Int. J. Therm. Sci. (1999) 38, 410-423 (~) Elsevier, Paris I tude num rique du couplage rayonnement-convection naturelle en r gime permanent dans des secteurs et des espaces annulaires I'aide de la m thode des volumes finis Mohamed Naceur Borjini, Cheikh Mbow, Michel Daguenet* Laboratoire de thermodynamique et dnergetique, universitd de Perpignan, 52 av. de Villeneuve, 66860 Perpignan cedex, France (Re~:u le 25 mai 1998, accept~ le 28 septembre 1998) Abridged English version at the end of the text Abstract - - Numerical study of combined radiation and natural convection within annular spaces and sectors using the finite volume method. Combined radiation and natural convection within annular spaces and sectors are investigated numerically. The medium is considered as gray, emitting, absorbing, and isotropically scattering gas. The finite volume radiation solution method and the control volume approach are used to discritize the coupled equations of momentum, energy, and radiative transfer. The effects of the boundary conditions (for annular sectors) and the position of inner cylinder (for annular spaces) on the intensity and the stability of the flow are analyzed. Numerical solutions are obtained fo P r = 0.7, Ra < 2.105, and the radiation-conduction parameter ranging from 0 to cxD. ~) Elsevier, Paris. natural convection /radiation / annular space / annular sector / finite volume method / two-dimensional numerical simulation / boundary conditions Resume - - Les transferts couples rayonnement-convection naturelle en r~gime laminaire dans des g~om~tries d~finies par des secteurs et des espaces annulaires bidimensionnels remplis d'un fluide newtonien sont etudi~s num~riquement ~. I'aide de la technique du volume de contr61e et la m~thode des volumes finis pour la r~solution de I'@quation du transfert radiatif. Le fluide est suppos~ semi-transparent, gris, ~metteur, absorbant et diffusant isotropiquement le rayonnement. Les influences des conditions aux limites (pour les secteurs) et de la position du cylindre interne (pour les espaces annulaires) sur I'intensite et la stabilit~ de I'ecoulement sont analys~es. Les simulations num~riques ont ~t~ effectu~es pour P r = 0,7, R a < 2.105 et pour un param~tre de couplage rayonnement-conduction allant de z~ro a I'infini. ~) Elsevier, Paris. convection naturelle / rayonnement / espace annulaire bidimensionnelle / conditions aux limites / secteur / Nomenclature g A, B, C G fonctions adimensionnelles 1 - ch r / c o s ~ A(~?,{) - ch~? - cos { ' s h ~/sin ~ B(r/,~) -- c h r / - c o s ~ ' 1 C(~,~) ri sh rti L L° L L+ -- -- ri ch r / - cos excentrieit~ adimensionnelle e = oio~./(r~ - ri) re e Correspondance et tirds g part. daguenet ©3gala.univ.perp.fr * 410 N m~thode des volumes finis / simulation num~rique acceil~ration de la p e s a n t e u r . . . . . . . puissance adimensionnelle du rayonnement incident G = G ' / o " T 4 m-s -~ luminance du rayonnement . . . . . . . . luminance d u corps noir . . . . . . . . . . . n o m b r e total de directions angulaires discr~tes n o m b r e total de directions angulaires discr~tes orient~es vers une fronti~re donn~e quantit~ adimensionnelle W.m -2.sr 1 W . m - 2 . s r -1 1 f ~ . n i dr2 N i l - - A f t 1 J/x 1"21 I~tude num6rique du couplage rayonnement-convection naturelle en r~gime permanent O Pr qr Q~ Q~ 'J']i, ?~e L --Re E N1 L1 A~I ~5 O" re4 1=1 0,~ C d~ P O" flux radiatif moyen adimensionnel r R Ra 8 T U V u( X y = g f l c ( r e -- r i ) 3 (Ti - T od C d~ rayon d'une section droite du cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . amplitude volumique de la source de chaleur d6finie dazes l'6quation (5).. hombre de Rayleigh Ra Rc C Qr d{ . . O0 L_ sr rapport des rayons ( F = r~/ri) coordonn6es bicylindriques limites des cylindres interne et externe respectivement 1 - e 2 +P(1 + e 2) chr]~ = m 2Fe // -Q~ = . i m 1 + e 2 + F (1 - e 2) flux conductif moyen adimensionnel C QC d{ . • : (T~ - T~)/T~ F r/, ~, z' 1 3T C ~ /7 /7 sin 0 d0 d ~ / j O~n- j ~n-- flux total moyen adimensionnel -Q~ = / 6missivit6 des parois rapport des temp6ratures flux radiatif local adimensionnel Qr = Q f o "~+ f~o ~+ flux total local adimensionnel Q = (Q~ + Q r ) / ( 1 + R c ( F - 1 ) / ~ ) flux conductif local adimensionnel Qc_ angle solide de contrSle A~QI-~- qr~ qr Q A$2 ~ centre d'une section droite du cylindre (figure. la) nombre de Prandtl P r = t , / a flux radiatif local adimensionnel m f2 W.m 2.st -1 ch z}i = 2e conductivit6 thermique . . . . . . . . . . . . viscosit6 cin6matique . . . . . . . . . . . . . . angles polaire et azimutal respectivement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . masse volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . constante de Stefan Boltzmann . . . . 6paisseur optique ( r = fl r i ) vorticit6 adimensionnelle ~, = ~ ' ( r ~ -- ~ i ) ~ / ~ alb6do de diffusion veeteur unitaire suivaa~t la direction de la luminance fonction de courant adimensionnelle # f W.m-l.K-1 nl 2 .s- 1 O rd kg.m -3 W.m-2.K-4 = ~'/,~ Ze)/O~I¢ Indices param6tre de couplage rayonnementconduction R~ = ri o" T~3//~ abscisse dans la direction ~ de la luminance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . temp6rature adimensionnelle T = (T' - T~)/(T~ - Te) eomposante adimensionnelle de la vitesse suivant x,u : u'(r~ -- ri)/ct composante adimensionnelle de la vitesse suivant y,v = v'(r¢ - ri)/c~ composante adimensiommlle de la vitesse suivant r/, u,~ = u ; ( r e - r i ) / o ~ composante adimensionnelle de la vitesse suivant ~, u~ = u~(re-ri)/c~ m c e, ext f F i int P paroi chaude cylindre externe paroi froide fronti~re du domaine 6tudi6 cylindre interne et face du volume de contrdle cylindre interne noeud P i:[~~i~: % Exposants 1, V coordonn6e cart6sienne adimensionnell< x = x'/(r~ - r i ) coordonn6e cart6sienne adimensionhelle, y = y'/(r~ - r i ) ' directions anguIaires discr6tes valeur moyenn6e sur la surface du cylindre