1 @’ 2 LECŢII DE ANALIZĂ FUNCŢIONALĂ CU APLICAŢII ÎN TEORIA MATEMATICĂ A SISTEMELOR Coordonator Mircea Olteanu Gavriil Păltineanu, Gigel Paraschiv Antonela Toma, Marcel Roman Gabriela Grosu, Luminiţa Costache Cuprins 1 Spaţii Banach şi spaţii Hilbert 1.1 Spaţii Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Spaţii Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 7 2 Operatori pe spaţii finit dimensionale 21 2.1 Noţiuni de algebră liniară . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Norma unui operator; continuitate . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Diagonalizarea operatorilor normali . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 Teoreme fundamentale 3.1 Operatori pe spaţii normate . 3.2 Teorema Hahn-Banach . . . . 3.3 Principiul mărginirii uniforme 3.4 Teorema aplicaţiei deschise . . 3.5 Teorema lui Alaoglu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 47 54 62 65 68 4 Algebre Banach 73 4.1 Rezultate generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.2 Algebre Banach comutative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.3 C ⋆ -algebre comutative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5 Operatori pe spaţii Hilbert 5.1 Adjunctul unui operator . . . 5.2 Proiectori . . . . . . . . . . . 5.3 Exemple de operatori pe spaţii 5.4 Operatori normali . . . . . . . . . . . . . . . . . Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 101 106 110 134 6 Aplicaţii ı̂n teoria sistemelor 147 6.1 Cauzalitate şi invarianţă ı̂n timp . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.2 Spaţiul stărilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 i Introducere Conţinutul lucrării a fost determinat atât de cerinţele programei de analiză funcţională cât şi de cunoştinţele acumulate de studenţi ı̂n primii doi ani la cursurile de matematică. Din această cauză, principalele referinţe bibliografice sunt manuale universitare utilizate de studenţii facultăţilor cu profil tehnic. Primul capitol are un caracter recapitulativ, el conţinând rezultate generale despre spaţii Banach şi Hilbert; o atenţie specială a fost acordată unor exemple care vor fi citate frecvent ı̂n restul lucrării. În capitolul al doilea, după o scurtă revedere a unor noţiuni de algebră liniară, este prezentată teoria spectrală a operatorilor normali pe spaţii finit dimensionale. Teoremele de bază ale analizei funcţionale: teorema Hahn-Banach, princi- piul mărginirii uniforme, teorema aplicaţiei deschise, teorema graficului ı̂nchis şi teorema lui Alaoglu constituie subiectul capitolului 3. În capitolul 4 sunt prezentate rezultate din teoria algebrelor Banach, inclusiv teoria lui Gelfand asupra algebrelor comutative. Capitolul 5 conţine rezultate de bază din teoria operatorilor liniari şi continui pe spaţii Hilbert infinit dimensionale. Sunt studiate câteva clase importante de operatori: translaţii, operatori de multiplicare, operatori integrali şi de convoluţie. Teoria spectrală a operatorilor normali şi unele aplicaţii (ca de exemplu calculul funcţional) sunt abordate ı̂n finalul acestui capitol. Ultimul capitol are un caracter aplicativ; aici sunt prezentate modele matematice pentru noţiuni importante din teoria sistemelor, ca de exemplu cauzalitate, invarianţă ı̂n timp, spaţiul stărilor. iii Capitolul 1 Spaţii Banach şi spaţii Hilbert 1.1 Spaţii Banach În acest paragraf vom prezenta noţiuni şi rezultate generale din teoria spaţiilor normate. Vom presupune cunoscute conceptele uzuale din teoria spaţiilor vectoriale şi a spaţiilor metrice, aşa cum sunt prezentate ı̂n [1] şi [8]. O atenţie specială o vom acorda unor exemple de spaţii Banach ce vor fi folosite frecvent ı̂n restul lucrării. Rezultate mai avansate din teoria spaţiilor Banach vor fi date ı̂n capitolul 3. 1.Definiţie Fie X un spaţiu vectorial complex. O aplicaţie k k: X −→ [0 , ∞) cu proprietăţile: (a) k x + y k≤k x k + k y k (b) k αx k= |α| k x k (c) k x k= 0 ⇐⇒ x = 0, pentru orice x , y ∈ X şi α ∈ C, se numeşte normă. O aplicaţie care verifică doar condiţiile (a) şi (b) se numeşte seminormă. Perechea (X , k k) se numeşte spaţiu normat. Orice spaţiu normat este şi spaţiu metric, distanţa dintre x şi y fiind, prin definiţie, d(x, y) =k x − y k. Dacă ı̂n plus orice şir Cauchy este convergent, atunci (X , k k) se numeşte spaţiu Banach (sau spaţiu normat complet). Se poate demonstra uşor că operaţiile algebrice sunt continue: dacă n→∞ lim xn = x şi lim yn = y, atunci lim (xn + yn ) = x + y şi analog pentru ı̂nmulţirea cu n→∞ n→∞ scalari. Dacă X este un spaţiu vectorial şi k k1 ,k k2 sunt două norme pe X, atunci ele se numesc echivalente dacă există c şi k două constante pozitive astfel ı̂ncât k x k1 ≤ c k x k2 ≤ k k x k1 ; ı̂n acest caz n→∞ lim xn = x ı̂n k k1 ⇐⇒ lim xn = x ı̂n k k2 , deci structurile topologice coincid. n→∞ 1 2 CAPITOLUL 1. SPAŢII BANACH ŞI SPAŢII HILBERT Fie X şi Y două spaţii vectoriale; o aplicaţie T : X → Y se numeşte aplicaţie liniară (sau operator liniar) dacă: T (αx + βy) = αT x + βT y, ∀x, y ∈ X, ∀α, β ∈ C. Spaţiile vectoriale X şi Y se numesc izomorfe dacă există T : X → Y o aplicaţie liniară şi bijectivă. În acest caz, T se numeşte izomorfism de spaţii vectoriale. Este simplu de demonstrat că inversul unui izomorfism de spaţii vectoriale este de asemenea operator liniar. Două spaţii normate (X, k k1 ) şi (Y, k k2 ) se numesc spaţii normate izomorfe dacă există ı̂ntre ele un izomorfism F de spaţii vectoriale cu proprietatea k F (x) k2 =k x k1 ; ı̂n acest caz, F se numeşte izomorfism de spaţii normate. Dacă aplicaţia liniară F verifică egalitatea k F (x) k2 =k x k1 , (fără a fi neapărat bijectivă), atunci F se numeşte izometrie liniară. O noţiune importantă care se poate defini ı̂ntr-un spaţiu normat este cea de serie convergentă. 2.Definiţie Fie (X, k k) un spaţiu normat şi fie (xn )n∈N un şir de elemente din X. Spunem P xn este convergentă la x ∈ X (numit ı̂n acest caz suma secă seria n∈N riei) dacă şirul sumelor parţiale, sn = n P k=1 xk converge la x. Seria P n∈N xn se numeşte absolut convergentă dacă seria (de numere reale şi pozitive) P k xn k este convergentă. Cu o demonstraţie asemănătoare celei de la serii n∈N de numere reale se poate arăta că ı̂ntr-un spaţiu Banach orice serie absolut convergentă este convergentă, reci proca fiind, ı̂n general, falsă. Este interesant faptul că această proprietate caracterizează spaţiile normate complete. 3.Propoziţie Un spaţiu normat (X, k k) este complet dacă şi numai dacă pentru orice şir P (xn )n ⊂ X cu proprietatea că seria k xn k este convergentă, rezultă că seria P n∈N n∈N xn este convergentă. Demonstraţie. Să presupunem că (X, k k) este un spaţiu normat ı̂n care este verificată ipoteza din enunţ şi fie (xn )n ⊂ X un şir Cauchy. Fie k ∈ N şi fie nk ∈ N astfel ı̂ncât pentru orice i, j ≥ nk să avem k xi − xj k< 2−k . Dacă definim y1 = x1 şi yk = xnk − xnk−1 , pentru orice k ∈ N şi k ≥ 2 , atunci P P seria yk este k yk k este convergentă. Din ipoteză rezultă că seria k∈N k∈N convergentă şi deci şirul (xnk )k∈N converge la un element x ∈ X. Este uşor de arătat că şirul (xn )n converge la x. Cealaltă implicaţie o lăsăm ca exerciţiu. 3 1.1. SPAŢII BANACH Încheiem acest paragraf cu o listă de spaţii Banach ce vor fi citate frecvent ı̂n continuare. 4.Exemple (i) Fie n ∈ N fixat şi fie C n = {x = (x1 , x2 , .., xn ) ; xj ∈ C, ∀j = 1, 2, .., n} cu structura uzuală de spaţiu vectorial. Cu norma euclidiană: k x k2 = v uX u n t |xj |2 , j=1 C n este spaţiu Banach, ([8],p.64); propunem cititorului ca exerciţiu afirmaţia că următoarele două norme sunt echivalente cu norma euclidiană: n k x k1 = X j=1 |xj |, k x k∞ = max{|xj | , 1 ≤ j ≤ n}. Cu aceleaşi norme, şi Rn este spaţiu Banach. (ii) Spaţiile ℓp (Z) şi ℓp (N ) Fie p ∈ R , p ≥ 1, fixat şi fie ℓp (Z) = {x : Z → C ; X n∈Z |x(n)|p este convergentă}. Facem precizarea că dacă (an )n∈Z este un şir de numere complexe indexat după Z, atunci seria P n∈Z an este convergentă dacă seriile 0 P n=−∞ an şi ∞ P n=1 an sunt amândouă convergente. Este evident că pentru orice α ∈ C şi x ∈ ℓp (Z), şirul (αx)(n) = αx(n) este ı̂n ℓp (Z). Fie acum x, y ∈ ℓp (Z) şi fie (x + y)(n) = x(n) + y(n). Notând k x kp = X n∈Z |x(n)|p !1 p , atunci, din inegalitatea lui Minkovski, ([8],p.259), rezultă inegalitatea k x + y kp ≤k x kp + k y kp ; celelalte proprietăţi din definiţia spaţiului normat sunt evidente. Demonstrăm ı̂n continuare completitudinea. Dacă (xk )k∈N este un şir Cauchy ı̂n ℓp (Z) şi dacă ǫ > 0, atunci 4 CAPITOLUL 1. SPAŢII BANACH ŞI SPAŢII HILBERT există kǫ ∈ N astfel ı̂ncât k xk − xj kp < ǫ , ∀k, j ≥ kǫ . De aici rezultă: X n∈Z |xk (n) − xj (n)|p < ǫp , ∀k, j ≥ kǫ , (1.1) şi deci pentru orice n ∈ N , avem |xk (n) − xj (n)| < ǫ, ∀k, j ≥ kǫ , ceea ce arată că şirul (xk (n))k∈N este şir Cauchy (de numere complexe) pentru orice n ∈ N , deci este convergent; fie x(n) = lim xk (n). Din relaţia (1.1), pentru j → ∞, rezultă P n∈Z k→∞ |xk (n) − x(n)|p ≤ ǫp , ∀k ≥ kǫ , adică xk − x ∈ ℓp (Z) , ∀k ≥ kǫ . De aici rezultă că x ∈ ℓp (Z) şi k xk − x kp ≤ ǫ, ∀k ≥ kǫ , ceea ce ı̂ncheie demonstraţia. ∞ P Analog se definesc spaţiile ℓp (N ) = {x : N → C ; |x(n)|p < ∞}. n=0 (iii) Spaţiul ℓ∞ (Z) Fie ℓ∞ (Z) = {x : Z → C ; x şir mărginit }. Cu operaţiile uzuale, definite ı̂n exemplul anterior, ℓ∞ (Z) este spaţiu vectorial. Este uşor de arătat că aplicaţia k x k∞ = sup |x(n)| este normă. Pentru a demonstra completin∈Z tudinea, să considerăm (xk )k∈N un şir Cauchy ı̂n ℓ∞ (Z) şi ǫ > 0. Atunci există kǫ ∈ N asfel ı̂ncât k xk − xj k∞ < ǫ , ∀k, j ≥ kǫ , şi deci şirul (xk (n))k∈N este şir Cauchy (de numere complexe) pentru orice n ∈ Z. Există deci x(n) = lim xk (n). Şirul x astfel construit este ı̂n ℓ∞ (Z) şi este limita (ı̂n k→∞ ℓ∞ (Z) ) a lui (xk )k∈N : k xk − x k∞ = sup lim |xk (n) − xj (n)| ≤ ǫ. n∈Z j→∞ Analog se defineşte spaţiul ℓ∞ (N ). (iv) Spaţiile Lp (Ω, µ) Prezentăm ı̂n continuare spaţiile de funcţii măsurabile. Vom presupune cunoscute construcţiile şi rezultatele de bază din teoria măsurii şi integralei (aşa cum sunt prezentate, de exemplu, ı̂n [8],[19],[13]). Fie Ω 6= ∅, fie ℵ o σ-algebră de părţi ale lui Ω şi fie µ : ℵ → [0 , ∞] o măsură pozitivă. Fie p ∈ R , p ≥ 1, fixat. Pentru orice funcţie măsurabilă f : Ω → C, definim k f kp = Z p Ω |f | dµ 1 p . Mulţimea Lp (Ω, µ) = {f : Ω → C ; f măsurabilă şi k f kp < ∞} 5 1.1. SPAŢII BANACH este spaţiu vectorial cu operaţiile uzuale pentru funcţii, iar k kp este o seminormă pe Lp (Ω, µ). Identificând funcţiile egale a.p.t. (ı̂n raport cu măsura µ ) şi notând cu Lp (Ω, µ) mulţimea claselor de echivalenţă astfel obţinute, se demonstrează că ( Lp (Ω, µ) , k kp ) este spaţiu Banach,([8],p.260). Funcţiile din L1 (Ω, µ) se numesc integrabile (ı̂n raport cu măsura µ), iar cele din Lp (Ω, µ) se numesc p-integrabile. Indicăm ı̂n continuare câteva cazuri particulare remarcabile. Dacă Ω = Z şi µ este măsura de numărare, atunci se obţin spaţiile ℓp (Z) din exemplul (ii). Spaţiile de funcţii p-integrabile pe R ı̂n raport cu măsura Lebesgue vor fi notate mai simplu cu Lp (R). Alt caz important se obţine considerând Ω = S 1 = {λ ∈ C , |λ| = 1} şi µ măsura Lebesgue pe cercul unitate (normalizată, adică µ(S 1 ) = 1); şi ı̂n acest caz vom nota spaţiile de funcţii p-integrabile cu Lp (S 1 ). Un rezultat remarcabil referitor la funcţii p-integrabile este Inegalitatea lui Hölder Fie p > 1 şi q > 1 astfel ı̂ncât p1 + 1q = 1. Atunci, pentru orice funcţii f ∈ Lp (Ω, µ) şi g ∈ Lq (Ω, µ), avem: k f g k1 ≤k f kp k g kq . În general, pentru Ω arbitrar, dacă 1 ≤ p1 ≤ p2 , nu există o relaţie de incluziune ı̂ntre spaţiile Lp1 (Ω, µ) şi Lp2 (Ω, µ). Totuşi, ı̂n cazurile particulare Ω = Z şi Ω = S 1 , au loc următoarele incluziuni ([19],p.209): ℓp1 (Z) ⊆ ℓp2 (Z), ∀ 1 ≤ p1 ≤ p2 ; Lp2 (S 1 ) ⊆ Lp1 (S 1 ), ∀ 1 ≤ p1 ≤ p2 . În particular, au loc incluziunile: ℓ1 (Z) ⊂ ℓ2 (Z) şi L2 (S 1 ) ⊂ L1 (S 1 ). Ultimele două incluziuni rezultă direct din inegalităţile: kx k21 = X n∈Z |x(n)| ! X m∈Z Z 2π ! |x(m)| ≥ X n∈Z |x(n)|2 =k x k22 , ∀x ∈ ℓ1 (Z), 1 |f (eit )| · 1dt ≤k f k22 , ∀f ∈ L2 (S 1 ). 2π 0 Pentru ultima inegalitate am folosit inegalitatea lui Holder pentru p = q = 2 şi faptul că funcţia constantă 1 este ı̂n L2 (S 1 ). Să reţinem deci că: k f k21 = Dacă x ∈ ℓ2 (Z) avem k x k2 ≤k x k1 . 6 CAPITOLUL 1. SPAŢII BANACH ŞI SPAŢII HILBERT Dacă f ∈ L2 (S 1 ) avem k f k1 ≤k f k2 . Menţionăm că ı̂n cazul Ω = R, nu există o relaţie de incluziune ı̂ntre L1 (R) şi L2 (R). Teoremele de densitate joacă un rol important ı̂n studiul spaţiilor Lp (Ω, µ). Amintim două rezultate ı̂n acest sens. Teoremă T Mulţimea L1 (Ω, µ) L2 (Ω, µ) este densă ı̂n L2 (Ω, µ). În particular, de aici rezultă că ℓ1 (Z) este dens ı̂n ℓ2 (Z). Al doilea rezultat se referă la funcţii continue. Să presupunem că pe mulţimea Ω s-a definit şi o structură de spaţiu metric (mai general, este suficient ca pe Ω să fie definită o topologie local compactă; pentru noţiuni de topologie generală, recomandăm [3],p.77), iar măsura µ este o măsură boreliană regulată (măsura Lebesgue, atât pe R, cât şi pe S 1 are aceste proprietăţi). În acest caz, avem: Teoremă Mulţimea funcţiilor continue cu suport compact definite pe Ω cu valori complexe este densă (ı̂n sensul normei k kp ) ı̂n spaţiul Lp (Ω, µ); bibliografie: [13],pag.68; [8],p.262; [19],p.211. (v) Spaţiul C(D) Fie D un spaţiu metric compact (mai general, este suficient ca D să fie un spaţiu topologic compact: a se vedea [3],p.92) şi fie C(D) = {f : D → C ; f continuă}. Cu operaţiile uzuale, C(D) este spaţiu vectorial. Structura de spaţiu Banach este definită de norma supremum: k f k∞ = sup |f (t)|. t∈D Pentru demonstraţii, recomandăm [3],p.189; [8],p.89; [5],p.10. (vi) Spaţiul L∞ (Ω, µ) Fie (Ω, µ) ca mai sus. Pentru orice funcţie măsurabilă f : Ω → [0, ∞) , considerăm mulţimea A(f ) = {t ∈ R ; µ(f −1 (t, ∞)) = 0}. Dacă A(f ) = ∅ , atunci, prin definiţie, esssup(f ) = ∞ . Dacă A(f ) 6= ∅ , atunci, prin definiţie, esssup(f ) = 7 1.2. SPAŢII HILBERT inf A(f ) . Numărul (eventual ∞) esssup(f ) se numeşte marginea superioară esenţială (sau supremumul esenţial) a funcţiei f . Pentru o funcţie măsurabilă arbitrară, f : Ω → C definim k f k∞ = esssup(|f |). Mulţimea L∞ (Ω, µ) = {f : Ω → C ; k f k∞ < ∞} este spaţiu vectorial ı̂mpreună cu operaţiile uzuale, iar aplicaţia k k∞ este o seminormă. Identificând funcţiile egale a.p.t. (ı̂n raport cu măsura µ), obţinem spaţiul Banach al funcţiilor esenţial mărginite, pe care ı̂l vom nota L∞ (Ω, µ) ; bibliografie: [8],p.261; [19],p.205; [13],p.60. Din definiţie, rezultă următoarele două implicaţii: (a) Dacă |f | ≤ m a.p.t. , atunci , k f k∞ ≤ m. (b) Pentru orice ǫ > 0 , există o mulţime măsurabilă A ⊆ Ω astfel ı̂ncât µ(A) > 0 şi |f (t)| >k f k∞ − ǫ , ∀t ∈ A. De fapt, conceptul de funcţie esenţial mărginită, este o generalizare a noţiunii uzuale de funcţie mărginită, ”modulo mulţimi de măsură nulă”: o funcţie măsurabilă f este esenţial mărginită dacă şi numai dacă există o mulţime măsurabilă A ⊆ Ω astfel ı̂ncât µ(Ω − A) = 0 şi restricţia lui f la mulţimea A să fie funcţie mărginită. Evident că orice funcţie mărginită este esenţial mărginită. Dacă Ω este un spaţiu topologic compact, iar µ este o măsură boreliană pe Ω atunci orice funcţie continuă este mărginită şi deci şi esenţial mărginită: C(Ω) ⊂ L∞ (Ω, µ). În acest caz, supremumul esenţial al unei funcţii continue coincide cu supremumul funcţiei. Indicăm ı̂n continuare câteva cazuri particulare. Spaţiul Banach al şirurilor mărginite, ℓ∞ (Z) se obţine pentru Ω = Z şi µ măsura de numărare. L∞ (R) va fi spaţiul Banach al funcţiilor esenţial mărginite pe R ı̂n raport cu măsura Lebesgue, iar L∞ (S 1 ) spaţiul Banach al funcţiilor esenţial mărginite pe cercul unitate ı̂n raport cu măsura Lebesgue (pe cerc). 1.2 Spaţii Hilbert Pricipalul concept geometric ce nu poate fi definit satisfăcător ı̂ntr-un spaţiu Banach este perpendicularitatea. Noţiunea de produs scalar, (pe care-l introducem ı̂n continuare) este instrumentul care permite construirea unei teorii geometrice apropiate de cea euclidiană ı̂n cadrul abstract al spaţiilor vectoriale. În acest paragraf prezentăm noţiunile şi rezultatele de bază din teoria spaţiilor Hilbert. Deoarece unele dintre acestea vor fi date fără demonstraţii, recomandăm următoarele surse bibliografice pentru completarea informaţiei: 8 CAPITOLUL 1. SPAŢII BANACH ŞI SPAŢII HILBERT [1], [8], [4], [5], [6]. 5.Definiţie Fie X un spaţiu vectorial complex; se numeşte produs scalar pe X orice aplicaţie < , >: X × X → C care, pentru orice x, y, z ∈ X şi α , β ∈ C, verifică proprietăţile: (a) < αx + βy , z >= α < x, z > +β < y, z > (b) < x, y >= < y, x > (c) < x, x >≥ 0 (d) < x, x >= 0 ⇔ x = 0. Perechea (X, < , >) se numeşte spaţiu cu produs scalar (sau spaţiu prehilbertian). 6.Observaţie Fie (H, < , >) un spaţiu cu produs scalar. Atunci, pentru orice vectori x, y ∈ H, avem: (a) relaţia de polarizare: < x, y >= 1 = (< x + y, x + y > − < x − y, x − y > + 4 +i < x + iy, x + iy > −i < x − iy, x − iy >). (b) inegalitatea lui Schwarz: | < x, y > | ≤ √ < x, x >< y, y >. √ (c) Aplicaţia k k: H → [0 , ∞), k x k= < x, x > este o normă pe H; o vom numi norma definită de produsul scalar. (d) Produsul scalar este aplicaţie continuă: dacă lim xn = x şi n→∞ lim yn = y, atunci lim < xn , yn >=< x, y >. n→∞ n→∞ Demonstraţiile se pot găsi ı̂n: [1],p.334; [8],p.317; [4],p.147; [5],pag.64. 7.Definiţie Fie (H, < , >) un spaţiu prehilbertian şi fie k k norma indusă de produsul scalar. Dacă (H, k k) este complet atunci (H, < , >) se numeşte spaţiu Hilbert. Doi vectori x, y ∈ H se numesc ortogonali (sau perpendiculari) dacă < x, y >= 0. Vectorul x se numeşte ortogonal pe submulţimea nevidă M ⊆ H (şi vom nota x ⊥ M ) dacă x este ortogonal pe toţi vectorii din M . Ortogonalul mulţimii M este, prin definiţie, M ⊥ = {y ∈ H ; y ⊥ x, ∀x ∈ M }. Este simplu de arătat că M ⊥ este subspaţiu vectorial ı̂nchis ı̂n H (se foloseşte continuitatea produsului scalar). Propunem de asemenea ca 9 1.2. SPAŢII HILBERT exerciţiu egalitatea (aici bara ı̂nseamnă ı̂nchiderea mulţimii respective):  ⊥ K⊥ = K, pentru orice subspaţiu K ⊆ H. Dacă M 6= {0}, atunci ⊥ M 6= H. Submulţimea nevidă M ⊆ H se numeşte ortogonală dacă x ⊥ y, ∀x, y ∈ M şi ortonormală dacă, ı̂n plus, k x k= 1, ∀x ∈ M . Două spaţii Hilbert (H1 , < , >1 ) şi (H2 , < , >2 ) se numesc izomorfe dacă există un izomorfism U de spaţii vectoriale de la H1 la H2 astfel ı̂ncât < U x, U y >2 =< x, y >1 . Aplicaţia U se numeşte ı̂n acest caz izomorfism de spaţii Hilbert sau operator unitar. Următoarele două proprietăţi sunt generalizări ale unor rezultate din geometria elementară. 8.Propoziţie (a) Fie (H, < , >) un spaţiu prehilbertian. Atunci: k x + y k2 + k x − y k2 = 2(k x k2 + k y k2 ), ∀x, y ∈ H. (b) Reciproc, dacă (X, k k) este un spaţiu normat astfel ı̂ncât este verificată egalitatea de la punctul (a), atunci există un produs scalar < , > pe X astfel ı̂ncât k x k2 =< x, x >; (legea paralelogramului). (c) Pentru orice mulţime finită ortogonală de vectori {x1 , x2 , .., xn } din spaţiul prehilbertian H, are loc egalitatea (teorema lui Pitagora): k n X j=1 2 xj k = n X j=1 k xj k2 . Pentru demonstraţii se pot consulta [1],p.118; [8],p.317; [4],p.148. Următorul rezultat este fundamental ı̂n studiul spaţiilor Hilbert. Reamintim că o submulţime M a unui spaţiu vectorial se numeşte convexă dacă αx + (1 − α)y ∈ M, ∀x, y ∈ M, ∀α ∈ [0, 1]. 9.Teoremă Fie H un spaţiu Hilbert şi fie M ⊆ H o mulţime nevidă, ı̂nchisă şi convexă. Atunci există şi este unic un vector xM ∈ M astfel ı̂ncât k xM k= inf{k x k ; x ∈ M }. Demonstraţie Să notăm cu δ = inf{k x k ; x ∈ M } şi fie (xn )n un şir de elemente din M astfel ı̂ncât n→∞ lim k xn k= δ. Deoarece M este mulţime convexă, rezultă că pentru orice n, m ∈ N avem 12 xn + 21 xm ∈ M şi deci: 10 CAPITOLUL 1. SPAŢII BANACH ŞI SPAŢII HILBERT k xn + xm 2 k ≥ δ 2 , ∀n, m ∈ N. 2 Aplicând legea paralelogramului vectorilor 12 xn şi 12 xm şi folosind inegalitatea de mai sus, rezultă: k xn − xm 2 xn 2 xm 2 xn + xm 2 k =2k k +2 k k −k k≤ 2 2 2 2 1 ≤ (k xn k2 + k xm k2 ) − δ 2 2 şi deci : k xn − xm k2 ≤ 2 (k xn k2 + k xm k2 ) − 4δ 2 . De aici rezultă că lim sup k xn − xm k2 = 0, ceea ce arată că (xn )n este şir n,m→∞ Cauchy; fie xM = lim xn . Deoarece M este mulţime ı̂nchisă, rezultă că n→∞ xM ∈ M , iar din continuitatea normei avem k xM k= δ. Pentru a demonstra unicitatea, presupunem prin absurd că există xM şi yM ı̂n M , diferiţi, astfel ı̂ncât k xM k=k yM k= δ. Aplicând legea paralelogramului vectorilor xM şi yM şi repetând raţionamentul anterior, rezultă k xM − yM k= 0, ceea ce constituie o contradicţie. 10.Consecinţă (teorema proiecţiei pe un subspaţiu ı̂nchis) Fie H un spaţiu Hilbert şi fie K ⊆ H un subspaţiu ı̂nchis. Atunci, pentru orice x ∈ H, există şi este unic y ∈ K astfel ı̂ncât x − y ∈ K ⊥ şi k x − y k≤k x − z k, pentru orice z ∈ K. Elementul y (care depinde ı̂n mod evident de x şi K ) se numeşte proiecţia lui x pe K. Pentru demonstraţie se aplică teorema precedentă. Rezultatul următor este o generalizare ı̂n spaţii Hilbert a descompunerii unui vector după două direcţii perpendiculare din geometria euclidiană. 11.Teoremă (descompunerea ortogonală) Fie H un spaţiu Hilbert şi fie K un subspaţiu ı̂nchis al său. Atunci, pentru orice vector x ∈ H există y ∈ K şi z ∈ K ⊥ astfel ı̂ncât x = y + z; ı̂n plus, această descompunere este unică. Vom nota această descompunere ortogoL nală H = K K ⊥ . Demonstraţie Fie x ∈ H, arbitrar fixat. Aplicând teorema 9 mulţimii nevide, convexe şi ı̂nchise M = {x − u , u ∈ K}, rezultă că există un vector unic z ∈ M cu proprietatea k z k= inf{k v k ; v ∈ M }. Fie u ∈ K astfel ı̂ncât 11 1.2. SPAŢII HILBERT k u k= 1; atunci z− < z, u > u ∈ M şi deci: k z k2 ≤k z− < z, u > u k2 =< z− < z, u > u, z− < z, u > u >= =k z k2 −< z, u > < z, u > − < z, u > < z, u > + | < z, u > |2 = =k z k2 −| < z, u > |2 , ceea ce este posibil numai dacă < z, u >= 0. Am demonstrat deci că z ∈ K ⊥ . Din definiţia lui M rezultă că există y ∈ K astfel ı̂ncât x = y + z. Pentru a demonstra unicitatea, presupunem prin absurd că există y1 , y2 ∈ K şi z1 , z2 ∈ K ⊥ astfel ı̂ncât y1 6= y2 , z1 6= z2 şi x = y1 + z1 = y2 + z2 . De aici rezultă că y1 − y2 = z2 − z1 ; dar y1 − y2 ∈ K şi z2 − z1 ∈ K ⊥ , şi deci y1 − y2 = z2 − z1 ∈ K ∩ K ⊥ = {0}, contradicţie care ı̂ncheie demonstraţia. 12.Definiţie Fie X un spaţiu normat. Se numeşte funcţională pe X orice aplicaţie f : X → C. Aşa cum vom vedea ı̂n capitolul 3, funcţionalele liniare şi continue au un rol deosebit ı̂n studiul spaţiilor Banach. Pe spaţii Hilbert este adevărat următorul rezultat remarcabil (teorema lui Riesz de reprezentare a funcţionalelor liniare şi continue pe un spaţiu Hilbert). 13.Teorema lui Riesz Fie H un spaţiu Hilbert. (a) Pentru orice y ∈ H, fixat, aplicaţia fy : H → C , fy (x) =< x, y > este funcţională liniară şi continuă. (b) Reciproc, dacă f este o funcţională liniară şi continuă pe H, atunci există şi este unic un vector yf ∈ H astfel ı̂ncât f (x) =< x, yf > , ∀x ∈ H; ı̂n plus, are loc egalitatea (semnificaţia ei va fi dată ı̂n lema 5,cap.3): sup{|f (x)| ; x ∈ H şi k x k= 1} =k yf k . Demonstraţie Punctul (a) este evident (pentru continuitate se foloseşte inegalitatea lui Schwarz). (b) Fie Ker(f ) = {x ∈ H | f (x) = 0} nucleul aplicaţiei f . Dacă Ker(f ) = H, atunci f este identic nulă şi deci putem lua yf = 0. Dacă Ker(f ) 6= H, atunci există z ∈ Ker(f )⊥ cu proprietatea k z k= 1 şi f (z) 6= 0. Pentru orice x ∈ H, vectorul x − ( ff (x) )z este ı̂n Ker(f ), şi deci: (z) f (x) = f (x) < z, z >=< f (x) z, f (z)z >= f (z) 12 CAPITOLUL 1. SPAŢII BANACH ŞI SPAŢII HILBERT =< x − f (x) f (x) z, f (z)z > + < z, f (z)z >=< x, f (z)z >, f (z) f (z) şi deci putem alege yf = f (z) z. Unicitatea lui yf este imediată. Din inegalitatea lui Schwarz, rezultă sup{|f (x)|; x ∈ H şi k x k= 1} = sup{ | < x, yf > |; x ∈ Hşi k x k= 1} ≤ ≤ sup{k x kk yf k ; x ∈ H şi k x k= 1} =k yf k . Pentru a demonstra cealaltă inegalitate, să observăm că: |f ! yf | =k yf k . k yf k În particular, rezultă că supremumul este atins ı̂n punctul yf . kyf k 14.Definiţie Fie H un spaţiu Hilbert. Se numeşte bază ortonormală ı̂n H orice submulţime B = {εı }ı∈J cu proprietăţile: (i) < εı , ε >= δı , ∀ı,  ∈ B; (am notat cu δı simbolul lui Kronecker). (ii) Subspaţiul vectorial generat de B este dens ı̂n H. Se demonstrează că ı̂n orice spaţiu Hilbert există cel puţin o bază ortonormală, ([4],p.156; [5],p.75,); de asemenea, orice două baze ortonormale ale aceluiaşi spaţiu Hilbert H au acelaşi număr de elemente, numit dimensiunea lui H. Spaţiile Hilbert care admit baze ortonormale cel mult numărabile (card (B) ≤ ℵ◦ ), se numesc separabile. Cum ı̂n această lucrare vom considera numai spaţii Hilbert separabile, de aici ı̂nainte, prin spaţiu Hilbert vom ı̂nţelege un spaţiu Hilbert separabil. Fie B = {εn }n∈N o bază ortonormală fixată şi fie x ∈ H un vector arbitrar fixat; coeficienţii Fourier (ı̂n raport cu baza B), ai lui x sunt, prin definiţie, numerele x̂(n) =< x, εn >. Vom nota cu x̂ : N → C şirul coeficienţilor P x̂(n)εn se numeşte seria Fourier asociată lui x (ı̂n baza Fourier. Seria n∈N B). 15.Teoremă În ipotezele şi notaţiile de mai sus, seria Fourier converge la x şi are loc (egalitatea lui Parseval): k x k2 = X n∈N |x̂(n)|2 . 13 1.2. SPAŢII HILBERT Demonstraţie Fie un şirul sumelor parţiale asociat seriei Fourier; pentru orice k ∈ {1, 2, .., n}, avem: < un , εk >= n X x̂(j) < εj , εk >= x̂(k) =< x, εk >, j=1 ceea ce arată că x − un ⊥ εk , ∀k ≤ n. Fie, pentru orice n ∈ N subspaţiul Hn generat de {ε1 , ε2 , .., εn }; Hn este subspaţiu ı̂nchis (deoarece este finit dimensional) şi x − un ∈ Hn⊥ . Fie acum un vector arbitrar v ∈ Hn ; conform teoremei lui Pitagora, avem: k x − v k2 =k x − un k2 + k v − un k2 ≥k x − un k2 . De aici rezultă că un este proiecţia vectorului x pe subspaţiul Hn , conform consecinţei 10. Fie ǫ > 0; deoarece subspaţiul liniar generat de B este dens ı̂n H, există n(ǫ) ∈ N şi un vector z ∈ Hn(ǫ) astfel ı̂ncât k z−x k< ǫ. Fie n ≥ n(ǫ); aplicând din nou teorema proiecţiei, rezultă (deoarece z ∈ Hn ): k x − un k≤k x − z k< ǫ, ceea ce arată că n→∞ lim un = x. Pentru a demonstra egalitatea lui Parseval, să observăm că pentru orice n ∈ N , avem: k un k2 =< = n X j,k=1 n X j=1 x̂(j)εj , n X x̂(k)εk >= k=1 x̂(j)x̂(k) < εj , εk >= n X j=1 |x̂(j)|2 . Pentru n → ∞, se obţine egalitatea lui Parseval. 16.Observaţie Seria Fourier a vectorului x se mai numeşte şi dezvoltarea (ı̂n baza B) a lui x. Se poate demonstra că această dezvoltare este unică, deci dacă seria P αn εn converge la x, atunci αn = x̂(n). De asemenea, un calcul direct n∈N arată că pentru orice x, y ∈ H are loc egalitatea: < x, y >= P x̂(n)ŷ(n). n∈N Încheiem acest capitol cu exemple de spaţii Hilbert şi noţiuni despre transformarea Fourier. 17.Exemple 14 CAPITOLUL 1. SPAŢII BANACH ŞI SPAŢII HILBERT (i) Spaţiul Banach (C n , k k2 ) este spaţiu Hilbert, produsul scalar fiind < x, y >= n P j=1 xj yj . Baza canonică a spaţiului vectorial C n este bază ortonor- mală. Nu este dificil de demonstrat că orice spatiu Hilbert complex (real) de dimensiune n este izomorf cu C n , (respectiv Rn ). (ii) Spaţiul ℓ2 (Z) Folosind legea paralelogramului, se demonstrează că dintre spaţiile Banach ℓp (Z) (din exemplul 4(ii)) numai ℓ2 (Z) este spaţiu Hilbert, produsul scalar fiind X < x, y >= x(n)y(n). n∈N Fie, pentru orice n ∈ Z, şirul σn : Z → C, definit prin: σn (m) = ( 1 dacă m = n 0 dacă m 6= n Atunci mulţimea (σn )n∈Z este bază ortonormală (numită baza canonică) ı̂n ℓ2 (Z). Dacă x ∈ ℓ2 (Z), atunci şirul coeficienţilor săi Fourier este x̂(n) = P x(n)σn . Un subspaţiu ı̂nchis x(n) , ∀n ∈ Z, iar seria sa Fourier este inclus ı̂n ℓ2 (Z) este n∈Z h2 (Z) = {x ∈ ℓ2 (Z) ; x(n) = 0 , ∀n < 0}. Evident că ℓ2 (N ) se poate identifica cu acest subspaţiu, prelungind şirurile cu 0 pentru n < 0. Se poate arăta că orice spaţiu Hilbert (separabil) H este izomorf cu un spaţiu de tip ℓ2 . Într-adevăr, dacă B = {εn }n∈N este o bază ortonormală a lui H, atunci aplicaţia H ∋ x → x̂ ∈ ℓ2 (N ) este un izomorfism de spaţii Hilbert: [1],pag.337. Pentru un rezultat analog pentru spaţii Hilbert neseparabile se poate consulta [4],p.161. (iii) Un rezultat similar cu cel din exemplul anterior este adevărat şi pentru spaţiile Lp (Ω, µ), (din exemplul 2(iii)): Lp (Ω, µ) este spaţiu Hilbert dacă şi numai dacă p = 2, produsul scalar fiind definit prin relaţia < f, g >= R f g dµ. Ω (iv) Încheiem această listă de exemple cu suma directă a unei familii numărabile de spaţii Hilbert. 15 1.2. SPAŢII HILBERT Începem cu cazul finit; fie aşadar (H1 , < , >1 ) şi (H2 , < , >2 ) două spaţii Hilbert şi fie suma directă a lor, definită prin: 2 M i=1 Hi = {(x1 , x2 ) ; xi ∈ Hi }. Cu operaţiile (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ) şi α(x1 , x2 ) = (αx1 , αx2 ), ∀α ∈ C, suma directă este spaţiu vectorial; este uşor de arătat că aplicaţia: < (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) >=< x1 , y1 >1 + < x2 , y2 >2 este produs scalar pe spaţiul sumă directă. Norma corespunzătoare este (notaţiile sunt evidente): k (x1 , x2 ) k= Se demonstreză că 2 L i=1 q k x1 k21 + k x2 k22 . Hi este şi complet, deci este spaţiu Hilbert. Definiţia de mai sus se generalizează fără dificultăţi la orice familie finită de spaţii Hilbert. Fie acum H = {Hn , < , >n }n∈N o familie numărabilă de spaţii Hilbert; ı̂n acest caz, spaţiul sumă directă al familiei H se defineşte prin: M n∈N Hn = {x = (xn )n∈N ; xn ∈ Hn şi X n∈N k xn k2n < ∞}. Produsul scalar şi norma sunt definite prin: < x, y >= X < xn , yn >n şi n∈N k x k= sX n∈N k xn k2n , unde, x = (xn )n∈N şi y = (yn )n∈N . Se demonstrează că spaţiul astfel obţinut este spaţiu Hilbert. Pentru demonstraţii şi completări, recomandăm [6](I),p.255. Un caz particular important se obţine dacă Hn = L2 (Ωn , µn ). Vom studia ı̂n continuare spaţiul Hilbert al funcţiilor de pătrat integrabil pe cercul unitate. 16 CAPITOLUL 1. SPAŢII BANACH ŞI SPAŢII HILBERT 18.Definiţie Fie S 1 cercul unitate (considerat cu măsura Lebesgue) şi fie L2 (S 1 ) spaţiul Hilbert al funcţiilor de pătrat integrabil cu produsul scalar: < f, g >= şi norma: 1 Z 2π f (eit )g(eit )dt 2π 0 s Z 2π 1 |f (eit )|2 dt. k f k2 = √ 2π 0 Vom defini ı̂n continuare o bază ortonormală remarcabilă ı̂n L2 (S 1 ). Fie, pentru orice n ∈ Z, funcţia: ωn (eit ) = eint şi fie mulţimea (numărabilă) {ωn }n∈Z . Are loc următorul rezultat fundamental: 19.Teoremă Mulţimea {ωn }n∈Z este bază ortonormală ı̂n spaţiul L2 (S 1 ). Pentru demonstraţie, recomandăm [8],p.321 sau [4],p.162. În continuare vom subı̂nţelege că pe spaţiul L2 (S 1 ) a fost fixată baza ortonormală {ωn }n∈Z . Şirul coeficienţilor Fourier asociaţi unei funcţii f ∈ L2 (S 1 ) este: 1 Z 2π fb : Z → C, fb(n) = f (eit )e−int dt, 2π 0 iar seria (de funcţii) Fourier corespunzătoare este: X n∈Z fb(n)ωn . Sumele parţiale ale acestei serii se numesc polinoame trigonometrice: n Sn (eit ) = X k=−n Conform teoremei 15, seria de funcţii fb(k)eikt . P b f (n)ω n∈Z la funcţia f , adică: n converge ı̂n spaţiul L2 (S 1 ) lim k f − Sn k2 = 0. n→∞ Teorema 15 nu dă informaţii despre alte tipuri de convergenţă specifice spaţiilor de funcţii (convergenţă punctuală sau convergenţă uniformă, de 17 1.2. SPAŢII HILBERT exemplu) care se pot pune ı̂n legătură cu seria Fourier. Există ı̂n această direcţie câteva teoreme clasice: Fejer, Dini, Dirichlet; dintre acestea, reamintim teorema lui Fejer: 20.Teoremă (Fejer) Fie f ∈ L2 (S 1 ) o funcţie continuă şi fie Sn şirul sumelor parţiale ale seriei Fourier asociate ei; atunci şirul ςn = So + S1 + .. + Sn n+1 converge uniform pe S 1 la f . O consecinţă directă a acestui rezultat este că orice funcţie continuă se poate aproxima uniform (adică ı̂n norma k k∞ ) cu polinoame trigonometrice. Tot de aici rezultă că dacă două funcţii continue au aceiaşi coeficienţi Fourier, atunci ele sunt egale. Pentru demonstraţie, cât şi pentru alte completări asupra acestui subiect, recomandăm [8],p.323 sau [13],p.101. 21.Definiţie (transformarea Fourier pe spaţiul L2 (S 1 )) Fie f ∈ L2 (S 1 ); din identitatea lui Parseval rezultă faptul că şirul fb aparţine spaţiului ℓ2 (Z) şi k f k2 =k fb k2 . Rezultă deci că aplicaţia: F : L2 (S 1 ) → ℓ2 (Z) , F(f ) = fb este izometrie liniară; F se numeşte transformarea Fourier (ı̂ntre spaţiile L2 (S 1 ) şi ℓ2 (Z)), iar fb se numeşte transformata Fourier (sau FourierPlancherel) a funcţiei f . Din teorema 15 şi din completitudinea spaţiului L2 (S 1 ), rezultă că aplicaţia F P x(n) ωn converge ı̂n spaţiul este şi surjectivă: pentru orice x ∈ ℓ2 (Z), seria n∈Z L2 (S 1 ), deci defineşte o funcţie f (de fapt o clasă de echivalenţă de funcţii egale a.p.t.) care are ı̂n mod evident proprietatea F(f ) = x, ([8],p.328; [13],p.256). În concluzie, transformarea Fourier F este un izomorfism de spaţii Hilbert având ca inversă aplicaţia F −1 : ℓ2 (Z) → L2 (S 1 ), F −1 (x) = Menţionăm că ı̂n egalitatea de mai sus P n∈Z sensul normei k k2 . X x(n) ωn . n∈Z x(n)ωn semnifică suma seriei ı̂n 18 CAPITOLUL 1. SPAŢII BANACH ŞI SPAŢII HILBERT Restricţia aplicaţiei F −1 la subspaţiul ℓ1 (Z) ⊂ ℓ2 (Z) admite o formulă punctuală explicită. 22.Teoremă Dacă α ∈ ℓ1 (Z), atunci:   F −1 α (eit ) = X n∈Z α(n)eint , ∀eit ∈ S 1 . Demonstraţie Deoarece α ∈ ℓ1 (Z), seria uniform pe S 1 : X n∈Z |α(n)eint | ≤ X n∈Z P α(n)eint converge absolut şi n∈Z |α(n)| =k α k1 , ∀eit ∈ S 1 . Fie f suma seriei de mai sus. Atunci f este o funcţie continuă şi mărginită; ı̂n particular, rezultă că f ∈ L2 (S 1 ), deci ı̂i putem calcula coeficienţii Fourier: fb(n) 1 Z 2π 1 Z 2π f (eit )e−int dt = = 2π 0 2π 0 X α(m)e m∈Z imt ! e−int dt = Z 2π 1 X = eit(m−n) dt = α(n), ∀n ∈ Z. α(m) 2π m∈Z 0 Comutarea seriei cu integrala este justificată deoarece amândouă sunt absolut convergente şi ca urmare se poate aplica teorema lui Fubini (a se vedea [8],p.256; [19],p.165.). În concluzie, Ff = α, deci F −1 α = f , (egalitatea este adevărată peste tot, deoarece f este funcţie continuă; a se vedea teorema lui Fejer), ceea ce ı̂ncheie demonstraţia. 23.Observaţie Conform celor de mai sus, restricţia lui F −1 la subspaţiul ℓ1 (Z) ia valori ı̂n mulţimea funcţiilor continue (definite pe cerc). Fie A(S 1 ) = {F −1 x ; x ∈ ℓ1 (Z)}. Se poate demonstra ([15],p.9) că A(S 1 ) este o submulţime densă ı̂n C(S 1 ) (ı̂n norma k k∞ ); cum C(S 1 ) este la rândul ei densă ı̂n L2 (S 1 ), (ı̂n norma k k2 ), rezultă că A(S 1 ) este o submulţime densă ı̂n L2 (S 1 ), adică: ∀f ∈ L2 (S 1 ), ∀ǫ > 0, ∃x ∈ ℓ1 (Z) astfel ı̂ncât k f − F −1 x k2 < ǫ. 19 1.2. SPAŢII HILBERT 24.Observaţie Un subspaţiu ı̂nchis, cu proprietăţi remarcabile, (definit cu ajutorul transformării Fourier), inclus ı̂n L2 (S 1 ), este H 2 (S 1 ) = {f ∈ L2 (S 1 ) ; fb(n) = 0 , ∀n < 0}. Funcţiile din H 2 (S 1 ) se numesc funcţii analitice de pătrat integrabil; seria Fourier asociată unei funcţii f ∈ H 2 (S 1 ) este de forma: ∞ X n=0 fb(n)λn , unde, am notat λ = eit . Dintre rezultatele referitoare la funcţiile din H 2 (S 1 ), enunţăm următoarea proprietate de prelungire la discul unitate: Pentru orice f ∈ H 2 (S 1 ), există o funcţie g cu proprietăţile: (a) g este olomorfă pe discul unitate deschis; (b) lim g(reit ) = f (eit ), aproape pentru orice eit ∈ S 1 (ı̂n raport cu măsura r→1 Lebesgue pe S 1 ); 1 (c) lim 2π r→1 2π R 0 |f (eit ) − g(reit )|2 dt = 0; (d) g se poate obţine din f cu ajutorul formulei lui Cauchy: g(z) = 1 Z f (ζ) dζ, 2π 1 ζ − z S unde, am notat z = reit . Pentru demonstraţii, cât şi pentru alte rezultate din teoria spaţiilor H p (aici noi am prezentat doar cazul p = 2) se pot consulta [13] p.328; [11],p.39. Capitolul 2 Operatori pe spaţii finit dimensionale 2.1 Noţiuni de algebră liniară În acest paragraf vom reaminti unele rezultate de algebră liniară finit dimensională. Sursa bibliografică pe care o vom cita ı̂n mod sistematic este [1]. 1.Definiţie Fie C n = {x = (x1 , x2 , .., xn ) ; xj ∈ C} spaţiul Hilbert complex de dimensiune n, (cf exemplului 17(i),cap.1), cu produsul scalar şi norma uzuale: < x, y >= n X j=1 xj yj , k x k= v uX u n t |xj |2 . j=1 O aplicaţie (operator) T : C n → C n se numeşte liniară dacă T (αx + βy) = αT (x) + βT (y), ∀α, β ∈ C, ∀x, y ∈ C n . Vom nota cu L(C n ) mulţimea operatorilor liniari pe C n . Cu operaţiile uzuale de adunare şi ı̂nmulţire cu scalari: (T + S)(x) = T x + Sx, (αT )x = αT x, ∀α ∈ C, ∀x ∈ C n , ∀T, S ∈ L(C n ), mulţimea L(C n ) este spaţiu vectorial; vom nota cu O operatorul nul şi cu I aplicaţia identică. Produsul (compunerea) a doi operatori T, S ∈ L(C n ) este, prin definiţie (T S)x = T (Sx), ∀x ∈ C n . 