{\$ Q$^{*}}$ $$= 최적의 주문 수량
• ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ $$= 연간 수요량
• ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ $$= 주문당 고정 비용, 설정 비용(단위당 고정 비용, 일반적으로 주문 및 배송 및 처리 비용) 이것은 물품의 원가가 아니다.
• ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ $$= 단위당 연간 보유 비용, 운반 비용 또는 보관 비용(자본 비용, 창고 공간, 냉동, 보험, 기회 비용(가격 x 정수) 등)이라고도 하며, 일반적으로 단위 생산 비용과는 관련이 없다.

EOQ식의 총비용함수와 도출

단일 항목 EOQ 공식은 다음과 같은 비용 함수의 최소 점을 찾는다.

총 비용 = 구매 비용 또는 생산 비용 + 주문 비용 + 보유 비용

위치:

• 구입 비용: 이것은 상품의 변동원가: 구매단가 × 연간 수요량이다. P × D 입니다
• 주문 비용: 이것은 발주 비용이다. 각 발주에는 고정 비용 K가 있으며, 우리는 연간 D/Q 회수를 발주해야 한다. K × D/Q 입니다.
• 보유원가 : 재고(완전 보충과 비움 사이)의 평균수량이 Q/2이므로 이 원가는 h × Q/2이다.

${\displaystyle T}$= ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D}$+ ${\displaystyle K}$ D ${\displaystyle \frac{Q}{}}$+ H ${\displaystyle \frac{\mathrm{Q}}{}}$ ${\displaystyle 2\frac{}{}}$ ${\$}}}{Q$}+h{\frac {Q}{2$

총 비용 곡선의 최소 포인트를 결정하려면 Q에 대한 총 비용(다른 모든 변수가 일정하다고 가정)의 파생 모델을 계산하고 0으로 설정하십시오.

${\displaystyle {0}=-{\frac {DK}{Q^{2}}+{\frac {h}{2}}}}}$

Q에 대한 해결은 Q*(최적 주문 수량):

${\displaystyle Q^{*2}={\frac {2DK}{h}}}}$

따라서 다음과 같다.

Q*는 P와 무관하며 K, D, h의 함수일 뿐이다.

최적의 값 Q*는 또한 다음을 인식함으로써 찾을 수 있다.

${\displaystyle T={\frac {DK}{Q}}{{\frac {hQ}{2}}+PD={\frac {h}{2Q}(Q-{\sqrt {2DK/h})^{2}+{\sqrt {2HDK}+PD,}$

$비용$ 최소 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ =$2\sqrt{\mathrm{}}$ D $\sqrt{K/h},$ ${\textstyle Q={\sqrt{2DK/h}$에 대해 음이 아닌 2차 항이 사라지는 경우, 비용$$ 최소 T m i${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{h}}$ ${\displaystyle \sqrt{D}}$ K${\displaystyle }$+ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D.}$ ${\displaystyty T_{min}={\sqrt{2DK}}+PD.$$}$

예

• 연간 소요량(D) = 10000단위
• 주문당 비용(K) = 40
• 단위당 비용(P)= 50
• 단위당 연간 장부금액 = 4
• 시장이자 = 2%

Economic order quantity = ${\displaystyle {\sqrt {\frac {2D\cdot K}{h}}}}$ ${\displaystyle ={\sqrt {\frac {2\cdot 10000\cdot 40}{4+50\cdot 2\%}}}={\sqrt {\frac {2\cdot 10000\cdot 40}{5}}}}$ = 400 units

연간 주문 수(EOQ 기준)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{10000}{}}$ ${\displaystyle \frac{400}{}}$= ${\displaystyle 25}$ ${\displaystyle ={\frac {10000}{400}}=25}$

총비용${\displaystyle }$= ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \cdot }$ D${\displaystyle }$+ ${\displaystyle K}$( D${\displaystyle }$/ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle Q}$)${\displaystyle }$+ h${\displaystyle }$( ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle Q}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$) ${\디스플레이스타일 =P\cdot D+K(D/$EOQ$)+h($EOQ$/2)}$