valeur dimensionnelle 1. I N T R O D U C T I O N ¸:¸ :i Symboles grecs Ct fl ~c x diffusivit6 thermique . . . . . . . . . . . . . . coefficient d'extinction . . . . . . . . . . . . coefficient d'expansion thermique .. angle d'ouverture du secteur (figure lb) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . angle (figure 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nl2.S nl 1 , 1 K-1 rd rd D u r a n t ces d e u x d e r n i 6 r e s d6cennies, le c o u p l a g e convection naturelle-rayonnement dans des enceintes ferm6es a fait l ' o b j e t de n o m b r e u s e s 6 t u d e s [1-61. Si, d a n s la p l u p a r t d e ces t r a v a u x , les a u t e u r s o n t m o n t r 6 que le r a y o n n e m e n t j o u e u n r61e i n l p o r t a n t et q u e l q u e f o i s m a j e u r d a n s les t r a n s f e r t s , il n ' e n d e m e u r e pas m o i n s que les influences des t y p e s de c o n d i t i o n s mix 411 :ii~.i2~~ :.~ :~ ..... : M.N. Borjini et al. limites et de la configuration g6om6trique sur la stabilit6 de l'~coulement et les coefficients d'~changes thermiques sont, d'une fazjon g~n~rale, peu ~tudi~es, alors qu'elles reverent une grande importance. En effet, il est utile pour un praticien de savoir, pour une g6om~trie donn~e, quels sont les types de conditions aux limites ou (et) quelle est la configuration lui permettant d'obtenir, par exemple, le coefficient d'6change d~sir~. D'un point de vue fondamental, dans ces types de probl~mes, l'6tude combin~e de leurs influences et du rayonnement peut fournir des renseignements pr~cieux sur la stabilit~ de l'~coulement, les transitions de r6gime, les ruptures de sym6tries, etc. Nous allons donc analyser les influences des types de conditions aux linfites et de la position du cylindre int6rieur respectivement dans des secteurs et dans des espaces annulaires cylindriques d'axes horizontaux. La procedure num6rique adopt~e utilise la m6thode des volmzms finis (FVM) pour r~soudre l'6quation du transfert radiatif. Cette m6thode a ~t~ formul6e par Borjini et al. [7] dans un syst~me de coordonn6es curvilignes orthogonales. Les rSsultats, en transfert radiatif seul, sont compares /t d'autres tir6s de la litt6rature. Les parois des domaines sont suppos~es grises, diffusantes en 6mission comme en r~flexion et de m~me 6missivit~. C o n d i t i o n s a u x lirnites h y d r o d y n a r n i q u e s Les parois 6tant solides et imperm6ables, il vient : = ~ = 0 (paroi cylindrique) ~b = - ~ = 0 (paroi plane) C o n d i t i o n s a u x limites t h e r m i q u e s Cas d'un espace annulaire (figure la) : sur le cylindre interne (r] = r/i) : T = 1 sur le cylindre externe (77 = ~%) : T = 0 Cas d'un secteur bidimensionnel (figure lb) : - paroi plane isotherme (~ = +X/2) : T = 1 ou 0 - paroi plane adiabatique (~ = -t-;~/2) : 1 ~T+R~(F-1) c ~ 2. FORMULATION MATHI:MATIQUE ET METHODE DE RI~SOLUTION < Consid6rons une enceinte bidimensionnelle d'axe horizontal, remplie d'un fluide newtonien, en l'occurrence de Fair, gris, h diffusion isotrope, incompressible, 5~ propri6t~s physiques constantes, hormis sa masse volumique dans le terme de pesanteur de l'~quation du mouvement, dont les variations avec la temperature, suppos6es lin~aires, engendrent une convection naturelle laminaire, permanente et bidinmnsionnelle. La dissipation visqueuse n'est pas prise en compte. En utilisant la vorticit6 et la fonction de courant et en prenant respectivement r e - r i et ~ / ( r ~ - r l ) comme longueur et vitesse de r6f6rence, les 6quations de transfert et les conditions aux fimites s'6crivent en coordonn~es bicylindriques (r~,(, z) et en variables adimensionnelles de la mani~re suivante : 1 (o32+ -cz = -~ "F~ 4 rh ri X ~ ,, ,,, y Ca) ~ X ~ g I o32+'~ \ a,s ~ + a ~ ) q~=O ~rli (~) y, = C Pr Ra B - ~ - A - ~ (2) O (b) oN C u , r - N + ~--~ ( C u , T-°~-~) C 2 ( F - 1) Rc (1 - ~O)T [G -- 4 (1 + • T ) 4] 412 (3) Figure l. Repr~sentationsch~matiquedessyst~mes~tudi~s. a. Espace annulaire, b. Secteur bidimensionnel. Figure 1. Schematic representation of the systems, a. Annular space, b. Two-dimensional sector. I~tude num~rique du couplage rayonnement-convection naturelle en r~girne permanent paroi circulaire isotherme (r/= r/i, rk) : T = 1 ou 0 paroi cireulaire adiabatique (r/= r/i, re) : 1 aT+Rc(F-1) qr=O La luminance du rayonnement, m~cessaire pour calculer le rayonnement incident G et le flux radiatif q~, est d@termin@e 5~partir de la r6solution de l'~quation du transfert radiatif qui, dans un milieu semi-trmmparent gris et/~ diffusion isotrope, s'@erit (Siegel et Howell [8]) : OL(sJ?) a~---~--+/3 L(s,~2) =/3 R avec: R = (1 - wo) L°(s) + a;o [ L(s,£2') d~?' (4) (5) J4= L'@quation (4) est r@solue/~ l'aide de la m~thode des volumes finis (FVM). Le domaine est divis@ en plusieurs volumes (~l@mentaires, appel@s volumes de contr61e, et l'angle solide, en plusieurs angles 61~mentaires, dits angles de contr61e. L'(!quation du transfert radiatif est ensuite int6gr@e dans chaque volume et chaque angle de contr61e. Plus de d~tails sont dorm,s dans Borjini et al. [7]. Le rayonnement incident adinmnsionnel intervenant dans l'@quation de la chaleur se calcule au nceud P comme suit : cylindres est (sauf indication contraire) F = 1,5 et l'angle d'ouverture X vaut ~/3. Des conditions aux limites d'adiabaticit6 ou d'isothermie sont impos@es sur chaque paroi de l'enceinte. Les tests num~riques sont effectu@s (sauf indication contraire) pour Pr = 0,7, Ra=2.105 , ~ = 1 , ~ - = l e t a ~ 0 = 0 . La figure 2 pr@sente une confrontation de nos r~sultats avec ceux de Moder et al. [10], alnsi qu'avec la solution exacte dans le cas d'un milieu transparent. Deux configurations sont envisag@es : d a n s la premi/~re, la paroi de droite est chanff@e (figure 2a), alors que, dans la seconde, c'est la paroi de dessous (figure 2b), les autres patois @tant maintenues ~ 0 K. Toutes les fronti~res sont assimil@es k des parois noires. La