21 22 CAPITOLUL 2. OPERATORI PE SPAŢII FINIT DIMENSIONALE Evident, operatorul T S este şi el liniar. Proprietăţile produsului sunt binecunoscute: asociativ, distributiv faţă de adunare şi admite ca element neutru operatorul identic I; el nu este comutativ. Dacă un operator T ∈ L(C n ) este injectiv şi surjectiv (deci bijectiv), atunci există şi este unic un operator, T −1 , de asemenea liniar, (numit inversul lui T ) astfel ı̂ncât T T −1 = T −1 T = I. Operatorul T se numeşte ı̂n acest caz inversabil. Pentru orice operatori inversabili T, S ∈ L(C n ) şi 0 6= α ∈ C, se verifică afirmaţiile: −1 (a) (T −1 ) = T . (b) (αT )−1 = α−1 T −1 . (c) Produsul T S este inversabil şi (T S)−1 = S −1 T −1 . Oricărui operator liniar T , i se pot asocia două subspaţii vectoriale remarcabile: nucleul, notat Ker(T ), şi imaginea, notată Im(T ), definite prin: Ker(T ) = {x ∈ C n ; T x = 0} şi Im(T ) = {T x ; x ∈ C n }. Evident, operatorul T este injectiv dacă şi numai dacă Ker(T ) = {0} şi este surjectiv dacă şi numai dacă Im(T ) = C n . O noţiune ce va fi frecvent utilizată ı̂n continuare este aceea de subspaţiu invariant pentru un operator. Un subspaţiu X ⊆ C n se numeşte invariant pentru operatorul T dacă: ∀x ∈ X ⇒ T x ∈ X . Nucleul şi imaginea unui operator sunt subspaţii invariante pentru acel operator. 2.Observaţie Un rezultat important ı̂n legătură cu inversabilitatea operatorilor din L(C n ) (şi care nu este adevărat pentru aplicaţii liniare de la C n ı̂n C m , m 6= m şi nici pentru aplicaţii liniare pe un spaţiu vectorial infinit dimensional) este următorul: Pentru orice operator T ∈ L(C n ), următoarele afirmaţii sunt echivalente: (a) T este inversabil. (b) T este injectiv. (c) T este surjectiv. Demonstraţia poate fi găsită ı̂n [1],pag.42. 3.Definiţie Fie B = {u1 , u2 , .., un } o bază (nu neapărat ortonormală) ı̂n C n şi fie T ∈ L(C n ) un operator fixat. Fie, pentru orice ı,  ∈ {1, 2, .., n}, aı  =< T u , uı > . 2.1. NOŢIUNI DE ALGEBRĂ LINIARĂ 23 Matricea MTB = (aı  )ı, se numeşte matricea operatorului T ı̂n baza B, ([1],p.43). Se verifică prin calcul direct egalitatea: T uı = n X =1 aı  u , ∀ı ∈ {1, 2, .., n}. Mai general, dacă x = (x1 , x2 , .., xn ) ∈ C n este un vector arbitrar, atunci (T x)ı = n X =1 aı  x , ∀ı ∈ {1, 2, .., n}. Matriceal, relaţia de mai sus se scrie T x = MTB x, vectorul x fiind aici vector coloană. În cazul ı̂n care B este baza canonică, vom nota cu MT matricea lui T ı̂n această bază. Utilitatea asocierii T → MTB este dată de următoarea teoremă ([1],p.44): 4.Teoremă Fie Mn mulţimea matricelor pătratice de ordinul n cu elemente complexe şi fie B o bază fixată ı̂n C n . (a) Aplicaţia L(C n ) ∋ T → MTB ∈ Mn este un izomorfism de spaţii vectoriale şi: B = αMTB , MTB+S = MTB + MSB , MαT pentru orice α ∈ C şi T, S ∈ L(C n ). (b) Aplicaţia L(C n ) ∋ T → MTB ∈ Mn este un izomorfism de inele şi MTBS = MTB MSB , ∀T, S ∈ L(C n ). În particular, operatorul T este inversabil dacă şi numai dacă matricea sa (ı̂n orice bază, deoarece B a fost aleasă arbitrar) este nesingulară: det MTB 6= 0. 5.Definiţie Fie B = {u1 , u2 , .., un } şi V = {v1 , v2 , .., vn } două baze fixate ı̂n C n . Pentru orice vector v ∈ V există (şi sunt unici) pı  ∈ C astfel ı̂ncât: vı = n X p ı  u . =1 Matricea P = (pı  )ı se numeşte matricea de trecere de la baza B la baza V. Dacă S : C n → C n este aplicaţia liniară definită (pe bază) prin Su = v , ∀ ∈ {1, 2, .., n}, 24 CAPITOLUL 2. OPERATORI PE SPAŢII FINIT DIMENSIONALE atunci P este matricea lui S ı̂n baza B: P = MSB . Este uşor de demonstrat că orice matrice de trecere este nesingulară, şi, reciproc, orice matrice nesingulară este matricea de trecere ı̂ntre două baze (bine alese). 6.Observaţie Fie acum un operator liniar T ∈ L(C n ); atunci legătura dintre matricele lui T ı̂n bazele B şi V şi matricea de trecere P ı̂ntre aceste două baze este ([1],p.52): MTV = P −1 MTB P. Din faptul că matricea unui operator depinde de alegerea bazei, decurge in mod natural problema găsirii unei baze ı̂n care matricea operatorului să aibă o formă cât mai simplă, de exemplu formă diagonală. Această problemă (numită ”diagonalizarea operatorilor liniari” pe C n ) constituie subiectul central al acestui capitol. Menţionăm că analogul infinit dimensional al diagonalizării (deci pentru operatori definiţi pe spaţii Hilbert infinit dimensionale) este unul din scopurile principale ale acestei lucrări şi va fi discutat ı̂n cap.5 7.Definiţie Fie T ∈ L(C n ). (a) T se numeşte operator diagonal dacă matricea sa ı̂n baza canonică (a lui C n ) este matrice diagonală. (b) Spunem că T este diagonalizabil ı̂n sens algebric dacă există o bază a lui C n ı̂n care matricea lui T să fie matrice diagonală. (c) Spunem că T este diagonalizabil ı̂n sens geometric dacă există o bază ortonormală a lui C n ı̂n care matricea lui T să fie matrice diagonală. Evident, avem implicaţiile: (a) ⇒ (c) ⇒ (b). În acest paragraf vom reaminti (fără demonstraţii) principalele rezultate cu privire la operatorii diagonalizabili ı̂n sens algebric, iar ı̂n ultimul paragraf al acestui capitol vom studia (şi caracteriza) operatorii diagonalizabili ı̂n sens geometric. Pentru diagonalizarea ı̂n sens algebric recomandăm [1],p.75-90, unde sunt prezentate demonstraţiile complete ale rezultatelor ce urmează. Instrumentele esenţiale pentru studiul diagonalizării sunt polinomul caracteristic, vectorii şi valorile proprii. 25 2.1. NOŢIUNI DE ALGEBRĂ LINIARĂ 8.Teorema Hamilton-Cayley Fie A ∈ Mn şi fie In matricea unitate de ordinul n. Polinomul caracteristic al matricei A, este, prin definiţie, PA (z) = det (zIn − A) . Evident, PA este un polinom de gradul n cu coeficienţi complecşi (şi de variabilă complexă z). Dacă A şi B sunt două matrice pentru care există o matrice nesingulară P astfel ı̂ncât B = P −1 AP, atunci se demonstrează că polinoamele lor caracteristice sunt egale: PA = PB . În particular, această proprietate se poate aplica ı̂n cazul ı̂n care matricele A şi B sunt matricele (ı̂n două baze diferite) ale aceluiaşi operator T ∈ L(C n ). Rezultă deci că putem defini polinomul caracteristic al operatorului T ∈ L(C n ) prin egalitatea:   PT (z) = det zIn − MTB , baza B fiind arbitrară. Fie acum un polinom arbitrar, f (z) = de matricea A definit de f , este matricea: m P k=0 ak z k ; prin definiţie, polinomul f (A) = am Am + am−1 Am−1 + ... + a1 A + ao In . Teorema Hamilton-Cayley ([1],p.76) afirmă că PA (A) = On , unde, On este matricea nulă de ordinul n. 9.Valori proprii şi vectori proprii Fie T ∈ L(C n ). Spectrul operatorului T este, prin definiţie, mulţimea ([1],p.79): σ(T ) = {λ ∈ C ; operatorul λI − T nu este inversabil}. Mulţimea valorilor proprii ale operatorului T (sau spectrul punctual) este, prin definiţie: σp (T ) = {λ ∈ C ; operatorul T nu este injectiv}. Incluziunea σp (T ) ⊆ σ(T ) este evidentă. Dar, deoarece pe spaţii finit dimensionale un operator liniar este inversabil dacă şi numai dacă este injectiv, 26 CAPITOLUL 2. OPERATORI PE SPAŢII FINIT DIMENSIONALE rezultă că avem egalitatea σ(T ) = σp (T ). În concluzie, un număr λ este ı̂n spectru dacă şi numai dacă λ este valoare proprie. Din această cauză, spectrul unui operator pe C n se mai numeşte şi mulţimea valorilor proprii. Vom vedea că pe spaţii infinit dimensionale această proprietate nu mai este adevărată, spectrul punctual fiind, ı̂n general, o submulţime strictă a spectrului; există chiar exemple de operatori care nu au valori proprii, dar al căror spectru este nevid (a se vedea, de exemplu, operatorii de translaţie din cap.5). Este acum evident că spectrul operatorului T este format din rădăcinile polinomului caracteristic asociat lui T : σ(T ) = {λ ∈ C ; PT (λ) = 0}. În particular, rezultă că spectrul unui operator pe C n este o mulţime nevidă şi finită. De asemenea, λ ∈ σ(T ) dacă şi numai dacă există x ∈ C n , x 6= 0, astfel ı̂ncât T x = λx. Un astfel de vector x se numeşte vector propriu asociat valorii proprii λ. Mulţimea vectorilor proprii asociaţi unei valori proprii fixate, λ, (la care adăugăm şi vectorul nul), este, ı̂n mod evident egală cu subspaţiul Ker(λI − T ). Subspaţiile de vectori proprii au proprietăţile: (a) Sunt subspaţii invariante pentru operatorul T , deci: ∀x ∈ Ker(λI − T ) ⇒ T x ∈ Ker(λI − T ). (b) Dacă λ şi µ sunt două valori proprii distincte ale lui T , atunci: Ker(λI − T ) ∩ Ker(µI − T ) = {0}. Fie λ ∈ σ(T ). Multiplicitatea lui λ ca rădăcină a polinomului caracteristic PT se numeşte dimensiunea (multiplicitatea) algebrică a lui λ şi o vom nota n(λ). Evident, suma dimensiunilor algebrice ale tuturor valorilor proprii este egală cu n. Dimensiunea (multiplicitatea) geometrică a valorii proprii λ (notată r(λ)) este, prin definiţie, egală cu dimensiunea subspaţiului Ker(λI − T ). În general, are loc inegalitatea: r(λ) ≤ n(λ), ∀λ ∈ σ(T ). Încheiem acest paragraf recapitulativ cu rezultatul principal ı̂n legătură cu diagonalizarea ı̂n sens algebric a operatorilor liniari pe C n . 10.Teoremă (Criteriul de diagonalizare algebrică, [1],p.85) Fie T ∈ L(C n ); următoarele afirmaţii sunt echivalente: 2.2. NORMA UNUI OPERATOR; CONTINUITATE 27 (a) T este diagonalizabil ı̂n sens algebric. (b) Există o bază B = {u1 , u2 , .., un } a lui C n formată din vectori proprii ai operatorului T . (c) r(λ) = n(λ), ∀λ ∈ σ(T ). L (d) ker(λI − T ) = C n . λ∈σ(T ) În ipoteza că T este diagonalizabil ı̂n sens algebric, matricea sa ı̂n baza B are pe diagonală valorile proprii ale lui T , iar matricea de trecere P de la baza canonică la baza B are drept coloane vectorii proprii din baza B. În concluzie, dacă σ(T ) = {λ1 , λ2 , .., λn }, (fiecare valoare proprie fiind repetată de un număr egal cu dimensiunea sa algebrică), atunci: MTB = diag(λ1 , λ2 , .., λn ) = P −1 MT P. 2.2 Norma unui operator; continuitate 11.Definiţie Un operator T ∈ L(C n ) se numeşte continuu ı̂n punctul xo ∈ C n dacă, prin definiţie, ∀ǫ > 0, ∃δ > 0, astfel ı̂ncât pentru orice x ∈ C n cu proprietatea k x − xo k< δ, să rezulte k T x − T xo k< ǫ. O formulare echivalentă (cu şiruri) a acestei definiţii este: pentru orice şir (xm )m ⊂ C n cu proprietatea lim xm = xo , să rezulte m→∞ lim T xm = T xo . m→∞ Operatorul T se numeşte continuu dacă este continuu ı̂n orice punct. Pentru aplicaţiile liniare are loc următorul criteriu de continuitate. 12.Propoziţie Fie T ∈ L(C n ) şi xo ∈ C n . Următoarele afirmaţii sunt echivalente: (a) T este continuu ı̂n xo . (b) T este continuu. (c) Există M > 0 astfel ı̂ncât k T x k≤ M k x k , ∀x ∈ C n . În primul paragraf al capitolului următor, (propoziţia 3,cap.3) vom da o demonstraţie a acestei propoziţii ı̂ntr-o situaţie mai generală, ı̂nlocuind spaţiul C n cu un spaţiu normat arbitrar. De altfel, aşa cum vom mai vedea, şi alte rezultate din acest capitol sunt adevărate ı̂n condiţii mai generale (de obicei ”mai general” ı̂nsemnând dimensiune infinită). În unele cazuri, demonstraţia pe C n se poate adapta fără probleme la spaţii infinit dimensionale (cum este cazul propoziţiei de mai sus), alteori raţionamentele diferă complet. Un rezultat remarcabil, adevărat numai ı̂n cazul finit dimensional, este următorul. 28 CAPITOLUL 2. OPERATORI PE SPAŢII FINIT DIMENSIONALE 13.Teoremă Orice operator liniar T ∈ L(C n ) este continuu. Demonstraţie Fie T ∈ L(C n ) şi fie B = {e1 , e2 , .., en } baza canonică a lui C n . Fie K = max{k T e1 k , k T e2 k , .., k T en k}; fie x = din C n . În mod evident avem: n P =1 x e un vector |x | ≤k x k, ∀1 ≤  ≤ n. Folosind inegalitatea triunghiului şi inegalităţile anterioare, rezultă: k T x k=k T ≤ n X =1   n X  x e   =1 k=k n X =1 x T e k≤ |x | k T e k≤ nK k x k . Din propoziţia precedentă, ((b)⇔ (c)), rezultă că T este aplicaţie continuă. 14.Definiţie (norma unui operator) Fie T ∈ L(C n ). Datorită punctului (c) din propoziţia 12 putem defini: k T k= inf{M > 0 ; k T x k ≤ M k x k, ∀x ∈ C n }. Fie, de asemenea (notaţiile care urmează nu vor mai fi folosite ı̂n continuare): k T k1 = sup{k T x k ; x ∈ C n şi k x k= 1}, k T k2 = sup{k T x k ; x ∈ C n şi k x k ≤ 1}, k T k3 = sup{| < T x, y > | ; k x k=k y k= 1}. În lema 5, cap.3, vom demonstra (ı̂nlocuind C n cu un spaţiu normat arbitrar) că k T k=k T k1 =k T k2 ; tot acolo, vom demonstra că aplicaţia k k este o normă pe spaţiul L(C n ). Propunem ca exerciţiu egalitatea k T k3 =k T k . Rezultă deci că (L(C n ), k k ) este un spaţiu normat. Completitudinea acestui spaţiu va fi demonstrată ı̂n capitolul 3 (teorema 7), ı̂n condiţii mai generale (ı̂nlocuind spaţiul Banach C n cu un spaţiu Banach arbitrar). În concluzie, spaţiul operatorilor liniari (şi continui) pe C n este un spaţiu Banach. 2.3. DIAGONALIZAREA OPERATORILOR NORMALI 2.3 29 Diagonalizarea operatorilor normali În acest paragraf vom caracteriza operatorii care sunt diagonalizabili ı̂n sens geometric (cf. definiţiei 7). 15.Lemă (adjunctul unui operator) Pentru orice T ∈ L(C n ), există un unic operator, T ⋆ ∈ L(C n ) astfel ı̂ncât: < T x, y >=< x, T ⋆ y >, ∀x, y ∈ C n . Operatorul T ⋆ se numeşte adjunctul lui T . Demonstraţia se bazează ı̂n mod esenţial pe teorema lui Riesz de reprezentare a funcţionalelor liniare şi continue pe un spaţiu Hilbert (teorema 13, cap.1); ı̂n capitolul 5, paragraful 1 vom face demonstraţia pentru un spaţiu Hilbert arbitrar. Alte proprietăţi remarcabile ale adjunctului sunt (propoziţiile 1şi 2,cap.5 sau [1],p.125): (i) (αT + βS)⋆ = αT ⋆ + βS ⋆ , ∀α, β ∈ C, T, S ∈ L(C n ). (ii) (T ⋆ )⋆ = T, ∀T ∈ L(C n ). (iii) (T S)⋆ = S ⋆ T ⋆ , ∀T, S ∈ L(C n ). (iv)k T ⋆ T k=k T k2 , ∀T ∈ L(C n ). (v) k T ⋆ k=k T k, ∀T ∈ L(C n ). ⋆ (vi) Dacă T ∈ L(C n ) este inversabil, atunci (T −1 ) = (T ⋆ )−1 . 16.Propoziţie Fie T ∈ L(C n ) şi fie B = {u1 , u2 , .., un } o bază ortonormală ı̂n C n . Dacă MTB = (aı  )ı  este matricea lui T ı̂n baza B, atunci MTB⋆ = (a,ı )ı  . În particular, dacă elementele aı  sunt reale, atunci matricea lui T ⋆ este transpusa matricei lui T . Demonstraţie Fie MTB⋆ = (bı  )ı  ; conform definiţiei 3, avem: bı  =< T ⋆ u , uı >=< u , T uı >= = < T uı , u > = a ı , ∀ı,  ∈ {1, 2, .., n}, ceea ce ı̂ncheie demonstraţia. Cu ajutorul noţiunii de adjunct, putem defini câteva clase remarcabile de operatori: 17.Definiţie Fie T ∈ L(C n ). (a) T se numeşte autoadjunct dacă T = T ⋆ . (b) T se numeşte unitar dacă T T ⋆ = T ⋆ T = I. 30 CAPITOLUL 2. OPERATORI PE SPAŢII FINIT DIMENSIONALE Este uşor de observat (deoarece C n are dimensiune finită), că ı̂n definiţia dată mai sus este suficientă doar condiţia T ⋆ T = I (de exemplu), cealaltă fiind o consecinţă. Pe spaţii Hilbert infinit dimensionale amândouă condiţiile sunt necesare. (c) T se numeşte pozitiv (şi vom nota T ≥ O) dacă < T x, x >≥ 0, ∀x ∈ C n . Aşa cum vom vedea, pe C n (ca şi pe orice spaţiu Hilbert complex), orice operator pozitiv este autoadjunct. În cazul unui spaţiu Hilbert real definiţia de mai sus nu mai implică T = T ⋆ ; de aceea, ı̂n cazul Rn ı̂n definiţia operatorului pozitiv se cere şi condiţia de a fi autoadjunct. (d) T se numeşte normal dacă T T ⋆ = T ⋆ T . Există o analogie ı̂ntre operatori liniari şi numere complexe ı̂n care operatorii autoadjuncţi corespund numerelor reale, operatorii unitari corespund numerelor complexe de modul 1, iar operatorii pozitivi corespund numerelor pozitive. De exemplu, orice operator T ∈ L(C n ) se poate scrie ı̂n mod unic sub forma T = A + iB, cu A şi B operatori autoadjuncţi, această descompunere fiind analogul descompunerii (Carteziene) a unui număr complex z = a + ib, cu a, b ∈ R; ı̂ntr-adevăr, dacă A = 21 (T + T ⋆ ) şi B = 2i1 (T − T ⋆ ), atunci A şi B sunt autoadjuncţi şi A + iB = T . T ∈ L(C n ) ↔ z ∈ C. A = A⋆ ↔ z = z ∈ R. U ⋆ U = I ↔ zz = |z|2 = 1. Menţionăm că, aşa cum vom vedea ı̂n continuare, există şi alte rezultate care ı̂ntăresc această analogie, inclusiv ı̂n cazul infinit dimensional (a se vedea cap.5). Revenim acum la problema diagonalizării ı̂n sens geometric, care constituie subiectul central al acestui paragraf; rezultatul fundamental (pe care ı̂l vom demonstra ı̂n teorema 28) este: T este diagonalizabil ı̂n sens geometric ⇔ T este normal. Primul rezultat se referă la operatorii unitari. 18.Teoremă Fie U ∈ L(C n ); următoarele afirmaţii sunt echivalente: (a) U este operator unitar. 2.3. DIAGONALIZAREA OPERATORILOR NORMALI 31 (b) U este inversabil şi U −1 este unitar. (c) < U x, U y >=< x, y >, ∀x, y ∈ C n . (d) U transformă orice bază ortonormală ı̂n bază ortonormală. Demonstraţie (a)⇒ (b) Dacă U este unitar, atunci, din definiţie, U este inversabil şi U −1 = U ⋆ ; operatorul U −1 este unitar deoarece:  U −1 ⋆ U −1 = (U ⋆ )−1 U −1 = (U U ⋆ )−1 = I. (b)⇒ (c) Pentru orice x, y ∈ C n , avem:  < x, y >=< U −1 U x, y >=< U x, U −1 ⋆ y >=< U x, U y > . (c)⇒ (d) Fie B = {u1 , u2 , .., un } o bază ortonomală, deci < uı , u >= δı , (simbolul lui Kronecker). Mulţimea {U u1 , U u2 , .., U un } este bază ortonormală deoarece: < U uı , U u >=< uı , u >= δı , ∀ı,  ∈ {1, 2, .., n}. (d)⇒ (c) Fie {e1 , e2 , .., en } baza canonică şi fie x= n X xı eı şi y = n X yı e ı . ı=1 ı=1 Deoarece, conform ipotezei, {U e1 , U e2 , .., U en } este tot bază ortonormală, avem: n n < U x, U y >=< X xı U e ı , ı=1 = n n X X xı y < U eı , U e >= ı=1 =1 X y U e >= =1 n X xı yı =< x, y > . ı=1 (c)⇒ (a) Propunem mai ı̂ntâi ca exerciţiu următoarea afirmaţie: doi operatori T, S ∈ L(C n ) sunt egali dacă şi numai dacă < T x, y >=< Sx, y >, ∀x, y ∈ C n . Pentru orice x, y ∈ C n , avem: < U ⋆ U x, y >=< U x, U y >=< x, y >, şi deci U ⋆ U = I. 32 CAPITOLUL 2. OPERATORI PE SPAŢII FINIT DIMENSIONALE 19.Observaţie Punctul (d) din teorema de mai sus arată că matricele operatorilor unitari sunt exact matricele de trecere ı̂ntre două baze ortonormale. Mai mult, matricea (ı̂ntr-o bază ortonormală) a unui operator unitar are drept coloane vectori ortonormali; o astfel de matrice se numeşte matrice ortogonală. Din egalitatea (c) din teorema 18 rezultă k U x k=k x k, ∀x ∈ C n , deci operatorii unitari sunt izometrii liniare; pe spaţiul C n se poate demonstra şi reciproca: orice izometrie liniară este operator unitar. Într-adevăr, dacă k U x k=k x k, ∀x ∈ C n , atunci < U x, U x >=< x, x >, ∀x ∈ C n şi deci < U ⋆ U x, x >=< x, x >, ∀x ∈ C n . Demonstraţia se ı̂ncheie dacă folosim următorul rezultat adevărat numai pe spaţii Hilbert complexe (demonstraţia, care este elementară, se găseşte ı̂n capitolul 5, propoziţia 9): Fie T ∈ L(C n ) un operator arbitrar; dacă < T x, x >= 0, ∀x ∈ C n , atunci T = O. Vom vedea (ı̂n capitolul 5) că pe spaţii Hilbert infinit dimensionale există izometrii liniare neinversabile. Utilitatea operatorilor unitari pentru problema diagonalizării ı̂n sens geometric este conţinută ı̂n următoarea teoremă. 20.Teoremă (a) Un operator D ∈ L(C n ) este operator diagonal dacă şi numai dacă vectorii bazei canonice sunt vectori proprii pentru D. (b) Un operator T ∈ L(C n ) este operator diagonalizabil ı̂n sens geometric dacă şi numai dacă există o bază ortonormală a lui C n formată din vectori proprii ai lui T , sau, echivalent, există un operator unitar U astfel ı̂ncât operatorul D = U −1 T U să fie operator diagonal. Demonstraţie (a) Dacă D ∈ L(C n ) este un operator diagonal, atunci, prin definiţie, matricea sa ı̂n baza canonică este: MD =       λ1 0 0 λ2 .. .. . . 0 0 . . .. . . . .. . . . .. . 0 0 .. . . . . λn    ,   unde, λ1 , λ2 , .., λn sunt valorile proprii ale lui D. Dacă {e1 , e2 , .., en } este baza canonică, atunci evident Deı = λı eı şi deci eı este vector propriu asociat valorii proprii λı . 2.3. DIAGONALIZAREA OPERATORILOR NORMALI 33 Reciproc, dacă Deı = λı eı , atunci elementele matricei lui D (ı̂n baza canonică), sunt: ( λı dacă ı =  aı  =< De , eı >= 0 dacă ı 6= . (b) Dacă T este un operator diagonalizabil ı̂n sens geometric, atunci, din definiţie, există o bază ortonormală B = {u1 , u2 , .., un } astfel ı̂ncât MTB =       λ1 0 0 λ2 .. .. . . 0 0 . . .. . . . .. . . . .. . 0 0 .. . . . . λn    .   Fie D operatorul (diagonal) a cărui matrice ı̂n baza canonică este MTB . Dacă U este operatorul definit de relaţiile U eı = uı , ∀ı ∈ {1, 2, .., n}, atunci U este operator unitar (conform teoremei 18(d)) şi D = U −1 T U . Conform celor demonstrate la punctul (a), rezultă că Deı = λı eı , ∀ı ∈ {1, 2, .., n}. Rezultă deci T U eı = λı U eı , adică T uı = λı uı , ∀ı ∈ {1, 2, .., n}, deci u1 , u2 , .., un sunt vectori proprii ai lui T . Reciproc, fie B = {u1 , u2 , .., un } o bază ortonormală formată din vectori proprii ai operatorului T ∈ L(C n ), deci T uı = λı uı , ∀ı ∈ {1, 2, .., n}. Fie U operatorul definit prin U eı = uı , ∀ı. Atunci U este operator unitar (cf. teoremei 18(d)); rezultă că operatorul U −1 T U este operator diagonal deoarece vectorii bazei canonice sunt vectori proprii: U −1 T U eı = U −1 T uı = U −1 (λı uı ) = λı U −1 uı = λı eı , ∀ı. Rezultă deci că matricea lui T ı̂n baza B este diagonală, deci T este operator diagonalizabil ı̂n sens geometric. Trecem acum la studiul operatorilor normali; ı̂nainte de a demonstra teorema de diagonalizare (ı̂n sens geometric) pentru această clasă de operatori, 34 CAPITOLUL 2. OPERATORI PE SPAŢII FINIT DIMENSIONALE vom prezenta mai ı̂ntâi câteva proprietăţi uzuale ale acestora. Reamintim că un operator T ∈ L(C n ) se numeşte normal dacă el comută cu adjunctul său: T T ⋆ = T ⋆ T . 21.Propoziţie Dacă T ∈ L(C n ) este operator normal, atunci k T x k=k T ⋆ x k, ∀x ∈ C n . Menţionăm că reciproca acestei afirmaţii este şi ea adevărată; mai mult, rezultatul este adevărat şi ı̂n cazul infinit dimensional (a se vedea cap.5, teorema 52). Demonstraţie Pentru orice x ∈ C n , avem: k T x k2 =< T x, T x >=< x, T ⋆ T x >= =< x, T T ⋆ x >=< T ⋆ x, T ⋆ x >=k T ⋆ x k2 . 22.Consecinţă Dacă T ∈ L(C n ) este operator normal, atunci Ker(T ) =Ker(T ⋆ ). Folosind propoziţia precedentă, demonstraţia este evidentă: k T x k= 0 ⇔ k T ⋆ x k= 0. 23.Propoziţie Fie T ∈ L(C n ) un operator normal. Atunci, pentru orice λ ∈ C şi x ∈ C n , avem: T x = λx ⇔ T ⋆ x = λx. Deci, dacă λ este valoare proprie pentru T , iar x este un vector propriu (al lui T ) corespunzător valorii proprii λ, atunci, λ este valoare proprie pentru T ⋆ , iar x este vector propriu (al lui T ⋆ ) corespunzător valorii proprii λ. Demonstraţie Fie λ ∈ σ(T ); atunci, pentru orice x ∈ C n , avem: T x = λx ⇔ x ∈ Ker(λI − T ), şi deci este suficient să demonstrăm egalitatea: Ker(λI − T ) = Ker(λI − T ⋆ ). Se verifică direct că operatorul λI −T este normal, iar adjunctul său este λI − T ⋆ ; aplicând acum consecinţa 22 operatorului (normal) λI − T , demonstraţia se ı̂ncheie. 2.3. DIAGONALIZAREA OPERATORILOR NORMALI 35 24.Propoziţie Fie T ∈ L(C n ) un operator normal şi fie λ 6= µ două valori proprii distincte ale sale. Dacă T x = λx şi T y = µy, atunci x ⊥ y. Demonstraţie Fie T, λ, µ, x, y ca ı̂n enunţ; atunci , conform propoziţiei precedente T ⋆ y = µy şi deci: λ < x, y >=< λx, y >=< T x, y >=< x, T ⋆ y >=< x, µy >= µ < x, y > . Deoarece λ − µ 6= 0, rezultă < x, y >= 0, adică x ⊥ y. 25.Observaţie Din algebra liniară se ştie că pentru un operator liniar arbitrar, vectorii proprii corespunzători unor valori proprii distincte sunt liniari independenţi; propoziţia anterioară afirmă că pentru operatorii normali, aceştia sunt perpendiculari. O formulare echivalentă este: pentru orice λ, µ ∈ σ(T ), λ 6= µ, avem Ker(λI − T ) ⊥Ker(µI − T ). Pentru a putea demonstra teorema de diagonalizare pentru operatorii normali, mai sunt necesare două rezultate cu caracter general. 26.Lemă Fie A, B ∈ L(C n ). Dacă AB = BA, atunci A şi B au (cel puţin) un vector propriu comun. Demonstraţie Fie λ ∈ σ(A) şi fie x 6= 0 un vector propriu corespunzător: Ax = λx. Din egalitatea AB = BA rezultă prin inducţie AB k = B k A, ∀k ∈ N . Aplicând egalităţii Ax = λx operatorul B, obţinem: BAx = λBx, adică ABx = λBx; ı̂n concluzie, vectorul Bx este şi el vector propriu pentru operatorul A (corespunzător tot valorii proprii λ). Analog, aplicând ı̂n continuare B 2 , B 3 , ..., rezultă AB k x = λB k x, ∀k ∈ N, şi deci toţi vectorii B k x, k ∈ N , sunt vectori proprii ai operatorului A, corespunzători valorii proprii λ. Deoarece dimensiunea lui C n este finită, rezultă că numai un număr finit dintre aceştia sunt liniari independenţi; fie {x, Bx, B 2 x, .., B p−1 x} primii p vectori liniari independenţi şi fie X subspaţiul liniar generat de ei. Proprietăţile subspaţiului X sunt: (i) dim(X ) = p. (ii) ∀y ∈ X este vector propriu pentru operatorul A. 36 CAPITOLUL 2. OPERATORI PE SPAŢII FINIT DIMENSIONALE (iii) X este subspaţiu invariant pentru operatorul B, adică B(X ) ⊆ X . Proprietatea (i) este evidentă; pentru a demonstra (ii) este suficient să observăm că, ı̂n general, orice combinaţie liniară de vectori proprii (corespunzători toţi aceleeaşi valori proprii) este ı̂n continuare vector propriu. Demonstrăm acum (iii); pentru aceasta, este suficient să demonstrăm că pentru orice vector (din bază) B q x ∈ X rezultă B(B q x) ∈ X . Dar B q+1 x ∈ {x, Bx, B 2 x, ...} şi deci conform alegerii lui p rezultă că B q+1 x este o combinaţie liniară a vectorilor {x, Bx, .., B p−1 x}, adică B q+1 x ∈ X . Fie B|X : X → X restricţia operatorului B la subspaţiul X ; operatorul B|X are cel puţin o valoare proprie (deoarece dim(X ) ≥ 1) şi deci există cel puţin un vector propriu y ∈ X al operatorului B. Deoarece toţi vectorii din X sunt vectori proprii pentru A, rezultă că y este un vector propriu comun operatorilor A şi B. 27.Lemă Fie T ∈ L(C n ) şi fie X un subspaţiu invariant pentru T . Atunci subspaţiul ortogonal, X ⊥ , este invariant pentru operatorul T ⋆ . Demonstraţie Pentru orice y ∈ X ⊥ şi x ∈ X , deoarece T x ∈ X , avem: < T ⋆ y, x >=< y, T x >= 0. Rezultă deci că T ⋆ y ⊥ x, ∀x ∈ X , adică T ⋆ y ∈ X ⊥ . Evident, are loc şi implicaţia reciprocă: dacă X ⊥ este invariant la T ⋆ , atunci X este invariant la T . Demonstrăm ı̂n continuare principalul rezultat al acestui paragraf. 28.Teorema de diagonalizare pentru operatori normali Fie T ∈ L(C n ); următoarele afirmaţii sunt echivalente: (i) T este operator normal. (ii) T este operator diagonalizabil ı̂n sens geometric. Demonstraţie Vom ı̂ncepe cu implicaţia mai uşoară: (ii)⇒(i). Dacă T este operator diagonalizabil ı̂n sens geometric, atunci, conform teoremei 20 (b), există un operator unitar U ∈ L(C n ) astfel ı̂ncât operatorul D = U ⋆ T U să fie operator diagonal. Deoarece DD⋆ = D⋆ D (egalitate evidentă), rezultă: T T ⋆ = U ⋆ DU (U ⋆ DU )⋆ = U ⋆ DU U ⋆ D⋆ U = U ⋆ DD⋆ U = = U ⋆ D⋆ DU = U ⋆ D⋆ U U ⋆ DU = (U ⋆ DU )⋆ U ⋆ DU = T ⋆ T, şi deci T este operator normal. Demonstrăm acum implicaţia (i)⇒(ii). Fie T ∈ L(C n ) un operator normal, 2.3. DIAGONALIZAREA OPERATORILOR NORMALI 37 deci T T ⋆ = T ⋆ T . Pentru a demonstra că T este diagonalizabil ı̂n sens geometric este suficient, conform teoremei 20(b), să construim o bază ortonormală a lui C n formată din vectori proprii ai operatorului T . Deoarece operatorii T şi T ⋆ comută, din lema 26 rezultă că există u1 ∈ C n un vector propriu comun pentru T şi T ⋆ . Fie X1 subspaţiul liniar generat de u1 şi fie X1⊥ ortogonalul său. Proprietăţile subspaţiilor X1 şi X1⊥ sunt: L (i) X1 X1⊥ = C n . (ii) dim X1 = 1 şi dim X1⊥ = n − 1. (iii) X1 şi X1⊥ sunt invariante la T şi T ⋆ . Primele două proprietăţi sunt evidente. Subspaţiul X1 este invariant şi la T şi la T ⋆ deoarece u1 este vector propriu atât pentru T cât şi pentru T ⋆ . Conform lemei 27, rezultă că subspaţiul X1⊥ este şi el invariant pentru operatorii T şi T ⋆ . Considerăm restricţiile operatorilor T şi T ⋆ la subspaţiul X1⊥ : T |X1⊥ : X1⊥ → X1⊥ , T ⋆ |X1⊥ : X1⊥ → X1⊥ . Aplicând acum lema 26 operatorilor T |X1⊥ şi T ⋆ |X1⊥ , (care comută ı̂ntre ei), rezultă că există u2 ∈ X1⊥ care este vector propriu comun operatorilor T şi T ⋆ . Fie X2 subspaţiul liniar generat de vectorii u1 şi u2 şi fie X2⊥ ortogonalul său. Deoarece vectorii u1 şi u2 sunt perpendiculari (din construcţie), rezultă că dimensiunea spaţiului X2 este 2; cu un raţionament analog celui de mai sus, se demonstrează că subspaţiile X2 şi X2⊥ sunt invariante la T şi T ⋆ . Repetând acum construcţia anterioară (considerăm restricţiile operatorilor T şi T ⋆ la subspaţiile X2 şi X2⊥ , etc), obţinem o mulţime {u1 , u2 , .., un } cu proprietăţile: (i) uı ⊥ u , ∀ı 6= . (ii) uı este vector propriu pentru operatorii T şi T ⋆ , ∀ı ∈ {1, 2, .., n}. Considerând acum vı =k uı k−1 uı , ∀ı ∈ {1, 2, .., n}, rezultă că mulţimea {v1 , v2 , .., vn } este o bază ortonormală a lui C n formată din vectori proprii ai operatorului T (şi ai lui T ⋆ ), ceea ce ı̂ncheie demonstraţia. Înainte de a enunţa o primă consecinţă importantă a teoremei de mai sus, introducem o nouă clasă de operatori liniari. 29.Definiţie Fie X un subspaţiu ı̂n C n . Atunci, conform teoremei proiecţiei pe un subspaţiu 38 CAPITOLUL 2. OPERATORI PE SPAŢII FINIT DIMENSIONALE ı̂nchis (consecinţa 10,cap.1), orice x ∈ C n admite o descompunere unică x = y + z cu y ∈ X şi z ∈ X ⊥ . Considerăm operatorul (liniar) PX : C n → C n , PX x = y. Operatorul PX se numeşte proiecţia pe subspaţiul X . Este evident că PX2 = PX ; se demonstrează de asemenea fără dificultate că PX este autoadjunct. Un studiu aprofundat al operatorilor de proiecţie (pe un spaţiu Hilbert arbitrar) va fi prezentat ı̂n capitolul 5, paragraful 2. În cele ce urmează vom folosi următoarele proprietăţi (demonstraţiile sunt imediate). Dacă X ⊥ Y, atunci: (i) PX PY = PY PX = O. (ii) Operatorul sumă PX + PY este de asemenea proiecţie, subspaţiul de proiecţie corespunzător fiind suma (directă) a subspaţiilor X şi Y. 30.Consecinţă (formula de descompunere spectrală pentru operatori normali) Fie T ∈ L(C n ) un operator normal şi fie λ1 , λ2 , .., λm valorile sale proprii (distincte). Fie, pentru orice ı ∈ {1, 2, .., m}, Pı operatorul de proiecţie pe subspaţiul vectorilor proprii asociaţi valorii proprii λı . Atunci: (i) Pı P = O, ∀ı 6= . (ii) P1 + P2 + .. + Pm = I. (iii) T = λ1 P1 + λ2 P2 + .. + λm Pm . Formula (iii) se numeşte descompunerea spectrală a lui T ; ı̂n plus, această descompunere este unică. Demonstraţie Prima relaţie este adevărată deoarece, conform propoziţiei 24, pentru un operator normal vectorii proprii corespunzători unor valori proprii distincte sunt ortogonali. Din teorema 28, rezultă că există o bază a lui C n formată din vectori proprii ai operatorului T şi deci suma (directă) a tuturor subspaţiilor de vectori proprii este C n ; acest fapt justifică egalitatea (ii). Pentru a demonstra formula de descompunere spectrală, fie, (ca ı̂n teorema 28(a)), T = U DU −1 , unde U este operator unitar, iar D este operator diagonal (matricea sa ı̂n baza canonică are pe diagonala principală valorile proprii ale lui T ). Este evident că D = λ1 E1 + λ2 E2 + .. + λm Em , unde, Eı este proiecţia pe subspaţiul vectorilor proprii ai lui D asociaţi valorii proprii λı ; reamintim că, ı̂n baza teoremei 20(a), vectorii din baza canonică sunt vectori proprii pentru D. Demonstraţia se ı̂ncheie observând că Pı = U Eı U −1 . Lăsăm demonstraţia unicităţii ca exerciţiu. Din demonstraţie rezultă de asemenea şi formula de descompunere spectrală 2.3. DIAGONALIZAREA OPERATORILOR NORMALI 39 a adjunctului: T⋆ = m X λı Pı . ı=1 31.Observaţie Deoarece operatorii autoadjuncţi şi operatorii unitari sunt ı̂n mod evident operatori normali, din teorema 28 rezultă că aceşti operatori sunt diagonalizabili ı̂n sens geometric; propunem cititorului să găsească o demonstraţie directă pentru teorema de diagonalizare a operatorilor autoadjuncţi. În finalul acestui capitol vom da câteva aplicaţii remarcabile ale teoremelor 28 şi 30; pentru completări, recomandăm [9]. 32.Observaţie Se demonstrează fără dificultate următoarele implicaţii: (i) Dacă T este operator autoadjunct, atunci valorile sale proprii sunt numere reale. (ii) Dacă T este operator pozitiv, atunci valorile sale proprii sunt numere pozitive. (iii) Dacă T este proiector, atunci σ(T ) ⊆ {0, 1}. (iv) Dacă T este operator unitar, atunci valorile sale proprii sunt numere complexe de modul 1. Este remarcabil faptul că pentru operatorii normali sunt adevărate şi reciprocele acestor afirmaţii. 33.Teoremă Fie T ∈ L(C n ) un operator normal; atunci: (i) T este operator autoadjunct dacă şi numai dacă valorile sale proprii sunt numere reale. (ii) T este operator pozitiv dacă şi numai dacă valorile sale proprii sunt numere pozitive. (iii) T este proiector dacă şi numai dacă σ(T ) ⊆ {0, 1}. (iv) T este operator unitar dacă şi numai dacă valorile sale proprii sunt numere complexe de modul 1. Menţionăm că există operatori (dar nu normali) care au toate valorile proprii reale, dar nu sunt autoadjuncţi, etc. Demonstraţie Vom demonstra numai implicaţiile ”⇐”. Fie, conform teoremei 30, T = m X ı=1 λı Pı şi T ⋆ = m X ı=1 λı Pı , 40 CAPITOLUL 2. OPERATORI PE SPAŢII FINIT DIMENSIONALE descompunerile spectrale ale operatorilor (normali) T şi T ⋆ . (i) Este clar că dacă λı sunt numere reale, atunci T este autoadjunct. (ii) Dacă λı ≥ 0, atunci pentru orice x ∈ C n , avem: < T x, x >= m X λı < Pı x, x >= = λı < Pı2 x, x >= ı=1 ı=1 m X m X λı < Pı x, Pı x >= ı=1 m X ı=1 λı k Pı x k2 ≥ 0, deci T este operator pozitiv. (iii) Dacă σ(T ) ⊆ {0, 1}, atunci operatorul T este suma unor proiecţii pe subspaţii ortogonale, deci este el ı̂nsuşi o proiecţie. (iv) Dacă |λı | = 1, ∀ı, atunci: ⋆ TT = m m X X λı λ  Pı P = m X ı=1 ı=1 =1 |λı | 2 Pı2 = m X Pı = I, ı=1 ceea ce arată că T este operator unitar. 34.Definiţie (calcul funcţional polinomial) Fie T ∈ L(C n ) şi fie p(z) = m P k=0 ak z k un polinom cu coeficienţi complecşi. O definiţie naturală pentru ”valoarea lui p ı̂n T ” este m P p(T ) = ak T k ; ı̂n această formulă T 0 = I. Este uşor de demonstrat că k=0 pentru orice două polinoame p, q şi α, β ∈ C, avem: (i) (αp + βq) (T ) = αp(T ) + βq(T ). (ii) (pq)(T ) = p(T )q(T ). Aplicaţia p → p(T ) se numeşte calculul funcţional (polinomial) al operatorului T . Extinderea acestei aplicaţii la alte clase de funcţii este o problemă importantă. Demonstrăm mai ı̂ntâi legătura dintre calculul funcţional şi teorema de descompunere spectrală pentru operatori normali. 35.Propoziţie m P Fie T ∈ L(C n ) un operator normal şi fie T = λı Pı descompunerea sa spectrală. Atunci, pentru orice polinom p, avem: p(T ) = m X p(λı )Pı . m X λkı Pı . ı=1 ı=1 Demonstraţie Este suficient să demonstrăm că pentru orice k ∈ N , avem: Tk = ı=1 41 2.3. DIAGONALIZAREA OPERATORILOR NORMALI Deoarece Pı P = O dacă ı 6=  şi Pı2 = Pı , rezultă: T2 = m X ı=1  ! m X λı P ı  λ  P  = =1 m m X X λ ı λ  Pı P = m X λ2ı Pı . ı=1 ı=1 =1 Egalitatea pentru k oarecare rezultă prin inducţie. 36.Definiţie (calcul funcţional) Fie T ∈ L(C n ) un operator normal având descompunerea spectrală T = m P ı=1 λı Pı şi fie f o funcţie de variabilă complexă al cărei domeniu de definiţie include spectrul operatorului T . În acest caz definim: f (T ) = m X f (λı )Pı . ı=1 Din propoziţia 35 rezultă că pentru funcţii polinomiale această definiţie coincide cu definiţia 34. Se verifică simplu următoarele proprietăţi: (i) (αf + βg) (T ) = αf (T ) + βg(T ), (liniaritate), (ii) (f g)(T ) = f (T )g(T ), (multiplicativitate) ∀α, β ∈ C şi pentru orice funcţii f, g definite pe spectrul lui T . Să observăm că din această definiţie rezultă că operatorul f (T ) este şi el normal, iar m P ı=1 f (λı )Pı este descompunerea sa spectrală. De exemplu, dacă f (z) = z, atunci f (T ) = T ⋆ ; Fie g(z) = z1 . Dacă operatorul T este şi inversabil (deci 0 nu este ı̂n spectrul său), atunci are sens g(T ); obţinem g(T ) = T −1 . O proprietate importantă a calculului funcţional este teorema de transformare a spectrului. 37. Teoremă (de transformare a spectrului) Fie T ∈ L(C n ) un operator normal şi fie f o funcţie definită pe spectrul lui T ; atunci: σ (f (T )) = {f (λ) ; λ ∈ σ(T )}. Vom nota ı̂n continuare mulţimea din membrul drept al acestei egalităţi cu f (σ(T )) . Demonstraţie Fie T = m P ı=1 λı Pı descompunerea spectrală a operatorului T ; atunci, din descompunerea spectrală f (T ) = m P ı=1 f (λı )Pı , rezultă că valorile proprii ale lui f (T ) sunt f (λ1 ), f (λ2 ), .., f (λm ), ceea ce ı̂ncheie demonstraţia. 42 CAPITOLUL 2. OPERATORI PE SPAŢII FINIT DIMENSIONALE O aplicaţie remarcabilă a calculului funcţional este existenţa rădăcinii pătrate pozitive pentru operatori pozitivi. 38.Teoremă (rădăcina pătrată) Fie T ∈ L(C n ) un operator pozitiv. Atunci există un unic operator pozitiv S ∈ L(C n ) astfel ı̂ncât T = S 2 ; operatorul S se numeşte rădăcina √ pătrată pozitivă a lui T şi se notează cu T . Demonstraţie Deoarece T este operator pozitiv, √ avem incluziunea: σ(T ) ⊆ [0, ∞). Rezultă deci că funcţia√radical f (t) = t este definită pe spectrul operatorului T ; fie S = f (T ) = T . Fie id(t) = t funcţia identică. Deoarece f 2 =id, din multiplicativitatea calculului funcţional rezultă că S 2 =id(T ) = T. Din teorema de transformare a spectrului rezultă că √ √ σ( T ) = { λ ; λ ∈ σ(T )} ⊂ [0, ∞), √ şi deci, conform teoremei 33(ii) operatorul T este pozitiv. Unicitatea lui S rezultă din unicitatea formulei de descompunere spectrală; m P dacă T = λı Pı este descompunerea spectrală a lui T , atunci ı=1 S= m q X λ ı Pı = ı=1 este descompunerea spectrală a lui √ √ T T. 39.Consecinţă Fie A, B ∈ L(C n ) doi operatori pozitivi; dacă AB = BA, atunci produsul AB este de asemenea pozitiv. √ A şi Pentru demonstraţie trebuie observat că dacă A şi B comută, atunci √ B comută şi ei. O aplicaţie interesantă a rădăcinii pătrate este existenţa unei descompuneri analoage descompunerii polare de la numere complexe. Se ştie că orice număr complex nenul z se poate scrie (ı̂n mod unic) sub forma z = ru, unde r = |z| > 0 şi |u| = 1. 