곡선

(직선) 뒤에 있는 가장 단순한 곡선 중 하나인 포물선

수학에서 곡선은 선과 비슷하지만 직선일 필요는 없다.

직관적으로 곡선은 이동점이 남긴 흔적이라고 생각할 수 있다.더 많은 것은 2000년 전에 유클리드 초등 기하학에서:"양의 임의의 너비도 깊이는 없고 점의[…]은 허수 길이에 약간의 흔적을 움직이는 면제에서 떠날 흐름거나 실행보다는 단 하나의 차원, 즉 길이 되고 있으며,[ 구부러진]line[를]은[…]은 첫번째 동물 종이 나타났다 이것은 적혀 있다. 의모든 폭"^[1]

곡선의 정의는 현대 수학에서 다음과 같이 공식화되었습니다: 곡선은 연속 함수에 의한 위상 공간 간격의 이미지입니다.경우에 따라서는 곡선을 정의하는 함수를 파라메트릭이라고 하며, 곡선은 파라메트릭 곡선입니다.이 기사에서는 이러한 곡선을 위상 곡선이라고 부르기도 하며, 미분 가능한 곡선과 같은 보다 제약이 많은 곡선과 구별한다.이 정의는 수학에서 연구되는 대부분의 곡선을 포함합니다. 주목할 만한 예외는 수평 곡선(곡선과 고립점의 결합)과 대수 곡선(아래 참조)입니다.수평 곡선과 대수 곡선은 일반적으로 암묵적 방정식에 의해 정의되기 때문에 암묵적 곡선이라고 불리기도 한다.

그럼에도 불구하고 위상 곡선의 클래스는 매우 광범위하며 곡선에 대해 예상할 수 있는 것처럼 보이지 않거나 그릴 수 없는 곡선을 포함합니다.이것은 공간을 채우는 곡선과 프랙탈 곡선의 경우입니다.보다 규칙성을 확보하기 위해 곡선을 정의하는 함수는 종종 미분 가능해야 하며, 그 후 곡선은 미분 가능 곡선이라고 한다.

평면 대수 곡선은 두 개의 불확정에서의 다항식의 0집합이다.보다 일반적으로, 대수 곡선은 유한한 다항식 집합의 영집합이며, 이것은 1차원의 대수적 다양성이라는 추가 조건을 만족시킨다.다항식의 계수가 $필드$ k에 속하면 곡선은 $k$ 에 대해 정의된다고 한다. $k$ 는 실수의 장인 실대수 곡선의 일반적인 경우, 대수 곡선은 위상 곡선의 유한 결합이다.복소수 0을 고려할 때, 위상학적 관점에서 보면 곡선이 아닌 표면이며 종종 리만 표면이라고 불리는 복잡한 대수 곡선을 가진다.상식적으로 곡선은 아니지만, 다른 분야에 걸쳐 정의된 대수 곡선은 널리 연구되어 왔다.특히, 유한장에 걸친 대수 곡선은 현대 암호학에서 널리 사용된다.

역사

곡선에 대한 초기 관심을 보여주는 뉴그랜지의 거대 미술

곡선에 대한 관심은 곡선이 수학 연구의 대상이 되기 훨씬 전에 시작되었다.이것은 예술과 선사시대로 ^[2]거슬러 올라가는 일상의 물건에서 장식적인 사용의 많은 예에서 볼 수 있다.곡선 또는 적어도 그 그래픽 표현은 예를 들어 해변의 모래 위에 막대기를 사용하여 간단하게 만들 수 있습니다.

역사적으로, 선이라는 용어는 보다 현대적인 용어 곡선 대신 사용되었습니다.따라서 직선과 우선은 오늘날 선이라고 불리는 것과 곡선을 구별하기 위해 사용되었다.예를 들어, 유클리드의 원소의 제1권에서 선은 "빵이 없는 길이"(정의 2)로 정의되는 반면, 직선은 "그 위에 있는 점들과 균등하게 놓여 있는 선"(정의 4)으로 정의된다.선에 대한 유클리드의 생각은 아마도 "선의 끝은 점"이라는 문장으로 명확해질 것이다.^[3]이후 해설자들은 다양한 체계에 따라 행을 추가로 분류했다.예를 ^[4]들어 다음과 같습니다.

합성선(각도를 형성하는 선)
비복합선
- 결정(원 등 무한히 연장되지 않는 선)
- 불확정(직선 및 포물선과 같이 무한히 연장되는 선)

원뿔(원추형 단면)을 잘라 만든 곡선은 고대 그리스에서 연구된 곡선 중 하나였다.

