Toppling Criteria of Rigid Bodies to Near – Fault Ground Motions

Κριτήρια Ανατροπής Στερεού Σώµατος σε Σεισµικές Κινήσεις Κοντινού Πεδίου Toppling Criteria of Rigid Bodies to Near – Fault Ground Motions ΒΟΓΙΑΤΖΑΚΗ, E. ΒΑΧΑΒΙΩΛΟΣ, Γ. ΜΥΛΩΝΑΚΗΣ, Γ. ΨΥΧΑΡΗΣ, Ι.Ν. ΒΑΜΒΑΤΣΙΚΟΣ, ∆. ∆ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Μεταδιδάκτωρ Ερευνήτρια, Ι.Β. ΑΤΕ Πολιτικός Μηχανικός Μ∆Ε, Γνώµων Κατασκευές ΑΕ ∆ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Καθηγητής Π.Π. ∆ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Καθηγητής ΕΜΠ, ∆ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Λέκτορας ΕΜΠ ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Επανεξετάζεται το πρόβληµα του λικνισµού απλά εδραζόµενου στερεού σώµατος σε επίπεδο τριβής χωρίς συνοχή, υποκείµενου σε σεισµική κίνηση κοντινού πεδίου, µε σκοπό την εύρεση απλών κριτηρίων ανατροπής (ή µη ανατροπής). Λαµβάνονται υπόψη 180 σεισµικές εδαφικές κινήσεις, 5 διαφορετικά µεγέθη στερεών σωµάτων και 5 λόγοι λυγηρότητας – δηλαδή πάνω από 4500 διαφορετικά προβλήµατα απόκρισης για το σύνολο των διεγέρσεων, τα οποία καλύπτουν ένα µεγάλο εύρος παραµέτρων πρακτικού ενδιαφέροντος. Εξάγονται χρήσιµα συµπεράσµατα για την ανατροπή του σώµατος. ABSTRACT: The rocking response of a simply supported block on a frictional, cohessionless rigid plane under near – fault seismic excitation is revisited, with the aim of developing simple overturning criteria. To this end, 180 near-fault earthquake recordings, 5 block sizes and 5 slenderness angles are considered – leading to over 4500 cases, which cover a wide range of parameters of practical interest. Useful conclusions are drawn as to the overturning of rigid bodies. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Με αφετηρία την κλασική δηµοσίευση του Housner (1963), η λικνιστική απόκριση απλά εδραζόµενων στερεών σωµάτων σε σεισµικές διεγέρσεις έχει προσελκύσει το ενδιαφέρον πλήθους ερευνητών. Παρά τη φαινοµενική απλότητα του προβλήµατος, ο υπολογισµός της απόκρισης είναι ιδιαίτερα απαιτητικός λόγω της µη-γραµµικής φύσης των εξισώσεων κίνησης, της απώλειας ενέργειας κατά την κρούση και του θετικού πόλου του διαφορικού τελεστή σε χώρο φάσης, ο οποίος οδηγεί σε εγγενώς ασταθή συµπεριφορά. Ελάχιστες περιπτώσεις έχουν επιλυθεί πλήρως, κυρίως για απλούς παλµούς επιτάχυνσης διάρκειας µισού κύκλου (Housner 1964, Shi et al. 1996, Voyagaki et al. 2013). Οι διαθέσιµες αναλυτικές λύσεις για παλµούς διάρκειας πλήρους κύκλου που παρέχουν ακριβή ή προσεγγιστικά κριτήρια ανατροπής είναι ακόµα πιο περιορισµένες (Dimitrakopoulos & DeJong 2012, Voyagaki et al. 2014). Ο προσδιορισµός κριτηρίων