40.Teoremă (descompunerea polară) Pentru orice T ∈ L(C n ) există un unic operator pozitiv P ∈ L(C n ) şi un operator unitar (nu neapărat unic) U ∈ L(C n ) astfel ı̂ncât T = U P . Dacă ı̂n plus operatorul T este inversabil, atunci U este unic determinat. Demonstraţie Vom face mai ı̂ntâi demonstraţia √ ı̂n ipoteza că T este inversabil, apoi vom trata cazul general. Fie P = T ⋆ T şi fie 2.3. DIAGONALIZAREA OPERATORILOR NORMALI 43 V = P T −1 ; atunci, dacă notăm U = V −1 , obţinem T = U P , unde P este un operator pozitiv. Mai avem de arătat că U este unitar. Pentru aceasta arătăm că V este unitar; deoarece V ⋆ = (T ⋆ )−1 P , rezultă: V ⋆ V = (T ⋆ )−1 P P T −1 = (T ⋆ )−1 T ⋆ T T −1 = I, şi deci V este unitar. Pentru a demonstra unicitatea lui P , să presupunem că U P = T = Uo Po este o altă descompunere polară a lui T . Din egalitatea U P = Uo Po , prin trecere la adjuncţi rezultă P U ⋆ = Po Uo⋆ şi deci: P 2 = P U ⋆ U P = Po Uo⋆ Uo Po = Po2 . Deoarece rădăcina pătrată pozitivă este unică, rezultă că P = Po . Pentru a demonstra unicitatea lui U să observăm că dacă T este inversabil atunci şi P = U −1 T este inversabil şi deci din egalitatea U P = Uo P obţinem U = Uo . Considerăm acum cazul general; operatorul P se construieşte la fel: P = √ ⋆ T T . Construim acum U ; pentru aceasta, să observăm că pentru orice x ∈ C n , avem: k P x k2 =< P x, P x >=< P 2 x, x >=< T ⋆ T x, x >=k T x k2 . Definim operatorul U mai ı̂ntâi pe subspaţiul Im(P ) prin U (P x) = T x, ∀x ∈ C n . Definiţia este corectă, ı̂n sensul că dacă P x1 = P x2 , atunci T x1 = T x2 ; pentru aceasta folosim egalitatea demonstrată mai sus: 0 =k P (x1 − x2 ) k=k T (x1 − x2 ) k . Tot din egalitatea k P x k=k T x k, rezultă că U : Im(P ) → Im(T ) este o izometrie: k U (P x) k=k T x k=k P x k, ∀x ∈ C n . De aici rezultă că subspaţiile Im(P ) şi Im(T ) au aceeaşi dimensiune (fiind izomorfe) şi deci şi ortogonalele lor au dimensiuni egale; fie W : (Im(P ))⊥ → (Im(T ))⊥ o izometrie liniară arbitrară (există, deoarece cele două subspaţii sunt izomorfe). Prelungim U pe ı̂ntregul C n , punând U = W pe (Im(P ))⊥ . Rezultă deci că U este o izometrie pe C n , adică k U x k=k x k, ∀x ∈ C n . Conform observaţiei 19 rezultă că U este operator unitar; egalitatea U P = T este de asemenea verificată şi deci demonstraţia este completă. 44 CAPITOLUL 2. OPERATORI PE SPAŢII FINIT DIMENSIONALE Variante infinit dimensionale ale rezultatelor de mai sus vor fi studiate ı̂n capitolul 5. O consecinţă a teoremei de descompunere polară este şi următoarea formulă de schimbare de variabilă pentru măsura Lebesgue. 41.Teoremă Fie µ măsura Lebesgue ı̂n Rn , fie T ∈ L(Rn ) un operator inversabil şi fie det(T ) determinantul matricei operatorului T (ı̂ntr-o bază arbitrară fixată). Atunci, pentru orice mulţime măsurabilă Lebesgue E, avem: µ(T (E)) = | det(T )|µ(E). Demonstraţie Fie M familia mulţimilor măsurabile Lebesgue ı̂n Rn . Este evident că aplicaţia µ◦T : M → [0, ∞] este o măsură invariantă la translaţii; din teorema de unicitate a măsurii Lebesgue ı̂n Rn ([3],p.325), rezultă că există o constantă c(T ) > 0 astfel ı̂ncât (µ ◦ T ) (E) = c(T )µ(E), ∀E ∈ M. Fie D pătratul unitate din Rn , adică D = {(x1 , x2 , ..xn ) ∈ Rn ; xj ∈ [0, 1], ∀1 ≤ j ≤ n}. Atunci, deoarece µ(D) = 1, rezultă c(T ) = µ(T (D)). Vom demonstra ı̂n continuare că c(T ) = | det(T )|. Pentru aceasta, fie S ∈ L(Rn ); pentru orice E ∈ M, avem: c(T S)µ(E) = (µ ◦ T S) (E) = µ(T (S(E))) = = c(T )µ(S(E)) = c(T )c(S)µ(E), deci am demonstrat egalitatea c(T S) = c(T )c(S), ∀T, S ∈ L(Rn ). Propunem ca exerciţiu egalitatea c(W ) = 1, pentru orice operator unitar W . Operatorul T fiind inversabil, conform teoremei 41 el admite o unică descompunere polară T = U A, unde U este operator unitar, iar A este operator pozitiv şi inversabil. Operatorul A fiind pozitiv, el este şi normal, deci este diagonalizabil; ca urmare, există V ∈ L(Rn ) un operator unitar astfel ı̂ncât operatorul V −1 AV este diagonal. Rezultă deci (cf.teoremei 20) că vectorii bazei canonice sunt vectori proprii pentru V −1 AV , adică: V −1 AV ei = λi ei , ∀1 ≤ i ≤ n, 2.3. DIAGONALIZAREA OPERATORILOR NORMALI 45 unde, λ1 , λ2 , .., λn sunt valorile proprii (strict pozitive) ale lui A, iar {e1 , e2 , .., en } este baza canonică din Rn . Fie Dλ = {(x1 , x2 , .., xn ) ∈ Rn ; 0 ≤ xi ≤ λi , ∀i = 1, 2, .., n}. Atunci, din relaţia (V −1 AV ) (D) = Dλ , obţinem: c(A) = c(V −1 )c(A)c(V ) = c(V −1 AV ) = c(V −1 AV )µ(D) =   = µ V −1 AV (D) = µ (Dλ ) = Rezultă: c(T ) = c(U )c(A) = c(A) = măsurabilă Lebesgue E, avem: n Y λi . i=1 n Q i=1 λi = det(A). Pentru orice mulţime µ (T (E)) = c(T )µ(E) = c(U )c(A)µ(E) = c(A)µ(E) = = det(A)µ(E) = | det(U )| det(A)µ(E) = | det(T )|µ(E). 46 CAPITOLUL 2. OPERATORI PE SPAŢII FINIT DIMENSIONALE Capitolul 3 Teoreme fundamentale de analiză funcţională 3.1 Operatori liniari şi continui pe spaţii normate 1.Definiţie Fie (X, k k) şi (Y, k k) două spaţii normate (complexe). Reamintim că un operator T : X → Y se numeşte liniar dacă T (αx + βy) = αT (x) + βT (y) , ∀α, β ∈ C, ∀x, y ∈ X. Operatorul T se numeşte continuu ı̂n punctul xo ∈ X dacă pentru orice ǫ > 0 există δ > 0 astfel ı̂ncât pentru orice x ∈ X cu proprietatea k x−xo k< δ, să avem k T x − T xo k< ǫ, sau, ı̂ntr-o formulare echivalentă (cu şiruri), dacă ∀(xn )n ⊂ X cu proprietatea lim xn = xo , rezultă lim T xn = T xo . n→∞ n→∞ Operatorul T se numeşte continuu dacă este continuu ı̂n orice punct. Vom nota mulţimea operatorilor liniari şi continui de la X ı̂n Y cu L(X, Y ). Dacă X = Y , vom nota această mulţime cu L(X). În capitolul 2 am studiat cazul X = C n . Conform teoremei 13,cap.2, orice operator liniar pe C n este continuu. Pe spaţii normate infinit dimensionale, există operatori liniari care nu sunt continui (a se vedea, de exemplu observaţia 42 din acest capitol). 2.Observaţie Mulţimea L(X, Y ) se poate organiza ca spaţiu vectorial cu operaţiile uzuale: (T + S)(x) = T x + Sx şi (αT )x = αT x, pentru orice operatori T, S ∈ L(X) şi pentru orice x ∈ X, α ∈ C. Vom nota cu O operatorul nul şi cu −T opusul lui T . 47 48 CAPITOLUL 3. TEOREME FUNDAMENTALE 3.Propoziţie Fie (X, k k) şi (Y, k k) două spaţii normate şi fie T : X → Y un operator liniar. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: (a) T este continuu ı̂n 0. (b) T este continuu. (c) Există M > 0 astfel ı̂ncât k T x k≤ M k x k , ∀x ∈ X. (d) Pentru orice submulţime mărginită A ⊆ X, submulţimea T (A) ⊆ Y este de asemenea mărginită. Demonstraţie Implicaţia (a) ⇒ (b) o propunem ca exerciţiu. (b) ⇒ (c). Din continuitatea lui T ı̂n 0, (şi T (0) = 0), rezultă că pentru orice ǫ > 0, există δ > 0 astfel ı̂ncât k T y k≤ ǫ , ∀y ∈ X cu proprietatea k y k≤ δ. Fie x ∈ X; atunci, scriind inegalitatea de mai sus pentru ǫ = 1 şi y = δ k x k−1 x, obţinem k T x k≤ 1δ k x k. Implicaţia (c) ⇒ (d) este şi ea evidentă. (d) ⇒ (a). Fie ǫ > 0 şi fie δ > 0 astfel ı̂ncât k δǫ x k≤ 1. Din ipoteza (d) rezultă k T ( δǫ x) k≤ δ; ı̂n concluzie, dacă k x k≤ δǫ , rezultă că k T x k≤ ǫ, ceea ce arată că T este continuu ı̂n origine. 4.Definiţie Pentru orice T ∈ L(X, Y ), definim: k T k= inf{M > 0 ; k T x k≤ M k x k , ∀x ∈ X}; k T k1 = sup{k T x k ; x ∈ X şi k x k= 1}; k T k2 = sup{k T x k ; x ∈ X şi k x k≤ 1}. Să observăm că buna definiţie a lui k k este asigurată de punctul (c) din propoziţia anterioară. Facem de asemenea precizarea că notaţiile k T k1 şi k T k2 vor fi folosite numai ı̂n cursul demonstraţiei lemei următoare. 5.Lemă (a) Pentru orice T ∈ L(X, Y ), avem k T k=k T k1 =k T k2 . (b) Aplicaţia T →k T k este o normă pe spaţiul vectorial L(X, Y ). Demonstraţie (a) Demonstrăm mai ı̂ntâi inegalitatea: k T x k≤k T k k x k , ∀x ∈ X. (3.1) Fie D = {M > 0 ; k T x k≤ M k x k , ∀x ∈ X}. Deoarece k T k= = inf D, rezultă că există un şir Mn ∈ D astfel ı̂ncât k T k= lim Mn şi n→∞ k T (x) k≤ Mn k x k. Din aceste două relaţii, rezultă, pentru n → ∞, inegalitatea (3.1). Folosind acum (3.1), obţinem: 3.1. OPERATORI PE SPAŢII NORMATE 49 k T k2 = sup{k T x k ; x ∈ X şi k x k≤ 1} ≤ ≤ sup{k T kk x k ; x ∈ X şi k x k≤ 1} =k T k, şi deci am demonstrat : k T k2 ≤k T k . (3.2) Pentru orice x ∈ X , x 6= 0, vectorul u =k x k−1 x are normă 1 şi deci: 1 k T x k=k T u k≤ sup{k T y k ; y ∈ X şi k y k= 1} =k T k1 , kxk şi deci am demonstrat inegalitatea: k T x k≤k T k1 k x k, (3.3) pentru orice x ∈ X; (pentru x = 0, (3.3) este evidentă). Din (3.3) rezultă că k T k1 ∈ D şi deci din definiţia lui k T k , rezultă: k T k1 ≥k T k . (3.4) Cum inegalitatea k T k1 ≤k T k2 este evidentă, din (3.2) şi (3.4) rezultă egalitatea de la punctul (a). (b) Dacă k T k= 0, atunci T u = 0 , ∀u ∈ X cu proprietatea k u k= 1; fie x ∈ X, oarecare. Atunci u =k x k−1 x are normă 1 şi deci T u=0, adică T x = 0 şi deci T = O. Celelalte 2 proprietăţi ale normei rezultă din proprietăţile corespunzătoare ale normelor din X şi Y . 6.Definiţie Din Lema anterioară rezultă că L(X, Y ) poate fi organizat ca spaţiu normat cu norma din definiţia 3. Atunci când nu se va specifica ı̂n mod explicit contrariul, pe spaţiul L(X, Y ) se va subı̂nţelege topologia definită de această normă. 7.Teoremă Fie (X, k k) şi (Y, k k) spaţii normate. Dacă Y este complet, atunci L(X, Y ) este spaţiu Banach. Demonstraţie Fie Tn un şir Cauchy ı̂n L(X, Y ), deci pentru orice ǫ > 0, există nǫ ∈ N astfel ı̂ncât k Tn − Tm k< ǫ , ∀n, m ≥ nǫ . (3.5) 50 CAPITOLUL 3. TEOREME FUNDAMENTALE Din inegalitatea (3.1), aplicată operatorului Tn − Tm şi din (3.5), rezultă: k Tn x − Tm x k< ǫ k x k , ∀n, m ≥ nǫ , ∀x ∈ X. (3.6) Din inegalitatea (3.6) rezultă că pentru orice x ∈ X şirul (Tn x)n∈N este şir Cauchy ı̂n spaţiul Y , care, conform ipotezei, este complet. Fie deci T x = lim Tn x , pentru orice x ∈ X. Liniaritatea operatorului T astfel n→∞ definit este imediată. Demonstrăm acum continuitatea lui T . Din inegalitatea (3.6), pentru m → ∞ rezultă: k Tn x − T x k≤ ǫ k x k, ∀x ∈ X, ∀n ≥ nǫ . (3.7) Din propoziţia 3 (b⇔c) şi din inegalitatea (3.7) rezultă că operatorul Tn − T este continuu şi deci T = Tn − (Tn − T ) ∈ L(X, Y ). Tot din (3.7) şi din definiţia normei ı̂n L(X, Y ) rezultă că k Tn − T k≤ ǫ, ∀n ∈ N , ceea ce arată că şirul Tn este convergent la T . 8.Definiţie Fie X un spaţiu normat. Orice aplicaţie f : X → C se numeşte funcţională (pe spaţiul X). Mulţimea funcţionalelor liniare şi continue se notează cu X ′ şi se numeşte dualul lui X. Deoarece spaţiul C este complet, din teorema precedentă (pentru Y = C) rezultă că X ′ este spaţiu Banach. Evident, aceeaşi construcţie i se poate aplica şi spaţiului X ′ ; se obţine spaţiul Banach X ′′ , (numit al doilea dual al lui X, sau bidualul). Dacă x ∈ X, atunci aplicaţia φx : X ′ → C , φx (f ) = f (x), este ı̂n X ′′ şi k φx k=k x k, ([4],p.120). In felul acesta, orice spaţiu Banach X este izomorf (ı̂n mod canonic) cu un subspaţiu din X ′′ . Dacă ı̂n plus aplicaţia X ∋ x → φx ∈ X ′′ , este un izomorfism de spaţii Banach, atunci X se numeşte spaţiu reflexiv (ı̂n general această aplicaţie nu este surjectivă). 9.Observaţie Din teorema lui Riesz de reprezentare a funcţionalelor liniare şi continue pe un spaţiu Hilbert H, rezultă că dacă f ∈ H ′ , f (x) =< x, yf >, atunci k f k=k yf k şi deci aplicaţia F : H ′ → H , F (f ) = yf este o bijecţie cu proprietăţile : F (f + g) = F (f ) + F (g) , F (αf ) = αF (f ) şi k F (f ) k=k f k; este simplu de observat că H ′ se poate organiza ca spaţiu Hilbert cu produsul scalar < f, g >= < F (f ), F (g) >. Deşi F nu este un izomorfism de spaţii Hilbert (decât ı̂n cazul ı̂n care corpul scalarilor este R), ı̂n majoritatea situaţiilor este convenabilă identificarea lui H ′ cu H. O altă consecinţă imediată a teoremei lui Riesz este faptul că orice spaţiu Hilbert este reflexiv, ([4],p.166). Nu există o teoremă de reprezentare a funcţionalelor liniare şi continue pe un spaţiu Banach arbitrar; dăm ı̂n continuare caracterizările 51 3.1. OPERATORI PE SPAŢII NORMATE dualelor unor spaţii Banach uzuale. 10.Exemplu (i) Fie α ∈ ℓ∞ (Z), (a se vedea exemplele 4(ii) şi (iii) din capitolul 1); atunci aplicaţia fα : ℓ1 (Z) → C, fα (x) = X α(n)x(n) n∈Z este o functională liniară şi continuă pe spaţiul ℓ1 (Z) cu proprietatea k fα k=k α k∞ . Reciproc, pentru orice funcţională liniară şi continuă f pe spaţiul ℓ1 (Z), există α ∈ ℓ∞ (Z) astfel ı̂ncât f = fα . Demonstraţie Fie α ∈ ℓ∞ (Z) şi fie fα ca ı̂n enunţ; este evident că fα este liniară. Continuitatea sa rezultă din inegalitatea: |fα (x)| = | X n∈Z α(n)x(n)| ≤ X n∈Z ! |x(n)| sup |α(n)|, ∀x ∈ ℓ1 (Z). n∈Z Tot de aici rezultă şi inegalitatea k fα k≤k α k∞ . Demonstrăm acum inegalitatea inversă. Pentru aceasta, fie σk ∈ ℓ1 (Z) definit prin: σk (n) = ( 1 0 dacă n = k dacă n = 6 k Evident, k σk k1 ≤ 1, şi deci k fα k= sup{|fα (y) ; k y k1 ≤ 1} ≥ |fα (σk )| = |α(k)|. Luând acum supremumul după k, rezultă k fα k≥k α k∞ . Demonstrăm acum afirmaţia reciprocă; fie f o funcţională liniară şi continuă pe spaţiul ℓ1 (Z) şi fie σk definit mai sus. P x(k)σk . Este Pentru orice x ∈ ℓ1 (Z), fie seria (de elemente din ℓ1 (Z)), k∈Z uşor de arătat că această serie converge ı̂n spaţiul ℓ1 (Z) la şirul x, deci x= X x(k)σk . k∈Z Rezultă deci (folosind liniaritatea şi continuitatea lui f ): f (x) = X k∈Z x(k)f (σk ), ∀x ∈ ℓ1 (Z). 52 CAPITOLUL 3. TEOREME FUNDAMENTALE Definim şirul α(k) = f (σk ), ∀k ∈ Z; rezultă că k α k∞ ≤k f k (deci α este mărginit) şi f = fα . În mod analog se poate identifica şi dualul spaţiului ℓ1 (N ) cu ℓ∞ (N ). Prezentăm ı̂n continuare, fără demonstraţii, (ele pot fi găsite ı̂n [4],p.111), caracterizările dualelor altor spaţii Banach uzuale. (ii) Dualul spaţiului ℓp (Z) Fie p > 1 şi fie q > 1 astfel ı̂ncât p1 + 1q = 1. Dacă α ∈ ℓq (Z), atunci aplicaţia fα : ℓp (Z) → C, fα (x) = X α(n)x(n), n∈Z este o funcţională liniară şi continuă cu proprietatea k f k=k α kq . Reciproc, pentru orice funcţională liniară şi continuă f pe spaţiul ℓp (Z), există α ∈ ℓq (Z) astfel ı̂ncât f = fα . (iii) Dualul spaţiului L1 (Ω, µ) Fie (Ω, µ) un spaţiu cu măsură σ-finită, adică există o partiţie cel mult numărabilă a lui Ω, formată din mulţimi măsurabile {Xn }n∈N astfel ı̂ncât µ(Xn ) < ∞, ∀n ∈ N . Dacă φ ∈ L∞ (Ω, µ), (a se vedea exemplele 4(i) şi (vi), capitolul 1), atunci funcţionala 1 Fφ : L (Ω, µ) → C, Fφ (f ) = Z Ω φ(t)f (t)dµ(t), este o funcţională liniară şi continuă cu proprietatea k Fφ k=k φ k∞ . Reciproc, pentru orice funcţională liniară şi continuă F pe spaţiul L1 (Ω, µ), există şi este unic φ ∈ L∞ (Ω, µ) astfel ı̂ncât F = Fφ . (iv) Dualul spaţiului Lp (Ω, µ) Fie p > 1 şi q > 1 astfel ı̂ncât p1 + 1q = 1. Dacă φ ∈ Lq (Ω, µ), atunci funcţionala p Fφ : L (Ω, µ) → C, Fφ (f ) = Z Ω φ(t)f (t)dµ(t), este o funcţinală liniară şi continuă cu proprietatea k Fφ k=k φ kq . Reciproc, pentru orice funcţională liniară şi continuă F pe spaţiul Lp (Ω, µ), există şi este unic φ ∈ Lq (Ω, µ) astfel ı̂ncât F = Fφ . 11.Observaţie Convergenţa ı̂n spaţiul normat L(X, Y ) se numeşte convergenţă uniformă. 3.1. OPERATORI PE SPAŢII NORMATE 53 Pe mulţimea L(X, Y ) se mai pot defini şi alte tipuri de convergenţă; spunem că şirul de operatori Tn ∈ L(X, Y ) converge punctual (sau tare-operatorial) la T ∈ L(X, Y ) dacă lim Tn x = T x , ∀x ∈ X; n→∞ spunem că şirul Tn ∈ L(X, Y ) converge slab-operatorial la operatorul T ∈ L(X, Y ) dacă lim f (Tn x) = f (T x) , ∀x ∈ X , ∀f ∈ X ′ . n→∞ Lăsăm ca exerciţiu cititorului afirmaţiile: convergenţa uniformă o implică pe cea punctuală, iar aceasta pe cea slabă, reciprocele fiind, ı̂n general, false. 12.Definiţie Fie X, Y, Z trei spaţii normate şi fie T ∈ L(X, Y ) şi S ∈ L(Y, Z). Operatorul ST ∈ L(X, Z), definit prin (ST )(x) = S(T x) se numeşte produsul operatorilor S şi T . Să mai observăm că din inegalităţile : k ST x k≤k S k k T x k≤k S k k T k k x k , ∀x ∈ X, rezultă k ST k≤k S k k T k. Să considerăm acum un operator T ∈ L(X). El se numeşte inversabil dacă există un alt operator T −1 ∈ L(X) astfel ı̂ncât T T −1 = T −1 T = I, unde, I este operatorul identic, adică Ix = x , ∀x ∈ X. Este simplu de observat că dacă T este bijectiv, atunci T −1 este liniar; ı̂n general ı̂nsă, operatorul T −1 nu este continuu; dacă X = C n este un spaţiu finit dimensional, atunci T −1 este continuu ı̂n virtutea faptului că pe spaţii finit dimensionale orice aplicaţie liniară este şi continuă, rezultat demonstrat ı̂n teorema 13,cap.2. Un rezultat fundamental ı̂n această direcţie este teorema aplicaţiei deschise (pe care o vom demonstra ı̂n paragraful 4 al acestui capitol). Prezentăm ı̂n continuare două rezultate referitoare la inversabilitatea operatorilor liniari şi continui. 13.Propoziţie Fie X, Y două spaţii normate şi fie T ∈ L(X, Y ). Dacă T este bijectiv, atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente: (a) T −1 este operator continuu. (b) Există m > 0 astfel ı̂ncât k T x k≥ m k x k , ∀x ∈ X. In acest caz, are loc inegalitatea k T −1 k≤ m−1 . Un operator arbitrar (nu neapărat bijectiv) care satisface condiţia (b) se numeşte mărginit inferior. Este evident că un operator mărginit inferior este injectiv. Demonstraţie (a)⇒ (b) Dacă T −1 este operator continuu, atunci, conform 54 CAPITOLUL 3. TEOREME FUNDAMENTALE propoziţiei 3, există M > 0 astfel ı̂ncât k T −1 y k≤ M k y k, ∀y ∈ Y . Notând x = T −1 y ∈ X, rezultă k x k≤ M k T x k , ∀x ∈ X şi deci luând m = M −1 relaţia (b) este verificată. (b)⇒ (a) Fie x ∈ X şi fie y = T x; din ipoteză avem: 1 1 k T x k= k y k, m m deci conform propoziţiei 3 operatorul T −1 este continuu şi avem k T −1 k≤ m−1 . k T −1 y k=k x k≤ 14.Propoziţie Fie X un spaţiu Banach şi fie T ∈ L(X). Următoarele afirmaţii sunt echivalente: (a) T este inversabil; (b) T este mărginit inferior şi subspaţiul Im(T ) = {T x ; x ∈ X} este dens ı̂n X. Demonstraţie (a) ⇒ (b) Dacă T este inversabil, atunci T este surjectiv, deci Im(T ) = X. Pentru orice x ∈ X, avem: k T x k≥ 1 k T −1 k k T −1 T x k= 1 k T −1 k k x k, şi deci T este mărginit inferior. Să observăm de asemenea că din inegalitatea de mai sus rezultă şi k T −1 k≥k T k−1 . (b) ⇒ (a) Fie, conform ipotezei, m > 0 astfel ı̂ncât k T x k≥ m k x k , ∀x ∈ X şi fie (T xn )n ⊂ Im(T ) un şir Cauchy. Din inegalitatea anterioară rezultă că pentru orice n, m ∈ N avem: k xn − xm k≤ m−1 k T xn − T xm k, şi deci (xn )n este şir Cauchy ı̂n X care este complet. Fie deci x = n→∞ lim xn . Din continuitatea lui T rezultă n→∞ lim T xn = T x, ceea ce arată că Im(T ) este subspaţiu ı̂nchis ı̂n X. Cum din ipoteză Im(T ) este dens, rezultă că T este surjectiv, deci T este bijectiv. Continuitatea lui T −1 rezultă acum din propoziţia 13. 3.2 Teorema Hahn-Banach 15.Definiţie Fie X un spaţiu vectorial real sau complex. O funcţională p : X → R se numeşte subliniară dacă p(x + y) ≤ p(x) + p(y) şi p(αx) = αp(x), pentru orice x, y ∈ X şi α ≥ 0. Din definiţie rezultă imediat proprietăţile p(0) = 0 şi −p(−x) ≤ p(x) , ∀x ∈ X. 3.2. TEOREMA HAHN-BANACH 55 În demonstraţia teoremei principale din acest paragraf (teorema Hahn-Banach) vom folosi lema lui Zorn, pe care o reamintim ı̂n continuare. 16.Lema lui Zorn Fie (A, ≤) o mulţime (parţial) ordonată. O submulţime B ⊆ A se numeşte total ordonată dacă ∀a, b ∈ B, atunci a ≤ b sau b ≤ a. Se numeşte majorant al mulţimii B orice element c ∈ A astfel ı̂ncât a ≤ c , ∀a ∈ B. Spunem că m ∈ A este un element maximal al lui A dacă pentru orice x ∈ A cu proprietatea m ≤ x, rezultă x = m. Mulţimea A se numeşte inductiv ordonată dacă orice submulţime total ordonată a lui A admite majoranţi. Lema lui Zorn afirmă că orice mulţime nevidă inductiv ordonată admite un element maximal; [2],p.3; [4],p.8. 18.Teorema Hahn-Banach Fie X un spaţiu vectorial real şi fie p o funcţională subliniară pe X. Fie Y un subspaţiu ı̂n X şi fie g : Y → R, o funcţională liniară cu proprietatea g(x) ≤ p(x) , ∀x ∈ Y . Atunci există f : X → R, o funcţională liniară cu proprietăţile: f (x) = g(x) , ∀x ∈ Y şi f (x) ≤ p(x) , ∀x ∈ X. Se spune că f prelungeşte pe g la ı̂ntreg spaţiul cu păstrarea inegalităţii f (x) ≤ p(x), ∀x ∈ X. Demonstraţie În cele ce urmează, dacă h este o funcţională liniară, vom nota cu D(h) subspatiul din X pe care este ea definită. Notaţia g  h va ı̂nsemna că h este o funcţională liniară cu proprietăţile D(h) ⊇ Y , h(y) = g(y), ∀y ∈ Y şi h(x) ≤ p(x) , ∀x ∈ D(h). Fie: A = {h : D(h) → R ; g  h}. Mulţimea A este nevidă deoarece ı̂l conţine pe g. Se demonstrează fără dificultate că A este inductiv ordonată; fie f elementul maximal dat de Lema lui Zorn. Demonstraţia se ı̂ncheie dacă D(f ) = X. Presupunem prin absurd că există a ∈ X − D(f ). Construim funcţionala h : D(h) = D(f ) + aR → R , h(x + at) = f (x) + αt, unde, α este o constantă reală neprecizată ı̂ncă. Vom demonstra că putem alege α astfel ı̂ncât h ∈ A, ceea ce ar constitui o contradicţie cu maximalitatea lui f (incluziunea D(h) ⊃ D(f ) este, ı̂n mod evident, strictă). Relaţia pe care trebuie să o satisfacă α pentru ca h ∈ A este: f (x) + αt ≤ p(x + αt) , ∀x ∈ D(f ), ∀t ∈ R, 56 CAPITOLUL 3. TEOREME FUNDAMENTALE sau, echivalent f (x) − p(x − a) ≤ p(x + a) − f (x), (3.8) pentru orice x ∈ D(f ). Din ipoteză, pentru orice x, y ∈ D(f ) avem: f (x) + f (y) ≤ p(x + y) ≤ p(x + a) + p(y − a), deci pentru orice x, y ∈ D(f ),avem: f (y) − p(y − a) ≤ p(x + a) − f (x), ceea ce arată că există α ∈ R cu proprietatea (3.8). 19.Corolar Fie X un spaţiu vectorial real şi p o funcţională subliniară pe X. Atunci, pentru orice xo ∈ X există o funcţională liniară f pe X astfel ı̂ncât f (xo ) = p(xo ) şi f (x) ≤ p(x) , ∀x ∈ X. Pentru demonstraţie, se aplică teorema Hahn-Banach pentru Y = {αxo ; α ∈ R} şi g(αxo ) = αp(xo ). O problemă importantă de geometrie ı̂n a cărei rezolvare teorema HahnBanach este un instrument esenţial este separarea submulţimilor nevide, convexe şi disjuncte dintr-un spaţiu normat. 20.Definiţie Fie (X, k k ) un spaţiu normat (real) şi fie f : X → R o funcţională liniară neidentic nulă. Pentru orice α ∈ R, mulţimea: Y (f, α) = {x ∈ X ; f (x) = α } se numeşte hiperplanul de ecuaţie f = α. Propunem ca exerciţiu afirmaţia: hiperplanul Y (f, α) este submulţime ı̂nchisă ı̂n X dacă şi numai dacă funcţionala f este continuă. Fie A şi B două submulţimi nevide ı̂n X. Spunem că hiperplanul Y (f, α) separă nestrict A de B dacă: f (x) ≤ α, ∀x ∈ A şi f (x) ≥ α, ∀x ∈ B. Spunem că hiperplanul Y (f, α) separă strict A de B dacă există ǫ > 0 astfel ı̂ncât: f (x) ≤ α − ǫ, ∀x ∈ A şi f (x) ≥ α + ǫ, ∀x ∈ B. 3.2. TEOREMA HAHN-BANACH 57 Din punct de vedere geometric, separarea ı̂nseamnă că A şi B se găsesc ”de o parte şi de alta a lui Y (f, α)”. Y (f, α) A B 21.Teoremă Fie X un spaţiu normat (real) şi fie A ⊂ X şi B ⊂ X două submulţimi nevide, convexe şi disjuncte. (a) Dacă A este submulţime deschisă, atunci există o funcţională liniară şi continuă f pe X şi α ∈ R astfel ı̂ncât hiperplanul (ı̂nchis) Y (f, α) separă nestrict A de B. (b) Dacă A este submulţime ı̂nchisă şi B este compactă, atunci există o funcţională liniară şi continuă f pe X şi α ∈ R astfel ı̂ncât hiperplanul (ı̂nchis) Y (f, α) separă strict A de B. Demonstraţie (a) Vom face demonstraţia ı̂n trei etape. Etapa I. Fie K ⊂ X o submulţime convexă astfel ı̂ncât 0 ∈ K. Atunci aplicaţia: p : X → R, p(x) = inf{a > 0 ; a−1 x ∈ K}, este o funcţională subliniară pe X astfel ı̂ncât există M > 0 cu proprietatea 0 ≤ p(x) ≤ M k x k, ∀x ∈ X. În plus, are loc egalitatea: K = {x ∈ X ; p(x) < 1}. Pentru orice ρ > 0, vom nota cu B(0, ρ) bila deschisă de centru 0 şi rază ρ din X. Fie r > 0 astfel ı̂ncât B(0, r) ⊂ K; este evident că p(x) ≤ r−1 k x k, ∀x ∈ X, deci putem lua M = r−1 . Faptul că p(tx) = tp(x), ∀x ∈ X, ∀t > 0, este evident. Demonstrăm acum prin dublă incluziune egalitatea K = {x ∈ X ; p(x) < 1}. Dacă x ∈ K, atunci, (deoarece K este mulţime deschisă), există ǫ > 0 (suficient de mic) astfel ı̂ncât (1 + ǫ)x ∈ K, deci p(x) ≤ (1 + ǫ)−1 < 1. Invers, dacă p(x) < 1, atunci există t ∈ (0, 1) astfel ı̂ncât t−1 x ∈ K, deci x = t(t−1 x) + (1 − t)0 ∈ K. 58 CAPITOLUL 3. TEOREME FUNDAMENTALE Demonstrăm acum proprietatea p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ X. Fie x, y ∈ X şi ǫ > 0. Din egalitatea K = {x ∈ X ; p(x) < 1}, rezultă: y x ∈ K şi ∈ K, p(x) + ǫ p(y) + ǫ şi deci, deoarece K este convexă, rezultă: tx (1 − t)y + ∈ K, ∀t ∈ [0, 1]. p(x) + ǫ p(y) + ǫ În particular, pentru t = (p(x) + p(y) + 2ǫ)−1 (p(x) + ǫ), obţinem: x+y ∈ K, p(x) + p(y) + 2ǫ şi deci p(x + y) < p(x) + p(y) + 2ǫ, ceea ce ı̂ncheie demonstraţia primei etape. Etapa a II-a Fie K ⊂ X o submulţime nevidă, convexă şi deschisă şi fie xo ∈ X astfel ı̂ncât xo 6∈ K. Atunci există o funcţională liniară şi continuă f : X → R, astfel ı̂ncât f (x) < f (xo ), ∀x ∈ K. În particular, hiperplanul (ı̂nchis) Y (f, f (xo )) separă nestrict {xo } de K. Putem presupune, fără a restrânge generalitatea că 0 ∈ K (făcând eventual o translaţie). Fie p funcţionala subliniară introdusă ı̂n etapa I, adică p(x) = inf{a > 0 ; a−1 x ∈ K}. Considerăm subspaţiul vectorial generat de xo : V = {txo ; t ∈ R}. Fie g : V → R, g(txo ) = t. Este evident că g este o funcţională liniară şi că ea verifică inegalitatea g(x) ≤ p(x), ∀x ∈ V. Conform teoremei Hahn-Banach, există o funcţională liniară f : X → R astfel ı̂ncât f (x) = g(x), ∀x ∈ V şi f (x) ≤ p(x), ∀x ∈ X. Din etapa I, avem că f (x) ≤ p(x) ≤ M k x k, ∀x ∈ X, deci f este continuă. De asemenea, f (xo ) = 1 şi deci, folosind egalitatea (demonstrată ı̂n etapa I) K = {x ∈ X ; p(x) < 1}, rezultă f (x) < 1, ∀x ∈ K. Etapa a III-a Demonstrăm acum enunţul teoremei. Fie A şi B ca ı̂n enunţ şi fie K = {x − y ; x ∈ A, y ∈ B}. Este simplu de arătat că mulţimea K este convexă şi deschisă şi 0 6∈ K. Conform celor demonstrate ı̂n etapa a II-a, (pentru xo = 0), există o funcţională liniară şi continuă f : X → R, astfel ı̂ncât f (u) < 0, ∀u ∈ K, adică: f (x) < f (y), ∀x ∈ A, ∀y ∈ B. 59 3.2. TEOREMA HAHN-BANACH De aici rezultă că există α ∈ R astfel ı̂ncât sup f (x) ≤ α ≤ inf f (y), x∈A y∈B ceea ce arată că hiperplanul (ı̂nchis) Y (f, α) separă nestrict A de B. (b) Fie A şi B ca ı̂n enunţ şi fie ǫ > 0, suficient de mic, astfel ı̂ncât mulţimile: Aǫ = A + B(0, ǫ) şi Bǫ = B + B(0, ǫ) să fie disjuncte şi deschise. Cum Aǫ şi Bǫ sunt şi nevide şi convexe, din (a) rezultă că există un hiperplan Y (f, α) care separă nestrict Aǫ de Bǫ , adică: f (x + ǫu) ≤ α ≤ f (y + ǫu), ∀x ∈ A, ∀y ∈ B, ∀u ∈ B(0, 1). Deoarece f (z) ≤k f k, ∀z ∈ B(0, 1), rezultă: f (x) + ǫ k f k≤ α ≤ f (y) − ǫ k f k, ∀x ∈ A, ∀y ∈ B, ceea ce arată că hiperplanul Y (f, α) separă strict A de B ı̂ntrucât f nu este identic nulă. În ı̂ncheiere, menţionăm că ı̂n Rn două mulţimi nevide, disjuncte şi convexe se pot separa nestrict ı̂ntotdeauna (fără alte ipoteze suplimentare):[16],p.211. Pentru completări ı̂n legătură cu acest subiect, recomandăm [2],p.4. Revenim acum la problema prelungirii funcţionalelor liniare şi studiem cazul spaţiilor vectoriale complexe. 22.Observaţie Dacă X este un spaţiu vectorial complex şi p este o seminormă pe X, atunci p este şi funcţională subliniară; ı̂n plus, următoarele relaţii se verifică imediat: p(−x) = p(x) şi |p(x) − p(y)| ≤ p(x − y). Demonstrăm ı̂n continuare teorema Hahn-Banach pentru spaţii vectoriale complexe. 23.Teoremă Fie X un spaţiu vectorial complex, p o seminormă pe X şi Y ⊆ X un subspaţiu vectorial. Atunci, pentru orice funcţională liniară g : Y → C astfel ı̂ncât |g(x)| ≤ p(x) , ∀x ∈ Y , există o funcţională liniară f : X → C cu proprietăţile: f (x) = g(x) , ∀x ∈ Y şi |f (x)| ≤ p(x) , ∀x ∈ X. 60 CAPITOLUL 3. TEOREME FUNDAMENTALE Demonstraţie Fie g : Y → C ca ı̂n enunţ şi fie g1 , g2 : Y → R, funcţionale liniare reale astfel ı̂ncât g(x) = g1 (x) + ig2 (x). Atunci, explicitând egalitatea g(ix) = ig(x), obţinem g1 (ix) = −g2 (x), deci g(x) = g1 (x) − ig1 (x). În plus, din ipoteză rezultă |g1 (x)| ≤ p(x) , ∀x ∈ Y . Aplicând teorema Hahn-Banach (cazul real) funcţionalei reale g1 rezultă că există f1 : X → R funcţională liniară reală astfel ı̂ncât f1 (x) = g1 (x) , ∀x ∈ Y şi f1 (x) ≤ p(x) , ∀x ∈ X. Definim f : X → C , f (x) = f1 (x) − if1 (ix); se demonstrează prin calcul direct că f satisface concluzia teoremei. Prezentăm ı̂n continuare câteva consecinţe (pe spaţii normate) ale teoremei Hahn-Banach. 24.Corolar Fie (X, k k) un spaţiu normat complex şi fie Y ⊆ X un subspaţiu. Atunci, pentru orice funcţională liniară şi continuă g : Y → C există f ∈ X ′ astfel ı̂ncât f (x) = g(x) , ∀x ∈ Y şi k f k= sup{|g(x)| ; x ∈ Y , k x k≤ 1}. Demonstraţie Fie m = sup{|g(x)| ; x ∈ Y , k x k≤ 1} şi fie p : X → R , p(x) = m k x k. Aplicând teorema Hahn-Banach funcţionalei g şi seminormei p, demonstraţia se ı̂ncheie. 25.Corolar Fie (X, k k) un spaţiu normat. Atunci, pentru orice xo ∈ X există fo ∈ X ′ astfel ı̂ncât: k fo k=k xo k şi fo (xo ) =k xo k2 . În particular, dacă f (xo ) = 0 , ∀f ∈ X ′ , atunci xo = 0. Demonstraţie Se aplică corolarul precedent pentru Y = {αxo ; α ∈ C} şi g(αxo ) = α k xo k2 . 26.Corolar Fie (X, k k) un spaţiu normat. Atunci, pentru orice x ∈ X, are loc egalitatea: k x k= sup{ |f (x)| ; f ∈ X ′ şi k f k= 1}. În plus, există fx ∈ X ′ astfel ı̂ncât k x k= |fx (x)|. În particular, dacă X = (H, < , >) este un spaţiu Hilbert, atunci, din teorema lui Riesz (teorema 13,cap.1), rezultă egalitatea: k x k= sup{| < x, y > | ; y ∈ H, k y k= 1}. 3.2. TEOREMA HAHN-BANACH 61 Demonstraţie Fie x ∈ X şi fie f ∈ X ′ astfel ı̂ncât k f k= 1. Din inegalitatea |f (x)| ≤k f kk x k=k x k, rezultă k x k≥ sup{ |f (x)| ; f ∈ X ′ şi k f k= 1}. Din corolarul 25, rezultă existenţa unei funcţionale hx ∈ X ′ astfel ı̂ncât k hx k=k x k şi hx (x) =k x k2 ; fie fx =k x k−1 hx . Atunci k fx k= 1 şi fx (x) =k x k, ceea ce ı̂ncheie demonstraţia. 27.Observaţie Din corolarul 26 rezultă că dacă X, Y sunt spaţii normate şi T ∈ L(X, Y ), atunci : k T k= sup{ |g(T x)| ; x ∈ X , k x k≤ 1 , g ∈ Y ′ , k g k≤ 1}. În particular, dacă X = Y = (H, < , >) este un spaţiu Hilbert, atunci, din teorema lui Riesz, rezultă egalitatea: k T k= sup{| < T x, y > | ; x, y ∈ H, k x k≤ 1, k y k≤ 1}. 28.Corolar Fie X un spaţiu normat şi fie Y ⊂ X un subspatiu care nu este dens ı̂n X, adică Y 6= X. Atunci există o funcţională neidentic nulă f ∈ X ′ astfel ı̂ncât f (x) = 0 , ∀x ∈ Y . Demonstraţie Vom face demonstraţia pentru cazul real. Considerăm ca funcţională subliniară distanţa la subspaţiul Y : p(x) = dist(x, Y ) = = inf{ k x − y k ; y ∈ Y }. Evident, p(x) = 0 ⇔ x ∈ Y . Fie xo ∈ X − Y ; conform corolarului 19, există f ∈ X ′ astfel ı̂ncât f (xo ) = p(xo ) şi f (x) ≤ p(x) , ∀x ∈ X, ceea ce ı̂ncheie demonstraţia. Definim ı̂n continuare adjunctul unui operator liniar şi continuu ı̂ntre două spaţii Banach. 29.Teoremă Fie X, Y spaţii normate. Pentru orice T ∈ L(X, Y ) există şi este unic T ⋆ ∈ L(Y ′ , X ′ ) astfel ı̂ncât g(T x) = (T ⋆ g)(x) , ∀x ∈ X , ∀g ∈ Y ′ . În plus, are loc egalitatea k T ⋆ k=k T k. În particular, dacă X = Y = (H, < , >) este un spaţiu Hilbert, atunci, din teorema lui Riesz, rezultă egalitatea: < T x, y >=< x, T ⋆ y >, ∀x, y ∈ H. 62 CAPITOLUL 3. TEOREME FUNDAMENTALE Demonstraţie Fie T ∈ L(X, Y ) ; definim T ⋆ : Y ′ → X ′ , T ⋆ g = g ◦ T. Pentru orice x ∈ X, avem (T ⋆ g)(x) = g(T x), ceea ce arată că T ⋆ este unic. Liniaritatea este imediată. Conform observaţiei 27, avem: k T k= sup{ |(T ⋆ g)(x)| ; x ∈ X , k x k≤ 1 , g ∈ Y ′ , k g k≤ 1} = = sup{k T ⋆ g k ; g ∈ Y ′ , k g k≤ 1} =k T ⋆ k . 30.Definiţie Fie X, Y spaţii normate şi fie T ∈ L(X, Y ). Operatorul T ⋆ ∈ L(Y ′ , X ′ ) se numeşte adjunctul operatorului T . Este evident că aplicaţia L(X, Y ) ∋ T → T ⋆ ∈ L(Y ′ , X ′ ) este liniară. 31.Propoziţie Fie X, Y spaţii Banach şi T ∈ L(X, Y ). Atunci T are imagine densă ı̂n Y dacă şi numai dacă operatorul T ⋆ este injectiv. Demonstraţie Fie subspaţiul Ker(T ⋆ ) = {g ∈ Y ′ ; T ⋆ g = 0}; evident, T ⋆ este injectiv dacă şi numai dacă Ker(T ⋆ ) = {0}. Din definiţia lui T ⋆ rezultă : Ker(T ⋆ ) = {g ∈ Y ′ ; g(T x) = 0 , ∀x ∈ X}. (3.9) {g ∈ Y ′ ; g(T x) = 0 , ∀x ∈ X} = {0}. (3.10) Din corolarul 28, rezultă că Im(T ) este subspaţiu dens ı̂n Y dacă şi numai dacă: Din relaţiile 3.9 şi 3.10 rezultă echivalenţa cerută. 3.3 Principiul mărginirii uniforme Este simplu de arătat că limita punctuală (a se vedea observaţia 11) a unui şir de operatori liniari şi continui este un operator liniar; dacă domeniul de definiţie al operatorilor este spaţiu normat complet, atunci limita (punctuală) este şi continuă. Acest rezultat (nebanal) este cunoscut sub numele de Teorema Banach-Steinhaus (sau principiul mărginirii uniforme) şi constituie tema paragrafului care urmează. 32.Lema lui Baire Fie (X, d) un spaţiu metric complet şi fie (An )n∈N un şir de submulţimi 63 3.3. PRINCIPIUL MĂRGINIRII UNIFORME ı̂nchise ale lui X cu proprietatea Int(An ) = ∅ , ∀n ∈ N . S Atunci Int( An ) = ∅; (am notat cu Int(A) interiorul mulţimii A). n∈N Demonstraţie Fie, pentru fiecare n ∈ N , Dn = X − An . Din ipoteză rezultă că pentru fiecare n ∈ N mulţimea Dn este deschisă şi densă ı̂n T Dn∈N este densă ı̂n X; concluzia lemei este echivalentă cu faptul că n∈N X, sau, echivalent, pentru orice mulţime nevidă deschisă E ⊆ X, avem T T Dn ) 6= ∅. Fie E ⊆ X , E deschisă şi nevidă. Fie xo ∈ E şi fie ro > 0 E ( n∈N astfel ı̂ncât B(xo , ro ) ⊆ E. Deoarece D1 este deschisă şi densă ı̂n X, putem T T alege x1 ∈ B(xo , ro ) D1 şi r1 > 0 astfel ı̂ncât B(x1 , r1 ) ⊆ B(xo , ro ) D1 şi r1 < r2o . Repetând procedeul, obţinem două şiruri (xn )n ⊂ X şi (rn )n , rn > 0, cu proprietăţile: B(xn+1 , rn+1 ) ⊆ B(xn , rn ) \ Dn+1 şi rn+1 < rn , ∀n ∈ N. 2 Din inegalitatea d(xn+p − xn ) ≤ 2−n ro , ∀n, p ∈ N , rezultă că (xn )n este şir Cauchy şi deci există a = n→∞ lim xn . Din construcţie, a ∈ B(xn , rn ) , T T Dn ), ceea ce ı̂ncheie demonstraţia. ∀n ∈ N , şi deci a ∈ E ( n∈N 33.Corolar Fie (X, d) un spaţiu metric complet şi fie (An )n∈N un şir de submulţimi S ı̂nchise ale lui X astfel ı̂ncât An = X; atunci există p ∈ N astfel ı̂ncât n∈N Int(Xp ) 6= ∅. Vom demonstra ı̂n continuare rezultatul principal al acestui paragraf. 34.Teorema Banach-Steinhaus (Principiul mărginirii uniforme) Fie X spaţiu Banach, fie Y un spaţiu normat şi fie (T )∈J o familie de operatori liniari şi continui de la X la Y cu proprietatea sup{k T x k ;  ∈ J} < ∞ , ∀x ∈ X. Atunci: sup{k T k ;  ∈ J} < ∞. Demonstraţie Pentru orice n ∈ N , considerăm mulţimea ı̂nchisă An = {x ∈ X ; k T x k≤ n , ∀ ∈ J}. Din ipoteză rezultă că S An = X, şi deci conform corolarului 33 există p ∈ N astfel ı̂ncât n∈N Int(Xp ) 6= ∅. Fie xp ∈ Xp şi r > 0 astfel ı̂ncât B(xp , r) ⊂ Xp . Dacă y ∈ X cu proprietatea k y k< 1, atunci xp + ry ∈ B(xp , r) şi deci 64 CAPITOLUL 3. TEOREME FUNDAMENTALE k T (xp + ry) k≤ p , ∀ ∈ J. De aici rezultă că pentru orice  ∈ J şi y ∈ Y cu k y k≤ 1, avem: | k T xp k −r k T y k | ≤ p. Demonstraţia se ı̂ncheie observând că din inegalitatea de mai sus rezultă: 1 sup k T y k≤ (p+ k T xp k) < ∞ , ∀ ∈ J. r kyk≤1 35.Observaţie Concluzia teoremei anterioare este echivalentă cu existenţa unei constante k > 0 cu proprietatea : k T x k≤ k k x k , ∀x ∈ X , ∀ ∈ J. 36.Corolar Fie X, Y două spaţii Banach şi fie Tn : X → Y un şir de operatori liniari şi continui cu proprietatea că pentru orice x ∈ X şirul (Tn x)n∈N este convergent; notând această limită cu T x, avem: (a) sup k Tn k< ∞. n∈N (b) T este operator liniar şi continuu. (c) k T k≤ lim inf k Tn k . n→∞ Demonstraţie Şirul (Tn x)n∈N fiind convergent, este mărginit; afirmaţia (a) rezultă aplicând teorema 34. Este evident că T este liniar; continuitatea rezultă din observaţia 35. Inegalitatea (c) rezultă din relaţia k Tn x k≤k Tn kk x k . 37.Corolar Fie E un spaţiu Banach şi fie A ⊆ E. Dacă pentru orice f ∈ E ′ mulţimea f (A) este mărginită (ı̂n C), atunci mulţimea A este mărginită (ı̂n spatiul E). Demonstraţie Aplicăm teorema 34, pentru X = E ′ , Y = C şi J = A. Pentru fiecare a ∈ A, definim Ta : E ′ → C, Ta f = f (a); din ipoteză rezultă că pentru orice f ∈ E ′ avem sup |Ta f | < ∞. Conform a∈A observaţiei 35, există k > 0 astfel ı̂ncât: | Ta f | ≤ k k f k , ∀f ∈ E ′ , ∀a ∈ A, şi deci k Ta k≤ k. Pe de altă parte, din corolarul 26, avem k a k= sup{ |f (a) | ; f ∈ E ′ , k f k≤ 1 }, ceea ce ı̂ncheie demonstraţia. 3.4. TEOREMA APLICAŢIEI DESCHISE 65 38.Corolar Fie E un spaţiu Banach şi fie A ⊆ E ′ cu proprietatea că pentru orice x ∈ E mulţimea {f (x) ; f ∈ A} este mărginită ı̂n C. Atunci mulţimea A este mărginită (ı̂n spaţiul normat E ′ ). Demonstraţie Aplicăm teorema 34 pentru X = E , Y = C şi J = A; pentru orice f ∈ A, definim Tf : E → C , Tf x = f (x). Aplicând observaţia 35 familiei (Tf )f ∈J , demonstraţia se ı̂ncheie. 3.4 Teorema aplicaţiei deschise şi teorema graficului ı̂nchis În acest paragraf sunt prezentate teoremele aplicaţiei deschise şi cea a graficului ı̂nchis. Prima are drept consecinţă remarcabilă continuitatea inversului unui operator liniar continuu bijectiv ı̂ntre două spaţii Banach, iar a doua dă o condiţie echivalentă cu continuitatea. 