미분 가능 함수

수학에서, 하나의 실제 변수의 미분 가능한 함수는 그 영역의 각 점에 도함수가 존재하는 함수이다.즉, 미분 가능 함수의 그래프는 영역의 각 내부 점에 수직이 아닌 접선을 가집니다.미분 가능한 함수는 평활하며(함수는 각 내부 점에서 선형 함수로 국소적으로 잘 근사됨) 중단, 각도 또는 첨단을 포함하지 않습니다.

x가 함수 f의 영역 내 내부점일 경우₀, f는 $도함수{\displaystyle {}^{}}$ fθ${\displaystyle ({x\mathrm{}}_{}}$ 0$)\displaystyle$ f$'(x_{0})$가 존재하면 x에서 미분 가능하다고₀ 한다.즉, f의 그래프는 지점(x0, f(x0)에서)non-vertical 접선하고 있다.F이 미국의 모든 위치에서 미분 가능은 U에 구별할 수 있는 될 수 있는 도메인을 넘어서면 그 파생물 또한 연속 함수는 함수 f{\displaystyle f}연속 미분 가능할 것으로 알려졌다. 일반적으로 말하자면 결론은, f톤이라고 한다o ${\displaystyle {class}^{}}$ C$k$의 첫 번째 $k개$의$k도메인$ f${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle x}$), ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}{\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle x),}$ ${\displaystyle \dots ,{}^{}}$ (${\displaystyle k^{}}$) (${\displaystyle x}$ $){$ $displaystyle f^$ { \ prime } ($x), f^{$ \ prime } ($x),$f^{ \ $ldots }$ ($x)$ (x )도메인, f^{ $k$$}$ (x$$ )도메인 class class c)이$$ 존재합니다.

한 변수의 실제 함수의 미분 가능성

A ${\displaystyle \mathrm{함수}}$f : U ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ f$:$$열린$ $집합{\displaystyle }$ U${\displaystyle r\mathbb{}}$R {\$displaystyle U\subset$\mathbb {$R$에 정의된 U$\to$ \$mathbb {R$는 도함수가 다음과 같으면${\displaystyle u}$U {\$displaystyle$ a$\in$ U$}$에서 미분 가능하다고 한다.

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$

존재합니다. 이는 함수가 a에서 연속적이라는 것을 의미합니다.

이 함수 f는 U의 모든 점에서 미분 가능한 경우 U에서 미분할 수 있다고 합니다. 이 경우 f의 도함수는 U에서${\displaystyle }R$로 변환되는 함수입니다$.\\displaystyle \mathbb {R}$

연속 함수는 반드시 미분 가능한 것은 아니지만, 미분 가능한 함수는 아래(미분 가능성과 연속성 섹션)와 같이 반드시 연속적인(미분 가능한 모든 지점) 것입니다.함수는 그 도함수도 연속함수인 경우 연속미분가능하다고 한다.미분가능하지만 연속미분가능하지 않은 함수는 아래와 같이 존재한다(미분가능성 분류 섹션).

차별화 및 연속성

f가₀ 점 x에서 미분 가능한 경우 f도 점 x에서 연속형이어야₀ 합니다.특히, 미분 가능한 함수는 해당 영역의 모든 점에서 연속적이어야 합니다.그 반대는 유지되지 않습니다. 연속 함수는 차별화될 필요가 없습니다.예를 들어 벤드, 커프 또는 수직 접선이 있는 함수는 연속적일 수 있지만 이상 징후 위치에서는 구별할 수 없습니다.

실제로 발생하는 대부분의 함수는 모든 지점 또는 거의 모든 지점에 파생 함수를 가집니다.그러나 Stefan Banach의 결과에 따르면, 어떤 점에서 도함수를 갖는 함수 집합은 모든 연속 ^[1]함수의 공간에서 미미한 집합이다.비공식적으로, 이것은 구별 가능한 함수가 연속 함수들 사이에서 매우 비정형적이라는 것을 의미한다.어디에서나 연속적이지만 어디에서나 미분 가능한 함수의 첫 번째 알려진 예는 Weierstrass 함수입니다.

차별화 클래스

$함수 f$는 $도함수{\displaystyle {}^{}}$ f${\displaystyle {}^{}}$δ($)$ {$style$ f$^{\prime$}($x)}$가 존재하며, 그 자체가 연속 함수일 경우 연속 미분 가능하다고 한다.미분 가능 함수의 도함수는 점프 불연속성을 가지지 않지만, 도함수는 본질 불연속성을 가질 수 있다.예를 들어 함수는

0에서 미분할 수 있습니다. 존재한다.단, x${\displaystyle 00}$의 $경우${\$style x\neq$ 0$,}$의 차별화 규칙은$즉,$ 이$$에서는 미분 $가능$하지만 연속적으로 미분 가능하지는 않은 함수의 존재($즉,$ 도함수가 연속 함수가 아님)를$$ 나타냅니다.그럼에도 불구하고, 다르부스의 정리는 함수의 도함수가 중간값 정리의 결론을 만족시킨다는 것을 암시한다.