figure 2a montre les flux radiatifs traversant les deux parois circulaires dans le cas d'un milieu transparent et de deux autres semi-transparents (~ = 1 m-~). La solution exacte dans le premier cas est obtenue partir des formules suivantes : paroi cylindrique interne : + max[T'~ - T'~-~ I _< 10-5 I I O paroi cylindrique externe : 1 [ / sin(x/2 =_~) % = 2 [ V/2(1 - cos(x/2 - 6)) (6) Les @quations de transfert (@quations (1)-(3)) sont discr@tis@es en utilisant l'approche du volume de contrSle [9]. Le maillage spatial adopt~ est uniforme dans les deux directions, avec des nceuds suppl6mentaires situ6s sur les fronti@res. Nous adoptons la procedure de r~solution utilis@e par Borjini et al. [7]. La solution est consid@r~e comme acceptable quand le crit~re de convergence suivant, off n indique le num~ro de l'it~ration, est satisfait : maxl¢"l C I I sin(x/2 - 6 ) / r /=1 ma~l~ n - ~-~1 i 1 [ sin(x/2--~ ) ] qr = 2 1 - X/(1/F) ~ _ 2 c o s ( x / 2 - ~)/F + 1 L 1 L. (7) 3. RESULTATS ET DISCUSSION 3.1. Couplage rayonnement-convection naturelle dans un secteur bidimensionnel Un schema du probl~me consid~r~ est pr@sent@ sur la figure lb, qui montre l'espace d@limit5 par deux cylindres circulaires concentriques horizontaux et deux plans diam@traux. Le rapport des rayons des deux X/(1/F)2 - 2 cos(x/2 - 6)/F + 1 Nos rdsultats sont en bon accord avec la solution exacte, ainsi qu'avec les r6sultats de Moder et al. [10]. Les fluctuations du flux interne, obtenu par la m6thode FVM, au voisinage de la paroi chaude sont dues £ ,, l'effet de rayon,, [11]. Ces fluctuations sont plus importantes lorsque le gaz est transparent. Lathrop [12] a @tudid ~,l'effet de rayon,, dans la m~thode des ordonn@es discr~tes. Ce ph@nom~ne est dfi h l'approximation de la variation angulaire continue de la luminance par un nombre fini des vateurs, dans des directions angulaires discr~tes. I1 est donc indSpendant de la discr~tisation spatiale. ,,L'effet de r a y o n - est plus prononc6 pour les milieux transparents et ceux prSsentazlt des sources isol~es. I1 est caraz:t@ris~ par des fluctuations dans les distributions de la luminance et des flux de chaleur. La figure 2b montre le flux radiatif traversant la paroi circulaire externe dans le cas de trois milieux sentitransparents et trois rapports de rayons. La solution exacte dans le cas d'un milieu transparent est obtenue h partir de la formule suivante : r 1 [ sin(x/2 + 6) % = 2--F [ V / ( l / F ) ~ - - ~ 2 ~ - 6)IF + 1 ~" ~ _ ~ i ~ ~ ~, sin(x/2 - 6) 1 ~/(1/F) 2 - 2 cos(x/2 - 6)/F + i J 413 ,~o~ ~ ~i~ • M.N. Borjini et al. 0,5 0,5 c N m r6s~llals ....... ~ 7..' (l~) / f 0,4 0,4 +~0 0,3 t / /.,. / 0,2 0,/ q4ir~~eme .'d ~:..@o.:' 0,3 4"" .0" .,ft' ~3=hn-i, c0 =0,5...~ d "~ p . ~ o o" .- .- . . ~ e . . ~ a.., . ~_ . 6~". U~" f @" c~lilllJl'Cex~ern~ 0,1 o.' .' !3=In,-~,%=0,5 0,2 c~ ." ~° .•o c~'" Y 0,1 .e w• ° 13=inrL %-0 , i i I , 0,0 -20 -10 -30 I , 0 J , 10 t 20 0,0 -30 30 -20 -10 0 10 20 30 (a) O,8[ [ } o,8 i nilieu tra-qamt -- r =0,5 m r = l ~ n SclulJoa e,<acte t milieupamcilxmt 0,7 e O,6t e N m l ~ a l s ~ o,6 o Nosr~mdtats r 1= 0 , S m ........ /vkxJeret al (1996) Solution cxactc re = l m o,5 ~=0 o,4 = = ° " r = 05 n w = 0,5 n+. 0,3 0,2 8:::~::~::~::g::g::~;~ -o°++°° 13=Ira -1 % = 0 , 5 o,1 0,0' -30 I -25 L -3n J -15 6 , -10 i 0,0 -5 -30 , l -25 , I -20 , _115 I -10 ] +5 (b) F i g u r e 2. C o m p a r a i s o n de nos r6sultats avec ceux issus de la litt~rature dans le cas d'un secteur bidimensionnel, a. Cas d'un secteur bidimensionnel chauff~ par la paroi de droite, b. Cas d'un secteur b i d i m e n s i o n n e l chauff~ par la paroi de dessous, F i g u r e 2. C o m p a r i s o n between our results and literature• a. T w o - d i m e n s i o n a l sector heated from the right, b. T w o - d i m e n s i o n a l sector heated from below. Les diff~rents r6sultats manifestent un bon accord entre e u x Pour q~, -l'effet de rayon,, est maximal '~ proximit~ des parois planes et prend plus d ' a m p l e u r lorsque F augmente ou lorsque fl diminue. Dans la suite, nous 6tudions l'influence du param6tre de eouplage Rc sur les isothermes et les lignes de courant pour trois configurations, avee trois conditions aux limites diff~rentes (voir figure 3) Les r6sultats sont donn6s, le plus souvent, pour trois valeurs du param6tre de eouplage : deux valeurs extremes et une wfleur interm&tiaire 414 Les surfaces isothermes sont r6guli6rement espac6es. Dans les 16gendes des figures, le premier chiffre est la valeur de la fonction de courant la plus centrale+ le deuxi~me est ta valeur de la fonction suivante quand on va vers l'ext6rieur. Dans la parenth6se, on donne la valeur du pas, c'est-£-dire la quantit6/t retrancher pour passer h la fonetion de eourant suivante. La figure .~ repr6sente les isothermes et les isocourants, dans le c~s de la configuration s 1, pour Ra = 2-10 5 et pour R~ = 0, 0,1 et 1 (aucune convergence n'est possible au-del/~ de cette valeur). Lorsque le param6tre de couplage Rc augmente, le centre de la cellule convective I~tude num6rique du couplage rayonnernent-convection naturelle en r6gime permanent Configuration sI T Configuration f ~ T s2 Les r6sultats concernant la configuration s e pour R a = 2 . 