39.Teorema aplicaţiei deschise Fie X, Y două spaţii Banach şi fie T ∈ L(X, Y ). Dacă T este surjectiv, atunci există k > 0 astfel ı̂ncât sup k T x k≥ k. kxk<1 Concluzia teoremei mai poate fi scrisă sub forma echivalentă: {y ∈ Y ; k y k< k } ⊆ {T x ; x ∈ X , k x k< 1 }. Demonstraţie Fie BX (0, 1) bila unitate deschisă din X ; demonstrăm mai ı̂ntâi că există k > 0 astfel ı̂ncât: T (BX (0, 1)) ⊃ BY (0, 2k). (3.11) Pentru aceasta, fie Xn = nT (BX (0, 1)); deoarece T este surjectiv, rezultă că S Xn = Y şi deci, aplicând lema lui Baire (lema 32) rezultă Int(T (BX (0, 1)) 6= n∈N φ. Putem alege deci k > 0 şi yo ∈ Y astfel ı̂ncât: BY (yo , 4k) ⊂ T (BX (0, 1)). (3.12) În particular, yo ∈ T (BX (0, 1)), deci există un şir (xn )n ⊂ BX (0, 1) astfel ı̂ncât lim T xn = yo ; ı̂n concluzie: n→∞ −yo = lim T (−xn ) ∈ T (BX (0, 1)). n→∞ (3.13) 66 CAPITOLUL 3. TEOREME FUNDAMENTALE Din relaţiile 3.12 şi 3.13 rezultă (prin adunare): BY (0, 1) ⊂ T (BX (0, 1)) + T (BX (0, 1)). (3.14) Demonstrăm acum T (BX (0, 1)) + T (BX (0, 1)) = 2T (BX (0, 1)); (3.15) pentru aceasta, este suficient să demonstrăm că T (BX (0, 1)) este mulţime convexă. Fie λ ∈ [0, 1] şi x, y ∈ BX (0, 1); avem: k λx + (1 − λ)y k≤ λ k x k +(1 − λ) k y k< λ + (1 − λ) = 1 şi deci λT x + (1 − λ)T y = T (λx + (1 − λ)y) ∈ T (BX (0, 1). Din relaţiile 3.14 şi 3.15 rezultă incluziunea 3.11. Demonstrăm ı̂n continuare incluziunea T (BX (0, 1)) ⊃ BY (0, k), ceea ce, evident, ı̂ncheie demonstraţia. Fie y ∈ BY (0, k); vom construi x ∈ BX (0, 1) astfel ı̂ncât T x = y. Din incluziunea 3.11, rezultă y ∈ T (BX (0, 21 )), deci: 1 ∀ǫ > 0, ∃z ∈ BX (0, )astfel ı̂ncât k y − T z k< ǫ. 2 k In particular pentru ǫ = 2 , există z1 ∈ X cu proprietăţile: (3.16) 1 k şi k y − T z1 k< . 2 2 Fie acum elementul y − T z1 ∈ BX (0, k). Repetând raţionamentul aplicat lui y şi luând ı̂n relaţia 3.16 ǫ = k4 , rezultă că există z2 ∈ X cu proprietăţile: k z1 k< k z2 k< 2−2 şi k (y − T z1 ) − T z2 k< 2−2 k. Repetând procedeul, construim un şir (zn )n ⊂ X cu proprietăţile: k zn k< 2−n şi k y − T (z1 + z2 + .. + zn ) k< 2−n k , ∀n ∈ N. Rezultă că seria P n∈N (3.17) zn este absolut convergentă şi deci (deoarece X este spaţiu Banach) este şi convergentă; fie x ∈ X suma acestei serii. Din relaţia 3.17 rezultă că x ∈ BX (0, 1) şi T x = y, ceea ce ı̂ncheie demonstraţia. Teorema 39 are numeroase aplicaţii; prezentăm ı̂n continuare câteva consecinţe utilizate frecvent. 40.Corolar Fie X, Y şi T ca ı̂n teorema anterioară. Atunci, imaginea prin T a oricărei 3.4. TEOREMA APLICAŢIEI DESCHISE 67 mulţimi deschise din X este mulţime deschisă ı̂n Y ; o aplicaţie cu această proprietate se numeşte aplicaţie deschisă, ceea ce dă şi numele teoremei 39: teorema aplicaţiei deschise. Demonstraţie Fie D ⊆ X o mulţime deschisă şi fie y ∈ T (D). Fie x ∈ D astfel ı̂ncât y = T x. Mulţimea D fiind deschisă, există r > 0 astfel ı̂ncât BX (x, r) ⊂ D, sau, echivalent, x + BX (0, r) ⊂ D. Aplicând T ultimei incluziuni, obţinem y + T (BX (0, r)) ⊂ T (D). Conform teoremei 39, există k > 0 astfel ı̂ncât T (BX (0, 1)) ⊃ BY (0, k), sau, ehivalent, T (BX (0, r)) ⊃ BY (0, rk). Adunând ı̂n ambii membri ai ultimei incluziuni y, rezultă BY (y, rk) ⊂ y + T (BX (0, r)) ⊂ T (D), ceea ce ı̂ncheie demonstraţia. 41.Corolar (Teorema lui Banach) Fie X, Y două spaţii Banach şi T ∈ L(X, Y ). Dacă T este operator bijectiv, atunci T −1 ∈ L(X, Y ). Acest rezultat fundamental se numeşte teorema lui Banach. Demonstraţie Fie 0 6= x ∈ X şi fie y =k x k−1 x. Din teorema 39 rezultă că există k > 0 astfel ı̂ncât k T y k≥ k şi deci k T x k≥ k k x k; din propoziţia 13 rezultă că operatorul T −1 este continuu, ceea ce ı̂ncheie demonstraţia. 42.Corolar Fie X un spatiu vectorial şi fie k k1 şi k k2 două norme pe X. Dacă (X, k k1 ) şi (X, k k2 ) sunt spaţii Banach şi dacă există c > 0 astfel ı̂ncât k x k2 ≤ c k x k1 , pentru orice x ∈ X, atunci există k > 0 astfel ı̂ncât k x k1 ≤ k k x k2 . Rezultă deci că cele două norme sunt echivalente (cf.definiţiei 1,cap.1). Demonstraţie Aplicăm corolarul 41 astfel: X = (X, k k1 ) , Y = (X, k k2 ) şi T = I. 43.Definiţie Fie X, Y două spaţii normate şi fie T : X → Y . Mulţimea G(T ) = {(x, T x) ; x ∈ X } se numeşte graficul lui T . Operatorul T se numeşte ı̂nchis dacă graficul său este mulţime ı̂nchisă (ı̂n X × Y ). Menţionăm că mulţimea X × Y este spaţiu topologic cu topologia produs ([3],p.111); o normă care defineşte topologia produs este k (x, y) k=k x k + k y k. O bază de vecinătăţi ale unui punct (x, y) ∈ X × Y este formată din toate mulţimile de tipul U × V , unde, U ⊆ X este vecinătate a lui x iar V ⊆ Y este vecinătate a lui y. Vom folosi ı̂n continuare următorul rezultat (teorema lui Tihonov): Dacă X şi Y sunt spaţii compacte, atunci X × Y este de asemenea spaţiu compact; pentru demonstraţie şi alte completări ı̂n legătură cu topologia produs, recomandăm [3],p.116. 68 CAPITOLUL 3. TEOREME FUNDAMENTALE 44.Observaţie (a) T este operator ı̂nchis dacă şi numai dacă pentru orice şir (xn )n ⊂ X cu proprietăţile: (i) lim xn = x n→∞ (ii) n→∞ lim T xn = y, rezultă y = T x. (b) Evident, orice operator continuu este ı̂nchis; să mai observăm că ı̂n cazul unui operator continuu, ipoteza (ii) de mai sus face parte din concluzie. (c) Reciproca afirmaţiei (b) este, ı̂n general, falsă, după cum arată următorul exemplu, pe care-l propunem ca exerciţiu. Fie X = {f : [0, 1] → C ; f de clasă C 1 } , Y = {f : [0, 1] → C ; f continuă} şi fie T : X → Y , T f = f ′ (derivata). Norma pe spaţiile X şi Y este norma supremum: k f k∞ = sup | f (t) |. Atunci T este operator liniar ı̂nchis, dar t∈[0,1] nu este continuu. Are loc, totuşi, următorul rezultat remarcabil. 45.Teorema graficului ı̂nchis Fie (X, k k1 ) , (Y, k k2 ) doua spaţii Banach şi fie T : X → Y un operator liniar şi ı̂nchis. Atunci T este continuu. În exemplul 44 spaţiul X nu este complet. Demonstraţie Vom folosi corolarul 42. Considerăm pe X următoarele două norme:k x k3 =k x k1 + k T x k2 şi k x k4 =k x k1 . Din ipoteză,(X, k k4 ) este spaţiu Banach. Este evident că k x k4 ≤k x k3 ; pentru a aplica corolarul 42 mai trebuie demonstrat că (X, k k3 ) este spaţiu Banach. Fie (xn )n un şir Cauchy ı̂n (X, k k3 ); atunci (xn )n este şir Cauchy ı̂n k k1 şi (T xn )n este şir Cauchy ı̂n k k2 . Rezultă că există x = lim xn (ı̂n norma k k1 ) şi y = lim T xn n→∞ n→∞ (ı̂n norma k k2 ). Deoarece T este operator ı̂nchis, rezultă că y = T x, ceea ce arată că lim k xn − x k3 = 0. Aplicând corolarul 42, rezultă că există k > 0 n→∞ astfel ı̂ncât k x k3 ≤ k k x k4 , adică k T x k2 ≤ (k − 1) k x k3 , ceea ce arată că T este operator continuu. 3.5 Topologia slabă şi teorema lui Alaoglu Un rezultat clasic de analiză (teorema lui Riesz: [3],p.193) afirmă că bila unitate ı̂nchisă dintr-un spaţiu normat este compactă dacă şi numai dacă dimensiunea spaţiului este finită. Fie (X, k k) un spaţiu Banach infinit dimensional şi fie X ′ dualul său (care este şi el infinit dimensional). Am văzut 3.5. TEOREMA LUI ALAOGLU 69 că ı̂mpreună cu norma k f k= sup |f (x)| , X ′ este spaţiu Banach; conform kxk≤1 rezultatului menţionat mai sus, rezultă că bila unitate ı̂nchisă din X ′ , pe care o vom nota BX ′ (0, 1), nu este mulţime compactă. În acest paragraf vom arăta că există o topologie pe X ′ , (numită topologia slabă a dualului) ı̂n care BX ′ (0, 1) este mulţime compactă. 46.Definiţie (topologia slabă a dualului unui spaţiu Banach) În cele ce urmează, vom prezenta, pe scurt, topologia slabă definită pe dualul unui spaţiu Banach. Pentru demonstraţii şi completări, recomandăm [4],p.46 şi p.120. Fie X un spaţiu normat şi fie X ′ dualul său; pentru orice x ∈ X definim seminorma px : X ′ → C , px (f ) = f (x). Familia de seminorme P = {px }x∈X separă punctele lui X ′ , ı̂n sensul că pentru orice 0 6= x ∈ X, există p ∈ P astfel ı̂ncât p(x) 6= 0. O vecinătate a unui element f ∈ X ′ se defineşte după cum urmează. Fie R ⊆ P o mulţime finită de seminorme şi fie, pentru orice ǫ > 0: W (f, R, ǫ) = {g ∈ X ′ ; |p(g) − p(f )| < ǫ, ∀p ∈ R}. O bază de vecinătăţi ale elementului f ∈ X ′ este {W (f, R, ǫ) ; R ⊆ P , R finită, ǫ > 0}. Topologia definită pe X ′ de vecinătăţile de mai sus se numeşte topologia slabă a dualului; vom nota această topologie cu w⋆ . Un şir (fn )n ⊂ X ′ converge la f ∈ X ′ ı̂n topologia slabă dacă şi numai dacă sunt ı̂ndeplinite următoarele două condiţii: (i) Şirul (k fn k)n este mărginit. (ii) Există o submulţime A ⊆ X cu pentru care subspaţiul liniar generat este dens ı̂n X şi lim fn (x) = f (x), ∀x ∈ A. n→∞ O submulţime F ⊆ X ′ este w⋆ -deschisă dacă pentru orice f ∈ F există o submulţime finită R ⊆ P şi ǫ > 0 astfel ı̂ncât W (f, R, ǫ) ⊆ F. 47.Teorema lui Alaoglu Fie X un spaţiu normat; atunci BX ′ (0, 1) este mulţime compactă ı̂n topologia w⋆ . Demonstraţie Fie, pentru orice x ∈ BX (0, 1), mulţimea: 70 CAPITOLUL 3. TEOREME FUNDAMENTALE Cx = {λ ∈ C ; |λ| ≤ 1}. Cu topologia uzuală, Cx este multime compactă pentru orice x ∈ BX (0, 1) şi deci, (ı̂n baza teoremei lui Tihonov: a se vedea Q definiţia 43 sau [3],p.116) şi produsul cartezian Cx este compact. x∈BX (0,1) Pentru orice f ∈ BX ′ (0, 1), notăm cu f˘ restricţia lui f la bila unitate ı̂nchisă din X . Deoarece |f˘(x)| ≤k x k≤ 1, putem considera că f˘ ∈ Y Cx ; x∈BX (0,1) aceasta se poate identificând pe f˘ cu mulţimea valorilor sale, care este: Fie F : BX ′ (0, 1) → Q {f˘(x) ; x ∈ BX (0, 1)}. Cx , F (f ) = f˘. Se demonstrează fără dificul- x∈BX (0,1) tate că F este injectivă şi continuă. Am identificat astfel BX ′ (0, 1) cu o submulţime dintr-un spaţiu compact; deoarece o submulţime ı̂nchisă inclusă ı̂ntr-una compactă este şi ea compactă, ([3],p.102), rezultă că este suficient să demonstrăm că BX ′ (0, 1) este submulţime w⋆ -ı̂nchisă. Pentru aceasta, să notăm cu B ı̂nchiderea lui BX ′ (0, 1) ı̂n topologia w⋆ şi fie f ∈ B. Pentru a arăta că f ∈ BX ′ (0, 1), trebuie să arătăm că f este liniară şi k f k≤ 1. Pentru liniaritate, fie x, y ∈ X şi α, β ∈ C; fie ǫ > 0 arbitrar şi fie mulţimea: W = {g ∈ X ′ ; |g(z) − f (z)| < ǫ, ∀z ∈ {x, y, αx + βy}}. Deoarece W este vecinătate a lui f , (ı̂n topologia w⋆ ), rezultă că W \ BX ′ (0, 1) 6= ∅. Fie h un element ı̂n această intersecţie. Deoarece h este liniară, rezultă: |f (αx + βy) − αf (x) − βf (y)| ≤ ≤ |f (αx + βy) − h(αx + βy)|+ +|α| |h(x) − f (x)| + |β| |h(y) − f (y)| ≤ (1 + |α| + |β| )ǫ, şi deci (deoarece ǫ a fost arbitrar), f este liniară. Pentru a demonstra inegalitatea k f k≤ 1, fie x ∈ X şi ǫ > 0 arbitrari; deoarece mulţimea V = {g ∈ X ; |g(x) − f (x)| < ǫ} 71 3.5. TEOREMA LUI ALAOGLU este o vecinătate a lui f ı̂n topologia w⋆ , rezultă că există h ∈ V şi deci: |f (x)| ≤ |f (x) − h(x)| + |h(x)| < ǫ+ k x k . T BX ′ (0, 1), Deoarece ǫ a fost arbitrar, rezultă că k f k≤ 1, deci f ∈ BX ′ (0, 1), ceea ce ı̂ncheie demonstraţia. Capitolul 4 Algebre Banach 4.1 Rezultate generale din teoria algebrelor Banach În acest paragraf vom prezenta noţiuni şi rezultate generale din teoria algebrelor Banach; tot aici vom da şi o listă cu principalele exemple de algebre Banach pe care le vom cita frecvent ı̂n restul lucrării. 1.Definiţie Fie A un spaţiu vectorial complex. A se numeşte algebră dacă există o operaţie (numită produs sau ı̂nmulţire) pe A cu proprietăţile: (i) x(yz) = (xy)z , ∀x, y, z ∈ A, (asociativă). (ii) (x + y)z = xz + yz şi x(y + z) = xy + xz, ∀x, y, z ∈ A, (distributivă faţa de adunare). (iii) α(xy) = x(αy) = (αx)y , ∀α ∈ C , ∀x, y ∈ A . O algebră normată este o algebră A pe care s-a definit o normă k k cu proprietatea: (iv) k xy k≤k x kk y k , ∀x, y ∈ A. Dacă ı̂n plus spaţiul normat (A, k k) este complet, atunci (A, k k) se numeşte algebră Banach (sau algebră normată completă). Din condiţia (iv) rezultă că produsul este operaţie continuă, deci pentru orice şiruri (xn )n şi (yn )n din A care converg la x şi respectiv la y, rezultă că lim xn yn = xy. n→∞ O algebră normată A se numeşte comutativă dacă produsul este operaţie comutativă: xy = yx , ∀x, y ∈ A. Dacă ı̂nmulţirea are un element neutru, e, (dacă există, el este unic), atunci A se numeşte algebră normată cu unitate; dacă ı̂n plus k e k= 1, atunci algebra se numeşte unitară. Un subspaţiu vectorial B ⊆ A se numeşte subalgebră dacă pen73 74 CAPITOLUL 4. ALGEBRE BANACH tru orice x, y ∈ B, rezultă xy ∈ B. Ca şi ı̂n cazul subspaţiilor vectoriale, o subalgebră a unei algebre Banach este completă dacă şi numai dacă este ı̂nchisă. Fie A1 şi A2 două algebre normate. O aplicaţie F : A1 → A2 se numeşte morfism de algebre dacă F este liniară şi multiplicativă (adică F (xy) = F (x)F (y) , ∀x, y ∈ A1 ). Un morfism bijectiv se numeşte izomorfism. Două algebre normate A1 şi A2 se numesc izomorfe dacă ı̂ntre ele există un izomorfism izometric, adică k F (x) k=k x k , ∀x ∈ A1 . 2.Exemple (i) Cu operaţiile uzuale, mulţimea numerelor complexe este algebră Banach comutativă unitară. (ii) Algebra (C(D), k k∞ ) Spaţiul Banach (C(D), k k∞ ) din exemplul 4(v),cap.1 se organizează ca algebră Banach comutativă unitară cu produsul (f g)(t) = f (t)g(t), elementul neutru fiind funcţia constantă 1. Reamintim ı̂n continuare teorema clasică a lui Weierstrass de aproximare uniformă a funcţiilor continue prin polinoame. Fie a, b ∈ R , a < b şi fie (C([a, b]), k k∞ ); menţionăm că spaţiul metric [a, b] este subı̂nţeles cu topologia sa naturală, ca subspaţiu ı̂n spaţiul metric R. Teorema clasică a lui Weierstrass ([8],p.326; [14],.p.147) afirmă că pentru orice funcţie continuă f ∈ C([a, b]) există un şir de polinoame Pn ∈ C[X] care converge uniform la f pe intervalul [a, b]: lim sup |f (x) − Pn (x)| = lim k f − Pn k∞ = 0. n→∞ x∈[a,b] n→∞ Dacă facem acum observaţia că mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi (restricţionate la intervalul [a, b]) este o subalgebră ı̂n algebra C([a, b]), k k∞ , atunci teorema lui Weierstrass se poate reformula astfel: Subalgebra polinoamelor C[X], (restricţionate la [a, b]) este densă in algebra C([a, b]). Vom enunţa ı̂n continuare o generalizare (ı̂n cadrul teoriei algebrelor Banach) a acestui rezultat clasic, numită teorema Weierstrass-Stone (pentru demonstraţie se pot consulta: [14],p.150; [4],p.206; [5],p.46). Fie D un spaţiu topologic compact ([3],p.99) şi fie B ⊆ C(D) o subalgebră; B se numeşte ı̂nchisă la conjugare dacă pentru orice f ∈ B rezultă f ∈ B. Spunem că B separă punctele lui D dacă pentru orice t, s ∈ D , t 6= s, există f ∈ B astfel ı̂ncât f (t) 6= f (s). Dacă pentru orice t ∈ D există f ∈ D astfel ı̂ncât f (t) 6= 0, atunci se spune că B nu se anulează pe D. Cu aceste definiţii precizate, putem enunţa teorema Weierstrass-Stone: Fie B o subalgebră ı̂n (C(D), k k∞ ); dacă B este ı̂nchisă la conjugare, 75 4.1. REZULTATE GENERALE separă punctele lui D şi nu se anulează pe D, atunci B este densă ı̂n algebra C(D). În cazul ı̂n care considerăm numai funcţii continue cu valori reale, atunci ipoteza ca B să fie ı̂nchisă la conjugare nu mai este necesară; facem de asemenea observaţia că ipoteza ca B să nu se anuleze pe D poate fi ı̂nlocuită cu ipoteza ca B să conţină funcţiile constante (este suficient să conţină funcţia constantă 1). Evident, teorema clasică a lui Weierstrass se obţine ı̂n cazul particular: D = [a, b] şi B = C[X]. (iii) Algebra (ℓ∞ (Z), k k∞ ) Spaţiul Banach al şirurilor mărginite (ℓ∞ (Z), k k∞ ) , (cf. exemplului 4(iii),cap.1) este algebră Banach comutativă unitară cu produsul: (xy)(n) = x(n)y(n) , ∀n ∈ Z, având ca element neutru şirul constant 1. (iv) Algebra L(X) Fie X un spaţiu Banach; atunci spaţiul Banach al operatorilor liniari şi continui pe X , L(X), este algebră Banach (necomutativă) unitară, ı̂nmulţirea fiind produsul (compunerea) operatorilor, iar elementul neutru operatorul identic (a se vedea cap.3,teoremele 5,7 şi 12). (v) Algebra (L∞ (Ω, µ), k k∞ ) Spaţiul Banach al funcţiilor esenţial mărginite, L∞ (Ω, µ) (cf.exemplului 4(vi),cap.1) este algebră Banach comutativă unitară cu produsul (f g)(t) = f (t)g(t), elementul neutru fiind funcţia constantă 1. În particular, L∞ (S 1 ) şi L∞ (R) sunt algebre Banach comutative unitare. Definim ı̂n continuare o subalgebră remarcabilă a lui L∞ (S 1 ). Deoarece S 1 este mulţime compactă (şi prin urmare măsura Lebesgue este finită) rezultă că orice funcţie esenţial mărginită pe S 1 este de pătrat integrabil. Deci pentru orice f ∈ L∞ (S 1 ), putem defini coeficienţii săi Fourier, fˆ(n) , ∀n ∈ Z (cf. teoremei 19,cap.1). Fie H ∞ (S 1 ) = {f ∈ L∞ (S 1 ) ; fˆ(n) = 0 , ∀n < 0 }. Se demonstrează că H ∞ (S 1 ) este subalgebră ı̂nchisă ı̂n L∞ (S 1 ). Elementele subalgebrei (Banach) H ∞ (S 1 ) se numesc funcţii analitice esenţial mărginite ([11],p.159). (vi) Algebra ℓ1 (Z) Fie spaţiul Banach (ℓ1 (Z), k k1 ) (cf. exemplului 4(ii),cap.1). Pentru orice x, y ∈ ℓ1 (Z) definim convoluţia lui x cu y prin: (x ⋆ y)(n) = X k∈Z x(n − k)y(k) , ∀n ∈ Z. 76 CAPITOLUL 4. ALGEBRE BANACH Şirul x ⋆ y ∈ ℓ1 (Z) deoarece: k x ⋆ y k1 = = X k∈Z X X | n∈Z k∈Z |y(k)| X m∈Z x(n − k)y(k)| ≤ X X n∈Z k∈Z |x(n − k)y(k)| = |x(m)| =k x k1 k y k1 , ∀x, y ∈ ℓ1 (Z). Produsul de convoluţie astfel definit este comutativ, asociativ şi distributiv faţă de adunarea şirurilor. Din egalitatea (imediată): (x ⋆ σk )(n) = x(n − k) , ∀n ∈ Z, rezultă că σo este element neutru pentru convoluţia şirurilor. Pentru demonstraţii cât şi pentru alte proprietăţi şi aplicaţii ale convoluţiei se pot consulta [1],p.518; [15],p.104; [5],p.54. (vii) Algebra L1 (R) În spaţiul Banach L1 (R) (cf. exemplului 4(iv),cap.1) produsul de convoluţie (al funcţiilor) este definit prin: (f ⋆ g)(t) = Z R f (t − s)g(s)ds. Se demonstrează că integrala de mai sus converge aproape pentru orice t ∈ R şi k f ⋆ g k1 ≤k f k1 k g k1 , adică f ⋆ g ∈ L1 (R). Operaţia astfel definită este comutativă, asociativă şi distributivă faţa de adunarea funcţiilor; convoluţia funcţiilor (spre deosebire de convoluţia şirurilor) nu admite element neutru. In concluzie, L1 (R) este o algebră Banach comutativă fără unitate; bibliografie: [17],p.49; [4],p.196; [13],p.146. În algebrele normate cu unitate, elementele inversabile au proprietăţi remarcabile. 3.Definiţie Fie A o algebră normată cu unitatea e. Un element x ∈ A se numeşte inversabil dacă există y ∈ A astfel ı̂ncât xy = yx = e; ı̂n această situaţie, y se numeşte inversul lui x şi se notează x−1 (dacă există, el este unic). Notăm cu G(A) mulţimea elementelor inversabile ale algebrei A. Este uşor de demonstrat că G(A) este grup (cu operaţia de ı̂nmulţire) şi (xy)−1 = y −1 x−1 . O algebră normată ı̂n care toate elementele nenule sunt inversabile se numeşte corp normat. 4.Propoziţie Fie A o algebră Banach unitară. Atunci, pentru orice x ∈ A cu proprietatea 77 4.1. REZULTATE GENERALE k x k< 1 rezultă că elementul e − x este inversabil şi inversul său este: (e − x)−1 = X xn . n≥0 Demonstraţie Fie x ∈ A , k x k< 1. Arătăm mai ı̂ntâi că seria P xn n≥0 este absolut convergentă (şi deci şi convergentă deoarece A este completă). Folosind inegalitatea k xn k≤k x kn , (care rezultă direct din definiţia algebrei normate), avem: X n≥0 k xn k≤ Rezultă că şirul sn = n P X n≥0 k x kn = (1− k x k)−1 < ∞. xk este convergent; din egalitatea k=0 (e − x)sn = sn (e − x) = e − xn+1 , pentru n → ∞, rezultă (folosind şi faptul că xn+1 → 0) concluzia propoziţiei. Din demonstraţie rezultă şi inegalitatea k (e − x)−1 k≤ (1− k x k)−1 , ∀x ∈ A, k x k< 1. 5.Propoziţie Într-o algebră Banach unitară mulţimea elementelor inversabile este deschisă. Demonstraţie Fie A o algebră Banach unitară şi fie a ∈ G(A). Vom arăta incluziunea: B(a, k a−1 k−1 ) ⊂ G(A), ceea ce va ı̂ncheia demonstraţia. Fie x ∈ B(a, k a−1 k−1 ); avem: k e − a−1 x k=k a−1 a − a−1 x k=k a−1 (a − x) k≤ ≤k a−1 kk a − x k<k a−1 kk a−1 k−1 = 1. Conform propoziţiei 4, rezultă că elementul e − (e − a−1 x) = a−1 x este inversabil şi deci şi x este inversabil, fiind produs de elemente inversabile: x = a(a−1 x). 78 CAPITOLUL 4. ALGEBRE BANACH 6.Propoziţie Fie A o algebră Banach unitară. Atunci aplicaţia G(A) ∋ x → x−1 ∈ G(A) este continuă. Demonstraţie Arătăm mai ı̂ntâi că aplicaţia x → x−1 este continuă ı̂n x = e: k x−1 − e k=k x−1 (e − x) k≤k x−1 kk e − x k≤ ke−xk . 1− k e − x k Fie acum a ∈ G(A), arbitrar fixat; atunci, pentru orice x ∈ G(A), avem x−1 = a−1 (xa−1 )−1 şi deci : k x−1 − a−1 k=k a−1 (xa−1 )−1 − a−1 k= =k a−1 [(xa−1 )−1 − e] k≤k a−1 kk (xa−1 )−1 − e k . Deoarece aplicaţia x → xa−1 este continuă (cf.definiţiei 1), iar aplicaţia y → y −1 este continuă ı̂n e (cf. celor demonstrate mai sus), demonstraţia se ı̂ncheie. 7.Definiţie (spectrul) Fie A o algebră normată unitară şi fie x ∈ A; mulţimea σ(x) = {λ ∈ C ; λe − x nu este inversabil} se numeşte spectrul lui x. Complementara spectrului se numeşte mulţimea rezolventă: ρ(x) = C − σ(x). Dacă B ⊆ A este o subalgebră şi dacă x ∈ B, atunci definim σB (x) = {λ ∈ C ; λe − x nu are invers ı̂n algebra B}; numim σB (x) spectrul ı̂n algebra B al elementului x. Incluziunea σ(x) ⊆ σB (x) este evidentă (ı̂n general, ea este strictă). 8.Observaţie Fie A o algebră normată unitară şi fie a ∈ A un element inversabil. Atunci σ(a−1 ) = {λ−1 ; λ ∈ σ(a)}. Demonstraţie Fie λ ∈ ρ(a), λ 6= 0; elementul (λe − a)−1 (care există) comută cu a şi deci avem: e = (λe − a)(λe − a)−1 = (a−1 − λ−1 e)(λe − a)−1 λa, ceea ce arată elementul λ−1 e − a−1 este inversabil, deci λ−1 ∈ ρ(a−1 ); restul raţionamentelor le propunem ca exerciţiu. 4.1. REZULTATE GENERALE 79 9.Exemple (i) În algebra (corpul) Banach al numerelor complexe, orice element nenul este inversabil şi deci σ(x) = {x} , ∀x ∈ C. (ii) Să considerăm algebra Banach a funcţiilor continue, (C(D), k k∞ ) (cf. exemplului 2(ii)) şi fie f ∈ C(D). Demonstrăm ı̂n continuare egalitatea σ(f ) = {f (t) ; t ∈ D}. Pentru aceasta este suficient să demonstrăm că funcţia f este inversabilă (ı̂n algebra C(D)) dacă şi numai dacă f (t) 6= 0 , ∀t ∈ D. Dacă f este inversabilă, atunci există g ∈ C(D) astfel ı̂ncât f (t)g(t) = 1 , ∀t ∈ D şi deci f (t) 6= 0 , ∀t ∈ D. Reciproc, dacă f (t) 6= 0 , ∀t ∈ D, atunci putem defini 1 funcţia continuă g(t) = f (t) , ceea ce ı̂ncheie demonstraţia. (iii) Fie L(C n ) algebra Banach a operatorilor liniari şi continui pe C n şi fie T ∈ L(C n ). În capitolul 1 (paragraful 1) am demonstrat: σ(T ) = {λ ∈ C ; λI − T nu este injectiv} = = {λ ∈ C ; λI − T nu este surjectiv} = = {λ ∈ C ; ∃x ∈ C n , x 6= 0 astfel ı̂ncât T x = λx}. Mulţimea σ(T ) este ı̂n acest caz finită şi elementele ei (care se numesc valorile proprii ale lui T ) sunt rădăcinile polinomului caracteristic asociat matricei operatorului T (ı̂ntr-o bază oarecare). (iv) Fie X un spaţiu Banach infinit dimensional şi fie T ∈ L(X). Din teorema lui Banach (corolarul 41,cap.3) rezultă că: σ(T ) = {λ ∈ C ; λI − T nu este bijectiv}. (v) Să calculăm acum spectrul unui element x ∈ (ℓ∞ (Z), k k∞ ), (cf. exemplului 2(iii)). Fie λ ∈ C astfel ı̂ncât λ − x este inversabil; există deci y ∈ ℓ∞ (Z) astfel ı̂ncât λ − x(n) = (y(n))−1 , ∀n ∈ Z. De aici rezultă inegalitatea |λ − x(n)| ≥ (k y k∞ )−1 > 0 şi deci am demonstrat implicaţia: λ ∈ ρ(x) ⇒ ∃M > 0 astfel ı̂ncât |x(n) − λ| ≥ M , ∀n ∈ Z. Reciproc, fie λ ∈ C astfel ı̂ncât există M > 0 cu proprietatea |x(n) − λ| ≥ M , ∀n ∈ Z; considerăm şirul y(n) = (x(n) − λ)−1 , ∀n ∈ Z. Evident, y(x − λ) = 1 şi y ∈ ℓ∞ (Z), deoarece k y k∞ ≤ M −1 < ∞. Am demonstrat deci egalitatea: ρ(x) = {λ ∈ C ; ∃M > 0 astfel ı̂ncât |x(n) − λ| ≥ M }, 80 CAPITOLUL 4. ALGEBRE BANACH sau, echivalent, luând complementarele mulţimilor de mai sus: σ(x) = {x(n) ; n ∈ Z}. (vi) Pentru a calcula spectrul unei funcţii ϕ din algebra (L∞ (Ω, µ), k k∞ ), (cf. exemplului 2(v)) introducem mai ı̂ntâi noţiunea de imagine esenţială ([8],p.261; [5],p.57): essran(ϕ) = {λ ∈ C ; µ({t ∈ Ω ; |ϕ(t) − λ| < ǫ}) > 0 , ∀ǫ > 0} . Se demonstrează că imaginea esenţială este mulţime ı̂nchisă şi mărginită (deci compactă ı̂n C) şi k ϕ k∞ = sup{ |λ| ; λ ∈ essran(ϕ)}, ([5],p.57). Demonstrăm ı̂n continuare că spectrul unei funcţii esenţial mărginite este egal cu imaginea esenţială a funcţiei. Fie λ ∈ ρ(ϕ); atunci funcţia (ϕ − λ)−1 este esenţial mărginită şi deci:   1 µ {t ∈ Ω ; |ϕ(t) − λ| < k ϕ − λ k∞ } = 0, 2 adică λ ∈ C − essran(ϕ). Invers, dacă λ ∈ C − essran(ϕ) rezultă că există ǫ > 0 astfel ı̂ncât µ ({t ∈ Ω ; |ϕ(t) − λ| < ǫ}) = 0; de aici rezultă inegalitatea 1 1 k ϕ−λ k∞ ≤ ǫ−1 , deci funcţia ϕ−λ este esenţial mărginită, ceea ce arată că ϕ − λ este inversabilă, adică λ ∈ ρ(ϕ). Să reţinem că ı̂n cursul demonstraţiei am arătat că o funcţie ϕ ∈ L∞ (Ω, µ) este inversabilă dacă şi numai dacă există m > 0 astfel ı̂ncât |ϕ(t)| ≥ m , ∀t ∈ Ω (µ − a.p.t.). În cazul ı̂n care Ω este un spaţiu topologic separat, iar µ este o măsură boreliană regulată, atunci imaginea esenţială a unei funcţii continue ϕ este ı̂nchiderea (ı̂n C ) a imaginii sale: essran(ϕ) = ϕ(Ω) ; demonstraţia este elementară şi se bazează pe faptul că mulţimile deschise au măsură nenulă. Dacă ı̂n plus spaţiul Ω este compact, atunci imaginea esenţială a unei funcţii continue coincide cu imaginea funcţiei. În particular, (pentru Ω compact) o funcţie continuă este inversabilă (ı̂n algebra L∞ (Ω, µ) ) dacă şi numai dacă nu se anulează. 10.Teoremă Într-o algebră Banach unitară spectrul oricărui element este mulţime nevidă şi compactă. Demonstraţie Fie A o algebră Banach comutativă unitară şi fie x ∈ A. Vom arăta mai ı̂ntâi că σ(x) este mulţime compactă. Fie funcţia (continuă) F : C → A , F (λ) = x − λe. Imaginea inversă prin F a lui G(A) este mulţime deschisă şi deci σ(x) = C − F −1 (G(A)) este ı̂nchisă. Pentru a demonstra că σ(x) este mulţime mărginită, fie λ ∈ C cu proprietatea |λ| >k x k; atunci k λ−1 x k< 1 şi deci conform 81 4.1. REZULTATE GENERALE propoziţiei 4 rezultă că elementul e − λ−1 x este inversabil. Am demonstrat deci incluziunea: σ(x) ⊆ {λ ∈ C ; |λ| ≤k x k}. Pentru a demonstra că σ(x) este mulţime nevidă, să presupunem prin absurd că pentru orice λ ∈ C, elementul λe − x este inversabil. Atunci, pentru orice funcţională f ∈ A′ putem defini aplicaţia G : C → C, G(λ) = f ((λe − x)−1 ). Demonstrăm ı̂n continuare că G este funcţie ı̂ntreagă şi mărginită. Pentru orice ω ∈ C arbitrar fixat, avem: G(λ) − G(ω) f ((λe − x)−1 ) − f ((ωe − x)−1 )) = lim = λ→ω λ→ω λ−ω λ−ω lim (λe − x)−1 − (ωe − x)−1 = f lim λ→ω λ−ω ! = (ωe − x)−1 [(ωe − x) − (λe − x)](λe − x)−1 = f lim λ→ω λ−ω ! = = −f ((ωe − x)−2 ), ceea ce arată că G este funcţie ı̂ntreagă. Pentru orice |λ| >k x k, din demonstraţia propoziţiei 4, rezultă: k G(λ) k=k f ((λe − x)−1 ) k≤k f kk (λe − x)−1 k= =k f kk λ−1 (e − λ−1 x)−1 k≤k f k |λ−1 |(1− k λ−1 x k)−1 , deci G este funcţie mărginită. Din teorema lui Liouville ([1],p.424), rezultă că G este funcţie constantă; ı̂n particular, G(0) = G(1), adică f (−x−1 ) = f ((e − x)−1 ) , ∀f ∈ A′ . Pe de altă parte, deoarece −x−1 6= (e − x)−1 , există (ı̂n baza corolarului 25,cap.3) o funcţională g ∈ A′ astfel ı̂ncât g(−x−1 ) 6= g((e − x)−1 ), ceea ce constituie o contradicţie cu concluzia de mai sus. O consecinţă a acestui rezultat este caracterizarea corpurilor Banach. 11.Corolar (Teorema Gelfand-Mazur) Orice corp Banach este izomorf cu corpul numerelor complexe. Demonstraţie Fie A un corp Banach şi fie x ∈ A; atunci, conform teoremei 10, există λ(x) ∈ σ(x) şi deci elementul λ(x)e−x nu este inversabil. Deoarece A este corp, rezultă că λ(x)e − x = 0, sau, x = λ(x)e (de aici rezultă şi faptul că λ(x) este unic). Se arată simplu că aplicaţia Φ : A → C , Φ(x) = λ(x) este un izomorfism de algebre Banach. 82 CAPITOLUL 4. ALGEBRE BANACH 12.Definiţie Fie A o algebră Banach şi fie x ∈ A. Raza spectrală a lui x este, prin definiţie, r(x) = sup{|λ| ; λ ∈ σ(x)}. Să observăm că definiţia este corectă datorită teoremei 10; de asemenea, din demonstraţia aceleeaşi teoreme rezultă şi inegalitatea: r(x) ≤k x k. Din exemplul 9 rezultă că ı̂n algebrele C(D) şi L∞ (Ω, µ) raza spectrală este egală cu norma: r(f ) =k f k∞ . O algebră Banach ı̂n care raza spectrală şi norma nu coincid este algebra operatorilor liniari şi continui pe un spaţiu Banach; a se vedea, de exemplu, teorema 49, cap.5 (operatorul Volterra are raza spectrală 0, dar nu este identic nul). Încheiem acest paragraf cu formula razei spectrale. 13.Teoremă (formula razei spectrale) Fie A o algebră Banach unitară; atunci, pentru orice x ∈ A, are loc egalitatea: 1 r(x) = lim k xn k n . n→∞ Demonstraţie Vom demonstra mai ı̂ntâi inegalitatea: 1 r(x) ≤ lim inf k xn k n . n→∞ Pentru aceasta, fie n ∈ N şi fie λ ∈ C astfel ı̂ncât λn ∈ ρ(xn ) (deci există (λn e − xn )−1 ). Din identitatea: λn e − xn = (λe − x)(λn−1 e + λn−2 x + .. + xn−1 ), ı̂nmulţind ambii membri cu (λn e − xn )−1 , rezultă că λe − x este element inversabil şi deci λ ∈ ρ(x). În concluzie, am demonstrat implicaţia: λ ∈ σ(x) ⇒ λn ∈ σ(xn ). Pe de altă parte, |λn | ≤k xn k (deoarece raza spectrală este mai mică decât 1 norma) şi deci |λ| ≤k xn k n , ∀n ∈ N , adică: 1 r(x) ≤ lim inf k xn k n . n→∞ 1 Pentru a demonstra inegalitatea r(x) ≥ lim sup k xn k n , considerăm |λ| >k n→∞ x k; din propoziţia 4 rezultă că λe − x este inversabil şi: P −n−1 n (λe − x)−1 = λ x . Fie, ca ı̂n demonstraţia teoremei 10, f ∈ A′ şi n≥0 4.2. ALGEBRE BANACH COMUTATIVE 83 G : ρ(x) → C , G(λ) = f ((λe − x)−1 ). Funcţia G este olomorfă pe ρ(x); dacă ı̂n plus |λ| >k x k, atunci, din formula inversului lui λe − x rezultă: G(λ) = X λ−n−1 f (xn ). n≥0 Rezultă deci că seria P n≥0 λ−n−1 f (xn ) converge şi pentru |λ| > r(x); ı̂n partic- ular, de aici rezultă că pentru orice f ∈ A′ şi pentru orice λ ∈ C , |λ| > r(x) avem: sup f (λ−n xn ) < ∞. n≥0 Din corolarul 26,cap.3 rezultă sup k λ−n xn k< ∞. În concluzie, pentru orice n≥0 λ ∈ C , |λ| > r(x), există k(λ) > 0 astfel ı̂ncât k λ−n xn k≤ k(λ) , ∀n ∈ N. 1 1 De aici rezultă k xn k n ≤ |λ|(k(λ)) n şi deci: 1 lim sup k xn k n ≤ |λ| ≤ r(x), n→∞ ceea ce ı̂ncheie demonstraţia. 4.2 Algebre Banach comutative În studiul algebrelor Banach comutative, noţiunea de caracter este un instrument foarte puternic. În acest paragraf prezentăm proprietăţile spaţiului caracterelor asociat unei algebre Banach comutative unitare şi teoria transformatei Gelfand. 14.Definiţie Fie A o algebră Banach comutativă unitară. O aplicaţie ψ : A → C se numeşte caracter al algebrei A dacă : (i) ψ(αx + βy) = αψ(x) + βψ(y) , ∀α , β ∈ C , ∀x, y ∈ A; (liniară). (ii) ψ(xy) = ψ(x)ψ(y) , ∀x, y ∈ A; (multiplicativă). (iii) ψ nu este identic nulă. Mulţimea caracterelor unei algebre A se numeşte spaţiul caracterelor algebrei şi ı̂l vom nota cu K(A). 15.Propoziţie Fie ψ ∈ K(A); atunci: 84 CAPITOLUL 4. ALGEBRE BANACH (i) ψ(e) = 1. (ii) ψ(x) 6= 0 , ∀x ∈ G(A). (iii) ψ este aplicaţie continuă; deci K(A) ⊆ A′ . (iv) k ψ k= 1. Demonstraţie (i) Fie x ∈ A astfel ı̂ncât ψ(x) 6= 0; atunci ψ(x) = ψ(xe) = ψ(x)ψ(e) şi deci ψ(e) = 1. (ii) Fie x ∈ G(A) şi să presupunem prin absurd că ψ(x) = 0; atunci: 1 = ψ(e) = ψ(xx−1 ) = ψ(x)ψ(x−1 ) = 0 , contradicţie. (iii) Fie λ ∈ C astfel ı̂ncât |λ| > 1 şi fie x ∈ A cu proprietatea k x k≤ 1. Atunci, din propoziţia 4 rezultă e − λ−1 x ∈ G(A) şi deci din (ii) rezultă că ψ(e − λ−1 x) 6= 0, adică ψ(x) 6= λ. În concluzie, am demonstrat că pentru orice x ∈ A cu k x k≤ 1, are loc inegalitatea |ψ(x)| ≤ 1. De aici rezultă (cu un raţionament pe care l-am mai folosit) inegalitatea |ψ(x)| ≤k x k , ∀x ∈ A şi deci ψ este funcţională continuă cu k ψ k≤ 1; dar ψ(e) = 1 şi deci k ψ k= 1. În particular, din cele demonstrate rezultă incluziunea: K(A) ⊂ {f ∈ A′ ; k f k= 1}. 16.Propoziţie Fie A o algebră Banach comutativă unitară. Considerând pe dualul A′ topologia slabă (notată w⋆ ; a se vedea definiţia 46,cap.3), atunci, K(A) este mulţime compactă; se mai spune că spaţiul caracterelor unei algebre Banach comutative unitare este slab-compact. Demonstraţie Conform teoremei lui Alaoglu (teorema 47,cap.3), sfera unitate din A′ este compactă ı̂n topologia w⋆ , deci este suficient să demonstrăm că K(A) este submulţime ı̂nchisă (ı̂n topologia w⋆ ) ı̂n mulţimea {f ∈ A′ ; k f k= 1}. Fie K(A) ı̂nchiderea mulţimii K(A) ı̂n topologia w⋆ şi fie f ∈ K(A); pentru a arăta că f ∈ K(A), vom arăta că f este funcţională multiplicativă şi f (e) = 1. Pentru aceasta, fie x, y ∈ A şi ǫ > 0, arbitrari. Considerăm vecinătatea lui f (cf. definiţiei 46,cap.3): Fie h ∈ W T W = {g ∈ A ; |g(t) − f (t)| < ǫ, ∀t ∈ {x, y, xy, e}}. K(A); deoarece h este multiplicativă, avem: |f (xy) − f (x)f (y)| ≤ |f (xy) − h(xy)|+ |h(x)[h(y) − f (y)]| + |f (y)[h(x) − f (x)]| ≤ ≤ (1+ k x k +|f (y)|) ǫ; 4.2. ALGEBRE BANACH COMUTATIVE 85 deoarece ǫ a fost arbitrar, rezultă f (xy) = f (x)f (y). Deoarece h(e) = 1, rezultă |f (e) − 1| = |f (e) − h(e)| < ǫ, şi deci f (e) = 1, ceea ce ı̂ncheie demonstraţia. 17.Definiţie Fie A o algebră Banach comutativă unitară şi fie K(A) spaţiul caracterelor asociat ei, cosiderat ca spaţiu topologic (compact) cu topologia slabă. Fie (C(K(A)), k k∞ ) algebra Banach (comutativă) a funcţiilor continue definite pe K(A) cu valori complexe (cf. exemplului 2(ii)). Aplicaţia Γ : A → C(K(A)) , (Γ(x))(ψ) = ψ(x) se numeşte transformarea Gelfand pe algebra A. Funcţia (continuă) Γ(x) se numeşte transformata Gelfand a elementului x ∈ A. Proprietăţile imediate ale transformării Gelfand sunt date ı̂n următoarea propoziţie. 18.Propoziţie În condiţiile definiţiei 17, avem: (i) Aplicaţia Γ este morfism de algebre Banach. (ii) k Γ(x) k∞ ≤k x k, (deci Γ este continuă). (iii) σ(x) ⊇ {λ ∈ C ; ∃ψ ∈ K(A) astfel ı̂ncât (Γ(x))(ψ) = λ}. Proprietatea (iii) afirmă că spectrul elementului x ∈ A conţine imaginea funcţiei continue Γ(x). Conform exemplului 8(ii), această imagine este spectrul funcţiei Γ(x) ı̂n algebra C(K(A)); prin urmare (iii) se poate reformula astfel: σ(x) ⊇ σ(Γ(x)). Demonstraţie (i) Liniaritatea aplicaţiei Γ este evidentă. Pentru a demonstra multiplicativitatea, fie x, y ∈ A şi ψ ∈ K(A); avem: (Γ(xy))(ψ) = ψ(xy) = ψ(x)ψ(y) = (Γ(x))(ψ)(Γ(y))(ψ). (ii) Fie x ∈ A; avem: k Γ(x) k∞ = sup |ψ(x)| ≤ sup{|f (x)| ; f ∈ A′ , k f k= 1} =k x k, ψ∈K(A) unde, pentru ultima egalitate am folosit corolarul 26,cap.3. (iii) Fie λ ∈ C astfel ı̂ncât λe − x este inversabil; atunci, conform propoziţiei 15(ii), pentru orice ψ ∈ K(A), avem ψ(λe − x) 6= 0, adică 86 CAPITOLUL 4. ALGEBRE BANACH λ 6= ψ(x) , ∀ψ ∈ K(A). Rezultă deci că λ nu este ı̂n imaginea funcţiei Γ(x), deci am demonstrat incluziunea ρ(x) ⊆ C − Γ(x)(K(A)). Înainte de a demonstra şi alte proprietăţi ale transformării Gelfand, (dintre care cea mai importantă este că ı̂n (iii) avem egalitate), vom da câteva exemple. 19.Exemple (i) Să considerăm algebra (C(D), k k∞ ). Vom demonstra că, ı̂n acest caz, spaţiul caracterelor se poate identifica (ı̂ntr-un mod canonic, ce va fi precizat) cu spaţiul topologic compact D. Fie t ∈ D şi fie ψt : C(D) → C , ψt (f ) = f (t). Atunci ψt este caracter al algebrei C(D), iar aplicaţia D ∋ t → ψt ∈ K(C(D)) este bijectivă, continuă şi cu inversa continuă (o astfel de aplicaţie ı̂ntre două spaţii topologice se numeşte homeomorfism). Înainte de a demonstra această afirmaţie să observăm că transformarea Gelfand pe algebra C(D) este, (folosind identificarea de mai sus), aplicaţia identică Γ : C(D) → C(K(C(D))), (Γ(f ))(ψt ) = f (t), adică Γ(f ) = f . Faptul că pentru orice t ∈ D funcţionala ψt este caracter este imediat. Demonstrăm acum că orice caracter este de această formă: fie ψ ∈ K(C(D)) şi fie nucleul Ker (ψ) = {f ∈ C(D) ; ψ(f ) = 0}. Arătăm mai ı̂ntâi că există to ∈ D astfel ı̂ncât f (to ) = 0 , ∀f ∈ Ker(ψ). Să presupunem prin absurd că pentru orice t ∈ D, există f t ∈ Ker(ψ) astfel ı̂ncât f t (t) 6= 0; atunci, din continuitatea lui f t rezultă că există o vecinătate deschisă Vt a lui t astfel ı̂ncât f t (s) 6= 0 , ∀s ∈ Vt . Mulţimea {Vt }t∈D este o acoperire deschisă a spaţiului compact D, deci există Vt1 , Vt2 , .., Vtn astfel ı̂ncât g= n P i=1 f ti fti ; atunci: ψ(g) = n X ψ(f ti )ψ(fti ) = 0, n S i=1 Vti = D. Fie (4.1) i=1 şi deci g ∈ Ker(ψ). Dar g(s) = n P i=1 |fti (s)|2 > 0 şi deci g este funcţie in- versabilă ı̂n algebra C(D). Deoarece caracterele nu se anulează pe elemente inversabile, rezultă că ψ(g) 6= 0, ceea ce este ı̂n contradicţie cu (4.1). Fie deci to ∈ D astfel ı̂ncât f (to ) = 0 , ∀f ∈ Ker(ψ). Pentru orice h ∈ C(D), funcţia h − ψ(h)1 ∈ Ker(ψ), deoarece ψ(h − ψ(h)1) = ψ(h) − ψ(h)ψ(1) = 0. Rezultă deci că (h − ψ(h)1)(to ) = 0, adică ψ(h) = h(to ) , ∀h ∈ C(D). În concluzie, am demonstrat că ψ = ψto . Aplicaţia W : D → K(C(D)) , W(t) = ψt este bijectivă (surjectivitatea a fost demonstrată mai sus, iar injectivitatea este evidentă). Pentru a demonstra continuitatea aplicaţiei W vom face ipoteza suplimentară că D este spaţiu metric (compact); demonstraţia se poate adapta şi pentru cazul general, avantajul spaţiilor metrice fiind acela 87 4.2. ALGEBRE BANACH COMUTATIVE că putem caracteriza continuitatea cu ajutorul şirurilor. Fie (tn )n un şir care converge la t (ı̂n spaţiul metric D). Pentru orice f ∈ C(D), avem: lim [W(tn )](f ) = lim ψtn (f ) = lim f (tn ) = n→∞ n→∞ n→∞ = f (t) = ψt (f ) = [W(t)](f ), ceea ce arată că aplicaţia W este continuă. Continuitatea lui W −1 este acum consecinţa directă a unui rezultat de topologie : orice aplicaţie bijectivă şi continuă ı̂ntre două spaţii compacte are inversa continuă, ([3],p.111). (ii) Pentru a identifica spaţiul caracterelor algebrei ℓ1 (Z), vom reaminti mai ı̂ntâi câteva proprietăţi ale transformării Fourier definite pe această algebră. P x(n)λ−n converge absolut şi Fie x ∈ ℓ1 (Z) şi fie S 1 cercul unitate. Seria n∈Z uniform (ı̂n raport cu λ ∈ S 1 ): X n∈Z X |x(n)λ−n | ≤ n∈Z |x(n)| =k x k1 . Notăm cu x̂(λ) suma seriei de mai sus; funcţia x̂ : S 1 → C este mărginită şi continuă (exerciţiu). Funcţia x̂ se numeşte transformata Fourier a lui x, iar aplicaţia F : ℓ1 (Z) → C(S 1 ) se numeşte transformarea Fourier pe algebra ℓ1 (Z). Este uşor de arătat că F este liniară şi continuă. Demonstrăm ı̂n continuare faptul că F este multiplicativă: X (x ⋆ y)(n)λ−n = [F(x ⋆ y)](λ) = = X X n∈Z k∈Z = n∈Z x(n − k)y(k)λ −n = ! X X x(m)λ−m  m∈Z k∈Z X X x(m)y(k)λ−k−m = k∈Z m∈Z  y(k)λ−k  = (Fx) (Fy) . Schimbarea ordinii de sumare mai sus este corectă deoarece seriile sunt absolut convergente. Demonstrăm ı̂n continuare că mulţimea caracterelor algebrei ℓ1 (Z) se poate identifica cu cercul unitate S 1 ı̂n modul următor: pentru orice caracter ψ ∈ K(ℓ1 (Z)), există un unic ζ ∈ S 1 astfel ı̂ncât ψ(x) = x̂(ζ), unde, x̂ este transformata Fourier a lui x. Cu identificarea K(ℓ1 (Z)) ∋ ψ ↔ ζ ∈ S 1 88 CAPITOLUL 4. ALGEBRE BANACH de mai sus, transformarea Gelfand pe algebra ℓ1 (Z) coincide cu transformarea Fourier, Γ : ℓ1 (Z) → C(S 1 ), Γx = x̂. Acest exemplu sugerează faptul că transformarea Gelfand este o generalizare ı̂ntr-un cadru abstract a tranformatei Fourier; de altfel, o altă notaţie frecvent utilizată pentru Γx este x̂. Demonstrăm mai ı̂ntâi că pentru orice ζ ∈ S 1 , aplicaţia ψζ : ℓ1 (Z) → C, ψζ (x) = x̂(ζ) este caracter al algebrei ℓ1 (Z); pentru orice x, y ∈ ℓ1 (Z), avem: ψζ (x ⋆ y) = (xd ⋆ y)(ζ) = x̂(ζ)ŷ(ζ) = ψζ (x)ψζ (y). Evident, ψζ este liniară şi ı̂n plus ψζ (σo ) = 1 6= 0. Pentru a demonstra afirmaţia reciprocă, fie ψ ∈ K(ℓ1 (Z)); ı̂n particular, ψ este o funcţională liniară şi continuă pe spaţiul Banach ℓ1 (Z) şi deci conform exemplului 10(i) din capitolul 3, există şi este unic un şir mărginit φ ∈ ℓ∞ (Z) astfel ı̂ncât: X ψ(x) = x(n)φ(n) , ∀x ∈ ℓ1 (Z) (4.2) n∈Z şi k φ k∞ =k ψ k= 1. Pentru orice x ∈ ℓ1 (Z) şi m ∈ Z, notăm xm (n) = x(n − m). Fie x, y ∈ ℓ1 (Z); avem: X ψ(x)y(n)φ(n) = ψ(x)ψ(y) = ψ(x ⋆ y) = n∈Z X (x ⋆ y)(n)φ(n) = n∈Z = X n∈Z y(n) X k∈Z x(k − n)φ(k) = X y(n)ψ(xn ). n∈Z Rezultă că: ψ(x)φ(n) = ψ(xn ) , ∀n ∈ Z. (4.3) Înlocuind ı̂n egalitatea de mai sus pe n ∈ Z cu n + k ∈ Z (şi deci pe xn cu xn+k ), obţinem: ψ(x)φ(n + k) = ψ(xn+k ) = ψ((xn )k ) = Rezultă deci: = ψ(xn )φ(k) = ψ(x)φ(n)φ(k) , ∀n, k ∈ Z. φ(n + k) = φ(n)φ(k) , ∀n, k ∈ Z. (4.4) Din egalitatea (4.4) rezultă că φ(−n) = (φ(n))−1 şi deoarece |φ(n)| ≤ 1 , ∀n ∈ Z, (pentru că k φ k∞ = 1) rezultă că |φ(n)| = 1, ∀n ∈ Z. În concluzie, φ are următoarele proprietăţi: φ(n + m) = φ(n)φ(m) şi |φ(n)| = 1 , ∀n, m ∈ Z. Notând φ(1) = ζ −1 ∈ S 1 , rezultă (exerciţiu) că φ(n) = ζ −n , ∀n ∈ Z, şi deci P x(n)ζ −n , adică ψ(x) = x̂(ζ). Lăsăm ca exerciţiu uniψ(x) = n∈Z 4.2. ALGEBRE BANACH COMUTATIVE 89 citatea lui ζ (trebuie demonstrat că dacă x̂(ζ1 ) = x̂(ζ2 ) , ∀x ∈ ℓ1 (Z), atunci ζ1 = ζ2 ). Pentru a continua studiul transformatei Gelfand, introducem noţiunile de ideal şi algebră cât. 20.Definiţie Fie A o algebră normată comutativă unitară. O submulţime I ⊆ A se numeşte ideal (ı̂n A) dacă: (i) I este subspaţiu vectorial. (ii) ∀x ∈ I şi ∀y ∈ A rezultă xy ∈ I. Dacă I = 6 A, atunci I se numeşte ideal propriu. Dacă I nu este conţinut ı̂n nici un alt ideal propriu, atunci el se numeşte ideal maximal. Dacă idealul I este şi submulţime ı̂nchisă ı̂n A, atunci I se numeşte ideal ı̂nchis. Să mai facem observaţia că ı̂ntr-un ideal propriu nu există elemente inversabile (dacă un ideal conţine elemente inversabile, atunci el coincide cu algebra A). 