ανατροπής για πραγµατικές καταγραφές είναι ιδιαίτερα δύσκολος, αφού σε αυτή την περίπτωση η ανατροπή ή µη του σώµατος εξαρτάται από τις λεπτοµέρειες της διέγερσης (Yim et al. 1980, Ishiyama 1982, Psycharis & Jennings 1983, Spanos & Koh 1984, Makris & Vassiliou 2012). Με αφετηρία τα παραπάνω, στην παρούσα εργασία µελετάται η απλούστερη δυνατή µορφή του προβλήµατος που αφορά τον λικνισµό στερεού σώµατος σε απλή έδραση επί ανένδοτης βάσης, η οποία διεγείρεται από οριζόντια σεισµική κίνηση µε τη µορφή επιβαλλόµενης επιτάχυνσης, µε σκοπό την εξαγωγή ενός γενικού κριτηρίου ανατροπής για σεισµούς εγγύς πεδίου. Συγκεκριµένα, επανεξετάζεται το πρόβληµα του λικνισµού σε δύο διαστάσεις, απλά εδραζόµενου στερεού σώµατος σε επίπεδο τριβής χωρίς συνοχή, υποκείµενο σε σεισµική κίνηση κοντινού πεδίου, µε σκοπό την εύρεση απλών κριτηρίων ανατροπής (ή µη ανατροπής). Για τον σκοπό αυτό λαµβάνονται υπόψη 180 σεισµικές εδαφικές κινήσεις κοντινού πεδίου, οι οποίες εµπεριέχουν παλµούς ταχύτητας και επιτάχυνσης κυρίως στην κάθετη στο ρήγµα συνιστώσα της καταγραφής. Εξετάζονται 5 διαφορετικά µεγέθη στερεών σωµάτων και 5 λόγοι λυγηρότητας – δηλαδή πάνω από 4500 διαφορετικά προβλήµατα απόκρισης για το σύνολο των διεγέρσεων, τα οποία καλύπτουν ένα µεγάλο εύρος παραµέτρων πρακτικού ενδιαφέροντος. Τα αποτελέσµατα κανονικοποιούνται βάσει της µέγιστης εδαφικής επιτάχυνσης, της µέγιστης εδαφικής ταχύτητας, και της δεσπόζουσας περιόδου της σεισµικής κίνησης, όπως αυτές υπολογίζονται από εδραιωµένες µεθόδους της βιβλιογραφίας. 2. ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Για τη µελέτη της λικνιστικής απόκρισης σε οριζόντια σεισµική διέγερση, θεωρούµε ένα απόλυτα στερεό ορθογωνικό σώµα, διαστάσεων 2h x 2b, το οποίο περιγράφεται από τη γωνία ραδινότητας α και την απόσταση R του κέντρου βάρους από τον πόλο περιστροφής P, εδραζόµενο σε οριζόντιο επίπεδο µε τριβή αλλά χωρίς συνοχή, διεγειρόµενο µε επιτάχυνση u&&g (t ) , όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα (Σχήµα 1). Ο συντελεστής τριβής θεωρείται ικανά µεγάλος για την αποφυγή ολίσθησης. Αρχικώς, για µικρές τιµές της εδαφικής επιτάχυνσης, το σώµα βρίσκεται σε ηρεµία ως προς το επίπεδο της βάσης, ενώ η αναπτυσσόµενη αδρανειακή δύναµη στο κέντρο βάρους του σώµατος ισούται µε FI = mu&&g (t ) . Όταν η ροπή της αδρανειακής δύναµης περί το σηµείο P, MI = FI h, υπερβεί τη ροπή ευστάθειας λόγω ίδιου βάρους ΜG = mgb, το σώµα ανασηκώνεται από την βάση έδρασης και περιστρέφεται περί τον πόλο περιστροφής P. Θεωρώντας ότι τη χρονική στιγµή t το στερεό σώµα έχει περιστραφεί γύρω από το P κατά γωνία θ λόγω οριζόντιας σεισµικής επιτάχυνσης u&&g (t ) , η