총비용${\displaystyle }$= ${\displaystyle 50}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 10000}$+ ${\displaystyle 40}$ ${\displaystyle \cdot }$(${\displaystyle 10000}$/ ${\displaystyle 400\mathrm{}}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle (400}$/ 2${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 502000}$ ${\displaystyle =50\cdot 10000+40\cdot$ ($10000/400)+5\cdot (400/2)=502000}$

400(=EOQ) 이외의 주문 수량에 대한 총 비용을 확인하면 비용이 더 많이 든다는 것을 알 수 있을 것이다. 예를 들어, 주문당 500대를 가정하면,

총비용${\displaystyle }$= ${\displaystyle 50}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 10000}$+ ${\displaystyle 40}$ ${\displaystyle \cdot }$(${\displaystyle 10000}$/ ${\displaystyle 500}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle (500\mathrm{}}$/ 2${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 502050}$ ${\displaystyle$= $50\cdot 10000+40\cdot$ ($10000/500)+5\cdot (500/2)=502050}$

마찬가지로, 우리가 주문 수량에 300을 선택한다면,

총비용${\displaystyle }$= ${\displaystyle 50}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 10000}$+ ${\displaystyle 40}$ ${\displaystyle \cdot }$(${\displaystyle 10000}$/ ${\displaystyle 300}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle (300}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 502083.33}$ ${\displaystyle =50\cdot 10000+40\cdot$ ($10000/300)+5\cdot (300/2)=502083.$$33}$

이는 경제질서 수량이 항상 기업에 가장 유리하다는 것을 보여준다.

EOQ 모델의 확장

수량할인

EOQ 모델에 대한 중요한 확장은 수량 할인을 수용하는 것이다. 수량 할인에는 (1) 올유닛과 (2) 증분 할인 두 가지 유형이 있다.^[2][3] 여기 숫자적인 예가 있다.

• 증분 단위 할인: 유닛 1-100은 각각 30달러, 유닛 101~199는 각각 28달러, 유닛 200 이상은 각각 26달러씩이다. 그래서 150대를 주문하면 총 비용은 $30*100 + $28*50이다.
• 모든 단위 할인: 1-1000단위의 주문은 각각 50달러, 1001~5000단위의 주문은 45달러, 5000단위의 주문은 각각 40달러씩이다. 그래서 1500대를 주문하면 총 비용은 $45*1500이다.

다른 수량 할인 체계에서 최적의 주문 수량을 찾으려면 알고리즘을 사용해야 한다. 이러한 알고리즘은 EOQ 정책이 수량 할인을 통해 여전히 최적이라는 가정 하에 개발된다. 페레라 외 연구진(2017)^[4]은 이러한 최적성을 확립하고 일반 비용 구조에서 EOQ 설정 내에서 (s,S) 최적성을 완전히 특성화한다.

최적 수량 할인 일정 설계

할인 일정에 최적으로 대응하는 전략적 고객이 있는 상황에서 공급자에 의한 최적 수량 할인 계획의 설계는 복잡하기 때문에 신중히 해야 한다. 이것은 특히 고객의 수요 자체가 불확실할 때 더욱 그렇다. 소비자 수요 불확실성의 증가가 실제로 공급자의 주문량 불확실성을 감소시키는 "역폭풍"이라는 흥미로운 효과가 발생한다.^[5]

백오더 비용 및 여러 품목

EOQ 모델에는 백오더 비용^[6] 및 복수 품목을 포함하여 몇 가지 연장이 가능하다. 역주문이 허용되는 경우, 주기당 재고자산 장부원가는 다음과 같다.^[7]

$\displaystyle IC\int \limits _{0}^{T_{1}}(Q-s-\lambda t)\,dt={\frac {IC}{2\lambda }}}^{2},$

여기서 s는 주문 수량 Q가 전달될 때의 백오더 수이고 $\lambda {\displaystyle }$ ${\디스플레이$ 스타일 $\lambda }$은(는) 수요 속도다. 사이클당 백오더 비용은 다음과 같다.

