Buku Guru
•
•
Matematika
SMA/MA/
SMK/MAK
KELAS
XI
Hak Cipta © 2017 pada Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan
Dilindungi Undang-Undang
Disklaimer: Buku ini merupakan buku guru yang dipersiapkan Pemerintah dalam rangka
implementasi Kurikulum 2013. Buku guru ini disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak di
bawah koordinasi Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, dan dipergunakan dalam tahap
awal penerapan Kurikulum 2013. Buku ini merupakan “dokumen hidup” yang senantiasa
diperbaiki, diperbaharui, dan dimutakhirkan sesuai dengan dinamika kebutuhan dan
perubahan zaman. Masukan dari berbagai kalangan yang dialamatkan kepada penulis dan
laman http://buku.kemdikbud.go.id atau melalui email buku@kemdikbud.go.id diharapkan
dapat meningkatkan kualitas buku ini.
Katalog Dalam Terbitan (KDT)
Indonesia. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
Matematika: buku guru/ Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.-- . Edisi Revisi
Jakarta : Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2017.
xxii, 226 hlm. : ilus. ; 25 cm.
Untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI
ISBN 978-602-427-118-3 (jilid lengkap)
ISBN 978-602-427-120-6 (jilid 2)
1. Matematika — Studi dan Pengajaran
II. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan
I. Judul
510
Penulis
Penelaah
Pereview
Penyelia Penerbitan
: Sudianto Manullang, Andri Kristianto S., Tri Andri Hutapea,
Lasker Pangarapan Sinaga, Bornok Sinaga, Mangaratua
Marianus S., Pardomuan N. J. M. Sinambela,
: Agung Lukito, Muhammad Darwis M., Turmudi, Nanang
Priatna,
: Sri Mulyaningsih
: Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud.
Cetakan Ke-1, 2014 ISBN 978-602-282-028-4 (Jilid 2)
Cetakan Ke-2, 2017 (Edisi Revisi)
Disusun dengan huruf Times New Roman, 12 pt.
Kata Pengantar
Bapak/Ibu guru kami yang terhormat, banyak hal yang sudah kita
lakukan sebagai usaha membelajarkan peserta didik dengan harapan, mereka
berketuhanan, berperikemanusiaan, berpengetahuan, dan berketerampilan
melalui pendidikan matematika. Harapan dan tugas mulia ini cukup berat,
menuntut tanggung jawab yang tidak habis-habisnya dari generasi ke generasi.
Banyak masalah pembelajaran matematika yang kita hadapi, bagaikan
menelusuri sebuah lingkaran dengan titik-titik masalah yang tak berhingga
banyaknya. Tokoh pendidikan matematika Soedjadi dan Yansen Marpaung
menyatakan, kita harus berani memilih/menetapkan tindakan dan menghadapi
resiko untuk meningkatkan kualitas pendidikan matematika di setiap sekolah
tempat guru melaksanakan tugas profesionalitasnya. Artinya, guru sebagai
orang yang pertama dan yang utama bertindak sebagai pengembang kurikulum
yang mengenal karakteristik siswa dengan baik, dituntut bekerja sama
memikirkan jalan keluar permasalahan yang terjadi. Guru diharapkan dapat
menemukan pola pembelajaran yang sesuai dengan karakteristik matematika
dan karakteristik peserta didik di sekolah.
Salah satu alternatif, kita akan mengembangkan pembelajaran matematika
berbasis paham konstruktivisme. Buah pikiran ini didasari prinsip bahwa: (1)
setiap anak lahir di bumi, mereka telah memiliki potensi, (2) cara berpikir,
bertindak, dan persepsi setiap orang dipengaruhi budaya, (3) matematika adalah
produk budaya, yaitu hasil konstruksi sosial dan sebagai alat penyelesaian
masalah kehidupan, dan (4) matematika adalah hasil abstraksi pikiran manusia.
Untuk itu diperlukan perangkat pembelajaran, media pembelajaran, asesmen
autentik dalam pelaksanaan proses pembelajaran di kelas.
Model pembelajaran yang menganut paham konstruktivistik yang relevan
dengan karakteristik matematika dan tujuan pembelajaran matematika cukup
banyak, seperti (1) model pembelajaran berbasis masalah, (2) pembelajaran
kontekstual, (3) pembelajaran kooperatif dan banyak model pembelajaran
lainnya. Bapak/Ibu dapat mempelajarinya secara mendalam melalui aneka
sumber pembelajaran.
MATEMATIKA
iii
Pokok bahasan yang dikaji dalam buku petunjuk guru ini, antara lain: (1)
Induksi Matematika, (2) Program Linear, (3) Matriks, (4) Transformasi, (5)
Barisan, (6) Limit Fungsi, (7) Turunan, dan (8) Integral. Berbagai konsep,
aturan, dan sifat-sifat dalam matematika ditemukan melalui penyelesaian
masalah nyata, media pembelajaran, yang terkait dengan materi yang diajarkan.
Seluruh materi yang diajarkan berkiblat pada pencapaian kompetensi yang
ditetapkan dalam Kurikulum 2013. Semua petunjuk yang diberikan dalam
buku ini hanyalah pokok-pokoknya saja. Oleh karena itu, Bapak dan Ibu guru
dapat mengembangkan dan menyesuaikan dengan keadaan dan suasana kelas
saat pembelajaran berlangsung.
Akhirnya, tidak ada gading yang tak retak. Rendahnya kualitas pendidikan
matematika adalah masalah kita bersama. Kita telah diberi talenta yang
beragam, seberapa besar buahnya yang dapat kita persembahkan padaNya.
Taburlah rotimu di lautan tanpa batas, percayalah kamu akan mendapat
roti sebanyak pasir di tepi pantai. Mari kita lakukan tugas mulia ini sebaikbaiknya, semoga buku petunjuk guru ini dapat digunakan dan bermanfaat
dalam pelaksanaan proses pembelajaran matematika di sekolah.
Jakarta, Januari 2017
Tim Penulis,
iv
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Daftar Isi
Kata Pengantar ...............................................................................................................
iii
Daftar Isi ..........................................................................................................................
v
Petunjuk Penggunaan Buku Guru ................................................................................
ix
Pedoman Penyusunan Rencana Pembelajaran ............................................................
xv
Fase Konstruksi Matematika ......................................................................................... xviii
Bab 1 Induksi Matematika ..........................................................................................
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
1
Kompetensi Inti ...........................................................................................
1
Kompetensi Dasar dan Indikator .................................................................
2
Tujuan Pembelajaran ...................................................................................
3
Diagram Alir ................................................................................................
4
Proses Pembelajaran ....................................................................................
5
1.1 Memahami Prinsip Induksi Matematika .............................................
5
1.2 Bentuk-Bentuk Penerapan Prinsip Induksi Matematika ...................... 10
Penilaian ...................................................................................................... 12
Pengayaan .................................................................................................... 15
Remedial ...................................................................................................... 15
Bab 2 Program Linear .................................................................................................
A. Kompetensi Inti ...........................................................................................
B. Kompetensi Dasar dan Indikator .................................................................
C. Tujuan Pembelajaran ...................................................................................
D. Diagram Alir ................................................................................................
E. Proses Pembelajaran ....................................................................................
2.1 Pertidaksamaan Linear Dua Variabel ..................................................
2.2 Program Linear ....................................................................................
2.3 Nilai Optimum dengan Garis Selidik ..................................................
2.4 Beberapa Kasus Daerah Penyelesaian .................................................
F. Penilaian ......................................................................................................
G. Pengayaan ....................................................................................................
MATEMATIKA
17
17
18
20
21
22
22
27
33
39
41
44
v
H.
I.
J.
Remedial ...................................................................................................... 44
Kegiatan Proyek .......................................................................................... 45
Rangkuman .................................................................................................. 46
Bab 3 Matriks ...............................................................................................................
A. Kompetensi Inti ...........................................................................................
B. Kompetensi Dasar dan Indikator .................................................................
C. Tujuan Pembelajaran ...................................................................................
D. Diagram Alir ................................................................................................
E. Proses Pembelajaran ....................................................................................
3.1 Membangun Konsep Matriks ..............................................................
3.2 Jenis-Jenis Matriks ..............................................................................
3.3 Kesamaan Matriks ...............................................................................
3.4 Operasi pada Matriks............................................................................
3.5 Determinan dan Invers Matriks ...........................................................
F. Penilaian ......................................................................................................
G. Pengayaan ....................................................................................................
H. Remedial ......................................................................................................
I. Penyelesaian Soal-Soal Uji Kompetensi ......................................................
J. Rangkuman ..................................................................................................
47
47
47
48
49
50
50
53
54
57
64
67
70
70
70
72
Bab 4 Transformasi ......................................................................................................
A. Kompetensi Inti ...........................................................................................
B. Kompetensi Dasar dan Indikator .................................................................
C. Tujuan Pembelajaran ...................................................................................
D. Diagram Alir ................................................................................................
E. Proses Pembelajaran ....................................................................................
4.1 Menemukan Konsep Translasi (Pergeseran) ........................................
4.2 Menemukan Konsep Releksi (Pencerminan) ......................................
4.3 Menemukan Konsep Rotasi (Perputaran) ............................................
4.4 Menemukan Konsep Dilatasi (Perkalian) ............................................
4.5 Komposisi Transformasi.......................................................................
F. Penilaian ......................................................................................................
G. Pengayaan ....................................................................................................
H. Remedial ......................................................................................................
I. Rangkuman ..................................................................................................
73
73
73
75
76
77
77
81
92
94
98
101
104
105
106
vi
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Bab 5 Barisan ................................................................................................................
A. Kompetensi Inti ...........................................................................................
B. Kompetensi Dasar dan Indikator .................................................................
C. Tujuan Pembelajaran ...................................................................................
D. Diagram Alir ................................................................................................
E. Proses Pembelajaran ....................................................................................
5.1, 5.2 Membangun Konsep Barisan dan Barisan Aritmetika .................
5.3 Menemukan Konsep Barisan Geometri ...............................................
5.4 Aplikasi Barisan ..................................................................................
F. Penilaian ......................................................................................................
G. Pengayaan ....................................................................................................
H. Remedial ......................................................................................................
I. Rangkuman ..................................................................................................
109
109
110
110
112
113
113
119
125
128
131
132
132
Bab 6 Limit Fungsi .......................................................................................................
A. Kompetensi Inti ...........................................................................................
B. Kompetensi Dasar dan Indikator .................................................................
C. Tujuan Pembelajaran ...................................................................................
D. Diagram Alir ................................................................................................
E. Proses Pembelajaran ....................................................................................
6.1 Konsep Limit Fungsi ...........................................................................
6.2 Sifat-Sifat Limit Fungsi .......................................................................
6.3 Menentukan Nilai Limit Fungsi ..........................................................
F. Penilaian ......................................................................................................
G. Pengayaan ....................................................................................................
H. Remedial ......................................................................................................
I. Rangkuman ..................................................................................................
133
133
134
135
136
137
137
143
147
151
154
155
156
Bab 7 Turunan ..............................................................................................................
A. Kompetensi Inti ...........................................................................................
B. Kompetensi Dasar dan Indikator .................................................................
C. Tujuan Pembelajaran ...................................................................................
D. Diagram Alir ................................................................................................
E. Proses Pembelajaran ....................................................................................
7.1 Menemukan Konsep Turunan Suatu Fungsi ........................................
7.2 Turunan Fungsi Aljabar .......................................................................
7.3 Aplikasi Turunan .................................................................................
7.4 Menggambar Graik Fungsi .................................................................
157
157
158
160
161
162
162
168
173
181
MATEMATIKA
vii
F.
G.
H.
I.
Penilaian ......................................................................................................
Pengayaan ....................................................................................................
Remedial ......................................................................................................
Rangkuman ..................................................................................................
185
189
190
190
Bab 8 Integral ...............................................................................................................
A. Kompetensi Inti ...........................................................................................
B. Kompetensi Dasar dan Indikator .................................................................
C. Tujuan Pembelajaran ...................................................................................
D. Diagram Alir ................................................................................................
E. Proses Pembelajaran ....................................................................................
8.1 Menemukan Konsep Integral Tak Tentu sebagai Kebalikan dari
Turunan Fungsi ....................................................................................
8.2 Notasi Integral .....................................................................................
8.3 Rumus Dasar dan Sifat Dasar Integral Tak Tentu ...............................
F. Penilaian ......................................................................................................
G. Pengayaan ....................................................................................................
H. Remedial ......................................................................................................
I. Rangkuman ..................................................................................................
193
193
194
195
196
197
197
201
202
206
210
211
212
Daftar Pustaka ................................................................................................................. 213
Profil Penulis .................................................................................................................... 215
Profil Penelaah ................................................................................................................. 222
Profil Editor ..................................................................................................................... 213
viii
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Dalam bagian ini diuraikan hal-hal penting yang perlu diikuti guru, saat guru menggunakan
buku ini. Hal-hal esensial yang dijabarkan, antara lain: (1) pentingnya guru memahami model
pembelajaran berbasis konstruktivis dengan pendekatan scientiic learning terkait sintaksis
model pembelajaran yang diterapkan, sistem sosial, prinsip reaksi pengelolaan (perilaku guru
mengajar di kelas), sistem pendukung pembelajaran yang harus dipersiapkan (berbagai fasilitas,
misalnya buku siswa, lembar aktivitas siswa, media pembelajaran, instrumen penilaian, tugastugas yang akan diberikan), serta dampak instruksional dan dampak pengiring (sikap) yang
harus dicapai melalui proses pembelajaran; (2) mengorganisir siswa belajar (di dalam dan luar
kelas) dalam memberi kesempatan mengamati data, informasi, dan masalah, kerja kelompok
dalam memecahkan masalah, memberi bantuan jalan keluar bagi siswa; (3) memilih model,
strategi, dan metode pembelajaran untuk tujuan pembelajaran yang efektif; (4) memilih
sumber belajar yang melibatkan partisipasi aktif siswa dalam proses pembelajaran yang
dipicu melalui pengajuan masalah, pemberian tugas produk, projek; (5) petunjuk penggunaan
asesmen autentik untuk mengecek keberhasilan aspek sikap, pengetahuan, dan keterampilan;
(6) petunjuk pelaksanaan remedial dan pemberian pengayaan.
A.
Model dan Metode Pembelajaran Berbasis Konstruktivistik dengan
Pendekatan Scientiic Learning
Model pembelajaran yang diterapkan dalam buku ini, dilandasi teori pembelajaran yang
menganut paham konstruktivistik, seperti Project-Based Learning, Problem-Based Learning,
dan Discovery Learning dengan pendekatan scientiic learning melalui proses mengamati,
menanya, menalar, mencoba, membangun jejaring dan mengomunikasikan berbagai informasi
terkait pemecahan masalah real world, analisis data, dan menarik kesimpulan. Proses
pembelajaran memberi perhatian pada aspek-aspek kognisi dan mengangkat berbagai masalah
real world yang sangat mempengaruhi aktiitas dan perkembangan mental siswa selama
proses pembelajaran dengan prinsip bahwa, (1) setiap anak lahir, tumbuh dan berkembang
dalam matriks sosial tertentu dan telah memiliki potensi, (2) cara berpikir, bertindak, dan
persepsi setiap orang dipengaruhi nilai budayanya, (3) matematika adalah hasil konstruksi
sosial dan sebagai alat penyelesaian masalah kehidupan, dan (4) matematika adalah hasil
abstraksi pikiran manusia.
Metode pembelajaran yang diterapkan, antara lain: metode penemuan, pemecahan
masalah, tanya-jawab, diskusi dalam kelompok heterogen, pemberian tugas produk, unjuk
kerja, dan projek. Pembelajaran matematika yang diharapkan dalam praktek pembelajaran
di kelas adalah (1) pembelajaran berpusat pada aktivitas siswa, (2) siswa diberi kebebasan
berpikir memahami masalah, membangun strategi penyelesaian masalah, mengajukan ideide secara bebas dan terbuka, (3) guru melatih dan membimbing siswa berpikir kritis dan
MATEMATIKA
ix
kreatif dalam menyelesaikan masalah, (4) upaya guru mengorganisasikan adalah dengan
bekerja sama dalam kelompok belajar, melatih siswa berkomunikasi menggunakan graik,
diagram, skema, dan variabel, (5) seluruh hasil kerja selalu dipresentasikan di depan kelas
untuk menemukan berbagai konsep, hasil penyelesaian masalah, aturan matematika yang
ditemukan melalui proses pembelajaran.
Rancangan model pembelajaran yang diterapkan mengikuti 5 (lima) komponen utama
model pembelajaran yang dijabarkan sebagai berikut.
1. Sintaks
Pengelolaan pembelajaran terdiri 5 tahapan pembelajaran, yaitu:
x
a.
Apersepsi
Tahap apersepsi diawali dengan mengimformasikan kepada siswa kompetensi
dasar dan indikator yang akan dicapai siswa melalui pembelajaran materi yang
akan diajarkan. Lalu, guru menumbuhkan persepsi positif dan motivasi belajar
pada diri siswa melalui pemaparan manfaat materi matematika yang dipelajari
dalam penyelesaian masalah kehidupan. Selain itu, guru meyakinkan siswa, jika
siswa terlibat aktif dalam merekonstruksi konsep dan prinsip matematika melalui
penyelesaian masalah yang bersumber dari fakta dan lingkungan kehidupan siswa
dengan strategi penyelesaian yang menerapkan pola interaksi sosial yang pahami
siswa dan guru. Dengan demikian, siswa akan lebih baik dalam menguasai materi
yang diajarkan, informasi baru berupa pengetahuan lebih bertahan lama di dalam
ingatan siswa, dan pembelajaran lebih bermakna sebab setiap informasi baru
dikaitkan dengan apa yang diketahui siswa dan menunjukkan secara nyata kegunaan
konsep dan prinsip matematika yang dipelajari dalam kehidupan.
b.
Interaksi Sosial di Antara Siswa, Guru dan Masalah
Pada tahap orientasi masalah dan penyelesaian masalah, guru meminta siswa
mencoba memahami masalah dan mendiskusikan hasil pemikiran melalui belajar
kelompok. Pembentukan kelompok belajar menerapkan prinsip kooperatif, yakni
keheterogenan anggota kelompok dari segi karakteristik (kemampuan dan jenis
kelamin) siswa, berbeda budaya, berbeda agama dengan tujuan agar siswa terlatih
bekerjasama, berkomunikasi, menumbuhkan rasa toleransi dalam perbedaan, saling
memberi ide dalam penyelesaian masalah, saling membantu dan berbagi informasi.
Guru memfasilitasi siswa dengan buku siswa, Lembar Aktivitas Siswa (LAS)
dan Asesmen Autentik. Selanjutnya, guru mengajukan permasalahan matematika
yang bersumber dari lingkungan kehidupan siswa. Guru menanamkan nilainilai matematis (jujur, konsisten, tangguh menghadapi masalah) dan nilai-nilai
budaya agar para siswa saling berinteraksi secara sosio kultural, memotivasi dan
mengarahkan jalannya diskusi agar lebih efektif, serta mendorong siswa bekerja sama.
Selanjutnya, guru memusatkan pembelajaran pada siswa dalam kelompok
belajar untuk menyelesaikan masalah. Guru meminta siswa memahami masalah
secara individu dan mendiskusikan hasil pemikirannya dalam kelompok, dan
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
dilanjutkan berdialog secara interaktif (berdebat, bertanya, mengajukan ide-ide,
berdiskusi) dengan kelompok lain dengan arahan guru. Antaranggota kelompok
saling bertanya-jawab, berdebat, merenungkan hasil pemikiran teman, mencari ide
dan jalan keluar penyelesaian masalah. Setiap kelompok memadu hasil pemikiran
dan menuangkannya dalam sebuah LAS yang dirancang guru. Jika semua anggota
kelompok mengalami kesulitan memahami dan menyelesaikan masalah, maka salah
seorang dari anggota kelompok bertanya pada guru sebagai panutan. Selanjutnya,
guru memberi scaffolding, yaitu berupa pemberian petunjuk, memberi kemudahan
pengerjaan siswa, contoh analogi, struktur, bantuan jalan keluar sampai saatnya
siswa dapat mengambil alih tugas-tugas penyelesaian masalah.
c.
Mempresentasikan dan Mengembangkan Hasil Kerja
Pada tahapan ini, guru meminta salah satu kelompok mempresentasikan hasil
kerjanya di depan kelas dan memberi kesempatan pada kelompok lain memberi
tanggapan berupa kritikan disertai alasan-alasan, dan memberi masukan sebagai
pembanding. Sesekali guru mengajukan pertanyaan menguji pemahaman/penguasaan
penyaji dan dapat ditanggapi oleh kelompok lain. Kriteria untuk memilih hasil
diskusi kelompok yang akan dipresentasikan antara lain: jawaban kelompok berbeda
dengan jawaban dari kelompok lain, ada ide penting dalam hasil diskusi kelompok
yang perlu mendapat perhatian khusus. Dengan demikian, kelompok penyaji bisa
lebih dari satu kelompok. Selama presentasi hasil kerja, guru mendorong terjadinya
diskusi kelas dan mendorong siswa mengajukan ide-ide secara terbuka dengan
menanamkan nilai softskill.
Tujuan tahapan ini adalah untuk mengetahui keefektifan hasil diskusi dan hasil
kerja kelompok pada tahapan sebelumnya. Dalam penyajiannya, kelompok penyaji
akan diuji oleh kelompok lain dan guru tentang penguasaan dan pemahaman mereka
atas penyelesaian masalah yang dilakukan. Dengan cara tersebut dimungkinkan
tiap-tiap kelompok mendapatkan pemikiran-pemikiran baru dari kelompok lain atau
alternatif jawaban yang lain yang berbeda. Sehingga pertimbangan-pertimbangan
secara objektif akan muncul di antara siswa. Tujuan lain dalam tahapan ini adalah
melatih siswa terampil menyajikan hasil kerjanya melalui penyampaian ide-ide di
depan umum (teman satu kelas). Keterampilan mengomunikasikan ide-ide tersebut
adalah salah satu kompetensi yang dituntut dalam pembelajaran berdasarkan
masalah, untuk memampukan siswa berinteraksi/berkolaborasi dengan orang lain.
d.
Temuan Objek Matematika dan Penguatan Skemata Baru
Objek-objek matematika berupa model (contoh konsep) yang diperoleh dari
proses dan hasil penyelesaian masalah dijadikan bahan inspirasi dan abstraksi
konsep melalui penemuan ciri-ciri konsep oleh siswa dan mengkonstruksi konsep
secara ilmiah. Setelah konsep ditemukan, guru melakukan teorema pengontrasan
melalui pengajuan contoh dan bukan contoh. Dengan mengajukan sebuah objek,
guru meminta siswa memberi alasan, apakah objek itu termasuk contoh atau bukan
contoh konsep.
MATEMATIKA
xi
Guru memberi kesempatan bertanya atas hal-hal yang kurang dipahami. Sesekali
guru menguji pemahaman siswa atas konsep dan prinsip yang ditemukan, serta
melengkapi hasil pemikiran siswa dengan memberikan contoh dan bukan contoh
konsep. Berdasar konsep yang ditemukan/direkonstruksi, diturunkan beberapa sifat
dan aturan-aturan. Selanjutnya, siswa diberi kesempatan mengerjakan soal-soal
tantangan untuk menunjukkan kebergunaan konsep dan prinsip matematika yang
dimiliki.
e.
Menganalisis dan Mengevaluasi Proses dan Hasil Penyelesaian Masalah
Pada tahapan ini, guru membantu siswa atau kelompok mengkaji ulang
hasil penyelesaian masalah, menguji pemahaman siswa dalam proses penemuan
konsep dan prinsip. Selanjutnya, guru melakukan evaluasi materi akademik dengan
pemberian kuis atau meminta siswa membuat peta konsep atau memberi tugas
dirumah atau membuat peta materi yang dipelajari.
2.
Sistem Sosial
Pengorganisasian siswa selama proses pembelajaran menerapkan pola pembelajaran
kooperatif. Dalam interaksi sosiokultural di antara siswa dan temannya, guru selalu
menanamkan nilai-nilai softskill dan nilai matematis. Siswa dalam kelompok saling
bekerja sama dalam menyelesaikan masalah, saling bertanya/berdiskusi antara siswa
yang lemah dan yang pintar, kebebasan mengajukan pendapat, berdialog dan berdebat,
guru tidak boleh terlalu mendominasi siswa, bersifat membantu dan gotong royong
untuk menghasilkan penyelesaian masalah yang disepakati bersama. Dalam interaksi
sosiokultural, para siswa diizinkan berbahasa daerah dalam menyampaikan pertanyaan,
kritikan, pendapat terhadap temannya maupun pada guru.
3.
Prinsip Reaksi
Model pembelajaran yang diterapkan dalam buku ini dilandasi teori konstruktivis
dan nilai budaya di mana siswa belajar yang memberi penekanan pembelajaran berpusat
pada siswa, sehingga fungsi guru sebagai fasilitator, motivator, dan mediator dalam
pembelajaran. Tingkah laku guru dalam menanggapi hasil pemikiran siswa berupa
pertanyaan atau kesulitan yang dialami dalam menyelesaikan masalah harus bersifat
mengarahkan, membimbing, memotivasi dan membangkitkan semangat belajar siswa.
Untuk mewujudkan tingkah laku tersebut, guru harus memberikan kesempatan
pada siswa untuk mengungkapkan hasil pemikirannya secara bebas dan terbuka,
mencermati pemahaman siswa atas objek matematika yang diperoleh dari proses dan
hasil penyelesaian masalah, menunjukkan kelemahan atas pemahaman siswa dan
memancing mereka menemukan jalan keluar untuk mendapatkan penyelesaian masalah
yang sesungguhnya. Jika ada siswa yang bertanya, sebelum guru memberikan penjelasan/
bantuan, guru terlebih dahulu memberi kesempatan pada siswa lainnya memberikan
tanggapan dan merangkum hasilnya. Jika keseluruhan siswa mengalami kesulitan, maka
guru saatnya memberi penjelasan atau bantuan/memberi petunjuk sampai siswa dapat
mengambil alih penyelesaian masalah pada langkah berikutnya. Ketika siswa bekerja
xii
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
menyelesaikan tugas-tugas, guru mengontrol jalannya diskusi dan memberikan motivasi
agar siswa tetap berusaha menyelesaikan tugas-tugasnya.
4. Sistem Pendukung
Agar model pembelajaran ini dapat terlaksana secara praktis dan efektif, guru
diwajibkan membuat suatu rancangan pembelajaran yang dilandasi teori pembelajaran
konstruktivis dan nilai softskill matematis yang diwujudkan dalam setiap langkahlangkah pembelajaran yang ditetapkan dan menyediakan fasilitas belajar yang cukup.
Dalam hal ini dikembangkan buku model yang berisikan teori-teori pendukung dalam
melaksanakan pembelajaran, komponen-komponen model, petunjuk pelaksanaan dan
seluruh perangkat pembelajaran yang digunakan seperti rencana pembelajaran, buku
guru, buku siswa, lembar kerja siswa, objek-objek abstraksi dari lingkungan budaya, dan
media pembelajaran yang diperlukan.
5.
Dampak Instruksional dan Pengiring yang Diharapkan
Dampak langsung penerapan pembelajaran ini adalah memampukan siswa
merekonstruksi konsep dan prinsip matematika melalui penyelesaian masalah dan
terbiasa menyelesaikan masalah nyata di lingkungan siswa. Pemahaman siswa terhadap
objek-objek matematika dibangun berdasarkan pengalaman budaya dan pengalaman
belajar yang telah dimiliki sebelumnya. Kebermaknaan pembelajaran yang melahirkan
pemahaman, dan pemahaman mendasari kemampuan siswa mentransfer pengetahuannya
dalam menyelesaikan masalah. Kemampuan menyelesaikan masalah tidak rutin
menyadarkan siswa akan kebergunaan matematika. Kebergunaan akan menimbulkan
motivasi belajar secara internal dari dalam diri siswa dan rasa memiliki terhadap
matematika akan muncul sebab matematika yang dipahami adalah hasil rekonstruksi
pemikirannya sendiri. Motivasi belajar secara internal akan menimbulkan kecintaan
terhadap dewi matematika. Bercinta dengan dewi matematika berarti penyatuan diri
dengan keabstrakan yang tidak memiliki batas atas dan batas bawah tetapi bekerja
dengan simbol-simbol.
Selain dampak di atas, siswa terbiasa menganalisis secara logis dan kritis memberikan
pendapat atas apa saja yang dipelajari menggunakan pengalaman belajar yang dimiliki
sebelumnya. Penerimaan individu atas perbedaan-perbedaan yang terjadi (perbedaan
pola pikir, pemahaman, daya lihat, dan kemampuan), serta berkembangnya kemampuan
berkolaborasi antara siswa. Retensi pengetahuan matematika yang dimiliki siswa dapat
bertahan lebih lama sebab siswa terlibat aktif di dalam proses penemuannya.
Dampak pengiring yang akan terjadi dengan penerapan model pembelajaran
berbasis konstruktivistik adalah siswa mampu menemukan kembali berbagai konsep
dan aturan matematika dan menyadari betapa tingginya manfaat matematika bagi
kehidupan sehingga dia tidak merasa terasing dari lingkungannya. Matematika sebagai
ilmu pengetahuan tidak lagi dipandang sebagai hasil pemikiran dunia luar tetapi berada
pada lingkungan budaya siswa yang bermanfaat dalam menyelesaikan permasalahan di
lingkungan budayanya. Dengan demikian terbentuk dengan sendirinya rasa memiliki,
MATEMATIKA
xiii
sikap, dan persepsi positif siswa terhadap matematika dan budayanya. Siswa memandang
bahwa matematika terkait dan inklusif di dalam budaya. Jika matematika bagian dari
budaya siswa, maka suatu saat diharapkan siswa memiliki cara tersendiri memeliharanya
dan menjadikannya Landasan Makna (Landasan makna dalam hal ini berpihak pada
sikap, kepercayaan diri, cara berpikir, cara bertingkah laku, cara mengingat apa yang
dipahami oleh siswa sebagai pelaku-pelaku budaya). Dampak pengiring yang lebih jauh
adalah hakikat tentatif keilmuan, keterampilan proses keilmuan, otonomi dan kebebasan
siswa, toleransi terhadap ketidakpastian dan masalah-masalah nonrutin.
xiv
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Penyusunan rencana pembelajaran berpedoman pada kurikulum 2013 dan sintaksis
Model Pembelajaran. Berdasarkan analisis kurikulum matematika ditetapkan hal-hal berikut.
1. Kompetensi dasar dan indikator pencapaian kompetensi dasar untuk tiap-tiap pokok
bahasan. Rumusan indikator dan kompetensi dasar harus disesuaikan dengan prinsipprinsip pembelajaran matematika berdasarkan masalah, memberikan pengalaman belajar
bagi siswa, seperti menyelesaikan masalah autentik (masalah bersumber dari fakta dan
lingkungan budaya), berkolaborasi, berbagi pengetahuan, saling membantu, berdiskusi
dalam menyelesaikan masalah.
