INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MORELIA DIVISIÓN DE ESTUDIOS PROFESIONALES DEPARTAMENTO DE METAL-MECÁNICA "ANÁLISIS DE LA VIBRACIÓN EN LA BASE DE UN SISTEMA OSCILANTE"

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MORELIA DIVISIÓN DE ESTUDIOS PROFESIONALES DEPARTAMENTO DE METAL-MECÁNICA TRABAJO DE INVESTIGACIÓN VIBRACIÓN EN LA BASE ANALISIS DE VIBRACIONES MECANICAS PRESENTA: OSCAR BALTAZAR GODINES TORRES (17121159) ASESOR: DR. JOSÉ NICOLAS PONCIANO MORELIA, MICHOACÁN MAYO 2020 Introducción En ocasiones los objetos oscilantes no se encuentran fijos a bases en reposo, debemos considerar el caso donde on objeto oscile sujeto a una base que oscile armónicamente debido a alguna excitación externa. Dicho fenómeno provocaría que el movimiento del objeto analizado desde algún punto de referencia sufra modificaciones en comparación a cuando la base es estática. En pocas palabras, se genera un desplazamiento relativo del objeto oscilante; y en consecuencia una velocidad y aceleración relativas también. Para nuestra suerte dichos desplazamientos y demás magnitudes físicas tienen un comportamiento periódico y ondulatorio, diferenciadas entre ellas por los distintos parámetros del sistema y las propiedades de los objetos analizados. (Este tipo de movimiento es muy parecido al aplicado en los sismógrafos). [3] En la fig. 1 se muestra de manera gráfica en un modelo esquemático dicho fenómeno vibratorio, el cual se considera la oscilación de la masa como 𝑥 (𝑡) y la oscilación de la base como 𝑦(𝑡) ambos movimientos dirigidos en el mismo eje (colineales o paralelas). Modelo Esquemático 𝑘 𝑚 𝑥 𝑏 𝑦 = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 Fig. 1. Modelo esquemático que teoriza el comportamiento dinámico del sistema con movimiento armónico de la base. Modelo Matemático Comenzaremos analizando el diagrama de la fig. 1 en cual notamos dos cosas interesantes, la deflexión total en el resorte; la cual está dada por 𝑥 − 𝑦, y la velocidad total en el amortiguador; definida por 𝑥̇ − 𝑦̇ , entonces podemos definir las fuerzas que actúan o aplican ambos como: 𝐹𝑅 = 𝑘(𝑥 − 𝑦) (1) 𝐹𝐴 = 𝑏(𝑥̇ − 𝑦̇ ) (2) De ahí se deduce que la ec. diferencial que define el movimiento es: 𝑚𝑥̈ + 𝑏(𝑥̇ − 𝑦̇ ) + 𝑘 (𝑥 − 𝑦) = 0 (3) Sabemos que: 𝑦 = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 ∴ 𝑦̇ = 𝐴𝜔𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 Sustituimos en (3). 𝑚𝑥̈ + 𝑏(𝑥̇ − 𝐴𝜔𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡) + 𝑘 (𝑥 − 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡) = 0 𝑚𝑥̈ + 𝑏𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 𝑏𝐴𝜔𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝑘𝐴𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 Por conveniencia y comodidad diremos que 𝐴 = 𝑌 (4) 𝑏𝐴𝜔𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝑘𝐴𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 = 𝑏𝑌𝜔𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝑘𝑌𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 = 𝐵𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝛼 ) 𝒎𝒙̈ + 𝒃𝒙̇ + 𝒌𝒙 = 𝑩𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒕 + 𝜶) Donde apoyados de un diagrama fasorial se sabe que: (𝟓) 𝐵 = 𝑌√𝑘 2 + (𝑏𝜔)2 𝛼 = 𝑡𝑎𝑛−1 (− 𝑏𝜔 ) 𝑘 Entonces si nos detenemos a analizar la ecuación (5) nos damos cuenta que el lado derecho de la expresión es muy parecido a la fuerza excitadora que aparecía en los distintos sistemas oscilantes, por lo que podemos aplicar la ecuación para el estado estable en el objeto de masa 𝑚 y escribirla de la siguiente manera, la cual sería la solución particular de la ecuación: 𝑥𝑝 (𝑡) = 𝑌√𝑘 2 + (𝑏𝜔)2 √(𝑘 − 𝑚𝜔 2 )2 + (𝑏𝜔)2 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝜑1 − 𝛼 ) (6) 𝜑1 = 𝑡𝑎𝑛−1 ( 𝑏𝜔 ) 𝑘 − 𝑚𝜔 2 Utilizando las relaciones trigonométricas del seno de una suma de ángulos en su argumento se llega lo siguiente: 𝑥𝑝 (𝑡) = 𝑋𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) Donde 𝑋 es la amplitud y 𝜑 el desfase, ambos están dados respectivamente por: 𝑋 𝑌√𝑘 2 + (𝑏𝜔)2 = 𝑌 𝑌√(𝑘 − 𝑚𝜔 2 )2 + (𝑏𝜔)2 ∴ 𝑋 √𝑘 2 + (𝑏𝜔)2 = = 𝑌 √(𝑘 − 𝑚𝜔 2 )2 + (𝑏𝜔)2 3 ( 𝝎 𝟏 + [𝟐𝜻 𝝎 ] 𝒏 𝟐 𝝎 𝟐 𝝎 𝟐 [𝟏 − ( ) ] + [𝟐𝜻 ] 𝝎𝒏 𝝎𝒏 𝑚𝑏𝜔 ) = 𝒕𝒂𝒏−𝟏 ( 𝜑 = 𝑡𝑎𝑛−1 ( 𝑘 [𝑘 − 𝑚𝜔 2 ] + (𝑏𝜔)2 𝟏+ 𝝎 𝟑 𝟐𝜻 [𝝎 ] [𝟒𝜻𝟐 𝒏 𝟏 𝟐 𝟐 ) 𝝎 𝟐 − 𝟏] [ 𝝎 ] 𝒏 ) (𝟕) (𝟖) Donde 𝜁 es la relación de amortiguamiento y 𝜔𝑛 la frecuencia natural. Ambas ecuaciones adimensionales nos facilitan el trabajo a la hora de graficar, ya que podemos reducir el número de variables a solo 2 de ellas. Podemos deducir tambien la solución completa al sistema, si aplicamos la suma de la solución general y la particular por el método de raíces para ec. diferenciales: 𝑚𝑝2 + 𝑘 + 𝑏𝑝 = 0 𝑝= −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑚𝑘 2𝑚 Podemos dejar todo en términos de relación de amortiguamiento y frecuencia natural. 𝒑 = −𝜻𝝎𝒏 ± √𝜻 − 𝟏 Por lo que la solución general estaría dada por: 𝒙𝒈 (𝒕) = 𝑿𝒐 𝒆−𝜻𝝎𝒏 𝒕 𝒔𝒆𝒏([√𝟏 − 𝜻]𝝎𝒏 𝒕 + 𝝋𝟎 ) La suma de ambas soluciones nos entrega la solución completa: 𝒙(𝒕) = 𝒙𝒈 (𝒕) + 𝒙𝒑 (𝒕) 𝒙(𝒕) = 𝑿𝒐 𝒆−𝜻𝝎𝒏𝒕 𝒔𝒆𝒏(√𝟏 − 𝜻𝝎𝒏 𝒕 + 𝝋𝟎 ) + 𝒀 𝝎 𝟐 𝟏 + [𝟐𝜻 𝝎 ] 𝒏 𝟐 𝟏 𝟐 𝝎 𝟐 𝝎 𝟐 ([𝟏 − (𝝎 ) ] + [𝟐𝜻 𝝎 ] ) 𝒏 𝒏 𝝎 𝟑 𝟐𝜻 [𝝎 ] 𝒏 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 + 𝒕𝒂𝒏−𝟏 ( ) 𝝎 𝟐 𝟏 + [𝟒𝜻𝟐 − 𝟏] [𝝎 ] 𝒏 ( ) La cual es solución de la ecuación diferencial y nos entrega la función de comportamiento del sistema. Graficas de respuesta Se utilizó el software graficador de Geogebra para poder simular la respuesta de la amplitud transmitida y del ángulo de fase respecto a varias relaciones de amortiguamiento, se simularon las ecuaciones obtenidas en la deducción del modelo matemático, a continuación se presentan los resultados obtenidos en las gráficas. 𝑋 = 𝑌 ( 𝝎 𝟏 + [𝟐𝜻 𝝎 ] 𝒏 [𝟏 − ( 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝝎 𝟐 𝝎 𝟐 ) ] + [𝟐𝜻 ] 𝝎𝒏 ) 𝝎𝒏 Fig. 2. Respuesta de la amplitud adimensional. 𝜑 𝜻=𝟎 𝝋 = 𝒕𝒂𝒏 𝜻 = 𝟎. 𝟏 −𝟏 𝑴 𝑿= 𝒎𝒓 𝜻 = 𝟎. 𝟐 𝝎 ]𝟑 𝟐𝜻 [𝝎 𝒏 𝝎 ]𝟐 [𝟒𝜻 − 𝟏] [ 𝟏 + 𝝎 ) ( 𝟐 𝒏 𝝎 𝟐 (𝝎 ) 𝒏 𝟐 𝟐 𝟐 √(𝟏 − [ 𝝎 ] ) + (𝟐𝜻 𝝎 ) 𝝎𝒏 𝝎𝒏 𝜻 = 𝟎. 