21.Teoremă Fie A o algebră Banach comutativă unitară. Atunci orice ideal propriu este conţinut ı̂ntr-un ideal maximal şi orice ideal maximal este ı̂nchis. Demonstraţie Fie I un ideal propriu ı̂n A şi fie: M = {J ⊂ A ; J ideal propriu şi J ⊇ I}. Atunci (M, ⊆) este mulţime parţial ordonată. Arătăm că M este inductiv ordonată; pentru aceasta, fie N ⊂ M o submulţime total ordonată şi fie S J . Se demonstrează fără dificultate că Z este un element maximal Z= J ∈N al lui N . Conform lemei lui Zorn (lema 16,cap.3) rezultă că există un ideal maximal care-l conţine pe I; să mai observăm că până aici nu am folosit completitudinea algebrei A. Fie acum Y un ideal maximal ı̂n A şi fie Y ı̂nchiderea sa. Folosind completitudinea algebrei A se demonstrează simplu că Y este de asemenea ideal. Dacă prin absurd Y = A, atunci e ∈ Y. Ar exista deci un şir xn ∈ Y (deci implicit nici unul din termenii şirului xn nu este inversabil) astfel ı̂ncât n→∞ lim xn = e. Rezultă deci că ı̂n orice vecinătate a lui e există elemente neinversabile, ceea ce constituie o contradicţie cu faptul că mulţimea elementelor inversabile este deschisă (propoziţia 5). În concluzie, Y este ideal propriu şi (evident) ı̂l conţine pe Y care este (din ipoteză) maximal; rezultă deci că Y = Y, adică Y este mulţime ı̂nchisă. Definim ı̂n continuare noţiunea de algebră cât. 90 CAPITOLUL 4. ALGEBRE BANACH 22.Definiţie Fie A o algebră comutativă (nu neapărat normată) şi fie J un ideal propriu ı̂n A. Relaţia de echivalenţă (pe A) indusă de J este definită prin x ∼ y ⇔ x − y ∈ J ; clasa de echivalenţă a elementului x este x̃ = x+J = {x+y ; y ∈ J }. Mulţimea claselor de echivalenţă, notată A/J se organizează ca spaţiu vecf , ∀x, y ∈ A , ∀λ ∈ C, ([1],p.37). torial cu operaţiile: x̃ + ỹ = xg + y şi λx̃ = λx Vectorul nul ı̂n A/J este 0̃ = J . Este evident că până aici construcţia coincide cu cea din teoria spaţiilor vectoriale (deci ar fi fost suficient ca J să fi fost doar un subspaţiu vectorial). Definim ı̂n continuare structura de algebră pe spaţiul vectorial A/J . Pentru aceasta, să observăm că dacă x1 ∼ x2 şi y1 ∼ y2 , atunci din identitatea x2 y2 − x1 y1 = (x2 − x1 )y2 + x1 (y2 − y1 ) , rezultă x1 y1 ∼ x2 y2 , ceea ce permite definirea ı̂nmulţirii ı̂n A/J prin formula f Se demonstrează că A/J ı̂mpreună cu aceste operaţii este algebră x̃ỹ = xy. comutativă; ı̂n plus, aplicaţia A ∋ x → x̃ ∈ A/J este morfism de algebre având drept nucleu idealul J . Dacă A are unitatea e, atunci ẽ este unitate ı̂n algebra A/J . Numim A/J algebra cât definită de idealul J . 4.2. ALGEBRE BANACH COMUTATIVE 91 23.Propoziţie Fie A algebră comutativă cu unitate şi fie J un ideal propriu ı̂n A. Atunci algebra cât A/J este corp dacă şi numai dacă idealul J este maximal. Demonstraţie Fie J un ideal maximal şi fie, pentru orice x ∈ A, I(x) = {ax + y ; a ∈ A , y ∈ J }; atunci I(x) este ideal (ceea ce se demonstrează imediat) şi ı̂n plus I(x) ı̂l conţine strict pe J (de exemplu x ∈ I(x) − J ). Deoarece J este maximal, rezultă că I(x) = A, deci există a ∈ A şi y ∈ J f + ỹ = ẽ. Dar, deoarece y ∈ J , rezultă că astfel ı̂ncât ax + y = e, adică ax ỹ = 0̃ şi deci ãx̃ = ẽ, ceea ce arată că x̃ este element inversabil ı̂n algebra cât A/J . Cum x a fost un element arbitrar din A − J , rezultă că toate elementele nenule din A/J sunt inversabile, deci această algebră este corp. Pentru a demonstra afirmaţia reciprocă, să presupunem că idealul J nu este maximal. Vom arăta că există ı̂n A/J elemente nenule neinversabile. Fie x ∈ A − J (deci x̃ 6= 0̃); fie I(x) = {ax + y ; a ∈ A , y ∈ J }. Se poate demonstra (exerciţiu) că putem alege x ∈ A − J astfel ı̂ncât idealul I(x) să nu fie maximal (se foloseşte faptul că J nu este maximal). Pentru un astfel de x ales, rezultă că e 6∈ I(x), deci nu există a ∈ A astfel ı̂ncât ãx̃ = ẽ, ceea ce arată că x̃ nu este inversabil ı̂n algebra cât A/J . 24.Propoziţie Fie (A , k k) un spaţiu normat şi fie J un subspaţiu vectorial ı̂nchis ı̂n A. Pentru orice x̃ ∈ A/J , definim: k x̃ k= inf k x + y k= inf{k z k ; z ∈ A , z ∼ x}. y∈J Atunci: (i) (A/J , k k) este spaţiu normat. (ii) Dacă A este spaţiu Banach, atunci A/J este spaţiu Banach. (iii) Dacă A este algebră Banach comutativă şi J este un ideal propriu ı̂nchis, atunci A/J este algebră Banach comutativă. Dacă ı̂n plus A este algebră unitară, atunci k ẽ k= 1. Demonstraţie (i) Dacă x ∈ J , atunci k x̃ k= 0; dacă x 6∈ J , atunci k x̃ k> 0, deoarece J este mulţime ı̂nchisă (lăsăm ca exerciţiu observaţia că k x̃ k este distanţa de la x la J ). Dacă λ ∈ C şi x ∈ A, atunci egalitatea k λx̃ k= |λ| k x̃ k se verifică imediat. Demonstrăm acum inegalitatea triunghiului; fie x1 , x2 ∈ A şi fie ǫ > 0. Din definiţie, rezultă că există y1 , y2 ∈ J astfel ı̂ncât: k xı + yı k<k x̃ı k +ǫ , ∀ı = 1, 2. Însumând cele două inegalităţi de mai sus, rezultă: k x1 + y1 k + k x2 + y2 k≤k x˜1 k + k x˜2 k +2ǫ. 92 CAPITOLUL 4. ALGEBRE BANACH Folosind şi inegalităţile evidente: rezultă: k x˜1 + x˜2 k≤k x1 + y1 + x2 + y2 k≤k x1 + y1 k + k x2 + y2 k, k x˜1 + x˜2 k≤k x˜1 k + k x˜2 k +2ǫ, şi deci, pentru ǫ → 0, obţinem k x˜1 + x˜2 k≤k x˜1 k + k x˜2 k. (ii) Presupunem că A este spaţiu Banach şi fie (xfn )n un şir Cauchy ı̂n A/J . fn astfel g Cu procedeul obişnuit ([8],p.21; [3],p.26) extragem un subşir x ni ⊆ x −i −i g g , ∀i ∈ N . Fie zi ∈ x ı̂ncât k x ni − xg ni+1 k≤ 2 ni astfel ı̂ncât k zi −zi+1 k≤ 2 ; atunci (zi )i este un şir Cauchy ı̂n A şi deci există z ∈ A astfel ı̂ncât z = lim zi ; i→∞ din definiţia normei pe A/J , rezultă: g kx ni − z̃ k≤k zi − z k, g şi deci lim x ni = z̃, ceea ce ı̂ncheie demonstraţia (un şir Cauchy care conţine i→∞ un subşir convergent, este convergent). (iii) Trebuie să demonstrăm că k xf1 xf2 k≤k xf1 kk xf2 k , ∀x1 , x2 ∈ A. Pentru aceasta, fie x1 , x2 ∈ A şi ǫ > 0; fie, ca ı̂n demonstraţia punctului (i), y1 , y2 ∈ J care verifică: Să mai observăm că: fi k +ǫ , ∀i = 1, 2. k xi + yi k≤k x (4.5) (x1 + y1 )(x2 + y2 ) = x1 x2 + y1 (x2 + y2 ) + x1 y2 ∈ x1 x2 + J , deci, din definiţia normei pe A/J , avem: k xg 1 x2 k≤k (x1 + y1 )(x2 + y2 k≤k x1 + y1 kk x2 + y2 k . Folosind acum inegalitatea rezultată prin ı̂nmulţirea inegalităţilor (4.5), avem: f1 kk x f2 k +ǫ(k x f1 k + k x f2 k +ǫ), k xg 1 x2 k≤k x ceea ce ı̂ncheie demonstraţia deoarece ǫ a fost arbitrar. Dacă e este elementul unitate al algebrei A, atunci e ∈ ẽ şi deci k ẽ k≤k e k= 1. Pentru cealaltă inegalitate, fie x ∈ A − J ; avem: f k≤k x̃ kk ẽ k . k x̃ k=k xe De aici, deoarece k x̃ k6= 0, rezultă k ẽ k≥ 1. Revenim acum la studiul algebrelor Banach comutative unitare şi demonstrăm următorul rezultat important. 4.2. ALGEBRE BANACH COMUTATIVE 93 25.Teoremă (a) Fie A o algebră Banach comutativă unitară. Atunci, pentru orice ψ ∈ K(A), subspaţiul Ker(ψ) este ideal maximal ı̂n A. (b) Reciproc, pentru orice ideal maximal M ⊂ A, există ψ ∈ K(A) astfel ı̂ncât M = Ker(ψ). Demonstraţie (a) Fie ψ ∈ K(A) , a ∈ Ker(ψ) şi x ∈ A. Deoarece ψ(ax) = ψ(a)ψ(x) = 0, rezultă că Ker(ψ) este ideal; ı̂n plus, el este şi propriu pentru că e 6∈ Ker(ψ). Presupunem prin absurd că Ker(ψ) nu ar fi ideal maximal; atunci, conform teoremei 21, există un ideal maximal M ⊂ A, astfel ı̂ncât Ker(ψ) ⊂ M (incluziunea fiind strictă). Fie a ∈ M−Ker(ψ); deoarece ψ(e−(ψ(a))−1 a) = 0, rezultă că e−(ψ(a))−1 a ∈ Ker(ψ) ⊂ M. Din egalitatea evidentă: e = (e − (ψ(a))−1 a) + (ψ(a))−1 a, rezultă că e ∈ M (deoarece este combinaţie liniară a două elemente din M); aceasta este ı̂n contradicţie cu faptul că un ideal propriu nu conţine elemente inversabile. (b) Demonstrăm acum afirmaţia reciprocă; fie M un ideal maximal ı̂n A. Conform propoziţiei 23 (M este maximal) şi propoziţiei 24(iii) (M este ı̂nchis) rezultă că A/M este corp Banach. Din teorema Gelfand-Mazur (corolarul 11) rezultă că există un izomorfism (canonic) de corpuri Banach Φ : A/M → C. Fie g : A → A/M , g(x) = x̃ şi fie ψ = Φ ◦ g. Lăsăm ca exerciţiu faptul că ψ este caracter. Arătăm acum (prin dublă incluziune) egalitatea Ker(ψ) = M. Fie x ∈ M; atunci g(x) = 0 şi deci ψ(x) = 0, adică x ∈ Ker(ψ). Fie acum x ∈ Ker(ψ); atunci ψ(x) = 0, şi deci (deoarece Φ este injectivă) rezultă că g(x) = 0, adică x ∈ M, ceea ce ı̂ncheie demonstraţia. Putem completa acum proprietăţile transformării Gelfand (prezentate ı̂n propoziţia 18) cu următorul rezultat fundamental. 26.Teoremă (Gelfand) Fie A o algebră Banach comutativă unitară; atunci: (i) σ(x) = {λ ∈ C ; ∃ψ ∈ K(A) astfel ı̂ncât ψ(x) = λ} = (Γ(x)) (K(A)). (ii) k Γ(x) k∞ = r(x) , ∀x ∈ A. Notaţiile sunt cele din definiţia 17: Γ : A → C(K(A)) este transformarea Gelfand pe algebra A, σ(x) este spectrul elementului x ∈ A, iar r(x) este raza sa spectrală . Înainte de a demonstra teorema, vom face câteva observaţii ı̂n legătură cu enunţul. Evident, (ii) este o consecinţă imediată a lui (i). Afirmaţia (i) se poate reformula şi astfel: x este element inversabil ı̂n algebra A dacă şi numai dacă Γ(x) este funcţie inversabilă ı̂n algebra C(K(A)). Pe de altă parte, elementele inversabile din algebra funcţiilor continue au fost caracterizate ı̂n exemplul 9(ii), (a se vedea şi exemplul 19(i)). În concluzie, transformarea Gelfand permite caracterizarea elementelor inversabile din algebra comutativă unitară abstractă A cu ajutorul elementelor inversabile 94 CAPITOLUL 4. ALGEBRE BANACH dintr-o algebră concretă: C(K(A)); mai adăugăm că, ı̂n general, Γ nu este izomorfism de algebre Banach. În paragraful următor vom studia o clasă de algebre pentru care transformarea Gelfand este izomorfism. Demonstraţie Fie x ∈ A. Incluziunea σ(x) ⊇ {λ ∈ C ; ∃ψ ∈ K(A) astfel ı̂ncât ψ(x) = λ} a fost demonstrată ı̂n propoziţia 16. Fie acum λ ∈ σ(x); atunci, elementul λe − x nu este inversabil. Fie J = {(λe − x)y ; y ∈ A}; atunci J este ideal propriu ı̂n A (exerciţiu). Din teorema 21 rezultă că există un ideal maximal M care-l conţine pe J ; conform teoremei 25(b), rezultă că există ψ ∈ K(A) astfel ı̂ncât M = Ker(ψ). In concluzie, există un caracter ψ astfel ı̂ncât J ⊆ Ker(ψ), deci ψ(λe − x) = 0. Rezultă deci că λ = ψ(x), ceea ce ı̂ncheie demonstraţia. Prezentăm ı̂n continuare o aplicaţie remarcabilă a teoremei lui Gelfand, cunoscută sub numele de teorema de transformare a spectrului. 27.Definiţie Fie f o funcţie ı̂ntreagă, deci există un şir de numere complexe an astfel ∞ P ı̂ncât f (z) = an z n , pentru orice z ∈ C. Dacă A este o algebră Banach n=0 comutativă unitară, atunci pentru orice x ∈ A , seria ∞ P n=0 an xn este absolut convergentă; vom nota suma acestei serii cu f (x). Un caz particular remar- cabil este funcţia exponenţială: exp(x) = ∞ P 1 n x . n=0 n! 28.Teoremă (de transformare a spectrului) Fie A o algebră Banach comutativă unitară şi f o funcţie ı̂ntreagă. Atunci, pentru orice x ∈ A, avem: σ(f (x)) = {f (λ) ; λ ∈ σ(x)}. Demonstraţie Din teorema 26, rezultă: σ(f (x)) = (Γ(f (x))(K(A))) = = {ψ(f (x)) ; ψ ∈ K(A)} = {f (ψ(x)) ; ψ ∈ K(A)} = f (σ(x)). 4.3 C ⋆-algebre comutative 29.Definiţie Fie A o algebră Banach (nu neapărat comutativă). O aplicaţie 4.3. C ⋆ -ALGEBRE COMUTATIVE 95 ⋆ : A → A se numeşte involuţie (pe A) dacă satisface următoarele condiţii: (i) (x⋆ )⋆ = x, (ii)(αx + βy)⋆ = αx⋆ + βy ⋆ , (iii) (xy)⋆ = y ⋆ x⋆ , pentru orice α, β ∈ C şi x, y ∈ A. În acest caz (A, ⋆) se numeşte algebră Banach cu involuţie. Dacă ı̂n plus are loc şi egalitatea: (iv) k x⋆ x k=k x k2 , ∀x ∈ A, atunci A se numeşte C ⋆ -algebră. Două algebre cu involuţie, A1 şi A2 se numesc izomorfe dacă există un izomorfism de algebre Banach F : A1 → A2 cu proprietatea: (F (x))⋆ = F (x⋆ ), ∀x ∈ A1 . Într-o algebră cu involuţie se pot defini câteva clase de elemente cu proprietăţi remarcabile: (a) x ∈ A se numeşte autoadjunct dacă x⋆ = x. (b) x ∈ A se numeşte normal dacă x⋆ x = xx⋆ . (c) Dacă ı̂n plus algebra are şi unitate, atunci x ∈ A se numeşte unitar dacă x−1 = x⋆ . 30.Observaţie Din egalitatea (iii) de mai sus rezultă că x este inversabil dacă şi numai dacă x⋆ este inversabil şi ı̂n acest caz (x⋆ )−1 = (x−1 )⋆ . Este de asemenea evident că pentru orice x ∈ A , următoarele elemente sunt autoadjuncte: x⋆ x, xx⋆ , 21 (x + x⋆ ), 2i1 (x − x⋆ ); rezultă că orice element x ∈ A se poate scrie ı̂n mod unic sub forma x = h + ik, cu h şi k autoadjuncte (evident h = 21 (x + x⋆ ) şi k = 2i1 (x − x⋆ ) ). În plus, x este normal dacă şi numai dacă hk = kh. 31.Propoziţie Într-o C ⋆ -algebră A are loc egalitatea k x⋆ k=k x k , ∀x ∈ A; ı̂n consecinţă, involuţia este aplicaţie continuă. Demonstraţie Din inegalitatea k x k2 =k x⋆ x k≤k x⋆ kk x k, rezultă că k x k≤k x⋆ k; ı̂nlocuind ı̂n ultima inegalitate pe x cu x⋆ şi folosind egalitatea (x⋆ )⋆ = x, rezultă k x⋆ k≤k x k, ceea ce ı̂ncheie demonstraţia. Pentru a demonstra continuitatea involuţiei, fie (xn )n un şir din A care converge la x. Atunci (x⋆n )n converge la x⋆ deoarece k x⋆n − x⋆ k=k (xn − x)⋆ k=k xn − x k→ 0. 32.Exemple (i) Cel mai simplu exemplu de C ⋆ -algebră comutativă unitară este algebra numerelor complexe, C. Involuţia este conjugarea complexă, elementele autoadjuncte sunt numerele reale, iar elementele unitare 96 CAPITOLUL 4. ALGEBRE BANACH sunt numerele complexe de modul 1. (ii) Algebra Banach a funcţiilor continue, C(D), din exemplul 2(i) este C ⋆ -algebră cu involuţia f ⋆ = f , unde, f (x) = f (x). Elementele autoadjuncte sunt funcţiile cu valori reale, iar elementele unitare sunt funcţiile ale căror valori au modulul 1. (iii) Un exemplu important de C ⋆ -algebră necomutativă este L(C n ), T ⋆ fiind adjunctul operatorului T . Operatorii autoadjuncţi, normali şi unitari au fost studiaţi ı̂n capitolul 2. În capitolul următor vom studia C ⋆ -algebra operatorilor liniari şi continui definiţi pe un spaţiu Hilbert infinit dimensional. (iv) Algebra Banach (cu operaţia de convoluţie) a şirurilor absolut sumabile, ℓ1 (Z) este C ⋆ -algebră cu involuţia α −→ α. (v) Tot conjugarea complexă este involuţie şi ı̂n algebra Banach a şirurilor mărginite, ℓ∞ (Z). (vi) Mai general, algebra Banach a funcţiilor esenţial mărginite, L∞ (Ω, µ) este şi ea C ⋆ -algebră comutativă cu conjugarea complexă: f → f ; a se vedea exemplul 2(v). 33.Definiţie Într-o algebră Banach, funcţia exponenţială se poate defini ı̂n mod natural ∞ P 1 n x , seria din membrul drept fiind absolut converprin relaţia exp(x) = n! n=0 gentă (a se vedea şi definiţia 27). Identitatea exp(x + y) = exp(x) exp(y) este adevărată numai ı̂n ipoteza că elementele x şi y comută ı̂ntre ele. Dacă t este un număr real, atunci eit este un număr complex de modul 1; ı̂ntr-o C ⋆ -algebră această proprietate elementară se generalizează astfel: 34.Lemă Fie A o C ⋆ -algebră unitară şi fie h ∈ A un element autoadjunct. Atunci elementul exp(ih) este unitar. Demonstraţie Adjunctul elementului exp(ih) este: [exp(ih)]⋆ = [ ∞ X (−i)n n 1 (ih)n ]⋆ = h = exp(−ih), n! n=0 n=0 n! ∞ X comutarea involuţiei cu seria fiind justificată de continuitatea involuţiei (propozi- 4.3. C ⋆ -ALGEBRE COMUTATIVE 97 tia 31). Deoarece elementele ih şi −ih comută ı̂ntre ele, avem: [exp(ih)][exp(−ih)]⋆ = [exp(ih)][exp(−ih)] = exp(ih − ih) = = e = [exp(−ih)][exp(ih)] = [exp(ih)]⋆ [exp(−ih)], ceea ce ı̂ncheie demonstraţia. În capitolul 2 am văzut că operatorii autoadjuncţi din L(C n ) au valori proprii reale, iar din exemplele 9(ii) şi 32(ii) rezultă că orice element autoadjunct al algebrei funcţiilor continue are spectru real; ı̂n general, avem: 35.Propoziţie Fie A o C ⋆ -algebră unitară. (i) Dacă u ∈ A este unitar, atunci k u k= 1 şi σ(u) ⊆ {λ ∈ C; |λ| = 1}. (ii) Orice element autoadjunct din A are spectru real. Demonstraţie (i) Dacă u ∈ A este unitar, atunci u⋆ = u−1 şi deci k u k2 =k u⋆ u k=k e k= 1, şi deci k u k= 1. Evident, deoarece u−1 este şi el unitar, rezultă şi k u−1 k= 1. Fie acum λ ∈ σ(u); conform observaţiei 8 avem λ−1 ∈ σ(u−1 ) şi deci deoarece k u k=k u−1 k= 1, rezultă |λ| ≤ 1 şi |λ−1 | ≤ 1, adică |λ| = 1. (ii) Fie h ∈ A autoadjunct; din lema 34 rezultă că exp(ih) este unitar şi deci din (i) rezultă că σ(exp(ih)) este inclus ı̂n cercul unitate. Din teorema 28 (de transformare a spectrului) aplicată funcţiei exponenţiale rezultă σ(exp(ih)) = {eiλ ; λ ∈ σ(h)}. În concluzie, am obţinut că λ ∈ σ(h) ⇒ |eiλ | = 1, adică λ ∈ R. Putem demonstra acum următorul rezultat fundamental ı̂n legătură cu reprezentarea C ⋆ -algebrelor comutative unitare. 36.Teoremă (Gelfand-Naimark) Fie A o C ⋆ -algebră Banach comutativă unitară. Atunci transformarea Gelfand Γ : A → C(K(A)) este un izomorfism de C ⋆ -algebre unitare. Demonstraţie Faptul că Γ este morfism de algebre a fost demonstrat ı̂n propoziţia 18; mai trebuie deci demonstrate proprietăţile: (a) Γ(x) = Γ(x⋆ ); reamintim că involuţia ı̂n algebra funcţiilor continue este conjugarea complexă, cf. exemplului 32(ii). (b) k Γ(x) k∞ =k x k . (c) Γ este aplicaţie surjectivă. Fie x ∈ A , x = h + ik cu h = h⋆ şi k = k ⋆ ; atunci x⋆ = h − ik. Deoarece h şi k sunt autoadjuncte, din propoziţia 35(ii) rezultă că spectrele lor sunt reale 98 CAPITOLUL 4. ALGEBRE BANACH şi deci din teorema 26 rezultă că funcţiile continue Γ(h) şi Γ(k) iau valori reale, deci Γ(h) = Γ(h) şi Γ(k) = Γ(k). Din aceste observaţii rezultă: Γ(x) = Γ(h + ik) = Γ(h) + iΓ(k) = Γ(h) − iΓ(k) = Γ(h − ik) = Γ(x⋆ ). Pentru a demonstra (b), să observăm mai ı̂ntâi că ı̂ntr-o C ⋆ -algebră comutativă raza spectrală coincide cu norma; ı̂ntr-adevăr, pentru orice x ∈ A, avem: k x2 k2 =k x2 (x2 )⋆ k=k x2 (x⋆ )2 k=k xx⋆ (xx⋆ )⋆ k=k xx⋆ k⋆ =k x k4 , n n deci k x2 k=k x k2 ; prin inducţie rezultă k x2 k=k x k2 , ∀n ∈ N . Folosind acum formula razei spectrale (teorema 13), rezultă: n n −n r(x) = lim k x2 k2 = lim (k x k2 )2 −n n→∞ n→∞ =k x k . Punctul (b) rezultă acum din teorema 26: k Γ(x) k∞ = r(x) =k x k. Pentru a demonstra (c), observăm mai ı̂ntâi că Γ(A) este o subalgebră ı̂nchisă ı̂n C(K(A)): este subalgebră deoarece Γ este morfism şi este ı̂nchisă deorece Γ este izometrie (lăsăm detaliile ca exerciţiu). Vom demonstra acum că Γ(A) este şi densă ı̂n C(K(A)) (ceea ce va ı̂ncheia demonstraţia); pentru aceasta, vom folosi Teorema Stone-Weierstrass (exemplul 2(ii)). Subalgebra Γ(A) este ı̂nchisă la conjugare (deoarece Γ(x⋆ ) = Γ(x)), conţine constantele (deoarece Γ(e) = 1) şi separă punctele din K(A): dacă φ , ψ ∈ K(A) cu φ 6= ψ, atunci există x ∈ A astfel ı̂ncât φ(x) 6= ψ(x), adică (Γ(x))(φ) 6= (Γ(x))(ψ). Ipotezele teoremei StoneWeierstrass sunt verificate, deci demonstraţia este ı̂ncheiată. 37.Exemplu Să considerăm C ⋆ -algebra comutativă unitară (cu convoluţia) a şirurilor absolut sumabile, ℓ1 (Z), (cf. exemplelor 2(vi) şi 32(iv)). Am văzut ı̂n exemplul 19(ii) că spaţiul caracterelor acestei algebre se poate identifica cu cercul unitate, S 1 , astfel: pentru orice caracter ψ ∈ K(ℓ1 (Z)), există un unic ζ ∈ S 1 astfel ı̂ncât ψ(x) = x̂(ζ), unde, x̂ este transformarea Fourier a lui x, adică P x(n)λ−n . Din teorema lui Gelfand rezultă deci că un x̂ : S 1 → C , x̂(λ) = n∈Z şir x ∈ ℓ1 (Z) este inversabil (faţă de operaţia de convoluţie) dacă şi numai dacă transformata sa Gelfand (Fourier) xb nu se anulează pe cercul unitate (conform condiţiei de inversabilitate ı̂n algebra funcţiilor continue). Obţinem astfel următorul rezultat remarcabil: Teoremă (Wiener) P Fie a ∈ ℓ1 (Z) şi fie f (t) = a(n)e−int ; evident, seria este absolut şi uniform n∈Z convergentă pe S 1 , deci defineşte o funcţie f ∈ C(S 1 ). 4.3. C ⋆ -ALGEBRE COMUTATIVE 99 Dacă f nu se anulează pe cercul unitate (deci f este inversabilă ı̂n algebra C(S 1 )) atunci funcţia f1 admite şi ea o dezvoltare ı̂n serie Fourier (de asemenea absolut convergentă), adică există b ∈ ℓ1 (Z) astfel ı̂ncât: X 1 it (e ) = b(n)e−int , ∀eit ∈ S 1 . f n∈Z Capitolul 5 Operatori pe spaţii Hilbert În acest capitol vom studia operatorii liniari şi continui definiţi pe un spaţiu Hilbert infinit dimensional. Aşa cum am văzut ı̂n capitolul 3 şi ı̂n exemplul 2(ii) din cap.4, dacă X este un spaţiu Banach, atunci L(X) este o algebră Banach (necomutativă) unitară. Dacă X = H este spaţiu Hilbert, atunci pe L(H) se poate defini o structură de C ⋆ -algebră, ceea ce permite un studiu mai aprofundat al unor clase speciale de operatori (normali, autoadjuncţi, unitari, pozitivi, proiectori). Reamintim că ı̂n cazul finit dimensional, H = C n , acest studiu a fost făcut ı̂n cap.2. De altfel ideea principală care a stat la baza expunerii ce urmează este de a pune ı̂n evidenţă felul ı̂n care dimensiunea infinită a lui H modifică (sau nu) rezultatele importante din capitolul 2. 5.1 Adjunctul unui operator În continuare H va fi un spaţiu Hilbert (complex) infinit dimensional şi separabil, iar L(H) algebra Banach a operatorilor liniari şi continui pe spaţiul H. În capitolul 2 am asociat oricărui operator T ∈ L(C n ) un operator T ⋆ numit adjunctul lui T , urmând ca existenţa şi proprietăţile sale să fie demonstrate ı̂n contextul unui spaţiu Hilbert infinit dimensional. Reamintim de asemenea că ı̂n capitolul 3, (teorema 29 şi definiţia 30) am definit adjunctul unui operator ı̂ntre două spaţii normate, particularizând apoi definiţia pentru spaţii Hilbert. Demonstraţia care urmează este totuşi independentă de cea din capitolul 3 (care folosea ı̂n mod esenţial teorema Hahn-Banach). 1.Propoziţie Pentru orice operator T ∈ L(H), există şi este unic un operator T ⋆ ∈ L(H) cu proprietăţile: 101 102 CAPITOLUL 5. OPERATORI PE SPAŢII HILBERT (i) < T x, y >=< x, T ⋆ y > , ∀x, y ∈ H. (ii) (T ⋆ )⋆ = T. (iii) k T k=k T ⋆ k . (iv) k T k2 =k T ⋆ T k . Operatorul T ⋆ se numeşte adjunctul lui T ; facem precizarea că pentru unicitatea sa este suficientă egalitatea (i). Demonstraţie În continuare vom folosi deseori implicaţia: dacă < u, v >=< u, w > , ∀u ∈ H, atunci v = w. Fie T ∈ L(H) şi fie y ∈ H un vector arbitrar fixat. Aplicaţia f : H → C , f (x) =< T x, y > este o funcţională liniară şi continuă pe H (liniaritatea este evidentă iar continuitatea rezultă din inegalitatea: | < T x, y > | ≤k T kk x kk y k). Conform teoremei lui Riesz de reprezentare a funcţionalelor liniare şi continue pe un spaţiu Hilbert (teorema13, cap.1), există un unic vector z ∈ H astfel ı̂ncât f (x) =< x, z >; evident, z depinde de T şi y. Fie operatorul T ⋆ : H → H, definit prin T ⋆ y = z. Este evident că T ⋆ este liniar şi că verifică relaţia (i). Continuitatea lui T ⋆ rezultă din inegalitatea : k T ⋆ y k2 =< T ⋆ y, T ⋆ y >=< T T ⋆ y, y >≤k T kk T ⋆ y kk y k , ∀y ∈ H. Am demonstrat deci că T ⋆ ∈ L(H) şi k T ⋆ y k≤k T kk y k, ceea ce arată că k T ⋆ k≤k T k . Pentru a demonstra că T ⋆ este unic cu proprietatea (i), să presupunem prin absurd că există S ∈ L(H) , S 6= T ⋆ , astfel ı̂ncât < T x, y >=< x, Sy >. Rezultă aşadar că < x, Sy >=< x, T ⋆ y > pentru orice x, y ∈ H, deci S = T ⋆ , contradicţie cu ipoteza. (ii) Pentru orice x, y ∈ H, avem: < x, (T ⋆ )⋆ y >=< T ⋆ x, y >= < y, T ⋆ x > = < T y, x > =< x, T y >, şi deci (T ⋆ )⋆ = T . (iii) Din inegalitatea k T ⋆ k≤k T k (care a fost deja demonstrată), şi din (ii) rezultă imediat k T ⋆ k=k T k. (iv) Din (iii), rezultă inegalitatea k T ⋆ T k≤k T ⋆ kk T k=k T k2 . Pentru a demonstra cealaltă inegalitate, fie x ∈ H; avem: k T x k2 =< T x, T x >=< T ⋆ T x, x >≤k T ⋆ T x kk x k≤k T ⋆ T kk x k2 , şi deci k T k2 ≤k T ⋆ T k. 2.Propoziţie Dacă T, S ∈ L(H), atunci: (i) (αT + βS)⋆ = αT ⋆ + βS ⋆ , ∀α β ∈ C. (ii) (T S)⋆ = S ⋆ T ⋆ . 5.1. ADJUNCTUL UNUI OPERATOR 103 (iii) Dacă T este inversabil, atunci T ⋆ este inversabil şi (T −1 )⋆ = (T ⋆ )−1 . (iv) Aplicaţia ⋆ : L(H) → L(H) , T → T ⋆ este o involuţie pe algebra L(H) (definiţia 29,cap.4); mai mult, din propoziţia anterioară (iv), rezultă că L(H) este o C ⋆ -algebră (necomutativă). Demonstraţie Relaţia (i) o propunem ca exerciţiu. (ii) Pentru orice x, y ∈ H, avem: < T Sx, y >=< Sx, T ⋆ y >=< x, S ⋆ T ⋆ y >, şi deci (T S)⋆ = S ⋆ T ⋆ . (iii) Dacă T este operator inversabil, atunci, folosind relaţia (ii) pentru operatorii T ⋆ şi T −1 , obţinem: T ⋆ (T −1 )⋆ = (T −1 T )⋆ = I ⋆ = I = (T T −1 )⋆ = (T −1 )⋆ T ⋆ , ceea ce ı̂ncheie demonstraţia. Afirmaţia (iv) este o consecinţă imediată a celor demonstrate anterior. 3.Observaţie Desigur, unele din proprietăţile demonstrate ı̂n propoziţiile anterioare sunt cazuri particulare ale rezultatelor corespunzătoare referitoare la C ⋆ -algebre. Conform definiţiei 29,cap.4, un operator T ∈ L(H) se numeşte autoadjunct dacă T = T ⋆ , normal dacă T T ⋆ = T ⋆ T şi unitar dacă T T ⋆ = T ⋆ T = I. Reamintim (definiţia 7 şi exemplul 8(iv),cap.4), că spectrul unui operator T ∈ L(H) este, prin definiţie, σ(T ) = {λ ∈ C ; λI − T nu este inversabil}. Din teorema 10,cap.4 ştim că σ(T ) este mulţime nevidă şi compactă. Din teorema lui Banach (corolarul 41,cap.3), rezultă că σ(T ) = {λ ∈ C ; λI − T nu este bijectiv}. În cazul ı̂n care spaţiul Hilbert H este finit dimensional, H = C n , am văzut ı̂n capitolul 2 că σ(T ) = {λ ∈ C ; ∃x 6= 0 astfel ı̂ncât T x = λx}. Mulţimea σ(T ) este ı̂n acest caz finită şi elementele ei se numesc valori proprii, iar vectorii x 6= 0 care verifică relaţia T x = λx se numesc 104 CAPITOLUL 5. OPERATORI PE SPAŢII HILBERT vectori proprii asociaţi lui λ. În general, pe un spaţiu Hilbert infinit dimensional, mulţimea valorilor proprii (numită şi spectrul punctual şi notată σp (T )) este o submulţime strictă a spectrului, deoarece ı̂n acest caz există operatori care sunt injectivi dar nu sunt surjectivi. Aşa cum vom vedea ı̂n exemplele din paragraful următor, există operatori ale căror spectre punctuale sunt vide (dar, evident, spectrele lor sunt nevide). O altă submulţime remarcabilă a spectrului unui operator este spectrul punctual aproximativ, notat σpa (T ) şi definit prin: σpa (T ) = {λ ∈ C ; ∃xn ∈ Hastfel ı̂ncât k xn k= 1şi n→∞ lim (λI − T )xn = 0}. Este evident că σp (T ) ⊆ σpa (T ), deoarece dacă λ este o valoare proprie, atunci putem lua şirul constant xn = x, unde vectorul x este un vector propriu de normă 1 asociat valorii proprii λ. Incluziunea σpa (T ) ⊆ ⊆ σ(T ) se demonstrează prin reducere la absurd : dacă λ ∈ σpa (T ) dar λ 6∈ σ(T ), atunci există operatorul (λI − T )−1 ∈ L(H) şi aplicându-l relaţiei lim (λI − T )xn = 0, n→∞ obţinem lim xn = 0 , contradicţie cu k xn k= 1 , ∀n ∈ N . Se poate demonn→∞ stra următorul rezultat ([10],p.40): spectrul unui operator normal este egal cu spectrul punctual aproximativ. Exemple ilustrative pentru noţiunile introduse aici vor fi date ı̂n paragraful următor. Conform celor demonstrate ı̂n propoziţia 35,cap.4, operatorii autoadjuncţi au spectrul real, iar cei unitari au spectrul inclus ı̂n cercul unitate. Am demonstrat de asemenea (obsevaţia 8,cap.4) că dacă T este un operator inversabil, atunci σ(T −1 ) = {λ−1 ; λ ∈ σ(T )}. 4.Definiţie Fie T ∈ L(H). Un subspaţiu K ⊆ H se numeşte subspaţiu invariant pentru T dacă T (K) ⊆ K; subspaţiul K se numeşte subspaţiu reducător pentru T dacă T (K) ⊆ K şi T (K ⊥ ) ⊆ K ⊥ . 5.Propoziţie Fie T ∈ L(H) şi K un subspaţiu ı̂n H; următoarele afirmaţii sunt echivalente: (a) K este subspaţiu invariant pentru T . (b) K ⊥ este subspaţiu invariant pentru T ⋆ . Demonstraţia o repetă pe cea din cazul H = C n , (lema 27,cap2). 5.1. ADJUNCTUL UNUI OPERATOR 105 Evident, de aici rezultă că pentru un operator autoadjunct un subspaţiu invariant este şi subspaţiu reducător. Reamintim că am notat cu Ker(T ) şi Im(T ) nucleul şi respectiv imaginea operatorului T . Este evident că subspaţiile Ker(T ) şi Im(T ) sunt invariante pentru T . In continuare demonstrăm o relaţie ı̂ntre nucleul unui operator şi imaginea adjunctului său. 6.Propoziţie Pentru orice operator T ∈ L(H), avem: (i) Ker(T ) = (Im(T ⋆ ))⊥ . (ii) Ker(T ⋆ ) = (Im(T ))⊥ . Demonstraţie (i) Fie x ∈ Ker(T ) şi fie y ∈ H; atunci < T ⋆ y, x >=< y, T x >= 0 şi deci x ⊥Im(T ⋆ ). Pentru a demonstra incluziunea inversă fie x ∈ (Im(T ⋆ ))⊥ ; atunci, pentru orice y ∈ H, avem < T x, y >=< x, T ⋆ y >= 0 şi deci T x = 0, adică x ∈ Ker(T ). Egalitatea (ii) este o consecinţă a egalităţilor (i) şi (T ⋆ )⋆ = T . 7.Consecinţă Fie T ∈ L(H). Dacă T şi T ⋆ sunt mărginiţi inferior, atunci T este operator inversabil. Demonstraţie Reamintim că T se numeşte mărginit inferior (a se vedea definiţia 13,cap.3) dacă există m > 0 astfel ı̂ncât k T x k≥ m k x k, pentru orice x ∈ H. În baza propoziţiei 14,cap.3, este suficient să demonstrăm că imaginea lui T este un subspaţiu dens ı̂n H. Deoarece T ⋆ este mărginit inferior, el este injectiv şi deci Ker(T ⋆ ) = 0. Din propoziţia anterioară, rezultă că (Im(T ))⊥ = 0 şi deci (aici bara ı̂nseamnă ı̂nchiderea) (Im(T )) = (Im(T ))⊥⊥ = 0⊥ = H; pentru prima egalitate am folosit relaţia K = K ⊥⊥ , care este adevărată pentru orice subspaţiu K ⊆ H (a se vedea şi definiţia 7,cap.1). 8.Definiţie Un operator T ∈ L(H) se numeşte pozitiv dacă < T x, x >≥ 0 , ∀x ∈ ∈ H. Să mai observăm că dacă T ∈ L(H) este un operator arbitrar, atunci operatorul T ⋆ T este pozitiv: < T ⋆ T x, x >=< T x, T x >=k T x k2 ≥ 0 , ∀x ∈ H. 9.Propoziţie Fie T ∈ L(H). 106 CAPITOLUL 5. OPERATORI PE SPAŢII HILBERT (i) Dacă < T x, x >= 0 , ∀x ∈ H , atunci T = O. (ii) T este autoadjunct dacă şi numai dacă < T x, x >∈ R , ∀x ∈ H. (iii) Dacă T este pozitiv, atunci σ(T ) ⊂ [0, ∞). (iv) Dacă T este unitar, atunci σ(T ) ⊆ {λ ; |λ| = 1}. (v) Dacă T este inversabil atunci σ(T −1 ) = {λ−1 ; λ ∈ σ(T )}. Demonstraţie (i) Pentru orice x, y ∈ H , din identitatea < T (x + y), x + y >= 0, rezultă : (a) < T x, y > + < T y, x >= 0 . Înlocuind pe y cu iy ı̂n ultima egalitate şi ı̂nmulţind apoi cu i , obţinem: (b) < T x, y > − < T y, x >= 0 . Adunând relaţiile (a) şi (b) obţinem < T x, y >= 0 , ceea ce ı̂ncheie demonstraţia. (ii) Dacă T este autoadjunct, atunci pentru orice x ∈ H, avem: < T x, x >=< x, T ⋆ x >=< x, T x >= < T x, x >, şi deci < T x, x >∈ R. Reciproc, dacă < T x, x >∈ R , ∀x ∈ H, atunci, calculând < T x, y > cu relaţia de polarizare (observaţia 6(a),cap.1), obţinem < T x, y >= < T y, x > şi deci T = T ⋆ . În particular, de aici rezultă că orice operator pozitiv este autoadjunct. (iii) Dacă T este pozitiv, atunci σ(T ) ⊂ R. Fie λ < 0 şi x ∈ H; avem: k (λI − T )x k2 =< (λI − T )x, (λI − T )x >= = λ2 k x k2 −2λ < T x, x > + k T x k2 ≥ λ2 k x k2 , ceea ce arată că operatorii λI − T şi (λI − T )⋆ sunt mărginiţi ı̂n jos (ei sunt egali). Din consecinţa 7, rezultă acum că λI − T este inversabil şi deci λ 6∈ σ(T ), ceea ce ı̂ncheie demonstraţia. (iv) şi (v) au fost demonstrate ı̂n capitolul 4, observaţia 8 şi propoziţia 35. Propunem cititorului să găsească şi demonstraţii directe (pentru operatori) acestor afirmaţii. 5.2 Proiectori O clasă importantă de operatori pozitivi, este, ca şi ı̂n cazul finit dimensional, clasa proiectorilor. 5.2. PROIECTORI 107 10.Definiţie Un operator P ∈ L(H) se numeşte proiector (sau proiecţie) dacă P 2 = P = P ⋆ . Proiectorii sunt operatori pozitivi: < P x, x >=< P 2 x, x >=< P x, P x >≥ 0. În cele ce urmează vom folosi ı̂n mod esenţial descompunerea ortogonală a lui H după un subspaţiu ı̂nchis (teorema 11,cap1). Fie K un subspaţiu ı̂nchis ı̂n H şi fie PK : H → H , PK x = y, unde, x = y + z cu y ∈ K şi z ∈ K ⊥ . În teorema următoare vom demonstra că PK este proiecţie şi că orice proiecţie se poate construi ı̂n acest fel. 11.Teoremă (i) Fie K ⊆ H un subspaţiu ı̂nchis; atunci operatorul PK definit mai sus este un proiector. (ii) Reciproc, dacă P este un proiector, atunci există un subspaţiu ı̂nchis K ⊆ H (şi anume K = Im(P )) astfel ı̂ncât P = PK . Demonstraţie (i) Fie xι = yι + zι , ι ∈ {1, 2} doi vectori din H cu descompunerile ortogonale corespunzătoare (yι ∈ K, zι ∈ K ⊥ ). Dacă λι ∈ C , ι ∈ 1, 2, atunci descompunerea ortogonală (unică) a vectorului λ1 x1 + λ2 x2 este: λ1 x1 + λ2 x2 = (λ1 y1 + λ2 y2 ) + (λ1 z1 + λ2 z2 ), şi deci: PK (λ1 x1 + λ2 x2 ) = (λ1 y1 + λ2 y2 ) = λ1 PK x1 + λ2 PK x2 , ceea ce arată liniaritatea lui PK . Continuitatea rezultă din: k PK x1 k2 =k y1 k2 ≤k y1 k2 + k z1 k2 =k x1 k2 . Din relaţia de mai sus rezultă şi inegalitatea k PK k≤ 1. Operatorul PK este autoadjunct: < PK x1 , x2 >=< y1 , y2 + z2 >=< y1 , y2 >=< y1 + z1 , y2 >=< x1 , PK x2 > . Dacă y ∈ K, atunci descompunerea sa ortogonală este y = y + 0, şi deci PK y = y. De aici rezultă că pentru orice x ∈ H , x = y + z , (y ∈ K , z ∈ K ⊥ ), avem: P 2 x = P y = y = P x, ceea ce arată că PK este o proiecţie având imaginea K. (ii) Fie acum o proiecţie P ∈ L(H) şi fie K = Im(P ). Evident, K este subspaţiu ı̂n H; demonstrăm că este ı̂nchis. Pentru aceasta, fie (yn )n ⊂ K 108 CAPITOLUL 5. OPERATORI PE SPAŢII HILBERT un şir de vectori din K, convergent la y ∈ H. Din definiţia lui K rezultă că există un şir (xn )n ⊂ H astfel ı̂ncât yn = P xn ; avem: y = lim P xn = lim P 2 xn = P ( lim P xn ) = P y, n→∞ n→∞ n→∞ ceea ce arată că y ∈ K şi deci K este submulţime ı̂nchisă ı̂n H; ı̂n plus, P y = y , ∀y ∈ K. Fie acum z ∈ K ⊥ . Deoarece P 2 z ∈ K, rezultă: k P z k2 =< P z, P z >=< z, P 2 z >= 0, şi deci P z = 0. Fie acum x ∈ H , x = y + z cu y ∈ K şi z ∈ K ⊥ . Avem: P x = P (y + z) = P y = y = PK x, ceea ce ı̂ncheie demonstraţia. 12.Observaţie Fie P ∈ L(H) o proiecţie şi fie K = Im(P ) subspaţiul pe care ea proiectează. Atunci operatorul I − P este de asemenea proiecţie şi I − P = PK ⊥ , sau , echivalent, Im(I − P ) = K ⊥ . Evident, proiecţiile P şi I − P satisfac relaţiile P + (I − P ) = I şi P (I − P ) = (I − P )P = O. În general, suma şi diferenţa a două proiecţii P şi Q nu sunt proiecţii; propunem cititorului să demonstreze următoarele echivalenţe: (i) P + Q este proiecţie ⇐⇒ P Q = QP = O ; ı̂n acest caz subspaţiul pe care proiectează P + Q este suma (directă ) a subspaţiilor Im(P ) şi Im(Q). (ii) P − Q este proiecţie ⇐⇒ P Q = QP = Q; ı̂n acest caz, Im(P − Q) este suma (directă) a subspaţiilor Ker(P ) şi Im(Q). 