περιστροφή αντιστοιχεί σε θετική γωνία στροφής, δηλ. θ > 0, για στροφή κατά την ωρολογιακή φορά. Σχήµα 1. Λικνιζόµενο στερεό σώµα σε απαραµόρφωτη βάση. Figure 1. Rocking block on a rigid base. Οι δράσεις που δηµιουργούν ροπές περί τον πόλο περιστροφής είναι τρείς: το βάρος του σώµατος mg, (που στην αρχή δρά ως ροπή ευστάθειας ενώ για µεγάλες γωνίες απόκρισης µετατρέπεται σε ροπή ανατροπής), η εξωτερική δυναµική φόρτιση FI και η αδράνεια του σώµατος που δηµιουργεί ροπή περί το σηµείο P. Λαµβάνοντας υπόψη τη µεταβολή στην γεωµετρία αναφορικά µε τους µοχλοβραχίονες των δυνάµεων (το οποίο αντιστοιχεί σε ανάλυση 2ης τάξης), καταλήγουµε στις εξισώσεις κίνησης Ioθ&& + mgR sin(α − θ ) = +mu&&g R cos(α − θ ) , θ(t) > 0 (1α) Ioθ&& − mgR sin(α + θ ) = +mu&&g R cos(α + θ ) , θ(t) < 0 (1β) όπου Io η αδρανειακή ροπή περί τον πόλο περιστροφής P ή P’ (για ορθογωνική γεωµετρία, Io = 4 /3mR2). Το θετικό πρόσηµο στο δεξιό µέλος της εξίσωσης διασφαλίζει θετική λικνιστική απόκριση υπό θετική εδαφική επιτάχυνση όπως υποδηλώνει το σύστηµα αναφοράς του Σχήµατος 1. Η αλλαγή του πόλου περιστροφής συνοδεύεται από απώλεια ενέργειας η οποία περιγράφεται µέσω του συντελεστή αποκατάστασης ε που ισούται µε τον λόγο των γωνιακών ταχυτήτων του στερεού µετά και πρίν την κρούση (Εξ. 2). ε = θ&i + / θ&i − (2) Αναφορικά µε τη γεωµετρία του στερεού σώµατος, εξετάστηκαν πέντε γωνίες ραδινότητας α και πέντε ακτίνες R, οι τιµές των οποίων δίνονται στον Πίνακα 1. Πίνακας 1. Γεωµετρικά χαρακτηριστικά λικνιζόµενου στερεού που εξετάστηκαν. Table 1. Geometrical properties of the systems analysed. Γωνία α (μοίρες) 2 5 10 15 20 Ακτίνα R (m) 1 2 5 10 20 Αναφορικά µε τις ιδιότητες της διέγερσης, επιλέχθηκαν 91 σεισµικές καταγραφές (µε µία ή δύο οριζόντιες συνιστώσες) µε χαρακτηριστικά πρόσω κατευθυντικότητας (Baker, 2007) που αντιστοιχούν σε 180 παλµικά επιταχυνσιογραφήµατα. Στο σύνολο αυτό των εδαφικών κινήσεων, η µέγιστη εδαφική επιτάχυνση Ag κυµαίνεται από 0.09g έως 1.23g, ενώ η µέγιστη εδαφική ταχύτητα Vg από 10m/sec έως 191.1m/sec. To αδιάστατο µέγεθος σεισµικής ροπής Mw (moment magnitude) κυµαίνεται από 5 έως 7.6. 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΑΝΑΛΥΣΕΙΣ Για τις αριθµητικές αναλύσεις αναπτύχθηκε κώδικας Matlab που επιλύει τις µη-γραµµικές εξισώσεις λικνισµού µέσω µιας µεθόδου Runge-Kutta µεταβλητής τάξης για τυχαία χρονοιστορία διέγερσης, ως συνεχείς συναρτήσεις. Με βάση τη δηµοσίευση των Prieto et al. (2004), εξήχθη µια συµπαγής µορφή της εξίσωσης κίνησης η οποία περιλαµβάνει τις µηγραµµικότητες λόγω: (1) αλλαγής πόλου περιστροφής, (2) απώλειας ενέργειας κατά την κρούση και σχετικής ασυνέχειας στην τιµή