2. Materi pokok yang akan diajarkan, termasuk analisis topik, dan peta konsep.
3. Materi prasyarat, yaitu materi yang harus dikuasai oleh siswa sebagai dasar untuk
mempelajari materi pokok. Dalam hal ini perlu dilakukan tes kemampuan awal siswa.
4. Kelengkapan, yaitu fasilitas pembelajaran yang harus dipersiapkan oleh guru, misalnya:
rencana pembelajaran, buku petunjuk guru, buku siswa, lembar aktivitas siswa (LAS),
objek-objek budaya, kumpulan masalah-masalah yang bersumber dari fakta dan lingkungan
budaya siswa, laboratorium, dan alat peraga jika dibutuhkan.
5. Alokasi waktu: banyak jam pertemuan untuk setiap pokok bahasan tidak harus sama
tergantung kepadatan dan kesulitan materi untuk tiap-tiap pokok bahasan. Penentuan
rata-rata banyak jam pelajaran untuk satu pokok bahasan adalah hasil bagi jumlah jam
efektif untuk satu semester dibagi banyak pokok bahasan yang akan diajarkan untuk
semester tersebut.
6. Hasil belajar yang akan dicapai melalui kegiatan pembelajaran antara lain:
Produk
: Konsep dan prinsip-prinsip yang terkait dengan materi pokok.
Proses
: Apersepsi budaya, interaksi sosial dalam penyelesaian masalah, memodelkan masalah secara matematika, merencanakan penyelesaian masalah,
menyajikan hasil kerja dan menganalisis serta mengevaluasi kembali
hasil penyelesaian masalah.
Kognitif
: Kemampuan matematisasi, kemampuan abstraksi, pola pikir deduktif,
berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis dan berpikir kreatif).
Psikomotor : Keterampilan menyelesaikan masalah, keterampilan berkolaborasi,
kemampuan berkomunikasi.
Afektif
: Menghargai budaya, penerimaan individu atas perbedaan yang ada,
bekerja sama, tangguh menghadapi masalah, jujur mengungkapkan
pendapat dan senang belajar matematika.
MATEMATIKA
xv
Sintaksis pembelajaran adalah langkah-langkah pembelajaran yang dirancang dan
dihasilkan dari kajian teori yang melandasi model pembelajaran berbasis konstruktivistik.
Sementara, rencana pembelajaran adalah operasional dari sintaks, sehingga skenario
pembelajaran yang terdapat pada rencana pembelajaran disusun mengikuti setiap langkahlangkah pembelajaran (sintaks). Sintaks model pembelajaran terdiri dari 5 langkah pokok,
yaitu: (1) apersepsi budaya, (2) orientasi dan penyelesaian masalah, (3) persentase dan
mengembangkan hasil kerja, (4) temuan objek matematika dan penguatan skemata baru,
(5) menganalisis dan mengevaluasi proses dan hasil penyelesaian masalah. Kegiatan yang
dilakukan untuk setiap tahapan pembelajaran dijabarkan sebagai berikut:
1. Kegiatan guru pada tahap apersepsi budaya antara lain:
a. Menginformasikan indikator pencapaian kompetensi dasar.
b. Menciptakan persepsi positif dalam diri siswa terhadap budayanya dan matematika
sebagai hasil konstruksi sosial.
c. Menjelaskan pola interaksi sosial, menjelaskan peranan siswa dalam menyelesaikan
masalah.
d. Memberikan motivasi belajar pada siswa melalui penanaman nilai matematis,
softskill dan kebergunaan matematika.
e. Memberi kesempatan pada siswa menanyakan hal-hal yang sulit dimengerti pada
materi sebelumnya.
2.
Kegiatan guru pada tahap penyelesaian masalah dengan pola interaksi edukatif antara
lain:
a. Membentuk kelompok.
b. Mengajukan masalah yang bersumber dari fakta dan lingkungan budaya siswa.
c. Meminta siswa memahami masalah secara individual dan kelompok.
d. Mendorong siswa bekerja sama menyelesaikan tugas-tugas.
e. Membantu siswa merumuskan hipotesis (dugaan).
f. Membimbing, mendorong/mengarahkan siswa menyelesaikan masalah dan mengerjakan
LKS.
g. Memberikan scaffolding pada kelompok atau individu yang mengalami kesulitan.
h. Mengkondisikan antaranggota kelompok berdiskusi, berdebat dengan pola
kooperatif.
i. Mendorong siswa mengekspresikan ide-ide secara terbuka.
j. Membantu dan memberi kemudahan bagi siswa dalam menyelesaikan masalah
dalam pemberian solusi.
3.
Kegiatan guru pada tahap persentasi dan mengembangkan hasil kerja antara lain:
a. Memberi kesempatan pada kelompok mempresentasikan hasil penyelesaian masalah
di depan kelas.
xvi
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
b.
c.
d.
e.
f.
Membimbing siswa menyajikan hasil kerja.
Memberi kesempatan kelompok lain mengkritisi/menanggapi hasil kerja kelompok
penyaji, memberi masukan sebagai alternatif pemikiran, dan membantu siswa
menemukan konsep berdasarkan masalah.
Mengontrol jalannya diskusi agar pembelajaran berjalan dengan efektif.
Mendorong keterbukaan, proses-proses demokrasi.
Menguji pemahaman siswa.
4.
Kegiatan guru pada tahap temuan objek matematika dan penguatan skemata baru antara
lain:
a. Mengarahkan siswa membangun konsep dan prinsip secara ilmiah.
b. Menguji pemahaman siswa atas konsep yang ditemukan melalui pengajuan contoh
dan bukan contoh konsep.
c. Membantu siswa mendeinisikan dan mengorganisasikan tugas-tugas belajar yang
berkaitan dengan masalah.
d. Memberi kesempatan melakukan konektivitas konsep dan prinsip dalam mengerjakan
soal tantangan.
e. Memberikan scaffolding.
5.
Kegiatan guru pada tahap menganalisis dan mengevaluasi proses dan hasil penyelesaian
masalah antara lain:
a. Membantu siswa mengkaji ulang hasil penyelesaian masalah.
b. Memotivasi siswa untuk terlibat dalam penyelesaian masalah yang selektif.
c. Mengevaluasi materi akademik: memberi kuis atau membuat peta konsep atau peta
materi.
MATEMATIKA
xvii
Gambar: Matematika Hasil Konstruksi Sosial (Adaptasi, Soedjadi (2004))
xviii Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Gambar: Analisis Topik pada Materi Fungsi Kuadrat
MATEMATIKA
xix
CONTOH DIAGRAM ALIR
Menyelesaikan
• Graik
• Eliminasi
• Substitusi
• Gabungan
Eliminasi dan
Substitusi
xx
Menyelesaikan
• Eliminasi
• Substitusi
• Gabungan
Eliminasi dan
Substitusi
• Sarrus
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Menyelesaikan
• Graik
• Eliminasi
• Substitusi
• Gabungan
Eliminasi dan
Substitusi
MATEMATIKA
xxi
BAB
1
Induksi Matematika
A. Kompetensi Inti
1.
2.
Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.
Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung
jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun,
responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari
solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif
dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri
sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.
3.
Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual,
konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin
tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya,
dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan,
kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan
kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang
kajian yang spesiik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk
memecahkan masalah.
4.
Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah
abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di
sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif serta
mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.
Sikap
Pengetahuan
Keterampilan
MATEMATIKA
1
B.
Kompetensi Dasar dan Indikator
Indikator pencapaian kompetensi pada pembelajaran dapat dikembangkan guru
sendiri berdasarkan kondisi peserta didik masing-masing di tempat guru mengajar.
Berikut ini dipaparkan contoh Indikator Pencapaian Kompetensi Pembelajaran yang
dapat dijabarkan dari KD 3.1 dan KD 4.1.
2
No.
Kompetensi Dasar
Indikator Pencapaian Kompetensi
1.
3.1 Menjelaskan metode
pembuktian pernyataan
matematis berupa
barisan, ketidaksamaan,
keterbagian dengan induksi
matematika.
3.1.1 Merancang formula untuk suatu pola barisan
bilangan.
3.1.2 Menjelaskan prinsip induksi matematika.
3.1.3 Membuktikan formula suatu barisan bilangan
dengan prinsip induksi matematika.
3.1.4 Membuktikan formula keterbagian bilangan
dengan prinsip induksi matematika.
3.1.5 Membuktikan formula bentuk ketidaksamaan
bilangan dengan prinsip induksi matematika.
2.
4.1 Menggunakan metode
pembuktian induksi
matematika untuk
menguji pernyataan
matematis berupa
barisan, ketidaksamaan,
keterbagian.
4.1.1 Menerapkan prinsip induksi matematika
untuk membuktikan kebenaran formula suatu
barisan bilangan.
4.1.2 Menerapkan prinsip induksi matematika
untuk menyelidiki kebenaran suatu formula.
4.1.3 Menerapkan prinsip induksi matematika
untuk membuktikan keterbagian bilangan.
4.1.4 Menerapkan prinsip induksi matematika
untuk membuktikan ketidaksamaan bilangan.
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
C.
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari konsep induksi matematika melalui pengamatan, menalar,
tanya jawab, mencoba menyelesaikan persoalan, penugasan individu dan kelompok,
diskusi kelompok, dan mengkomunikasikan pendapatnya, siswa mampu:
1. Melatih siswa menumbuhkan sikap perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab,
peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan proaktif, berani bertanya, berpendapat, dan menghargai pendapat orang lain dalam
aktivitas sehari-hari.
2. Menunjukkan rasa ingin tahu dalam memahami konsep dan menyelesaikan
masalah.
3. Menjelaskan prinsip induksi matematika.
4. Menjelaskan langkah-langkah pembuktian suatu formula dengan prinsip induksi
matematika.
5. Merancang formula dari suatu pola barisan bilangan.
6. Membuktikan kebenaran formula suatu barisan bilangan dengan prinsip induksi
matematika.
7. Membuktikan kebenaran keterbagian pola bilangan.
8. Membuktikan kebenaran ketidaksamaan pola bilangan.
9. Menyelidiki kebenaran formula suatu pola bilangan.
MATEMATIKA
3
D.
Diagram Alir
Pernyataan Matematika
Logika Matematika
P(n): Pernyataan matematis
bilangan asli
P(n): Pernyataan matematis
non-bilangan asli
Cara pembuktian
Prinsip Induksi Matematika
Langkah Awal
Metode Pembuktian Lainnya,
diantaranya:
a. Pembuktian Langsung
b. Pembuktian Tidak
Langsung
c. Pembuktian Kontradiksi
Langkah Induksi
Jika memenuhi kedua langkah,
maka P(n) benar.
4
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Jika tidak memenuhi salah
satu langkah, maka P(n) salah.
E. Proses Pembelajaran
1.1 Memahami Prinsip Induksi Matematika
No.
Deskripsi Kegiatan
1.
Kegiatan Pendahuluan
1) Menyiapkan peserta didik secara psikis dan isik untuk mengikuti proses
pembelajaran.
2) Memberi motivasi belajar siswa secara kontekstual sesuai manfaat dan
aplikasi prinsip induksi matematika dalam kehidupan sehari-hari.
3) Menjelaskan tujuan pembelajaran atau kompetensi dasar yang akan
dicapai.
4) Apersepsi
1. Guru memberikan beberapa pengantar tentang penalaran induksi
dalam kehidupan sehari, melalui kegiatan atau pengalaman siswa
yang menggunakan prinsip induksi matematika. Misalnya, ilustrasi
susunan n papan yang berukuran sama dan berjarak sama. Ajak
siswa berimajinasi tentang yang akan terjadi jika papan pertama
dijatuhkan ke arah papan kedua.
2. Berikan pertanyaan kepada siswa dari setiap pola yang diamati.
3. Ajak siswa untuk berpikir kritis dalam memahami kondisi awal
suatu pola barisan.
Kegiatan Inti
Pengantar Pembelajaran
• Mintalah siswa untuk membaca Masalah 1.1.
Mengamati
• Ajaklah siswa untuk mengamati Masalah 1.1 tersebut dan meminta
siswa untuk menentukan nilai kebenarannya.
• Berdasarkan nilai kebenaran yang diperoleh, minta siswa untuk membuat
ingkaran dari kalimat tersebut.
Menanya
• Selanjutnya minta siswa untuk bertanya tentang apa-apa saja yang belum
dipahaminya dalam menyelesaikan Masalah 1.1.
2.
MATEMATIKA
5
Mengumpulkan Informasi
• Bimbing siswa untuk menemukan informasi yang disajikan pada setiap
masalah.
• Uji pemahaman siswa terhadap pemecahan masalah, dengan mengajukan
pertanyaan yang berkaitan dengan Masalah 1.1 dan Masalah 1.2.
Menalar
• Berikan pancingan kepada siswa, jika siswa menemukan pola penjumlahan bilangan berurutan mulai dari 1 hingga n, tetapi n merupakan
bilangan ganjil, sedemikian hingga siswa dapat menyimpulkan secara
umum.
• Setelah Tabel 1.1 tuntas dilengkapi oleh siswa, ajak siswa memecahkan
pola yang terdapat pada:
a. Penjumlahan berurut bilangan kuadrat mulai dari 12 hingga 302.
Kemudian hitunglah hasilnya.
b. Penjumlahan berurut bilangan kuadrat mulai dari 12 hingga 502.
Kemudian hitunglah hasilnya.
c. Penjumlahan berurut bilangan kuadrat mulai dari 12 hingga n2.
Alternatif Penyelesaian
1) Meskipun n ganjil, pola yang untuk genap juga dapat diterapkan, tetapi
dengan mengartikan 1 + 2 + 3 + . . . + n = 0 + 1 + 2 + 3 + . . . + n,
n bilangan ganjil.
Jadinya hasilnya,
1+2+3+...+n=
(n + 1)
2
(n + 1)
0 + 1 + 2 + 3 + . . . + n = (0 + n)
2
2) Selengkapnya Tabel 1.1 adalah sebagai berikut.
n
Jumlah n Bilangan Kuadrat yang Pertama
1. 12 = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 1
6
2. 12 + 22 =
2⋅3⋅5
=5
6
3. 12 + 22 + 32 =
3⋅ 4⋅7
= 14
6
4. 12 + 22 + 32 + 42 =
6
4⋅5⋅9
= 30
6
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
5 ⋅ 6 ⋅ 11
= 55
6
5.
12 + 22 + 32 + 42 + 52 =
6.
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 =
7.
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 =
8.
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 =
9.
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92 =
6 ⋅ 7 ⋅ 13
= 91
6
7 ⋅ 8 ⋅ 15
= 140
6
8 ⋅ 9 ⋅ 17
= 204
6
9 ⋅ 10 ⋅ 19
= 285
6
10. 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92 + 102 =
a)
30 ⋅ 31 ⋅ 61
= 9.455
6
50 ⋅ 51 ⋅ 101
= 42.925
+ 492 + 502 =
6
n ⋅ ( n + 1) ⋅ ( 2n + 1)
(n – 1)2 + n2 =
6
12 + 22 + 32 + 42 + 52 . . . + 292 + 302 =
b) 12 + 22 + 32 + . . .
c)
10 ⋅ 11 ⋅ 21
= 385
6
12 + 22 + 32 + . . .
3) Selanjutnya, ajak siswa memahami prinsip induksi matematika, yang
dinyatakan pada Prinsip 1.1 pada buku siswa. Pastikan siswa memahami
prinsip tersebut melalui mengajukan pertanyaan-pertanyaan, misalnya
bagaimana pembuktian formula yang diperoleh melalui Masalah 1.1 dan
Masalah 1.2.
4) Kegiatan berikutnya, berikan kesempatan kepada siswa untuk mencermati
dan memahami Masalah 1.3, Contoh 1.1, Contoh 1.2, dan Contoh 1.3.
3.
Kegiatan Penutup
1) Ajak siswa untuk menyimpulkan prinsip induksi matematika.
2) Berikan pertanyaan untuk memastikan pemahaman siswa akan langkahlangkah prinsip induksi matematika.
3) Berikan penugasan kepada siswa untuk mengerjakan Uji Kompetensi
1.1.
MATEMATIKA
7
Penilaian
1. Prosedur Penilaian Sikap
No.
1.
2.
2.
Aspek yang Dinilai
Berpikir Logis
Kritis
Teknik Penilaian
Pengamatan
Pengamatan
Waktu Penilaian
Kegiatan inti
Kegiatan inti
Instrumen Pengamatan Sikap
Berpikir Logis
a. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha mengajukan ide-ide logis dalam
proses pembelajaran.
b. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk mengajukan ide-ide logis
dalam proses pembelajaran.
c. Sangat baik jika mengajukan ide-ide logis dalam proses pembelajaran dalam
proses pembelajaran secara terus menerus dan ajeg/konsisten.
Kritis
a. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha mengajukan ide-ide logis
dengan kritis atau pertanyaan menantang dalam proses pembelajaran.
b. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk mengajukan ide-ide logis
dengan kritis atau pertanyaan menantang dalam proses pembelajaran.
c. Sangat baik jika mengajukan ide-ide logis dengan kritis atau pertanyaan
menantang dalam proses pembelajaran secara terus menerus dan ajeg/
konsisten.
Berikan tanda Ceklis pada kolom-kolom sesuai hasil pengamatan.
No.
Berpikir Logis
Nama
SB
B
KB
1
2
3
...
...
...
29
30
SB = Sangat Baik
8
B = Baik
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
KB = Kurang Baik
Kritis
SB
B
KB
3.
Instrumen Penilaian Pengetahuan dan Keterampilan
Petunjuk:
Kerjakan soal berikut secara individu, tidak boleh menyontek dan tidak boleh
bekerja sama.
Soal
1. Untuk setiap rumusan P(k) yang diberikan, tentukan masing-masing P(k + 1).
a)
P(k) = k k + 1
( )
5
b) P(k) = k + 2 k + 3
(
)(
)
3
c)
P(k) =
d) P(k) =
2.
k 2 ( k − 1)
4
k2
2 ( k + 1)
2
2
Rancanglah formula yang memenuhi setiap pola berikut ini.
a) 2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 2n
b) 2 + 7 + 12 + 17 + 22 + . . . + (5n – 3)
c) 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + . . . + (4n – 1)
d) 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + . . . + (3n – 2)
1
1
1
1
1
(1 + 1 ) × (1 + 2 ) × (1 + 3 ) × (1 + ) × . . . × (1 + n )
4
Pedoman Penilaian Pengetahuan dan Keterampilan
e)
No
Soal
1
2
Aspek Penilaian
Ketelitian dalam menghitung
Keterampilan menerapkan prinsip
induksi matematika
Rubrik Penilaian
Skor
Skor Maksimal
Benar
Salah
Tidak ada jawaban
Benar
Salah
Tidak ada jawaban
Skor maksimal =
Skor minimal =
50
5
0
50
5
0
100
0
50
50
100
0
MATEMATIKA
9
1.2 Bentuk-Bentuk Penerapan Prinsip Induksi Matematika
Dengan pengalaman belajar mengajar yang telah diperoleh pada pertemuan
sebelum guru harus mempersiapkan sesuatu apapun yang menjadi kekurangan,
termasuk cara psikologis mengatasi siswa yang belum mau bertanya.
10
No.
Deskripsi Kegiatan
1.
Kegiatan Pendahuluan
Pada kegiatan pendahuluan guru:
a) Menyiapkan peserta didik secara psikis dan isik untuk mengikuti proses
pembelajaran.
b) Memberi motivasi belajar siswa secara kontekstual sesuai manfaat dan
aplikasi prinsip induksi matematika dalam kajian ilmu komputer.
c) Mengarahkan siswa untuk membentuk kelompok belajar yang
heterogen.
d) Mengajukan pertanyaan-pertanyaan yang mengaitkan pengetahuan
sebelumnya dengan materi yang akan dipelajari, Misalnya, bagaimana
langkah-langkah pembuktian dengan prinsip induksi matematika.
e) Menjelaskan tujuan pembelajaran atau kompetensi dasar yang akan
dicapai;
f) Menyampaikan cakupan materi dan penjelasan uraian kegiatan sesuai
silabus.
2.
Kegiatan Inti
Pada kegiatan inti, guru mendistribusikan Masalah 1.4, Contoh 1.4 hingga
Contoh 1.9 ke kelompok belajar yang telah dibentuk. Lalu, guru mengarahkan
alur pembelajaran melalui langkah-langkah saintiik berikut.
Ayo Kita Mengamati
• Setiap siswa pada kelompok belajar diajak mengamati masalah yang
diberikan.
Ayo Kita Menanya
• Siswa diberi rangsangan untuk mengajukan pertanyaan-pertanyaan
terkait setiap masalah yang diberikan. Guru harus mengajukan
pertanyaan-pertanyaan kepada siswa untuk memastikan pemahaman
siswa.
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
No.
Deskripsi Kegiatan
Ayo Kita Mengumpulkan Informasi
• Sebagai umpan balik aktivitas sebelumnya, siswa diminta untuk
menemukan dan mengumpulkan informasi yang ditemukan pada
masalah tersebut, sedemikian sehingga siswa dapat memahami pola
yang diberikan pada setiap masalah.
• Guru mengkoordinir kelompok belajar agar setiap informasi yang telah
dikumpulkan diketahui dan dipahami setiap anggota kelompok.
• Siswa diarahkan melanjutkan ke langkah-langkah prinsip induksi
matematika.
Ayo Kita Mengasosiasi
• Ajukan pertanyaan-pertanyaan untuk setiap siswa yang memancing
siswa untuk mengajukan pertanyaan-pertanyaan kritis, termasuk dalam
penemuan formula setiap pola yang bersesuaian.
• Berikan kesempatan kepada setiap kelompok belajar untuk memaparkan
hasil diskusi di depan kelas. Guru mengarahkan agar kelompok lain
mencermati dan memotivasi siswa untuk mengajukan pertanyaanpertanyaan kritis terkait paparan.
• Untuk memastikan pemahaman siswa tersebut, guru dapat memberikan
masalah yang telah dipersiapkan guru sebelumnya.
3.
Kegiatan Penutup
Ayo Kita Menyimpulkan
a) Tindak lanjut dari paparan setiap kelompok belajar yang telah dipaparkan,
arahkan siswa untuk menyampaikan kesimpulan yang diperolehnya.
b) Guru menegaskan/menyempurnakan kesimpulan yang diperoleh siswa,
jika terdapat kekurangan.
c) Untuk memastikan pemahaman siswa, berikan penugasan kepada siswa
melalui mengerjakan soal-soal pada Uji Kompetensi 1.2.
MATEMATIKA
11
Penilaian
1. Prosedur Penilaian
No.
1
2
3
4
5
2.
Aspek yang dinilai
Berani bertanya
Berpendapat
Mau mendengar orang lain
Bekerja sama
Konsep
Teknik Penilaian
Pengamatan
Pengamatan
Pengamatan
Pengamatan
Tes Tertulis
Waktu Penilaian
Kegiatan inti
Kegiatan inti
Kegiatan inti
Kegiatan inti
Kegiatan penutup
Instrumen Penilaian Sikap
(Sikap Kinerja dalam Menyelesaikan Tugas Kelompok)
No.
Nama
Peserta
Didik
Kerja
Sama
Aspek
Menghargai
Keaktifan
Pendapat
Teman
Tanggung
Jawab
Jumlah
Nilai
1
2
3
4
...
Keterangan Skor:
1 = (belum terlihat), apabila peserta didik belum memperlihatkan tanda-tanda
awal perilaku sikap yang dinyatakan dalam indikator.
2 = (mulai terlihat), apabila peserta didik mulai memperlihatkan adanya
tanda-tanda awal perilaku yang dinyatakan dalam indikator tetapi belum
konsisten.
3 = (mulai berkembang), apabila peserta didik sudah memperlihatkan tanda
perilaku yang dinyatakan dalam indikator dan mulai konsisten.
4 = (membudaya), apabila peserta didik terus-menerus memperlihatkan perilaku
yang dinyatakan dalam indikator secara konsisten.
Skor maksimal = 16
Nilai =
12
skor perolehan
× 100%
skor maksimal
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
3.
Instrumen Penilaian Pengetahuan
Contoh rubrik penilaian hasil penyelesaian soal oleh siswa. Dengan mempertimbangkan langkah-langkah penyelesaian soal yang dilakukan oleh siswa
terhadap soal-soal yang diajukan guru, maka dapat disusun rubrik penilaiannya.
Alternatif pedoman penskorannya sebagai berikut.
NO
1.
ASPEK PENILAIAN
Pemahaman terhadap
prinsip induksi
matematika
2.
Kebenaran jawaban
akhir soal
3.
Proses perhitungan
Total
4.
RUBRIK PENILAIAN
SKOR
Penyelesaian sesuai dengan prinsip induksi
20
matematika
Sudah menerapkan prinsip induksi matematika
10
namun belum benar
Tidak ada respon/jawaban
0
Jawaban benar
40
Jawaban hampir benar
30
Jawaban salah
5
Tidak ada respon/jawaban
0
Proses perhitungan benar
40
Proses perhitungan sebagian besar benar
30
Proses perhitungan sebagian kecil saja
20
yang benar
Proses perhitungan sama sekali salah
5
Tidak ada respon/jawaban
0
Skor maksimal
100
Instrumen Penilaian Keterampilan
(Penilaian kinerja dalam menyelesaikan tugas presentasi)
No.
Nama
Peserta
Didik
Aspek
Komunikasi
Sistematika
Penyampaian
Penguasaan
Materi
Keberanian
Antusias
Jumlah
Skor
Nilai
1
2
3
4
5
...
MATEMATIKA
13
Keterangan Skor:
Komunikasi:
1 = Tidak dapat berkomunikasi
2 = Komunikasi agak lancar,
tetapi sulit dimengerti
3 = Komunikasi lancar, tetapi
kurang jelas dimengerti
4 = Komunikasi sangat lancar,
benar, dan jelas
Wawasan:
1 = Tidak menunjukkan
pengetahuan/materi
2 = Sedikit memiliki
pengetahuan/materi
3 = Memiliki pengetahuan/materi
tetapi kurang luas
4 = Memiliki pengetahuan/materi
yang luas
Antusias:
1 = Tidak antusias
2 = Kurang antusias
3 = Antusias tetapi kurang kontrol
4 = Antusias dan terkontrol
Sistematika Penyampaian:
1 = Tidak sistematis
2 = Sistematis, uraian kurang,
tidak jelas
3 = Sistematis, uraian cukup
4 = Sistematis, uraian luas, jelas
Keberanian:
1 = Tidak ada keberanian
2 = Kurang berani
3 = Berani
4 = Sangat berani
Skor maksimal = 20
Nilai =
14
skor perolehan
× 100%
skor maksimal
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
G.
Pengayaan
Bentuk pembelajaran pengayaan adalah pemberian asesmen portofolio tambahan
yang memuat asesmen masalah autentik, proyek, keterampilan proses, check up diri,
dan asesmen kerja sama kelompok. Sebelum asesmen ini dikembangkan, terlebih
dahulu dilakukan identiikasi kemampuan belajar berdasarkan jenis serta tingkat
kelebihan belajar peserta didik. Misalnya, belajar lebih cepat, menyimpan informasi
lebih mudah, keingintahuan lebih tinggi, berpikir mandiri, superior dan berpikir
abstrak, dan memiliki banyak minat. Pembelajaran pengayaan dapat dilaksanakan
melalui belajar kelompok, belajar mandiri, bimbingan khusus dari guru dan para ahli
(mentor).
Materi pembahasan pada pembelajaran pengayaan bertumpu pada pengembangan kompetensi dasar kelompok wajib tertera pada kurikulum 2013, termasuk
pengembangan kompetensi dasar kelompok peminatan. Materi pembahasan dituangkan dalam asesmen masalah autentik, proyek, keterampilan proses, check up diri,
dan asesmen kerja sama kelompok. Keterampilan yang dibangun melalui materi
matematika yang dipelajari adalah kemampuan berpikir tingkat tinggi (berpikir kreatif
dan kritis) serta kemampuan adaptif terhadap perubahan, penggunaan teknologi dan
membangun kerjasama antar siswa dan orang lain yang lebih memahami masalah
yang diajukan dalam asesmen.
H.
Remedial
Pembelajaran remedial membantu peserta didik yang mengalami kesulitan
dalam belajar. Pembelajaran remidial adalah tindakan perbaikan pembelajaran bagi
peserta didik yang belum mencapai standar kompetensi. Remedial bukan mengulang
tes (ulangan harian) dengan materi yang sama, tetapi guru memberikan perbaikan
pembelajaran pada KD yang belum dikuasai oleh peserta didik melalui upaya
tertentu.
Bentuk pembelajaran remedial tergantung pada jumlah peserta didik yang
mengalami kegagalan mencapai kompetensi dasar yang ditetapkan. Beberapa
alternatif bentuk pelaksanaan pembelajaran remedial di sekolah.
1. Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial lebih dari 50%, maka tindakan
yang dilakukan adalah pemberian pembelajaran ulang dengan model dan strategi
pembelajaran yang lebih inovatif berbasis pada berbagai kesulitan belajar yang
dialami peserta didik yang berdampak pada peningkatan kemampuan untuk
mencapai kompetensi dasar tertentu.
MATEMATIKA
15
2.
3.
16
Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial lebih dari 20% tetapi kurang
dari 50%, maka tindakan yang dilakukan adalah pemberian tugas terstruktur
baik secara berkelompok dan tugas mandiri. Tugas yang diberikan berbasis pada
berbagai kesulitan belajar yang dialami peserta didik yang berdampak pada
peningkatan kemampuan untuk mencapai kompetensi dasar tertentu.
Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial maksimal 20%, maka
tindakan yang dilakukan adalah pemberian bimbingan secara khusus, misalnya
bimbingan perorangan oleh guru dan tutor sebaya.
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
BAB
2
Program Linear
A. Kompetensi Inti
1.
2.
Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.
Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung
jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun,
responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari
solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif
dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri
sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.
3.
Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual,
konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin
tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya,
dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan,
kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan
kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang
kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk
memecahkan masalah.
4.
Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah
abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di
sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif serta
mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.
Sikap
Pengetahuan
Keterampilan
MATEMATIKA
17
B.
Kompetensi Dasar dan Indikator
Kompetensi Dasar untuk bab program linear ini mengaju pada KD yang telah
ditetapkan. Guru tentu harus mampu merumuskan indikator pencapaian kompetensi
dari kompetensi dasar. Berikut ini disajikan indikator pencapaian kompetensi untuk
materi program linear.
No.
1.
18
Kompetensi Dasar
Indikator Pencapaian Kompetensi
3.2 Menjelaskan pertidaksamaan 3.3.1 Mendefinisikan pertidaksamaan linear
dua variabel.
linear dua variabel dan penyelesaiannya dengan meng- 3.3.2 Membentuk model matematika dari
gunakan masalah kontekstual.
suatu masalah program linear yang
kontekstual.