${\displaystyle \pi s+{\hat {\pi }}\int \int \{0}^{0}}T_{2}}\lambda tdt=\pi s+\pi{1}{1}:{2}}: {\pi }}^{2}=\pi s+{\frac {{\hat{\pi }:{2}},}$

where ${\displaystyle \pi }$ and ${\displaystyle {\hat {\pi }}}$ are backorder costs, ${\displaystyle T_{2}=T-T_{1}}$, T being the cycle length and ${\displaystyle T_{1}=(Q-s)/\lambda }$. The average annual variable cost is the sum of order costs, holding inventory 비용 및 백오더 비용:

${\displaystyle {\mathcal{K}={\frac {\lambda }{Q}A+{\frac {1}{2Q}}}}IC(Q-s)^{2}+{\frac {1}{Q}[\pi \lambda s+{\frac{1}{1}:{2}}:{\hat {\pi }s^{2}]}}$

$K{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) 최소화하려면 0과 같은 부분파생상품을 적용하십시오$$.

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial Q}}=-{\frac {1}{Q^{2}}}\left[{\lambda }A+{\frac {1}{2}}IC(Q-s)^{2}+\pi \lambda s+{\frac {1}{2}}{\hat {\pi }}s^{2}\right]+{\frac {IC}{Q}}(Q-s)=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {K}}{\partial s}=-{\frac {IC}{Q-s)+{\frac {1}{{{Q}\pi \lambda +{1}{Q}}{\hat {\pi }s=0}$

두 번째 방정식을 첫 번째 방정식으로 대체하면 다음과 같은 이차 방정식이 나온다.

${\displaystyle [{\hat {\pi }^{2}+{\hat {\pi }}}^{2}+2\pi {\pi }}\lambda s+(\pi \lambda )^{2}-2\lambda AIC=0}$

$\pi {\displaystyle \stackrel{}{}^}$ = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle${\$hat {\pi$}=$0}$이면 s=0 $또는{\displaystyle }$s =${\displaystyle \mathrm{}}${$${\$displaystyle$ s$=\infit }$이(가) 최적이다. 첫 번째의 경우 고전적인 EOQ 공식에 의해 최적의 로트가 주어지고, 두 번째의 경우 주문은 절대 이루어지지 않으며 최소 연간 비용은 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$ {$${ {\$displaystyle \pi$ $\$$lambda }$에 의해 주어진다$.$ 만일 > 2 = ${\sqrt$}{\sqrt ${\frt$}$AIC}{\lambda }}}}=\delta$} 또는 > w ${\$${\displaystyle {}^{}}$ = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle s^{*}}=0}$이 최적인데$$, 만일 $<\displaystypi \data$. ^ ^ ^ ${\displaystyle ^}$ ${\displaystyle {\hat {\pi }}\neq 0}$이(가) 앞의 2차 방정식을 해결하는$$ 경우:

${\displaystyle s^{<font\; class=""\; match\_id="284">\ast </font>}<font\; class=""\; match\_id="285">=</font><font\; class=""\; match\_id="286">[</font>\stackrel{<font\; class=""\; match\_id="288">^</font>}{\mathrm{<font\; class=""\; match\_id="287">\pi </font>}}<font\; class=""\; match\_id="289">+</font>IC{<font\; class=""\; match\_id="290">]</font>}^{<font\; class=""\; match\_id="291">-</font>1}<font\; class=""\; match\_id="292">(</font><font\; class=""\; match\_id="293">-</font>\mathrm{<font\; class=""\; match\_id="294">\pi </font>}\mathrm{<font\; class=""\; match\_id="295">\lambda </font>}<font\; class=""\; match\_id="296">+</font>{<font\; class=""\; match\_id="297">[</font><font\; class=""\; match\_id="298">(</font>}^{}}$