της γωνιακής ταχύτητας λικνισµού, και (3) γεωµετρικές µη-γραµµικότητες που εκφράζονται µέσω των τριγωνοµετρικών όρων της Εξ. (1), η οποία µπορεί να γραφεί σε αδιάστατη µορφή ως x&& + f2 f2 sgn ( x ) sin α (1 − x sgn ( x ) )  = cos α (1 − x sgn ( x ) )  ψ&& (τ ) + ln ( ε ) x& 2δ ( x ) sgn ( x& ) α η (3) όπου x=θ/α η κανονικοποιηµένη γωνία στροφής, ψ&&(τ ) = u&&g (τ ) / Ag η χρονοιστορία της εδαφικής επιτάχυνσης κανονικοποιηµένη ως προς το εύρος της, η η αντίσταση σε λικνισµό (ένας δείκτης ραδινότητας ή εύρους της διέγερσης) που ισούται µε το λόγο της γωνίας ραδινότητας α ως προς την µέγιστη εδαφική επιτάχυνση σε όρους g η = α ⋅ g / Ag (4) και f η αδιάστατη συχνότητα (παράµετρος κλίµακας/µεγέθους του λικνιζόµενου σώµατος) f = p Tp / 2 (5) Με p συµβολίζεται η χαρακτηριστική συχνότητα του συστήµατος (για ορθογωνική γεωµετρία p = 3g / 4R ), και Τp η δεσπόζουσα περίοδος της διέγερσης η οποία υπολογίζεται σύµφωνα µε τις µεθόδους των Mavroeidis et al. (2004) και Baker (2007). Τιµές για τις δεσπόζουσες περιόδους είναι διαθέσιµες στις δηµοσιεύσεις των Voyagaki et al (2014) και Βαχαβιώλος (2013), και δεν επαναλαµβάνονται εδώ χάριν συντοµίας. Αξίζει να σηµειωθεί ότι µεγάλες τιµές της χαρακτηριστικής συχνότητας p αντιστοιχούν σε µικρό µέγεθος λικνιζόµενου σώµατος που εν γένει ανατρέπεται ευκολότερα. Αντίστοιχα µεγάλες τιµές της δεσπόζουσας περιόδου διέγερσης αντιστοιχούν σε µεγαλύτερη διάρκεια των παλµών επιτάχυνσης και αντίστοιχα σε ευκολότερη ανατροπή. Συνεπώς όσο µεγαλύτερη είναι η παράµετρος f τόσο περισσότερα συστήµατα αναµένεται να ανατραπούν. Με τ = t / (Τp / 2) συµβολίζεται ο αδιάστατος χρόνος, κανονικοποιηµένος ως προς την δεσπόζουσα περίοδο της διέγερσης. Από την Εξ. (3) προκύπτει ότι οι παράµετροι του προβλήµατος έχουν περιοριστεί στις εξής τέσσερις: ε, α, f και η. Υποβάλλοντας τους 25 συνδυασµούς γεωµετρίας του Πίνακα 1 στις 180 σεισµικές κινήσεις που προαναφέρθηκαν, προκύπτουν 4500 συνδυασµοί απόκρισης για κάθε τιµή του συντελεστή αποκατάστασης ε, που καλύπτουν ένα µεγάλο εύρος τιµών για την αντοχή σε ανύψωση η από 0.03 έως 1 (τιµές του συντελεστή η > 1 που αντιστοιχούν σε µη λικνιζόµενα συστήµατα δεν λαµβάνονται υπόψη), και για τη διάρκεια του παλµού f από 0.12 έως 17.50. 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Tα αποτελέσµατα των αριθµητικών αναλύσεων απεικονίζονται στο Σχήµα 2 σε χώρο η, f για συντελεστή αποκατάστασης ε=0.80 και τιµές Τp σύµφωνα µε τις µεθόδους των Baker (2007) και Mavroeidis et al (2004). Με λευκό χρώµα συµβολίζονται τα συστήµατα που δεν ανατρέπονται, ενώ µε κόκκινο χρώµα αυτά που ανατρέπονται. Παρατηρούµε ότι: (1) όπως στην περίπτωση των απλών