𝟑 Fig. 3. Respuesta del ángulo de fase. Razón de frecuencias Transmisibilidad del desplazamiento X/Y Coeficiente de amortiguamiento 0.0 1 0.0 1.0 5.09 0.1 Observaciones Con cualquier razón de amortiguamiento cuando la frecuencia es 0 la transmisibilidad es 1. Cuando la frecuencia iguala a la frecuencia natural y la razón se vuelve 1, se alcanza el valor máximo de transmisibilidad a cualquier razón de amortiguamiento. En el caso de la razón de amortiguamiento 0, la transmisibilidad tiene a infinito cuando 1.414213 0.9999 0.2 2.0 0.432 0.3 3.5 0.511 1.0 las frecuencias se igualan, un fenómeno conocido como resonancia. En este valor de relación de frecuencias la transmisibilidad regresa al valor inicial de 1 (o un valor extremadamente cercano a 1), sin importar el valor de la relación de amortiguamiento. Empezamos a notar una reducción en el valor de la transmisibilidad con una taza de disminución inversa al valor de la razón de amortiguamiento, ya que si esta aumenta, la taza disminuye. Notamos que entre más crece más crece la razón de frecuencias, disminuye la transmisibilidad, al punto que podríamos decir que: 𝐥𝐢𝐦 𝑿 𝝎 𝒀 𝝎𝒏 →∞ =𝟎 Lo cual nos dice que se comportan de manera inversa. Así mismo notamos que con este valor de la razón de amortiguamiento en un valor mucho más grande de la razón de frecuencias le corresponde un valor de transmisibilidad más grande que el que tenía el factor anterior, lo cual reafirma la observación de que la taza de disminución se reduce al aumentar la razón de amortiguamiento. Aplicaciones, Conclusiones y Reflexión Transporte y vehículos Los vehículos terrestres al viajar por carreteras, rieles, caminos, etc., que son desiguales; experimentan una especie de oscilación en la base donde se desplazan. Este fenómeno provoca que el sistema de amortiguación en el chasis del auto responda con un movimiento oscilatorio relativo [1], el cual será sufrido por los pasajeros. Cuando se diseña un auto debe tomarse en cuenta para la comodidad y la seguridad de los clientes. Construcción En la industria de las constructoras existen distintos métodos para la realización de tubos, tabique, tabicón, etc., a partir de la materia por medio de máquinas vibratorias. Las cuales mueven su base y así proporcionan que la mezcla se distribuya más uniformemente. Medicina En mi investigación encontré distintos tratamientos médicos [2] (especialmente en el área de traumatología), los cuales se basan en la vibración de una base debajo de los pacientes. También encontré un supuesto tratamiento para el control de peso, pero no parecía muy creíble. Conclusión En conclusión, las aplicaciones de dicho fenómeno no son muy amplias, pero al parecer está presente en muchos acontecimientos cotidianos, no como aplicación en sí, si no como un efecto de las propiedades del entorno. Por lo que las desventajas de este movimiento pueden notarse mucho al poner el ejemplo de un auto que oscila debido a los desniveles de una autopista. Si realizamos el análisis del caso y después de varios cálculos se llega a la conclusión de que la oscilación que resentiría un pasajero en el vehículo seria aproximadamente un 10% mayor a la oscilación provocada por los