3.3.3 Menentukan penyelesaian suatu pertidaksamaan linear dua variabel.
3.3.4 Menemukan syarat pertidaksamaan
memiliki penyelesaian.
3.3.5 Menemukan syarat pertidaksamaan
tidak memiliki penyelesaian.
3.4.6 Mendefinisikan program linear dua
variabel.
3.4.7 Mendefinisikan daerah penyelesaian
suatu masalah program linear dua
variabel.
3.4.8 Mendefinisi fungsi tujuan suatu masalah
program linear dua variabel.
3.4.9 Menjelaskan garis selidik.
3.4.10 Menjelaskan nilai optimum suatu
masalah program linear dua variabel.
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
2.
4.2 Menyelesaikan masalah kon- 4.2.1 Membedakan pertidaksamaan linear
tekstual yang berkaitan dengan
dua variabel dengan pertidaksamaan
program linear dua variabel.
linear lainnya.
4.2.2 Menyusun
pertidaksamaan
linear
dua variabel dari suatu masalah
kontekstual.
4.2.3 Menyelesaikan pertidaksamaan linear
dua variabel.
4.2.4 Meyajikan grafik pertidaksamaan linear
dua variabel.
4.2.5 Membentuk model matematika suatu
masalah program linear dua variabel.
4.2.6 Menyelesaikan masalah program linear
dua variabel.
4.2.7 Menerapkan garis selidik untuk menyelesaikan program linear dua variabel.
4.2.8 Menginterpretasikan penyelesaian yang
ditemukan secara kontekstual.
MATEMATIKA
19
C.
Tujuan Pembelajaran
Melalui pengamatan, tanya jawab, penugasan individu dan kelompok, diskusi
kelompok, dan penemuan (discovery) siwa mampu:
1. Menunjukkan sikap jujur, tertib, dan mengikuti aturan pada saat proses belajar
berlangsung.
2. Menunjukkan sikap cermat dan teliti dalam menyelesaikan masalah-masalah
program linear dua variabel.
3. Menjelaskan pertidaksamaan linear dua variabel.
4. Membentuk model matematika dari suatu masalah kontekstual.
5. Membedakan pertidaksamaan linear dua variabel dengan yang lainnya.
6. Menyelesaikan pertidaksamaan linear dua variabel baik secara analisis maupun
secara geometris.
7. Menjelaskan definisi program linear dua variabel.
8. Membentuk model matematika dari suatu masalah program linear dua variabel.
9. Menjelaskan definisi daerah penyelesaian.
10. Menjelaskan fungsi tujuan.
11. Menyajikan grafik daerah penyelesaian dari suatu masalah program linear dua
variabel.
12. Menggunakan garis selidik untuk menentukan nilai optimum suatu program
linear.
13. Menginterpretasikan penyelesaian secara kontekstual.
20
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
D.
Diagram Alir
Sistem Persamaan dan
Pertidaksamaan Linear
Masalah
Autentik
Materi
Prasyarat
Program
Linear
Masalah Program
Linear
Daerah Penyelesaian
Kendala Program Linear
Fungsi
Objektif
Garis Selidik
Solusi Masalah Program
Linear
Nilai Maksimum
Nilai Minimum
MATEMATIKA
21
E.
Proses Pembelajaran
Suatu proses pembelajaran akan berjalan dengan efektif jika guru sudah mengenali
karakteristik peserta belajarnya. Adapun proses pembelajaran yang dirancang pada
buku guru ini hanya pertimbangan bagi guru untuk merancang kegiatan belajar
mengajar yang sesungguhnya. Oleh karena itu, diharapkan guru lebih giat dan kreatif
lagi dalam mempersiapkan semua perangkat belajar mengajar.
2.1 Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Sebelum Pelaksanaan Kegiatan
1. Siswa diharapkan sudah membawa perlengkapan alat-alat tulis, seperti
pulpen, pensil, pengapus, penggaris, ketas berpetak, dan lain-lain.
2. Bentuklah kelompok kecil siswa (2 – 3 orang) yang memungkinkan belajar
secara efektif dan efisien.
3. Sediakan lembar kerja yang diperlukan siswa.
4. Sediakan kertas HVS secukupnya.
No.
1.
22
Petunjuk Kegiatan Pembelajaran
Kegiatan Pendahuluan
Pada kegiatan pendahuluan guru:
a) menyiapkan peserta didik secara psikis dan isik untuk mengikuti proses
pembelajaran;
b) memberi motivasi belajar siswa secara kontekstual sesuai manfaat dan aplikasi
pertidaksamaan linear dua variabel dalam kehidupan sehari-hari, dengan
memberikan contoh dan perbandingan lokal, nasional, dan internasional;
c) mengajukan pertanyaan-pertanyaan yang mengaitkan pengetahuan sebelumnya dengan materi yang akan dipelajari; Misalnya, bagaimana konsep dalam
mengambarkan suatu fungsi linear.
d) menjelaskan tujuan pembelajaran atau kompetensi dasar yang akan dicapai;
e) menyampaikan cakupan materi dan penjelasan uraian kegiatan sesuai
silabus.
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
No.
2.
Petunjuk Kegiatan Pembelajaran
Kegiatan Inti
Ayo kita mengamati
a) Melalui kelompok belajar yang heterogen, arahkan untuk mencermati
Masalah 2.1, Masalah 2.2, dan Masalah 2.3.
Ayo Kita Menanya
a) Siswa diberi ransangan untuk mengajukan pertanyaan-pertanyaan terkait
Masalah 2.1, 2.2, dan Masalah 2.3. Jika tidak ada siswa yang mengajukan
pertanyaan, guru harus mengajukan pertanyaan-pertanyaan kepada siswa
untuk memastikan pemahaman siswa. Misalnya, pada Persamaan (2a),
kenapa harus dituliskan x > 0 dan y > 0?
Ayo Kita Mengumpulkan Informasi
a) Sebagai umpan balik aktivitas sebelumnya, siswa diminta untuk menemukan
dan mengumpulkan informasi yang ditemukan pada masalah tersebut,
sedemikian sehingga siswa dapat memahami model matematika yang
disajikan pada Persamaan (2a), Persamaan (2b), dan Persamaan (2c).
b) Arahkan siswa berdiskusi dalam kelompok belajar untuk menalar informasi
yang disajikan pada Tabel 2.1, Tabel 2.2, dan Tabel 2.3.
Ayo Kita Mengasosiasi
a) Siswa perwakilan kelompok diminta menyajikan hasil pemahaman mereka
dengan hubungan setiap data yang disajikan pada Tabel 2.1, Tabel 2.2, dan
Tabel 2.3.
b) Dengan menggunakan informasi pada Tabel 2.1, siswa diberi kesempatan
menjawab pertanyaan berikut:
i. Menurut kamu, apa makna jika x = –20.000 dan y = –5.000?
ii. Untuk mengisi tabel di atas, berikan penjelasan jika x = 0 dan y =
90.000.
iii. Menurut kamu, berapa harga paling mahal satu baju dan harga paling
mahal satu buku yang mungkin dibeli oleh Santi? Berikan penjelasan
untuk jawaban yang kamu berikan.
Alternatif Penyelesaian
i. Secara analisis, x = –20.000 dan y = –5.000 memenuhi 2x + 3y < 250.000.
Namun secara fakta, nilai x dan y itu tidak terjadi.
ii. Pasangan nilai x = 0 dan y = 90.000 tidak merupakan penyelesaian untuk
pertidaksamaan 2x + 3y < 250.000
iii. Harga maksimum satu seragam sekolah adalah Rp120.000. Akan tetapi,
harga 1 buku harus harga paling minimum, dengan mempertimbangkan
masih ada kembalian uangnya. Sebaliknya juga berlaku.
c) Dengan menggunakan konsep graik fungsi linear, siswa dipastikan
memahami Gambar 2.1, Gambar 2.2, dan Gambar 2.3.
MATEMATIKA
23
No.
Petunjuk Kegiatan Pembelajaran
d)
e)
f)
g)
3.
24
Siswa diminta memberikan ide-ide tentang perbedaan penyelesaian pertidaksamaan secara analitis dan secara geometris.
Siswa diminta menyampaikan hasil ide-ide yang diperoleh kegiatan diskusi
kelompok.
Tanpa melihat Deinisi 2.1, siswa diminta menuliskan pemahaman mereka tentang
pertidaksamaan linear dua variabel dan menentukan penyelesaiaannya.
Ujilah pemahaman siswa dengan meminta siswa mengerjakan Contoh 2.1,
tanpa melihat penyelesaian yang disajikan pada buku siswa.
Kegiatan Penutup
Ayo kita menyimpulkan
a) Bersama dengan siswa menyimpulkan deinisi pertidaksamaan linear dua
variabel, seperti yang disajikan pada Deinisi 2.1.
b) Untuk meningkatkan pemahaman siswa, baik pengetahuan dan keterampilan,
siswa diminta menjawab pertanyaan kritis berikut ini:
i. Apakah setiap pertidaksamaan memiliki himpunan penyelesaian?
Berikan penjelasan atas jawaban kamu.
ii. Misalkan diberikan suatu himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan
yang disajikan pada suatu graik, bagaimana caranya membentuk
pertidaksamaan yang memenuhi himpunan penyelesaian tersebut?
Alternatif Penyelesaian
i. Tidak semua sistem pertidaksamaan linear dua variabel memiliki
penyelesaian. Hal ini dapat dikembang bahwa terdapat syarat suatu
sistem persamaan linear dua variabel tidak memiliki penyelesain.
ii. Konsep yang digunakan bagaimana menentukan persamaan suatu garis
linear jika diketahui melalui dua titik.
c) Guru menyampaikan materi untuk dipelajari siswa pada pertemuan berikutnya.
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Penilaian
1. Prosedur Penilaian Sikap
2.
No.
Aspek yang dinilai
Teknik Penilaian
Waktu Penilaian
1
2
Berpikir Logis
Kritis
Pengamatan
Pengamatan
Kegiatan inti
Kegiatan inti
Instrumen Pengamatan Sikap
Berpikir Logis
1. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha mengajukan ide-ide logis dalam
proses pembelajaran.
2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk mengajukan ide-ide logis
dalam proses pembelajaran.
3. Sangat baik jika mengajukan ide-ide logis dalam proses pembelajaran dalam
proses pembelajaran secara terus menerus dan ajeg/konsisten.
Kritis
1. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha mengajukan ide-ide logis
dengan kritis atau pertanyaan menantang dalam proses pembelajaran.
2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk mengajukan ide-ide logis
dengan kritis atau pertanyaan menantang dalam proses pembelajaran.
3. Sangat baik jika mengajukan ide-ide logis dengan kritis atau pertanyaan
menantang dalam proses pembelajaran secara terus menerus dan ajeg/konsisten.
Berikan tanda pada kolom-kolom sesuai hasil pengamatan.
Berpikir Logis
No.
Kritis
Nama
SB
B
KB
SB
B
KB
1.
2.
3.
...
...
...
...
29.
30.
SB = Sangat Baik B = Baik
KB = Kurang Baik
MATEMATIKA
25
3.
Instrumen Penilaian Pengetahuan dan Keterampilan
Petunjuk:
1. Kerjakan soal berikut secara individu, tidak boleh menyontek dan tidak
boleh bekerja sama.
Latihan 2.1
1.
Tanpa menggambarkan grafik, tentukanlah himpunan penyelesaian (jika
ada) setiap pertidaksamaan di bawah ini.
a.
2x – 9y ≥
b.
x – 6y ≥ 0.
c.
2.
3.
1
.
2
d.
e.
2x
5
≥
y
4
f.
x + 3y
4x + 2 y
≥
.
3
2
8y
2x −
5x + 4 y
5
≥
5
2
ax + by ≥ c; a, b, c bilangan real positif.
Untuk soal No.1, gambarkan setiap pertidaksamaan untuk menentukan
daerah penyelesaian (jika ada).
Untuk setiap grafik di bawah ini, tentukanlah pertidaksamaan yang tepat
memenuhi daerah penyelesaian.
y
y
10
DP
10
5
(15, 0)
(7, 0)
–10
–5
−7
0,
2
5
–5
x
–20
–10
10
(0, –2)
10
–10
DP
–20
(a)
26
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
(b)
15
x
4.
PT Lasin adalah suatu pengembang perumahan di daerah pemukiman baru.
PT tersebut memiliki tanah seluas 12.000 meter persegi berencana akan
membangun dua tipe rumah, yaitu tipe mawar dengan luas 130 meter persegi
dan tipe melati dengan luas 90 m2. Jumlah rumah yang akan dibangun tidak
lebih 150 unit. Pengembang merancang laba tiap-tiap tipe rumah Rp2.000.000
dan Rp1.500.000.
Modelkan permasalahan di atas! Kemudian gambarkan daerah penyelesaian
untuk sistem pertidaksamaannya.
Pedoman Penilaian Pengetahuan dan Keterampilan
No
Soal
Aspek Penilaian
Rubrik
Penilaian
1.
Ketelitian dalam menghitung
Benar
Salah
Tidak ada jawaban
25
5
0
25
2.
Keterampilan menggambarkan daerah penyelesaian
Benar
Salah
Tidak ada jawaban
25
5
0
25
3.
Ketelitian menghitung
Benar
Salah
Tidak ada jawaban
25
5
0
25
4.
Ketelitian dalam membentuk
model
Benar
Salah
Tidak ada jawaban
25
5
0
25
Skor maksimal =
Skor minimal =
100
0
100
0
Skor
Skor
Maksimal
2.2 Program Linear
Dengan pengalaman belajar mengajar yang telah diperoleh pada pertemuan
sebelumnya guru harus mempersiapkan sesuatu apapun yang menjadi kekurangan,
termasuk cara psikologis mengatasi siswa yang belum mau bertanya.
Sebelum melakukan aktivitas belajar mengajar di kelas, hendaknya guru
mempersiapkan:
MATEMATIKA
27
Sebelum Pelaksanaan Kegiatan
1. Bentuklah kelompok kecil siswa (4 – 5 orang) yang memungkinkan belajar
secara efektif.
2. Identifikasi siswa-siswa yang biasanya agak sulit membuat pertanyaan.
3. Identifikasi pula bentuk bantuan apa yang perlu diberikan agar siswa akhirnya
produktif membuat pertanyaan.
4. Sediakan tabel-tabel yang diperlukan bagi siswa untuk mengisikan hasil
kerjanya.
5. Sediakan kertas HVS secukupnya.
6. Mungkin perlu diberikan contoh kritik, komentar, saran, atau pertanyaan
terhadap suatu karya agar siswa bisa meniru dan mengembangkan lebih jauh
sesuai dengan materinya.
No.
28
Petunjuk Kegiatan Pembelajaran
1.
Kegiatan Pendahuluan
Pada kegiatan pendahuluan guru:
a) menyiapkan peserta didik secara psikis dan isik untuk mengikuti proses
pembelajaran;
b) memberi motivasi belajar siswa secara kontekstual sesuai manfaat dan
aplikasi program linear dua variabel dalam kehidupan sehari-hari, dengan
memberikan contoh dan perbandingan lokal, nasional, dan internasional;
c) mengajukan pertanyaan-pertanyaan yang mengaitkan pengetahuan sebelumnya dengan materi yang akan dipelajari; Misalnya, bagaimana menentukan
penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel dan cara menggambarkan
daerah penyelesaian;
d) menjelaskan tujuan pembelajaran atau kompetensi dasar yang akan dicapai;
e) menyampaikan cakupan materi dan penjelasan uraian kegiatan sesuai
silabus.
2.
Kegiatan Inti
Ayo Kita Mengamati
a) Melalui kelompok belajar yang heterogen, arahkan untuk mencermati
Masalah 2.4 dan Masalah 2.5.
Ayo Kita Menanya
a) Siswa diberi ransangan untuk mengajukan pertanyaan-pertanyaan terkait
Masalah 2.4 dan Masalah 2.5. Jika tidak ada siswa yang mengajukan
pertanyaan, guru harus mengajukan pertanyaan-pertanyaan kepada siswa
untuk memastikan pemahaman siswa.
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
No.
Petunjuk Kegiatan Pembelajaran
Ayo Kita Mengumpulkan Informasi
a) Sebagai umpan balik aktivitas sebelumnya, siswa diminta untuk menemukan
dan mengumpulkan informasi yang ditemukan pada masalah tersebut,
sedemikian sehingga siswa dapat memahami model matematika yang
disajikan pada Persamaan (1).
b) Dengan keterampilan yang telah dimiliki siswa mengenai menggambarkan
daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel, siswa
diharapkan mampu menggambar daerah penyelesaian Persamaan (1). Guru
memperhatikan siswa yang mengalami kesulitan dan memberikan bantuan
pada siswa yang mengalami kesulitan.
c) Siswa diarahkan memahami langkah-langkah menggambarkan graik suatu
sistem pertidaksamaan linear dua variabel.
Ayo Kita Mengasosiasi
a) Untuk memastikan pemahaman siswa, siswa diarahkan untuk mengisi Tabel
2.5 dan membentuk model matematika Masalah 2.5.
Tabel 2.5: Alokasi setiap sumber yang tersedia
Sumber
Mesin A
Mesin B
Persediaan
Resistor
Transistor
Kapasitor
Keuntungan
20
10
200
10
20
120
10
30
150
Rp 50.000
Rp 120.000
Misalkan x: banyak unit barang yang diproduksi mesin A
y: banyak unit barang yang diproduksi mesin B.
Dengan melengkapi Tabel 2.5, kemudian kamu diminta membentuk model
matematika masalah ini. Bandingkan hasil yang kamu peroleh dengan hasil
yang ditemukan temanmu.
Kendala Persediaan .................................................................... (1*)
20x + 10y ≥ 200
2x + y ≥ 20
10x + 20y ≥ 120 ↔ x + 2y ≥ 12
10x + 30y ≥ 150
x + 3y ≥ 15
Karena banyak barang yang diproduksi tidak mungkin negatif, maka kita
menuliskan kendala non-negatif:
Kendala non-negatif .................................................................... (2*)
x ≥ 0
y ≥ 0
Artinya, untuk memenuhi persediaan, mungkin mesin A atau B tidak
berproduksi.
MATEMATIKA
29
No.
Petunjuk Kegiatan Pembelajaran
b)
c)
3.
Ajukan pertanyaan-pertanyaan untuk setiap siswa yang memancing
siswa untuk mengajukan pertanyaan-pertanyaan kritis, termasuk dalam
menggambarkan daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear
dua variabel.
Untuk memastikan pemahaman siswa tersebut, siswa diberi kesempatan
menyelesaikan Contoh 2.2 dengan atau tanpa melihat alternatif penyelesaian
yang telah disajikan.
Kegiatan Penutup
Ayo kita menyimpulkan
a) Dengan melihat model matematika yang terbentuk pada Masalah 2.4 dan
Masalah 2.5, arahkan siswa untuk merumuskan deinisi program linear dua
variabel.
b) Bersama dengan siswa menyimpulkan deinisi program linear dua variabel
dan daerah penyelesaian, seperti yang disajikan pada Deinisi 2.2 dan Deinisi
2.3.
c) Menginformasikan materi selanjutnya, yaitu bagaimana menentukan nilai
maksimum atau minimum fungsi tujuan suatu program linear dua variabel.
d) Memberikan penugasan kepada siswa, yaitu mengerjakan soal Uji Kompetensi
2.1 nomor 5 hingga nomor 8.
Penilaian
1. Prosedur Penilaian Sikap
No.
1
2
2.
30
Aspek yang dinilai
Analitis
Bekerja sama
Teknik Penilaian
Pengamatan
Pengamatan
Waktu Penilaian
Kegiatan inti
Kegiatan inti
Instrumen Pengamatan Sikap
Analitis
1. Kurang baik jika sama sekali tidak mengajukan pertanyaan-pertanyaan
menantang atau memberikan ide-ide dalam menyelesaikan masalah selama
proses pembelajaran.
2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk mengajukan pertanyaanpertanyaan menantang atau memberikan ide-ide dalam menyelesaikan
masalah selama proses pembelajaran.
3. Sangat baik jika mengajukan pertanyaan-pertanyaan menantang atau
memberikan ide-ide dalam menyelesaikan masalah selama proses
pembelajaran secara terus menerus dan ajeg/konsisten.
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Bekerja Sama
1. Kurang baik jika sama sekali tidak menunjukkan sikap mau bekerja sama
dengan temannya selama proses pembelajaran.
2. Baik jika menunjukkan sikap mau bekerja sama dengan temannya selama
proses pembelajaran.
3. Sangat baik jika menunjukkan sikap mau bekerja sama dengan temannya
selama proses pembelajaran secara terus menerus dan ajeg/konsisten.
Berikan tanda pada kolom-kolom sesuai hasil pengamatan.
Analitis
No.
Bekerja sama
Nama
SB
B
KB
SB
B
KB
1.
2.
3.
...
...
...
...
29.
30.
SB = Sangat Baik B = Baik
3.
KB = Kurang Baik
Instrumen Penilaian Pengetahuan dan Keterampilan
Petunjuk:
1. Kerjakan soal berikut secara individu, tidak boleh menyontek dan tidak
boleh bekerja sama.
2. Pilihlah jawaban soal, kemudian jawablah pertanyaan/perintah di bawahnya.
MATEMATIKA
31
Latihan 2.2
1.
Suatu toko bunga menjual 2 macam rangkaian bunga. Rangkaian I
memerlukan 10 tangkai bunga mawar dan 15 tangkai bunga anyelir. Rangkaian
II memerlukan 20 tangkai bunga mawar dan 5 tangkai bunga anyelir.
Persediaan bunga mawar dan bunga anyelir masing-masing 200 tangkai dan
100 tangkai. Rangkaian I dijual seharga Rp200.000, dan Rangkaian II dijual
seharga Rp100.000 per rangkaian. (UN 2006 no. 21)
Bentuk model matematika masalah di atas. Kemudian gambarkan graik
model matematikanya.
Perhatikan masalah yang dihadapi seorang penjaja buah-buahan berikut ini.
Pak Benni, seorang penjaja buah-buahan yang menggunakan gerobak
menjual apel dan pisang. Harga pembelian apel Rp18.000 tiap kilogram dan
pisang Rp8.000 tiap kilogram. Beliau hanya memiliki modal Rp2.000.000,
sedangkan muatan gerobak tidak lebih dari 450 kilogram. Padahal keuntungan
tiap kilogram apel 2 kali keuntungan tiap kilogram pisang.
Tentukanlah tiga titik yang terdapat pada graik daerah penyelesaian masalah
ini.
2.
Pedoman Penilaian Pengetahuan dan Keterampilan
No
Soal
32
Rubrik
Penilaian
Aspek Penilaian
Skor
Skor
Maksimal
1.
Ketelitian dalam membentuk
model matematika
Benar
Salah
Tidak ada jawaban
50
10
0
50
2.
Keterampilandalammembentuk
model dan menyelesaikan
masalah
Benar
Salah
Tidak ada jawaban
50
10
0
50
Skor maksimal =
Skor minimal =
100
0
100
0
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
2.3 Nilai Optimum dengan Garis Selidik
Dengan pengalaman belajar mengajar yang telah diperoleh pada pertemuan
sebelum, guru harus mempersiapkan sesuatu apapun yang menjadi kekurangan,
termasuk cara psikologis mengatasi siswa yang belum mau bertanya.
Sebelum melakukan aktivitas belajar mengajar di kelas, hendaknya guru
mempersiapkan:
Sebelum Pelaksanaan Kegiatan
1. Bentuklah kelompok kecil siswa (4 – 5 orang) yang memungkinkan belajar secara
efektif.
2. Identiikasi siswa-siswa yang biasanya agak sulit membuat pertanyaan.
3. Identiikasi pula bentuk bantuan apa yang perlu diberikan agar siswa akhirnya
produktif membuat pertanyaan.
4. Sediakan tabel-tabel yang diperlukan bagi siswa untuk mengisikan hasil kerjanya.
5. Sediakan kertas berpetak atau papan.
6. Kritik, komentar, saran, atau pertanyaan terhadap suatu karya agar siswa bisa meniru
dan mengembangkan lebih jauh sesuai dengan materinya.
No.
1.
Petunjuk Kegiatan Pembelajaran
Kegiatan Pendahuluan
Pada kegiatan pendahuluan guru:
a) menyiapkan peserta didik secara psikis dan isik untuk mengikuti proses
pembelajaran;
b) memberi motivasi belajar siswa secara kontekstual sesuai manfaat dan
aplikasi menentukan nilai optimum dalam kehidupan sehari-hari, dengan
memberikan contoh dan perbandingan lokal, nasional, dan internasional;
c) mengajukan pertanyaan-pertanyaan yang mengaitkan pengetahuan
sebelumnya dengan materi yang akan dipelajari; Misalnya, bagaimana
menentukan daerah penyelesaian yang terbatas dan yang tidak terbatas.
d) menjelaskan tujuan pembelajaran atau kompetensi dasar yang akan dicapai;
e) menyampaikan cakupan materi dan penjelasan uraian kegiatan sesuai
silabus.
MATEMATIKA
33
No.
2.
Petunjuk Kegiatan Pembelajaran
Kegiatan Inti
Ayo mengamati
a) Melalui kelompok belajar yang heterogen, arahkan untuk mencermati
Masalah 2.6, dan Masalah 2.7.
Ayo Menanya
a) Guru mengajukan pertanyaan-pertanyaan pancingan kepada siswa, untuk
memunculkan motivasi kepada siswa dalam mengajukan pertanyaanpertanyaan kritis terkait Masalah 2.6 dan Masalah 2.7.
Ayo Mengumpulkan Informasi
a) Sebagai umpan balik aktivitas sebelumnya, siswa diminta untuk menemukan
dan mengumpulkan informasi yang ditemukan pada masalah tersebut,
sedemikian sehingga siswa dapat memahami model matematika yang untuk
Masalah 2.6 dan Masalah 2.7.
b) Arahkan siswa untuk memahami prosedur dalam menentukan nilai
optimum fungsi tujuan suatu program linear dua variabel, yaitu dengan
menemukan pasangan titik, sebut pasangan titik (x, y), yang terdapat pada
daerah penyelesaian sedemikian sehingga menjadikan fungsi tujuan bernilai
optimum (memiliki nilai maksimum ataupun minimum).
Ayo Mengasosiasi
a) Berikan pancingan kepada siswa bahwa untuk menemukan nilai optimum
fungsi tujuan suatu program linear dua variabel tidak selalu tepat dengan
menguji nilai fungsi tujuan pada titik-titik sudut daerah penyelesaian. Hal ini,
guru dapat memberikan contoh-contoh penyangkal.
b) Berikan petunjuk kepada siswa bagaimana menemukan nilai optimum fungsi
tujuan dengan metode garis selidik, yaitu dengan menggambarkan graik
fungsi pada saat melalui suatu titik pada daerah penyelesaian.
34
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
No.
Petunjuk Kegiatan Pembelajaran
y
500
400
4x + 3y = 350
300
4x + 3y = 250
4x + 3y = 180
200
100
5x + 3y ≤ 460
A 0,153 1
3
2x + 5y ≤ 1.000
10x + 8y ≤ 1.550
B(92, 0)
–100
100
x
200
300
400
500
–100
Gambar 2.13: Daerah penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan (3*)
c)
Pada kasus ini, kebetulan titik pembuat optimum fungsi tujuan terdapat di
titik sudut daerah penyelesaian.
Guru menegaskan kepada siswa bahwa titik pembuat optimum suatu fungsi
tidak selalu berada pada titik sudut daerah penyelesaian. Seperti yang terjadi
pada penyelesaian Masalah 2.7.
Titik pembuat maksimumnya adalah titik (1
9
,
11
7
3
).
11
Namun nilai x dan
y tersebut tidak dapat ditemukan secara kontekstual. Dengan menggunakan
prinsip pembulatan bilangan, terdapat kemungkinan sebagai berikut:
i. B1(1, 7): titik tersebut berada di luar daerah penyelesaian OBA.
ii. B2(1, 8): titik tersebut berada di luar daerah penyelesaian OBA.
iii. B3(2, 7): titik tersebut berada di dalam daerah penyelesaian OBA. Pada
titik (2, 7) akan diperoleh keuntungan sebesar Rp34.500.000.
Artinya, si pedagang mengalami kekurangan sebesar Rp45.450.
iv. B4(2, 8): titik tersebut berada di luar daerah penyelesaian OBA.
MATEMATIKA
35
No.
Petunjuk Kegiatan Pembelajaran
9
3
Namun, dengan menyelidiki titik integer pada sekitar titik (1 , 7 ), ditemukan
11
11
titik pembuat maksimum fungsi tersebut, yaitu: titik (2, 7).
Dengan melalui pembahasan Masalah 2.6 dan 2.7, ajak siswa untuk mendeinisikan
garis selidik dan merumuskan langkah menentukan nilai optimum suatu fungsi
tujuan dengan metode garis selidik.
Kegiatan Penutup
a) Bersama dengan siswa menyimpulkan deinisi garis selidik dan langkahlangkah menentukan nilai optimum suatu fungsi tujuan dengan metode garis
selidik.
b) Menginformasikan materi selanjutnya, yaitu berbagai kasus dalam menentukan nilai optimum suatu fungsi tujuan.
c) Memberikan penugasan kepada siswa, yaitu mengerjakan soal Uji Kompetensi
2.2 nomor 1 hingga nomor 4.
3.
Penilaian
1.
2.
36
Prosedur Penilaian Sikap
No.
Aspek yang dinilai
Teknik Penilaian
Waktu Penilaian
1
2
Analitis
Kritis
Pengamatan
Pengamatan
Kegiatan inti
Kegiatan inti
Instrumen Pengamatan Sikap
Analitis
1. Kurang baik jika sama sekali tidak mengajukan pertanyaan-pertanyaan
menantang atau memberikan ide-ide dalam menyelesaikan masalah selama
proses pembelajaran.
2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk mengajukan pertanyaanpertanyaan menantang atau memberikan ide-ide dalam menyelesaikan
masalah selama proses pembelajaran.
3. Sangat baik jika mengajukan pertanyaan-pertanyaan menantang atau
memberikan ide-ide dalam menyelesaikan masalah selama proses
pembelajaran secara terus menerus dan ajeg/konsisten.
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Kritis
1. Kurang baik jika sama sekali tidak mengajukan pertanyaan-pertanyaan
menantang kepada guru maupun temannya selama proses pembelajaran.
2. Baik jika mengajukan pertanyaan-pertanyaan menantang kepada guru
maupun temannya selama proses pembelajaran.
3. Sangat baik jika mengajukan pertanyaan-pertanyaan menantang kepada
guru maupun temannya selama proses pembelajaran secara terus-menerus
dan ajeg/konsisten.
Berikan tanda pada kolom-kolom sesuai hasil pengamatan.
No.
Nama
Analitis
SB
B
Kritis
KB
SB
B
KB
1.
2.
3.
...