연속함수를 $클래스{\displaystyle {}^{}{C0}^{}}$이라고$$하는 경우와 $마찬가지$로 연속미분함수는 $클래스$ C1이라고 하는 경우도 있습니다$.\$$displaystyle$ C$^{1$$}}$ $함수$는 ${\displaystyle {클래스\mathrm{}}^{}}$C2의 함수로 함수의 제1 및 제2의 도함수와 con의 도함수가 모두 존재하는 $경우$입니다.주름이 많은${\displaystyle {일반적}^{}}$으로 첫 $번째{\displaystyle }$ k개의$$\$displaystyle$k$$$도함수$ f${\displaystyle {}^{}}$( (${\displaystyle x}$) , ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ (${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$, …${\displaystyle }$,${\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}k{}^{}}$) (${\displaystyle }$x )$$\ $displaystyle$ f^ { \ $prime$} ($x$ ) , $f^$ { \ $prime }$ ($x$ ) , f$$、 f $（$ x$$ ) , f （ $k$） 。$f{\displaystyle }$${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle n^{}}$ )$${ $displaystyle$ f^ { ($$n ) } exist$$$$、 \ $displaystyle$ n$$${\displaystyle {\}\mathrm{}}^{}}$positive$$${\displaystyle {}^{}}$all$c{\displaystyle {}^{}}$ c c all c equival equival is is is is is is is is is is is is is is is ( ( ( equival is is is is is ( ( ( ( ( ( ( ( ( is ( ( ( ( ( ( ( ( f ( \ displaystyle f$^{$ $displayst$

고차원에서의 차별화

다음과 같이 선형 지도 J: R^m → R이ⁿⁿ 존재하는 경우, 몇 개의 실변수 f: R^m → R의 함수는 x 점에서₀ 미분 가능하다고 한다.

$\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} } {\frac {\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h}) - \mathbf {J} - \mathbf {h} \mathbf {h} \mathbf {f}}$

함수가 x에서 미분 가능한₀ 경우, 모든 편도함수는 x에 존재하며₀ 선형 지도 J는 야코비 행렬에 의해 주어진다.단변수 미적분학에서 발견된 기본증가 보조항아리에 의해 고차원 도함수의 유사한 공식이 제공된다.

함수의 모든 편미분이 점 x의₀ 근방에 존재하며₀ 점 x에서 연속이라면 함수는 그 점 x에서₀ 미분할 수 있다.

그러나 부분파생상품(또는 모든 방향파생상품)이 존재한다고 해서 함수가 한 시점에서 미분될 수 있다는 보장은 없다.예를 들어, 함수² f: R → R은 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle f(x,y)=syslog{case}x&{\text{if}}y\neq x^{2}\\text{case}}y=x^{2}\end{case}}}}$

는 (0, 0)에서 미분할 수 없지만, 모든 편도함수와 방향도함수가 이 지점에 존재합니다.연속 예제의 경우 함수는

${\displaystyle f(x,y)=sys}y{3}/(x^{2}+y^{2})&{\text{if}(x,y)\neq(0,0)\text{if}=(0,0)\end{cases}}}$

는 (0, 0)에서 미분할 수 없지만 모든 편도함수와 방향도함수가 존재합니다.

복잡한 분석의 차별화

복소해석에서는 복소 미분성은 단일 변수 실함수와 동일한 정의를 사용하여 정의된다.이는 복소수를 나눌 수 있는 가능성에 의해 허용된다.${\displaystyle 따라서\mathbb{}}$ 함수${\displaystyle }$f : C ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ f$:\mathbb {C}$ \$to \mathbb {C}}$는 x ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle a}${\$displaystyle$ x$=a}$에서 미분 $가능$하다고 합니다.

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}{h}}.}$

이 정의는 단일 변수 실제 함수의 차별화 가능성과 비슷해 보이지만 더 제한적인 조건입니다.x $= a${\$displaystyle$ x→$a}$ $점$에서 복소 미분 가능한 $함수{\displaystyle }$f : ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\displaystyle \to }$ C \displaystyle f : \$mathbb$ {$C} \to$ $\$$mathbb${C$\}$는 $함수{\displaystyle }$f : ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ $2$\