desniveles, por lo que se puede notar que se amplificó. Dicha amplificación tiene que ver con muchos factores, pero si analizamos las gráficas de respuesta de transmisibilidad notaremos que esto tal vez pueda deberse a la velocidad del auto, esto explicaría que al aumentar la velocidad de un auto los baches casi no provoquen desbalanceo (puede aparecer otros factores de fabricante, amortiguadores, materiales, etc.), y esto es lógico ya que vemos en las gráficas como dicha transmisibilidad disminuye al aumentar la relación de frecuencias, en otras palabras, disminuye al aumentar la velocidad angular. Por lo que es sumamente importante tomar en cuenta este fenómeno a la hora de diseñar. Por lo menos, en este ejemplo en específico se busca reducir su efecto a lo mínimo posible, aunque para otros ejemplos; como los citados anteriormente en las aplicaciones, es indispensable la vibración en la base y los efectos de dicho fenómeno. Caso de reflexión propia (vehículos aéreos) Estuve meditando sobre el improbable pero no imposible caso de un vehículo aéreo siendo afectado por corrientes de aire mezcladas en distintas direcciones, cada una aplicada en un ala diferente y con sentido variable. Este caso hipotético en teoría tendría que generar una oscilación al avión; actuando como una especie de fuerza excitadora (Lo cual se acopla perfectamente al modelo matemático del tema, donde la base con movimiento actúa a fin de cuentas como fuerza externa), esto provocaría que los sistemas basados en la aerodinámica y en la dinámica de fluidos que mantienen al avión realicen algo más de trabajo, lo que se puede traducir a un mayor desgaste y uso de energía. Además de que al desarrollar ese torque debido a la semirotación, empezarían a desarrollarse distintos tipos de esfuerzos en la estructura del vehículo aéreo alado. Dicho movimiento puede ser planteado en un modelo matemático aproximado (O eso quiero creer), basándonos con que nuestro medio y base es un fluido en este caso, tal vez con algunos métodos numéricos podría aproximarse algo interesante. Al igual que le dediqué una simulación y modelo con n masas al trabajo pasado, le dedicaré tiempo a esta reflexión, puede que no se llegue a nada, o tal vez sí. He encontrado varios artículos y ejemplos en libros [2] parecidos a esta idea transmitida a la aeronáutica, hasta ahora ninguna aplicación, pero así como parece no apoyarse en nada, tampoco nada la refuta y además existen algunas ideas un poco parecidas pero aún muy lejanas. Y se insiste, en su caso improbable, pero al fin y al cabo, se trata de un micro estado posible. Referencias 1. S. Targ, “Curso breve de mecánica teórica y aplicaciones”, editorial Mir de Moscú, 1era edición, URSS 1985, cap. 5. 2. L. Landau, “Curso de física general IV (Mecánica ondulatoria)”, editorial Mir de Moscú, URSS 1970, pág. 120 – 124. 3. William T. Thomson, “Theory of vibration with applications”, Prentice Hall, 4ta edición, cap. 3.2. 4. M. Yavrosky, “Manual de Física”, editorial Mir de Moscú, 3ra edición, URSS 1978, pág. 782 – 800.