παλµών (Voyagaki et al 2013, 2014) τα συστήµατα στο πάνω αριστερά τµήµα των γραφηµάτων δεν ανατρέπονται, (2) τα συστήµατα που ανατρέπονται έχουν µεγάλες χαρακτηριστικές συχνότητες και µικρή αντοχή σε σχέση µε τη διέγερση, (3) υπάρχουν συστήµατα µε τα συγκεκριµένα χαρακτηριστικά που δεν ανατρέπονται. Μια πιθανή ερµηνία για τη συγκεκριµένη συµπεριφορά είναι η παρουσία υψίσυχνων παλµών µεγάλης επιτάχυνσης στην αρχή της χρονοιστορίας µε αποτέλεσµα την έναρξη λικνισµού χαµηλού εύρους και µεγάλου αριθµού κρούσεων πρίν την άφιξη των κυρίως παλµών. Ένα λογικό άνω όριο των συστηµάτων που ανατρέπονται δίνεται από την εξίσωση ηw = (1 − e−f )2 (6α) η οποία περιγράφεται µε µπλε γραµµή στο Σχήµα 3α. Για µεγάλα η το κριτήριο γίνεται πολύ συντηρητικό και µπορεί να αντικατασταθεί από την Εξίσωση (6β) ηw ≅ 3 / 4 (6β) δεδοµένου ότι δεν υπάρχουν συστήµατα που ανατρέπονται αριστερά και πάνω από αυτές τις γραµµές. Η ακρίβεια του συγκεκριµένου κριτηρίου εξαρτάται από το µέγεθος του δείγµατος που εξετάζουµε σε όρους αριθµού σεισµικών κινήσεων και συνδυασµών λικνιζόµενων συστηµµάτων. Για παράδειγµα οι Voyagaki et al (2014) λαµβάνοντας υπόψη µόνο το 7% του παρόντος δείγµατος (320 συνδυασµούς) κατέληξαν στο κριτήριο που περιγράφεται µε µωβ καµπύλη στο Σχήµα 3α και δίνεται από την εξίσωση f 2 ηw = 2 − ln[2e 2 − 1] ≤ 3 / 4 & fw ≥ 3 / 4 f (7) Αντίστοιχα, για 1600 συνδυασµούς ο Βαχαβιώλος (2013) εξήγαγε ένα κριτήριο παραβολικής µορφής (πράσινη καµπύλη στο Σχήµα 3α) ηw = −0.032f 2 + 0.265f + 0.169 ≤ 2 / 3 & fw ≥ 0.4 (α) (8) (β) Σχήµα 2. Αριθµητική διερεύνηση ανατροπής λικνιζόµενου σώµατος υπό πραγµατικές καταγραφές κοντινού πεδίου. Κανονικοποίηση των αποτελεσµάτων µε τη µέγιστη εδαφική επιτάχυνση Αg. Tp από (α) Baker (2007), (β) Mavroeidis et al (2004). Με κόκκινο χρώµα συµβολίζονται τα συστήµατα που ανατρέπονται, ενώ µε λευκό τα ευσταθή συστήµατα (ε = 0.8). Figure 2. Numerical investigation of overturning to near-fault earthquake recordings. Normalization of results with peak ground acceleration Αg. Tp after (α) Baker 2007, (β) Mavroeidis et al (2004). Red bullets denote overturning; white bullets denote surviving systems (ε = 0.8) Τα παραπάνω κριτήρια αντιστοιχούν σε ένα άνω όριο για τα συστήµατα που ανατρέπονται. Μπορούµε, δηλαδή, µέσω των Εξ. (6)-(8), να αποκλείσουµε την πιθανότητα ανατροπής των ικανά µεγάλων ή ανθεκτικών συστηµάτων, όπως αυτά ορίζονται από τις εκφράσεις στις εξισώσεις (4) και (5). Ωστόσο, το αντίθετο δεν ισχύει καθώς υπάρχουν αρκετά συστήµατα που επιβιώνουν (για τους λόγους που προαναφερθηκαν) που απεικονίζονται κάτω από αυτά τα όριο (Σχήµα 3β). Οι εξισώσεις (6) έως (8) µπορούν να εφαρµοσθούν