...
...
...
29.
30.
SB = Sangat Baik B = Baik KB = Kurang Baik
3.
Instrumen Penilaian Pengetahuan dan Keterampilan
Petunjuk:
1. Kerjakan soal berikut secara individu, tidak boleh menyontek dan tidak
boleh bekerja sama.
2. Pilihlah jawaban soal, kemudian jawablah pertanyaan/perintah di bawahnya.
MATEMATIKA
37
Latihan 2.3
1.
Gambarkan daerah penyelesaian untuk setiap kendala masalah program
linear berikut ini.
a) x – 4y ≤ 0; x – y ≤ 2; –2x + 3y ≤ 6; x ≤ 10
b) x + 4y ≤ 30; –5x + y ≤ 5; 6x – y ≥ 0; 5x + y ≤ 50; x – 5y ≤ 0
c) x + 4y ≤ 0; –5x + y ≤ 5; 6x – y ≥ 0; 5x + y ≤ 50; x + 5y ≤ 0
Cermati pertidaksamaan ax + by ≥ c.
Untuk menentukan daerah penyelesaian pada bidang koordinat, selain
dengan menggunakan uji titik, selidiki hubungan tanda koeisien x dan y
terhadap daerah penyelesaian (bersih) pertidaksamaan.
2.
Pedoman Penilaian Pengetahuan dan Keterampilan
No
Soal
38
Aspek Penilaian
Rubrik
Penilaian
Skor
Skor
Maksimal
1.
Ketelitian menyajikan
graik
Benar
Salah
Tidak ada jawaban
50
10
0
50
2.
Keterampilan dalam membentuk model dan menyelesaikan masalah
Benar
Salah
Tidak ada jawaban
50
10
0
50
Skor maksimal =
Skor minimal =
100
0
100
0
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
2.4 Beberapa Kasus Daerah Penyelesaian
Materi ini mendeskripsikan bahwa banyak hal mungkin terjadi dengan
mempertimbangkan daerah penyelesaian. Dengan membelajarkan ini semakin
meningkatkan cara berpikir siswa dalam kajian program linear. Perlu diingatkan
kembali, bahwa persiapan yang baik adalah kunci keberhasilan.
Sebelum Pelaksanaan Kegiatan
1. Bentuklah kelompok kecil siswa (4 – 5 orang) yang memungkinkan belajar secara
efektif .
2. Sediakan masalah-masalah yang akan diberikan kepada siswa.
3. Sediakan kertas seperlunya.
4. Sediakan tabel untuk peneliaan.
No.
1.
Petunjuk Kegiatan Pembelajaran
Kegiatan Pendahuluan
Pada kegiatan pendahuluan guru:
a) menyiapkan peserta didik secara psikis dan isik untuk mengikuti proses
pembelajaran;
b) memberi motivasi belajar siswa secara kontekstual sesuai manfaat dan
aplikasi menentukan nilai optimum dalam kehidupan sehari-hari, dengan
memberikan contoh dan perbandingan lokal, nasional, dan internasional;
c) mengajukan pertanyaan-pertanyaan yang mengaitkan pengetahuan
sebelumnya dengan materi yang akan dipelajari; Misalnya, apakah syarat
supaya suatu fungsi tujuan memiliki nilai optimum.
d) menjelaskan tujuan pembelajaran atau kompetensi dasar yang akan dicapai;
e) menyampaikan cakupan materi dan penjelasan uraian kegiatan sesuai
silabus.
MATEMATIKA
39
No.
2.
Petunjuk Kegiatan Pembelajaran
Kegiatan Inti
Ayo Kita Mengamati
a) Arahkan untuk mencermati Gambar 2.14;
y
3x + 4y ≤ 12
5
3x + 4y ≥ 24
x
–10
–5
5
–5
–10
Gambar 2.14: Sistem pertidaksamaan yang tidak memiliki daerah penyelesaian.
3 x + 4 y ≤ 12
Graik tersebut dibangun oleh sistem
3 x + 4 y ≥ 24
b)
Guru mengingatkan siswa akan syarat dua garis sejajar seperti yang telah
dipelajari pada saat SMP/MTS.
Ayo Kita Menanya
a) Arahkan siswa untuk mengajukan pertanyaan-pertanyaan yang berhubungan
dengan Gambar 2.14. Jika siswa tidak mengajukan pertanyaan, guru harus
mempersiapkan pertanyaan-pertanyaan yang akan diajukan pada siswa.
Ayo Kita Mengumpulkan Informasi
a) Siswa diarahkan menemukan hubungan perbandingan koeisien x dan y pada
sistem tersebut.
b) Bekerja sama dalam kelompok, arahkan siswa merancang suatu sistem
pertidaksamaan yang memiliki hubungan perbandingan koeisiean seperti
yang disajikan pada Gambar 2.14.
40
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
No.
Petunjuk Kegiatan Pembelajaran
Ayo Kita Mengasosiasi
a) Bersama dengan siswa, guru menyimpulkan syarat suatu sistem
pertidaksamaan tidak memiliki daerah penyelesaian. Karena tidak memiliki
daerah penyelesaian, otomatis tidak dapat ditentukan nilai optimum.
b) Arahkan siswa mengamati Gambar 2.15. Siswa ditugasi untuk menemukan
sistem pertidaksamaan yang memenuhi daerah penyelesaian seperti yang ada
pada Gambar 2.15, yaitu:
2x + y ≥ 4
2x + y ≥ 8
x ≥ 0, y ≥ 2
c) Guru memberikan pancingan agar siswa mengajukan pertanyaan-pertanyaan
kritis terkait Gambar 2.15. Misalnya berapa nilai maksimum fungsi tujuan?
Berikan alasan untuk setiap jawaban yang diberikan.
d) Arahkan siswa melalui diskusi untuk menemukan syarat suatu fungsi tujuan
memiliki nilai minimum atau nilai maksimum. Mintalah penjelasan lebih
lanjut untuk setiap jawaban setiap siswa.
e) Untuk memastikan pemahaman siswa, guru memberikan penugasan kepada
siswa untuk mendesaian suatu sistem pertidaksamaan yang memiliki nilai
maksimum atau nilai minimum saja.
f) Arahkan siswa untuk mengamati Gambar 2.16. Mintalah siswa mengumpulkan
informasi tentang syarat suatu daerah penyelesaian memiliki nilai maksimum
dan nilai minimum.
3.
F.
1.
Kegiatan Penutup
a) Bersama dengan siswa menyimpulkan syarat-syarat suatu daerah penyelesaian
belum tentu memiliki nilai maksimum dan/atau nilai minimum.
b) Menginformasikan kepada siswa bahwa kajian program linear tidak berhenti
hanya pada linear dua variabel saja.
c) Memberikan penugasan kepada siswa, yaitu mengerjarkan soal Uji Kompetensi
2.2 nomor 7, 10, dan 12.
Penilaian
Prosedur Penilaian Sikap
No.
Aspek yang dinilai
Teknik Penilaian
Waktu Penilaian
1
2
Analitis
Kritis
Pengamatan
Pengamatan
Kegiatan inti
Kegiatan inti
MATEMATIKA
41
2.
Instrumen Pengamatan Sikap
Analitis
1. Kurang baik jika sama sekali tidak mengajukan pertanyaan-pertanyaan
menantang atau memberikan ide-ide dalam menyelesaikan masalah selama
proses pembelajaran.
2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk mengajukan pertanyaanpertanyaan menantang atau memberikan ide-ide dalam menyelesaikan
masalah selama proses pembelajaran.
3. Sangat baik jika mengajukan pertanyaan-pertanyaan menantang atau
memberikan ide-ide dalam menyelesaikan masalah selama proses
pembelajaran. secara terus menerus dan ajeg/konsisten.
Kritis
1. Kurang baik jika sama sekali tidak mengajukan pertanyaan-pertanyaan
menantang kepada guru maupun temannya selama proses pembelajaran.
2. Baik jika mengajukan pertanyaan-pertanyaan menantang kepada guru
maupun temannya selama proses pembelajaran.
3. Sangat baik jika mengajukan pertanyaan-pertanyaan menantang kepada
guru maupun temannya selama proses pembelajaran secara terus menerus
dan ajeg/konsisten.
Berikan tanda pada kolom-kolom sesuai hasil pengamatan.
No.
Analitis
Nama
SB
1.
2.
3.
...
...
...
...
29.
30.
SB = Sangat Baik B = Baik
42
KB = Kurang Baik
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
B
Kritis
KB
SB
B
KB
3.
Instrumen Penilaian Pengetahuan dan Keterampilan
Petunjuk:
1. Kerjakan soal berikut secara individu, tidak boleh menyontek dan tidak
boleh bekerja sama.
2. Pilihlah jawaban soal kemudian jawablah pertanyaan/perintah di bawahnya.
Latihan 2.4
1.
2.
Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk 48 kursi. Setiap penumpang
kelas utama boleh membawa bagasi maksimum 60 kilogram sedangkan
kelas ekonomi maksimum 20 kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi
maksimum 1440 kg. Harga tiket kelas utama Rp150.000,00 dan kelas
ekonomi Rp100.000,00. Supaya pendapatan dari penjualan tiket pada saat
pesawat penuh mencapai maksimum, tentukan jumlah tempat duduk kelas
utama. (UMPTN Tahun 2000 Rayon A).
Tentukan titik yang mengakibatkan fungsi linear f(x, y) = 2x – y – 4 bernilai
optimum (maksimum atau minimum) jika daerah asal dibatasi sebagai
berikut –1 ≤ x ≤ 1; –1 ≤ y ≤ 1. (Periksa nilai fungsi di beberapa titik daerah
asal dan periksa bahwa nilai optimum tercapai pada suatu titik sudut daerah
asal).
MATEMATIKA
43
Pedoman Penilaian
No
Soal
Aspek Penilaian
Rubrik
Penilaian
Skor
1.
Keterampilan dalam membentuk model dan menyelesaikan masalah
Benar
Salah
Tidak ada jawaban
50
10
0
50
2.
Ketelitian menyajikan
graik
Benar
Salah
Tidak ada jawaban
50
10
0
50
Skor maksimal =
Skor minimal =
100
0
100
0
G.
Skor
Maksimal
Pengayaan
Pengayaan merupakan kegiatan yang diberikan kepada siswa yang memiliki
akselerasi pencapaian KD yang cepat (nilai maksimal) agar potensinya berkembang
optimal dengan memanfaatkan sisa waktu yang dimilikinya. Guru sebaiknya
merancang kegiatan pembelajaran lanjut yang terkait dengan program linear.
H.
Remedial
Pembelajaran remedial pada hakikatnya adalah pemberian bantuan bagi peserta
didik yang mengalami kesulitan atau kelambatan belajar. Pembelajaran remedial
adalah tindakan perbaikan pembelajaran yang diberikan kepada peserta didik yang
belum mencapai kompetensi minimalnya dalam satu kompetensi dasar tertentu.
Perlu dipahami oleh guru, bahwa remedial bukan mengulang tes (ulangan harian)
dengan materi yang sama, tetapi guru memberikan perbaikan pembelajaran pada KD
yang belum dikuasai oleh peserta didik melalui upaya tertentu. Setelah perbaikan
pembelajaran dilakukan, guru melakukan tes untuk mengetahui apakah peserta didik
telah memenuhi kompetensi minimal dari KD yang diremedialkan.
44
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
I.
Kegiatan Proyek
Sehubungan dengan kegiatan proyek pada buku siswa, maka hal-hal yang perlu
dilakukan oleh guru adalah sebagai berikut.
Sebelum Pelaksanaan Kegiatan
1. Sediakan bahan-bahan yang dibutuhkan untuk kegiatan proyek kali ini, seperti bukubuku teks pelajaran atau pojok pustaka atau bahkan fasilitas internet.
2. Sediakan kertas HVS atau kertas asturo atau lainnya.
3. Bentuklah siswa dalam beberapa kelompok untuk membagi tugas dalam menjalankan
tugasnya.
4. Guru membimbing siswa dalam menyusun langkah-langkah pelaksanaan proyek.
5. Selain itu, guru harus merancang bagaimana penilaian proyek hasil kerja siswa.
Soal Proyek
Setiap manusia memiliki keterbatasan akan tenaga, waktu, dan tempat.
Misalnya, dalam aktivitas belajar yang kamu lakukan setiap hari tentu kamu
memiliki keterbatasan dengan waktu belajar di rumah, serta waktu yang kamu
perlukan untuk membantu orang tuamu. Di sisi lain, kamu juga membutuhkan
waktu yang cukup untuk istirahat setelah kamu melakukan aktivitas belajar
dan aktivitas membantu orang tua.
Dengan kondisi tersebut, rumuskan model matematika untuk masalah
waktu yang kamu perlukan setiap hari, hingga kamu dapat mengetahui waktu
istirahat yang kamu peroleh setiap hari (minggu).
Selesaikan proyek di atas dalam waktu satu minggu.
Susun hasil kinerja dalam suatu laporan, sehingga kamu, temanmu, dan
gurumu dapat memahami dengan jelas.
MATEMATIKA
45
J.
Rangkuman
Beberapa hal penting yang perlu dirangkum terkait dengan konsep program
linear.
1. Konsep program linear didasari oleh konsep persamaan dan pertidaksamaan
bilangan real, sehingga sifat-sifat persamaan linear dan pertidaksamaan
linear dalam sistem bilangan real banyak digunakan sebagai pedoman dalam
menyelesaikan suatu masalah program linear.
2. Model matematika merupakan cara untuk menyelesaikan masalah kontekstual.
Pembentukan model tersebut dilandasi oleh konsep berpikir logis dan kemampuan
bernalar keadaan masalah nyata ke bentuk matematika.
3. Model matematika dari suatu masalah yang dinyatakan bentuk pertidaksamaan
atau sistem pertidaksamaan dan/atau persamaan merupakan kendala suatu
masalah program linear.
4. Pasangan-pasangan (x, y) disebut sebagai penyelesaian pada masalah suatu
program linear jika memenuhi setiap pertidaksamaan yang terdapat pada kendala
program linear.
5. Fungsi tujuan atau juga disebut fungsi sasaran atau fungsi objektif merupakan
tujuan suatu masalah program linear, yang juga terkait dengan sistem
pertidaksamaan program linear.
6. Suatu fungsi objektif (merupakan fungsi linear) terdefinisi pada daerah
penyelesaian suatu masalah program linear. Fungsi objektif memiliki nilai jika
sistem kendala memiliki daerah penyelesaian.
7. Garis selidik merupakan salah satu cara untuk menentukan nilai objektif suatu
fungsi tujuan masalah program linear dua variabel. Garis selidik ini merupakan
persamaan garis fungi tujuan, ax + by = k, yang digeser di sepanjang daerah
penyelesaian untuk menentukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi
tujuan masalah program linear.
46
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
BAB
3
Matriks
A. Kompetensi Inti
Sikap
1. Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.
2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung
jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun,
responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian
dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara
efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.
Pengetahuan
3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu
pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan
wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan
pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesiik sesuai
dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
Keterampilan
4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah
abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya
di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metode
sesuai kaidah keilmuan.
B. Kompetensi Dasar dan Indikator
Indikator Pencapaian Kompetensi pada kegiatan pembelajaran dapat dikembangkan oleh guru yang disesuaikan dari kondisi peserta didik dan lingkungan di
tempat guru mengajar.
MATEMATIKA
47
Berikut ini dipaparkan contoh Indikator Pencapaian Kompetensi yang dapat
dijabarkan dari KD pengetahuan 3.3-3.4 dan KD Keterampilan 4.3-4.4.
Kompetensi Dasar
Indikator Pencapaian Kompetensi
3.3 Menjelaskan matriks dan kesamaan matriks dengan menggunakan masalah kontekstual dan
melakukan operasi pada matriks
yang meliputi penjumlahan,
pengurangan, perkalian skalar,
dan perkalian, serta transpos.
3.4 Menganalisis sifat-sifat determinan dan invers matriks berordo
2 × 2 dan 3 × 3.
4.3 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan
matriks dan operasinya.
3.3.1 Mendeiniskan matriks.
3.3.2 Menunjukkan konsep kesamaan
matriks.
3.3.3 Memahami operasi-operasi pada
matriks.
3.4.1 Menyatakan determinan matriks.
3.4.2 Menyatakan invers matriks.
4.3.1 Menyajikan model matematika
dari suatu masalah nyata yang
berkaitan dengan matriks dan
menyatakan konsep kesamaan
matriks.
4.3.2 Menyatakan operasi-operasi
matriks.
4.4 Menyelesaikan masalah yang 4.4.1 Menyajikan model matematika
berkaitan dengan determinan
dari suatu masalah nyata yang
dan invers matriks berordo 2 ×
berkaitan dengan determinan
2 dan 3 × 3.
matriks.
4.4.2 Menyajikan model matematika
dari suatu masalah nyata yang
berkaitan dengan invers matriks.
C. Tujuan Pembelajaran
Pembelajaran materi matriks melalui pengamatan, tanya jawab, penugasan individu dan kelompok, diskusi kelompok, dan penemuan (dicovery) diharapkan siswa
dapat:
1. Melatih sikap sosial berani bertanya, berpendapat, mau mendengar orang lain,
bekerja sama dalam diskusi di kelompok sehingga terbiasa berani bertanya,
berpendapat, mau mendengar orang lain, bekerja sama dalam aktivitas seharihari.
2. Menunjukkan ingin tahu selama mengikuti proses.
48
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
3.
4.
5.
Bertanggung jawab terhadap kelompoknya dalam menyelesaikan tugasnya.
Menjelaskan pengertian matriks.
Menjelaskan dengan kata-kata dan menyatakan masalah dalam sehari-hari yang
berkaitan dengan matriks.
6. Menunjukkan konsep kesamaan matriks.
7. Memahami operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian matriks dengan
bilangan skalar dan perkalian, serta transpos matriks.
8. Menyajikan determinan matriks.
9. Menyajikan invers matriks.
10. Menyajikan model matematika berkaitan dengan determinan dan invers matriks.
D. Diagram Alir
Materi
Prasyarat
Sistem Persamaan
Linear
Masalah
Autentik
MATRIKS
Syarat
JENIS
MATRIKS
Relasi
Operasi
UnsurUnsur
Elemen
Baris
Elemen
Kolom
Matriks
Kofaktor
Determinan
• Kolom
• Baris
• Persegi
Panjang
• Persegi
• Segitiga
• Diagonal
•
•
•
•
Kesamaan
Matriks
Penjumlahan
Pengurangan
Perkalian
Transpos
Matriks
Adjoint
Invers
Matriks
MATEMATIKA
49
E. Proses Pembelajaran
3.1 Membangun Konsep Matriks
Sebelum Pelaksanaan Kegiatan
1. Siswa diharapkan sudah membawa perlengkapan alat-alat tulis untuk pembelajaran.
2. Bentuklah kelompok kecil siswa yang memungkinkan belajar secara efektif
dan eisien.
3. Sediakan tabel-tabel yang diperlukan bagi siswa untuk mengisikan hasil
kerjanya pada tiap kegiatan yang dilaksanakan.
No.
Deskripsi Kegiatan
1. Kegiatan Pendahuluan
• Pembelajaran dimulai dengan Salam dan Doa
•
2.
50
Apersepsi
1. Para siswa diperkenalkan dengan informasi berbagai bentuk baik
tabel, jadwal transportasi, susunan benda, dan susunan angka.
2. Informasikan kepada siswa bahwa informasi seperti jadwal,
susunan barang, dan susunan angka pada tabel dapat dibentuk
menjadi beberapa susunan angka yang sederhana.
3. Berilah kesempatan kepada siswa untuk memikirkan bentuk
susunan angka yang dibentuk.
4. Kemudian ajaklah siswa untuk memahami salah satu bentuk yang
dapat dibuat seperti yang telah diuraikan pada buku siswa.
5. Berdasarkan masalah dan kegiatan yang diberikan pada buku
siswa, instruksikan siswa agar mampu menemukan konsep matriks.
6. Berilah penilaian kepada siswa yang sedang melakukan aktivitas
membuat susunan matriks.
Kegiatan Inti
Pengantar Pembelajaran
• Tumbuhkan motivasi internal dalam diri siswa melalui menunjukkan
manfaat mempelajari matriks dalam kehidupan.
• Ajaklah siswa untuk memperhatikan dan memahami masalah pada buku
siswa.
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Mengamati
• Arahkan siswa menemukan matriks dari berbagai situasi nyata yang
dekat dengan kehidupan siswa.
• Guru memberikan kesempatan siswa untuk mengamati Masalah 3.1; 3.2
yaitu:
Masalah 3.1
Seorang wisatawan lokal hendak berlibur ke beberapa tempat wisata
yang ada di pulau Jawa. Untuk memaksimalkan waktu liburan, dia
mencatat jarak antar kota-kota tersebut sebagai berikut.
Bandung–Semarang
367 km
Semarang–Yogyakarta 115 km
Bandung–Yogyakarta
428 km
Tentukanlah susunan jarak antar kota tujuan wisata, seandainya
wisatawan tersebut memulai perjalanannya dari Bandung! Kemudian
berikan makna setiap angka dalam susunan tersebut.
Masalah 3.2
Manager supermarket ingin menata koleksi barang yang tersedia.
Ubahlah bentuk susunan barang di supermarket di bawah ini menjadi
matriks dan tentukan elemen-elemennya.
KOLEKSI
Roti dan
Biskuit
20 (item)
KOLEKSI
Permen dan
Coklat
14 (item)
KOLEKSI
Sabun
18 (item)
KOLEKSI
Sampo dan
Pasta Gigi
12 (item)
KOLEKSI
Detergen
8 (item)
KOLEKSI
Minyak
Goreng
22 (item)
KOLEKSI
Beras dan
Tepung
6 (item)
KOLEKSI
Bumbu
17 (item)
KOLEKSI
Susu
10 (item)
Gambar 3. 2: Susunan barang pada rak supermarket
MATEMATIKA
51
Menanya
• Siswa diupayakan untuk bertanya tentang hubungan susunan benda
ataupun angka terhadap konsep matriks.
• Guru memastikan kelompok dapat bekerja sama dalam merumuskan
konsep yang akan dicapai dengan melemparkan ataupun merangsang
siswa untuk bertanya.
Menalar
• Untuk mendapatkan penalaran terhadap konsep matriks, guru memberikan kesempatan siswa untuk melakukan Kegiatan 3.1, yaitu:
Kegiatan 3.1
1. Bentuklah kelompok yang masing-masing beranggotakan 3-4 orang.
2. Wawancaralah setiap anggota kelompok untuk mendapatkan informasi nilai siswa terhadap tiga mata pelajaran yang diminatinya.
3. Sajikan data yang diperoleh dalam bentuk tabel seperti di bawah ini.
4. Sajikan pula data tersebut dalam bentuk matriks dan jelaskan.
Nilai Siswa
Pelajaran X Pelajaran Y Pelajaran Z
Nama Siswa
Siswa A
....
....
....
Siswa B
....
....
....
Siswa C
....
....
....
3.
52
Mengomunikasikan
• Mintalah siswa untuk berbagi hasil diskusi ke teman sebangku dan
pastikan teman yang menerima hasil karya tersebut memahami apa
yang harus dilakukan.
• Guru memberikan kesempatan siswa untuk dapat menyatakan sendiri
konsep matriks dengan bahasa dan penyampaiannya sendiri.
• Guru memastikan siswa dapat menjelaskan jenis-jenis matriks.
• Guru memastikan siswa dapat memahami konsep kesamaan matriks.
Kegiatan Penutup
• Periksalah apakah semua kelompok sudah mengumpulkan tugas dan
apakah identitas kelompok sudah jelas.
• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan
menggunakan rubrik penilaian.
• Guru sebaiknya hanya mengonirmasi akan kebenaran konsep matriks
yang diperoleh siswa.
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
3.2 Jenis-Jenis Matriks
No.
Deskripsi Kegiatan
1. Kegiatan Pendahuluan
• Pembelajaran dimulai dengan salam dan doa.
• Tumbuhkan motivasi internal dalam diri siswa melalui menunjukkan
manfaat mempelajari matriks dalam kehidupan siswa.
2.
Kegiatan Inti
Mengamati
• Ajaklah siswa untuk memperhatikan dan memahami contoh 3.1.
• Arahkan siswa menemukan bentuk-bentuk matriks dari contoh 3.1.
Contoh 3.1
Teguh, siswa kelas IX SMA Panca Budi, akan menyusun anggota keluarganya berdasarkan umur dalam bentuk matriks. Dia memiliki Ayah, Ibu,
berturut-turut berumur 46 tahun dan 43 tahun. Selain itu dia juga memiliki
kakak dan adik, secara berurut, Ningrum (22 tahun), Sekar (19 tahun), dan
Wahyu (12 tahun). Dia sendiri berumur 14 tahun.
Berbekal dengan materi yang dia pelajari di sekolah dan kesungguhan dia
dalam berlatih, dia mampu mengkreasikan susunan matriks, yang merepresentasikan umur anggota keluarga Teguh, sebagai berikut (berdasarkan
urutan umur dalam keluarga Teguh).
Menanya
• Siswa diupayakan untuk bertanya tentang bentuk matriks alternatif
lainnya yang dikembangkan dari contoh 3.1.
Menalar
• Untuk mendapatkan penalaran terhadap jenis-jenis matriks, guru memberikan kesempatan siswa untuk membentuk matriks lainnya.
• Berikan bentuk matriks lain untuk mendapatkan hubungan antar matriks.
Mengomunikasikan
• Mintalah siswa untuk berbagi hasil diskusi ke teman sebangku.
• Guru memberikan kesempatan siswa untuk dapat menyatakan sendiri
jenis-jenis matriks dengan bahasa dan penyampaiannya sendiri.
• Guru memastikan siswa dapat menjelaskan jenis-jenis matriks.
• Guru memastikan siswa dapat memahami konsep kesamaan matriks.
MATEMATIKA
53
3.
Kegiatan Penutup
• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan
menggunakan rubrik penilaian.
• Guru sebaiknya hanya mengkonirmasi akan kebenaran konsep matriks
yang diperoleh siswa.
3.3 Kesamaan Matriks
No.
Deskripsi Kegiatan
1. Kegiatan Pendahuluan
• Pembelajaran dimulai dengan salam dan doa.
• Tumbuhkan motivasi internal dalam diri siswa melalui menunjukkan
manfaat mempelajari matriks dalam kehidupan siswa.
2. Kegiatan Inti
Mengamati
• Berikan siswabentuk-bentuk matriks.
Menanya
• Siswa diupayakan untuk bertanya tentang bentuk matriks yang sama.
Menalar
• Untuk mendapatkan penalaran terhadap jenis-jenis matriks, guru memberikan kesempatan siswa untuk membentuk matriks lainnya.
• Berikan bentuk matriks lain untuk mendapatkan hubungan antarmatriks
dengan memberikan contoh 3.2, yaitu:
CONTOH 3.2
Tentukan nilai a, b, c, dan d yang memenuhi matriks Pt= Q, dengan
2a – 4
3b
P = d + 2a 2c dan Q =
4
7
b–5
3
3a – c 4
6
7
Mengomunikasikan
• Mintalah siswa untuk berbagi hasil diskusi pada teman sebangku.
• Guru memberikan kesempatan siswa untuk dapat menyatakan sendiri
jenis-jenis matriks dengan bahasa dan penyampaiannya sendiri.
• Guru memastikan siswa dapat memahami konsep kesamaan matriks.
54
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
3.
Kegiatan Penutup
• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan
menggunakan rubrik penilaian.
• Guru sebaiknya hanya mengonirmasi akan kebenaran konsep matriks
yang diperoleh siswa.
Penilaian
1. Prosedur Penilaian:
No
1.
2.
3.
2.
Aspek yang dinilai
Bekerja sama
Tanggung jawab
Konsep
Teknik Penilaian Waktu Penilaian
Pengamatan
Pengamatan
Tes tertulis
Kegiatan Inti
Kegiatan Inti
Kegiatan penutup
Instrumen Pengamatan
Indikator perkembangan sikap bekerja sama:
1. Kurang baik jika sama sekali tidak mau bekerja sama dalam proses pembelajaran.
2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha mau bekerja sama dalam proses
pembelajaran.
3. Sangat baik jika menunjukkan adanya kerja sama dalam proses pembelajaran
secara terus menerus dan konsisten.
Indikator perkembangan sikap tanggung jawab (dalam kelompok)
1. Kurang baik jika menunjukkan sama sekali tidak ambil bagian dalam melaksanakan tugas kelompok.
2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha ambil bagian dalam melaksanakan
tugas kelompok tetapi belum konsisten.
3. Sangat baik jika menunjukkan sudah ambil bagian dalam menyelesaikan tugas
kelompok secara terus menerus dan konsisten.
Bubuhkan tanda √ pada kolom-kolom sesuai hasil pengamatan.
No.
Nama
Bekerja Sama
SB
B
KB
Tanggung Jawab
SB
B
KB
1.
MATEMATIKA
55
No.
Bekerja Sama
Nama
SB
B
Tanggung Jawab
KB
SB
B
KB
2.
3.
...
29
30
SB = Sangat Baik
3.
B = Baik
KB = Kurang Baik
Instrumen Penilaian Pengetahuan dan Keterampilan:
Petunjuk:
a. Kerjakan soal berikut secara individu, dilarang bekerja sama dan dilarang
menyontek.
b. Selesaikanlah soal-soal berikut ini.
Soal:
1) Buatlah matriks yang terdiri dari 5 baris dan 3 kolom, dengan elemennya
adalah 15 bilangan prima yang pertama.
2) Untuk matriks-matriks berikut, tentukan pasangan-pasangan matriks
yang sama.
a
b
c
A= d e f ,
2
1
B= 0 2 ,
3
4
2
0
3
C= 1 2 4
t
,
p
q
r
D= s t u
Pedoman Penilaian Pengetahuan dan Keterampilan
No. Soal
1.
56
Aspek Penilaian
Keterampilan
membentuk model
dan menyelesaikan
masalah
Rubrik Penilaian
Skor
Skor Maksimal
Dijawab benar
25
25
Dijawab salah
5
Tidak ada jawaban
0
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
No. Soal
2.
Aspek Penilaian
Ketelitian dalam
konsep
Rubrik Penilaian
Skor
Skor Maksimal
Dijawab benar
20
25
Dijawab salah
5
Tidak ada jawaban
0
Skor maksimal =
50
50
Skor minimal =
0
0
3.4 Operasi pada Matriks
Sebelum Pelaksanaan Kegiatan
1. Pastikan siswa sudah paham dengan konsep matriks dan elemen matriks.
2. Berikan motivasi pada siswa akan pentingnya belajar operasi matriks.
3. Pilih dan rancang masalah sederhana untuk membelajarkan operasi matriks.
No.
Deskripsi Kegiatan
1. Kegiatan Pendahuluan
• Apersepsi
2. Kegiatan Inti
Pengantar Pembelajaran
• Tumbuhkan motivasi internal dalam diri siswa dengan memaparkan
manfaat mempelajari operasi matriks dalam kehidupan siswa.