그리스 기하학자들은 다른 많은 종류의 곡선을 연구했다.한 가지 이유는 표준 나침반과 직선 구조로는 풀 수 없는 기하학적 문제를 해결하는 것에 대한 그들의 관심이었다.이러한 곡선은 다음과 같습니다.

페르가의 아폴로니우스가 깊이 연구한 원추형 부분
디오클레스에 의해 연구되어 ^[5]큐브를 두 배로 만드는 방법으로 사용되는 디오클레스의 시소이드입니다.
니코메데스가 큐브를 두 배로 하고 각도를 ^[6]삼등분하는 방법으로 연구한 니코메데스의 원추체.
아르키메데스가 각도를 ^[7]삼등분하고 원을 제곱하는 방법으로 연구한 아르키메데스의 나선형.
원추형 부분으로서 페르세우스가 연구한 나선형 부분, 토리의 부분들은 아폴로니오스가 연구했다.

해석기하학에서는 데카르트의 폴륨과 같은 곡선을 기하학적 구조 대신 방정식을 사용하여 정의할 수 있었습니다.

곡선 이론의 근본적인 발전은 17세기에 르네 데카르트에 의한 해석 기하학의 도입이었다.이것은 정교한 기하학적 구조가 아닌 방정식을 사용하여 곡선을 묘사할 수 있게 했다.이것은 새로운 곡선을 정의하고 연구할 수 있게 했을 뿐만 아니라 다항식 방정식을 사용하여 정의할 수 있는 대수적 곡선과 그렇지 못한 초월적 곡선을 형식적으로 구별할 수 있게 했다.이전에는 곡선이 어떻게 ^[2]생성되거나 생성될 수 있는지에 따라 곡선을 "기하학적" 또는 "기계적"으로 설명했습니다.

원추형 부분은 케플러에 의해 천문학에 적용되었다.뉴턴은 또한 변이 계산의 초기 예를 연구했다.브라키스토크론 및 타우토크론 질문과 같은 변이 문제에 대한 해결책은 곡선의 특성을 새로운 방식으로 도입했다(이 경우 사이클로이드).현수막은 미적분학을 통해 일상적으로 접근할 수 있게 된 문제인 매달린 사슬의 문제에 대한 해결책으로 그 이름을 얻었다.

18세기에 일반적으로 평면 대수 곡선 이론의 시작이 왔다.뉴턴은 실점들을 '오발'로 묘사하는 입방곡선을 연구했다.베주 정리의 진술은 단수점과 복잡한 해법과 관련된 당시의 기하학에 직접적으로 접근할 수 없는 많은 측면을 보여주었다.

19세기 이후, 곡선 이론은 다양체 이론과 대수적 다양체 이론 중 1차원의 특별한 경우로 여겨진다.그럼에도 불구하고 공간을 채우는 곡선, 조던 곡선 정리, 힐베르트의 16번째 문제와 같은 많은 질문들이 곡선에 특정한 것으로 남아 있다.

위상 곡선

위상곡선은 실수의 $간격$ I에서 $위상공간$ X로의 연속함수 $\gamma \colon I\rightarrow X$ : I $→$ $\gamma \colon I\rightarrow X$ \ $displaystyle \$ displays \ $dispect I$ \ $rightarrow$ X로 $\gamma \colon I\rightarrow X$ 지정할 수 있다.정확히 말하면, 곡선은 $\gamma .$ 의 $\gamma .$ 이미지입니다 $.단$ , 일부 $\gamma$ 에서는 ${\(\displaystyle$ \ $gamma)$ 그 $\gamma$ 자체를 곡선이라고 부릅니다.특히 이미지가 일반적으로 곡선이라고 불리는 것처럼 보이지 않고 $충분히$ $\gamma .$ 않는 경우에는 더욱 그렇습니다 $.$

예를 들어, Peano 곡선 또는 보다 일반적으로 공간 채우기 곡선의 이미지는 정사각형을 완전히 채우고 있기 때문에 {\ $\gamma$ \ $displaystyle \gamma$ }의 $\gamma$ 정의 방법에 대한 정보를 제공하지 않습니다.