13.Definiţie Pe mulţimea operatorilor autoadjuncţi se poate defini o relaţie de ordine (parţială) prin T ≤ S ⇐⇒ S − T este operator pozitiv, adică < (S − T )x, x >≥ 0 , ∀x ∈ H. Demonstraţia este imediată. Restricţia acestei relaţii de ordine la mulţimea proiectorilor coincide cu relaţia de incluziune ı̂ntre subspaţiile imagine ale proiecţiilor, rezultatul fiind conţinut ı̂n următoarea teoremă. Cel mai mic proiector este operatorul identic nul, O, iar cel mai mare proiector este identitatea, I; evident, k O k= 0 şi k I k= 1. Dacă P ∈ L(H) este un proiector diferit de O şi I, atunci k P k= 1; inegalitatea k P k≤ 1 a fost deja arătată ı̂n demonstraţia teoremei 11. Pentru cealaltă inegalitate, fie xo ∈ Im(P ) astfel ı̂ncât k xo k= 1; atunci: k P k= sup k P x k≥k P xo k=k xo k= 1. kxk=1 14.Teoremă Fie P, Q ∈ L(H) două proiecţii pe subspaţiile X = Im(P ) şi respectiv Y = 109 5.2. PROIECTORI Im(Q). Următoarele afirmaţii sunt echivalente: (a) X ⊆ Y. (b) QP = P . (c) P Q = P . (d) k P x k≤k Qx k. (e) P ≤ Q. Demonstraţie (a)=⇒(b) Dacă X ⊆ Y, atunci pentru orice x ∈ H avem P x ∈ X ⊆ Y şi deci QP x = P x. (b)=⇒(c) Din QP = P , rezultă P Q = P ⋆ Q⋆ = (QP )⋆ = P ⋆ = P . (c)=⇒(d) Din P Q = P şi din inegalitatea k P k≤ 1 (arătată ı̂n demonstraţia teoremei 11), rezultă: k P x k=k P Qx k≤k Qx k , ∀x ∈ H . (d)=⇒(e) Fie x ∈ H; folosind (d), avem: < P x, x >=< P 2 x, x >=< P x, P x >=k P x k2 ≤k Qx k2 =< Qx, x > . (e)=⇒(a) Fie x ∈ X ; din (e), rezultă: k x k2 =< P x, x >≤< Qx, x >=k Qx k2 ≤k x k2 , ceea ce arată că k Qx k=k x k , ∀x ∈ X . Demonstraţia se ı̂ncheie observând că din definiţia proiectorilor rezultă egalitatea: Y = {y ∈ H ; k Qy k=k y k}. În următoarea propoziţie dăm legătura dintre subspaţiile invariante ale unui operator şi proiectorii asociaţi acestor subsppaţii. 15.Propoziţie Fie T ∈ L(H) şi fie P ∈ L(H) un proiector; atunci: (a) Ker(P ) este invariant la T ⇐⇒ P T = P T P . (b) Im(P ) este invariant la T ⇐⇒ T P = P T P . Înainte de a face demonstraţia, să observăm că deoarece Ker(P )⊥ =Im(P ), (conform propoziţiei 6, P fiind operator autoadjunct), din afirmaţiile de mai sus rezultă: Ker(P ) şi Im(P ) sunt subspaţii reducătoare pentru operatorul T dacă şi numai dacă P T = T P . Demonstraţie Vom demonstra numai (a), demonstraţia pentru (b) fiind 110 CAPITOLUL 5. OPERATORI PE SPAŢII HILBERT asemănătoare; presupunem că Ker(P ) este subspaţiu invariant pentru T . Fie x ∈ H şi fie y ∈Ker(P ) şi z ∈Im(P ) =Ker(P )⊥ astfel ı̂ncât x = y + z; atunci P x = z şi P T y = 0 şi deci avem: P T x = P T (y + z) = P T y + P T z = P T z = P T P x. Reciproc, dacă x ∈Ker(P ), atunci din ipoteză P T x = P T P x = 0, ceea ce ı̂ncheie demonstraţia. Încheiem acest paragraf cu o analogie ı̂ntre algebra operatorilor liniari şi continui pe un spaţiu Hilbert, L(H) şi corpul numerelor complexe, C. corpul (comutativ) C ←→ algebra (necomutativă) L(H). număr complex z ∈ C ←→ operator T ∈ L(H). conjugatul z ←→ adjunctul T ⋆ . număr real a = a ←→ operator autoadjunct A = A⋆ . număr pozitiv ←→ operator pozitiv. număr de modul 1 zz = 1 ←→ operator unitar U U ⋆ = U ⋆ U = I. soluţiile ecuaţiei z 2 = z (adică 0 şi 1) ←→ proiector : P 2 = P = P ⋆ . 5.3 Exemple de operatori pe spaţii Hilbert Acest paragraf este rezervat studiului unor exemple importante de operatori, dintre care amintim operatorul diagonal, operatorii de translaţie, operatorii de multiplicare, operatorul integral şi de convoluţie. 16.Definiţie (Operatorul diagonal) Fie ℓ2 (Z) spaţiul Hilbert al şirurilor (bilaterale) de pătrat sumabil (cf. exemplului 17(ii),cap.1) şi (ℓ∞ (Z) , k k∞ ) , C ⋆ -algebra comutativă a şirurilor mărginite (cf.exemplului 2(iii),cap.4). Pentru orice şir α ∈ ℓ∞ (Z), şi pentru orice x ∈ ℓ2 (Z), notăm cu αx şirul produs: (αx)(n) = α(n)x(n) , ∀n ∈ Z. Inegalitatea: ∞ X n=−∞ |(αx)(n)|2 ≤k α k2∞ ∞ X n=−∞ |x(n)|2 < ∞, 2 arată că αx ∈ ℓ (Z). Putem deci defini operatorul: Dα : ℓ2 (Z) −→ ℓ2 (Z) , Dα x = αx. 5.3. EXEMPLE DE OPERATORI PE SPAŢII HILBERT 111 Vom numi Dα operatorul diagonal definit de α. Evident, se poate da o definiţie corespunzătoare şi pe spaţiul ℓ2 (N ) (ı̂n acest caz α ∈ ℓ∞ (N )). 17.Observaţie Denumirea de operator diagonal este justificată de următoarea analogie cu cazul finit dimensional. Fie (σn )n∈Z baza canonică din ℓ2 (Z), adică σn (k) = 1 dacă n = k şi 0 ı̂n rest. Fie M = (aij )i,j∈Z ”matricea infinită” a lui Dα ı̂n această bază, adică aij =< Dα σj , σi >. Atunci aij = α(i), dacă i = j şi aij = 0, dacă i 6= j. Reamitim că involuţia pe algebra ℓ∞ (Z) este α −→ α, (aici bara ı̂nseamnă conjugarea complexă), iar spectrul ı̂n această algebră este σ(α) = {α(n) ; n ∈ Z}, (aici bara ı̂nseamnă ı̂nchiderea mulţimii, deci ı̂n cazul nostru este formată din termenii şirului α la care se adaugă punctele limită ale şirului), conform exemplului 9(v),cap.4. Proprietăţile operatorului diagonal sunt cuprinse ı̂n următoarea teoremă. 18.Teoremă (proprietăţile operatorului diagonal) (a) Pentru orice α , β ∈ ℓ∞ (Z) şi a , b ∈ C, avem: aDα + bDβ = Daα+bβ şi Dα Dβ = Dα β . (b) Operatorul Dα este liniar şi continuu. (c) k Dα k=k α k∞ . (d) (Dα )⋆ = Dα . De aici rezultă că operatorul diagonal este normal şi ı̂n plus avem următoarele caracterizări: Dα este autoadjunct ⇐⇒ α(n) ∈ R , ∀n ∈ Z; Dα este pozitiv ⇐⇒ α(n) ≥ 0 , ∀n ∈ Z. Dα este unitar ⇐⇒ |α(n)| = 1 , ∀n ∈ Z. Dα este proiector ⇐⇒ α(n) = 0 sau 1, ∀n ∈ Z (sau α2 = α). (e) Operatorul Dα este inversabil (ı̂n algebra L(ℓ2 (Z)) dacă şi numai dacă şirul α este inversabil (ı̂n algebra ℓ∞ (Z)). În consecinţă, avem: σ(Dα ) = {α(n) ; n ∈ Z} = σ(α). În plus, spectrul punctual (mulţimea valorilor proprii) al operatorului diagonal este σp (Dα ) = {α(n) ; n ∈ Z}. Înainte de a face demonstraţia, să comparăm cu cazul finit dimensional: acolo valorile proprii erau numerele de pe diagonala principală a matricei operatorului ı̂n baza canonică (ı̂n cazul infinit dimensional, termenii şirului α); ı̂n 112 CAPITOLUL 5. OPERATORI PE SPAŢII HILBERT plus, acum apar ı̂n spectru punctele limită ale ”diagonalei” (şi care, ı̂n general, nu sunt valori proprii), dar care sunt ı̂n spectrul punctual aproximativ ı̂ntrucât Dα este operator normal , (a se vedea observaţia 3). Demonstraţie Afirmaţiile de la punctul (a) sunt evidente. (b) şi (c) Liniaritatea este imediată. Din inegalitatea ∞ X n=−∞ |(αx)(n)|2 ≤k α k2∞ ∞ X n=−∞ |x(n)|2 < ∞, rezultă că k Dα x k2 ≤k α k∞ k x k2 şi deci (folosind propoziţia 3, cap.3), obţinem continuitatea lui Dα şi inegalitatea k Dα k≤k α k∞ . Pentru a demonstra inegalitatea inversă, să observăm mai ı̂ntâi că dacă (σn )n∈Z este baza canonică din ℓ2 (Z), atunci Dα σn = α(n)σn ; rezultă: |α(n)| =k α(n)σn k2 =k Dα σn k2 ≤k Dα k k σn k2 =k Dα k . Luând supremum după n ∈ Z ı̂n inegalitatea de mai sus, demonstraţia se ı̂ncheie. (d) Pentru orice şiruri x şi y din ℓ2 (Z), avem: < Dα x, y >= ∞ X α(n)x(n)y(n) =< x, αy >=< x, Dα y >, n=−∞ ceea ce arată că (Dα )⋆ = Dα . Celelalte afirmaţii sunt imediate. (e) Să presupunem mai ı̂ntâi că şirul α este inversabil: există deci β ∈ ℓ∞ (Z) astfel ı̂ncât α(n) β(n) = 1 , ∀n ∈ Z. Atunci operatorul Dβ este liniar şi continuu şi Dα Dβ = Dβ Dα = I; deci Dβ = (Dα )−1 . Reciproc, dacă operatorul Dα este inversabil, atunci (Dα )−1 (α(n)σn ) = = σn , şi deci: 1 (Dα )−1 σn = σn . α(n) De aici, trecând la norme, obţinem: k 1 σn k2 =k (Dα )−1 σn k2 ≤k (Dα )−1 k k σn k2 =k (Dα )−1 k < ∞, α(n) 1 ceea ce implică | α(n) | ≤k (Dα )−1 k , ∀n ∈ Z; ı̂n concluzie şirul α1 este mărginit şi deci α este inversabil. Notând cu 1∈ ℓ∞ (Z) şirul constant 1, avem λI − Dα = Dλ 1−α , ∀λ ∈ C. Rezultă deci că operatorul λI − Dα este inversabil dacă şi numai dacă şirul λ 1−α este inversabil, deci σ(Dα ) = σ(α); acesta din urmă a fost ı̂nsă calculat ı̂n exemplul 9(v),cap.4 şi este {α(n) ; n ∈ Z}. 5.3. EXEMPLE DE OPERATORI PE SPAŢII HILBERT 113 Demonstrăm acum egalitatea σp (Dα ) = {α(n) ; n ∈ Z}. Pentru orice n fixat ı̂n Z, fie xn ∈ ℓ2 (Z) definit prin xn (k) = α(n) pentru k = = n şi 0 pentru k 6= n. Atunci ((α(n)I − Dα )xn )(k) = 0 , ∀k ∈ Z şi deci numărul α(n) este valoare proprie a operatorului Dα , iar xn este un vector propriu asociat acestei valori proprii. Pentru a demonstra incluziunea reciprocă, fie λ ∈ σp (Dα ) şi fie x ∈ ℓ2 (Z) astfel ı̂ncât x nu este şirul identic nul şi ((λI − Dα )x)(n) = 0 , ∀n ∈ Z. Presupunând prin absurd că λ 6= α(n) , ∀n ∈ Z, din egalitatea (λ − α(n))x(n) = 0 , ∀n ∈ Z, obţinem x(n) = 0 , ∀n ∈ Z, contradicţie. 19.Obsevaţie În cursul demonstraţiei teoremei anterioare, am arătat că aplicaţia ℓ∞ (Z) ∋ α −→ Dα ∈ L(ℓ2 (Z)) este un morfism injectiv (chiar izometric) de C ⋆ algebre, având drept imagine subalgebra operatorilor diagonali. Rezultă că subalgebra operatorilor diagonali este o C ⋆ - subalgebră comutativă ı̂n L(ℓ2 (Z)) , (ı̂n particular, este deci completă) fiind izomorfă cu C ⋆ -algebra comutativă ℓ∞ (Z). O consecinţă a acestui fapt este că limita unui şir convergent de operatori diagonali este tot un operator diagonal. Bineı̂nţeles, operatorii diagonali pe spaţiul Hilbert ℓ2 (N ) au proprietăţi sim1 ilare. De exemplu, dacă α(n) = n+1 , ∀n ∈ N , atunci operatorul diagonal asociat Dα ∈ L(ℓ2 (N )) este autoadjunct, k Dα k= 1 şi S 1 ; n ∈ N } {0} ; evident, operatorul Dα nu este inversabil ı̂n σ(Dα ) = { n+1 acest caz. 20.Definţie (operatorul de translaţie unilateral) Pe spaţiul Hilbert ℓ2 (N ) considerăm operatorul: V : ℓ2 (N ) −→ ℓ2 (N ) , (V x)(0) = 0 şi (V x)(n) = x(n − 1) , ∀n ≥ 1. Este evident că definiţia este corectă (V x ∈ ℓ2 (N )). Operatorul V se numeşte operatorul de translaţie unilateral, (unilateral shift); ı̂n teoria sistemelor V este denumit ı̂ntârziere ideală (ideal delay). Înainte de a enunţa şi demonstra proprietăţile operatorului V , vom face o observaţie cu caracter general ı̂n legătură cu spectrul unui operator. 21.Observaţie Fie H un spaţiu Hilbert şi fie T ∈ L(H). Dacă λ ∈ σp (T ⋆ ) , atunci , prin definiţie, există x ∈ H , x 6= 0 astfel ı̂ncât T ⋆ x = λx ; avem deci: {0} = 6 Ker(λI − T ⋆ ) = (Im((λI − T ⋆ )⋆ ))⊥ = (Im(λI − T ))⊥ , 114 CAPITOLUL 5. OPERATORI PE SPAŢII HILBERT ceea ce arată că Im(λI − T ) 6= H , deci operatorul λI − T nu este surjectiv. Am demonstrat deci: Dacă λ ∈ C este valoare proprie pentru T ⋆ , atunci λ ∈ σ(T ). 22.Teoremă (proprietăţile operatorului de translaţie unilateral) Fie V : ℓ2 (N ) −→ ℓ2 (N ) operatorul de translaţie unilateral; atunci: (a) V este liniar şi continuu. (b) V este o izometrie: k V x k2 =k x k2 , ∀x ∈ ℓ2 (N ) . De aici rezultă, in particular, că k V k= 1. (c) V nu este operator inversabil (nu este surjectiv). (d) (V ⋆ x)(n) = x(n + 1) , ∀x ∈ ℓ2 (N ) , ∀n ∈ N şi k V ⋆ k= 1. (e) V ⋆ V = I dar V V ⋆ 6= I. (f ) Operatorul V nu are valori proprii: σp (V ) = ∅ . (g) σp (V ⋆ ) = {λ ∈ C ; |λ| < 1} şi σ(V ) = σ(V ⋆ ) = {λ ∈ C ; |λ| ≤ 1}. Înainte de demonstraţie, să observăm că pe spaţii finit dimensionale nu există endomorfisme injective care să nu fie surjective ( de fapt operatorul V este mai mult decât injectiv, este o izometrie); dimpotrivă,ı̂n cazul finit dimensional orice izometrie este operator unitar. Este de asemenea de reţinut faptul că V nu are valori proprii, ı̂n timp ce ı̂n cazul unui operator definit pe un spaţiu finit dimensional spectrul este format numai din valori proprii. Demonstraţie Prin definiţie, V acţionează astfel: ℓ2 (N ) ∋ x = (x(0), x(1), x(2), ..) → (0, x(0), x(1), ..) = V x ∈ ℓ2 (N ). (a),(b),(c) Liniaritatea o lăsăm ca exerciţiu. Este evident (din schema de mai sus) că k V x k2 =k x k2 , şi deci V este izometrie. Operatorul V nu este surjectiv deoarece Im(V ) = {x ∈ ℓ2 (N ) ; x(0) = 0} = 6 ℓ2 (N ) de 2 exemplu, nu există x ∈ ℓ (N ) astfel ı̂ncât V x = σo . (d) Pentru orice x, y ∈ ℓ2 (N ) , avem: < V x, y >= ∞ X n=0 (V x)(n)y(n) = ∞ X n=1 x(n − 1)y(n) = ∞ X x(n)y(n + 1), n=0 ceea ce arată că adjunctul lui V este: ℓ2 (N ) ∋ y = (y(0), y(1), y(2), ..) → V ⋆ y = (y(1), y(2), y(3), ..) ∈ ℓ2 (N ). Este evident că pentru orice x ∈ ℓ2 (N ) avem k V ⋆ x k2 ≤k x k2 ,deci k V ⋆ k≤ 1 . Dar k V ⋆ σ1 k2 =k σo k2 = 1 , deci k V ⋆ k= 1. (e) Este clar că V ⋆ V = I ; dar, pentru orice x ∈ ℓ2 (N ) cu proprietatea că x(0) 6= 0 , avem V V ⋆ x 6= x . 5.3. EXEMPLE DE OPERATORI PE SPAŢII HILBERT 115 (f ) Arătăm acum că V nu are valori proprii. Fie , prin absurd , λ ∈ C astfel ı̂ncât există x ∈ ℓ2 (N ) , x 6= 0 , cu proprietatea V x = λx , adică: (0, x(0), x(1), x(2), ...) = (λx(0), λx(1), λx(2), ...). De aici rezultă x(n) = 0 , ∀n ∈ N , contradicţie cu x 6= 0. Am demonstrat deci că σp (V ) = ∅. (g) Deoarece k V k=k V ⋆ k= 1 , rezultă că spectrele operatorilor V şi V ⋆ sunt incluse ı̂n discul unitate ı̂nchis. Vom arăta mai ı̂ntâi că σp (V ⋆ ) = {λ ∈ C ; |λ| < 1} . Din egalitatea V ⋆ x = λx , rezultă: (x(1), x(2), x(3), ...) = (λx(0), λx(1), λx(2), ...), şi deci x(n+1) = λn x(0) , ∀n ∈ N . Dacă x(0) = 0 , atunci x = 0 . Rezultă deci că vectorii proprii x asociaţi valorii proprii λ sunt de forma: x = (x(0), λx(0), λ2 x(0), λ3 x(0), ...) , cu condiţia x(0) 6= 0. Există ı̂nsă restricţia x ∈ ℓ2 (N ) , ceea ce este echivalent cu |λ| < 1 . Am demonstrat deci că: σp (V ⋆ ) = {λ ∈ C ; |λ| < 1}. Din observaţia 21 de mai sus, rezultă că σ(V ) ⊇ σp (V ⋆ ) . În concluzie, spectrele operatorilor V şi V ⋆ conţin discul unitate deschis şi sunt conţinute ı̂n discul unitate ı̂nchis. Cum spectrul este mulţime ı̂nchisă, rezultă că spectrele celor doi operatori sunt egale cu discul unitate ı̂nchis. 23.Definiţie (operatorul de translaţie bilateral) Pe spaţiul Hilbert ℓ2 (Z) considerăm aplicaţia: W : ℓ2 (Z) → ℓ2 (Z) , (W x)(n) = x(n − 1) , ∀n ∈ Z. Este clar că W x ∈ ℓ2 (Z) , ∀x ∈ ℓ2 (Z). Operatorul W se numeşte operatorul de translaţie bilateral. Aşa cum vom vedea ı̂n teorema următoare, proprietăţile sale sunt ı̂n mod esenţial diferite de cele ale operatorului de translaţie unilateral. 24.Teoremă (proprietăţile operatorului de translaţie bilateral) (a) W este liniar şi continuu. (b) Adjunctul lui W este (W ⋆ x)(n) = x(n + 1) , ∀n ∈ Z. (c) W este operator unitar: W W ⋆ = W ⋆ W = I . În particular, k W k=k W ⋆ k= 1. 116 CAPITOLUL 5. OPERATORI PE SPAŢII HILBERT (d) Operatorii W şi W ⋆ nu au valori proprii; (e) σ(W ) = σpa (W ) = σ(W ⋆ ) = σpa (W ⋆ ) = {λ ∈ C ; |λ| = 1}. Reamintim că σpa este spectrul punctual aproximativ (a se vedea observaţia 3 şi teorema 18 din acest capitol). Demonstraţie (a) Liniaritatea este imediată; continuitatea rezultă din relaţia evidentă: k W x k2 =k x k2 . (b) Pentru orice x , y ∈ ℓ2 (Z) , avem: < W x, y >= X n∈Z x(n − 1)y(n) = X x(n)y(n + 1), n∈Z şi deci ı̂ntr-adevăr (W ⋆ x)(n) = x(n + 1) , ∀n ∈ Z. (c) Egalităţile W W ⋆ = W ⋆ W = I sunt evidente. (d) Vom demonstra că W nu are valori proprii (analog se arată şi pentru W ⋆ ). Presupunem prin absurd că există λ ∈ C şi x ∈ ℓ2 (Z) , x 6= 0 astfel ı̂ncât W x = λx, adică x(n − 1) = = λx(n) , ∀n ∈ Z. Rezultă deci că x(n) = λ−n x(0) , ∀n ∈ Z. Dar x ∈ ℓ2 (Z) şi deci seriile geometrice: 0 X n=−∞ |x(0)|2 |λ|−2n şi ∞ X n=0 |x(0)|2 |λ|−2n trebuie să fie simultan convergente; acest lucru este posibil numai dacă x(0) = 0 , adică x = 0 , contradicţie. (e) Faptul că spectrele operatorilor W şi W ⋆ sunt incluse ı̂n cercul unitate rezultă din proprietatea că ı̂ntr-o C ⋆ -algebră spectrul oricărui element unitar este inclus ı̂n cercul unitate ( propoziţia 35,cap.4). Demonstraţia care urmează este totuşi independentă de această proprietate. Demonstrăm că spectrul punctual aproximativ al lui W este egal cu cercul unitate. Fie λ = eit şi fie xn ∈ ℓ2 (Z) , şirul definit prin: 1 xn (k) = (2n + 1)− 2 e−ikt pentru |k| ≤ n şi xn (k) = 0 ı̂n rest. Propunem cititorului să arate că k xn k2 = 1 şi: lim k (λI − W )xn k2 = 0. n→∞ Analog se calculează şi σpa (W ⋆ ). Cum σ(W ) şi σ(W ⋆ ) sunt incluse ı̂n cercul unitate, demonstraţia este ı̂ncheiată. O clasă importantă de operatori este clasa operatorilor de multiplicare; un caz particular a fost deja prezentat: operatorul diagonal pe spaţiul ℓ2 (Z). În continuare, vom da definiţia generală a acestor 5.3. EXEMPLE DE OPERATORI PE SPAŢII HILBERT 117 operatori. 25.Definiţie Fie (Ω, µ) un spaţiu cu măsură (pozitivă); fie L2 (Ω, µ) spaţiul Hilbert al funcţiilor de pătrat integrabil definite pe Ω , (cf. exemplului 17(iii),cap.1) şi fie L∞ (Ω, µ) , C ⋆ - algebra comutativă a funcţiilor esenţial mărginite pe Ω , (cf. exemplului 32(vi),cap.3). Pentru orice f ∈ L2 (Ω, µ) şi pentru orice ψ ∈ L∞ (Ω, µ) , definim funcţia produs (ψf )(t) = ψ(t)f (t) , ∀t ∈ Ω; avem: k ψf k2 = sZ Ω |ψf |2 dµ ≤k ψ k∞ k f k2 , deci ψf ∈ L2 (Ω, µ). Rezultă deci că pentru orice ψ ∈ L∞ (Ω, µ) putem defini aplicaţia: Mψ : L2 (Ω, µ) → L2 (Ω, µ) , Mψ f = ψf. Operatorul Mψ se numeşte operatorul de multiplicare (sau operatorul de ı̂nmulţire) cu ψ; funcţia ψ se numeşte multiplicator. Operatorul diagonal Dα (cf. definiţiei 16) se obţine ı̂n cazul particular Ω = Z , măsura µ este măsura de numărare şi ψ = α. 26.Definiţie Un alt caz particular remarcabil (pe care-l vom studia ı̂n continuare) este Ω = S 1 = {λ ∈ C ; |λ| = 1} şi măsura µ măsura Lebesgue pe cercul unitate. Notăm L2 (S 1 ) spaţiul Hilbert al funcţiilor de pătrat integrabil pe cerc cu produsul scalar < f, g >= 1 2π 2π R f (eit )g(eit )dt (cf. exemplului 17(iii),cap.1) 0 şi cu L∞ (S 1 ) C ⋆ -algebra comutativă a funcţiilor esenţial mărginite pe cerc (cf. exemplului 2(v),cap.4). Pentru orice ψ ∈ L∞ (S 1 ) notăm cu Mψ operatorul de multiplicare pe L2 (S 1 ): (Mψ f )(eit ) = ψ(eit )f (eit ) , ∀eit ∈ S 1 . Vom studia acum operatorii de multiplicare pe spaţiul Hilbert al funcţiilor de pătrat integrabil definite pe cercul unitate, L2 (S 1 ). Menţionăm totuşi că rezultatele ce urmează sunt adevărate şi ı̂n cazul (general) al operatorilor de multiplicare pe spaţiul Hilbert L2 (Ω, µ) . Demonstraţiile care vor urma se adaptează (aşa cum vom preciza) uşor cazului general. 27.Propoziţie (proprietăţile operatorului de multiplicare) Fie ψ ∈ L∞ (S 1 ) şi Mψ operatorul de multiplicare corespunzător; atunci: (a) Mψ este liniar şi continuu şi k Mψ k=k ψ k∞ . (b) Mψ Mφ = Mφ Mψ = Mψφ , ∀φ ∈ L∞ (S 1 ). 118 CAPITOLUL 5. OPERATORI PE SPAŢII HILBERT (c) (Mψ )⋆ = Mψ şi Mψ este operator normal. (d) Mψ este operator autoadjunct dacă şi numai dacă funcţia ψ ia valori reale: ψ = ψ. (e) Mψ este operator pozitiv dacă şi numai dacă funcţia ψ ia valori pozitive: ψ(eit ) ≥ 0, ∀eit ∈ S 1 . (f ) Mψ este operator unitar dacă şi numai dacă funcţia ψ ia valori de modul 1 : |ψ(eit )| = 1, ∀eit ∈ S 1 . (g) Mψ este proiector dacă şi numai dacă funcţia ψ este funcţia caracteristică a unei submulţimi măsurabile de pe cerc ( deci ψ ia numai valorile 0 şi 1 , sau, echivalent, ψ 2 = ψ ). Demonstraţie (a) Liniaritatea este evidentă; calculăm norma lui Mψ . Pentru orice f ∈ L2 (S 1 ) , avem: k M ψ f k2 = s Z 2π 0 |ψ(eit )f (eit )|2 dt ≤k ψ k∞ k f k2 , şi deci am obţinut inegalitatea: k Mψ k≤k ψ k∞ . Pentru a demonstra şi inegalitatea inversă, considerăm, pentru orice n ∈ N mulţimea: 1 An = {eit ∈ S 1 ; |ψ(eit )| ≥k ψ k∞ − }. n Din definiţia supremumului esenţial, rezultă că măsura mulţimii An este nenulă (pentru orice n ∈ N ). Dacă χn este funcţia caracteristică a mulţimii An , atunci χn ∈ L2 (S 1 ) şi: k χn k2 = s Z 2π 0 |χn |2 dt = q µ(An ), unde, µ(An ) este măsura (Lebesgue pe cerc) a mulţimii An . Rezultă: k M ψ χ n k2 = ≥ s Z 2π 0 Rezultă deci că: s Z 2π 0 |ψ χn |2 dt ≥ 1 1 (k ψ k∞ − )2 |χn |2 dt ≥ (k ψ k∞ − ) k χn k2 . n n 1 k Mψ k≥k ψ k∞ − , ∀n ∈ N, n deci k Mψ k≥k ψ k∞ . (b) Pentru orice ψ , φ ∈ L∞ (S 1 ) , avem: Mψ Mφ f = Mψ (φf ) = ψφf = Mψφ f = Mφψ f, 5.3. EXEMPLE DE OPERATORI PE SPAŢII HILBERT 119 pentru orice f ∈ L2 (S 1 ) . (c) Dacă f, g ∈ L2 (S 1 ) , atunci: < Mψ f, g >= Z 2π 0 (ψf )gdt = Z 2π 0 f (ψg)dt =< f, Mψ g >, şi deci (Mψ )⋆ = Mψ ; operatorii de multiplicare comută toţi ı̂ntre ei , deci Mψ şi Mψ comută, adică Mψ este operator normal. Celelalte afirmaţii sunt uşor de demonstrat; de exemplu, pentru a demonstra (f ), să presunem mai ı̂ntâi că Mψ este unitar; atunci, din egalitatea Mψ Mψ = I , rezultă ψψ = 1. Reciproc, dacă |ψ| = 1 , atunci, funcţia 1 = ψ este esenţial mărginită şi deci putem considera operatorul M 1 , care ψ ψ este şi inversul, dar şi adjunctul lui Mψ . 28.Observaţie Raţionamentele de mai sus se pot reface, ı̂ntocmai, şi ı̂n cazul unui spaţiu cu măsură arbitrar, (Ω, µ) cu proprietatea µ(Ω) = 1 şi, mai general, pentru un spaţiu cu măsură finită: µ(Ω) < ∞ . Dacă µ(Ω) = ∞ , atunci, singura eroare ı̂n demonstraţia de mai sus ar fi aceea că mulţimea An ar putea avea măsură infinită: µ(An ) = ∞ şi deci inegalitatea k Mψ k≥k ψ k∞ nu mai este adevărată. Pentru ca demonstraţia să fie corectă şi ı̂n acest caz, este suficient să existe o submulţime ı̂n Bn ⊂ An , care să fie măsurabilă de măsură finită; raţionamentul s-ar putea atunci face pentru Bn ı̂n loc de An (şi χBn ı̂n loc de χAn , etc). Pentru aceasta, trebuie ca măsura µ să aibă următorea proprietate: ı̂n orice mulţime măsurabilă (de măsură infinită) să existe o submulţime măsurabilă de măsură finită (o măsură cu această proprietate se numeşte local finită). O proprietate uzuală care implică local-finitudinea măsurii µ este ca ea să fie σ-finită, adică: există un şir de mulţimi măsurabile (Dn )n∈N cu proprietăţile: S µ(Dn ) < ∞, ∀n ∈ N şi Ω = n∈N Dn . De exemplu, măsura Lebesgue pe R este σ-finită, pentru că S R= (−n, n). n∈N Calculul spectrului operatorului de multiplicare necesită câteva rezultate preliminare; rezultatul fundamental ı̂n această direcţie este că operatorul Mφ este inversabil dacă şi numai dacă funcţia φ este inversabilă ı̂n algebra L∞ (Ω, µ) . Suficienţa conditiei de inversabilitate pentru Mφ admite o demonstraţie simplă; vom face demonstraţia pentru φ ∈ L∞ (S 1 ) , dar ca şi mai sus, ea se poate adapta fără dificultăţi la cazul general. Reamintim că o funcţie φ ∈ L∞ (Ω, µ) este inversabilă dacă şi numai dacă există m > 0 astfel ı̂ncât |φ(u)| ≥ m , ∀u ∈ Ω (a.p.t.), (exemplul 9(vi),cap.4); 120 CAPITOLUL 5. OPERATORI PE SPAŢII HILBERT am demonstrat de asemenea că σ(φ) = essran(φ). 29.Propoziţie Dacă funcţia φ ∈ L∞ (S 1 ) este inversabilă, atunci operatorul de multiplicare Mφ este inversabil. Demonstraţie Dacă funcţia φ ∈ L∞ (S 1 ) este inversabilă, atunci funcţia φ1 este ı̂n algebra L∞ (S 1 ) şi deci operatorul de multiplicare cu φ1 este inversul căutat: Mφ M 1 = I. φ 30.Consecinţă Dacă λ ∈ σ(Mφ ) , atunci λI − Mφ nu este inversabil şi deci din propoziţia anterioară rezultă că funcţia λ − φ nu este inversabilă ı̂n algebra L∞ (S 1 ) ; concluzie: σ(Mφ ) ⊆ σ(φ) = essran(φ) , (cf. exemplului 9.(vi),cap.4). În particular, dacă φ este o funcţie continuă pe S 1 atunci σ(Mφ ) ⊆ φ(S 1 ). Pentru a demonstra reciproca propoziţiei 29 (ceea ce ar rezolva problema calculului spectrului operatorului de multiplicare), avem nevoie de două rezultate auxiliare; ca de obicei, demonstraţiile vor fi prezentate ı̂n cazul Ω = S 1 , dar raţionamentele sunt corecte şi pentru un spaţiu cu măsură σ − finită , (Ω, µ). 31.Lemă Fie φ : S 1 → C , o funcţie măsurabilă arbitrară. Dacă φf ∈ L2 (S 1 ) , ∀f ∈ L2 (S 1 ) şi dacă operatorul T : L2 (S 1 ) → L2 (S 1 ) , T f = φf este continuu, atunci φ ∈ L∞ (S 1 ) şi k φ k∞ ≤k T k . Demonstraţie Vom demonstra că |φ| ≤k T k (a.p.t.); de aici va rezulta că k φ k∞ ≤k T k (a se vedea exemplul 4(vi).cap.1). Fie M ⊆ S 1 o mulţime măsurabilă astfel ı̂ncât |φ(z)| >k T k , ∀z ∈ M ; demonstraţia se ı̂ncheie dacă demonstrăm că µ(M ) = 0 (aici am notat cu µ măsura Lebesgue pe cerc). Fie χM funcţia caracteristică a mulţimii M . Dacă prin absurd χM 6= 0 a.p.t. , atunci: k T χM k2 = s Z 2π 0 |φχM |2 dt = sZ M |φ|2 dt >k T k k χM k2 , ceea ce este o contradicţie. În demonstraţia de mai sus am folosit ipoteza de continuitate a operatorului T ; vom arăta ı̂n continuare că această ipoteză nu este necesară. 5.3. EXEMPLE DE OPERATORI PE SPAŢII HILBERT 121 32.Lemă Fie φ : S 1 → C o funcţie măsurabilă arbitrară. Dacă φf ∈ L2 (S 1 ) , ∀f ∈ L2 (S 1 ), atunci φ ∈ L∞ (S 1 ). Demonstraţie Să considerăm operatorul (liniar) T : L2 (S 1 ) → L2 (S 1 ) , T f = φf. Este suficient să demonstrăm că T este continuu: din lema precedenta va rezulta apoi că φ este funcţie esenţial mărginită. Pentru aceasta, vom folosi teorema graficului ı̂nchis (teorema 45,cap.3): dacă T este operator ı̂nchis, atunci el este continuu. Pentru a demonstra că T este operator ı̂nchis, fie (fn )n un şir de funcţii din L2 (S 1 ) cu proprietăţile (a se vedea observaţia 44,cap.3): (i) fn converge (ı̂n L2 (S 1 ) ) la f. (ii) φfn converge (ı̂n L2 (S 1 ) ) la g. Demonstraţia se va ı̂ncheia dacă vom demonstra că g este ı̂n imaginea operatorului T , adică g = φf . Se ştie că dacă un şir de funcţii (hn )n converge ı̂n norma k kp (de fapt noi vom folosi aici cazul p = 2 ), la funcţia h , atunci există un subşir al lui (hn )n care converge punctual (a.p.t.) la h ([17],p.201). Din această cauză, putem presupune că şirul (fn )n converge şi punctual (a.p.t.) la f . Rezultă deci că şirul (φfn )n converge punctual (a.p.t.) la funcţia φf ; dar, deorece şirul (φfn )n converge ı̂n norma k k2 la g , rezultă, cu acelaşi raţionament ca mai sus că (φfn )n converge şi punctual (a.p.t.) la g . În concluzie, g = φf . Putem demonstra acum reciproca propoziţiei 29, şi deci avem: 33.Teoremă (spectrul operatorului de multiplicare) Fie φ ∈ L∞ (S 1 ) şi fie Mφ operatorul de multiplicare asociat lui φ pe spaţiul L2 (S 1 ) . Atunci Mφ este operator inversabil dacă şi numai dacă funcţia φ este inversabilă (ı̂n algebra L∞ (S 1 ) ); consecinţe: (a) Spectrul operatorului Mφ coincide cu imaginea esenţială a funcţiei φ; ( a se vedea exemplul 9(vi),cap.4). (b) Raza spectrală şi norma operatorului de multiplicare sunt egale: r(Mφ ) =k Mφ k . Demonstraţie Implicaţia φ inversabilă ⇒ Mφ inversabil a fost demonstrată ı̂n propoziţia 29. Să presupunem acum că operatorul Mφ este inversabil, deci există T ∈ 122 CAPITOLUL 5. OPERATORI PE SPAŢII HILBERT L(L2 (S 1 )) astfel ı̂ncât T Mφ f = Mφ T f = f , ∀f ∈ L2 (S 1 ) . Rezultă deci că φT f = f , ∀f ∈ L2 (S 1 ) , adică: Tf = 1 f , ∀f ∈ L2 (S 1 ). φ Deoarece operatorul T este continuu, din lemele anterioare rezultă că funcţia 1 este ı̂n L∞ (S 1 ) şi k φ1 k∞ ≤k T k . În concluzie, φ este inversabilă ı̂n φ algebra L∞ (S 1 ) , inversa ei fiind φ1 ∈ L∞ (S 1 ). (a) rezultă imediat aplicând rezultatul demonstrat mai sus operatorului λI − Mφ = Mλ−φ . (b) rezultă din (a) şi din definiţia razei spectrale: r(Mφ ) = sup{ |λ| ; λ ∈ σ(Mφ )}; a se vedea definiţia 12,cap.4. 34.Observaţie Dacă funcţia φ este continuă pe cerc, atunci operatorul Mφ este inversabil dacă şi numai dacă φ(eit ) 6= 0 , ∀eit ∈ S 1 , (a se vedea exemplul 9(vi),cap.4). Rezultă deci că ı̂n acest caz spectrul operatorului Mφ coincide cu imaginea funcţiei φ . De exemplu, dacă φ(eit ) = eit − 2 , atunci: σ(Mφ ) = essran(φ) = φ(S 1 ) = {λ ∈ C ; |λ + 2| = 1}. În particular, operatorul Mφ este inversabil (deoarece 0 6∈ σ(Mφ ) ) şi inversul său este: 1 f (eit ) , ∀f ∈ L2 (S 1 ). ((Mφ )−1 f )(eit ) = it e −2 Să considerăm acum un exemplu ı̂n care funcţia multiplicator nu este continuă; fie , de exemplu: ψ(eit ) = eit − i , dacă t ∈ [0, π) şi ψ(eit ) = 1 , dacă t ∈ [π, 2π). eit + i Atunci imaginea funcţiei ψ este: ψ(S 1 ) = {1} [ {it ; t ∈ [−1, 1)} , şi deci imaginea esenţială a lui ψ este (cf. exemplului 9(vi),cap.4): ψ(S 1 ) = {1} [ {it ; t ∈ [−1, 1]} = σ(Mψ ). În particular, operatorul Mψ nu este inversabil. Tot ı̂n legătură cu acest exemplu, se observă uşor că λ = 1 este va- 5.3. EXEMPLE DE OPERATORI PE SPAŢII HILBERT 123 loare proprie a operatorului Mψ . Într-adevăr, orice funcţie neidentic nulă f ∈ L2 (S 1 ) care se anulează pe submulţimea {eit ; t ∈ [0, π]} , verifică egalitatea Mψ f = ψf = f , deci este vector propriu (asociat valorii proprii 1 ) al operatorului Mψ . În general, se poate demonstra că λ este valoare proprie pentru operatorul Mφ dacă şi numai dacă mulţimea pe care funcţia φ ia valoarea λ are măsură nenulă ([10],p.40). 35.Observaţie Aşa cum am menţionat, rezultatele demonstrate mai sus sunt adevărate şi ı̂n cazul general al unui operator de multiplicare Mψ : L2 (Ω, µ) → L2 (Ω, µ) , cu funcţia ψ ∈ L∞ (Ω, µ) , iar spaţiul cu măsură (Ω, µ) este σ−finit. Propunem cititorului să adapteze ı̂n mod corespunzător demonstraţiile. Să considerăm acum câteva exemple pe R . Fie deci Ω = R , măsura µ măsura Lebesgue (pe R ) şi fie φ(x) = 1 + 2x2 , ∀x ∈ R. 1 + x2 Atunci φ ∈ L∞ (R) şi φ(R) = [1, 2) . Rezultă deci că σ(Mφ ) = [1, 2]; ı̂n particular, operatorul Mφ este pozitiv şi inversabil. Vom da acum un exemplu de operator de multiplicare unitar pe L2 (R) ; fie x+i , ∀x ∈ R . Atunci σ(Mψ ) = S 1 , deci Mψ este unitar. ψ(x) = ix+1 Pentru a obţine proiectori, trebuie ca multiplicatorul ψ să fie funcţia caracteristică a unei mulţimi măsurabile. De exemplu, pentru orice τ ∈ R (fixat) fie χτ funcţia caracteristică a intervalului (−∞, τ ] . Atunci operatorul de multiplicare cu χτ este proiectorul pe subspaţiul (din L2 (R) ) al funcţiilor care se anulează pe intervalul (τ, ∞) ; el se numeşte operatorul de trunchiere la momentul τ , iar o notaţie uzuală este Pτ . Evident, σ(Pτ ) = σp (Pτ ) = {0, 1}. 36.Observaţie Operatorii de multiplicare au şi alte proprietăţi remarcabile. De exemplu, mulţimea operatorilor de multiplicare, M = {Mφ ; φ ∈ L∞ (Ω, µ)} este o C ⋆ -algebră comutativă, iar aplicaţia L∞ (Ω, µ) ∋ φ → Mφ ∈ M este un izomorfism de C ⋆ -algebre. Mai mult, algebra M este maximal abeliană; aceasta ı̂nseamnă că un operator care comută cu toţi operatorii de multiplicare este el ı̂nsuşi un operator de multiplicare. Această proprietate permite o altă demonstraţie pentru spectrul lui Mφ ;[5],p.89. 124 CAPITOLUL 5. OPERATORI PE SPAŢII HILBERT 37.Propoziţie Fie (H, <, >H ) şi (K, <, >K ) două spaţii Hilbert şi fie T ∈ L(H) şi S ∈ L(K) . Operatorii T şi S se numesc unitar-echivalenţi dacă există un izomorfism de spaţii Hilbert (a se vedea definiţia 7,cap.1) U : H → K astfel ı̂ncât T = U −1 SU. De exemplu, ı̂n capitolul 2 (teorema 28), am demonstrat că un operator normal pe C n este unitar-echivalent cu un operator diagonal. Doi operatori unitar-echivalenţi au acelaşi spectru, aceeaşi normă, aceleaşi valori proprii, acelaşi spectru punctual aproximativ. De asemenea, dacă S este inversabil, atunci: T ⋆ = U −1 S ⋆ U şi T −1 = U −1 S −1 U. Demonstraţie Reamintim că prin izomorfism de spaţii Hilbert (sau operator unitar) se ı̂nţelege un operator liniar bijectiv cu proprietatea < U x, U y >K =< x, y >H , ∀x, y ∈ H . Să demonstrăm de exemplu egalitatea σ(S) = σ(T ) ; dacă λ ∈ C , atunci λI − S este inversabil ⇔ U −1 (λI − S)U este inversabil ⇔ λI − U −1 SU este inversabil. Pentru a demonstra egalitatea T ⋆ = U −1 S ⋆ U , trebuie să definim adjunctul unui operator oarecare, A : H → K ; procedându-se ı̂n mod analog cazului H = K (propoziţia 1 din acest capitol) se demonstreză existenţa unui operator A⋆ : K → H , astfel ı̂ncât < Au, v >K =< u, A⋆ v >H ∀u ∈ H şi v ∈ K. Un alt mod de a demonstra existenţa lui A⋆ este de a particulariza definiţia adjunctului unui operator ı̂ntre două spaţii normate (a se vedea teorema 29,cap.3) pentru spaţii Hilbert (se foloseşte teorema lui Riesz: teorema 13,cap.1). Proprietăţile lui A⋆ sunt practic identice cu cele din cazul H = K ; de exemplu, dacă A = U este unitar , atunci U ⋆ = U −1 . Rezultă deci T ⋆ = (U −1 SU )⋆ = U −1 S ⋆ U . În mod analog se demonstrează celelalte proprietăţi. O clasă de operatori care sunt unitar echivalenţi cu operatorii de multiplicare pe L2 (S 1 ) sunt operatorii de convoluţie pe spaţiul ℓ2 (Z). Reamintim că dacă α şi β sunt două şiruri definite pe Z , atunci convoluţia lor este şirul notat α ⋆ β definit prin: (α ⋆ β)(n) = ∞ X n=−∞ α(k)β(n − k), ı̂n ipoteza că seria converge pentru orice n ∈ Z fixat. Produsul de convoluţie este comutativ, asociativ, distributiv faţă de adunare şi are element neutru 5.3. EXEMPLE DE OPERATORI PE SPAŢII HILBERT 125 şirul σo (n) = 1 dacă n = 0 şi 0 ı̂n rest; a se vedea exemplul 2(vi),cap.4. 38.Definiţie (operatorul de convoluţie pe Z ) Fie un şir θ ∈ ℓ2 (Z) astfel ı̂ncât: (i) θ ⋆ x ∈ ℓ2 (Z) , ∀x ∈ ℓ2 (Z). Cu această condiţie ı̂ndeplinită, putem defini operatorul de convoluţie cu θ prin relaţia: Cθ : ℓ2 (Z) → ℓ2 (Z) , Cθ x = θ ⋆ x. Menţionăm că restricţia θ ∈ ℓ2 (Z) este necesară pentru existenţa transformatei Fourier inverse F −1 θ. Liniaritatea operatorului Cθ este evidentă; continuitatea şi o explicitare a condiţiei (i) urmează a fi studiate ı̂n continuare. Pentru aceasta, vom demonstra că operatorul de convoluţie este unitar echivalent cu un operator de multiplicare. In definiţia 21,cap.1 am văzut că transformarea Fourier: F : L2 (S 1 ) → ℓ2 (Z) , Ff = fˆ, unde fˆ(n) = 1 2π 2π R f (eit )e−int dt , este un izomorfism de spaţii Hilbert. Inversa 0 ei este definită prin: F −1 x = X x(n)ωn , n∈Z unde, am notat ωn (eit ) = eint , (ca ı̂n definiţia 18,cap.1). Reamintim de asemenea că restricţia lui F −1 la ℓ1 (Z) admite o formulă punctuală (a se vedea teorema 22,cap.1):   F −1 α (eit ) = X n∈Z α(n)eint , ∀α ∈ ℓ1 (Z). 39.Lemă Pentru orice α, β ∈ ℓ1 (Z), are loc egalitatea: F −1 (α ⋆ β) = (F −1 α)(F −1 β). Demonstraţie Deoarece α şi β sunt ı̂n ℓ1 (Z), convoluţia α ⋆ β există şi aparţine de asemenea spaţiului ℓ1 (Z) (cf. exemplului 2(vi),cap.4). Pentru orice eit ∈ S 1 , avem: [F −1 (α ⋆ β)](eit ) = X n∈Z (α ⋆ β)(n)eint = X X n∈Z k∈Z α(k)β(n − k)eint = 126 CAPITOLUL 5. OPERATORI PE SPAŢII HILBERT = X [α(k) X β(m)ei(k+m)t ] = ( m∈Z k∈Z X α(k)eikt )( = [(F α)(F −1 β(m)eimt ) = m∈Z k∈Z −1 X it β)](e ), schimbarea ordinei de sumare fiind posibilă deoarece seriile sunt absolut convergente. 40.Teoremă (a) Fie θ ∈ ℓ2 (Z); atunci: (F −1 Cθ F)f = (F −1 θ)f , ∀f ∈ L2 (S 1 ). (b) Operatorul de convoluţie cu θ este corect definit (ı̂n sensul că ı̂ndeplineşte condiţia (i) din definiţia 38 ) dacă şi numai dacă F −1 θ ∈ L∞ (S 1 ); ı̂n acest caz, Cθ este operator continuu şi este unitar echivalent cu operatorul de multiplicare cu F −1 θ, adică F −1 Cθ F = MF −1 θ . Cθ ℓ2 (Z) ✲ ℓ2 (Z) F −1 F −1 ❄ 2 MF −1 θ 1 L (S ) ❄ ✲ 2 L (S 1 ) (c) Reciproc, fiind dat un operator de multiplicare Mφ pe L2 (S 1 ) , (deci φ ∈ L∞ (S 1 ) ), există un operator de convoluţie pe ℓ2 (Z) , şi anume Cφb astfel Mφ = F −1 CφbF. Demonstraţie (a) Vom demonstra egalitatea de la punctul (a) pentru funcţiile ωn (eit ) = eint , ∀n ∈ Z ı̂n ipoteza suplimentară θ ∈ ℓ1 (Z). Pentru aceasta, calculăm mai ı̂ntâi Fωn : (Fωn ) (m) = 1 Z 2π int −imt e e dt = σn (m), ∀m ∈ Z, 2π 0 unde, reamintim, σn (m) = ( 1 dacă m = n 0 dacă m 6= n Să mai observăm că σn ∈ ℓ1 (Z) şi deci (cf. teoremei 22,cap.1):   F −1 σn (eit ) = eint , ∀eit ∈ S 1 . 5.3. EXEMPLE DE OPERATORI PE SPAŢII HILBERT 127 Fie θ ∈ ℓ1 (Z); atunci, ı̂n baza lemei anterioare, avem:   F −1 Cθ Fωn = F −1 (θ ⋆ σn ) = F −1 θ ωn , ∀n ∈ Z. Deoarece subspaţiul liniar generat de funcţiile {ωn }n∈Z este dens ı̂n L2 (S 1 ), egalitatea (a) este adevărată pentru orice f ∈ L2 (S 1 ) pentru că F şi F −1 , sunt aplicaţii continue (ı̂n norma k k2 ). Acum, egalitatea (a) rezultă şi pentru θ ∈ ℓ2 (Z), deoarece ℓ1 (Z) este dens ı̂n ℓ2 (Z), (a se vedea exemplul 4(iv),cap.1). (b) Totul rezultă acum din proprietăţile operatorului de multiplicare cu F −1 θ ; am demonstrat (ı̂n lema 32) că acesta (şi deci şi Cθ ) este corect definit (şi ı̂n acest caz şi continuu) dacă şi numai dacă funcţia multiplicator F −1 θ este esenţial mărginită pe S 1 . (c) Fie φ ∈ L∞ (S 1 ) ; atunci, pentru orice n ∈ Z , avem: 1 Z 2π |φ(eit )e−int |dt ≤k φ k∞ < ∞, 2π 0 şi deci funcţia φ are transformată Fourier: 1 Z 2π b φ(eit )e−int dt. φb : Z → C , φ(n) = 2π 0 Faptul că operatorul Cφb este corect definit şi este unitar echivalent cu Mφ rezultă din (a) şi (b). Să observăm că demonstraţia punctului (c) s-a bazat ı̂n mod esenţial pe faptul că măsura (Lebesgue) a cercului unitate este finită, ceea ce implică faptul că o funcţie din L∞ (S 1 ) are transformată Fourier (coeficienţi Fourier), deoarece L∞ (S 1 ) ⊂ L2 (S 1 ). 41.Corolar (proprietăţile operatorului de convoluţie pe Z ) Fie θ : Z → C astfel ı̂ncât F −1 θ ∈ L∞ (S 1 ) şi fie Cθ operatorul de convoluţie asociat; atunci, din teorema de mai sus şi din proprietăţile operatorilor de multiplicare demonstrate anterior, avem: (a) k Cθ k=k MF −1 θ k=k F −1 θ k∞ . (b) σ(Cθ ) = σ(MF −1 θ ) = essran(F −1 θ). (c) Dacă şirul θ ∈ ℓ1 (Z) , atunci funcţia F −1 θ este continuă pe S 1 , deci (deoarece S 1 este compact) ea este şi mărginită şi spectrul lui Cθ este imaginea funcţiei F −1 θ: σ(Cθ ) = (F −1 θ)(S 1 ). În particular, ı̂n acest caz, Cθ este operator inversabil dacă şi numai dacă F −1 θ nu se anulează pe S 1 . 128 CAPITOLUL 5. OPERATORI PE SPAŢII HILBERT (d) Dacă Cθ este operator inversabil, atunci inversul său este operatorul de  1 convoluţie cu F F −1 θ , adică Cθ−1 x = F  1 F −1 θ  ⋆ x, ∀x ∈ ℓ2 (Z). Pentru demonstraţia punctului (d), trebuie arătată mai ı̂ntâi egalitatea: fdg = fb ⋆ gb, ∀f, g ∈ L2 (S 1 ). Lăsăm detaliile ca exerciţiu. 42.Exemplu (i) Operatorul de translaţie bilateral W (din definiţia 23) este un operator de convoluţie; ı̂ntr-adevăr, W = Cσ1 . Mai general, W n este operatorul de convoluţie cu şirul σn , pentru orice n ∈ Z. Deoarece (F −1 σn )(eit ) = ωn (eit ) = eint , rezultă că W n este unitar-echivalent cu Mωn : F −1 W n F = Mωn . În particular, (F −1 W Ff )(eit ) = eit f (eit ). În continuare prezentăm operatorul de convoluţie pe R ; rezultatele sunt similare celor din cazul Z , cu excepţia punctului (c) din teorema 40. Demonstraţiile vor fi omise, principalele referiri bibliografice sunt [17],p.49; [13],p.192; [6],p.949. 