• Ajaklah siswa untuk memperhatikan dan memahami masalah pada buku
siswa.
• Himbaulah siswa untuk memperhatikan masalah yang ada di sekitarnya
yang dapat dimodelkan dalam bentuk matriks.
Mengamati
• Arahkan siswa mengamati setiap masalah-masalah yang berkaitan pada
tiap-tiap operasi matriks, yaitu:
MATEMATIKA
57
1.
Penjumlahan
Masalah 3.3
Toko kue berkonsep waralaba ingin mengembangkan usaha di dua
kota yang berbeda. Manager produksi ingin mendapatkan data biaya
untuk masing-masing kue seperti pada tabel berikut:
Tabel Biaya Toko di Kota A (dalam Rp)
Bahan kue
Juru masak/Chef
Bika Ambon
1.200.000
3.000.000
Brownies
1.000.000
2.000.000
Tabel Biaya Toko di Kota B (dalam Rp)
Bahan kue
Juru masak/chef
2.
Berapa total biaya yang diperlukan oleh kedua toko kue?
Pengurangan
Masalah 3.4
Sebuah pabrik tekstil hendak menyusun tabel aktiva mesin dan
penyusutan mesin selama 1 tahun yang dinilai sama dengan 10%
dari harga perolehan sebagai berikut.
Harga
perolehan (Rp)
25.000.000
65.000.000
48.000.000
Jenis
Aktiva
Mesin A
Mesin B
Mesin C
3.
Harga baku
(Rp)
Penyusutan
tahun I (Rp)
2.500.000
6.500.000
4.800.000
Operasi Perkalian Skalar pada Matriks
Contoh 3.5
2
a)
3
2×2
2×3
4
6
Jika H = 4 5 , maka 2.H = 2 × 4 2 × 5 = 8 10 .
1
58
Bika Ambon
1.700.000
3.500.000
Brownies
1.500.000
3.000.000
2
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
2×1
2×2
2
4
b)
Jika L =
4
= 0
1
c)
12 30
0 24
3 –3
10
8
–1
5
6
–4
12
15
18
–12
=
24
=
1 × 12 1 × 24
4
4
1 × 48 1 × 60
4
4
3
6
= 12 15
9
18
3
.
Jika M = 48 60
1M + 3M
4
4
, maka 1 .L =
1
1
1
× 12
× 30
× 15
3
3
3
1
1
1
×0
× 24
× 18
3
3
3
1
1
1
×3
× (–3) × (–12)
3
3
3
36
72
, maka
1 × 36
4
1 × 72
4
9
18
+ 36 45
+
27
54
3 × 12
4
3 × 48
4
12
3 × 24
4
3 × 60
4
24
= 48 60
36
72
3 × 36
4
3 × 72
4
= M.
4. Operasi Perkalian Dua Matriks
Masalah 3.5
Suatu perusahaan yang bergerak pada bidang jasa akan membuka
tiga cabang besar di pulau Sumatera, yaitu cabang 1 di kota Palembang,
cabang 2 di kota Padang, dan cabang 3 di kota Pekanbaru. Untuk itu,
diperlukan beberapa peralatan untuk membantu kelancaran usaha
jasa tersebut, yaitu handphone, komputer, dan sepeda motor. Di sisi
lain, pihak perusahaan mempertimbangkan harga per satuan peralatan
tersebut. Lengkapnya, rincian data tersebut disajikan sebagai berikut.
Handphone Komputer Sepeda
Motor
(unit)
(unit)
(unit)
Cabang 1
7
8
3
Cabang 2
5
6
2
Cabang 3
4
5
2
Harga Handphone (juta)
Harga Komputer (juta)
Harga Sepeda Motor (juta)
2
5
15
MATEMATIKA
59
Perusahaan ingin mengetahui total biaya pengadaan peralatan tersebut
di setiap cabang.
Guru memberikan kesempatan siswa untuk merancang model matriks
dari setiap permasalahan yang ada.
5.
Tranpos Matriks
Contoh 3.7
a)
15
5
15 30
25
Jika A = 30 25 , maka Aʹ = 5
10 20 14
b)
Jika S = 18 12 8 , maka transpos matriks S,
22
6
17
10 18 22
adalah Sʹ = 20 12 6 .
14
Jika C =
•
8
17
1
0
5
3
1
14
2
3
14
9
4
2
0
9
5
7
2
5
8
6
5
4
8
12
3
7
12
4
3
2
6
4
, maka Ct =
.
Berilah kesempatan kepada siswa untuk mendiskusikan penyelesaian
sederhana dari tiap operasi matriks tersebut.
Menanya
• Siswa diupayakan untuk bertanya tentang solusi alternatif yang dapat
ditemukan.
• Guru memastikan kelompok dapat bekerja sama dalam merumuskan
konsep yang akan dicapai dengan melemparkan ataupun merangsang
siswa untuk bertanya.
Menalar
• Ajaklah siswa untuk mendiskusikan permasalahan yang terdapat
pada setiap buku siswa sehingga diperoleh solusi-solusi untuk
mengoperasikan matriks.
• Berikan contoh-contoh pada tiap-tiap operasi untuk lebih memahami
tiap operasi matriks.
60
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Mengomunikasikan
•
3.
Mintalah siswa untuk sharing hasil karyanya pada teman dan pastikan
semua siswa memahami proses dalam operasi matriks.
• Guru memberikan kesempatan kepada siswa untuk dapat menyatakan
sendiri proses operasi matriks dengan bahasa dan penyampaiannya
sendiri.
• Guru memastikan siswa dapat menjelaskan jenis-jenis operasi matriks.
• Guru memastikan siswa dapat memahami mana saja matriks yang tidak
dapat dioperasikan.
Kegiatan Penutup
• Mintalah siswa untuk melakukan releksi dan menuliskan hal penting
dari yang dipelajarinya.
• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan
menggunakan rubrik penilaian.
• Jika dipandang perlu, berilah siswa latihan untuk dikerjakan di rumah.
Penilaian
1. Prosedur Penilaian:
No
1.
2.
3.
2.
Aspek yang dinilai
Berpikir Logis
Kritis
Konsep
Teknik Penilaian
Pengamatan
Pengamatan
Tes tertulis
Waktu Penilaian
Kegiatan inti
Kegiatan inti
Kegiatan penutup
Instrumen Pengamatan Sikap:
Berpikir Logis
1. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha mengajukan ide-ide logis dalam
proses pembelajaran.
2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk mengajukan ide-ide logis
dalam proses pembelajaran.
3. Sangat baik jika mengajukan ide-ide logis dalam proses pembelajaran dalam
proses pembelajaran secara terus menerus dan ajeg/konsisten.
MATEMATIKA
61
Kritis
1. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha mengajukan ide-ide logis
dengan kritis atau pertanyaan menantang dalam proses pembelajaran.
2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk mengajukan ide-ide logis
dengan kritis atau pertanyaan menantang dalam proses pembelajaran.
3. Sangat baik jika mengajukan ide-ide logis dengan kritis atau pertanyaan
menantang dalam proses pembelajaran secara terus menerus dan ajeg/
konsisten.
Bubuhkan tanda √ pada kolom-kolom sesuai hasil pengamatan.
No.
Berpikir
Nama
SB
B
Tanggung jawab
KB
SB
B
KB
1.
2.
3.
...
30
SB = Sangat Baik
3.
B = Baik
KB = Kurang Baik
Instrumen Penilaian Pengetahuan dan Keterampilan:
Petunjuk:
a. Kerjakan soal berikut secara individu, dilarang bekerja sama dan dilarang
menyontek.
b. Selesaikanlah soal-soal berikut ini:
Soal:
p + 2 2 p
6 4 8
1) Hasil penjumlahan matriks 3 5 + 6 q + 3 =
. Tentukan nilai p
9 5
dan q!
2
–2 –1 0
2) Diketahui matriks-matriks A = 2 3 5 , B = 4 , C = 3 2 1 ,
D=
62
2 3
5 4
1 2
t
dan F = [ 2 4 6] .
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
t
6
Dari semua matriks di atas, pasangan matriks manakah yang dapat
dijumlahkan dan dikurangkan. Kemudian selesaikanlah!
3
2 3
3
5 7
3) Jika A = 2 4 6 , B = –4 10 9 , dan X suatu matriks berordo 2 × 3
serta memenuhi persamaan A + X = B.
Tentukan matriks X!
4) Tentukanlah hasil perkalian matriks-matriks berikut!
a.
–2 3
–1 –4
0 5
b.
4
8
c.
d.
.15
2 6
8 10
–1
. 0
2
–3 0 2
4 2 1
0 1 –2
. 0 1 0
1
0
0
. 3 5 6
0 0
1 0
0 1
1
0 0
0
0 1
1
2 3
1
3 2
1
2
3
5) Diketahui matriks G = 2 4 6 , dan lima matriks yang dapat dipilih
untuk dikalikan terhadap matriks G, yaitu:
1 0 0
3
H = 1 0 1 , I = 0 1 0 , J = 0 , K = 2 4 5 , dan L = Gt .
4 4 2
0
0 1
1
Matriks yang manakah dapat dikalikan terhadap matriks G? Kemudian
tentukan hasilnya!
Pedoman Penilaian
No. Soal
Aspek Penilaian
1.
Keterampilan
menghitung
Skor
Skor
Maksimal
Dijawab benar
20
20
Dijawab Salah
5
Tidak ada jawaban
0
Rubrik Penilaian
MATEMATIKA
63
No. Soal
Aspek Penilaian
2.
Pemahaman konsep
3.
4.
5.
Keterampilan
dan ketelitian
menghitung
Keterampilan
dan ketelitian
menghitung
Pemahaman konsep
Skor
Skor
Maksimal
Dijawab benar
20
20
Dijawab Salah
5
Tidak ada jawaban
0
Dijawab benar
20
Dijawab Salah
10
Tidak ada jawaban
0
Dijawab benar
20
Dijawab Salah
10
Tidak ada jawaban
0
Dijawab benar
20
Dijawab salah
10
Tidak ada jawaban
0
Rubrik Penilaian
20
20
20
Skor maksimal =
100
100
Skor minimal =
0
0
3.5 Determinan dan Invers Matriks
Sebelum Pelaksanaan Kegiatan
1. Pastikan siswa sudah paham dengan konsep matriks dan elemen matriks
serta operasi matriks sebagai prasyarat, kemudian siswa juga dapat
memahami determinan dan invers matriks.
2. Berikan motivasi pada siswa akan pentingnya belajar determinan dan invers
matriks.
3. Pilih dan rancang masalah sederhana untuk membelajarkan determinan dan
invers matriks.
64
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
No.
Deskripsi Kegiatan
1. Kegiatan Pendahuluan
• Apersepsi
a. Memberi motivasi pentingnya materi ini.
b. Memberi informasi tentang kompetensi yang akan dicapai.
2.
Kegiatan Inti
Sebelum melakukan kegiatan inti sebaiknya guru:
• Mengingatkan kembali tentang pengertian matriks dan elemen matriks.
• Mengingatkan kembali tentang operasi penjumlahan, pengurangan,
perkalian, dan transpos matriks.
• Ajak siswa untuk mengamati dan mendiskusikan beberapa contoh dan
masalah yang diberikan.
Mengamati
• Arahkan siswa siswa mengamati setiap masalah-masalah pada buku
siswa yang berkaitan dengan determinan dan invers matriks, seperti:
1.
Determinan
Masalah 3.6
Siti dan teman-temannya makan disebuah warung. Mereka memesan
3 ayam penyet dan 2 gelas es jeruk di kantin sekolahnya. Tak lama
kemudian, Beni dan teman-temannya datang memesan 5 porsi ayam
penyet dan 3 gelas es jeruk. Siti menantang Amir menentukan harga
satu porsi ayam penyet dan harga es jeruk per gelas, jika Siti harus
membayar Rp.70.000,00 untuk semua pesanannya dan Beni harus
membayar Rp.115.000,00 untuk semua pesanannya.
Masalah 3.7
Sebuah perusahaan penerbangan menawarkan perjalanan wisata ke
negara A, perusahaan tersebut mempunyai tiga jenis pesawat yaitu
Airbus 100, Airbus 200, dan Airbus 300. Setiap pesawat dilengkapi
dengan kursi penumpang untuk kelas turis, ekonomi, dan VIP.
MATEMATIKA
65
Jumlah kursi penumpang dari tiga jenis pesawat tersebut disajikan
pada tabel berikut.
Kategori
Kelas Turis
Kelas Ekonomi
Kelas VIP
Airbus 100
50
30
32
Airbus 200 Airbus 300
75
40
45
25
50
30
Perusahaan telah mendaftar jumlah penumpang yang mengikuti
perjalanan wisata ke negara A seperti pada tabel berikut.
Kategori
Jumlah Penumpang
Kelas Turis
305
Kelas Ekonomi
185
Kelas VIP
206
Berapa banyak pesawat yang harus dipersiapkan untuk perjalanan
tersebut?
•
Guru memberikan kesempatan siswa untuk merancang model
determinan matriks dari setiap permasalahan yang ada.
• Berilah kesempatan kepada siswa untuk mendiskusikan penyelesaian
sederhana dari model determinan matriks tersebut.
Menanya
• Siswa diupayakan untuk bertanya tentang solusi alternatif yang dapat
ditemukan.
• Guru memastikan kelompok dapat bekerja sama dalam merumuskan
konsep yang akan dicapai dengan melemparkan ataupun merangsang
siswa untuk bertanya.
Menalar
• Ajaklah siswa untuk mendiskusikan permasalahan yang terdapat pada
setiap buku siswa sehingga diperoleh penyelesaian yang berkaitan
dengan determinan matriks.
Mengomunikasikan
• Mintalah siswa untuk berbagi hasil karyanya pada teman dan pastikan
semua siswa memahami prosedur penyelesaian determinan matriks.
• Guru memberikan kesempatan siswa untuk dapat menyelesaikan
masalah yang berkaitan dengan matriks.
66
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
•
3.
Guru memastikan siswa menemukan solusi-solusi alternatif dari
aplikasi matriks.
Kegiatan Penutup
• Mintalah siswa untuk melakukan releksi dan menuliskan hal penting
dari yang dipelajarinya.
• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan
menggunakan rubrik penilaian.
• Jika dipandang perlu, berilah siswa Uji Kompetensi 3.2 untuk dikerjakan
di rumah.
• Doa dan salam.
Penilaian
1. Prosedur Penilaian:
No
2.
Aspek yang dinilai
Teknik Penilaian
1.
Logis
Pengamatan
2.
Kreatif
Pengamatan
3.
Pemahaman Konsep
Tes Tertulis
Waktu Penilaian
Kegiatan Ayo Kita Amati
dan Bertanya
Kegiatan Ayo Kita Mencoba
dan Berbagi
Kegiatan Penutup
Instrumen Pengamatan Sikap:
Berpikir Logis
1. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha mengajukan ide-ide logis dalam
proses pembelajaran.
2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk mengajukan ide-ide logis
dalam proses pembelajaran.
3. Sangat baik jika mengajukan ide-ide logis dalam proses pembelajaran dalam
proses pembelajaran secara terus menerus dan ajeg/konsisten.
Kritis
1. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha mengajukan ide-ide logis
dengan kritis atau pertanyaan menantang dalam proses pembelajaran.
2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk mengajukan ide-ide logis
dengan kritis atau pertanyaan menantang dalam proses pembelajaran.
MATEMATIKA
67
3.
Sangat baik jika mengajukan ide-ide logis kritis atau pertanyaan menantang
dalam proses pembelajaran secara terus menerus dan ajeg/konsisten.
Bubuhkan tanda √ pada kolom-kolom sesuai hasil pengamatan.
No.
Nama
Berpikir Logis
SB
B
KB
Kritis
SB
B
KB
1.
2.
3.
...
30
3.
SB = Sangat Baik B = Baik KB = Kurang Baik
Instrumen penilaian:
Petunjuk:
a. Kerjakan soal berikut secara individu, dilarang bekerja sama dan dilarang
menyontek.
b. Selesaikanlah soal-soal berikut ini:
Soal:
1) Misalkan A matriks persegi. Jika pertukaran elemen-elemen sebarang
dua baris atau dua kolom dari matriks A, maka buktikan bahwa nilai
determinannya berubah tanda.
2) Jika B matriks persegi dengan det B ≠ 0, tunjukkan bahwa B = B .
3) Selidiki bahwa det (C + D) = det C + det D untuk setiap matriks persegi
C dan D.
4) Masalah alokasi sumber daya.
Agen perjalanan menawarkan paket perjalanan ke Bali. Paket I terdiri atas
4 malam menginap, 3 tempat wisata, dan 5 kali makan. Paket II dengan
3 malam menginap, 4 tempat wisata, dan 7 kali makan. Paket III
dengan 5 malam menginap, 4 tempat wisata, dan tidak ada makan.
Sewa hotel Rp 400.000,00 per malam, tranportasi ke tiap tempat wisata
Rp80.000,00, dan makan di restoran yang ditunjuk Rp90.000,00.
t
68
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
−1
−1 t
a.
b.
c.
5.
Nyatakan matriks harga sewa hotel, tranportasi dan makan.
Nyatakan matriks paket yang ditawarkan.
Dengan menggunakan perkalian matriks, tentukan matriks biaya
untuk tiap paket.
d. Paket mana yang menawarkan biaya termurah?
Dengan menggunakan matriks persegi, tunjukkan bahwa (B–1)–1 = B.
Pedoman Penilaian
No. Soal
Aspek Penilaian
1.
Pemahaman konsep
2.
3.
4.
5.
Keterampilan
menguraikan
Keterampilan
menguraikan
Keterampilan
dan ketelitian
menghitung
Keterampilan
dan ketelitian
menguraikan
Skor
Skor
Maksimal
Benar
20
20
Salah
10
Tidak ada jawaban
0
Benar
20
Salah
10
Tidak ada jawaban
0
Benar
20
Salah
7
Tidak ada jawaban
0
Benar
20
Salah
10
Tidak ada jawaban
0
Benar
20
Salah
10
Tidak ada jawaban
0
Rubrik Penilaian
20
20
20
20
Skor maksimal =
100
100
Skor minimal =
0
0
MATEMATIKA
69
F.
Pengayaan
Pengayaan merupakan kegiatan yang diberikan kepada siswa yang memiliki
akselerasi pencapaian KD yang cepat (nilai maksimal) agar potensinya berkembang
optimal dengan memanfaatkan sisa waktu yang dimilikinya. Guru sebaiknya
merancang kegiatan pembelajaran lanjut yang terkait dengan matriks pada siswa.
G. Remedial
Remedial merupakan perbaikan proses pembelajaran yang bertujuan pada pencapaian kompetensi dasar siswa. Guru memberikan perbaikan pembelajaran baik
pada model, metode, serta strategi pembelajaran. Jika guru melakukan pembelajaran
dengan pola yang sama tidaklah maksimal sehingga disarankan guru memilih tindakan pembelajaran yang tepat sehingga siswa mampu memenuhi KD yang diharapkan.
Perlu dipahami oleh guru, bahwa remedial bukan mengulang tes (ulangan harian)
dengan materi yang sama, tetapi guru memberikan perbaikan pembelajaran pada KD
yang belum dikuasai oleh peserta didik melalui upaya tertentu. Setelah perbaikan
pembelajaran dilakukan, guru melakukan tes untuk mengetahui apakah peserta didik
telah memenuhi kompetensi minimal dari KD yang diremedialkan.
H. Penyelesaian Soal-Soal Uji Kompetensi
UJI KOMPETENSI – 3.1
1. a) 18, 16, 8
b) 14, 8, 17
c) –22
d) 14
e) ordo matriks
2. –
3. Matriks yang dapat dibentuk antara lain:
2
7
17
29
39
70
3
11
19
31
41
5
13
23
37
43
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
4.
5.
6.
7.
8.
p = –3 dan q = –3
–
p = 1 dan q = 12
–
9.
10.
11.
12.
X = –6 6 3
–
Gunakan prinsip perkalian dua matriks.
–
0 3 4
13. a.
b.
14. –
15. a.
b.
b + c e − 2d
−2a
a − 2b 3d + c e − 3 f
Tt =
1
a = –4; b = –3; c = 7; d = 1; e = 2; dan f = 3
Paket I : Rp1.120.000,00
Paket II : Rp1.775.000,00
Paket III : Rp820.000,00
Paket III adalah paket dengan harga termurah.
UJI KOMPETENSI – 3.2
1. a. 68
b. 34x
c. 3
d. 4
2. –
3. Nilai z = 0 atau z = –1
4.
5. z = –3
6. –
7. Determinan = 0
8. –
9.
10. –
MATEMATIKA
71
11.
12. –
13.
14. –
15.
I.
Rangkuman
Setelah selesai membahas materi matriks di atas, ada beberapa hal penting sebagai
kesimpulan yang dijadikan pegangan dalam mendalami dan membahas materi lebih
lanjut, antara lain:
1. Matriks adalah susunan bilangan-bilangan dalam baris dan kolom.
2. Sebuah matriks A ditransposkan menghasilkan matriks At dengan elemen baris
matriks A berubah menjadi elemen kolom matriks At. Dengan demikian matriks
At ditransposkan kembali, hasinya menjadi matriks A atau (At)t = A.
3. Penjumlahan sebarang matriks dengan matriks identitas penjumlahan hasilnya
matriks itu sendiri. Matriks identitas penjumlahan adalah matriks nol.
4. Hasil kali sebuah matriks dengan suatu skalar atau suatu bilangan real k akan
menghasilkan sebuah matriks baru yang berordo sama dan memiliki elemenelemen k kali elemen-elemen matriks semula.
5. Dua buah matriks hanya dapat dikalikan apabila banyaknya kolom matriks yang
dikali sama dengan banyaknya baris matriks pengalinya.
6. Hasil perkalian matriks A dengan matriks identitas perkalian, adalah matriks A.
7. Hasil kali dua buah matriks menghasilkan sebuah matriks baru, yang elemenelemennya merupakan hasil kali elemen baris matriks A dan elemen kolom
matriks B. Misal jika Ap×q dan Bq×r adalah dua matriks, maka berlaku Ap×q × Bq×r
= Cp×r.
8. Matriks yang memiliki invers adalah matriks persegi dengan nilai determinannya
tidak nol (0).
72
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
BAB
4
Transformasi
A. Kompetensi Inti
Sikap
1. Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.
2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung
jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun,
responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian
dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara
efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.
3.
Pengetahuan
Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu
pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan
wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan
pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesiik sesuai
dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
Keterampilan
4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah
abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya
di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metode
sesuai kaidah keilmuan.
B. Kompetensi Dasar dan Indikator
Indikator pencapaian kompetensi pada pembelajaran dapat dikembangkan
guru sendiri berdasarkan kondisi peserta didik masing-masing di tempat guru
mengajar.
Berikut ini dipaparkan contoh Indikator Pencapaian Kompetensi Pembelajaran
yang dapat dijabarkan dari KD 3.5 dan KD 4.5.
MATEMATIKA
73
Kompetensi Dasar
3.5 Menganalisis dan membandingkan
transformasi dan komposisi transformasi
dengan menggunakan matriks.
74
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Indikator Pencapaian Kompetensi
3.5.1 Menyebutkan contoh translasi, releksi,
rotasi, dan dilatasi dalam kehidupan
sehari-hari.
3.5.2 Menemukan sifat-sifat translasi, releksi,
rotasi, dan dilatasi berdasarkan peng
amatan pada masalah kontekstual dan
pengamatan objek pada bidang koordinat.
3.5.3 Menemukan konsep translasi dengan
kaitannya dengan konsep matriks.
3.5.4 Menemukan konsep releksi terhadap
titik O(0, 0) dengan kaitannya dengan
konsep matriks.
3.5.5 Menemukan konsep releksi terhadap
sumbu x dengan kaitannya dengan
konsep matriks.
3.5.6 Menemukan konsep releksi terhadap
sumbu y dengan kaitannya dengan
konsep matriks.
3.5.7 Menemukan konsep releksi terhadap
garis y = x dengan kaitannya dengan
konsep matriks.
3.5.8 Menemukan konsep releksi terhadap
garis y = x dengan kaitannya dengan
konsep matriks.
3.5.9 Menemukan konsep rotasi pada
suatu sudut dan pusat O(0,0) dengan
kaitannya dengan konsep matriks.
3.5.10 Menemukan konsep rotasi pada
suatu sudut dan pusat P(p,q) dengan
kaitannya dengan konsep matriks.
3.5.11 Menemukan konsep dilatasi pada
faktor skala k dan pusat O(0,0) dengan
kaitannya dengan konsep matriks.
3.5.12 Menemukan konsep dilatasi pada
faktor skala k dan pusat P(p,q) dengan
kaitannya dengan konsep matriks.
3.5.13 Membandingkan keempat jenis
transformasi dengan menyebutkan
perbedaannya.
3.5.14 Menemukan konsep komposisi
transformasi (translasi, releksi, rotasi,
dan dilatasi).
Kompetensi Dasar
4.5 Menyelesaikan masalah yang berkaitan
dengan matriks transformasi geometri
(translasi, releksi, dilatasi, dan rotasi).
Indikator Pencapaian Kompetensi
4.5.1 Menemukan matriks transformasi
(translasi, releksi, rotasi, dan dilatasi)
dengan pengamatan terhadap titik-titik
dan bayangannya.
4.5.2 Menggunakan konsep transformasi
(translasi, releksi, rotasi, dan dilatasi)
dengan kaitannya dengan konsep
matriks dalam menemukan koordinat
titik atau fungsi setelah ditransformasi.
4.5.3 Membandingkan proses transformasi
(translasi, releksi, rotasi, dan dilatasi).
C. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari konsep transformasi melalui pengamatan, menalar, tanya
jawab, mencoba menyelesaikan persoalan, penugasan individu dan kelompok,
diskusi kelompok, dan mengomunikasikan pendapatnya, siswa mampu:
1. Menumbuhkan sikap perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong
royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan proaktif, berani
bertanya, berpendapat, dan menghargai pendapat orang lain dalam aktivitas
sehari-hari.
2. Menunjukkan rasa ingin tahu dalam memahami konsep dan menyelesaikan
masalah.
3. Menyebutkan contoh transformasi (translasi, releksi, rotasi, dan dilatasi) dalam
kehidupan sehari-hari.
4. Menemukan sifat-sifat translasi, releksi, rotasi, dan dilatasi berdasarkan
pengamatan pada masalah kontekstual dan pengamatan objek pada bidang
koordinat.
5. Menemukan konsep translasi dengan kaitannya dengan konsep matriks.
6. Menemukan konsep releksi (terhadap titik O(0, 0), sumbu x, sumbu y,
garis y = x, dan garis y = x) dengan kaitannya pada konsep matriks.
7. Menemukan konsep rotasi pada suatu sudut dan pusat O(0, 0) atau pusat P(p, q)
dengan kaitannya dengan konsep matriks.
8. Menemukan konsep dilatasi pada suatu faktor skala dan pusat O(0, 0) atau pusat
P(p, q) dengan kaitannya dengan konsep matriks.
9. Menemukan koordinat titik dan persamaan garis oleh transformasi (translasi,
releksi, rotasi, dan dilatasi).
MATEMATIKA
75
D. Diagram Alir
Materi Prasyarat
Masalah
Autentik
Fungsi
Trigonometri
Matriks
Transformasi
Translasi
Releksi
Rotasi
Komposisi Transformasi
Penyelesaian
76
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Dilatasi
E. Proses Pembelajaran
4.1 Menemukan Konsep Translasi (Pergeseran)
Sebelum Pelaksanaan Kegiatan
1. Bentuk kelompok kecil siswa (3–4 orang) yang heterogen. Perhatikan
karakteristik siswa dalam satu kelompok sehingga mendukung pembelajaran
yang eisien dan efektif.
2. Informasikan tujuan pembelajaran dan tata cara penilaian selama proses
pembelajaran.
3. Persiapkan semua fasilitas yang mendukung selama proses pembelajaran.
Sebaiknya dipersiapkan papan tulis berpetak untuk media bidang
koordinat.
No.
Deskripsi Kegiatan
1. Kegiatan Pendahuluan
• Salam dari guru dan doa dipimpin oleh salah satu siswa.
•
2.
Apersepsi
1. Motivasi siswa mempelajari transformasi.
2. Ingatkan kembali siswa materi transformasi di tingkat SMP/MTs.
3. Informasikan kepada siswa bahwa konsep transformasi ini dikaji
dengan pendekatan koordinat dan hubungannya dengan konsep
matriks.
4. Ingatkan kembali siswa materi matriks.
Kegiatan Inti
Ayo Mengamati
• Ajak siswa mengamati benda-benda yang bergerak atau bergeser dalam
kehidupan sehari-hari.
• Beri kesempatan kepada siswa untuk memahami sifat pergeseran
dengan mengamati benda-benda yang bergerak di lingkungan sekitar
tersebut. Arahkan siswa fokus pada bentuk dan ukuran benda-benda
yang bergerak tersebut.
• Guru dapat memperagakan pergeseran benda-benda di depan kelas
sebagai media.
MATEMATIKA
77
Ayo Mengomunikasikan
• Guru memberikan kesempatan kepada siswa untuk mengomunikasikan
pendapatnya tentang pergeseran benda-benda setelah diamati.
• Arahkan jawaban siswa fokus pada bentuk dan ukuran benda setelah
pergeseran.
Masalah 4.1
• Minta siswa membaca Masalah 4.1 dan memandu mereka memahami
alternatif penyelesaian Masalah 4.1.
• Minta siswa menunjukkan pergeseran titik pada bidang koordinat
kartesius di depan kelas dan membaca koordinat perubahannya setelah
bergeser.
• Guru dan siswa menyepakati arah pergeseran ke kiri (sebagai sumbu x
negatif), ke kanan (sebagai sumbu x positif), ke atas (sebagai sumbu y
positif) dan ke bawah (sebagai sumbu y negatif) pada sumbu koordinat.
• Bantu siswa memahami konsep pergeseran ke bentuk matriks pada
alternatif penyelesaian Masalah 4.1 di buku siswa.
• Guru memastikan kelompok dapat bekerja sama dalam merumuskan
konsep yang akan dicapai dengan melemparkan ataupun merangsang
siswa untuk bertanya.
Ayo mengomunikasikan
• Guru meminta seorang siswa untuk mengomunikasikan pendapatnya
tentang pergeseran pada Masalah 4.1.
• Guru memantau pendapat siswa tersebut serta memperbaiki jika ada
pendapat yang tidak sesuai konsep. Guru dapat memberikan kesempatan
kepada siswa untuk bertanya atau memberikan pendapat lainnya.
• Guru menilai keaktifan siswa serta memantau siswa yang tidak atau
kurang aktif serta memberikan umpan balik untuk menumbuhkan keaktifan belajarnya.