1 0 ~ et pour R~ = 0 , 1 et 5 sprit r e p o r t , s sur la figure 5. Dens ce cas~ ml fur et g mesure que R~ augmente, le centre de la cellule convective s'6loigne 16gbrement de la paroi froide et les isothermes deviennent tangentes aux parois adiabatiques. Aucune convergence n'est possible pour des valeurs de R~ plus 61ev6es. m r e" Configuration s3 Figure 3. Repr6sentation sch6matique de trois secteurs, avec trois conditions aux limites diff6rentes : X ----60°, F = 1,5. Figure 3. Schematical representation of three sectors with three different boundary conditions: X = 60°, F = 1.5. (a) ~ n ~m (a) 0 (b) (b) (c) (c) Figure 4. Influence du param~tre de couplage Rc sur les isothermes et les isocourants dans le cas de la configuration s I et pour Ra----2-10 ~. a. R~ = 0 ; isocourants a 16,06, 14,27 (-2,038)0. b. R~ = 0 , 1 , isocourants a 14,62; 12,98 (-1,855)0. c. R~ = 1, isocourants a 18,71 ; 16,62 (-2,374). Figure 4. Influence of the radiation-conduction parameter on streamline and temperature contours for configuration s ~, when Ra=2.105. a. R c = 0 ; ~ contours at 16.06; 14.27 (-2.038)0. b. R~ = 0 , 1 ; ~ contours at 14.62; 12.98 (-1.855)0. c. R(: ----1; ~ contours at 18.71; 16.62 (-2.374). se d6place ldgbrement vers la paroi froide, les isothermes deviennent plus distordues et ne sont plus orthogonales aux patois adiabatiques. En m6me temps, les gradients de la temp6rature en bas de la paroi chaude et en haut de la paroi froide diminuent consid6rablement. Ces conclusions rejoignent celles de Tan et Howell [6J dans le cas d'une enceinte rectangulaire avec deux parois verticales isothermes et deux parois horizontales adiabatiques. Figure 5. Influence du parametre de couplage Rc sur les isothermes et les isocourants dans le cas de la configuration s 2 et pour R a = 2-10 ~. a. Rc = 0 ; isocourants ~. 42,62, 37,86 (-5,408)0. b. / ~ = 1 ; isocourants ~. 46,08, 40,93 (--5,847)0. c. R~ = 5 ; isocourants ~. 54,76, 48,64 (--6,948)0. Figure 5. Influence of the radiation-conduction parameter on streamline and temperature contours for configuration s 2, when R a = 2 . 1 0 5 . a. Rc = 0 ; ~ contours at 42.62; 37.86 (-5.408)0. b. Rc = 1; ~, contours at 46.08, 40.93 (-5.847)0. c. ~c = 5; ~b contours at 54.76, 48.64 (-6.948)0. .~ii~*'¸¸ .... ~ii~l/i~~~ i i: 'Ag~..~#iiiii *ili 1ii/ La figure 6 illustre les r6.sultats eoncernant la configuration s . Dens cette configuration, contrairement aux pr6c6dentes, les parois isothermes p%sentent deux types de gSom~trie (plane et circulaire). Lorsque Re croit, les isothermes deviennent moins distordues. Pour R~ = (figure 6c), les isothermes 5pousent la forme des patois uniquement au voisinage imm~diat de celles-ci. Contrairement aux cas p%c~dents, le code converge, quelle que spit la valeur de R~. Le tableau I r~sume, pour ces trois configurations; l'influence du parambtre de couplage Rc sur l'intensi% 415 ¸ i M.N. Borjini et al. TABLEAU I / TABLE I Influence du param~tre de couplage J~c sur I'intensit6 et la stabilitE de I'Ecoulement, pour trois secteurs bidimensionnels (Ra = 2.105) Effect of radiation-conduction parameter Rc on intensity and stability of the flow, for three two-dimensional sectors (Ra = 2-105) Configuration s 2 Configuration s 3 0 0,1 1 0 1 5 0 1 oc 16,31 14,84 18,99 43,27 46,78 55,59 25,52 27,32 28,59 Configuration R~ max[~b I Sens du mouvement du centre de la cellule convective S1 vers ta paroi froide vers la paroi chaude vers la paroi chaude 0,1 ~ 1. Pour les configurations s 2 ainsi que s 3, max[¢] augmente lorsque Rc croit. Si Rc passe de 0 £ 5, max[C[ augmente de 28,5 % pour la configuration s 2. I1 croit de 12 % p o u r la c o n f i g u r a t i o n s 3 lorsque Rc passe de 0 Ca) (b) 3.2. Couplage rayonnement-convection naturelle dans un espace annulaire horizontal O n consid~re les q u a t r e configurations e a, e 2, e 3 et e 4, repr6sent~es sur la figure 7. Le r a p p o r t des rayons tie d e u x cylindres est F = 2,6 et le n o m b r e de P r a n d t l est Pr = 0,7. P o u r les configurations e 1, e 2 et e3, l ' i n t e r p r 6 t a t i o n des r6sultats se fait uniquem e n t sur la moiti6 du syst~me. Les surfaces isothermes sont r6guli~rement espac6es. D a n s les 16gendes des figures, le p r e m i e r chiffre est la valeur de la f o n c t i o n de c o u r a n t la plus centrale, le deuxi~me est la valeur de Figure 6. Influence du paramEtre de couplage Rc sur les isothermes et les isocourants dans le cas de la configuration s 3 et pour Ra = 2.105 . a. Re = 0 ; isocourants ~ 25,14, 22,68 (-2,835)0. b. Rc = 1 ; isocourants ~. 26,91,24,28 (-3,035)0. c. Rc = oo ; isocourants ~ 28,16, 25,41 (-3,176)0. Figure 6. Influence of the radiation-conduction parameter on streamline and temperature contours for configuration s 3, when R a = 2 . 1 0 5 . a. Re = 0 ; ~b contours at 25.14, 22.68 (-2.835)0. b. Rc = 1; ~b contours at 26.91,24.28 (-3.035)0. c. Rc = ~c; y) contours at 28.16, 25.41 (-3.176)0. et la stabilit6 de l'6coulement. D a n s le cas de la c o n f i g u r a t i o n s 1, max]~b I ne varie pas de faqon m o n o t o n e lorsque Rc change : il d i m i n u e de 9 % lorsque Rc passe de 0 £ 0,1, puis a u g l n e n t e de 27,9 % lorsque Rc croit de 416 Configuration e I Configuratioc2n Configuratioe3 n C ~ Figure 7. ReprEsentation schEmatique de quatre espaces annulaires, avec 4 positions diff&entes du cylindre interne. F = 2,6. 7. Schematic representation of four annular spaces, with four different positions of the inner cylinder. F = 2.6. Figure I~tude num~rique du c o u p l a g e r a y o n n e m e n t - c o n v e c t i o n la fonction suivante quand on "ca vers l'ext~rieur. Dans la parenth~se, on donne la valeur du pas, c'est-g-dire la quantit6 £ retrancher pour passer £ la fonetion de courant suivante. La figure 8 repr~sente les isothermes et les isocourants dans le cas de deux cylindres concentriques (configuration e ~) pour Ra = 10 ~ et R~ = 0 et 1. Dans cette configuration, le rayonnement dSstabilise l'~coulement et fait a p p a r a i t r e un ~coulement secondaire au-dessus du cylindre interne (figure 8b). Avec les param~tres num~riques que nous avons choisis, aucune convergence de notre code n'est possible pour Re _ 10. Tan et Howell [5], qui ont utilis~ une discr~tisation en difference finie et la technique YIX pour la r~solution de l'~quation du transfert radiatif, ont montr~ ~galement que leur code ne converge pas pour Re > 10, ce qui peut augmenter la probabilit~ que cette instabilit~ nurn~rique existe. naturelle en r~gime permanent L. Ill f2. (a) (b) (c) Figure 9. Influence du param~tre de couplage Rc sur les isothermes et les isocourants dans le cas de la configuration s 2 et pour Ra = 105 . a. Rc = 0 ; isocourants ,i 41,86, 34,7 (4,338)0. b. R~ = 1 ; isocourants ~. 