43.Definiţie (operatorul de convoluţie pe R ) Fie L1 (R) spaţiul Banach al funcţiilor integrabile (a se vedea exemplul 4(iv),cap.1 şi 2(vii),cap.4) şi fie k ∈ L1 (R) . Atunci, pentru orice funcţie R f ∈ L2 (R) , convoluţia (k ⋆ f )(x) = k(x − y)f (y)dy defineşte o funcţie din R L2 (R) şi ı̂n plus k k ⋆ f k2 ≤k k k1 k f k2 ; pentru demonstraţie, recomandăm [6],p.951. Rezultă deci că operatorul de convolutie cu funcţia k ∈ L1 (R) este corect definit pe spaţiul L2 (R) : Ck : L2 (R) → L2 (R) , Ck f = k ⋆ f. 5.3. EXEMPLE DE OPERATORI PE SPAŢII HILBERT 129 44.Observaţie Reamintim câteva proprietăţi ale transformatei Fourier pe R ; ca bibliografie recomandăm [1],p.482; [17],p.76; [13],p.192; [15],p.6. Pentru orice funcţie k ∈ L1 (R) , transformata sa Fourier este, prin definiţie (Fk)(x) = b k(x) = Z R k(y)e−ixy dy , ∀x ∈ R. Funcţia kb este continuă şi mărginită pe R şi k kb k∞ ≤k k k1 . Menţionăm că există funcţii continue şi mărginite pe R care nu sunt transformate Fourier ale unor funcţii din L1 (R). T Restricţia aplicaţiei F la subspaţiul K = L1 (R) L2 (R) ia valori ı̂n L2 (R) şi deci, deoarece K este dens ı̂n L2 (R), (cf.exemplului 4(iv),cap.1), ea se poate prelungi prin continuitate (ı̂n norma k k2 ) la ı̂ntregul L2 (R) ; se obţine astfel transformarea Fourier (sau Fourier-Plancherel): F : L2 (R) → L2 (R), cu proprietăţile: (a) F este un izomorfism de spaţii Hilbert; acest rezultat este cunoscut sub numele de teorema lui Plancherel. (b) F(k ⋆ f ) = kb fb. Pentru demonstraţia teoremei lui Plancherel, recomandăm: [13],p.187; [15],p.26. 45.Teoremă (proprietăţile operatorului de convoluţie pe R) Fie k ∈ L1 (R) , fie Ck operatorul de convoluţie cu k , F transformarea Fourier şi Mbk operatorul multiplicare cu kb ; atunci: (a) Ck = F −1 Mbk F. (b) k Ck k=k Mbk k=k kb k∞ . b (c) σ(Ck ) = σ(Mbk ) = k(R). Demonstraţie Toate afirmaţiile rezultă din lema şi observaţia anterioare şi din proprietăţile corespunzătoare ale operatorului de multiplicare (a se vedea propoziţia 27 şi teorema 33). 46.Observaţie Aşa cum am văzut, există asemănări importante ı̂ntre operatorii de convoluţie pe ℓ2 (Z) şi cei de pe L2 (R) . Metoda de studiu este aceeaşi: sunt unitarechivalenţi (prin transformarea Fourier) cu operatori de multiplicare pe L2 (S 1 ) şi respectiv pe L2 (R) . În teoria sistemelor, spaţiul pe care este definit operatorul de convoluţie se numeşte domeniul timp, iar spaţiul pe care este definit operatorul de multiplicare corespunzător se numeşte domeniul frecvenţă; 130 CAPITOLUL 5. OPERATORI PE SPAŢII HILBERT unitar-echivalenţa celor doi operatori prin transformarea Fourier este denumită dualitatea timp-frecvenţă. Menţionăm totuşi o deosebire remarcabilă ı̂ntre cele două cazuri. Deoarece orice funcţie din L∞ (S 1 ) are transformată Fourier, rezultă că orice operator de multiplicare pe L2 (S 1 ) este unitar echivalent cu un operator de convoluţie pe ℓ2 (Z) (cf. teoremei 40(c)). În schimb, există funcţii φ ∈ L∞ (R) care nu au transformată Fourier: integrala R φ(t)e−itx dt nu converge (măsura Lebesgue a lui R este ∞ ). Concluzie: R pentru un astfel de φ, operatorul de multiplicare Mφ este corect definit pe L2 (R) , dar nu există un operator de convoluţie pe L2 (R) unitar-echivalent cu Mφ prin transformarea Fourier. Dacă MT = (aij ) , i, j ∈ {1, 2, ..., n} este matricea unui operator T pe spaţiul C n , atunci (T x)i = n P j=1 aij xj , ∀x = (x1 , x2 , .., xn ) ∈ C n . Un analog infinit dimensional al acestei definiţii este operatorul integral. 46.Definiţie (operatorul integral) Să considerăm spaţiul Hilbert (L2 (0, 1) , k k2 ) al funcţiilor de pătrat integrabil pe intervalul [0, 1] ı̂n raport cu măsura Lebesgue; (cf. exemplului 17(iii),cap.1). Fie K : [0, 1] × [0, 1] → C o funcţie de pătrat integrabil pe [0, 1] × [0, 1] şi fie: k K k2 = s Z 1Z 1 0 0 |K(x, y)|2 dxdy. Demonstrăm acum că pentru orice funcţie f ∈ L2 (0, 1) , funcţia g definită prin egalitatea: Z g(x) = 1 0 K(x, y)f (y)dy este ı̂n L2 (0, 1); avem (folosim inegalitatea lui Schwarz): k g k22 = ≤ Z 1 Z 1 0 0 Z 1 Z 1 0 |K(x, y)|2 dy | 0 K(x, y)f (y)dy|2 dx ≤  Z 1 0  |f (y)|2 dy dx =k f k22 k K k22 . Rezultă deci că putem defini aplicaţia: 2 2 TK : L (0, 1) → L (0, 1) , (TK f )(x) = Z 1 0 K(x, y)f (y)dy. Operatorul TK se numeşte operatorul integral definit de nucleul K . Din calculul de mai sus rezultă că TK este continuu şi 131 5.3. EXEMPLE DE OPERATORI PE SPAŢII HILBERT k TK k≤k K k2 . 47.Propoziţie (proprietăţile operatorului integral) Fie TK şi TH doi operatori integrali cu nucleele K şi respectiv H . (a) Pentru orice α , β ∈ C , operatorul αTK + βTH este operator integral şi are nucleul αK + βH. (b) Operatorul TK TH este operator integral şi are nucleul definit prin G(x, y) = R1 0 K(x, z)H(z, y)dz , deci: (TK TH f )(x) = Z 1 Z 1 0 0  K(x, z)H(z, y)dz f (y)dy. În cazul particular K = H , obţinem: (TK2 f )(x) = Z 1 Z 1 0 0  K(x, z)K(z, y)dz dx. (c) Dacă şirul de nuclee Kn converge ı̂n spaţiul Hilbert L2 ([0, 1] × [0, 1]) la funcţia K , atunci şirul de operatori integrali TKn converge ı̂n spaţiul (L (L2 (0, 1)) , k k ) la operatorul integral TK . (d) Adjunctul operatorului TK este operatorul integral TKe , cu nucleul f K(x, y) = K(y, x) ; ı̂n particular, TK este autoadjunct dacă şi numai dacă nucleul K are proprietatea K(x, y) = K(y, x) ( un astfel de nucleu se numeşte simetric). Demonstraţie (a) este evident. (b)Pentru orice f ∈ L2 (0, 1) , avem: (TK TH f )(x) = = Z 1Z 1 0 0 Z 1 0 K(x, y) (TH f ) (y)dy = K(x, y)H(y, z)f (z)dzdy = = Z 1 0 Z 1 Z 1 0 0  K(x, y)H(y, z)dy f (z)dz = G(x, z)f (z)dz = (TG f )(x). (c) Demonstraţia este o consecinţă imediată a inegalităţii dintre normele operatorului integral şi a nucleului său: k TKn − TK k≤k Kn − K k2 → 0. (d) Pentru orice f, g ∈ L2 (0, 1) , avem: < TK f, g >= Z 1 0 (TK f )(x)g(x)dx = Z 1 0 f (y) Z 1 0  K(x, y)g(x)dx dy = 132 CAPITOLUL 5. OPERATORI PE SPAŢII HILBERT = Z 1 0 f (y) Z 1 0 f K(y, x)g(x)dx  dy =< f, TKe g > . Proprietăţile de mai sunt adevărate şi ı̂n cazul ı̂n care intervalul [0, 1] (cu măsura Lebesgue) este ı̂nlocuit de un spaţiu cu măsură σ− finită. În particular, putem considera operatori integrali pe Z şi R . Operatorii de convoluţie sunt atunci cazuri particulare de operatori integrali, considerând nuclee de forma K(n, m) = θ(n − m) , ∀n, m ∈ Z şi respectiv K(x − y) = k(x − y) , ∀x, y ∈ R. Un alt caz particular remarcabil de operator integral este operatorul Volterra, pe care-l vom studia ı̂n continuare. 48.Definiţie (operatorul Volterra) Un nucleu K ∈ L2 ([0, 1] × [0, 1]) se numeşte nucleu de tip Volterra dacă are proprietatea K(x, y) = 0 , ∀x < y . Rezultă deci că operatorul integral asociat unui astfel de nucleu (numit operator Volterra) este definit prin: (TK f )(x) = Z x 0 K(x, y)f (y)dy , ∀f ∈ L2 (0, 1). Analogia cu teoria matricelor este evidentă: operatorii de tip Volterra sunt analogul operatorilor asociaţi matricelor inferior triunghiulare. Se ştie că dacă o matrice A este strict inferior triunghiulară, atunci ea este nilpotentă, adică există m ∈ N astfel ı̂ncât Am = O . Vom demonstra ı̂n continuare o proprietate asemănătoare şi pentru operatorii Volterra definiţi de nuclee mărginite; o consecinţă va fi calculul spectrului unui astfel de operator. 49.Teoremă Fie K ∈ L2 ([0, 1] × [0, 1]) un nucleu de tip Volterra mărginit, deci k K k∞ < ∞ ; atunci, operatorul Volterra asociat, TK are proprietăţile: 1 (a) n→∞ lim (k TKn k) n = 0. (b) σ(TK ) = {0} ; un operator cu această proprietate se numeşte cvasinilpotent. Demonstraţie Vom demonstra mai ı̂ntâi că produsul a doi operatori de tip Volterra TK şi TH este un operator de acelaşi tip. Ţinând cont de cele demonstrate ı̂n propoziţia 47(b), este suficient să arătăm implicaţia: K(x, y) = H(x, y) = 0 , ∀x < y ⇒ G(x, y) = 0 , ∀x < y, unde, G(x, y) = R1 K(x, z)H(z, y)dz . 0 Într-adevăr, dacă x < y , atunci orice z ∈ [0, 1] trebuie să verifice cel puţin 5.3. EXEMPLE DE OPERATORI PE SPAŢII HILBERT 133 una din inegalităţile: x < z sau z < y ; ı̂n primul caz, avem K(x, z) = 0 , iar ı̂n al doilea H(z, y) = 0 , deci oricum G(x, y) = 0 . Dacă x ≥ y , atunci: G(x, y) = Z x y K(x, z)H(z, y). Să presupunem acum că H = K şi să notăm ı̂n acest caz K [2] (x, y) = G(x, y) = şi ı̂n general pentru n ∈ N : [n] K (x, y) = Z 1 0 Z 1 0 K(x, z)K(z, y)dz, K(x, z)K [n−1] (z, y)dz. Pentru orice 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 , avem: [2] |K (x, y)| = | Z x y K(x, z)K(z, y)dz| ≤k K k2∞ (x − y). Prin inducţie rezultă că pentru orice n ∈ N şi y ≤ x , avem: |K [n] (x, y)| ≤ k K kn∞ k K kn∞ (x − y)n−1 ≤ . (n − 1)! (n − 1)! Rezultă deci că: 1  (k TKn k) n ≤ k K [n] k∞ 1 n ≤ k K k∞ 1 (n − 1)! n −→ 0, pentru n −→ ∞ , ceea ce ı̂ncheie demonstraţia. (b) Reamintim că raza spectrală a unui operator T este, (cf. definiţiei 12,cap.4), r(T ) = sup{|λ| ; λ ∈ σ(T )} ; am demonstrat de asemenea (teorema 1 13,cap.4) formula razei spectrale: r(T ) = lim k T n k n . Din definiţia razei n→∞ spectrale rezultă ı̂n mod evident că dacă r(T ) = 0 , atunci σ(T ) = {0} . Din cele demonstrate la punctul (a), rezultă că r(TK ) = 0 , deci σ(TK ) = {0} . Mai facem observaţia că afirmaţiile din teoremă sunt adevărate şi fără ipoteză de mărginire a nucleului; demonstraţia este ı̂nsă considerabil mai dificilă ([10],p.93). Un caz particular interesant de operator Volterra se obţine considerând nucleul V (x, y) = 1 , dacă y ≤ x , şi 0 ı̂n rest. Operatorul asociat (numit şi operatorul Volterra integral) este: (TV f )(x) = Norma lui TV este k TV k= 1 2π Z x 0 f (y)dy , ∀f ∈ L2 (0, 1). ; (pentru demonstraţie: [10],p.300). 134 5.4 CAPITOLUL 5. OPERATORI PE SPAŢII HILBERT Operatori normali 50.Introducere Reamintim că un operator T ∈ L(H) se numeşte normal dacă verifică egalitatea T T ⋆ = T ⋆ T ; ı̂n paragraful precedent am studiat o clasă importantă de operatori normali: operatorii de multiplicare. În capitolul 2 (teorema 28) am văzut că principalul rezultat referitor la structura operatorilor din L(C n ) este: Teorema spectrală pentru operatori normali pe C n Un operator T ∈ L(C n ) este diagonalizabil ı̂n sens geometric dacă şi numai dacă T este operator normal. Generalizarea acestui rezultat la spaţii Hilbert infinit dimensionale este o problemă fundamentală a teoriei operatorilor; ea şi câteva consecinţe ale sale constituie subiectul acestui paragraf. În prezentarea care urmează, analogia cu cazul finit dimensional este interesantă: trebuie remarcat ce rezultate finit dimensionale au un co- respondent (asemănător) infinit dimensional şi ce anume se schimbă ı̂n totalitate. Să revenim acum la enunţul teoremei spectrale pentru operatori normali pe spaţii finit dimensionale. Operator diagonalizabil (ı̂n sens geometric) ı̂nsemna, ı̂n acel caz, un operator T ∈ L(C n ) pentru care există o bază B ortonormală (a lui C n ) formată din vectori proprii ai operatorului T , sau , echivalent, există un operator unitar U astfel ı̂ncât U −1 T U să fie operator diagonal; ı̂n această situaţie matricea lui T ı̂n baza B are formă diagonală, (pe diagonală fiind valorile proprii ale lui T ), iar coloanele matricei lui U sunt vectorii din B . În cazul infinit dimensional, noţiunile de valoare proprie şi vector propriu nu mai constituie instrumente la fel de puternice ca ı̂n cazul finit dimensional; am dat exemple ı̂n paragraful precedent de operatori (chiar normali) care nu au valori proprii. Deci o ”formă diagonală” pentru operatori normali pe spaţii Hilbert infinit dimensionale este puţin probabilă (aceasta nu exclude posibilitatea unei ”forme diagonale” pentru clase mai restrânse de operatori). Vom reformula acum noţiunea de operator diagonal pe C n . Fie D ∈ L(C n ) un operator diagonal, deci matricea sa ı̂n baza canonică este:       λ1 0 0 λ2 .. .. . . 0 . . 0 .. . . . .. . . . .. . 0 0 .. . . . . λn iar (Dx)k = λk xk , ∀x = (x1 , x2 , .., xn ) ∈ C n .    ,   5.4. OPERATORI NORMALI 135 Să considerăm spaţiul C n ca fiind mulţimea tuturor funcţiilor x : {1, 2, .., n} → C , x(k) = xk , vectorul x = (x1 , x2 , .., xn ) identificâdu-se cu valorile funcţiei x de mai sus. Să considerăm funcţia φ : {1, 2, .., n} → C , φ(k) = λk . Atunci operatorul D poate fi identificat cu operatorul de multiplicare cu φ : (Dx)(k) = φ(k)x(k) = (Mφ x) (k) , ∀x ∈ C n şi k ∈ {1, 2, .., n}. Spaţiul cu măsură (Ω, µ) din definiţia generală a operatorilor de multiplicare (definiţia 25 din paragraful precedent) este Ω = {1, 2, .., n} iar măsura µ este măsura de numărare. Cu aceste precizări, enunţul (intr-o oarecare măsură simplificat) al teoremei spectrale pentru operatori normali pe spaţii finit dimensionale, devine: Teoremă Un operator T ∈ L(C n ) este unitar-echivalent cu un operator de multiplicare Mφ dacă şi numai dacă T este operator normal. Această formulare (ı̂n care operator diagonalizabil ı̂n sens geometric ı̂nseamnă operator unitar- echivalent cu un operator de multiplicare) are un analog infinit dimensional. Reamintim că ı̂n paragraful precedent am definit şi studiat operatorii de multiplicare: dacă (Ω, µ) este un spaţiu cu măsură şi dacă φ ∈ L∞ (Ω, µ) , atunci operatorul de multiplicare cu funcţia φ este: Mφ : L2 (Ω, µ) → L2 (Ω, µ) , (Mφ f )(t) = φ(t)f (t) , ∀t ∈ Ω. Am demonstrat (este de altfel evident) că operatorii de multiplicare sunt normali; reciproca acestei afirmaţii (”modulo unitar-echivalenţă”) este varianta infinit dimensională a teoremei spectrale pentru operatori normali (din cazul finit dimensional). 51.Teorema spectrală pentru operatori normali pe spaţii Hilbert infinit dimensionale Fie H un spaţiu Hilbert infinit dimensional (separabil) şi fie T ∈ L(H) un operator normal. Atunci există un spaţiu cu măsură boreliană regulată finită (Ω, µ), un izomorfism de spaţii Hilbert (operator unitar) U : H → L2 (Ω, µ) şi o funcţie 136 CAPITOLUL 5. OPERATORI PE SPAŢII HILBERT φ ∈ L∞ (Ω, µ) astfel ı̂ncât T = U −1 Mφ U . T H ✲ H U U ❄ 2 L (Ω, µ) Mφ ❄ ✲ 2 L (Ω, µ) Într-o formulare concisă, teorema afirmă că un operator este normal dacă şi numai dacă este unitar-echivalent cu un operator de multiplicare. Pentru alte formulări (echivalente) ale acestui rezultat cât şi pentru demonstraţie, recomandăm [10],p.61; [6],p.911; [5],p.93; [20],p.71. Un caz particular studiat deja al acestui rezultat este unitar-echivalenţa dintre operatorii de convoluţie (care sunt normali) şi cei de multiplicare; a se vedea teoremele 40 şi 45. Consecinţele imediate (dar remarcabile) ale acestei teoreme sunt proprietăţile operatorilor normali deduse din proprietăţile corespunzătoare ale operatorilor de multiplicare; avem deci (a se vedea propoziţia 27, observaţia 28, teorema 33 şi propoziţia 37 din paragraful precedent): 52.Teoremă (proprietăţile operatorilor normali) Fie T ∈ L(H) un operator normal; atunci: (a) σ(T ⋆ ) = σ(T ) = {λ ; λ ∈ σ(T )}. (b) T este autoadjunct ⇔ σ(T ) ⊂ R. (c) T este pozitiv ⇔ σ(T ) ⊂ [0, ∞). (d) T este unitar ⇔ σ(T ) ⊆ S 1 . (e) T este proiector ⇔ σ(T ) ⊆ {0, 1}. (f ) r(T ) =k T k. (g) k T x k=k T ⋆ x k , ∀x ∈ H ; se poate demonstra că această proprietate caracterizează operatorii normali. Este interesant acum să ne reamintim analogia dintre numere complexe şi operatori de la sfârşitul paragrafului 1 (acest capitol). Este clar (din teorema de mai sus) că analogia este mai naturală dacă ı̂nlocuim ı̂n tabelul respectiv ”operator” cu ”operator normal”. În general, dacă T nu este un operator normal, proprietăţile de mai sus nu sunt adevărate. De exemplu, operatorul integral Volterra TV de la sfârşitul paragrafului precedent (teorema 49) are spectrul format numai din numărul 5.4. OPERATORI NORMALI 137 0 , dar nu este autoadjunct; ı̂n schimb, dacă un operator normal are spectrul {0} , atunci, din proprietatea (f ) de mai sus rezultă că el este operatorul identic nul. Ca şi ı̂n cazul finit dimensional, (a se vedea definiţia 36,cap2), o consecinţă importantă a teoremei spectrale este posibilitatea construirii unui ”calcul funcţional” pentru operatori normali. Prezentăm ı̂n continuare această construcţie. 53.Definiţie Dacă T ∈ L(H) este un operator arbitrar (fixat) şi p ∈ C[X] este un polinom , p(z) = n P k=0 n P k=0 ak z k atunci, este natural să definim operatorul p(T ) = ak T k . Am construit ı̂n felul acesta o aplicaţie (numită ”calculul funcţional polinomial al operatorului T ”): C[X] ∋ p → p(T ) ∈ L(H), cu proprietăţile: (αp + βq)(T ) = αp(T ) + βq(T ) (liniară) şi (pq)(T ) = p(T )q(T ) (multiplicativă), pentru orice α, β ∈ C şi p, q ∈ C[X] ; demonstraţiile sunt imediate. Din ultima egalitate rezultă că operatorii p(T ) şi q(T ) comută. Tot cu metode elementare, şi tot pentru un operator arbitrar, putem defini f (T ) şi pentru anumite funcţii raţionale. 1 ; o definiţie Pentru aceasta, fie λ 6∈ σ(T ) şi fie funcţia (raţională) g(z) = λ−z −1 naturală pentru operatorul g(T ) este g(T ) = (λI − T ) . Să observăm că definiţia este corectă deoarece operatorul λI − T este inversabil ( λ nefiind ı̂n spectrul lui T ). Să mai observăm că doi operatori de forma (λI − T )−1 şi (νI − T )−1 comută ı̂ntre ei deoarece operatorii λI − T şi νI − T comută. Mai general, fie q(z) = α(λ1 − z)(λ2 − z)...(λn − z) ; observăm că putem defini operatorul: 1 1 (T ) = (λ1 I − T )−1 (λ2 I − T )−1 ...(λn I − T )−1 , q α dacă şi numai dacă λk 6∈ σ(T ) , ∀k ∈ {1, 2, ..n} . Este evident că ı̂n acest caz avem: 1 (T ) = (q(T ))−1 . q , o fracţie În cazul general, fie p, q ∈ C[X] şi fie f (z) = p(z) q(z) ireductibilă. Dacă polinomul q nu se anulează pe spectrul lui T , ( sau, 138 CAPITOLUL 5. OPERATORI PE SPAŢII HILBERT echivalent , funcţia f este definită pe ı̂ntreg spectrul lui T ), atunci definim operatorul f (T ) = p(T )[q(T )]−1 . Fie R(T ) mulţimea funcţiilor raţionale definite pe spectrul operatorului T . Atunci aplicaţia (numită ”calculul funcţional raţional al lui T ”): R(T ) ∋ f → f (T ) ∈ L(H), prelungeşte calculul funcţional polinomial cu păstrarea liniarităţii şi a multiplicativităţii. De fapt, aplicaţia astfel construită este un morfism de algebre. Calculul funcţional astfel definit are următoarea proprietate de ”transformare a spectrului”. 54.Propoziţie Fie T ∈ L(H) ; atunci, pentru orice f ∈ R(T ) , avem: σ(f (T )) = {f (λ) ; λ ∈ σ(T )} = f (σ(T )). Demonstraţie Demonstrăm mai ı̂ntâi incluziunea: f (σ(T )) ⊆ σ(f (T )) . Pentru aceasta, fie ν ∈ f (σ(T )) ; există deci λ ∈ σ(T ) astfel ı̂ncât ν = f (λ) . Fie funcţia f (λ) − f (z) . g(z) = λ−z Demonstrăm că g ∈ R(T ) . Deoarece f ∈ R(T ) , singurul punct din σ(T ) ı̂n care funcţia g ar putea să nu fie definită este λ . Dacă f = pq , cu p, q ∈ C[X] , atunci q(λ) 6= 0 ; avem: g(z) = p(λ) q(λ) − p(z) q(z) λ−z = p(λ)q(z) − q(λ)p(z) . q(λ)q(z)(λ − z) Polinomul s(z) = p(λ)q(z) − q(λ)p(z) se anulează ı̂n z = λ , deci există un polinom r ∈ C[X] astfel ı̂ncât s(z) = (λ − z)r(z) ; rezultă deci că funcţia g este r(z) , g(z) = q(λ)q(z) adică g ∈ R(T ) , deci are sens g(T ) . Să presupunem prin absurd că ν = f (λ) 6∈ σ(f (T )) , deci există [f (λ)I − f (T )]−1 . Din relaţia f (λ) − f (z) = (λ − z)g(z) şi din multiplicativitatea calculului funcţional, rezultă: f (λ)I − f (T ) = (λI − T )g(T ). 5.4. OPERATORI NORMALI 139 Înmulţind ultima egalitate cu [f (λ)I − f (T )]−1 , obţinem: (λI − T )g(T )[f (λI − f (T )]−1 = I, şi, deoarece operatorii de mai sus comută , rezultă că λI − T este operator inversabil, contradicţie cu λ ∈ σ(T ). Demonstrăm acum incluziunea inversă: σ(f (T )) ⊆ f (σ(T )) . Fie ν ∈ σ(f (T )) şi presupunem prin absurd că ν 6∈ f (σ(T )) . Rezultă atunci că funcţia 1 h(z) = ν − f (z) este ı̂n R(T ) şi din egalitatea [ν − f (z)]h(z) = 1 rezultă [νI − f (T )]h(T ) = I, adică νI − f (T ) este operator inversabil; contradicţie cu ν ∈ σ(f (T )). Prelungirea calculului funcţional (raţional) şi la alte clase de funcţii cu păstrarea liniarităţii, multiplicativităţii şi a proprietăţii de transformare a spectrului este o problemă importantă ı̂n teoria operatorilor. Există şi alte funcţii pentru care se pot da definiţii elementare. ∞ P De exemplu, dacă f (z) = an z n , ∀z ∈ C este o funcţie ı̂ntreagă atunci operatorul f (T ) = ∞ P n=0 n=0 an T n se poate defini pentru pentru orice T ∈ L(H) (deoarece seria de operatori converge) şi sunt păstrate proprietăţile menţionate mai sus; am demonstrat de altfel acest fapt ı̂n teorema 28,cap.4. Un alt exemplu este funcţia f (z) = z ; ı̂n acest caz, o definiţie naturală ar fi f (T ) = T ⋆ . De aici rezultă că dacă g(z) = |z|2 , atunci g(T ) = T ⋆ T (sau T T ⋆ ?) ; dacă operatorul T ar fi normal, definiţia nu ar fi ambiguă. Să alegem de exemplu g(T ) = T ⋆ T , şi să luăm T = V operatorul de translaţie unilaterală pe ℓ2 (N ) , (cf exemplului 20 din paragraful precedent). Atunci proprietatea de transformare a spectrului nu mai este adevărată ; ı̂ntr-adevăr, deoarece g(V ) = V ⋆ V = I , atunci σ(g(V )) = σ(I) = {1} dar g(σ(V )) = g({λ ∈ C ; |λ| ≤ 1}) = [0, 1]. Operatorii care admit un calcul funcţional suficient de general şi cu proprietăţi remarcabile sunt operatorii normali. Pentru aceasta, definim calculul 140 CAPITOLUL 5. OPERATORI PE SPAŢII HILBERT funcţional mai ı̂ntâi pentru operatorii de multiplicare (ceea ce se face ı̂ntr-un mod natural şi simplu) şi apoi vom transfera calculul funcţional astfel construit la operatori normali arbitrari folosind unitar-echivalenţa din teorema spectrală. 55.Definiţie (calculul funcţional mărginit pentru operatorii de multiplicare) Fie φ ∈ L∞ (Ω, µ) şi fie Mφ operatorul de multiplicare cu φ definit pe spaţiul L2 (Ω, µ) . Considerăm restricţia măsurii Lebesgue din plan la compactul σ(Mφ ) = essran(φ). Fie F ∈ L∞ (σ(Mφ )); ı̂n particular, deoarece σ(Mφ ) este compact, F poate fi o funcţie continuă. Deoarece σ(Mφ ) = essran(φ) , rezultă că funcţia compunere, F ◦ φ există (de fapt ea este definită a.p.t.; dacă funcţiile φ şi F ar fi continue, atunci F ◦ φ ar fi definită peste tot şi ar fi continuă) şi este ı̂n L∞ (Ω, µ) . Există deci operatorul de multiplicare MF ◦φ ∈ L(L2 (Ω, µ)), ceea ce ne permite să definim operatorul F (Mφ ) = MF ◦φ . Aplicaţia L∞ (σ(Mφ )) ∋ F → F (Mφ ) ∈ L(L2 (Ω, µ)) se numeşte calculul funcţional mărginit (ı̂n sensul că F este funcţie esenţial mărginită) al operatorului Mφ . Se observă că operaţia de aplicare a lui F asupra operatorului Mφ , ı̂nseamnă de fapt compunerea lui F cu φ. Este uşor de demonstrat că aplicaţia de mai sus prelungeşte calculul funcţional cu funcţii raţionale al operatorului Mφ . Sunt păstrate de asemenea şi proprietăţle uzuale, inclusiv proprietatea de transformare a spectrului. 56.Teoremă Cu notaţiile de mai sus, avem: (a) (αF + βG)(Mφ ) = αF (Mφ ) + βG(Mφ ), (b) (F G)(Mφ ) = [F (Mφ )][G(Mφ )], (c) F (Mφ ) = [F (Mφ )]⋆ , (d) σ(F (Mφ )) = F (σ(Mφ )), (e) Operatorii F (Mφ ) şi G(Mφ ) comută, pentru orice α, β ∈ C şi F, G funcţii esenţial mărginite pe spectrul operatorului Mφ . Demonstraţie Verificările (a),(b) şi (c) sunt imediate; demonstrăm, de exemplu, (b): (F G)(Mφ ) = M(F G)◦φ = M(F ◦φ)(G◦φ) = MF ◦φ MG◦φ = F (Mφ )G(Mφ ). 141 5.4. OPERATORI NORMALI (d) Vom face demonstraţia ı̂n ipoteza că funcţia F este continuă. Propunem cititorului familiarizat cu raţionamentele specifice teoriei abstracte a măsurii să refacă demonstraţia pentru o funcţie F esenţial mărginită, ([10],p.60). Enunţul este echivalent cu essran(F ◦ φ) = F (essran(φ)) ; se observă că dacă şi funcţia φ este continuă, atunci egalitatea devine banală deoarece amândoi membri sunt egali cu ı̂nchiderea imaginii funcţiei compuse F ◦ φ, adică (F (φ(Ω)) . Considerăm acum cazul general şi demonstrăm incluziunea F (σ(Mφ )) ⊆ ⊆ σ(F (Mφ )) . Fie ν = F (λ) ∈ F (σ(Mφ )) , cu λ ∈ σ(Mφ )) . Fie E o vecinătate a lui F (λ) ; pentru a demonstra că F (λ) ∈ σ(F (Mφ )) va trebui să demonstrăm că măsura mulţimii (F ◦φ)−1 (E) este strict pozitivă (nenulă). Dar (F ◦ φ)−1 (E) = φ−1 (F −1 (E)) . Deoarece E este vecinătate a lui F (λ) şi deoarece funcţia F este continuă, rezultă că F −1 (E) este vecinătate a lui λ şi deci, din definiţia imaginii esenţiale a lui φ , rezultă că φ−1 (F −1 (E)) are măsură strict pozitivă. Incluziunea inversă o demonstrăm prin trecere la complementare: C − F (σ(Mφ )) ⊆ C − σ(F (Mφ )) . Fie deci λ 6∈ F (σ(Mφ )) . Mulţimea σ(Mφ )) este compactă şi cum F este continuă, rezultă că mulţimea F (σ(Mφ )) este compactă. Deoarece (din ipoteză) λ 6∈ F (σ(Mφ )) , atunci există o vecinătate E a lui λ astfel ı̂ncât T E F (σ(Mφ )) = ∅ . Luând imaginile inverse prin funcţia F ale mulţimilor din egalitatea precedentă, obţinem F −1 (E) \ σ(Mφ ) = ∅ . \ φ−1 (σ(Mφ )) = ∅ . Luând acum imaginile inverse prin funcţia φ , obţinem φ−1 (F −1 (E)) Dar, din definiţia imaginii esenţiale, măsura mulţimii Ω − φ−1 (σ(Mφ )) este nulă (dacă funcţia φ ar fi continuă, atunci această mulţime ar fi vidă). Rezultă că şi mulţimea (F ◦ φ−1 )(E) are măsura nulă şi deci λ 6∈ σ(F (Mφ )) . Considerăm ı̂n continuare două exemple. (i) Fie φ(t) = t, ∀t ∈ [0, 1] şi fie Mφ : L2 (0, 1) → L2 (0, 1), (Mφ f )(t) = tf (t). Atunci, σ(Mφ ) = [0, 1] şi dacă F ∈ L∞ (0, 1), rezultă F (Mφ ) = MF . t+i , ∀t ∈ R şi fie (ii) Fie acum ψ(t) = it+1 Mψ : L2 (R) → L2 (R), (Mψ f )(t) = t+i f (t). it + 1 142 CAPITOLUL 5. OPERATORI PE SPAŢII HILBERT Atunci σ(Mψ ) = S 1 şi pentru orice funcţie F ∈ L∞ (S 1 ), avem: (F (Mψ )f ) (t) = F   t+i f (t), ∀f ∈ L2 (R). it + 1 Calculul funcţional mărginit pentru un operator normal arbitrar se construieşte folosind unitar-echivalenţa din teorema spectrală. 57.Definiţie (calculul funcţional mărginit pentru operatori normali) Fie T ∈ L(H) un operator normal şi fie Mφ operatorul de multiplicare unitar-echivalent cu el: T = U −1 Mφ U . Dacă F este o funcţie esenţial mărginită pe spectrul operatorului T , (considerat ca spaţiu cu măsură cu restricţia măsurii Lebesgue din plan), atunci definim F (T ) = U −1 F (Mφ )U . Din teorema de mai sus (şi din proprietăţile operatorilor unitar-echivalenţi: propoziţia 37 din paragraful precedent), rezultă că aplicaţia L∞ (σ(T )) ∋ F → F (T ) ∈ L(H) are proprietăţile: (a) Liniară şi multiplicativă: (αF + βG)(T ) = αF (T ) + βG(T ), (F G)(T ) = F (T )G(T ), ∀α, β ∈ C, ∀F, G ∈ L∞ (σ(T )); din multiplicativitate rezultă că operatorii de forma F (T ) comută ı̂ntre ei. (b) F (T ) = [F (T )]⋆ ; de aici rezultă că toţi operatorii de forma F (T ) sunt normali. (c) σ(F (T )) = F (σ(T )). Să considerăm ca exemplu operatorul de convoluţie pe spaţiul ℓ2 (Z) (operatorul de convoluţie este operator normal). Fie deci θ ∈ ℓ2 (Z) astfel ı̂ncât F −1 θ ∈ L∞ (S 1 ); a se vedea teoremele 40 şi 51. Operatorul Cθ este unitar-echivalent cu operatorul de multiplicare cu F −1 θ, mai precis Cθ = F −1 MF −1 θ F. Pentru orice funcţie F ∈ L∞ (σ(Cθ )) = L∞ (essran(F −1 θ)), avem F (Cθ ) = F −1 MF ◦(F −1 θ) F. În particular, (a se vedea exemplul 42), dacă θ = σ1 , atunci Cσ1 = W (operatorul de translaţie bilateral) şi W = F −1 Mω1 F, unde, ω1 (eit ) = eit . Reamintim că σ(W ) = S 1 . Deoarece ω1 este aplicaţia identică pe S 1 , pentru orice funcţie F ∈ L∞ (S 1 ), avem: F (W ) = F −1 MF F. 5.4. OPERATORI NORMALI 143 Mai general, dacă n ∈ Z, avem F (W n ) = F −1 MF ◦ωn F, unde, ωn (eit ) = eint . Aplicaţiile calculului funcţional sunt numeroase; indicăm ı̂n continuare câteva. Prima este existenţa rădăcinii pătrate pozitive pentru operatori pozitivi; comparaţia cu cazul finit dimensional este interesantă (a se vedea teorema 38,cap.2) 58.Teoremă (rădăcina pătrată pozitivă) Fie P ∈ L(H) un operator pozitiv. Atunci există şi este unic un operator pozitiv Q ∈ L(H) astfel ı̂ncât Q2 = P √ ; operatorul Q se numeşte rădăcina pătrată pozitivă a lui P şi se notează √P . Demonstraţie Funcţia radical f (t) = t este o funcţie continuă pe spectrul operatorului P (orice operator pozitiv are spectrul ı̂n [0, ∞) ), deci √ putem defini operatorul Q = f (P ) = P . Din multiplicativitatea calculului funcţional, rezultă : Q2 = [f (P )]2 = (f 2 )(P ) = id(P ) = P, unde, am notat cu id(t) = t funcţia identică. Pentru unicitate, este suficient să observăm că un operator de multiplicare pozitiv, Mφ , are o unică rădăciă pătrată pozitivă, M√φ . De exemplu, dacă φ(t) = t , ∀t ∈ [0, 1] , atunci operatorul Mφ este operator pozitiv pe L2 (0, 1) şi q √ ( Mφ f )(t) = tf (t) = (M√φ f )(t) , ∀t ∈ [0, 1]. 59.Consecinţă Fie T ∈ L(H) un operator arbitrar. Atunci T este pozitiv dacă şi numai dacă există S ∈ L(H) astfel ı̂ncât T = S ⋆ S √ Demonstraţie Dacă T este operator pozitiv, atunci luăm S = T . Reciproc, orice operator de forma S ⋆ S este pozitiv (evident). Altă consecinţă a calculului funcţional este descompunerea polară pentru operatorii inversabili şi pentru cei normali pe spaţii Hilbert infinit dimensionale; orice număr complex nenul z admite o unică descompunere z = ru cu r > 0 şi |u| = 1 . Dacă T ∈ L(C n ) , atunci T admite o descompunere de forma T = U P , cu U operator unitar şi P pozitiv. În general, această descompunere nu este unică decât ı̂n anumite condiţii suplimentare (de exemplu dacă T este inversabil; a se vedea teorema 40,cap.2). 144 CAPITOLUL 5. OPERATORI PE SPAŢII HILBERT 60.Teoremă (descompunerea polară) Fie T ∈ L(H) un operator arbitrar. (a) Dacă T este inversabil , atunci există U ∈ L(H) operator unitar şi P ∈ L(H) operator pozitiv astfel ı̂ncât T = U P . În plus, această descompunere (polară) este unică. (b) Dacă T este normal, atunci există o descompunere polară (nu neapărat unică) T = U P cu U unitar şi P pozitiv; ı̂n plus, operatorii U, P, T comută ı̂ntre ei. √ Demonstraţie (a) Fie P = T ⋆ T . Operatorul T fiind inversabil, rezultă ⋆ că T ⋆ T este şi el inversabil, deci √ 0 6∈ σ(T T ) . Din teorema de transformare ⋆ a spectrului rezultă că 0 6∈ σ( T T ) deci operatorul P este inversabil. Fie U = T P −1 . Atunci U este inversabil (ceea ce este evident); U este unitar: U ⋆ U = P −1 T ⋆ T P −1 = P −1 P 2 P −1 = I, Unicitatea rezultă din construcţie şi din unicitatea rădăcinii pătrate pozitive. (b) Fie funcţiile p(z) = |z| , ∀z ∈ C şi u(z) = z , ∀z 6= 0 şi u(0) = 1. |z| Atunci p şi u sunt funcţii mărginite pe spectrul lui T . Aici se poate constata necesitatea unui calcul funcţional şi cu alte funcţii decât continue ( p este continuă dar u nu este continuă). Fie P = p(T ) şi U = u(T ) . Deoarece funcţia p ia valori pozitive, din teorema de transformare a spectrului rezultă că operatorul P are spectrul ı̂n [0, ∞). Cum P este şi operator normal (din definiţia 57(b)), rezultă că P este operator pozitiv. Deoarece u(z)u(z) = 1 , ∀z ∈ C , din multiplicativitatea calculului funcţional rezultă U U ⋆ = U ⋆ U = I , deci U este unitar. Din identitatea u(z)p(z) = z , ∀z ∈ C , rezultă (folosind iarăşi multiplicativitatea calculului funcţional) T = U P . Continuăm cu aplicaţii ale calculului funcţional şi ale formulei de descompunere polară. Orice număr real şi strict pozitiv t se poate scrie sub forma t = es , cu s ∈ R; de asemenea, orice număr complex λ cu |λ| = 1, se poate scrie sub forma λ = eiτ , cu τ ∈ R. Pentru operatori liniari şi continui pe un spaţiu Hilbert, avem: 61.Propoziţie (i) Pentru orice operator pozitiv şi inversabil P ∈ L(H), există un operator autoadjunct S ∈ L(H) astfel ı̂ncât P = exp(S). (ii) Pentru orice operator unitar U ∈ L(H), există un operator autoadjunct A ∈ L(H) astfel ı̂ncât U = exp(iA). 5.4. OPERATORI NORMALI 145 Demonstraţie (i) Deoarece operatorul P este pozitiv şi inversabil, rezultă că σ(P ) ⊂ (0, ∞); rezultă deci că funcţia (continuă) logaritm natural, ln este definită pe spectrul operatorului P şi deci putem defini operatorul S = ln(P ); deoarece eln(x) = x, ∀x > 0, avem egalitatea: exp(S) = exp(ln(P )) = P. Din proprietăţile calculului funcţional rezultă că S este operator normal, iar din teorema de transformare a spectrului rezultă incluziunea: σ(S) = ln(σ(P )) ⊂ ln((0, ∞)) = R. Din teorema 52(b) rezultă că S este operator autoadjunct. (ii) Deoarece U este operator unitar, rezultă că spectrul său este inclus ı̂n cercul unitate: σ(U ) ⊆ S 1 . Fie f ∈ L∞ (S 1 ) astfel ı̂ncât exp(if (λ)) = λ, ∀λ ∈ S 1 . Facem menţiunea că o astfel de funcţie există, ea putând fi, de exemplu, una din ramurile argumentului (care nu este continuă, dar este mărginită); dacă spectrul lui U nu este egal cu ı̂ntreg cercul unitate, atunci există chiar funcţii continue cu proprietatea exp(if (λ)) = λ, ∀λ ∈ σ(U ). Definim operatorul A = f (U ); din proprietăţile calculului funcţional rezultă că A este operator autoadjunct şi exp(iA) = exp(if (U )) = U . 62.Teoremă (i) Orice operator inversabil T ∈ L(H) se poate scrie ca un produs de două exponenţiale, mai precis, există doi operatori autoadjuncţi S, A ∈ L(H) astfel ı̂ncât T = exp(iA) exp(S). (ii) Mulţimea G a operatorilor inversabili din L(H) este conexă prin arce, adică pentru orice operator inversabil T , există o aplicaţie continuă γ : [0, 1] → G astfel ı̂ncât γ(0) = I şi γ(1) = T. Demonstraţie (i) Fie T ∈ L(H) un operator inversabil şi fie, conform teoremei 60(a), descompunerea sa polară (unică): T = U P , unde, U este operator unitar şi P este operator pozitiv şi inversabil. Conform propoziţiei anterioare, există doi operatori autoadjuncţi A, S ∈ L(H) astfel ı̂ncât U = exp(iA) şi P = exp(S), deci T = exp(iA) exp(S). Menţionăm că există operatori inversabili T care nu se pot scrie sub forma unei singure exponenţiale. Pe spaţii finit dimensionale, această proprietate este totuşi adevărată. (ii) Fie T ∈ G şi fie A, S ∈ L(H), operatori autoadjuncţi astfel ı̂ncât T = exp(iA) exp(S). Fie γ : [0, 1] → G, γ(t) = exp(itA) exp(tS). Este uşor de arătat că γ satisface condiţiile cerute. Capitolul 6 Aplicaţii ı̂n teoria sistemelor Într-o formulare generală, un sistem este o aplicaţie ı̂ntre două spaţii de semnale: intrări (comenzi) şi ieşiri (răspunsuri); modelul matematic pentru semnale sunt funcţiile. Desigur, pentru a obţine rezultate interesante, sunt necesare unele condiţii restrictive. Un caz important este cel al sistemelor liniare: aici semnalele sunt elemente ale unor spaţii vectoriale, iar sistemul este o aplicaţie liniară. O altă proprietate remarcabilă este continuitatea; modelul matematic uzual pentru sistem este atunci acela al unui operator liniar şi continuu ı̂ntre două spaţii Banach. În acest capitol ne propunem să prezentăm câteva noţiuni din teoria sistemelor care se modelează ı̂n mod natural folosind conceptele şi rezultatele expuse ı̂n capitolele precedente. Prin sistem vom ı̂nţelege ı̂n continuare un operator liniar şi continuu pe un spaţiu Hilbert. Elementele acestui spaţiu (de obicei funcţii de timp) vor fi intrările şi ieşirile sistemului. Aşa cum am mai spus, o parte din proprietăţile intuitive ale unui sistem ı̂şi găsesc imediat un corespondent matematic: liniaritate, continuitate. De asemenea, metodele folosite pentru studiul sistemelor sunt ı̂n mod natural rezultate de analiză funcţională. Pe lângă acestea, există şi unele constrângeri fizice, cât şi unele metode de studiu tipice teoriei sistemelor. Dintre acestea amintim cauzalitatea şi invarianţa ı̂n timp, iar ca metodă de studiu descompunerea ı̂n spaţii de stări a unui sistem. Prezentarea unor modele matematice pentru aceste noţiuni constituie obiectul acestui capitol. Pentru aprofundarea cunoştinţelor privind modelele matematice ale teoriei sistemelor, recomandăm următoarele lucrări: [1],[7],[12],[17],[18]. 147 148 6.1 CAPITOLUL 6. APLICAŢII ÎN TEORIA SISTEMELOR Cauzalitate şi invarianţă ı̂n timp Intuitiv, un sistem este cauzal dacă ieşirea la orice moment (fixat) depinde numai de valorile intrării la momente anterioare. De exemplu să considerăm spaţiul Hilbert ℓ2 (Z) şi sistemul (operatorul) de translaţie bilaterală: (W x)(n) = x(n − 1) , ∀n ∈ Z. Evident că W satisface condiţia (intuitivă) de mai sus: ieşirea la momentul n este egală cu intrarea la momentul n−1. Să considerăm acum adjunctul (care coincide aici cu inversul: a se vedea teorema 24, cap.5) lui W , care este (W ⋆ x)(n) = x(n+1). Evident, sistemul W ⋆ nu este cauzal. El are chiar o proprietate duală cauzalităţii : ieşirea la un moment dat depinde numai de valorile intrării la momente posterioare; un astfel de sistem se numeşte anticauzal. Cadrul care permite o definţie pentru cauzalitate este spaţiul Hilbert cu rezoluţie. 1.Definiţie Fie (H, <, >) un spaţiu Hilbert (ca de obicei separabil şi complex). Reamintim că un operator P ∈ L(H) se numeşte proiector dacă P 2 = P . Dacă P şi Q sunt proiectori, atunci, prin definiţie, P ≤ Q dacă P (H) ⊆ Q(H) (a se vedea paragraful 2,cap.5). Fie T o mulţime total ordonată având to şi t∞ cel mai mic şi respectiv cel mai mare element. Prin rezoluţie a identităţii pe spaţiul H se ı̂nţelege orice familie de proiectori P = (Pt )t∈T cu proprietăţile: (i) Pt ≤ Ps , ∀t ≤ s, t, s ∈ T . (ii) Pto = O şi Pt∞ = I. (iii) Dacă Ptn ∈ P astfel ı̂ncât n→∞ lim Ptn x = P x , ∀x ∈ H, atunci P ∈ P. Perechea (H, P) se numeşte spaţiu Hilbert cu rezoluţie. Evident, pe acelaşi spaţiu Hilbert se pot defini mai multe rezoluţii. Interpretarea intuitivă a definiţiei este : mulţimea T este timpul, iar dacă x ∈ H, atunci Pt x este partea (eşantionul) lui x de până la momentul t, iar (I − Pt )x este partea lui x de după momentul t. Vom introduce ı̂n continuare rezoluţiile canonice pe câteva spaţii Hilbert uzuale. 