Masalah 4.2
• Perkuat pemahaman siswa tentang pergeseran dengan mengajukan
Masalah 4.2 untuk dibaca dan dipahami serta memberi komentar.
• Arahkan siswa ke sesi tanya jawab di antara siswa. Guru memantau
kebenaran pendapat-pendapat siswa.
78
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Ayo mengamati
• Guru memerintahkan siswa untuk mengamati kembali pergeseran objek
(titik, garis, dan bidang) pada bidang koordinat kartesius pada Gambar
4.2.
• Arahkan siswa mengamati posisi, bentuk, dan ukuran objek sebelum
dan sesudah pergeseran, adakah perubahan?
• Minta siswa mengomunikasikan pendapatnya tentang mengamati
posisi, bentuk, dan ukuran objek sebelum dan sesudah pergeseran.
Arahkan siswa membangun dan memahami Sifat 4.1.
Sifat 4.1:
Bangun yang digeser (translasi) tidak mengalami perubahan bentuk
dan ukuran
Ayo mencoba
• Setelah siswa mempelajari Masalah 4.1 dan Masalah 4.2, minta siswa
mengamati Gambar 4.3 dan menuliskan koordinat titik yang diminta
pada Tabel 4.1
• Tabel 4.1 telah terisi sebagai berikut!
Tabel 4.1: Translasi titik
Titik awal
A(–10, –4)
Titik akhir
A(–6, –2)
C(–6, –2)
C(9, –5)
C(9, –5)
D(4, –1)
D(4, –1)
E(7, 4)
E(7, 4)
F(–8, 5)
Proses
6 6−
–10
− 6− 4 −
=+ += =
–
−
−
2
2
−
2
− 42−
9 1515 − 6
= +
− 5 − 3 − 2
Translasi
− 4
+ T1
− 2
1515
T2
− 3
4 − 5 9
= +
− 1 4 − 5
− 5
T3
4
− 15 7
− 8 –15
=
+
5
1 4
15
−–15
T5
1
7 3 4
= +
4 5 − 1
3
T4
5
MATEMATIKA
79
Ayo mengomati
• Pandu siswa untuk menemukan konsep translasi melalui pengamatan
terhadap koordinat titik pada Tabel 4.1.
• Arahkan siswa menemukan konsep translasi berikut:
Titik A(x,y) ditranslasi oleh T(a,b) menghasilkan bayangan A′(x′,y′),
ditulis dengan:
a
T
b
A( x, y ) → A' ( x' , y ' ) atau x' = a + x
y'
b y
Ayo menalar
• Pandu siswa memahami persoalan pada Contoh 4.1 dan Contoh 4.2
dengan menggunakan konsep translasi yang telah ditemukan.
• Guru dapat mendemonstrasikan kembali alternatif penyelesaian pada
Contoh 4.1 dan Contoh 4.2, atau dapat membuat contoh-contoh lainnya.
• Untuk mendapatkan tingkat pemahaman siswa akan konsep translasi,
minta siswa menyelesaikan Latihan 4.1 berdasarkan pemahaman konsep
dan contoh-contoh yang telah dipelajari, atau guru dapat memberikan
soal-soal translasi lainnya sebagai tugas kelompok atau pribadi.
• Berikut adalah alternatif penyelesaian Latihan 4.1 sesuai buku siswa.
Latihan 4.1
• Titik P(a,b + 2) digeser dengan T(3, 2b – a) sehingga hasil pergeseran
menjadi Q(3a + b, –3). Tentukan posisi pergeseran titik R(2, 4) oleh
translasi T di atas.
Alternatif penyelesaian:
Coba ikuti panduan berikut:
Langkah 1:
T (3,2b − a )
P(a, b + 2) → Q(3a + b,−3)
3a + b 3 a
=
+
− 3 2b − a b + 2
3a + b = a + 3 atau
a=
−b+3
(persamaan 1)
2
–3 = 3b – a + 2
80
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
(persamaan 2)
−b+3
ke persamaan (2) maka diperoleh
2
−b+3
nilai atau − 3 = 3b − (
) + 2 sehingga diperoleh b = –1 dan a = 2
2
Langkah 2:
Dengan mensubstitusi a =
Dengan demikian, translasi yang dimaksud adalah T(3, 2b – a) = T(3, –4).
Langkah 3:
Pergeseran titik R(2, 4) oleh translasi T(3, –4) adalah:
( 3, −4
R(2,4) T
→ R' ( x, y )
x' 3 2 5
= + =
y' − 4 4 0
3.
Jadi, koordinat pergeseran titik R adalah R′(5, 0) .
Kegiatan Penutup
• Minta siswa mengomunikasikan kembali konsep-konsep materi yang
telah diketahui setelah pembelajaran.
• Siswa dan guru bersama-sama melakukan releksi dan merangkum
semua konsep dan sifat translasi dari yang dipelajari.
• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan
menggunakan rubrik penilaian. Hasil kerja kelompok dikumpulkan oleh
guru.
• Beri tugas kepada siswa sebagai latihan di rumah. Guru dapat
memerintahkan siswa mengerjakan soal-soal pada Uji Kompetensi 4.1
atau soal-soal lainnya sesuai dengan konsep yang dipelajari.
• Informasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya.
4.2 Menemukan Konsep Releksi (Pencerminan)
Sebelum Pelaksanaan Kegiatan
1. Bentuk kelompok kecil siswa (3–4 orang) yang heterogen. Perhatikan
karakteristik siswa dalam satu kelompok sehingga mendukung pembelajaran
yang eisien dan efektif.
2. Informasikan tujuan pembelajaran dan tata cara penilaian selama proses
pembelajaran.
3. Siapkan semua fasilitas yang mendukung selama proses pembelajaran
4. Siapkan RPP dan form penilaian.
MATEMATIKA
81
No.
Deskripsi Kegiatan
1. Kegiatan Pendahuluan
• Salam dari guru dan doa dipimpin oleh salah satu siswa.
• Apersepsi
1. Motivasi siswa mempelajari konsep releksi (pencerminan).
2. Ingatkan kembali siswa materi pencerminan di tingkat SMP/MTs.
3. Informasikan kepada siswa bahwa konsep releksi (pencerminan)
ini dikaji dengan pendekatan koordinat dan hubungannya dengan
konsep matriks.
2. Kegiatan Inti
Ayo Menalar
• Berikan ilustrasi yang menanamkan konsep pencerminan kepada siswa.
Arahkan siswa memahami sifat ”jarak objek terhadap cermin sama
dengan jarak bayangan terhadap cermin”. Informasikan cermin yang
dimaksud adalah cermin datar.
• Informasikan bahwa konsep pencerminan yang dipelajari adalah pencerminan dengan pendekatan koordinat. Cermin pada bidang koordinat
adalah titik O(0, 0), sumbu x, sumbu y, garis y = x dan garis y = –x.
Ayo Mengamati
Masalah 4.3
• Minta siswa berdiskusi secara berpasangan atau berkelompok tentang
Masalah 4.3. Minta siswa mengamati Gambar 4.4.
• Arahkan siswa fokus berdiskusi pada jarak, bentuk dan ukuran antara
objek dan bayangannya oleh pencerminan pada Gambar 4.4.
Ayo mengomunikasikan
• Minta siswa memberi pendapatnya tentang Masalah 4.3 dan Gambar
4.4.
• Guru dapat memberikan media atau gambar lainnya pada bidang
koordinat untuk memperkuat pemahaman akan konsep pencerminan.
• Guru bersama-sama dengan siswa membangun sifat pencerminan.
Sifat 4.2:
Bangun yang dicerminkan (releksi) dengan cermin datar tidak
mengalami perubahan bentuk dan ukuran. Jarak bangun dengan
cermin (cermin datar) adalah sama dengan jarak bayangan dengan
cermin tersebut.
82
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
4.2.1 Pencerminan terhadap Titik O(0,0)
Ayo Mengamati
•
Minta siswa membaca dan memahami Gambar 4.5. Pandu siswa memahami pencerminan terhadap titik O(0, 0) melalui gambar tersebut.
• Arahkan siswa memperhatikan koordinat objek dan bayangannya oleh
pencerminan terhadap titik O(0, 0) pada Gambar 4.5, kemudian minta
siswa melengkapi Tabel 4.2.
• Tabel 4.2 telah terisi sebagai berikut.
Tabel 4.2: Koordinat Pencerminan Titik terhadap Titik O(0, 0)
Titik
A(6, 3)
B(–2, 2)
C(7, –2)
D(1, –3)
E(2, 3)
Bayangan
A′(–6, –3)
B′(2, –2)
C′(–7, 2)
D′(–1, 3)
E′(–2, –3)
Ayo menalar
• Pandu siswa memanfaatkan titik-titik koordinat objek dan bayangannya
pada Tabel 4.2 untuk menemukan matriks pencerminan terhadap cermin
titik O(0, 0).
• Demonstrasikan kembali kepada siswa proses menemukan matriks
pencerminan terhadap titik O(0, 0) seperti pada buku siswa. Ingatkan
siswa kembali tentang materi perkalian dan kesamaan dua matriks.
• Guru dan siswa bersama-sama membangun konsep pencerminan terhadap titik O(0, 0).
Titik A(x, y) dicerminkan terhadap titik O(0, 0) menghasilkan
bayangan A′(x′, y′), ditulis dengan:
−1
A( x, y ) → A' ( x' , y ' ) atau =
y' 0
CO (0,0)
x'
0 x
− 1 y
Ayo mencoba
• Demonstrasikan penyelesaian Contoh 4.3 dan Contoh 4.4 dengan
menggunakan matriks pencerminan terhadap titik O(0, 0) yang telah
ditemukan.
MATEMATIKA
83
•
Minta siswa menggambar pencerminan tersebut pada bidang koordinat
kartesius.
• Untuk memperdalam pemahaman siswa tentang pencerminan terhadap
titik O(0, 0), minta siswa mengerjakan Latihan 4.2 berdasarkan langkahlangkah yang telah disediakan.
• Berikut adalah alternatif penyelesaian Latihan 4.2 sesuai buku siswa.
Ayo menalar
Latihan 4.2
Titik A(2, –3) ditranslasikan dengan T(–4, –5) kemudian dicerminkan terhadap titik O. Tentukan bayangan titik A tersebut.
Alternatif Penyelesaian:
( −4, −5)
O (0,0)
A(2,−3)
→ A' ( x' , y ' )
→ A' ' ( x' ' , y ' ' )
T
C
x' − 4 2 − 2
= + =
y' − 5 − 3 − 8
Langkah 1 (Proses Translasi)
Langkah 2 (Proses Releksi)
x' ' − 1 0 x' − 1 0 − 2 2
=
=
=
y ' ' 0 − 1 y ' 0 − 1 − 8 8
Jadi, koordinat bayangan titik A adalah A"(2, 8).
4.2.2 Pencerminan terhadap Sumbu x
Ayo Mengamati
• Minta siswa membaca dan memahami Gambar 4.6. Pandu siswa
memahami pencerminan terhadap sumbu x melalui Gambar 4.6.
• Arahkan siswa memperhatikan koordinat objek dan bayangannya oleh
pencerminan terhadap sumbu x, kemudian siswa melengkapi Tabel 4.3.
• Tabel 4.3 telah terisi sebagai berikut.
Tabel 4.3: Koordinat Pencerminan Titik terhadap Sumbu x
Titik
Bayangan
A(1,1)
A′(1, –1)
B(3,2)
B′(3, –2)
C(6,3)
C′(6, –3)
D(–2, –2)
D′(–2,2)
E(–4,4)
E′(–4,–4)
F(–7, –5)
F′(–7,5)
84
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Ayo Menalar
• Pandu siswa memanfaatkan titik koordinat objek dan bayangannya pada
Tabel 4.3 untuk menemukan matriks pencerminan terhadap sumbu x.
Minta siswa mendemonstrasikan kembali proses menemukan matriks
pencerminan terhadap cermin sumbu x tersebut.
• Guru dengan siswa bersama-sama membangun konsep pencerminan
terhadap sumbu x.
Titik A(x, y) dicerminkan terhadap sumbu x menghasilkan bayangan
A′(x′, y′), ditulis dengan:
A( x, y ) → A' ( x' , y ' ) atau =
y ' 0 − 1 y
Csumbu x
x'
1
0
x
Ayo Menalar
• Demonstrasikan proses penyelesaian Contoh 4.5 dan Contoh 4.6
dengan menggunakan konsep yang telah ditemukan.
• Minta siswa menggambar pencerminan tersebut pada bidang koordinat
kartesius.
• Ingatkan siswa kembali konsep persamaan garis dan sketsanya.
Ayo Mengomunikasikan
• Untuk memperdalam pemahaman siswa tentang pencerminan terhadap
sumbu x, minta siswa mengerjakan Latihan 4.3 berdasarkan langkahlangkah yang disediakan.
• Perintahkan siswa menyajikan jawabannya di depan kelas.
• Berikut adalah alternatif penyelesaian Latihan 4.3 sesuai buku siswa.
Ayo Menalar
Latihan 4.3
Titik A(–2, –5) dicerminkan terhadap titik O(0, 0) kemudian dilanjutkan
dengan pencerminan terhadap sumbu x. Tentukan bayangan titik A tersebut.
Alternatif Penyelesaian
O (0,0)
A(−2,−5)
→ A' ( x' , y ' ) → A' ' ( x' ' , y ' ' )
C
Csumbu x
Langkah 1 (Proses Releksi terhadap titik O(0,0))
x' − 1 0 − 2 2
=
=
y ' 0 − 1 − 5 5
MATEMATIKA
85
Langkah 2 (Proses Releksi terhadap sumbu x)
x' ' 1 0 x' 1 0 2 2
=
=
=
y ' ' 0 − 1 y ' 0 − 1 5 − 5
Jadi, bayangan titik A adalah A"(2, –5).
4.2.3 Pencerminan terhadap Sumbu y
Ayo Mengamati
•
Minta siswa membaca dan memahami Gambar 4.7 dan memandu siswa
memahami pencerminan terhadap sumbu y melalui Gambar 4.7.
• Arahkan siswa memperhatikan koordinat objek dan bayangannya oleh
pencerminan terhadap sumbu y, kemudian siswa melengkapi Tabel 4.4.
• Tabel 4.4 telah terisi sebagai berikut.
Tabel 4.4: Koordinat Pencerminan Titik terhadap Sumbu y
Titik
A(–10, –5)
B(–8, –3)
C(–6, –1)
D(4, 1)
E(2, 3)
F(1, 4)
Bayangan
A′(10, –5)
B′(8, –3)
C′(6, –1)
D′(–4, 1)
E′(–2, 3)
F′(–1, 4)
Ayo Menalar
• Pandu siswa memanfaatkan koordinat objek dan bayangannya pada
Tabel 4.4 untuk menemukan matriks pencerminan terhadap sumbu y.
• Berdasarkan pemahaman siswa dalam menemukan matriks pencerminan
terhadap titik O(0, 0) dan sumbu x maka minta siswa mendemonstrasikan
proses menemukan matriks pencerminan terhadap sumbu y dengan
panduan pada buku siswa.
• Berikut proses menemukan matriks pencerminan terhadap sumbu y.
Menemukan Matriks Pencerminan terhadap Sumbu y
Berdasarkan pengamatan pada tabel, secara umum jika titik A(x, y) dicerminkan terhadap sumbu y akan mempunyai koordinat bayangan A′(–x, y),
bukan? Mari kita tentukan matriks pencerminan terhadap sumbu y.
a b
sehingga:
Misalkan matriks transformasinya adalah C =
c d
86
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
A( x, y ) → A' (− x, y )
Csumbu y
−
ax x+
− x+ a b x ax
+xby−
= = = = =
cxy ++
y
y + c d y cx
dy
=
+
+
Ini berarti bahwa:
–x = ax + by ⇔ a = – 1, dan b = 0
y = cx + dy ⇔ c = 0, dan d = 1
Dengan demikian, matriks pencerminan terhadap sumbu y adalah − 1 0
0 1
• Guru dan siswa bersama-sama membangun konsep pencerminan
terhadap sumbu y.
Titik A(x, y) dicerminkan terhadap sumbu y menghasilkan bayangan
A′(x′, y′), ditulis dengan,
sumbu y
A( x, y )
→ A' ( x' , y ' ) atau x' = − 1 0 x
y ' 0 1 y
C
Ayo Mencoba
• Demonstrasikan penyelesaian Contoh 4.7 dan Contoh 4.8 dengan menggunakan konsep yang telah ditemukan.
• Minta siswa menggambar pencerminan tersebut pada bidang koordinat
kartesius.
• Ingatkan siswa konsep persamaan garis dan sketsanya.
• Untuk memperdalam pemahaman siswa tentang pencerminan terhadap
sumbu y, minta siswa mengerjakan Latihan 4.4.
Ayo Mengomunikasikan
• Perintahkan siswa menyajikan hasil kerjanya di depan kelas.
• Berikut adalah alternatif penyelesaian Latihan 4.4 sesuai buku siswa.
Ayo Menalar
Latihan 4.4
Garis 2x – y + 5 = 0 dicerminkan terhadap titik O(0, 0), kemudian dilanjutkan
dengan pencerminan terhadap sumbu y. Tentukan persamaan bayangan garis
tersebut.
MATEMATIKA
87
Alternatif Penyelesaian
Misalkan titik A(x,y) terletak pada garis tersebut, sehingga:
A( x, y ) → A' ( x' , y ' )
→ A' ' ( x' ' , y ' ' )
CO (0,0)
C sumbu y
Langkah 1 (Proses pencerminan terhadap titik O(0,0))
x' − 1 0 x − x
=
=
y ' 0 − 1 y − y
Langkah 2 (Proses pencerminan terhadap sumbu y)
x' ' − 1 0 x' − 1 0 − x x
=
=
=
y ' ' 0 1 y ' 0 1 − y − y
sehingga:
x″ = x dan y″ = –y
Langkah 4 (Proses menentukan persamaan bayangan)
Tentukan x dan y dalam bentuk x′′ dan y′′
x″ = x dan y″ = –y
Langkah 5 (Proses menentukan persamaan bayangan)
Substitusi x dan y ke 2x – y + 5 = 0 sehingga diperoleh persamaan
bayangan.
2(x) – (–y) + 5 = 0 atau 2x + y + 5 = 0
4.2.4 Pencerminan terhadap Garis y = x
Ayo Mengamati
• Minta siswa membaca dan memahami Gambar 4.8. Pandu siswa
memahami pencerminan terhadap sumbu y = x melalui Gambar 4.8.
• Minta siswa memperhatikan koordinat objek dan bayangannya oleh
pencerminan terhadap garis y = x pada Gambar 4.8, kemudian minta
siswa melengkapi Tabel 4.5.
• Tabel 4.5 telah terisi sebagai berikut!
Tabel 4.5: Koordinat Pencerminan Titik terhadap Garis y = x
Titik
Bayangan
A(–1, –5)
A′(–5, –1)
B(3, –5)
B′(–5, 3)
C(–2, 3)
C′(3, –2)
D(0, 4)
D′(4, 0)
E(2, 4)
E′(4, 2)
88
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Ayo Menalar
• Pandu siswa memanfaatkan titik koordinat objek dan bayangannya pada
Tabel 4.5 untuk menemukan matriks pencerminan terhadap garis y = x.
• Perintahkan siswa mendemonstrasikan kembali proses menemukan
matriks pencerminan terhadap garis y = x dengan cara yang sama pada
konsep-konsep pencerminan di atas. Guru dengan siswa bersama-sama
membangun konsep pencerminan terhadap garis y = x.
Titik A(x, y) dicerminkan terhadap garis y = x menghasilkan
bayangan A′(x′, y′), ditulis dengan:
C x
A( x, y ) y =
→ A' ( x' , y ' ) atau x' = 0 1 x
y ' 1 0 y
Ayo Mencoba
• Demonstrasikan penyelesaian Contoh 4.9 dan Contoh 4.10 dengan
menggunakan konsep yang telah ditemukan. Minta siswa menggambar
pencerminan pada bidang koordinat kartesius.
•
Ingatkan siswa konsep persamaan garis dan sketsanya.
•
Untuk memperdalam pemahaman siswa tentang pencerminan terhadap
garis y = x, minta siswa mengerjakan Latihan 4.5 berdasarkan langkahlangkah yang telah disediakan.
• Berikut alternatif penyelesaian Latihan 4.5 sesuai buku siswa.
Ayo Menalar
Latihan 4.5
Titik A(–1, –3) dicerminkan terhadap titik O(0, 0) kemudian dilanjutkan
dengan pencerminan terhadap sumbu y dan dilanjutkan lagi dengan
pencerminan terhadap garis y = x. Tentukan bayangan titik A tersebut.
Alternatif Penyelesaian
Cy = x
O (0,0)
y
A(−1,−3)
→ A' ( x' , y ' ) sumbu
→ A' ' ( x' ' , y ' ' )
→ A' ' ' ( x' ' ' , y ' ' ' )
C
C
Langkah 1 (Proses pencerminan terhadap titik O(0, 0))
x' − 1 0 − 1 1
=
=
y ' 0 − 1 − 3 3
MATEMATIKA
89
Langkah 2 (Proses pencerminan terhadap sumbu y)
x' ' − 1 0 x' − 1 0 1 − 1
=
=
=
y ' ' 0 1 y ' 0 1 3 3
Langkah 3 (Proses pencerminan terhadap garis y = x)
x' ' ' 0 1 x' ' 0 1 − 1 3
=
=
=
y ' ' ' 1 0 y ' ' 1 0 3 − 1
Jadi, bayangan titik A adalah A′′(3,-1).
4.2.5 Pencerminan terhadap Garis y = –x
Ayo Mengamati
• Minta siswa membaca dan memahami Gambar 4.9 dan memandu siswa
memahami pencerminan terhadap sumbu y = –x melalui Gambar 4.9.
• Arahkan siswa untuk memperhatikan koordinat objek dan bayangannya
oleh pencerminan terhadap garis y = –x, kemudian minta siswa
melengkapi Tabel 4.6.
• Tabel 4.6 telah terisi sebagai berikut.
Tabel 4.6: Koordinat Pencerminan Titik terhadap Garis y = –x
Titik
A(1, –4)
B(–2, –3)
C(–5, –3)
D(–1, 5)
E(–3, 5)
Bayangan
A′(4, –1)
B′(3, 2)
C′(3, 5)
D′(–5, 1)
E′(–5, 3)
Ayo Menalar
• Pandu siswa memanfaatkan titik koordinat objek dan bayangannya pada
Tabel 4.6 untuk menemukan matriks pencerminan terhadap garis y = –x.
• Minta siswa mendemonstrasikan kembali proses menemukan matriks
pencerminan terhadap garis y = –x sesuai dengan langkah-langkah
yang telah diberikan atau dengan cara yang sama pada pencerminan
sebelumnya.
• Demonstrasikan proses menemukan matriks pencerminan terhadap garis
y = –x.
90
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Ayo Menalar
Menemukan Matriks Pencerminan terhadap Garis y = –x.
Berdasarkan pengamatan pada tabel, secara umum, jika titik A(x, y) dicerminkan terhadap garis y = –x akan mempunyai koordinat bayangan
A′(–y,–x), bukan? Mari kita tentukan matriks pencerminan terhadap garis
a b
sehingga:
d
y = –x. Misalkan matriks transformasinya adalah C =
c
Cy = −x
A( x, y ) → A' (− y,− x)
− +y a
= =
− +x c
− x+
+
xby−
b x axax
= = =
y
+ dy
d y cxcxy +
=
+
+
Ini berarti bahwa:
–y = ax + by ⇔ a = 0, dan b = –1
–x = cx + dy ⇔ c = –1, dan d = 0
Dengan demikian, matriks pencerminan terhadap garis y = –x adalah
0 − 1
−1 0
•
Guru dan siswa bersama-sama membangun konsep pencerminan terhadap garis y = –x
Titik A(x,y) dicerminkan terhadap garis y = –x menghasilkan
bayangan A′(x′,y′), ditulis dengan,
C y =− x
A( x, y )
→ A' ( x' , y ' ) atau x' = 0 − 1 x
y ' − 1 0 y
3.
]
Ayo Mencoba
• Demonstrasikan penyelesaian Contoh 4.11 dan Contoh 4.12 dengan
menggunakan konsep yang telah ditemukan.
• Minta siswa menggambar pencerminan tersebut pada bidang koordinat
kartesius. Ingatkan siswa konsep persamaan garis dan sketsanya.
Kegiatan Penutup
• Minta siswa mengomunikasikan kembali konsep-konsep pada materi
yang telah dipelajari.
• Siswa dan guru bersama-sama melakukan releksi dan merangkumkan
semua konsep dan sifat transformasi dari yang dipelajari.
MATEMATIKA
91
•
•
•
Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan
menggunakan rubrik penilaian. Hasil kerja kelompok dikumpulkan oleh
guru.
Beri tugas kepada siswa sebagai latihan dirumah. Guru dapat
memberikan Uji Kompetensi 4.1 atau persoalan lainnya sesuai dengan
konsep yang dipelajari.
Informasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya.
4.3 Menemukan Konsep Rotasi (Perputaran)
Sebelum Pelaksanaan Kegiatan
1. Bentuk kelompok kecil siswa (3–4 orang) yang heterogen. Perhatikan
karakteristik siswa dalam satu kelompok sehingga mendukung pembelajaran
yang eisien dan efektif.
2. Informasikan tujuan pembelajaran dan tata cara penilaian selama proses
pembelajaran.
3. Siapkan semua fasilitas yang mendukung selama proses pembelajaran
4. Siapkan RPP dan form penilaian.
No.
Deskripsi Kegiatan
1. Kegiatan Pendahuluan
• Salam dari guru dan doa dipimpin oleh salah satu siswa.
•
2.
92
Apersepsi
1. Motivasi siswa mempelajari konsep rotasi (perkalian).
2. Ingatkan kembali siswa materi rotasi di tingkat SMP/MTs dan
konsep matriks.
3. Informasikan kepada siswa bahwa konsep rotasi (perkalian) ini
dikaji dengan pendekatan koordinat dan hubungannya dengan
konsep matriks.
4. Informasikan tujuan pembelajaran dan cara penilaian.
Kegiatan Inti
Pengantar
• Guru memberikan contoh-contoh objek yang bergerak berputar di
lingkungan sekitar (seperti kipas, kincir angin, roda, dan lain-lain).
Siswa memberikan contoh-contoh lainnya.
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
•
Motivasi siswa untuk mempelajari konsep transformasi ketiga yaitu rotasi
dengan pendekatan koordinat dan kaitannya dengan konsep matriks.
Masalah 4.4
Ayo Mengamati
• Minta siswa memahami Masalah 4.4 dan memandu siswa mengamati
dan menalar perputaran segitiga jika titik pusat pemutaran berada pada
bidang segitiga, berada di salah satu titik sudut segitiga, dan berada di
luar segitiga (lihat Gambar 4.10). Minta siswa memberi komentar dan
arahkan ke sesi tanya-jawab.
• Pandu siswa bahwa gerak rotasi objek dipengaruhi oleh titik pusat rotasi.
Minta siswa membandingkan kembali Gambar 4.10: A, B, dan C.
• Arahkan pengamatan siswa fokus pada bentuk, posisi, dan ukuran objek
sebelum dan sesudah rotasi.
• Guru dan siswa menemukan sifat rotasi berdasarkan pengamatan
perputaran objek di lingkungan sekitar dan pada bidang kartesius seperti
pada Gambar 4.10 dan Gambar 4.11.
Sifat 4.3:
Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk
dan ukuran.
Ayo Menalar
•
•
•
Demonstrasikan proses menemukan matriks rotasi pada pusat O(0, 0)
melalui Gambar 4.12. Ingatkan siswa konsep trigonometri serta kesamaan
matriks.
Pandu siswa kembali melakukan percobaan untuk menemukan konsep
rotasi pada pusat P(a, b) dengan melakukan: (1) translasi titik dengan
T(–a, –b) sehingga pusat rotasi menjadi O(0, 0). Dengan demikian,
matriks rotasi dengan pusat O(0, 0) dapat digunakan, kemudian (2) hasil
rotasi pada langkah (1) ditranslasi kembali dengan T(a, b).
Guru dan siswa bersama-sama menyimpulkan atau membangun konsep
rotasi yang diputar dengan sudut dan pusat P(p, q).
MATEMATIKA
93
Titik A(x, y) diputar dengan pusat P(p, q) dan sudut a menghasilkan
bayangan A′(x′, y′), ditulis dengan:
[ P ( p , q ), a ]
A( x, y )
→ A '( x ', y ')
R
x' cos a
=
y ' sin a
− sin a x − p p
+
cos a y − q q
Ayo Mencoba
• Uji pemahaman siswa kembali dengan mengajukan Contoh 4.13 dan
Contoh 4.14. Minta siswa kembali mendemonstrasikan proses dan
menjelaskannya di depan kelas.
• Guru memberikan persoalan lainnya sesuai konsep yang dipelajari
untuk dikerjakan siswa secara berkelompok.
3.
Kegiatan Penutup
• Minta siswa untuk mengomunikasikan konsep-konsep materi yang telah
diketahui setelah pembelajaran.
• Siswa dan guru bersama-sama melakukan releksi dan merangkumkan
semua konsep dan sifat dari yang dipelajari.
• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan menggunakan rubrik penilaian.
• Beri tugas kepada siswa sebagai latihan di rumah. Guru dapat memberikan
Uji Kompetensi 4.2 atau persoalan lainnya sesuai konsep yang dipelajari.
• Informasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya.
4.4 Menemukan Konsep Dilatasi (Perkalian)
Sebelum Pelaksanaan Kegiatan
1. Bentuk kelompok kecil siswa (3–4 orang) yang heterogen. Perhatikan
karakteristik siswa dalam satu kelompok sehingga mendukung pembelajaran
yang eisien dan efektif.
2. Informasikan tujuan pembelajaran dan tata cara penilaian selama proses
pembelajaran.
3. Siapkan semua fasilitas yang mendukung selama proses pembelajaran
4. Siapkan RPP dan form penilaian.
94
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
No.
Deskripsi Kegiatan
1. Kegiatan Pendahuluan
• Salam dari guru dan doa dipimpin oleh salah satu siswa.
• Apersepsi
1. Motivasi siswa mempelajari konsep dilatasi (perkalian).
2. Ingatkan kembali siswa materi dilatasi di tingkat SMP/MTs.
3. Informasikan kepada siswa bahwa konsep dilatasi (perkalian) ini
dikaji dengan pendekatan koordinat dan hubungannya dengan
konsep matriks.
4. Informasikan tujuan pembelajaran dan cara penilaian.
2. Kegiatan Inti
Pengantar
• Pandu siswa memberikan contoh dilatasi atau perkalian yang terjadi
dalam kehidupan sehari-hari. Arahkan siswa memahami perkalian atau
dilatasi dengan pendekatan koordinat.
Masalah 4.5
Ayo Mencoba
• Dengan kelompok berdiskusi, siswa diajak mengamati, tanya-jawab, dan
mengomunikasikan pendapatnya akan Masalah 4.5.