$\gamma$ $I=[a,b]$ [ $I=[a,b]$ , b $]$ { $displaystyle$ $\gamma$ I = [ $a$ , $b$ ] $\gamma$ $\gamma (a)=\gamma (b)$ $\gamma (a)=\gamma (b)$ ( $\gamma (a)=\gamma (b)$ ) $\gamma (a)=\gamma (b)$ $\gamma (a)=\gamma (b)$ ( $\gamma (a)=\gamma (b)$ ) { $displaystyle \ display$ ( a ) = \ displaystyle ( a ) = \ $display$ ( $b$ ) $\gamma (a)=\gamma (b)$ }일 $\gamma$ $I=[a,b]$ 경우, 닫힌 곡선은 원의^[8] 연속 매핑 이미지입니다.

위상 곡선의 도메인이 닫힌 경계 $I=[a,b]$ I $I=[a,b]$ [ $I=[a,b]$ , b $I=[a,b]$ ] { $displaystyle$ I = [ $a$ , b ] {displaystyle I = [a , b $I=[a,b]$ 인 경우 경로라고 하며 위상호(또는 그냥 호)라고도 합니다.

삽입연속함수에 의한 구간의 화상 또는 원의 화상이라면 곡선은 간단하다.즉, 곡선이 간격을 도메인으로 하는 연속 함수 $\gamma$ (\ $displaystyle \gamma)$ 에 $\gamma$ 의해 정의되어 있는 경우, 간격의 서로 다른 두 점이 다른 화상을 가지는 경우(가능성이 있는 경우 제외)에만 곡선이 단순해집니다.직관적으로 단순 곡선은 "스스로 교차하지 않고 결측점이 없는"^[9] 곡선입니다.

양의 영역이 있는 드래곤 곡선

평면 단순 폐쇄 곡선은 조던 곡선이라고도 합니다.또한 ^[10]평면에서 비자기 교차 연속 루프로 정의됩니다.조던 곡선 정리는 조던 곡선의 평면에서의 집합 보체가 두 개의 연결된 성분(즉, 곡선이 둘 다 연결된 두 개의 비교차 영역에서 평면을 나누는 것)으로 구성된다고 말합니다.

평면 곡선은 X $(\displaystyle$ X $)$ 가 $X$ 유클리드 평면인 곡선입니다(이러한 예는 처음 접한 예이며, 경우에 따라서는 투영 평면입니다).공간 곡선은 X $(\displaystyle$ X $)$ 가 $X$ 3차원 이상인 $X$ 이며, 스큐 곡선은 평면이 없는 공간 곡선입니다.평면, 공간 및 스큐 곡선의 정의는 위의 곡선의 정의는 적용되지 않지만 실제 대수 곡선에도 적용됩니다(실제 대수 곡선은 연결되지 않을 수 있습니다).

곡선의 정의에는 일반적으로 곡선이라고 부르기 어려운 도형이 포함됩니다.예를 들어, 단순 곡선의 이미지는 평면의 정사각형(공간 채우기 곡선)을 덮을 수 있으므로 양의 ^[11]면적을 가질 수 있습니다.프랙탈 곡선은 상식에 맞지 않는 특성을 가질 수 있습니다.예를 들어 프랙탈 곡선은 하우스도르프 치수가 1보다 클 수 있으며(코흐 눈송이 참조), 양의 면적도 가질 수 있습니다.용곡선이 그 일례인데, 용곡선은 다른 많은 특이한 성질을 가지고 있다.

미분 곡선

대략적으로 말하면, 미분 가능 곡선은 실수의 $구간$ I에서 미분 가능 $매니폴드$ X $($ $\mathbb {R} ^{n}.$ $.\displaystyle$ $\gamma \colon I\rightarrow X$ \ $mathbb {R}^{n})$ 로의 $\gamma \colon I\rightarrow X$ $주입$ 미분 가능 함수 $\gamma \colon I\rightarrow X$ 의 이미지로 정의된 곡선이다 $\gamma \colon I\rightarrow X$ $}$

보다 정확하게는 미분 가능한 곡선은 C의 $모든$ 점이 $근방$ U를 가지며 C $C\cap U$ U \ $displaystyle$ C $\cap$ U가 $C\cap U$ 실수의 ^{[clarification needed]}간격과 미분 형상이 $C\cap U$ $X$ 의 $서브셋$ C이다.즉, 미분 가능한 곡선은 차원 1의 미분 가능한 다양체이다.

미분 호

유클리드 기하학에서, 호(기호: θ)는 미분 가능한 곡선의 연결된 부분 집합이다.

선의 호는 경계 방법에 따라 세그먼트, 광선 또는 선이라고 불립니다.

일반적인 곡선의 예는 원호라고 불리는 원의 원호이다.

