H. FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN
Y
A (maks)
C (titik belok)
y = f(x)
B (min)
0
x1
x2
x3
Keterangan :
A
= harga maksimum (pada x = x1), karena harga y dititik ini
lebih besar daripada y di kanan kirinya.
B
= harga minimum (pada x = x2), karena harga y di titik ini
lebih kecil daripada harga y di kanan kirinya.
C
= titik belok/point of inflection yaitu dari lengkung kanan
menjadi lengkung kiri (atau sebaliknya)
Cara mencari Harga Maksimum, Minimum dan Titik Belok
KUNCI →
Harga maks, min dan titik belok tercapai bila turunan
pertama fungsi tsb berharga = 0
atau
dy
= y1 = 0
dx
1
Perhatikan gambar di bawah ini :
Y
A
y = f(x)
C
y
B
0
x1
x2
x3
dy
dx
x
y = f1(x)
0
x1
x2
x3
d2y
dx 2
0
x
y = fII(x)
x1
x2
x3
x
Y1
Kesimpulan :
1. Harga maks, min dan titik belok tercapai bila dy/dx = 0
2. Untuk harga y maksimum (titik A), maka turunan ke-dua d2y/dx 2 =
negatif
3. Untuk harga y minimum (titik B), maka turunan ke-dua d2y/dx2 =
positif
4. Untuk titik belok (titik C), maka turunan ke-dua d2y/dx2 = 0
2
TITIK BELOK
Y
+
T
++
S
Y
+
+
+
+
0
x
x6
x7
dy
dx
x
0
x7
x6
d2y
dx 2
+
x
0
x6
x7
-
-
KETERANGAN :
-
Kedua grafik pada turunan keduanya, titik S & T sama-sama
=0
-
Titik S merupakan titik belok, sebab terdapat perubahan tanda,
yaitu di kiri x6 (-) dan di kanan x6 (+)
-
Titik T bukan merupakan titik belok, sebab tidak ada
perubahan tanda, yaitu di kiri x7 (-) dan di kanan x7 (-)
3
Langkah-langkah mencari harga maks, min dan titik belok suatu fungsi
1. Harga maks dan min didapat dengan mencari turunan pertamanya = 0 atau
dy
=0
dx
dari persamaan tersebut akan didapat harga x nya.
Contoh:
Grafik fungsi y =
Maka
1 3 1 2
x − x − 2x + 5
3
2
d2y
dy
= x 2 − x − 2 = 0 dan
= 2x −1
dx
dx 2
Sehingga :
dy/dx = 0 →
x2 – x – 2 = 0
(x–2)(x+1)=0
x = 2 dan x = -1
2. Harga y dicari dengan mensubstitusikan harga x ke dalam fungsi y.
→y =
Contoh : x = 2
1 3 1 2
.2 − .2 − 2.2 + 5
3
2
= 8/3 – 4/2 – 4 + 5 = 1
x = -1
2
3
1
1
→ y = .(−13 ) − .(−12 ) + 2 + 5
3
2
= -1/3 – 1/2 – 2 + 5 = 6
jadi titik baliknya di ( 2, 1
1
6
2
1
) dan ( -1, 6 )
3
6
3. Untuk mengetahui Jenis titik baliknya (minimum atau maksimum), maka harga x
dimasukkan ke persamaan turunan keduanya.
Kalau d2y/dx2 = ( + ) → titik balik minimum
= ( - ) → titik balik maksimum
contoh :
x = 2 → d2y/dx2 = 2x – 1 = 2.2 – 1 = 3 (positif)
∴ titik balik ( 2, 1
2
) = titik balik minimum
3
x = -1 → d2y/dx 2 = 2(-1) – 1 = -3 (negatif)
∴ titik balik ( -1, 6
1
) = titik balik maksimum
6
4
4. Untuk mengetahui titik beloknya, maka harga turunan keduanya di nolkan, atau
d2y/dx2 =0, Sehingga didapat harga x.
Contoh :
d2y
= 2x − 1
dx 2
0 = 2x – 1
x = 1/2
5. Untuk menguji titik beloknya, diambil satu titik di sebelah kiri x dan satu titik
sebelah kanan x. Titik yang diambil tersebut dimasukkan ke turunan kedua.
Maka harga x merupakan absis titik belok.
Contoh :
Diketahui x = ½
Ambil titik di kiri x, misal x = 0
d2y
= 2 x − 1 = 2.0 − 1 = −1 (negatif)
dx 2
Ambil titik di kanan x, misal x = 1
d2y
= 2 x − 1 = 2.1 − 1 = 1 (positif)
dx 2
∴ x = ½ adalah absis dari titik belok
6. Untuk mencari ordinat dari titik beloknya, harga x dimasukkan ke persamaan y = f(x)
Contoh :
x=½ → y=
y=
1 3 1 2
x − x − 2x + 5
3
2
11
1
1
(1 / 2)3 − (1 / 2) 2 − 2(1 / 2) + 5 = 3
3
2
12
1 11
∴ titik beloknya ,3
2 12
5
7. Gambar grafik.
y=
1 3 1 2
x − x − 2x + 5
3
2
Grafik tersebut memotong sumbu y di x = 0
Sehingga
y=0–0–0+5
y=5
∴ Grafik tersebut memotong sumbu y dengan titik potong (0, 5)
maks
Y
6
4
2
titik belok
y=
1 3 1 2
x − x − 2x + 5
3
2
min
0
Data :
1
)
6
-
titik balik maksimum
( -1, 6
-
titik balik minimum
( 2, 1
-
titik belok
1 11
,3
2 12
-
memotong sumbu y
( 0, 5 )
2
)
3
6