ανεξαρτήτως µεθόδου υπολογισµού της δεσπόζουσας περιόδου όπως φαίνεται στο Σχήµα 4. Σχήµα 3. Προτεινόµενα όρια ανατροπής: (α) δεν υπάρχουν συστήµατα που ανατρέπονται πάνω από το όριο ανατροπής, (β) υπάρχουν συστήµατα που επιβιώνουν κάτω από το όριο ανατροπής (Τp από Baker (2007), ε = 0.8). Figure 3. Safety walls: (a) no system will overturn above safety wall, (b) systems may survive rocking below wall (Τp after Baker (2007), ε = 0.8) Σχήµα 4. Προτεινόµενα όρια ανατροπής: (α) δεν υπάρχουν συστήµατα που ανατρέπονται πάνω από το όριο ανατροπής, (β) υπάρχουν συστήµατα που επιβιώνουν κάτω από το όριο ανατροπής (Τp από Mavroeidis et al (2004), ε = 0.8). Figure 4. Safety walls: (a) no system will overturn above safety wall, (b) systems may survive rocking below wall (Τp after Mavroeidis et al (2004), ε = 0.8) Ακολούθως, τα αποτελέσµατα της ανάλυσης παρουσιάζονται σε όρους ισοδύναµης αντίστασης σε ανύψωση η* που αντιστοιχεί σε κανονικοποίηση της γωνίας ραδινότητας α µε την µέγιστη εδαφική επιτάχυνση ενός ισοδύναµου ορθογωνικού παλµού, αg,rect, διάρκειας Τp/2 και ταχύτητας ίσης µε τη µέγιστη του σεισµικού σήµατος Vg, και ισούται µε: η* = α / αg,rect = α / [2 Vg /(Tp g)] (9) Tα αποτελέσµατα των αριθµητικών αναλύσεων βάσει αυτής της εναλλακτικής κανονικοποίησης απεικονίζονται στο Σχήµα 5. Σε αντιστοιχία µε το προηγούµενο σχήµα, µε πράσινο χρώµα συµβολίζονται τα συστήµατα που δεν ανατρέπονται, ενώ µε κόκκινο χρώµα αυτά που ανατρέπονται. Παρατηρούµε ότι η συγκεκριµένη κανονικοποίηση είναι πλεονεκτικότερη από την άποψη ότι µας επιτρέπει να ορίσουµε απλούστερες και αρκετά σαφείς περιοχές ανατροπής και ευστάθειας µέσω απλών γραµµικών σχέσεων. Όπως φαίνεται στο Σχήµα 5 µπορούµε να ξεχωρίσουµε µε αρκετή σαφήνεια τέσσερις επιµέρους περιοχές: (1) την περιοχή ανατροπής (όπου σχεδόν όλα τα συστήµατα ανατρέπονται) (2) την περιοχή υψηλού κινδύνου (όπου τα περισσότερα συστήµατα ανατρέπονται) (3) την περιοχή χαµηλού κινδύνου (όπου τα περισσότερα συστήµατα επιβιώνουν) (4) την περιοχή ευστάθειας (όπου σχεδόν κανένα σύστηµα δεν ανατρέπεται). Τα όρια αυτών των περιοχών περιγράφονται από την παρακάτω απλή σχέση αναλογίας: η*= χ f (10) Η τιµή χ = 0.3 αντιστοιχεί στο όριο µεταξύ των περιοχών της σχεδόν σίγουρης ανατροπής και του υψηλού κινδύνου, χ = 0.8 στο όριο µεταξύ των περιοχών υψηλού και χαµηλού κινδύνου, και χ = 2 στο όριο µεταξύ των περιοχών χαµηλού κινδύνου και ευστάθειας. Η συγκεκριµένη κανονικοποίηση διαχωρίζει καλύτερα τα ευσταθή από τα ανατρεπόµενα συστήµατα συγκριτικά µε την αντίστοιχη που βασίζεται στην επιτάχυνση, και συνεπώς κρίνεται ως πιο ορθολογική. (α) (β) Σχήµα 5. Αριθµητική διερεύνηση ανατροπής