2.Exemple (a) Pe spaţiul C n , rezoluţia canonică este definită de mulţimea de proiectori {Pk ; k = 0, 1, 2.., n}, unde Po = O şi (Pk x)(m) = x(m) dacă m ≤ k şi 0 dacă m > k. Evident, ı̂n acest caz T = {0, 1, 2, .., n}. (b) Să considerăm acum spaţiul Hilbert ℓ2 (Z). Fie T = {−∞} ∪ Z ∪ {∞} , P−∞ = O , P∞ = I şi pentru orice n ∈ Z definim proiectorul (Pn x)(m) = x(m) , dacă m ≤ n şi 0 dacă m > n. Rezoluţia 6.1. CAUZALITATE ŞI INVARIANŢĂ ÎN TIMP 149 P = (Pn )n∈T este rezoluţia canonică pe ℓ2 (Z). (c) Pe spaţiul ℓ2 (N ) rezoluţia canonică se defineşte analog. T = N ∪ {∞} , Po = O , P∞ = I, iar Pn cu n ∈ N ca mai sus. (d)Fie acum spaţiul Hilbert al funcţiilor de pătrat integrabil pe R, L2 (R). Fie T = {−∞} ∪ R ∪ {∞}, P−∞ = O şi P∞ = I. Pentru orice t ∈ R, definim proiectorul (numit şi trunchierea la momentul t) (Pt f )(x) = f (x) dacă x ≤ t şi 0 dacă x > t. Analog se definesc rezoluţiile canonice pe spaţiile L2 (0, ∞) şi L2 [0, 1]. 3.Definiţie Fie (H, P) un spaţiu Hilbert cu rezoluţie şi fie T ∈ L(H). Sistemul T se numeşte cauzal (sau operator subdiagonal, inferior triunghiular) ı̂n raport cu rezoluţia fixată pe H dacă pentru orice x, y ∈ H cu proprietatea Pt x = Pt y , ∀Pt ∈ P, rezultă Pt T x = Pt T y , ∀Pt ∈ P. Interpretarea intuitivă este evidentă: dacă intrările x şi y sunt egale până la momentul t, atunci şi ieşirile corespunzătoare, T x şi T y sunt egale până la momentul t. Folosind liniaritatea operatorului T , obţinem următoarele caracterizări echivalente: 4.Propoziţie Fie (H, P) un spaţiu Hilbert cu rezoluţie şi fie T ∈ L(H). Următoarele afirmaţii sunt echivalente: (i) T este cauzal ı̂n raport cu rezoluţia P. (ii) Pt T = Pt T Pt , ∀Pt ∈ P. (iii) T (I − Pt ) = (I − Pt )T (I − Pt ) , ∀Pt ∈ P. (iv) Pentru orice Pt ∈ P, subspaţiul Ker(Pt ) este invariant pentru operatorul T . Demonstraţie (i)⇒ (ii) Pentru ∀x ∈ H, avem Pt [(I − Pt )x] = 0 = Pt 0 şi deci, deoarece T este cauzal, rezultă Pt [T (I − Pt )x] = Pt T 0 = 0, adică Pt T x = Pt T Pt x. Echivalenţa (ii)⇔ (iii) este evidentă. (iii)⇒ (iv) Fie x ∈Ker(Pt ); din (ii), avem: Pt T x = Pt T Pt x = 0. (iv)⇒ (i) Fie x, y ∈ H astfel ı̂ncât Pt x = Pt y. Rezultă că Pt (x − y) = 0, deci x − y ∈Ker(Pt ). Din ipoteza (iv), rezultă că T (x − y) ∈Ker(Pt ), adică Pt T (x − y) = 0, ceea ce arată că T este sistem cauzal. 5.Definiţie Fie (H, P) un spaţiu Hilbert cu rezoluţie. Noţiunea duală cauzalităţii este anticauzalitatea. Un sistem T ∈ L(H) se numeşte anticauzal ı̂n raport cu rezoluţia P (sau operator supradiagonal, superior triunghiular) dacă 150 CAPITOLUL 6. APLICAŢII ÎN TEORIA SISTEMELOR adjunctul său, T ⋆ , este cauzal. Un sistem care este şi cauzal şi anticauzal se numeşte sistem fără memorie. Notăm cu C(H) mulţimea sistemelor cauzale pe H, cu AC(H) mulţimea sistemelor anticauzale şi cu M(H) muţimea sistemelor fără memorie. Analogul propoziţiei anterioare pentru sisteme anticauzale este: 6.Propoziţie Fie (H, P) un spaţiu Hilbert cu rezoluţie şi fie T ∈ L(H); următoarele afirmaţii sunt echivalente: (i) T este anticauzal ı̂n raport cu rezoluţia P. (ii) (I − Pt )T = (I − Pt )T (I − Pt ) , ∀Pt ∈ P. (iii) T Pt = Pt T Pt , ∀Pt ∈ P. (iv) Pentru orice Pt ∈ P, subspaţiul Im(Pt ) este subspaţiu invariant pentru operatorul T . Demonstraţie Totul rezultă din echivalenţa (a se vedea propoziţia 5,cap.5): subspaţiul K este invariant la T ⇔ subspaţiul K ⊥ este invariant la T ⋆ şi din egalitatea (a se vedea propoziţia 6,cap.5): Ker(T ) = (Im(T ⋆ )⊥ . 7.Observaţie Din propoziţiile 4 şi 6 rezultă că un sistem T este fără memorie dacă şi numai dacă pentru orice Pt ∈ P , subspaţiile Ker(Pt ) şi Im(Pt ) sunt subspaţii reducătoare pentru T , sau, echivalent, orice proiector Pt ∈ P comută cu T , adică: Pt T = T Pt ; (a se vedea propoziţia 15,cap.5). 8.Propoziţie Fie (H, P) un spaţiu Hilbert cu rezoluţie. Atunci mulţimile C(H) şi AC(H) sunt algebre Banach, iar M(H) este C ⋆ -algebră. Demonstraţie Dacă T şi S sunt doi operatori cauzali, atunci orice combinaţie liniară a lor este de asemenea operator cauzal, deoarece, conform propoziţiei 4, pentru orice α, β ∈ C şi Pt ∈ P, avem: T (Ker(Pt )) ⊆ Ker(Pt ) şi S(Ker(Pt )) ⊆ Ker(Pt ) ⇒ ⇒ (αT + βS)(Ker(Pt )) ⊆ Ker(Pt ). Produsul: T S(Ker(Pt )) ⊆ Ker(Pt ). Pentru a demonstra completitudinea, fie Tn un şir de operatori cauzali care converge la T şi fie x ∈ Ker(Pt ); atunci Pt T x = n→∞ lim Pt Tn x = 0, ceea ce arată că T este operator cauzal. Analog se demonstrează şi pentru operatorii anticauzali. În cazul operatorilor fără 6.1. CAUZALITATE ŞI INVARIANŢĂ ÎN TIMP 151 memorie, trebuie să observăm ı̂n plus că adjunctul unui operator fără memorie este şi el fără memorie. 9.Exemple (a) În continuare vom caracteriza operatorii cauzali pe C n . Fie T ∈ L(C n ) a cărui matrice ı̂n baza canonică este A = (aij )ij . Din propoziţia 6 rezultă că T este cauzal dacă şi numai dacă pentru orice x ∈ C n şi k ∈ {1, 2, .., n} avem: x(m) = 0 dacă m ≤ k ⇒ (T x)(m) = 0 dacă m ≤ k. Dar (T x)(m) = n P k=1 amk x(k) şi deci obţinem: T este cauzal ⇔ aij = 0 , ∀i < j. Deci un sistem pe C n este cauzal (ı̂n raport cu rezoluţia canonică asociată bazei canonice) dacă şi numai dacă matricea sa ı̂n baza canonică este inferior triunghiulară. Deoarece adjunctul T ⋆ are matricea (aji )ij , rezultă că sistemul T este anticauzal dacă şi numai dacă matricea (aij )ij este superior triunghiulară. Din cele două caracterizări rezultă că un sistem pe C n este fără memorie dacă şi numai dacă matricea sa (ı̂n baza canonică) este o matrice diagonală. Să presupunem acum că operatorul T este cauzal şi inversabil. Deoarece inversa unei matrice inferior triunghiulare este tot inferior triunghiulară, rezultă că pe spaţii finit dimensionale inversul unui sistem cauzal şi inversabil este şi el cauzal. Aşa cum vom vedea ı̂n exemplele următoare, această proprietate nu mai este adevărată pe spaţii Hilbert infinit dimensionale. (b) Fie acum spaţiul ℓ2 (Z) şi fie (σn )n∈Z baza canonică; ( a se vedea exemplul 17(ii)). Fie T ∈ L(ℓ2 (Z)) şi fie (aij )i,j∈Z matricea sa (infinită), adică aij =< T σj , σi >. Printr-un raţionament similar cu cel din exemplul (a), obţinem că T este cauzal dacă şi numai dacă aij = 0 , ∀i < j , i, j ∈ Z, adică matricea sa (ı̂n baza (σn )n∈Z ) este inferior triunghiulară. În particular, translaţia bilaterală W este sistem cauzal: matricea sa (ı̂n baza (σn )n∈Z ) este aij = ( 1 dacă i = j + 1 0 ı̂n rest Aşa cum am văzut ı̂n teorema 24,cap.5, W este unitar şi deci inversul său este egal cu adjunctul, care, conform definiţiei este anticauzal. Cum matricea 152 CAPITOLUL 6. APLICAŢII ÎN TEORIA SISTEMELOR lui W ⋆ este superior triunghiulară, rezultă că operatorul W este cauzal şi inversabil, dar inversul său nu este cauzal. În acest caz, operatorii fără memorie sunt operatorii diagonali (exemplul 1,cap.5). (c) Să considerăm acum cazul particular al unui operator de convoluţie pe ℓ2 (Z), Cθ x = θ ⋆ x, ∀x ∈ ℓ2 (Z) , unde F −1 θ ∈ L∞ (S 1 ), (a se vedea definiţia 38,cap.5). Deoarece matricea (infinită) a lui Cθ este aij = θ(i − j), rezultă că Cθ este cauzal dacă şi numai dacă θ(n) = 0, ∀n < 0. O formulare echivalentă este următoarea: Sistemul Cθ este cauzal dacă şi numai dacă funcţia (numită funcţia de transfer a sistemului), F −1 θ este esenţial mărginită şi analitică pe cerc, adică: F −1 θ ∈ H ∞ (S 1 ), (a se vedea exemplul 2(v),cap4); aceasta deoarece coeficienţii săi Fourier de indici negativi sunt nuli: −1 θ(n) = θ(n) = 0, ∀n < 0. Fd Interpretând spaţiul ℓ2 (Z) ca domeniul timp şi L2 (S 1 ) ca domeniul frecvenţă, rezultă (pentru sisteme de convoluţie), dualitatea: cauzalitate (ı̂n domeniul timp) ↔analicitate (ı̂n domeniul frecvenţă). Dacă sistemul de convoluţie Cθ este şi inversabil, (ceea ce este echivalent cu 0 6∈ essran (F −1 θ): cf. corolarului 41(c),cap.5), atunci inversul său este cauzal 1 este ı̂n subalgebra H ∞ (S 1 ). În concluzie, dacă şi numai dacă funcţia F −1 θ am obţinut: Un sistem de convoluţie pe ℓ2 (Z) este cauzal şi are un invers cauzal 1 dacă şi numai dacă F −1 θ şi F −1 sunt analitice, adică funcţia F −1 θ este θ funcţie exterioară (”outer function”: [11],p.61). (d) Caracterizăm acum operatorii integrali cauzali pe spaţiul L2 (R). Fie deci (a se vedea definiţia 46,cap.5) K : R2 → C o funcţie de pătrat inteR grabil şi (TK f )(x) = K(x, y)f (y)dy, ∀f ∈ L2 (R). Din exemplul 2(d) şi R din propoziţia 4 rezultă că TK este cauzal dacă şi numai dacă pentru orice t ∈ R şi pentru orice funcţie f ∈ L2 (R) cu proprietatea f (s) = 0, ∀s ≤ t rezultă (TK f )(s) = 0, ∀s ≤ t. Fie t ∈ R fixat şi fie f ∈ L2 (R) astfel ı̂ncât f (s) = 0, ∀s ≤ t. Pentru orice s < t, avem: (TK f ) (s) = = Z s −∞ K(s, x)f (x)dx + Z ∞ s Z R K(s, x)f (x)dx = K(s, x)f (x)dx = Z ∞ s K(s, x)f (x)dx. 6.1. CAUZALITATE ŞI INVARIANŢĂ ÎN TIMP 153 Rezultă deci că (TK f )(s) = 0 dacă şi numai dacă Z ∞ s K(s, x)f (x)dx = 0. Deoarece funcţia f este arbitrară pe intervalul (s, ∞), din egalitatea de mai sus rezultă K(s, x) = 0, ∀s < x, ceea ce ı̂ncheie demonstraţia. Pritr-un raţionament similar celui de mai sus, se poate demonstra că operatorul integral TK este anticauzal dacă şi numai dacă nucleul K verifică egalitatea K(x, y) = 0, ∀x > y. În particular, rezultă că nu există operatori integrali (neidentic nuli) fără memorie pe L2 (R). O clasă de operatori fără memorie pe acest spaţiu este clasa operatorilor de multiplicare: pentru orice φ ∈ L∞ (R), operatorul Mφ f = φf, ∀f ∈ L2 (R) este fără memorie; lăsăm demonstraţia ca exerciţiu. (e) În cazul particular al unui operator de convoluţie pe R, (a se vedea R definiţia 43,cap.5), (Ck f )(x) = k(x − y)f (y)dy, ∀f ∈ L2 (R), din exemplul R de mai sus rezultă că Ck este cauzal dacă şi numai dacă nucleul k are suportul inclus ı̂n [0, ∞) : k(x) = 0, ∀x < 0. O altă proprietate remarcabilă pe care o pot avea sistemele liniare este invarianţa ı̂n timp. O definiţie generală (pe un spaţiu Hilbert abstract) a acestei noţiuni depăşeşte cadrul acestei lucrări; se pot consulta ı̂n această direcţie: [7],p.119; [17],p.55. Vom defini noţiunea de sistem invariant ı̂n timp pe spaţiile ℓ2 (Z) şi L2 (R). 10.Definiţie Fie W operatorul de translaţie bilateral pe spaţiul ℓ2 (Z), adică: (W x)(n) = x(n − 1) , ∀n ∈ Z. Un sistem T ∈ L(ℓ2 (Z)) se numeşte invariant ı̂n timp dacă T W = W T . Evident că un sistem invariant ı̂n timp comută cu orice putere a lui W : T W k = W k T, ∀k ∈ Z. Deoarece W k x = σk ⋆ x, rezultă că T este invariant ı̂n timp dacă şi numai dacă σk ⋆ (T x) = T (σk ⋆ x), ∀x ∈ ℓ2 (Z), ∀k ∈ Z. Invarianţa ı̂n timp pe L2 (R) se defineşte după cum urmează. Fie, pentru orice s ∈ R fixat, operatorul de translaţie Ls : L2 (R) → L2 (R), (Ls f )(t) = f (t − s). Un sistem T ∈ L(L2 (R)) se numeşte invariant ı̂n timp dacă şi numai dacă T Ls = Ls T, ∀s ∈ R. Să observăm că ı̂n cele două definiţii date mai sus, avem de fiecare dată 154 CAPITOLUL 6. APLICAŢII ÎN TEORIA SISTEMELOR un grup abelian (G, +), (G = Z, respectiv G = R), un spaţiu Hilbert H, (H = ℓ2 (Z) şi respectiv H = L2 (R)) şi o aplicaţie R : G → L(H), (R(k) = W k şi respectiv R(s) = Ls ) cu proprietăţile: (i) R(0) = I. (ii) R(u + v) = R(u)R(v), ∀u, v ∈ G. (iii) Operatorul R(u) este unitar pentru orice u ∈ G. (iv) Aplicaţia H × G ∋ (f, u) → (R(u)) f ∈ H este continuă. O aplicaţie R cu proprietăţile de mai sus se numeşte reprezentare continuă şi unitară a grupului G pe spaţiul H. În aceste condiţii, definiţia generală a sistemelor invariante ı̂n timp este: sistemul T ∈ L(H) se numeşte invariant ı̂n timp dacă R(u)T = T R(u), pentru orice u ∈ G; pentru completări, recomandăm [7]; [12]; [17]. 11.Teoremă Fie T ∈ L(ℓ2 (Z)). Următoarele afirmaţii sunt echivalente: (a) T este invariant ı̂n timp. (b) T este operator de convoluţie, adică există θ : Z → C astfel ı̂ncât T x = Cθ x = θ ⋆ x, ∀x ∈ ℓ2 (Z). Demonstraţie Implicaţia (b)⇒(a) este evidentă deoarece operatorii de convoluţie comută ı̂ntre ei. Fie T ∈ L(ℓ2 (Z)) astfel ı̂ncât T W = W T . Dacă (aij )i,j∈Z este matricea lui T (ı̂n baza canonică, {σk }k∈Z ), atunci din egalitatea T W = W T , obţinem: X k∈Z aik+1 x(k) = X k∈Z ai−1k x(k), ∀x ∈ ℓ2 (Z), ∀i ∈ Z. De aici rezultă imediat că aij = ai+1j+1 , ∀i, j ∈ Z; prin inducţie (sau folosind direct egalităţile T W k = W k T, ∀k ∈ Z), rezultă: aij = ai−kj−k , ∀i, j, k ∈ Z. În concluzie, matricea sistemului T este constantă de-a lungul diagonalelor paralele cu diagonala principală (matrice Toeplitz), adică există θ : Z → C astfel ı̂ncât aij = θ(i − j), ∀i, j ∈ Z, deci sistemul T este un sistem de convoluţie: T x = Cθ x = θ ⋆ x. Funcţia F −1 θ ∈ L∞ (S 1 ) se numeşte funcţia de transfer a sistemului; ea are proprietatea: F −1 (T x) = F −1 θ, −1 F x deci raportul dintre transformata Fourier (inversă) a ieşirii şi transformata Fourier (inversă) a intrării este constant (nu depinde de intrarea x). În 155 6.2. SPAŢIUL STĂRILOR general, pentru un sistem arbitrar, această proprietate constituie definiţia funcţiei de transfer a sistemului (dacă ea există). Operatorii integrali invarianţi ı̂n timp pe L2 (R) admit o caracterizare asemănătoare. 12.Propoziţie Fie K : R2 → C o funcţie de pătrat integrabilR şi fie TK : L2 (R) → L2 (R) operatorul integral asociat, adică: (TK f ) (x) = K(x, y)f (y)dy. R Următoarele afirmaţii sunt echivalente: (a) TK este invariant ı̂n timp. (b) TK este operator de convoluţie, adică există k : R → C astfel ı̂ncât K(x, y) = k(x − y), deci TK f = Ck f = k ⋆ f . Lăsăm demonstraţia ca exerciţiu. Reiese clar din exemplele prezentate că există o legătură profundă ı̂ntre noţiunea de sistem invariant ı̂n timp şi operaţia de convoluţie. Menţionăm de asemenea că noţiunea de sistem invariant ı̂n timp (şi legătura ei cu operaţia de convoluţie) se studiază şi pentru sisteme de tip distribuţie; recomandăm ı̂n acest sens [17],p.55. 6.2 Spaţiul stărilor Intuitiv, starea (la momentul t) a unui sistem T ∈ L(H) este acea informaţie (eventual minimală) necesară pentru ca din cunoaşterea valorilor intrării posterioare momentului t să putem deduce valorile ieşirii posterioare momentului t. 13.Definiţie Fie (H, P) un spaţiu Hilbert cu rezoluţie (cu notaţiile din definiţia 1) şi fie T ∈ L(H). O descompunere ı̂n spaţii de stări (state space decomposition) a sistemului T este orice familie de triplete {(Xt , λt , θt ); t ∈ T } cu proprietăţile: (i) Xt este spaţiu Hilbert, ∀t ∈ T . (ii) λt : H → Xt este un operator liniar şi continuu astfel ı̂ncât λt = λt Pt , ∀t ∈ T . (iii) θt : Xt → H este un operator liniar şi continuu astfel ı̂ncât θt = (I − Pt )θt , ∀t ∈ T . (iv) (I − Pt )T Pt = θt λt . 156 CAPITOLUL 6. APLICAŢII ÎN TEORIA SISTEMELOR (I − Pt )T Pt H ✲ H ✒ λt θt ✇ Xt În această definiţie, Xt se numeşte spaţiul stărilor la momentul t, λt este aplicaţia intrare-stare, iar θt aplicaţia stare-ieşire. Dacă u ∈ H este o intrare arbitrară, atunci xt = λt u ∈ Xt se numeşte starea sistemului T la momentul t, corespunzătoare intrării u. Să considerăm o intrare u ∈ H şi fie t ∈ T . Să calculăm valorile ieşirii T u posterioare momentului t: (I − Pt )T u = (I − Pt )T [Pt + (I − Pt )]u = = (I − Pt )T Pt u + (I − Pt )T (I − Pt )u = θt λt u + (I − Pt )T (I − Pt )u = = θt xt + (I − Pt )T (I − Pt )u. De aici rezultă că, ı̂ntr-adevăr, cunoaşterea valorilor intrării posterioare momentului t (adică (I − Pt )u) şi a cuplului λt , θt (adică a stării la momentul t) permite cunoaşterea valorilor ieşirii posterioare momentului t. 14.Exemple (i) Orice sistem T ∈ L(H) admite o descompunere ”trivială” ı̂n spaţii de stări, considerând Xt = H, λt = Pt şi θt = (I − Pt )T, ∀t ∈ T . Această descompunere nu este interesantă deoarece aici spaţiul stărilor (H) este prea mare. Aşa cum vom vedea ı̂n continuare, sunt interesante acele descompuneri ı̂n care spaţiul stărilor este ”mic”; o situaţie tipică ı̂n acest sens este aceea când spaţiul stărilor Xt are dimensiune finită, (deşi H are dimensiune infinită). (ii) Sistemul diferenţial (sistem dinamic liniar) Fie matricele A ∈ Mn (R), B ∈ Mn,1 (R), C ∈ M1,n (R) şi D ∈ R. În cele ce urmează, spaţiul Hilbert L2 (0, 1) este considerat cu rezoluţia canonică, (Pt )t∈[0,1] . Fie u ∈ L2 (0, 1) şi fie x : [0, 1] → Rn soluţia problemei Cauchy x′ (t) = Ax(t) + Bu(t) , x(0) = 0. 157 6.2. SPAŢIUL STĂRILOR Fie operatorul (numit ”sistem diferenţial” sau ”sistem dinamic liniar”) D : L2 (0, 1) → L2 (0, 1), Du = y, unde, y(t) = Cx(t) + Du(t), ∀t ∈ [0, 1]. Din teoria ecuaţiilor diferenţiale rezultă ([1],p.276): x(t) = şi deci y(t) = (Du)(t) = Rt 0 Z t 0 eA(t−s) Bu(s)ds, ∀t ∈ [0, 1], CeA(t−s) Bu(s)ds + Du(t), ∀t ∈ [0, 1]. Pro- punem ca exerciţiu verificarea faptului că D este un operator liniar şi continuu pe L2 (0, 1). Se poate arăta (prin translaţia y − Du = v) că proprietăţile sistemului D nu se schimbă dacă presupunem că D = 0; vom face de aici ı̂nainte această ipoteză. Vom construi acum o descompunere (canonică) ı̂n spaţii de stări a sistemului D. Fie, pentru orice t ∈ [0, 1], Xt = Rn şi fie aplicaţiile: 2 n λt : L (0, 1) → R , λt u = x(t) = θt : Rn → L2 (0, 1), (θt ξ)(s) = ( Z t 0 eA(t−s) Bu(s)ds, CeA(s−t) ξ, dacă s ≥ t 0, dacă s < t Înainte de a demonstra că descompunerea de mai sus verifică definiţia 13, să observăm că ı̂n acest caz, spaţiul stărilor (Rn ) este acelaşi la orice moment t şi este finit dimensional. Pentru orice t ∈ [0, 1] şi u ∈ L2 (0, 1), avem: λt u = Z t 0 eA(t−s) Bu(s)ds = (θt ξ)(s) = ( Z t 0 eA(t−s) B(Pt u)(s)ds = λt Pt u. CeA(s−t) ξ, dacă s ≥ t = [(I − Pt )θt ξ](s). 0, dacă s < t Este clar că pentru orice s < t, avem: [(I − Pt )T Pt u](s) = 0 = (θt λt u)(s). Fie acum s ≥ t; avem: [(I − Pt )T Pt u](s) = (T Pt u)(s) = = Z t 0 Ce A(s−τ ) Bu(τ )dτ = Ce A(s−t) Z t 0 Z s 0 CeA(s−τ ) BPt u(τ )dτ = eA(t−τ ) Bu(τ )dτ = (θt λt u)(s). 158 CAPITOLUL 6. APLICAŢII ÎN TEORIA SISTEMELOR Vom nota (A, B, C) descompunerea (canonică) definită mai sus. (iii) Sistemul dinamic liniar se poate defini şi pe spaţiul Hilbert L2 (R). Pentru aceasta, fie matricele A, B, C ca ı̂n exemplul anterior; ı̂n plus, vom presupune că matricea A este stabilă , adică valorile proprii ale lui A sunt toate ı̂n semiplanul stâng: {z = a + ib ∈ C ; a < 0 }. Pentru orice u ∈ L2 (R), considerăm sistemul diferenţial: x′ (t) = Ax(t) + Bu(t), cu condiţia iniţială lim x(t) = 0. Atunci soluţia (unică) a problemei Cauchy t→−∞ de mai sus este: Z t eA(t−τ ) Bu(τ )dτ. x(t) = −∞ Sistemul dinamic liniar pe R este operatorul D : L2 (R) → L2 (R), Du = Cx. Pentru demonstraţii şi completări, recomandăm [12],p.42. Descompunerea canonică este {(Rn , λt , θt ) ; t ∈ R}, unde: λt : L2 → R n , λ t u = θt : Rn → L2 (R), (θt ξ)(τ ) = Z ∞ −∞ ( eA(t−τ ) Bu(τ )dτ, CeA(t−τ ) ξ, dacă τ ≥ t 0, dacă τ < t Lăsăm ca exerciţiu demonstraţia. (iv) Sistemul discret (sistem ”diferenţă”) Analogul discret al exemplului anterior este definit după cum urmează. Fie matricele A, B, C ca mai sus şi fie u ∈ ℓ2 (N ). Fie x : N → Rn soluţia recurenţei: x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), x(0) = 0. Sistemul diferenţă este operatorul liniar şi continuu ℓ2 (N ) ∋ u → y ∈ ℓ2 (N ), unde , y(k) = Cx(k), ∀k ∈ N. Este uşor de demonstrat că y(k) = Cx(k) = C k−1 X j=0 Aj Bu(k − 1 − j), ∀k ≥ 1. 159 6.2. SPAŢIUL STĂRILOR Spaţiul stărilor este Xk = Rn , ∀k ∈ N şi: λk : ℓ2 (N ) → Rn , λk u = x(k), n 2 θk : R → ℓ (N ), (θk ξ)(j) = ( CAj−k ξ j≥k 0 j <k−1 Lăsăm ca exerciţiu demonstraţia faptului că (Xk , λk , θk )k∈N este o descompunere ı̂n sensul definiţiei 13, pe care o vom nota (A, B, C). (v) În toate exemplele de până acum, spaţiul stărilor a fost acelaşi la fiecare moment: Xt = Rn , ∀t. Dăm ı̂n continuare un exemplu ı̂n care spaţiul stărilor este variabil ı̂n timp. Pentru aceasta, vom face observaţia că pentru a defini o descompunere ı̂n spaţii de stări a unui sistem T , este suficient să definim operatorii (I − Pt )T Pt , ∀t; menţionăm că, ı̂n general, familia de operatori {(I − Pt )T Pt ; t ∈ T } nu determină ı̂n mod unic sistemul T . Totuşi, ı̂n exemplul care urmează, sistemul T este unic determinat ı̂n acest mod; pentru demonstraţii şi completări, recomandăm [7],p.135. Fie H = ℓ2 (N ) cu rezoluţia canonică (cf. exemplului 2(c)) şi fie {σn }n∈N baza sa canonică. Fie: (I − Pn )T Pn u = n X < u, σk > σn+1+k . k=0 Aşa cum am menţionat, familia {(I − Pn )T Pn ; n ∈ N } determină sistemul T . O descompunere ı̂n spaţii de stări pentru sistemul T se poate obţine după cum urmează; pentru orice n=0,1,2,..., definim: λn : ℓ2 (N ) → Rn+1 , λn u = (< u, σo >, < u, σ1 >, .., < u, σn >) . θn : Rn+1 → ℓ2 (N ), θn (xo , x1 , .., xn ) = n X xk σn+1+k . k=0 Se demonstrează fără dificultate că {Rn+1 , λn , θn ; n ∈ N } este o descompunere ı̂n spaţii de stări pentru T . Observăm că spaţiul stărilor este finit dimensional la orice moment, dar, dimensiunea sa creşte odată cu trecerea timpului: R, R2 , R3 , .... 15.Definiţie Fie H un spaţiu Hilbert cu rezoluţie şi fie T ∈ L(H). O descompunere {Xt , λt , θt }t∈T se numeşte complet controlabilă dacă pentru orice t ∈ T , imaginea aplicaţiei λt este subspaţiu dens ı̂n Xt , adică ∀t ∈ T , ∀x ∈ Xt şi 160 CAPITOLUL 6. APLICAŢII ÎN TEORIA SISTEMELOR ∀ǫ > 0, ∃u ∈ H astfel ı̂ncât k λt u − x k< ǫ. Intuitiv, o descompunere este complet controlabilă dacă la orice moment, pentru orice stare dată, există o intrare care să aducă sistemul oricât de aprope de starea dată. Descompunerea {Xt , λt , θt }t∈T se numeşte complet observabilă dacă toţi operatorii θt sunt mărginiţi inferior (a se vedea definiţia 13,cap.3), adică ∀t ∈ T , ∃ǫ > 0 astfel ı̂ncât k θt x k≥ ǫ k x k, ∀x ∈ Xt . Intuitiv, complet observabilitate ı̂nseamnă posibilitatea determinării stării la orice moment dat dacă se cunosc valorile intrărilor şi ieşirilor posterioare momentului dat. O descompunere care este şi complet controlabilă şi complet observabilă se numeşte descompunere minimală. Propunem ca exerciţiu faptul că descompunerea (variabilă ı̂n timp), construită ı̂n exemplul 14(v) este minimală. Pentru sistemul dinamic liniar, vom demonstra mai ı̂ntâi un criteriu de minimalitate pentru descompunerea sa canonică. Un punct forte al modelului matematic prezentat aici pentru noţiunea de stare este şi următoarea teoremă de existenţă a descompunerilor minimale pentru un sistem arbitrar. 16.Teoremă Fie H un spaţiu Hilbert cu rezoluţie şi fie T ∈ L(H). Atunci T admite o descompunere minimală. Demonstraţie Construim mai ı̂ntâi spaţiul stărilor la un moment dat. Fie deci t ∈ T fixat; definim pe spaţiul Pt (H) relaţia de echivalenţă: x ∼t y ⇔ (I − Pt )T Pt x = (I − Pt )T Pt y, ∀x, y ∈ Pt (H). Mulţimea claselor de echivalenţă, Ptd (H) = {[x]t ; x ∈ Pt (H)} este spaţiu vectorial cu operaţiile uzuale: [x]t + [y]t = [x + y]t şi α[x]t = [αx]t , ∀x, y ∈ Pt (H), ∀α ∈ C. Se demonstrează de asemenea că aplicaţia: < [x]t , [y]t >t =< (I − Pt )T Pt x, (I − Pt )T Pt y >, este un produs scalar pe Ptd (H), care se organizează astfel ca un spaţiu prehilbertian. Definim spaţiul stărilor la momentul t, Xt , ca fiind completatul 6.2. SPAŢIUL STĂRILOR 161 (ı̂nchiderea) acestui spaţiu prehilbertian. Definim acum operatorii λt şi θt . λt : H → Xt , λt x = [Pt x]t . Operatorul θt este definit iniţial pe subspaţiul (dens) Ptd (H) prin formula: θt [x]t = (I − Pt )T Pt x. Demonstrăm acum că θt este continuu, şi deci el poate fi prelungit prin continuitate la ı̂ntreg spaţiul Xt : k θt [x]t k2 =k (I − Pt )T Pt x k2 =< (I − Pt )T Pt x, (I − Pt )T Pt x >=k [x]t k, ultima normă fiind norma din Xt . Din relaţia de mai sus rezultă că operatorul θt este o izometrie şi deci, ı̂n mod evident, el este şi mărginit inferior. Demonstrăm acum că λt este continuu: k λt x k=k θt λt x k=k (I − Pt )T Pt x k≤k T k k x k, ∀x ∈ H. Se verifică prin calcul direct egalităţile: λt = λt Pt , θt = (I − Pt )θt şi (I − Pt )T Pt = θt λt . Demonstrăm acum că descompunerea este minimală. Complet observabilitatea a fost deja demonstrată, deoarece θt este mărginit inferior. Pe de altă parte, din definiţie, λt are imagine densă ı̂n Xt , deci descompunerea este şi complet controlabilă. 17.Teoremă (Criteriile generale de controlabilitate şi observabilitate) Fie H un spaţiu Hilbert cu rezoluţie, fie T ∈ L(H) şi fie {Xt , λt , θt }t∈T o descompunere a sa. (i) Descompunerea este complet controlabilă dacă şi numai dacă pentru orice t ∈ T , avem: < λt λ⋆t x, x > > 0, ∀x ∈ Xt , x 6= 0. (ii) Descompunerea este complet observabilă dacă şi numai dacă pentru orice t ∈ T , avem: < θt⋆ θt u, u > > 0, ∀u ∈ H, u 6= 0. Demonstraţie (i) Dacă descompunerea este complet controlabilă, atunci, din definiţie, rezultă că operatorii λt au imagine densă. Din propoziţia 162 CAPITOLUL 6. APLICAŢII ÎN TEORIA SISTEMELOR 29,cap.3, rezultă că λ⋆t este injectiv, ∀t ∈ T şi deci pentru orice x ∈ H, x 6= 0, avem: < λt λ⋆t x, x >=< λ⋆t x, λ⋆t x >=k λ⋆t x k2 > 0. Reciproc, dacă λt λ⋆t > 0, atunci λ⋆t este injectiv şi deci, din propoziţia 29,cap.3, rezultă că λt are imagine densă. (ii) Raţionamentul este asemănător cu cel de mai sus. Încheiem acest paragraf cu unele particularizări şi exemplificări ale noţiunilor şi rezultatelor de până acum. Un caz particular remarcabil se obţine aplicând criteriul general de controlabilitate şi observabilitate sistemului diferenţial. 18.Propoziţie (Criteriile lui Kalman de observabilitate şi controlabilitate pentru sistemul diferenţial) Fie D sistemul diferenţial din exemplul 14(ii) şi fie (A, B, C) descompunerea sa canonică. (i) Descompunerea (A, B, C) este complet observabilă dacă şi numai dacă următoarea matrice (”de observabilitate”) are rang maxim:  Q=                  C ... CA ... CA2 ... .. . ... CAn−1                   (ii) Descompunerea (A, B, C) este complet controlabilă dacă şi numai dacă următoarea matrice (”de controlabilitate”) are rang maxim:  . . . . R = B .. BA .. BA2 .. ... .. BAn−1  Demonstraţie (i) Conform teoremei precedente, descompunerea este complet observabilă dacă şi numai dacă θt⋆ θt > 0, ∀t ∈ [0, 1], unde, θt a fost definit ı̂n exemplul 14(ii): n 2 θt : R → L (0, 1), (θt ξ)(s) = ( CeA(s−t) ξ, dacă s ≥ t 0, dacă s < t 163 6.2. SPAŢIUL STĂRILOR Calculăm acum adjunctul lui θt . Reamintim că dacă ξ şi η sunt doi vectori (coloane) din Rn , atunci produsul lor scalar este ξ T η, unde, ξ T este transpusul lui ξ. Pentru orice ξ ∈ Rn şi f ∈ L2 (0, 1), avem: < f, θt ξ >L2 = = Z 1 f (s)CeA(s−t) ξds = t Z 1 t eA(s−t) C T f (s)ds T Z 1 t f (s)CeA(s−t) ds T ξ= ξ =< θt⋆ f, ξ >Rn . Rezultă deci că pentru orice t ∈ [0, 1], avem: θt⋆ f = Z 1 t eA T (s−t) C T f (s)ds, ∀f ∈ L2 (0, 1). În concluzie, operatorul θt⋆ θt : Rn → Rn este: θt⋆ θt ξ = Z 1 t e AT (s−t) T C Ce A(s−t)  ds ξ. Deci θt⋆ θt > 0 dacă şi numai dacă matricea Z 1 t eA T (s−t) C T CeA(s−t) ds este strict pozitiv definită, sau, echivalent, dacă 0<< ξ, θt⋆ θt ξ >= Z 1h t CeA(s−t) ξ iT h i CeA(s−t) ξ ds, ∀ξ ∈ Rn , ξ 6= 0. Rezultă deci că descompunerea nu este complet observabilă dacă şi numai dacă există ξ 6= 0 astfel ı̂ncât CeA(s−t) ξ = 0, ∀s ∈ [t, 1], sau, echivalent CetA ξ = 0, ∀t ∈ [0, 1]. Dezvoltând etA ı̂n serie Taylor, relaţia de mai sus devine: ∞ X CAj ξtj = 0, ∀t ∈ [0, 1]. j! j=0 Din teorema de unicitate a dezvoltării ı̂n serie de puteri ([8],p.121), rezultă: CAj ξ = 0, ∀j ∈ N. 164 CAPITOLUL 6. APLICAŢII ÎN TEORIA SISTEMELOR Deoarece puterile Aj , ∀j ≥ n se pot exprima ı̂n funcţie de puterile Aj , 0 ≤ j ≤ n − 1, (consecinţă a teoremei Hamilton-Cayley), este suficient să avem: CAj ξ = 0, ∀j ∈ {0, 1, 2, .., n − 1}. În concluzie, descompunerea este complet observabilă dacă şi numai dacă sistemul liniar şi omogen Qξ = 0 (cf. notaţiei din enunţ) are numai soluţia banală, adică matricea Q are rang maxim. (ii) Raţionamentul este analog celui precedent; calculăm mai ı̂ntâi operatorul λ⋆t : Rn → L2 (0, 1), pentru care obţinem: (λ⋆t ξ) (s) = ( B T eA T (t−s) dacă s ≤ t 0 dacă s > t Rezultă deci că matricea (ı̂n baza canonică) a operatorului λt λ⋆t este: Z t 0 eA(t−s) BB T eA T (t−s) ds. Repetând raţionamentul de la punctul (i), demonstraţia se ı̂ncheie. 19.Observaţie Pentru sistemul dinamic liniar pe L2 (R) şi pentru sistemul discret din exemplul 14(iii) şi (iv) se poate enunţa şi demonstra un rezultat analog celui anterior; lăsăm acest fapt ca exerciţiu. 20.Definiţie Sistemul diferenţial D admite următoarea generalizare vectorială. Fie m ∈ N şi fie 2 m  m L ([0, 1], R ) = u : [0, 1] → R ; u măsurabilă şi Z 1 0 2  k u(t) k dt < ∞ . În definiţia de mai sus k k este norma euclidiană din Rm . Cu operaţiile uzuale de adunare şi ı̂nmulţire cu scalari, L2 ([0, 1], Rm ) este spaţiu vectorial; se demonstrează că aplicaţia: < u, v >= Z 1 0 < u(t), v(t) > dt determină pe L2 ([0, 1], Rm ) o structură de spaţiu Hilbert; demonstraţiile acestor afirmaţii sunt adaptări ale celor din cazul scalar (m=1). Fie n, p ∈ N şi fie A ∈ Mn,n (R), B ∈ Mn,m (R), C ∈ Mp,n (R). Pentru orice u ∈ L2 ([0, 1], Rm ), fie x : [0, 1] → Rn soluţia problemei Cauchy: x′ (t) = Ax(t) + Bu(t), ∀t ∈ [0, 1] ; x(0) = 0. 165 6.2. SPAŢIUL STĂRILOR Sistemul diferenţial (cazul vectorial) este aplicaţia D : L2 ([0, 1], Rm ) → L2 ([0, 1], Rp ), Du = y, unde, y(t) = Cx(t). Rezultatele demonstrate pentru cazul scalar sunt adevărate şi pentru cazul vectorial, cu adaptările corespunzătoare (care sunt evidente). Să mai observăm că ı̂n cazul vectorial matricele de observabilitate, Q, şi controlabilitate, R, nu mai sunt pătratice, ı̂nsă criteriile lui Kalman se enunţă la fel ca ı̂n cazul scalar (rang maxim). Propunem ca exerciţiu definirea sistemului discret vectorial, a sistemului dinamic liniar vectorial pe L2 (R) şi a variantei vectoriale a sistemului din exemplul 14(v). Sistemele ı̂n care intrările şi ieşirile sunt funcţii cu valori vectoriale se numesc sisteme MIMO (Multi Input, Multi Output), iar cele ı̂n care intrările şi ieşirile iau valori scalare se numesc SISO (Single Input, Single Output). 21.Exemple ([18],p.125) (i) Fie R1 , R2 , C, L nenule şi să considerăm reţeaua electrică din figura alăturată. + ❡ C u + − x1 ❄ R1 L x2 ❄ R2 − ❡ Notăm cu u tensiunea la borne şi cu i curentul. Vom considera sistemul (intrare-ieşire) u → i. Mai ı̂ntâi, vom reprezenta acest sistem ca un sistem dinamic şi apoi vom studia, folosind criteriile lui Kalman, observabilitatea şi controlabilitatea reprezentării obţinute. Pentru aceasta, fie x1 tensiunea pe condensatorul C şi x2 curentul prin inductorul L. 166 CAPITOLUL 6. APLICAŢII ÎN TEORIA SISTEMELOR Ecuaţiile (diferenţiale) ale reţelei sunt: x′1 = − 1 1 x1 + u, R1 C R1 C x′2 = − 1 R2 x2 + u. L L Curentul i este dat de formula: i=− 1 1 x1 + x2 + u. R1 R1 Fie matricele: A=    − R11C   − RL2 0 Notând x =  0 x1 x2 ! , B=    1 R1 C 1 L     1 , C= − R1 1  , D= 1 R1 , sistemul u → i se scrie: x′ = Ax + Bu , i = Cx + Du. Pentru a decide dacă descompunerea canonică (A, B, C) este observabilă şi (sau) controlabilă, calculăm matricele de observabilitate şi controlabilitate; obţinem:   Q= 1 R1 C 1 L − R21C 2 1 2 −R L2      şi R =  − R11 1 ! R12 C − RL2   . Determinanţii acestor matrice sunt: det Q = L − R1 R2 C R1 R2 C − L şi det R = , 2 2 2 R1 C L R12 CL şi deci ı̂n acest caz condiţia de observabilitate coincide cu cea de controlabilitate şi este: L 6= R1 R2 C. (ii) Problema satelitului Considerăm m un punct material (satelitul) care se mişcă sub acţiunea unei forţe centrale F (forţa de atracţie a Pămn̂tului). 167 6.2. SPAŢIUL STĂRILOR F ✠✒ ✉m r O Dacă r(t) este vectorul de poziţie al satelitului faţă de centrul O al Pământului la momentul t, atunci ecuaţia mişcării este mr′′ (t) = F . Din legea atracţiei universale, rezultă că există o constantă k > 0 astfel ı̂ncât: F = −k k r k−3 r. Demonstrăm acum că mişcarea este plană; pentru aceasta, este suficient să demonstrăm că produsul vectorial r × r′ este egal cu un vector constant v, (deci vectorul de poziţie r aparţine planului perpendicular pe vectorul v). Într-adevăr, avem: d 1 k (r × r) = 0. (r × r′ ) = r′ × r′ + r × r′′ = r × F = − dt m m k r k3 y ✻ m r ✕  O ✉ ✻ ⑥θ ✲ ✲ x ı Considerăm, ı̂n planul xOy al mişcării, o bază ortononormală, {ı, }; fie r = r(t) =k r k şi θ = θ(t) coordonatele polare ale satelitului. Prin calcul direct, obţinem: r = r cos θı + r sin θ, r′ = (r′ cos θ − rθ′ sin θ) ı + (r′ sin θ + rθ′ cos θ) ,  2  r′′ = r′′ cos θ − 2r′ θ′ sin θ − r (θ′ ) cos θ − rθ′′ sin θ ı+  2  + r′′ sin θ + 2r′ θ′ cos θ − r (θ′′ ) sin θ + rθ′′ cos θ . 168 CAPITOLUL 6. APLICAŢII ÎN TEORIA SISTEMELOR Înlocuind ı̂n expresia lui F , obţinem: F =− k (r cos θı + r sin θ) . r3 Înlocuind acum ı̂n ecuaţia de mişcare mr′′ = F pe r′′ şi F cu expresiile obţinute mai sus, obţinem relaţiile (scalare): 2 r′′ (t) = r(t) (θ′ ) (t) − θ′′ (t) = − k (r(t))2 2r′ (t) θ(t) r(t) Comenzile cu ajutorul cărora este controlată poziţia satelitului pe orbită sunt u1 =comanda (acceleraţia ) radială şi u2 = comanda (acceleraţia) tangenţială. Rezultă deci că ecuaţiile de mişcare sunt: 2 r′′ = r (θ′ ) − θ′′ = − k + u1 r2 2r′ θ′ + u2 r O soluţie particulară a acestui sistem este: r(t) = c , θ(t) = ωt, unde, c şi ω sunt două constante ce verifică relaţia c3 ω 2 = k. Se observă (din prima egalitate) că traiectoria este circulară, iar viteza unghiulară a satelitului, θ′ , este constantă. Pentru a studia controlabilitatea şi observabilitatea sistemului (u1 , u2 ) → (r, θ), introducem vectorul de stare (la momentul t), x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 , definit prin egalităţile: x1 (t) = r(t) − c , x2 (t) = r′ (t) , x3 (t) = c(θ(t) − ωt) , x4 (t) = c(θ′ (t) − ω). Deducem acum ecuaţiile de mişcare (ı̂n spaţiul stărilor): x′1 = r′ = x2 x′2 x′3 x′4   2 k x4 k +ω + + u1 = r = r (θ ) + 2 + u1 = (x1 + c) r c (x1 + c)2 = x4 !   2r′ θ′ x4 2 ′′ = cθ = c − + u2 = −c x2 + ω + cu2 r x1 + c c ′′ ′ 2 169 6.2. SPAŢIUL STĂRILOR Sistemul diferenţial obţinut (ı̂n necunoscutele x1 , x2 , x3 , x4 ) este neliniar; pentru a-l putea studia, liniarizăm ecuaţiile (dezvoltând ı̂n serie Taylor ı̂n jurul originii membrul drept al fiecărei ecuaţii şi păstrând termenii de gradul ı̂ntâi): x′1 x′2 x′3 x′4 = = = = x2 3ω 2 x1 + 2ωx4 + u1 x4 −2ωx2 + u2 Fie matricele A=      0 1 2 3ω 0 0 0 0 −2 ω 0 0 0 2ω 0 1 0 0      ,B=      0 1 0 0 0 0 0 1      ,C= 1 0 0 0 0 0 1 0 ! Fie y1 (t) = r(t) − t = x1 (t) şi y2 (t) = c(θ(t) − ω t) = x3 (t). Atunci sistemul u = (u1 , u2 ) → (y1 , y2 = y se scrie sub forma sistemului dinamic: x′ = Ax + Bu , y = Cx. Pentru a studia controlabilitatea şi observabilitatea sistemului, calculăm matricele de controlabilitate şi observabilitate:     R= 0 1 0 0  0 1 0 0 2 ω −ω 2 0 2 0 0 2 ω −ω 0 0 −2 ω 3 0 0 1 −2 ω 0 0 −4 ω 2 2 1 −2 ω 0 0 −4 ω 2 ω 3 0    Q= 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 3 ω2 0 0 −6 ω 3 0 0 −2 ω −ω 2 0 0 0 0 0 0 1 2ω 0 0 −4 ω 2           Rangurile matricelor R şi Q sunt amândouă 4 şi deci sistemul este şi controlabil şi observabil (ı̂n ipoteza că amândouă comenzile u1 şi u2 sunt accesibile şi, respectiv, se cunosc amândouă ieşirile y1 şi y2 ). Să presupunem acum că una din cele două comenzi lipseşte. Dacă u1 = 0, (adică lipseşte comanda radială), atunci:     B= 0 0 0 1          , R= 0 0 2ω 0 0 2ω 0 −2 ω 3 0 1 0 −4 ω 2 1 0 −4 ω 2 0      170 CAPITOLUL 6. APLICAŢII ÎN TEORIA SISTEMELOR Se observă că şi ı̂n acest caz rangul matricei R este 4, deci mişcarea satelitului poate fi controlată numai prin comandă tangenţială. Dacă u2 = 0, (deci lipseşte comanda tangenţială), atunci:   B=   0 1 0 0          , R=  0 1 0 −ω 2 2 1 0 −ω 0    0 0 −2 ω 0  0 −2 ω 0 2 ω3 În acest caz, rangul matricei R este 3, deci satelitul nu poate fi controlat numai prin comandă radială. Lăsăm ca exerciţiu următoarele afirmaţii: Dacă se cunoaşte numai y1 , atunci satelitul nu este observabil (radial). Dacă se cunoaşte numai y2 , atunci satelitul este observabil (tangenţial). Bibliografie 1. Brânzănescu V., Stănăşilă O. ”Matematici speciale”, Editura All, Bucureşti,1994. 2. Brezis H. ”Analyse fonctionnelle”, Masson, Paris, 1992. 3. Colojoară I. ”Analiză matematică”, Bucureşti, Ed. didactică şi pedagogică,1983. 4. Cristescu R. ”Analiză funcţională”, Bucureşti, Ed. didactică şi pedagogică,1979. 5. Douglas R.G. ”Banach algebra techniques in operator theory”, Acad.Press,1972. 6. Dunford N., Schwartz J.T. ”Linear operators”, Interscience Publ.,Part I,1958;Part II,1963. 7. Feintuch A., Saeks R. ”System theory; a Hilbert space approach”, Acad.Press,1982. 8. Flondor P., Stănăşilă O. ”Lecţii de analiză matematică”, Editura All, Bucureşti,1993. 9. Halmos P.R. ”Finite-dimensional vector spaces”, Springer-Verlag, N.Y. Inc.,1974. 10. Halmos P.R. ”A Hilbert space problem book”, Springer-Verlag, N. Y. Inc.,1970. 11. Hoffman K. ”Banach spaces of analytic functions”, Prentice-Hall, Inc.,1962. 12. Ionescu V., Varga A. ”Teoria sistemelor”, Editura All, Bucureşti,1994. 13. Rudin W. ”Real and complex analysis”, McGraw-Hill,1962. 14. Rudin W. ”Principles of mathematical analysis”, McGraw-Hill,1964. 15. Rudin W. ”Fourier analysis on groups”, Interscience Publishers,1962. 16. Sireţchi Gh. 171 ”Spaţii concrete ı̂n analiza funcţională”, Univ. Buc., 1982. 17. Stanomir D., Stănăşilă O. ”Metode matematice ı̂n teoria semnalelor”, Ed. teh., Bucureşti,1980. 18. Şabac Gh., Stănăşilă O., Cocârlan P., Topală A. ”Matematici speciale”, Ed. didactică şi pedagogică, Bucureşti,1983. 19. Şabac M. ”Lecţii de analiză reală, Universitatea Bucureşti,1982. 20. Vasilescu F.H. ”Iniţiere ı̂n teoria operatorilor liniari”, Ed. tehnică, Bucureşti,1987.