•
Minta siswa memahami Masalah 4.5 dan mengamati Gambar 4.13.
Arahkan siswa fokus mengamati pada jarak OA dengan OA2 atau OB
dengan OB2 atau OC dengan OC2. Arahkan siswa kembali mengamati
jarak OA dengan OA1 atau OB dengan OB1 atau OC dengan OC1.
Ayo Mengomunikasikan
• Berikan kesempatan kepada siswa untuk berdiskusi dan tunjuk salah satu
kelompok untuk mengomunikasikan pendapat mereka “apa itu dilatasi?”
melalui pengamatan jarak pada Gambar 4.13.
• Minta siswa secara berkelompok membuat contoh lain mengenai dilatasi
titik, garis dan bidang secara gambar. Kemudian menyajikannya di depan
kelas.
Ayo Menanya
• Tanya siswa, yang manakah pusat dilatasi dan faktor skala dilatasi pada
Gambar 4.13?
• Arahkan kembali siswa konsentrasi pada ukuran objek dengan dilatasinya.
Minta siswa memperhatikan ukuran, ukuran dilatasinya dengan faktor
skala dilatasi.
MATEMATIKA
95
•
Minta atau tunjuk seorang siswa untuk menyampaikan pendapatnya.
Ayo Menalar
•
•
Arahkan bernalar dan memberikan komentar atau pendapatnya kembali
akan gambar dengan dilatasi k, di mana k > 0, k = 0 dan k < 0.
Dengan kegiatan pengamatan pada contoh-contoh perkalian/dilatasi
di lingkungan sekitar dan pengamatan dilatasi objek pada bidang
koordinat maka arahkan siswa memahami Sifat 4.4.
Sifat 4.4:
Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala
k dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak
mengubah bentuk.
• Jika k > 1 maka bangun akan diperbesar dan terletak searah
terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
• Jika k = 1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran
dan letak.
• Jika 0< k < 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak
searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
• Jika –1< k < 0 maka bangun akan diperkecil dan terletak
berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun
semula.
• Jika k = –1 maka bangun tidak akan mengalami perubahan
ukuran, tetapi letaknya berlawanan arah terhadap pusat
dilatasi dengan bangun semula.
• Jika k < –1 maka bangun akan diperbesar dan terletak
berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun
semula.
Ayo Mengamati
•
•
•
96
Arahkan kembali siswa mengamati Gambar 4.14 dengan konsentrasi
pada pusat dilatasi setiap objek (A, B, C, D dan E)?
Minta siswa mengamati koordinat objek tersebut, koordinat hasil
dilatasi, koordinat pusat dilatasi serta jarak objek ke pusat dilatasi dan
jarak hasil dilatasi ke pusat dilatasi.
Perintahkan siswa melengkapi Tabel 4.7 dengan melihat panduan pada
sel yang telah terisi. Pandu siswa melengkapi sel.
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
• Tabel 4.7 telah terisi sebagai berikut.
Ayo Mencoba
No.
Pusat
Obyek
Hasil
Pola
1
2
3
4
5
1
P(0, 0)
A(2, 2)
A′(6, 6)
2
P(0, 0)
B(–2, 2)
B′(2, –2)
3
P(9, 0)
C(9, 2)
C′(9, –4)
4
P(–10, 1)
5
P(–8, –3) E(–7, –3) E(–3, –3)
D(–8, 2) D′(–2, 5)
6 2 0 0
= 3 − +
6 2 0 0
− 2 0 0
2
= −1 − +
− 2
2 0 0
9 9 9
9
− 4 = −2 2 − 0 + 0
−2
=
5
−8 −10 −10
4 −
+
2 1 1
− 3 − 7 − 8 − 8
= 5 − +
− 3 − 3 − 3 − 3
Ayo Mengamati
• Arahkan dan pandu siswa melihat pola perhitungan pada Tabel 4.7. Lihat
kolom 5.
• Berdasarkan pengamatan dan bentuk pola yang ditemukan, guru dan
siswa menuliskan konsep dilatasi pada pusat P(p,q) dan skala k.
Titik A(x, y) didilatasi dengan pusat P(p, q) dan skala k menghasilkan
bayangan A′(x′, y′), ditulis dengan,
[ P ( p , q ), k ]
A( x, y )
→ A '( x ', y ')
R
x'
x − p p
= k
+
y'
y − q q
Ayo Menalar
•
Uji pemahaman siswa kembali akan konsep dilatasi dengan mengajukan
Contoh 4.15 dan Contoh 4.16. Minta siswa mendemonstrasikan proses
dan menunjukkan gambarnya.
MATEMATIKA
97
3.
Kegiatan Penutup
• Minta siswa mengomunikasikan kembali konsep-konsep materi yang
telah diketahui setelah pembelajaran.
• Siswa dan guru bersama-sama melakukan releksi dan merangkumkan
semua konsep dan sifat transformasi dari yang dipelajari.
• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan
menggunakan rubrik penilaian. Hasil kerja kelompok dikumpulkan oleh
guru.
• Beri tugas kepada siswa sebagai latihan di rumah.
• Informasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya.
4.5 Komposisi Transformasi
Sebelum Pelaksanaan Kegiatan
1. Bentuk kelompok kecil siswa (3–4 orang) yang heterogen. Perhatikan
karakteristik siswa dalam satu kelompok sehingga mendukung pembelajaran
yang eisien dan efektif.
2. Informasikan tujuan pembelajaran dan tata cara penilaian selama proses
pembelajaran.
3. Siapkan semua fasilitas yang mendukung selama proses pembelajaran
4. Siapkan RPP dan form penilaian.
No.
Deskripsi Kegiatan
1. Kegiatan Pendahuluan
• Salam dari guru dan doa dipimpin oleh salah satu siswa.
• Apersepsi
1. Motivasi siswa mempelajari konsep komposisi transformasi
meliputi kompisisi translasi, komposisi releksi, komposisi rotasi,
dan komposisi dilatasi.
2. Ingatkan kembali siswa materi transformasi (translasi, releksi,
rotasi dan dilatasi) pada sub-bab sebelumnya dan konsep fungsi
komposisi di kelas X.
3. Informasikan kepada siswa bahwa konsep ini dikaji dengan
pendekatan koordinat dan hubungannya dengan konsep matriks.
4. Informasikan tujuan pembelajaran dan cara penilaian.
98
Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
2.
Kegiatan Inti
Ayo Mengamati
• Guru mengingatkan kembali konsep-konsep transformasi (translasi,
releksi, rotasi dan dilatasi) secara umum.
• Guru mendemonstrasikan proses penyelesaian pada Masalah 4.6
sehingga siswa memahami proses transformasi bertahap.
• Setelah siswa memahami proses bertahap, guru menerangkan
komposisi translasi dengan menunjukkan keterkaitannya dengan
komposisi fungsi secara umum.
• Arahkan siswa memahami Skema 4.1.
• Motivasi siswa untuk lebih memahami konsep komposisi translasi
secara umum.
• Guru menerangkan proses penyelesaian Contoh 4.17 dan menunjukkan
keterkaitan konsep komposisi translasi.
• Minta siswa menunjukkan Contoh 4.17 dengan gambar pada bidang
koordinat kartesius.
Ayo Mencoba dan Mengomunikasikan
• Guru memberikan contoh komposisi translasi lainnya untuk
dikerjakan siswa secara mandiri atau berkelompok. Hasil kerja siswa
dipresentasikan di depan kelas. Arahkan siswa untuk bertanya-jawab.
• Guru menjadi fasilitator, memantau kebenaran jawaban dan konsep
serta memberikan penilaian.
Masalah 4.7
Ayo Mengamati
• Minta siswa memahami Masalah 4.7 dan memandu siswa mengamati
dan menalar bentuk pencerminan yang diceritakan pada Masalah 4.7.
Minta siswa memberi komentar dan arahkan ke sesi tanya-jawab.
• Pandu siswa memahami konsep komposisi releksi secara umum.
Informasikan bahwa konsep ini sama halnya dengan komposisi fungsi
pada umumnya atau konsep komposisi translasi.
• Arahkan siswa memahami perbedaan komposisi translasi dengan
komposisi releksi. Minta siswa memberikan komentar tentang
perbedaan kedua komposisi transformasi.
• Arahkan siswa fokus pada proses releksi bertahap sehingga terbentuk
komposisi releksi.
• Guru dan siswa bersama-sama menemukan konsep komposisi releksi.
Minta siswa memberikan pendapat tentang Skema 4.2.
MATEMATIKA
99
3.
Ayo Menalar, Mencoba dan Mengomunikasikan
• Pandu siswa memahami konsep komposisi releksi secara umum.
• Minta siswa memahami Contoh 4.17 kemudian guru memberikan persoalan lainnya untuk dikerjakan siswa secara mandiri atau berkelompok.
• Siswa mempresentasikan hasil kerjanya di depan kelas. Arahkan siswa
untuk bertanya-jawab. Guru menjadi fasilitator dan menjaga keadaan
kelas tetap terarah pada pembelajaran. Guru mengamati kebenaran
jawaban dan konsep. Guru melakukan penilaian.
Ayo Mengamati
• Berikan informasi kepada siswa kembali tentang translasi bertahap,
releksi bertahap, dan keterkaitannya dengan komposisinya.
• Berikan beberapa persoalan yang berkaitan dengan rotasi bertahap dan
dilatasi bertahap sederhana dengan pusat rotasi atau pusat dilatasi yang
sama.
Ayo Mencoba dan mengomunikasikan
• Minta siswa mencoba mengerjakan persoalan rotasi bertahap dan
dilatasi bertahap serta mempresentasikan hasil kerjanya di depan kelas.
Guru memantau kebenaran jawaban.
Ayo Mengamati
• Guru mendemonstrasikan proses penyelesaian Contoh 4.18, dan Contoh
4.19.
• Guru memberikan contoh persoalan lainnya untuk dikerjakan siswa,
• Minta siswa kembali mendemonstrasikan proses dan menjelaskannya
proses penyelesaian Contoh 4.20 dan Contoh 4.21 di depan kelas.
• Guru memberikan persoalan lainnya sesuai konsep yang dipelajari
untuk dikerjakan siswa secara berkelompok.
Kegiatan Penutup
• Minta siswa untuk mengomunikasikan konsep-konsep materi yang telah
diketahui setelah pembelajaran.
• Siswa dan guru bersama-sama melakukan releksi dan merangkumkan
semua konsep yang dipelajari.
• Berikan penilaian terhadap proses, dan hasil karya siswa dengan menggunakan rubrik penilaian.
• Beri tugas kepada siswa sebagai latihan di rumah.
• Beri tugas kepada siswa sebagai latihan di rumah. Guru dapat memberikan
Uji Kompetensi 4.3 atau persoalan lainnya sesuai konsep yang dipelajari.
• Informasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya.
100 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
F.
Penilaian
Prosedur Penilaian:
1
No
Aspek yang dinilai
1.
2.
3.
4.
5.
Berani bertanya
Berpendapat
Mau mendengarkan orang lain
Bekerja sama
Konsep
Teknik Penilaian Waktu Penilaian
Pengamatan
Pengamatan
Pengamatan
Pengamatan
Tes tertulis
Kegiatan Inti
Kegiatan Inti
Kegiatan Inti
Kegiatan Inti
Kegiatan penutup
Instrumen Penilaian Sikap
(Sikap Kinerja dalam Menyelesaikan Tugas Kelompok)
Aspek
No.
Nama Peserta
Didik
Kerja
sama
Keaktifan
Menghargai
Pendapat
Teman
Tanggung Jumlah
Jawab
Nilai
1.
2.
3.
4.
5.
Keterangan Skor:
1 = (belum terlihat), apabila peserta didik belum memperlihatkan tanda-tanda
awal perilaku sikap yang dinyatakan dalam indikator.
2 = (mulai terlihat), apabila peserta didik mulai memperlihatkan adanya tandatanda awal perilaku yang dinyatakan dalam indikator tetapi belum konsisten.
3 = (mulai berkembang), apabila peserta didik sudah memperlihatkan tanda
perilaku yang dinyatakan dalam indikator dan mulai konsisten.
4 = (membudaya), apabila peserta didik terus-menerus memperlihatkan perilaku
yang dinyatakan dalam indikator secara konsisten.
Skor Maksimal = 16
Nilai = Skor Perolehan
× 100%
Skor Maksimal
MATEMATIKA
101
2.
Instrumen Penilaian Pengetahuan
Contoh rubrik penilaian hasil penyelesaian soal oleh siswa. Dengan
mempertimbangkan langkah-langkah penyelesaian soal yang dilakukan
oleh siswa terhadap soal-soal yang diajukan guru maka dapat disusun rubrik
penilaiannya. Alternatif pedoman penskorannya sebagai berikut.
No.
1.
2.
3.
4.
Aspek Penilaian
Pemahaman
terhadap konsep
transformasi
Rubrik Penilaian
Penyelesaian dihubungkan dengan
konsep transformasi
5
Sudah menghubungkan penyelesaian
dengan konsep transformasi namun
belum benar
3
Penyelesaian sama sekali tidak
dihubungkan dengan konsep
transformasi
1
Tidak ada respons jawaban
0
Jawab benar
5
Jawab hampir benar
Kebenaran
jawaban akhir soal Jawaban Salah
Proses
perhitungan
Membuat sketsa
Skor
3
1
Tidak ada respons jawaban
0
Proses perhitungan benar
5
Proses perhitungan sebagian besar benar
3
Proses perhitungan sebagian kecil saja
yang benar
2
Proses perhitungan sama sekali salah
1
Tidak ada respons jawaban
0
Sketsa objek dan bayangan oleh
transformasi benar
5
Sketsa objek dan bayangan oleh
transformasi benar tapi kurang lengkap
3
Sketsa objek dan bayangan oleh
transformasi tidak benar
2
102 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
No.
Aspek Penilaian
Rubrik Penilaian
Skor
Tidak ada sketsa
3.
0
Skor maksimal =
20
Skor minimal =
0
Instrumen Penilaian Pengetahuan
(Penilaian kinerja dalam menyelesaikan tugas presentasi)
No.
Nama
Peserta
didik
Aspek
Komunikasi
Sistematika
Penyampaian
Penguasaan
Materi
Keberanian
Antusias
Jumlah
Skor
Nilai
1.
2.
3.
4.
5.
6.
SB = Sangat Baik B = Baik KB = Kurang Baik
Keterangan Skor:
Komunikasi:
1 = Tidak dapat berkomunikasi
2 = Komunikasi agak lancar, tetapi sulit dimengerti
3 = Komunikasi lancar tetapi kurang jelas dimengerti
4 = Komunikasi sangat lancar, benar, dan jelas
Wawasan:
1 = Tidak menunjukkan pengetahuan/materi
2 = Sedikit memiliki pengetahuan/materi
3 = Memiliki pengetahuan/materi tetapi kurang luas
4 = Memiliki pengetahuan/materi yang luas
Antusias:
1 = Tidak antusias
2 = Kurang antusias
3 = Antusias tetapi kurang kontrol
4 = Antusias dan terkontrol
MATEMATIKA
103
Sistematika Penyampaian:
1 = Tidak sistematis
2 = Sistematis
3 = Sistematis, uraian cukup
4 = Sistematis, uraian luas, dan jelas
Keberanian:
1 = Tidak ada keberanian
2 = Kurang berani
3 = Berani
4 = Sangat berani
Skor Maksimal = 20
Nilai = Skor Perolehan
× 100%
Skor Maksimal
G. Pengayaan
Bentuk pembelajaran pengayaan adalah pemberian asesmen portofolio
tambahan yang memuat asesmen masalah autentik, proyek, keterampilan
proses, check up diri, dan asesmen kerja sama kelompok. Sebelum asesmen
ini dikembangkan terlebih dahulu dilakukan identiikasi kemampuan belajar
berdasarkan jenis serta tingkat kelebihan belajar peserta didik. Misalnya, belajar
lebih cepat, menyimpan informasi lebih mudah, keingintahuan lebih tinggi,
berpikir mandiri, superior dan berpikir abstrak, dan memiliki banyak minat.
Pembelajaran pengayaan dapat dilaksanakan melalui belajar kelompok, belajar
mandiri, bimbingan khusus dari guru dan para ahli (mentor).
Materi pembahasan pada pembelajaran pengayaan bertumpu pada
pengembangan kompetensi dasar wajib tertera pada Kurikulum Matematika
2013, termasuk pengembangan kompetensi dasar peminatan. Materi pembahasan
dituangkan dalam asesmen masalah autentik, proyek, keterampilan proses,
check up diri, dan asesmen kerja sama kelompok. Keterampilan yang dibangun
melalui materi matematika yang dipelajari adalah kemampuan berpikir tingkat
tinggi (berpikir kreatif dan kritis) serta kemampuan adaptif terhadap perubahan,
penggunaan teknologi, dan membangun kerja sama antar siswa dan orang lain
yang lebih memahami masalah yang diajukan dalam asesmen.
104 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
H. Remedial
Pembelajaran remedial membantu peserta didik yang mengalami kesulitan
dalam belajar. Pembelajaran remedial adalah tindakan perbaikan pembelajaran
bagi peserta didik yang belum mencapai kompetensi. Remedial bukan mengulang
tes (ulangan harian) dengan materi yang sama, tetapi guru memberikan perbaikan
pembelajaran pada KD yang belum dikuasai oleh peserta didik melalui upaya
tertentu.
Bentuk pembelajaran remedial tergantung pada jumlah peserta didik yang
mengalami kegagalan mencapai kompetensi dasar yang ditetapkan. Beberapa
alternatif bentuk pelaksanaan pembelajaran remedial di sekolah.
a. Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial lebih dari 50%, maka
tindakan yang dilakukan adalah pemberian pembelajaran ulang dengan
model dan strategi pembelajaran yang lebih inovatif berbasis pada
berbagai kesulitan belajar yang dialami peserta didik yang berdampak pada
peningkatan kemampuan untuk mencapai kompetensi dasar tertentu.
b. Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial lebih dari 20% tetapi
kurang dari 50%, maka tindakan yang dilakukan adalah pemberian tugas
terstruktur baik secara berkelompok dan tugas mandiri. Tugas yang diberikan
berbasis pada berbagai kesulitan belajar yang dialami peserta didik yang
berdampak pada peningkatan kemampuan untuk mencapai kompetensi
dasar tertentu.
c. Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial maksimal 20%, maka
tindakan yang dilakukan adalah pemberian bimbingan secara khusus,
misalnya bimbingan perorangan oleh guru dan tutor sebaya.
MATEMATIKA
105
I.
Rangkuman
Setelah kita membahas materi transformasi, kita membuat kesimpulan sebagai
hasil pengamatan pada berbagai konsep dan aturan transformasi sebagai berikut:
1. Transformasi yang dikaji terdiri dari translasi (pergeseran), releksi (pencerminan),
rotasi (perputaran) dan dilatasi (perkalian).
2. Matriks transformasi yang diperoleh adalah:
No.
1.
Transformasi
Translasi (a, b)
2.
Releksi Titik O(0, 0)
3.
Releksi Sumbu x
4.
Releksi Sumbu y
5.
Releksi garis y = x
6.
Releksi garis y = –x
7.
Rotasi [α, P(a, b)]
106 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Matrik Transformasi
a
b
−1 0
0 − 1
1 0
0 −1
− 1 0
0 1
0 1
1 0
0 − 1
−1 0
cos a
sin a
− sin a x − a a
+
cos a y − b b
No.
8.
3.
Transformasi
Dilatasi [k, P(a, b)]
Matrik Transformasi
x' x − a a
+
= k
−
y
'
y
b
b
Transformasi mempunai sifat-sifat sebagai berikut:
Translasi
Bangun yang digeser (translasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.
Releksi
Bangun yang dicerminkan (releksi) dengan cermin datar tidak mengalami
perubahan bentuk dan ukuran. Jarak bangun dengan cermin (cermin datar)
adalah sama dengan jarak bayangan dengan cermin tersebut.
Rotasi
Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.
Dilatasi
Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah
ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk.
• Jika k > 1 maka bangun akan diperbesar dan terletak searah terhadap pusat
dilatasi dengan bangun semula.
• Jika k = 1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak.
• Jika 0 < k < 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap
pusat dilatasi dengan bangun semula.
• Jika –1 < k < 0 maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah
terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
• Jika k = –1 maka bangun tidak akan mengalami perubahan bentuk dan
ukuran dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun
semula.
• Jika k < –1 maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah
terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
MATEMATIKA
107
Selanjutnya, kita akan membahas tentang materi barisan dan deret. Materi
prasyarat yang harus kamu kuasai adalah himpunan, fungsi, dan operasi hitung
bilangan. Hal ini sangat berguna dalam penentuan fungsi dari barisan tersebut. Semua
apa yang kamu sudah pelajari sangat berguna untuk melanjutkan bahasan berikutnya
dan seluruh konsep dan aturan-aturan matematika dibangun dari situasi nyata dan
diterapkan dalam pemecahan masalah kehidupan.
108 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
BAB
5
Barisan
A.
Kompetensi Inti
1.
2.
Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.
Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab,
peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif
dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas
berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.
3.
Pengetahuan
Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan,
teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan,
kebangsaan, kenegaraan, dan peradab-an terkait penyebab fenomena
dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang
kajian yang spesiik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
Keterampilan
4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak
terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara
mandiri, dan mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.
Sikap
MATEMATIKA
109
B.
Kompetensi Dasar dan Indikator
Indikator Pencapaian Kompetensi pada kegiatan pembelajaran dapat
dikembangkan oleh guru yang disesuaikan dari kondisi peserta didik dan
lingkungan di tempat guru mengajar. Berikut ini dipaparkan contoh Indikator
Pencapaian Kompetensi yang dapat dijabarkan dari KD pengetahuan 3.8 dan
KD Keterampilan 4.8.
No.
Kompetensi Dasar
1. 3.6 Menggeneralisasi pola
bilangan dan jumlah pada
barisan Aritmetika dan
Geometri.
2. 4.6 Menggunakan pola barisan
aritmetika atau geometri
untuk menyajikan dan
menyelesaikan masalah
kontekstual (termasuk
pertumbuhan, peluruhan,
bunga majemuk, dan
anuitas)
C.
Indikator Pencapaian Kompetensi
3.6.1 Mendeiniskan barisan
3.6.2 Menyatakan pola
4.6.1 Menyajikan model matematika
dari suatu masalah nyata yang
berkaitan dengan barisan.
4.6.2 Masalah kontektual berkaitan
dengan pertumbuhan, peluruhan,
bunga majemuk, dan anuitas.
Tujuan Pembelajaran
Pembelajaran materi barisan melalui pengamatan, tanya jawab, penugasan
individu dan kelompok, diskusi kelompok, dan penemuan (dicovery) diharapkan siswa dapat:
1. Melatih sikap sosial berani bertanya, berpendapat, mau mendengar orang
lain, bekerja sama dalam diskusi di kelompok sehingga terbiasa berani
bertanya, berpendapat, mau mendengar orang lain, bekerja sama dalam
aktivitas sehari-hari
2. Menunjukkan ingin tahu selama mengikuti proses pembelajaran
3. Bertanggung jawab terhadap kelompoknya dalam menyelesaikan tugasnya
4. Menjelaskan pengertian barisan
110 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
5. Menjelaskan dengan kata-kata dan menyatakan masalah dalam sehari-hari
yang berkaitan dengan barisan
6. Menunjukkan pola barisan
7. Menyajikan model matematika berdasarkan masalah nyata berkaitan
dengan barisan
MATEMATIKA
111
D.
Diagram Alir
Materi
prasyarat
Fungsi
Masalah
Autentik
Barisan
Bilangan
Syarat
Suku
awal
Beda
Suku
ke-n
Suku
awal
U
n
s
u
r
Barisan
Aritmatika
Barisan
Geometri
Deret
Aritmetika
Deret
Geometri
Jumlah n suku
pertama
Jumlah n suku
pertama
112 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
U
n
s
u
r
Rasio
Suku
ke-n
E. Proses Pembelajaran
5.1, 5.2 Membangun Konsep Barisan dan Barisan Aritmatika
Sebelum Pelaksanaan Kegiatan
1. Siswa diharapkan sudah membawa perlengkapan alat-alat tulis untuk
pembelajaran.
2. Bentuklah kelompok kecil siswa yang memungkinkan belajar secara
efektif dan eisien.
3. Sediakan tabel-tabel yang diperlukan bagi siswa untuk mengisikan
hasil kerjanya pada tiap kegiatan yang dilaksanakan.
No.
Deskripsi Kegiatan
1. Kegiatan Pendahuluan
• Pembelajaran dimulai dengan salam dan doa
• Apersepsi
1. Para siswa diperkenalkan dengan informasi berbagai bentuk
baik susunan benda dan susunan angka.
2. Informasikan kepada siswa bahwa informasi seperti, susunan
barang, susunan angka dapat dibentuk menjadi beberapa
susunan angka yang sederhana.
3. Berilah kesempatan kepada siswa untuk memikirkan bentuk
susunan angka yang dibentuk.
4. Kemudian ajaklah siswa untuk memahami salah satu bentuk
yang dapat dibuat seperti yang telah diuraikan pada buku
siswa.
5. Berdasarkan masalah dan kegiatan yang diberikan pada buku
siswa, instruksikan siswa agar mampu menemukan konsep
barisan.
6. Berilah penilaian kepada siswa yang sedang melakukan
aktivitas membuat susunan barisan.
MATEMATIKA
113
2.
Kegiatan Inti
Pengantar Pembelajaran
• Tumbuhkan motivasi internal dalam diri siswa melalui menunjukkan manfaat mempelajari barisan dalam kehidupan siswa
• Ajaklah siswa untuk memperhatikan dan memahami masalah
pada buku siswa
• Himbaulah siswa untuk melakukan kegiatan yang ada pada buku
siswa
• Himbaulah siswa untuk memerhatikan masalah yang ada juga
disekitar sesuai dengan konsep barisan yang akan ditemukan
Mengamati
• Arahkan siswa menemukan konsep barisan dari berbagai situasi
nyata yang dekat dengan kehidupan siswa.
• Guru memberikan kesempatan pada siswa untuk mengamati
masalah serta contoh yang ada pada buku antara lain:
Masalah 5.1
• Beberapa kelereng dikelompokkan dan disusun sehingga setiap
kelompok tersusun dalam bentuk persegi sebagai berikut:
Gambar 5.1: Susunan Kelereng
Kelereng dihitung pada setiap kelompok dan diperoleh barisan:
1, 4, 9, 16, 25
K1
1
K2
4
K3
9
K4
16
Gambar 5.1: Jumlah Kelereng pada Setiap Kelompok
114 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
K5
25
Permasalahan
• Dapatkah kamu temukan bilangan berikutnya pada barisan
tersebut? Dapatkah kamu temukan pola barisan tersebut? Tentukan
banyak kelereng pada kelompok ke-15?.
Contoh5.1
Perhatikan barisan huruf berikut:
ABBCCCDDDDABBCCCDDDDABBCCCDDDD . . . .
Amatilah barisan huruf tersebut terlebih dahulu! Tentukanlah huruf
pada urutan 25 × 33!
Contoh 5.2
Sebuah barisan bilangan asli dituliskan sebagai berikut: 12345678910
11121314151617181920212223242526 . . . sehingga suku ke-10 = 1, suku
ke-11 = 0, suku ke-12 = 1 dan seterusnya. Dapatkah kamu temukan
angka yang menempati suku ke-2004?
Contoh 5.4
Suatu barisan dengan pola sn = 2n3– 3n2. Tentukan pola barisan tersebut
kemudian tentukanlah suku ke-10.
Masalah 5.2
Perhatikan gambar tumpukan jeruk di
samping ini! Bagaimana cara menentukan atau menduga banyak jeruk dalam
satu tumpukan?
•
Gambar 5.3: Tumpukan Buah Jeruk
Guru memberikan kesempatan siswa untuk mengikuti instruksi
pada kegiatan.
• Berilah kesempatan kepada siswa untuk mendiskusikan tentang
hubungan antara data terhadap konsep barisan yang diperoleh
untuk membangun persepsi awal.
Menanya
• Siswa diupayakan untuk bertanya tentang hubungan susunan benda
ataupun angka terhadap konsep barisan dan barisan aritmatika
• Guru memastikan kelompok dapat bekerja sama dalam merumuskan konsep yang akan dicapai dengan melemparkan ataupun
merangsang siswa untuk bertanya.
MATEMATIKA
115
Menalar
• Guru memberikan kesempatan siswa untuk merancang model
barisan dan barisan aritmetika dari setiap permasalahan yang ada
• Ajaklah siswa untuk mendiskusikan permasalahan yang terdapat
pada setiap buku siswa sehingga diperoleh keterkaitan masalah
yang membentuk asumsi awal terhadap konsep barisan dan barisan
aritmetika.
Mengomunikasikan
• Mintalah siswa untuk berbagi hasil karyanya ke teman
sebangkunya, dan pastikan temannya yang menerima hasil karya
tersebut memahami apa yang harus dilakukan.
• Guru memberikan kesempatan siswa untuk dapat menyatakan
sendiri konsep barisan dengan bahasa dan penyampaiannya
sendiri.
• Guru memastikan siswa dapat menjelaskan pola barisan dan
barisan aritmetika secara iteratif.
• Guru memastikan siswa dapat memahami pola barisan dan barisan
aritmatika secara rekursif.
3.
Kegiatan Penutup
• Periksalah apakah semua kelompok sudah mengumpulkan tugastugasnya dan apakah identitas kelompok sudah jelas
• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan
menggunakan rubrik penilaian
• Guru sebaiknya hanya mengkonirmasi akan kebenaran konsep
barisan yang diperoleh siswa.
Penilaian
1. Prosedur Penilaian
No.
1.
2.
3.
4.
5.
Aspek yang dinilai
Berani bertanya
Berpendapat
Mau mendengar orang lain
Bekerja sama
Pemahaman konsep
116 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Teknik Penilaian
Pengamatan
Pengamatan
Pengamatan
Pengamatan
Tes Tertulis
Waktu Penilaian
Kegiatan inti
Kegiatan inti
Kegiatan inti
Kegiatan inti
Kegiatan penutup
2. Instrumen Pengamatan Sikap
Rasa ingin tahu
1. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha untuk mencoba
atau bertanya atau acuh tak acuh (tidak mau tau) dalam proses
pembelajaran
2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk mencoba atau bertanya
dalam proses pembelajaran tetapi masih belum konsisten
3. Sangat baik jika menunjukkan adanya usaha untuk mencoba atau
bertanya dalam proses pembelajaran secara kontinu dan konsisten
Indikator perkembangan sikap tanggung jawab (dalam kelompok)
1. Kurang baik jika menunjukkan sama sekali tidak ambil bagian dalam
melaksanakan tugas kelompok.
2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha ambil bagian dalam
melaksanakan tugas kelompok tetapi belum konsisten.