87, 72,13 ( - 9 , 0 1 6 ) 0 . c. Rc = go ; isocourants ~ 95,86, 79,47 ( - 9 , 9 3 4 ) 0 . Figure 9. Influence of the radiation-conduction parameter on streamline and temperature contours for configuration e 2, when R a = 105 . a. Re = 0 ; tb contours at 41.86, 34.7 (4.338)0. b. Re = 1 ; ~b contours at 87, 72.13 ( - 9 . 0 1 6 ) 0 . c. Rc = oc ; ~) contours at 95.86, 79.47 ( - 9 . 9 3 4 ) 0 . I II Illlll~ I I O j u s q u ' g @ouser la forme de cercles excentriques pour (a) / /7/ff,,,~-.', - ~ ~:.. (b) / ~ k(c-)~}I/(/<7% /l:i'i'//i.,i[ 't:',c-, ill~ lit4!{ [ti?,c + ):;7 X.lJll ~iti!,~ 6t~,~.. __!:;j,/7 (c) (d) Figure 8. Influence du param~tre de couplage R~ sur les isothermes et les isocourants dans le cas de la configuration e z et pour ~ a = 105 . (c et d : r~sultats de Tan et Howell [5]). a. ~ = 0 ; isocourants ,~ 27,64, 23,7 (--2,963)0. b. Rc = 1 ; isocourants ~ 45,7, 37,89 ( - 4 , 7 3 6 ) 0 ( - 5 , 3 9 8 ) - 2 1 , 5 9 . c. ~ = 0 ; isocourants ,~ 31,05, 28,23 ( - 3 , 1 3 6 ) 0 . d. Re = 1 ; isocourants ,~ 48,88, 44,43 ( - 4 , 9 3 7 ) 0 . Figure 8. Influence of the radiation-conduction parameter on streamline and temperature contours for configuration e z, when Ra = 105 . (c and d: results of Tan and Howell [5]). a. Rc = 0; ~ contours at 27.64, 23.7 ( - 2 . 9 6 3 ) 0 . b. R~ = 1; contours at 45.7, 37.89 ( - 4 . 7 3 6 ) 0 ( - 5 . 3 9 8 ) - 2 1 . 5 9 . c. Rc = 0; ~ contours at 31.05, 28.23 ( - 3 . 1 3 6 ) 0 . d. Re = 1; contours at 48.88, 44.43 ( - 4 . 9 3 7 ) 0 . La figure 9 illustre les r~sultats concernant le cas d ' u n dSplacement vers le bas du cylindre interne (configuration ee), pour Ra = 10 ~ et Re = O, I e t oc. Plus Re est important, plus le centre de la cellule convective se d~place vers le bas, les isothermes devenant moins distordues et plus uniformes dans la direction angulaire, La figure 10 repr4sente les isothermes et les isoeourants dans le cas off le cylindre interne est exeentr~ vers le h a u t (configuration ca). En presence du rayonnement, la cellule contrarotative, qui existait en convection pure (Rc = 0), a compl~tement disparu ; l'&oulement est monocellulaire. Dans cette configuration, le rayonnement stabilise l'&oulement. Les rdsultats concernant la configuration e 4 (figure 11) montrent que, pour Rc = 1, deux cellules contrarotatives apparaissent dans la r4gion sommitale du eylindre interne et que deux nouveanx <,champignons,, thermiques viennent remplacer celui qui existait en l'absence de rayonnement. Quand R~ = ec, les eellules secondaires sont d6truites et l'~coulement se stabilise. (a) (b) (c) Figure 10. Influence du param~tre de couplage Rc sur les isothermes et les isocourants dans le cas de la configuration e 3 et pour Ra = 105 . a. Rc = 0, isocourants .~ 8,534, 7,075 ( - 0 , 8 8 4 ) 0 ( - 1 , 2 1 1 ) - 3 , 6 3 4 . b. R~ = 1 ; isocourants ~ 33,82, 28,04 ( - 3 , 5 0 5 ) 0 . c. Rc = o o ; isocourants ~ 102,4, 84,88 (-10,61)0. Figure 10. Influence of the radiation-conduction parameter on streamline and temperature contours for configuration e 3, R a = 105 . a. R¢ = 0 ; ~ contours at 8.534, 7.075 ( - 0 . 8 8 4 ) 0 ( - 1 . 2 1 1 ) --3.634. b. R~ = 1; tb contours at 33.82, 28.04 ( - 3 . 5 0 5 ) 0 . c. R{: = go ; ~ contours at 102.4, 84.88 ( - 1 0 . 6 1 ) 0 . 417 ~i ~ . :i.... M.N. Borjini et al. 3.3. I n f l u e n c e d e s p a r a m ~ t r e s r a d i a t i f s s u r le t r a n s f e r t d e c h a l e u r et s u r I ' i n t e n s i t ~ d e I ' ~ c o u l e m e n t D a n s c e t t e section, nous 4tudions, d a n s le cas de la c o n f i g u r a t i o n e 4 et p o u r Ra = 104, l'influenee de t'~paisseur o p t i q u e r, de l'dmissivit~ des parois e et de l'albddo de diffusion a;o sur le t r a n s f e r t de chaleur et sur l'intensi% de l'~coulement. (a) 3.3.1. Influence du p a r a m e t r e de couplage rayonnement-conduction La figure 12 illustrant, p o u r Ra = 10 4, l'influence de R~: sur le p o u r c e n t a g e des flux radiatifs au niveau des cylindres interne et externe, m o n t r e q u ' 5 5 70 pros, le t r a n s f e r t de chaleur s'effectue essentiellement par c o n d u c t i o n p o u r Re < 10 -2 et par r a y o n n e m e n t p o u r R~ > 10 '~'. 100 90 (b) cylindre interne ~ . . . -'°''°" 80 70 ) 60 so ~, 40 30 20 10 0 (c) Figure 11. Influence du param~tre de couplage R~ sur les isothermes et les isocourants dans le cas de la configuration e 4 et pour R a = 10 a. a. R~ = 0, isocourants ~ 28,69 ( - 4 , 7 8 1 ) 0 ( - 2 , 8 1 4 ) - 1 1 , 2 6 . b. Rc = 1 ; isocourants ~. 79,44 ( - 1 1 , 3 5 ) 0, - 2 , 2 4 7 , 2,062, 0 ( - 3 , 7 9 3 ) - 1 8 , 9 7 . c. } ~ = oc ; isocourants ~. 138,2 ( - 3 4 , 5 6 ) 0 ( - 2 , 7 3 8 ) - 1 0 , 9 5 . Figure 11. Influence of the radiation-conduction parameter on streamline and temperature contours for configuration e4, when Ra = 105. a. R,: = 0; ~ contours at 28.69 (-4.781) 0 ( - 2 . 8 1 4 ) - 1 1 . 2 6 . b. R~: = 1; ~ contours at 79.44 (--11.35) 0, - 2 . 2 4 7 , 2.062, 0 ( - 3 . 7 9 3 ) - 1 8 . 9 7 . c. Ro = ec; tb contours at 138.2 (-34.56) 0 (-2.738) - 1 0 . 9 5 . Le tableau H m o n t r e le sens, ainsi que le module, des v a r i a t i o n s de m a x p et de m i n ~ apr~s une a u g m e n t a t i o n du p a r a m ~ t r e de couplage, et ceci p o u r les q u a t r e configurations consid6%es. O n r e m a r q u e r a que le r a y o n n e m e n t p e u t j o u e r un r61e aussi bien stabilisant que d~stabilisant sur l'6coulement. D a n s tous les cas, lc r a y o n n e m e n t intensifie l'6coulement darts la moiti~ inf~rieure de l'espace annulaire, ce que confirme le sens du m o u v e m e n t des centres de cellules convectives. 418 0,01 ........ i O,I ........ i 1 i i ...... , 10 ........ 