구체(또는 구상체)에서 대원(또는 대타원)의 호를 대호라고 한다.

곡선의 길이

$X=\mathbb {R} ^{n}$ $=$ $X=\mathbb {R} ^{n}$ $n$ \ $displaystyle$ $X$ → \ $mathbb$ { R } $^$ { n $X=\mathbb {R} ^{n}$ } $n$ 、 $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ : $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ [ $a$ , $b$ ] $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ n $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ \ $displaystyle$ \ $to$ \ $mathbb { R$ } ^ { $n$ } display $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ display display display display display $display$ display display $\gamma$ display $\gamma$ display display displaydisplaydisplaydisplay display displaydisplaydisplaydisplaydisplay displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplayty

\operatorname {Length} (\displaystackrel {text{def}{=}}}~\int _{a}^{b} \displays }',(t)~\mathrm {d} {t} {t}.

곡선의 길이는 파라미터화 $\gamma$ {\(\ $displaystyle \gamma$ 와는 무관합니다.

특히, $[a,b]$ 간격에서 정의된 연속 미분 $y=f(x)$ y $y=f(x)$ $y=f(x)$ ( x $y=f(x)$ ) { $displaystyle$ y $y=f(x)$ = f ( $x$ ) {displaystyle [ $a,b]$ { $displaystyle$ [a, $[a,b]$ ]} 그래프의 $s$ $y=f(x)$ $길이$ s는 다음과 같다 $[a,b]$ .

s=\int _{a}^{b}{\syslogrt {1+[f'(x)]^{2}}~\mathrm {d} {x}.

보다 일반적으로 X $(\displaystyle$ X $)$ 가 $X$ $d$ (\ $displaystyle$ d $d$ 의 미터법 공간인 $경우$ 곡선의 $\gamma :[a,b]\to X$ : $\gamma :[a,b]\to X$ [ $\gamma :[a,b]\to X$ , $\gamma :[a,b]\to X$ X(\ $displaystyle$ \ $displaystyle : [a$ , $b$ ] \ $to$ X $)$ 를 $\gamma :[a,b]\to X$ 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

\operatorname {Length}(\displaystyle \text{def}{=}}~\sup \!\left\{i=1}{n}d(\displaystyle(t_{i}),\stackrel(t_i-1})~{\Bigg }~n\in \mathbb {N}~{\text{and}}~a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\right\}

여기서 슈프림(supremum $)은$ $[a,b]$ $]$ 의 $[a,b]$ 모든 n $n\in \mathbb {N}$ < $t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}$ 1 $t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}$ < $t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}$ $t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}$ \ $display$ t $_$ { $0$ } < t $_$ { $1$ } < \ $ldots$ < $t$ _ { $n$ })와 모든 $t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}$ t $t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}$ < t 1 < t _ { 0 } < \ display $[a,b]$ $style$ [ $a$ , $b$ ]의 $[a,b]$ 모든 $n\in \mathbb {N}$ t _ { $n$ }에 $t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}$ 이어집니다.

정류 가능한 곡선은 길이가 유한한 곡선이다. $t_{1},t_{2}\in [a,b]$ $t_{1},t_{2}\in [a,b]$ b $]\$ $\gamma :[a,b]\to X$ $t_{1}\leq t_{2}$ ${1}\$ $in$ $[a$ $,$ b] $→$ X {\ $displaystyle$ \displaystyle \display : $\gamma :[a,b]\to X$ [a, $b$ $t_{1},t_{2}\in [a,b]$ \ $to$ $X$ 는 $\gamma :[a,b]\to X$ t_style $t_{$ 1}\ $in$ [ $a,$ b $]$ 에 $t_{1},t_{2}\in [a,b]$ 대해 자연(또는 단위속도 또는 호 길이로 파라미터화)이라고 불립니다 $t_{1}\leq t_{2}$

\operatorname {Length} \!\left(\displaystyle _{{1},t_{2}}\right)=t_{2}-t_{1}.

$\gamma :[a,b]\to X$ : $\gamma :[a,b]\to X$ [ $\gamma :[a,b]\to X$ , $\gamma :[a,b]\to X$ ] $\gamma :[a,b]\to X$ {\ $displaystyle \displaystyle :[a,b]\to$ X $}$ 가 $\gamma :[a,b]\to X$ Lipschitz-연속함수일 경우 자동으로 교정할 수 있다.또한 이 경우 t $t\in [a,b]$ [ $t\in [a,b]$ , $]$ \

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