이항 분포

이항 분포

확률질량함수
누적분포함수
표기법	${\displaystyle B(n,p)}$
매개변수	${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \in }${${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle n\in \{0, 1, 2,\ldots \}$ – 시행 횟수 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \in }$[${\displaystyle 0,1]}$ ${\displaystyle p\in[0,1]}$ – 각 시행에 대한 성공 확률 ${\displaystyle q=1-p}$
지지하다	${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \{0,}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle \dots ,n\}}$ ${\displaystyle k\in \{0,1,\ldots,n\}$ – 성공 횟수
PMF	${\displaystyle {\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}}$
CDF	${\displaystyle {Iq}_{}}$(${\displaystyle n}$ -${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle k}$) ${\displaystyle I_{q}(n-k, 1$+ $k)}$ $$(정규화된 불완전 베타 함수)
의미하다	${\displaystyle np}$
중앙값	${\displaystyle \lfloor }{\displaystyle n}$ p $\rfloor$ ${\displaystyle \lfloor np\rfoor}$또는 ${\displaystyle \lceil }$${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{np}}$ ⌉ ${\displaystyle \lceil np\rceil}$
모드	${\displaystyle \lfloor }{\displaystyle (}$ ${\displaystyle n}$+ ${\displaystyle 1)}$ ${\displaystyle p}$ $\rfloor$ ${\displaystyle \lfloor (n+1)p\rfoor}$또는 ${\displaystyle \lceil }$(${\displaystyle n}$+ ${\displaystyle 1}$${\displaystyle )}$ ${\displaystyle p}$ ⌉${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \lceil (n+1)p\rceil -1}$
분산	${\displaystyle npq}$
왜도	${\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {npq}}}}$
절두술	${\displaystyle {\frac {1-6pq}{npq}}$
엔트로피	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log _{2}(2\pienpq)+O\left({\frac {1}{n}}\right)}$ 샤논으로nats의 경우 로그의 자연로그를 사용합니다.
MGF	${\displaystyle(q+pe^{t})^{n}$
CF	${\displaystyle(q+pe^{it})^{n}$
PGF	${\displaystyle G(z)=[q+pz]^{n}}$
피셔 정보	${\displaystyle g_{n}(p)={\frac {n}{pq}}}$ (고정 $n$의$$경우 {\$displaystyle n$

통계량에 대한 열의 일부
확률론
확률 공리 결정론 시스템. 불확정주의 임의성
확률공간 표본공간 이벤트 집단적으로 소모적인 사건들 기초종목 상호 배타성 결과 싱글턴 실험. 베르누이 재판 확률분포 베르누이 분포 이항 분포 정규분포 확률측량 변량 베르누이 과정 연속성 또는 이산성 기댓값 마르코프 사슬 관측치 랜덤워크 확률과정
상보사건 합동확률 한계확률 조건부확률
인디펜던스 조건부 독립성 확률전산법칙 대수의 법칙 베이즈 정리 부울의 부등식
벤 다이어그램 나무도식
v t

확률 이론과 통계학에서, 모수 n과 p를 갖는 이항 분포는 n개의 독립적인 실험에서 성공 횟수의 이산 확률 분포이며, 각각은 예-아니오 질문을 합니다.성공(확률 p) 또는 실패(확률 $q$ = ${\displaystyle 1}$ -${\displaystyle }$p ${\displaystyle$q = 1 - $p})$라는 각각의 부울 값 결과를 가지고 있습니다.단일 성공/failure 실험은 Bernouli 실험 또는 Bernouli 실험이라고도 하며, 일련의 결과를 Bernouli 과정이라고 합니다. 즉, n = 1인 단일 실험의 경우 이항 분포는 Bernouli 분포입니다.이항 분포는 통계적 유의성에 대한 대중적 이항 검정의 기초가 됩니다.^[1]

이항 분포는 크기가 N인 모집단에서 대체하여 추출한 크기 n인 표본의 성공 횟수를 모형화하는 데 자주 사용됩니다. 표본 추출이 대체 없이 수행되는 경우, 추출은 독립적이지 않으므로 결과적인 분포는 이항 분포가 아닌 기하학적 분포입니다.그러나 n보다 훨씬 큰 N의 경우 이항 분포가 양호한 근사치를 유지하며 널리 사용됩니다.

정의들

확률질량함수

일반적으로 랜덤 변수 X가 매개 변수 n ∈ $N${\$displaystyle \mathbb {N}}$과 p ∈ [0,1]인 이항 분포를 따를 경우 X ~ B(n, p)로 적습니다.n개의 독립적인 베르누이 실험에서 정확히 k개의 성공을 얻을 확률은 확률 질량 함수에 의해 주어집니다.