100 Rc Figure 12. Influence du param~tre de couplage Rc sur ie pourcentage du flux radiatif dans le cas de la configuration e 4 et pour R a = 104 , ~ - = 1, s = 1 e t w o = 0 . Figure 12. Influence of the radiation-conduction parameter on percentage radiation fluxes for the configuration e4, when R a - : 104 , ~ - = 1, e = land wo = 0 . La fi.qure 13 pr~sente, p o u r Ra = 104, l'influence du p a r a m ~ t r e de c o u p l a g e sur les d i s t r i b u t i o n s des flux t h e r m i q u e s t o t a u x et l o c a u x sur les parois interne et externe. E n l'absence du r a v o n n e m e n t (Re = 0), le transfert de chaleur au n i v e a u du cylindre e x t e r n e prdsente un m a x i m u m relatif (,,de c o n d u c t i o n , , ) 'h 6 ~ 170 ° et un a u t r e ( - d e c o n v e c t i o n - ) g 5 ~ 170 °, qui sont remplae6s, p o u r R c = e c , p a r un m a x i m u m absolu g 6 ~ 180 ° , dfi au t r a n s f e r t de chaleur par r a y o n n e m e n t . Le minim u m de transfert, localis~ g 5 ~ 75 ° en l ' a b s e n c e de r a y o n n e m e n t , se situe alors g 6 = 170 = 0. Lorsque le r a y o n n e l n e n t est d o m i n a n t , le t r a n s f e r t de chaleur au n i v e a u du cylindre interne m a n i f e s t e la m ~ m e allure que Etude num6rique du couplage rayonnement-convection naturelle en r~gime permanent TABLEAU II / TABLE II Influence du param~tre de couplage } ~ sur I'intensit~ et la stabilit~ de I'~coulement pour quatre espaces annulaires (Ra = 2.10 5 ) L. Effect of radiation-conduction parameter Rc on intensity and stability of the flow for four annular spaces (/~a = 2-10 5) Configuration Rc Configuration e 2 e I oc Configuration e 3 0 1 0 1 oo 0 1 0<3 max~ 29,63 47,36 43.38 90,16 99,34 8,84 35,05 106,1 min~ 0 21,87 0 0 0 3,73 0 0 l~coulement apparition Sens du m o u v e m e n t du centre de la cellule convective vers le bas 0 1 ec 33,47 90,79 172,8 14,07 13,69 22,76 disparition apparition vers le bas vers le bas I l I vers le bas l:m O celui au niveau du cylindre externe. Le m i n i m u m du transfert de chaleur, situ6 h 5 ~ 280 °, se d6place vers 6 ~ 360 ° au fur et k mesure qua R~: augmente. Rc=~ 8 Configuration e 4 7 6 3.3.2. Influence de I'~paisseur optique 5 &, 2 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 6 (a) 12 12 p..c=o~ s 5 0 ' 0 1 30 ' * I ' 60 I J 90 ' ' I 120 ' ' I 150 ' ' I 180 ' ' I 210 ' ' I 240 , , I 270 , , I , 300 , I , 330 , 360 8 (b) Figure 13. Influence du param~tre de couplage ~ sur les flux t h e r m i q u e s totaux dans le cas de la configuration e 4 et pour }~a = 104, T = 1, ~ = 1 et coo = 0. a. Cylindre externe. b. Cylindre interne. Figure 13. Influence of the radiation-conduction parameter for the configuration e 4, when R a = 104, ~- = 1, ~ = 1 and coo = 0. a. Outer cylinder. on total heat flux distributions b. Inner cylinder. Nous considdrons le cas off ~ = 1, Rc = 1 et coo = 0. La figure 1~ reprdsente les flux radiatifs et conductifs locaux traversant les parois interne et externe pour r = 0,1, et 10. Pour r = 10, les distributions des flux conductif et r a d i a t e ont sensiblement la m~me allure. Pour r = 0,1, le flux r a d i a t e externe pr6sente, lorsque ~ 180 °, u n m a x i m u m bien pronone~, alors qua le flux radiatif interne est quasi uniforme. Ce rdsultat s'explique par le fait qua, dans le cas de faibles @aisseurs optiques, le transfert de ehaleur par rayonnement s'effectue essentiellement entre les surfaces. Le cylindre interne ,,voit,, de la m~me mani~re le eylindre externe, alors qua ce dernier regoit un m a x i n m m de chaleur du cylindre interne g 5 ~ 180 ° et un nfinimum "~ 6 ~ 0. Notons qua le profil du flux conduetif interne est nettement moins sensible h la variation de r qua eelui du flux conductif externe. La figur~ 15 pr6sente les variations, en fonction de l'@aisseur optique, des flux radiatifs et conductifs moyens traversant les parois interne et externe. En raison de l ' a u g m e n t a t i o n de [a r~sistance raxtiative du nfilieu participant, le transfert de ehaleur par rayonnement d6eroit exponentiellement lorsque cette @aisseur optique augmente. Lorsque T eroit de 0,1 h 10, les flux radiatifs interne et externe s'att6nuent de 79,6 ~: et 88,9 % respeetivement. Apr~s une augmentation relativeinent importante (19,7 % et 63,5 ~, au niveau des eylindres interne et externe respectivement) lorsque 7 passe de 0,1 & 1, les flux conductifs moyens n'~voluent plus q u a n d T augmente de nouveau. Le tableau III met en fividence l'influenee de ~- sur l'intensit~ de l'~eoulament. E n after, lorsque r croit, le m a x i m u m de la fonction de courant ne varie pas de fagon monotone : il augmente de 42,8 %, si ~- passe de 0,1 & 1 et diminue 419 ~!!~i ¸ ~i~!~: ?ii '2!ii~' ,: ~L ~ . ~ , ~ M.N. Borjini et al. 7 TABLEAU III / TABLE III Influence de I'Epaisseur optique T, de I'~missivit~ des parois ~ et de I'albEdo de diffusion wo sur le maximum et le minimum de la fonction de courant dans le cas de la configuration e4 . . . . . . . Flux ¢onduetif 6 - - "a i • 5 4 et pour Ra = 104 et Rc = 1. Influence of optical thickness w, wall emissivity g and scattering albedo wo on maximum and minimum of the stream function for configuration e 4, 2 1 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 when Ra = 104, and Rc = 1. 360 8 (a) T 0,1 1 10 1 1 1 1 . . . . . . . Flux c o n d u c t i f - Flux tadialif f , ,i . . , .. 30 60 90 J.. 120 i 150 . .i . . , 180 ,.1 210 240 . . , . .i 270 300 . .i . . 330 360 ~ ~00 max ~p -min ¢ 1 1 1 0,5 0,1 1 1 0 0 0 0 0 0,5 0,9 23,18 33,1 32,1 29,27 25,33 31,14 24,67 5,37 3,01 4,73 2,53 2,21 3,62 6,03 de 3 % lorsque 7- passe de 1 £ 10. A l'oppos~ de max~b et pour les m~mes variations de 7-, Iminyl diminue de 43,9 %, puis s'accroit de 57,1%. 