λικνιζόµενου σώµατος υπό πραγµατικές καταγραφές κοντινού πεδίου. Κανονικοποίηση των αποτελεσµάτων µε τη µέγιστη εδαφική ταχύτητα Vg. Tp από (α) Baker (2007), (β) Mavroeidis et al (2004). Με κόκκινο χρώµα συµβολίζονται τα συστήµατα που ανατρέπονται, ενώ µε λευκό τα ευσταθή, (ε = 0.8). Figure 5. Numerical investigation of overturning under near-fault seismic motions. Normalization of results with peak ground velocity Vg. Tp after (α) Baker 2007, (β) Mavroeidis et al (2004). Red colour denotes overturning, white colour denotes safety (ε = 0.8) 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Από τις αριθµητικές αναλύσεις για πραγµατικές καταγραφές εγγύς πεδίου προέκυψαν απλά κριτήρια για τα συστήµατα που ανατρέπονται. Η ύπαρξη υψηλών εδαφικών επιταχύνσεων στην αρχή της σεισµικής καταγραφής, οδηγεί αναπόφευκτα σε πολλαπλές κρούσεις και γωνιακή ταχύτητα µε τυχαίο πρόσηµο πριν την άφιξη του κυρίως παλµού. Αυτό µπορεί να είναι ευεργετικό και να οδηγήσει σε ευστάθεια ακόµη και για συστήµατα χαµηλής αντοχής και υψηλής συχνότητας. Τα κριτήρια των Εξισώσεων (6), (7) και (8) εξασφαλίζουν την ευστάθεια καθώς δεν βρέθηκαν συστήµατα που ανατρέπονται πέρα από αυτά τα όρια. Μέσω αυτών των παρατηρήσεων, οδηγούµαστε στο συµπέρασµα ότι κινήσεις εγγύς πεδίου µε αδιάστατη επιτάχυνση Αg /g µικρότερη του 75% της γωνίας ραδινότητας α δεν οδηγούν σε ανατροπή (Εξ. 6 και 7). Επίσης, κινήσεις εγγύς πεδίου µε δεσπόζουσα περίοδο µικρότερη του 40% της χαρακτηριστικής περιόδου του λικνιζόµενου σώµατος δεν προκαλούν ανατροπή (Εξ. 8). Για όλες τις υπόλοιπες περιπτώσεις, τα συστήµατα που ανατρέπονται φράσσονται από µια απλή καµπύλη η µορφή της οποίας µπορεί να είναι παραβολική, εκθετική ή σιγµοειδής (Εξ. 6-8). Η ακρίβεια των κριτηρίων φαίνεται να εξαρτάται από το µέγεθος του δείγµατος που λαµβάνεται υπόψη στις αναλύσεις. Αντικαθιστώντας τον δείκτη η µε ένα ισοδύναµο δείκτη αντίστασης σε ανύψωση η*, ο οποίος προκύπτει από κανονικοποίηση µε τα Vg και Tp της χρονοιστορίας, µπορούµε να διαχωρίσουµε τη πιθανότητα ανατροπής ενός συστήµατος σε 4 περιοχές: (1) Ασφαλής Περιοχή (Safe Area), (2) Περιοχή Χαµηλού Κινδύνου (Low Risk Area), (3) Περιοχή Υψηλού Κινδύνου (High Risk Area), και (4) Περιοχή Ανατροπής(Overturning Area). Οι περιοχές αυτές διαχωρίζονται βάσει του αδιάστατου συντελεστή χ (= 0.3, 0.8, 2) της εξίσωσης (10). Η συγκεκριµένη κανονικοποίηση διαχωρίζει καλύτερα τα ευσταθή από τα ανατρεπόµενα συστήµατα συγκριτικά µε την αντίστοιχη που βασίζεται στην επιτάχυνση, και συνεπώς κρίνεται ως πιο ορθολογική. 6. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Η παρούσα έρευνα έχει συγχρηµατοδοτηθεί από την Ελλάδα και την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) µέσω του Επιχειρησιακού Προγράµµατος “Ανάπτυξη Ανθρώπινου ∆υναµικού” του Εθνικού Στρατηγικού Πλαισίου Αναφοράς (ΕΣΠΑ) 2007-2013 – ∆ράση: «Ενίσχυση της απασχόλησης ερευνητών σε επιχειρήσεις» 7. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Βαχαβιώλος, Γ. (2013), “Έλεγχος ανατροπής στερεού σώµατος σε σεισµικές κινήσεις κοντινού πεδίου” ∆ιπλωµατική Εργασία Μεταπτυχιακού ∆ιπλώµατος Ειδίκευσης, ΕΑΠ. Baker, W. J. (2007), "Quantitative classification of near-fault ground motions using wavelet analysis" Bulletin of the Seismological Society of America, Vol. 97, No. 5, pp. 1486–1501. Dimitrakopoulos, E., DeJong, M. (2012) “Revisiting the rocking block: closed-form solutions and similarity laws” Proc. of the Royal Society. Vol. 468, No. 2144, pp. 2294-2318. Housner, G.W. (1963) "The behavior of inverted pendulum structures during earthquakes" BSSA, Vol. 53 No. 2, pp. 403-417. Ishiyama, Y. (1982), "Motions of Rigid Bodies and Criteria for Overturning by Earthquake Excitations". EESD, Vol. 10, pp. 635 – 650. Makris, N., Vassiliou, M.F. (2012). “Sizing the slenderness of free-standing rocking columns to withstand earthquake shaking.” Archive of Applied Mechanics, Vol. 82, pp.1497-1511. Mavroeidis, G., Dong, Papageorgiou, A. (2004). “Near-Fault Ground Motions & the Response of Elastic and Inelastic Single-Degree-of-Freedom (SDOF) Systems.” EESD. Vol. 33, No. 9, pp. 1023-1049. Prieto, F., Lourenço, P.B. & Oliveira, C.S. (2004). Impulsive Dirac-delta forces in the rocking motion. EESD. Vol. 33, No. 7, pp. 839–857. Psycharis, I.N. & Jennings, P.C. (1983). “Rocking of slender bodies allowed to uplift.” EESD. Vol. 11, pp. 57-76. Shi, B., Anooshehpoor, A., Zheng, Y. & Brune, J.N. (1996). “Rocking and overturning of precariously balanced rocks by earthquakes.” Bulletin of the Seismological Society of America. Vol. 86, No. 5, pp. 1364-1371. Spanos, P.D. & Koh, A.S. (1984). “Rocking of rigid bodies due to harmonic shaking.” Journal of Engineering Mechanics, ASCE. Vol. 110, No. 11, pp. 1627-1642. Voyagaki, E., Psycharis, I. N., Mylonakis, G. (2013). “Rocking Response & Overturning Criteria for Free Standing Rigid Blocks to Single – Lobe Pulses” SDEE, Vol. 46, pp. 85–95 Voyagaki, E., Psycharis I.N., Mylonakis, G. (2014). “Complex Response of a Rocking Block to a Full-Cycle Pulse.” Journal of Engineering Mechanics ASCE, doi: 10.1061/(ASCE)EM.1943-7889.0000712 Yim, C.S., Chopra, A., Penzien J. (1980) "Rocking Response of Rigid Blocks to Earthquakes", Earthquake Engineering & Structural Dynamics, Vol. 8, pp. 565–587. View publication stats