${\displaystyle f(k,n,p)=\pr(k;n,p)=\pr(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$

포크 = 0, 1, 2, ..., n, 여기서

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$

는 이항 계수이므로 분포의 이름입니다.수식은 다음과 같이 이해할 수 있습니다: k개의 성공은 확률 p에서^k 발생하고 n - k개의 실패는 확률 $({\displaystyle 1}$ -${\displaystyle p{}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$- ${\displaystyle k^{}}$ ${\$1 - p$)^{n$ - k$\}.$ 그러나 k개의 성공은 n개의 시행 중 어디에서나 발생할 수 있습니다.n개의 시행으로 k개의 성공을 분배하는 방법은 (${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}}$ k${\displaystyle )}$ ${\$가지입니다$$.

이항 분포 확률에 대한 참조표를 작성할 때 일반적으로 표는 최대 n/2개의 값으로 채워집니다.왜냐하면 k > n/2의 경우, 확률은 다음과 같이 보어에 의해 계산될 수 있기 때문입니다.

${\displaystyle f(k,n,p)=f(n-k,n,1-p).}$

식 f(k, n, p)를 k의 함수로 보면, 이를 극대화하는 k 값이 있습니다.이 k 값은 다음을 계산하여 알 수 있습니다.

${\displaystyle {\frac {f(k+1,n,p)}{f(k,n,p)}={\frac {(n-k)p}{(k+1)(1-p)}}$

1과 비교해 보겠습니다.다음을^[2] 만족시키는 정수 M이 항상 존재합니다.

${\displaystyle (n+1)p-1\leq M<(n+1)p.}$

(n + 1)p가 정수인 경우를 제외하고 f(k, n, p)는 k < M일 때 단조 증가하고 k > M일 때 단조 감소합니다.이 경우 f가 최대가 되는 값은 (n + 1)p와 (n + 1)p - 1 두 가지입니다. M은 베르누이 시행에서 가장 가능성이 높은 (즉, 가장 가능성이 높은) 결과이며 모드라고 불립니다.

예

편향된 동전을 던졌을 때 0.3의 확률로 앞면이 나온다고 가정합니다.6번의 던지기에서 정확히 4번의 머리를 볼 확률은

${\displaystyle f(4,6,0.3)={\binom {6}{4}}0.3^{4}(1-0.3)^{6-4}=0.059535.}$

누적분포함수

누적 분포 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

${\displaystyle F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)=\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}}$

여기서 ⌊ ${\displaystyle k}$ ⌋ ${\displaystyle \lfloor k\rfluor}$는 k 아래의 "바닥", 즉 k보다 작거나 같은 최대 정수입니다.

다음과 같이 정규화된 불완전 베타 함수로 나타낼 수도 있습니다.^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}F(k;n,p)&=\Pr(X\leq k)\&=I_{1-p}(n-k,k+1)\&=(n-k){n \choose k}\int _{0}^{1-p}^{n-k-1}\,dt.\end{aligned}}$

F-분포의 누적분포함수와 동일한 값:^[4]

${\displaystyle F(k;n,p)=F_{F{\text{-distribution}}}\left(x={\frac {1-p}{p}}{\frac {k+1}{n-k}};d_{1}=2(n-k),d_{2}=2(k+1)\right).}$

누적 분포 함수에 대한 몇 가지 폐쇄형 경계가 아래에 나와 있습니다.

특성.

기댓값 및 분산

X ~ B(n, p), 즉 X가 이항 분포된 랜덤 변수이며 n이 실험의 총 개수이고 p가 각 실험에서 성공적인 결과를 얻을 확률은 다음과 같습니다.^[5]

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=np.}$

이는 기대 값의 선형성과 함께 X가 기대 값이 p인 n개의 동일한 베르누이 확률 변수의 합이라는 사실에서 따옵니다.즉, $만약$ X ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots,X_{n}}$이 매개변수 p를 갖는 동일한(그리고 독립적인) 베르누이 확률변수라면, $X$ = X ${\displaystyle 1_{}}$ +${\displaystyle {}_{}}$⋯${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle$X=$X_{1$} $+\cdots +X_{n},$ 그리고

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\operatorname {E} [X_{1}+\cdots +X_{n}]=\operatorname {E} [X_{1}]+\cdots +\operatorname {E} [X_{n}]=p+\cdots +p=np.}$

분산은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \mathrm{<font\; class=""\; match\_id="444">Var</font>}<font\; class=""\; match\_id="445"></font><font\; class=""\; match\_id="446">(</font>X<font\; class=""\; match\_id="447">)</font><font\; class=""\; match\_id="448">=</font>np}$