6 (b) 3.3.3. Influence Figure 14. Influence de I'~paisseur optique 7- sur les flux radiatifs et conductifs Iocaux dans le cas de la configuration e 4 et pour Ra = 10 4, Rc = 1, ~ = 1 et coo = 0. a. Cylindre externe, b. Cylindre interne. Figure 14. Influence of the the optical thickness on conductive and radiative flux distributions for the configuration e 4, when Ra = 10 4, R c = 1, E = 1 and wo = 0. a. Outer cylinder. b. Inner cylinder• 9 . . . . . . . . Flux eonduetif moyen - Flux radiati f moyen 7 JO' 5 cylindr¢ i n t e r n e rec× 1 c 2 3 4 5 6 7 8 9 10 z Figure 15. influence de I'~paisseur optique w sur les flux radiatifs et conductifs moyens dans le cas de la configuration e 4 et pour R a = 104, Re = 1, ~ = l a n d c o o = 0 . Figure 15. Effect of the optical thickness on conductive and radiative average fluxes for the configuration e4, when Ra 420 = 10 4, Rc = 1, g = 1 and wo = O. de I'~missivit~ des parois La figure 16 repr~sente les flux radiatifs et conductifs locaux traversant les parois interne et externe pour T=I, R¢=l,~0=0et ~ = 0 , 1 , 0 , 5 e t 1. P o u r s = 0 , 1 , les profils des flux radiatifs sont assez uniformes sur chacune des deux parois car, pour les faibles ~missivit~s, la temperature de celles-ci a peu d'iinpact sur le transfert de chaleur par rayonnement. Les profils des flux conductifs sont quasi insensibles aux variations de ~. No~;ons la d~croissance r~guli~re du flux conductif interne lorsque ¢ augmente. La figure 17 repr~sente les variations, en fonction de l'~inissivitS, des flux radiatifs et conductifs moyens traversant ]es parois interne et externe. T o u s l e s deux d(~pendent lin~airement de celle-ci. Lorsque ~ varie de 1 £ 0,1 les flux radiatifs interne et externe moyens diminuent de 89,8 % et 92,5 % respectivement. Pour la m~me variation de ¢, les flux conductifs interne et externe moyens augmentent de 58,4 % et 17,8 % respectivement. L'~coulement est tr~s sensible, d'apr~s le tableau III, ~ l'~missivi% des parois : lorsque ~ croit de 0,1 ~ 1, m a x ¢ et Imintb / augmentent de 30,7 % et 36,2 % respectivement. 3.3.4. Influence de I'alb~do de diffusion La figure 18 rep%sente les flux radiatifs et conductifs loeaux traversant les parois interne et externe pour 7 = 1, Rc = 1, ~ = 1, coo = 0, 0,5 et 0,9. Qu'il se fasse par Etude n u m ~ r i q u e du c o u p l a g e r a y o n n e m e n t - c o n v e c t i o n naturelle en r~gime p e r m a n e n t ........ Flux ¢ondltctif -Flu~.rJdi~ttif 111 ........ Flux eonductif - - F l u x rtmiatif ll/ 12. & & . ~ . . . 12. . :::~m,...... I 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 e" (a) (a) wm #m ....... Flux ¢onducti[ -Flux radiatif L_ O ....... Flux colxductif -Flux radiatif • c=O, 5 ~:::::: : ~::::::::: ...................... e=l ........................................ •••••:•;•:;;;•;F•ii!i!i!@i•ii•i;:•:•:•;•:••:••:••••:: ........... :::::::::::::::::::::::: ~D= 0-0.543,9 30 90 60 120 150 1fl0 210 240 270 300 33° ;o 6'o ~'o ,;o 1;o ~;o ~;ogo 360 " ' " ....... ""'" ~',0~;0 ~;o ~0 5 (b) (b) Figure 16. radiatifs et e 4 et pour externe, b. Influence de I'EmissivitE des parois ~ sur les f l u x conductifs Iocaux dans le cas de la configuration / ~ = 104 , Re = 1, ~" = 1 et wo = O. a. Cylindre Cylindre interne. Figure 16. Influence of wall emissivity on conductive and radiative flux distributions for the configuration e 4, when R a = 104 , Rc = 1, r = 1 and wo = 0 . a. Outer cylinder. b. Inner cylinder. 6 5 4 ¢ylil~l~ inttrn~ 2 o 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Figure 17. Influence de I'~missivit~ des parois ~ sur les flux radiatifs et conductifs moyens dans le cas de la configuration e 4 et pour R a = 10 4 , Rc = 1, T = 1 etcoo = 0 . Figure 1 7. Effect of wall emissivityon conductive and radiative average fluxes for the configuration e 4, when R e = 10 4 , R e = 1,~-= 1 andwo = 0 . Influence de I'albedo de diffusion coo sur les flux conductifs Iocaux dans le cas de la configuration R a = 10 4 , R c = 1, ~ - = I e t c = 1. a. Cylindre Cylindre interne. Figure 18. Influence o f scattering albedo on conductive and radiative flux distributions for the configuration e 4, when R a = 10 4 , Rc = 1, T = I e t ~ = 1. a. Outer cylinder, b. Inner cylinder. conduction ou par rayonnelnent, le transfert de chaleur au niveau des deux parois est peu influence, en allure et en quantitd, par la variation de l'albddo de diffusion. Toutefois, notons que e'est au niveau du eylindre externe et sur le flux eonductif local que cette influence est maximale. Comme indiqu~ dans le tableau III, plus le milieu est diffusant, plus l'~coulement est intense dans la moitid dtroite de l'espace annulaire et moins il l'est dans l'autre moitid. Lorsque wo passe de 0 h 0,9, m a x o diminue de 25,5 % et [min ~1 double. ....... Flu~¢onduetifmoyen -Flux mditttif moy=l ~'3 Figure 18. radiatifs et e 4 et pour externe, b. 4. CONCLUSION Nous avons ~tudi6 le couplage r a y o n n e m e n t convection naturelle ~ l'int6rieur d ' u n milieu gris qui ~met, absorbe et diffuse isotropiquement le rayonnement. Les simulations num6riques ont 6t6 ex~cut~es pour P r = 0,7, Ra < 2.10 5 et un para~n~tre de couplage rayonnement--conduction variant entre zdro et l'infini. 421 M.N, Borjini et al. L'utilisation des coordonn6es bicylindriques permet d'examiner le cas d'un espace annulaire d61imit6 par deux cylindres exeentriques isothermes, ainsi que celui d'un espace d61imit6 par deux cylindres coneentriques et deux plans diam6traux, avee des parois adiabatiques ou isothermes. Le transfert radiatif peut jouer un r61e aussi bien stabilisant que d6stabilisant sur l'6coulement. Dans le cas d'un espaee annulaire d'axe horizontal, le rayoimement intensifie l'6coulement dans la moiti6 inf6rieure de l'espaee annulaire. Dans celui d'un seeteur bidimensionnel dont les parois sont g temp6ratures impos6es, les lignes isothermes n'dpousent la forme des parois (pour R~ = c~) qu'au voisinage imm6diat de eelles-ci. Pour un secteur avec des parois isothermes, le rayonnement stabilise l'6coulement. Lorsque l'enceinte pr6sente des parois adiabatiques, aucune convergence n'est possible pour les grandes valeurs de R~. Le transfert de chaleur s'effeetue, /~ 5 % pr6s, par rayonnement seul pour/~c _> 100 et par convection seule p o u r / ~ < 0,01. Lorsque le param~tre de couplage rayonnement conduction augmente, le transfert de chaleur augmente, l'6coulement s'intensifie surtout dans la moiti6 inf6rieure de l'espace anlmlaire, off le fluide s'6chauffe davantage. En raison de la proportionnalit6 k T 4 de la puissance radiative 6raise, l'impact du rayonnement sur le transfert de chMeur est plus significatif au niveau de la paroi ehaude qu'au niveau de la paroi froide. L'6paisseur optique du milieu semi-transparent et l'6missivit6 des parois des deux cylindres exercent une grande influence sur le transfert de chaleur au niveau des parois. La d6pendance du flux radiatif vis-k-vis de l'6paisseur optique est exponentielle ; celle des flux radiatif et conductif vis-g-vis de l'6missivit6 des parois est lin6aire. L'6coulement est assez sensible k la variation de ces deux param~tres. L'alb6do de diffusion a une influence relativement faible sur le transfert de ehaleur, mais assez importante sur l'intensit6 de l'6coulement. L'analyse des diff6rentes configurations 6tudides met en 6videnee la complexit6 des interactions entre le rayonnement et la convection naturelle, qui font appel 'h deux types de transfert de ehaleur diff6rents. Aucune conclusion g6n6rale concernant la stabilit6 de l'6coulement ne peut 6tre tir6e, Par sa flexibilit6 et sa faeult6 de conserver les bilans, la m6thode des volumes finis, qui permet de r6soudre 422 l'6quation du transfert radiatif, est un outil num6rique puissant et parfaitement compatible avec eeux utilis6s pour la r6solution des probl6mes de convection. Son 0xtaptation aux coordonn6es bicylindriques ne pr6sente pas de difficult6s particuli6res. Toutefois~ comrne la m6thode des ordonn6es discr6tes, elle souffre du probl~me de ,,l'effet de rayon,,. RI~FI~RENCES [1] Chang L.C., Yang K.T., Lloyd J.R., Radiation-natural convection interactions in two-dimensional complex enclosures, J. Heat Trans.-T. ASME 105 (1983) 89-95. [2] Desrayaud G., Lauriat G., Natural convection of a radiating fluid in a vertical layer, J. Heat Trans.-T. ASME 107 (1985) 710-712. [3] Webb B.W., Viskanta R., Radiation-induced buoyancydriven flow in rectangular enclosures: experiment and analysis, J. Heat Trans.-T. ASME 109 (1987) 427-433. [4] Fusegi T., Farouk B., Laminar and turbulent natural convection-radiation interactions in a square enclosure filled with a nongray gas, Numer. Heat Tr. 15 (1989) 303.-322. 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The medium is considered as a gray, emitting, absorbing, and isotropically scattering gas, and the walls are supposed to be diffusely reflecting and emitting surfaces. It assumed t h a t the flow is steady laminar with no-slip conditions at the walls, the physical properties are constant, the Boussinesq approximation is valid, and the viscous dissipation is negligible. For the annular space the t e m p e r a t u r e s of both cylinders are constant. The inner cylinder is heated and the outer cylinder is cooled. For the annular sector different b o u n d a r y conditions are studied. The vorticity--~stream flmction formulation, written in a two-cylindrical coordinate system, is used. The new finite volume m e t h o d (FVM) to predict radiant heat transfer in participating medium is conceptually applied with the c o m p u t a t i o n a l control-volume grids used to compute fluid flow and convective heat transfer. The Power-Law scheme is used to discritize the convective terms in the governing equations, and the Step scheme is used to spatial discritize the intensity. To solve the resulting nonlinear algebraic equations, the successiveover-relaxation iterating scheme is applied. The effects of the b o u n d a r y conditions (for annular sectors) and the position of inner cylinder (for annular spaces) on the intensity and the stability of the flow are analyzed. Numerical solutions are obtained for P r = 0.7, Ra <_2-105, and the radiation-conduction p a r a m e t e r ranging from 0 to oc, four different eccentric positions of the inner cylinder and three different b o u n d a r y conditions on the walls of the sector. R.esults are presented in the form of t e m p e r a t u r e distributions, local and overall heat transfer, and contours of the stream function. C1. m The presence of radiation has a great influence on the p a t t e r n s of flow and t e m p e r a t u r e as well as heat transfer. W i t h i n about 5 %, heat transfer is effectuated by convection only for P~ _<0.01 and by radiation only for R~ _> 100. W h e n the radiation conduction p a r a m e t e r rises, the heat transfer increases, and the flow intensifies principally in tile lower part of the annular space. For an annular sector with isothermal walls, radiation stabilizes tile flow. It destabilizes it if the enclosure presents adiabatic walls. Because of the radiative emissive power t h a t is proportional to T 4, the influence of radiation on heat transfer is more significant on the inner cylinder t h a t on the outer cylinder. Medium optical thickness and wall emissivity exert an i m p o r t a n t influence on heat transfer on the walls. The dependence of radiative transfer on optical ~hickness is exponential and t h a t of radiative and conductive fluxes on wall emissivity is linear. The flow is sensitive enough to these parameters. The scattering albedo influences heat transfer relatively little while it affects the flow more considerably. Thanks to its flexibility and its faculty to conserve the balance of radiant energy, the use of the finite volume method, to resolve the radiative transfer equation, is a powerful numerical tool perfectly compatible with those used for convective problems. Its a d a p t a t i o n to the bicylindrical coordinates does not present a particular difficulty. However, and like the discrete ordinates method, it presents the 'ray effect' problem. [] 423 e" i I m m m 0