3. Sangat baik jika menunjukkan sudah ambil bagian dalam
menyelesaikan tugas kelompok secara kontinu dan konsisten.
Bubuhkan tanda pada kolom-kolom sesuai hasil pengamatan.
No.
Nama
Rasa Ingin Tahu
SB
B
KB
Tanggung Jawab
SB
B
KB
1.
2.
3.
...
...
...
29.
30.
SB = Sangat Baik
B = Baik
KB = Kurang Baik
MATEMATIKA
117
3. Instrumen penilaian 1:
Petunjuk:
1. Kerjakan soal berikut secara individu, dilarang bekerja sama dan
dilarang menyontek.
2. Selesaikanlah soal-soal berikut ini:
Soal:
1. Bila a, b, c merupakan suku berurutan yang membentuk barisan
aritmetika, buktikan bahwa ketiga suku berurutan berikut ini juga
1 1 1
membentuk barisan aritmetika bc , ca , ab
2. Tentukan banyak bilangan asli yang kurang dari 999 yang tidak habis
dibagi 3 atau 5 adalah . . . .
3. Diketahui barisan yang dibentuk oleh semua bilangan asli 1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 . . .
Angka berapakah yang terletak pada bilangan ke 2004? (bilangan
ke-12 adalah angka 1 dan bilangan ke-15 adalah angka 2).
4. Pola ABBCCCDDDDABBCCCDDDDABBCCCDDDD . . . berulang
sampai tak hingga. Huruf apakah yang menempati urutan 2634?
5. Diketahui barisan yang dibentuk oleh semua bilangan asli 1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 . . . .
Angka berapakah yang terletak pada bilangan ke 2013? (bilangan ke12 adalah angka 1 dan bilangan ke-15 adalah angka 2).
Pedoman Penilaian
No.
Aspek Penilaian
Soal
1. Keterampilan
menghitung
2.
3.
Rubrik Penilaian
Dijawab benar
Dijawab salah
Tidak ada jawaban
Pemahaman konsep
Dijawab benar
Dijawab salah
Tidak ada jawaban
Keterampilan dan
Dijawab benar
ketelitian menghitung Dijawab salah
118 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Skor
20
5
0
20
5
0
20
10
0
Skor
Maksimal
20
20
20
No.
Aspek Penilaian
Rubrik Penilaian
Soal
4. Keterampilan dan
Dijawab benar
ketelitian menghitung Dijawab salah
Tidak ada jawaban
5. Pemahaman konsep
Dijawab benar
Dijawab salah
Skor maksimal
Skor minimal
=
=
Skor
20
10
0
20
10
0
100
0
Skor
Maksimal
20
20
100
0
5.3 Menemukan Konsep Barisan Geometri
Sebelum Pelaksanaan Kegiatan
1. Pastikan siswa sudah paham dengan konsep dan pola barisan.
2. Berikan motivasi pada siswa akan pentingnya belajar barisan
geometri.
3. Pilih dan rancang masalah sederhana untuk membelajarkan barisan
geometri.
No.
Deskripsi Kegiatan
1. Kegiatan Pendahuluan
• Apersepsi
a. Memberi motivasi pentingnya materi ini.
b. Memberi informasi tentang kompetensi yang akan dicapai.
2. Kegiatan Inti
Pengantar
Sebelum melakukan kegiatan inti sebaiknya guru:
1. Mengingatkan kembali tentang pengertian barisan dan pola
barisan.
2. Ajak siswa untuk mengamati dan mendiskusikan beberapa contoh
dan masalah yang diberikan.
MATEMATIKA
119
Mengamati
• Arahkan siswa siswa mengamati setiap contoh-contoh yang
berkaitan dengan barisan geometri
Contoh 5.6
Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16, . . .
2
4
8
16
X2
X2
X2
32
X2
u2 u3
un
..
= .=
= 2 . Jika nilai perbandingan
Nilai perbandingan =
u1 u2
un − 1
dua suku berurutan dimisalkan r dan nilai suku pertama adalah a, maka
susunan bilangan tersebut dapat dinyatakan dengan 2, 2 × 2, …
Perhatikan gambar berikut ini!
U1
U1
U1
U1
U1
U1
2
2×2
2×2×2
2 × 2 × 2 × 2 2× 2 × 2 × 2 × 2
...
a
a×r
a×r×r
a×r×r×r a×r×r×r×r
...
ar1 – 1
ar2 – 2
ar3 – 2
ar4 – 2
ar5 – 2
arn – 1
U1 = a
U2 = ar
U3 = ar2
U4 = ar3
U5 = ar4
Un = arn – 1
2
dari pola di atas dapat disimpulkan bahwa un = arn – 1
• Berilah kesempatan kepada siswa untuk mendisikusikan penyelesaian sederhana dari model barisan geometri tersebut.
120 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
3.
Menanya
• Siswa diupayakan untuk bertanya tentang solusi alternatif yang
dapat ditemukan
• Guru memastikan kelompok dapat bekerja sama dalam merumuskan konsep yang akan dicapai dengan melemparkan ataupun
merangsang siswa untuk bertanya.
Menalar
• Ajaklah siswa untuk mendiskusikan permasalahan yang terdapat
pada setiap buku siswa sehingga diperoleh penyelesaian barisan
geometri
• Guru memberikan kesempatan siswa untuk merancang model
barisan aritmatika dari setiap permasalahan yang ada
Mengomunikasikan
• Mintalah siswa untuk berbagi hasil karyanya pada teman dan
pastikan semua siswa memahami konsep dan penyelesaian barisan
geometri.
• Guru memberikan kesempatan siswa untuk dapat menyatakan
sendiri konsep barisan geometri dengan bahasa dan penyampaiannya sendiri.
• Guru memastikan siswa dapat memahami pola barisan geometri
secara iteratif.
• Guru memastikan siswa dapat memahami pola barisan geometri
secara rekursif.
• Guru memastikan siswa menemukan solusi alternatif dari barisan
geometri.
Kegiatan Penutup
• Mintalah siswa untuk melakukan releksi dan menuliskan hal
penting dari yang dipelajarinya
• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan
menggunakan rubrik penilaian
• Jika dipandang perlu, berilah siswa latihan untuk dikerjakan di
rumah
MATEMATIKA
121
Penilaian
1. Prosedur Penilaian
No. Aspek yang dinilai
1.
Berani bertanya
2.
Berpendapat
3.
4.
Mau mendengar
orang lain
Bekerja sama
5.
Pemahaman konsep
Teknik
Waktu Penilaian
Penilaian
Pengamatan Kegiatan Ayo Kita Amati
dan Bertanya
Pengamatan Kegiatan Ayo Kita Mencoba
dan Berbagi
Pengamatan Kegiatan Ayo Kita Berbagi
Pengamatan Kegiatan Ayo Kita Menggali
Informasi dan Bernalar
Tes Tertulis Kegiatan Penutup
2. Instrumen Pengamatan Sikap:
Rasa ingin tahu
1. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha untuk mencoba
atau bertanya atau acuh tak acuh (tidak mau tahu) dalam proses
pembelajaran
2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk mencoba atau bertanya
dalam proses pembelajaran tetapi masih belum konsisten
3. Sangat baik jika menunjukkan adanya usaha untuk mencoba atau
bertanya dalam proses pembelajaran secara kontinu dan konsisten
Indikator perkembangan sikap tanggung jawab (dalam kelompok)
1. Kurang baik jika menunjukkan sama sekali tidak ambil bagian dalam
melaksanakan tugas kelompok.
2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha ambil bagian dalam
melaksanakan tugas kelompok tetapi belum konsisten.
3. Sangat baik jika menunjukkan sudah ambil bagian dalam
menyelesaikan tugas kelompok secara kontinu dan konsisten.
122 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Bubuhkan tanda √ pada kolom-kolom sesuai hasil pengamatan.
Rasa Ingin Tahu
Tanggung Jawab
No.
Nama
SB
B
KB
SB
B
KB
1.
2.
3.
...
...
...
29.
30.
SB = Sangat Baik
B = Baik
KB = Kurang Baik
3. InstrumenPenilaian:
Petunjuk:
1. Kerjakan soal berikut secara individu, dilarang bekerja sama dan
dilarang menyontek.
2. Selesaikanlah soal-soal berikut ini:
Soal:
1. Tentukan rumus suku ke-n dan suku ke-10 dari barisan bilangan di
bawah ini!
a) 1, 4, 16, 24, . . .
b) 5, 10, 20, 40, …
c) 9, 27, 81, 243, …
d) 1 , 1 , 1, 5, …
25 5
e) 81, 27, 9, 3, …
2. Tentukan rasio dan suku pertama dari barisan geometri di bawah ini!
a) Suku ke-4 = 8 dan suku ke-6 = 729
b) Suku ke-2 = 6 dan suku ke-5 = 162
c) U3 = 10 dan U6 = 1,25
MATEMATIKA
123
3. Selesaikan barisan geometri di bawah ini!
a) Suku ke-4 = 27 dan suku ke-6 = 243, tentukan suku ke-8
b) U2 = 10 dan U6 = 10, tentukan U9
c) U2 = 2 2 dan U5 = 8, tentukan U10
4. Tentukan hasil dari jumlah bilangan di bawah ini !
a) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … (sampai 10 suku)
b) 54 + 18 + 6 + 2 + … (sampai 9 suku)
c) 5 – 15 + 45 – 135 + … (sampai 8 suku)
d) 1 + 1 + 3 + 2 + 9 + 4 + 27 + 8 + … (sampai 19 suku)
1
1
e) 8 + 7 + 9 + 3 + . . . + 27 + 81 = . . .
5. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika suku ketiga
ditambah 3 dan suku kedua dikurangi 1, diperoleh barisan geometri.
Jika suku ketiga barisan aritmetika ditambah 8, maka hasilnya menjadi
5 kali suku pertama. Tentukan beda dari barisan aritmetika tersebut!
Pedoman Penilaian
No.
Aspek Penilaian
Soal
1. Keterampilan
menghitung
2.
Keterampilan
menghitung
3.
Keterampilan
menghitung
Rubrik Penilaian
Skor
Dijawab benar
Dijawab salah
Tidak ada jawaban
Dijawab benar
Dijawab salah
Tidak ada jawaban
Dijawab benar
Dijawab salah
Tidak ada jawaban
20
5
0
20
5
0
20
5
0
124 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Skor
Maksimal
20
20
20
No.
Aspek Penilaian
Soal
4. Keterampilan
menghitung
5.
Keterampilan
menguraikan
Rubrik Penilaian
Skor
Dijawab benar
Dijawab salah
Tidak ada jawaban
Dijawab benar
Dijawab salah
Tidak ada jawaban
Skor maksimal =
Skor minimal =
20
10
0
20
10
0
100
0
Skor
Maksimal
20
20
100
0
5.4 Aplikasi Barisan
Sebelum Pelaksanaan Kegiatan
1. Pastikan siswa sudah paham dengan konsep dan pola barisan.
2. Berikan motivasi pada siswa akan pentingnya belajar barisan
geometri.
3. Pilih dan rancang masalah sederhana untuk membelajarkan barisan
geometri.
No.
Deskripsi Kegiatan
1. Kegiatan Pendahuluan
• Apersepsi
a. Memberi motivasi pentingnya materi ini.
b. Memberi informasi tentang kompetensi yang akan dicapai.
2. Kegiatan Inti
Pengantar
Sebelum melakukan kegiatan inti sebaiknya guru:
1. Mengingatkan kembali tentang pengertian barisan, barisan
aritmetika dan geometri.
2. Ajak siswa untuk mengamati dan mendiskusikan beberapa contoh
dan masalah yang diberikan.
MATEMATIKA
125
Mengamati
• Arahkan siswa siswa mengamati setiap masalah dan contoh yang
berkaitan dengan barisan
• Guru memberikan kesempatan siswa untuk merancang model
barisan dari setiap permasalahan yang berkaitan dengan barisan
antara lain pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk, dan
anuitas.
Masalah 5.6
• Seorang peneliti mengamati perkembangan koloni bakteri yang
terbentuk setiap jam. Apabila jumlah koloni bakteri mula-mula
100 dan setiap bakteri membelah menjadi dua setiap jam. Peneliti
ingin mengetahui jumlah koloni bakteri yang terbentuk dalam
waktu 50 jam dan buatlah graik dari model persamaan yang
ditemukan!
Contoh 5.9
• Penduduk suatu kota metropolitan tercatat 3,25 juta jiwa pada
tahun 2008, diperkirakan menjadi 4,5 jiwa pada tahun 2013. Jika
tahun 2008 dianggap tahun dasar, berapa persen pertumbuhannya?
Berapa Jumlah penduduknya pada tahun 2015?
Masalah 5.7
Suatu neutron dapat pecah
mendadak menjadi suatu proton
dan elektron dan ini terjadi
sedemikian sehingga jika kita
memiliki 1.000.000 neutron,
kira-kira 5 % dari padanya akan
berubah pada akhir satu menit.
Berapa neutron yang masih ada
setelah n menit dan 10 menit?
Gambar 5.12: Peluruhan Atom
126 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Masalah 5.8
Ovano menerima uang warisan sebesar Rp. 70.000.000,- dari orang
tuanya dan berniat untuk menginvestasikan dalam bentuk tabungan
di bank selama 5 tahun. Dia menjajaki dua bank yang memiliki sistim
pembungaan yang berbeda. Bank BCL menggunakan bunga tunggal
sebesar 10 % per tahun dan Bank PHP menggunakan majemuk sebesar
9% per tahun. Dari hasil perhitungan pihak bank ia memperoleh
ilustrasi investasi sebagai berikut:
Dari ilustrasi investasi di atas diperoleh kesimpulan bahwa walaupun
Bank PHP menawarkan bunga majemuk yang lebih kecil daripada
bunga tunggal Bank BCL namun hasil investasi yang dihasilkan
adalah lebih besar.
• Berilah kesempatan kepada siswa untuk mendiskusikan penyelesaian sederhana dari model barisan tersebut
Menanya
• Siswa diupayakan untuk bertanya tentang solusi alternatif yang
dapat ditemukan.
• Guru memastikan kelompok dapat bekerja sama dalam merumuskan konsep yang akan dicapai dengan melemparkan ataupun
merangsang siswa untuk bertanya.
Menalar
• Ajaklah siswa untuk mendiskusikan permasalahan yang terdapat
pada setiap buku siswa sehingga diperoleh penyelesaian barisan
yang berkaitan dengan pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk,
dan anuitas.
MATEMATIKA
127
Mengomunikasikan
• Mintalah siswa untuk berbagi hasil karyanya pada teman dan
pastikan semua siswa memahami prosedur penyelesaian barisan
• Guru memberikan kesempatan siswa untuk dapat menyelesaikan
masalah barisan yang berkaitan dengan pertumbuhan, peluruhan,
bunga majemuk, dan anuitas.
• Guru memastikan siswa menemukan solusi-solusi alternatif dari
aplikasi barisan.
3.
Kegiatan Penutup
• Mintalah siswa untuk melakukan releksi dan menuliskan hal
penting dari yang dipelajarinya
• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan
menggunakan rubrik penilaian
• Jika dipandang perlu, berilah siswa Uji Kompetensi 5.3 untuk
dikerjakan di rumah
• Doa dan salam
Penilaian
1. Prosedur Penilaian
No. Aspek yang dinilai
1.
Berani bertanya
2.
Berpendapat
3.
4.
Mau mendengar
orang lain
Bekerja sama
5.
Pemahaman konsep
Teknik
Waktu Penilaian
Penilaian
Pengamatan Kegiatan Ayo Kita Amati
dan Bertanya
Pengamatan Kegiatan Ayo Kita Mencoba
dan Berbagi
Pengamatan Kegiatan Ayo Kita Berbagi
Pengamatan Kegiatan Ayo Kita Menggali
Informasi dan Bernalar
Tes Tertulis Kegiatan Penutup
128 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
2. Instrumen Pengamatan Sikap:
Rasa ingin tahu
1. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha untuk mencoba atau bertanya
atau acuh tak acuh (tidak mau tau) dalam proses pembelajaran
2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha untuk mencoba atau bertanya
dalam proses pembelajaran tetapi masih belum ajag/konsisten
3. Sangat baik jika menunjukkan adanya usaha untuk mencoba atau
bertanya dalam proses pembelajaran secara terus menerus dan ajeg/
konsisten
Indikator perkembangan sikap tanggung jawab (dalam kelompok)
1. Kurang baik jika menunjukkan sama sekali tidak ambil bagian dalam
melaksanakan tugas kelompok.
2. Baik jika menunjukkan sudah ada usaha ambil bagian dalam
melaksanakan tugas kelompok tetapi belum ajeg/konsesten.
3. Sangat baik jika menunjukkan sudah ambil bagian dalam menyelesaikan
tugas kelompok secara kontinu dan konsisten.
Bubuhkan tanda pada kolom-kolom sesuai hasil pengamatan.
Rasa Ingin Tahu
Tanggung Jawab
No.
Nama
SB
B
KB
SB
B
KB
1.
2.
3.
...
...
...
29.
30.
SB = Sangat Baik
B = Baik
KB = Kurang Baik
MATEMATIKA
129
3. Instrumen Penilaian:
Petunjuk:
1. Kerjakan soal berikut secara individu, tidak boleh menyontek dan
tidak boleh bekerja sama.
2. Jawablah pertanyaan/perintah di bawahnya.
Soal:
1. Pertumbuhan penduduk biasanya dinyatakan dalam persen.
Misalnya, pertumbuhan penduduk adalah 2% per tahun artinya
jumlah penduduk bertambah sebesar 2% dari jumlah penduduk tahun
sebelumnya. Pertambahan penduduk menjadi dua kali setiap 10 tahun.
Jumlah penduduk desa pada awalnya 500 orang, berapakah jumlah
penduduknya setelah 70 tahun apabila pertumbuhannya 2,5%?
2. Kultur jaringan terhadap 1.500 bakteri yang diuji di laboratorium
menunjukkan bahwa satu bakteri dapat membelah diri dalam waktu 2
jam.
a. Tentukan apakah ini termasuk masalah pertumbuhan atau
peluruhan, berikan alasanmu?
c. Tentukan banyak bakteri setelah 20 jam.
d. Tentukan banyak bakteri setelah n jam.
3. Pada awal bekerja Amat mempunyai gaji Rp. 200 ribu per bulan. Tiap
tahun gaji Amat naik sebesar Rp. 15 ribu per bulan. Berapa gaji Amat
setelah dia bekerja selama 7 tahun?
4. Seseorang menabung Rp800.000 pada tahun pertama, tiap tahun
tabungannya ditambah dengan Rp15.000 lebih banyak daripada tahun
sebelumnya. Berapakah jumlah simpanannya pada akhir tahun ke
10?
5. Sebuah mobil seharga Rp600.000.000,00,- mengalami penyusutan
harga setiap tahun membentuk barisan geometri dengan rasionya
1
adalah . Hitunglah harga mobil pada tahun ke- 5?
3
130 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Pedoman Penilaian
No.
Aspek Penilaian
Soal
1. Keterampilan
menghitung
F.
2.
Keterampilan
menghitung
3.
Keterampilan
menghitung
4.
Keterampilan
menghitung
5.
Keterampilan
menguraikan
Rubrik Penilaian
Skor
Dijawab benar
Dijawab salah
Tidak ada jawaban
Dijawab benar
Dijawab salah
Tidak ada jawaban
Dijawab benar
Dijawab salah
Tidak ada jawaban
Dijawab benar
Dijawab salah
Tidak ada jawaban
Dijawab benar
Dijawab salah
Tidak ada jawaban
Skor maksimal =
Skor minimal =
20
10
0
20
5
0
20
5
0
20
5
0
20
5
0
100
0
Skor
Maksimal
20
20
20
20
20
100
0
Pengayaan
Pengayaan merupakan kegiatan yang diberikan kepada siswa yang memiliki
aselerasi pencapaian KD yang cepat (nilai maksimal) agar potensinya
berkembang optimal dengan memanfaatkan sisa waktu yang dimilikinya.
Guru sebaiknya merancang kegiatan pembelajaran lanjut yang terkait dengan
barisan pada siswa.
MATEMATIKA
131
G.
Remedial
Remedial merupakan perbaikan proses pembelajaran yang bertujuan
pada pencapaian kompetensi dasar siswa. Guru memberikan perbaikan
pembelajaran baik pada model, metode serta strategi pembelajaran. Jika guru
melakukan pembelajaran dengan pola yang sama tidaklah maksimal sehingga
disarankan guru memilih tindakan pembelajaran yang tepat sehingga siswa
mampu memenuhi KD yang diharapkan.
Perlu dipahami oleh guru, bahwa remedial bukan mengulang tes
(ulangan harian) dengan materi yang sama, tetapi guru memberikan perbaikan
pembelajaran pada KD yang belum dikuasai oleh peserta didik melalui upaya
tertentu. Setelah perbaikan pembelajaran dilakukan, guru melakukan tes untuk
mengetahui apakah peserta didik telah memenuhi kompetensi minimal dari
KD yang diremedialkan.
H.
Rangkuman
Beberapa hal penting sebagai kesimpulan dari hasil pembahasan materi
barisan, disajikan sebagai berikut.
1. Barisan bilangan adalah sebuah fungsi dengan domainnya himpunan
bilangan asli dan rangenya suatu himpunan bagian dari himpunan bilangan
real.
2. Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang memiliki selisih dua suku
berurutan selalu tetap. Selisih dua suku berurutan disebut beda.
3. Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki hasil bagi dua
suku berurutan adalah tetap. Hasil bagi dua suku berurutan disebut rasio.
Masih banyak jenis barisan yang akan kamu pelajari pada jenjang
yang lebih tinggi, seperti barisan naik dan turun, barisan harmonik, barisan
Fibonacci, dan lain sebagainya. Kamu dapat menggunakan sumber bacaan
lain untuk lebih mendalami sifat-sifat barisan
132 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
BAB
6
Limit Fungsi
A.
Kompetensi Inti
Sikap
1. Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.
2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung
jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi
secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam
menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan
dunia.
Pengetahuan
3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual,
konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingin tahunya tentang
ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradab-an terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesiik
sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
Keterampilan
4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah
abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya
di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metode
sesuai kaidah keilmuan.
MATEMATIKA
133
B.
Kompetensi Dasar dan Indikator
Indikator pencapaian kompetensi pada pembelajaran dapat dikembangkan
guru sendiri berdasarkan kondisi peserta didik masing-masing di tempat guru
mengajar. Berikut ini dipaparkan contoh Indikator Pencapaian Kompetensi
Pembelajaran yang dapat dijabarkan dari KD 3.7 dan KD 4.7.
No.
Kompetensi Dasar
Indikator Pencapaian Kompetensi
1. 3.7 M enje la s k an limit 3.7.1 Mengomunikasikan makna batas
fungsi aljabar (fungsi
dalam konsep limit.
polinom dan fungsi 3.7.2 Menemukan contoh aplikasi limit
rasional) secara
fungsi dalam kehidupan sehariintuitif dan sifathari.
sifatnya, menentukan 3.7.3 Menunjukkan limit kiri dan limit
eksistensi.
kanan pada suatu fungsi.
3.7.4 Menunjukkan limit suatu fungsi
secara intuitif berdasarkan
gambar.
3.7.5 Menunjukkan bentuk tentu dan tak
tentu suatu fungsi pada titik tertentu
dan menunjukkan dalam graik.
3.7.6 Menemukan sifat-sifat limit suatu
fungsi.
3.7.7 Menggunakan sifat-sifat suatu
fungsi dalam menemukan limit
fungsi tersebut.
3.7.8 Menemukan limit suatu fungsi
aljabar.
2. 4.7 Menyelesaikan masalah 4.7.1 Menggunakan konsep limit dalam
yang berkaitan dengan
menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan limit fungsi
limit fungsi aljabar.
aljabar (polinom dan rasional).
4.7.2 Menentukan limit suatu fungsi
dengan menggunakan cara
pendekatan nilai, memfaktorkan
atau dengan pergantian fungsi.
134 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
C. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari konsep limit fungsi melalui pengamatan, menalar,
tanya jawab, mencoba menyelesaikan persoalan, penugasan individu dan
kelompok, diskusi kelompok, dan mengomunikasikan pendapatnya, siswa
mampu:
1. Melatih siswa menumbuhkan sikap perilakujujur, disiplin, tanggung jawab,
peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan
pro-aktif, berani bertanya, berpendapat, dan menghargai pendapat orang
lain dalam aktivitas sehari-hari.
2. Menunjukkan rasa ingin tahu dalam memahami konsep dan menyelesaikan
masalah.
3. Menyebutkan contoh-contoh aplikasi limit fungsi dalam kehidupan seharihari
4. Menunjukkan limit kiri dan limit kanan pada suatu fungsi dengan tabel
dan gambar.
5. Menunjukkan limit suatu fungsi secara intuitif berdasarkan gambar.
6. Memberi contoh fungsi yang mempunyai bentuk tentu dan tak tentu pada
titik tertentu.
7. Menunjukkan bentuk tentu dan tak tentu suatu fungsi pada titik tertentu
dan menunjukkan dalam graik.
8. Menemukan sifat-sifat limit suatu fungsi dan mengomunikasikannya
dengan kata-kata sendiri.
9. Menggunakan sifat-sifat suatu fungsi dalam menemukan limit fungsi
tersebut.
10. Menemukan limit suatu fungsi aljabar dengan pendekatan nilai dan
manipulasi aljabar.
11. Menggunakan konsep limit dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan
dengan limit fungsi aljabar (polinom dan rasional).
12. Menentukan limit suatu fungsi dengan menggunakan cara pendekatan nilai,
memfaktorkan atau dengan pergantian fungsi.
MATEMATIKA
135
D.
Diagram Alir
Fungsi
Masalah
Autentik
Materi
Prasyarat
Fungsi
Aljabar
Range
Domain
Limit Fungsi
Aljabar
Limit Fungsi
Pada Suatu
Titik
136 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Sifat Limit
Fungsi Aljabar
E. Proses Pembelajaran
6.1 Konsep Limit Fungsi
Sebelum Pelaksanaan Kegiatan
• Bentuk kelompok kecil siswa (3–4 orang) yang heterogen. Perhatikan
karakteristik siswa dalam satu kelompok sehingga mendukung pembelajaran yang eisien dan efektif.
• Informasikan tujuan pembelajaran dan tata cara penilaian selama
proses pembelajaran.
• Siapkan semua fasilitas yang mendukung selama proses pembelajaran.
• Siapkan RPP dan form penilaian.
No.
Deskripsi Kegiatan
1. Kegiatan Pendahuluan
• Salam dari guru dan Doa dipimpin oleh salah satu siswa.
• Apersepsi
– Ingatkan siswa konsep fungsi (daerah asal, daerah kawan, dan
daerah hasil) dan komposisinya.
– Perkenalkan sekilas materi limit fungsi serta aplikasinya
dalam kehidupan sehari-hari.
– Motivasi siswa untuk semangat mempelajari materi limit
fungsi.
– Informasikan tujuan pembelajaran dan tata cara penilaian.
2. Kegiatan Inti
Ayo mengamati
Gambar 6.1
• Arahkan siswa melihat dan memberikan kesempatan mengamati
gambar tersebut. Tanya siswa, apakah jika melihat benda yang
bergerak semakin jauh maka ukuran objek seakan-akan semakin
kecil? Minta siswa untuk memberikan komentar!
• Informasikan bahwa bukan ukuran benda yang semakin kecil
tetapi mata yang mempunyai batas melihat benda-benda yang
jauh.
MATEMATIKA
137
•
Bantu siswa memahami hubungan Gambar 6.1 dengan Gambar
6.2. Gambar 6.2 adalah sketsa sederhana visual bentuk badan
jalan sesuai dengan Gambar 6.1 dengan posisi memandang di
tengah jalan, sehingga tampak lebar jalan seakan-akan menyempit
dari kiri dan kanan badan jalan. Tujuannya adalah memberikan
ilustrasi pendekatan kiri dan kanan.
6.1.1 Menemukan Konsep Limit Fungsi
Ayo Menalar
Masalah 6.1
• Minta siswa untuk memahami Masalah 6.1 dalam menemukan
konsep limit. Beri kasus yang sama dengan pendekatan ke bilangan
yang lain.
• Ajak siswa mencari bilangan bulat yang dekat ke 3. Ajak kembali
siswa mencari bilangan real yang dekat ke 3. Pandu siswa memahami dan mencari jawaban dengan Gambar 6.3.
• Berdasarkan Gambar 6.3, misalkan bilangan real yang dekat ke 3
adalah 2,75 atau 3,25. jika interval 2,75 sampai 3,25 diperbesar
sehingga diperoleh bahwa ada bilangan real lain yang lebih dekat
ke 3, tetapi jika diperbesar kembali interval 2,99 sampai 3,01 maka
akan lebih mudah melihat kembali bilangan yang dekat ke 3 dan
seterusnya.
• Bantu siswa memahami bahwa banyak bilangan real yang sangat
dekat ke 3.
• Bantu siswa memahami pemisalan x sebagai bilangan-bilangan
yang mendekati 3 sehingga tertulis x → 3. Perkenalkan simbol
”x → 3”. Perkenalkan pendekatan kiri dengan simbol ”x → 3–”,
serta pendekatan kanan dengan simbol ” x → 3+”.
• Berikan contoh kasus yang sama sebagai pembanding agar siswa
lebih mudah memahami.
Ayo menalar
Masalah 6.2
• Minta siswa untuk memahami Masalah 6.2 dan memahami Gambar
6.4.
138 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
•
•
Informasikan maksud gambar bahwa andaikan gerak lintasan bola
dan gerak lintasan atlet dimisalkan kurva. Bola dan tangan atlet
sama-sama bergerak saling mendekati pada saat dan ketinggian
tertentu. Berikan ide-ide secara bebas dan terbuka. Pandu siswa
untuk membangun sebuah konsep limit fungsi dan pendeinisian
tentang limit fungsi.
Jelaskan pergerakan bola menuju atlet dan pergerakan atlet menuju
bola akan bertemu disuatu saat, misalkan di saat tertentu itu adalah
x = c dan ketinggian di saat tertentu itu adalah y = L. Arahkan
kembali ke Gambar 6.4 (b).
6.1.2 Pemahaman Intuitif Limit Fungsi
Ayo Menalar
Limit Fungsi untuk f(x) = x + 1 untuk x ∈ R.
• Ingatkan siswa konsep fungsi (daerah asal, daerah kawan, daerah
hasil dan sketsanya di bidang koordinat kartesius).
• Pandu siswa memahami limit fungsi secara intuitif, dengan
memperkenalkan limit kiri dan limit kanan dengan memperlihatkannya pada gambar. Sepakati bahwa sebelah kiri suatu
titik pada garis bilangan horizontal adalah kiri, dan arah sebaliknya
adalah kanan.
• Pandu siswa memahami limit secara intuitif pada f(x) = x + 1
untuk x ∈ R berdasarkan Tabel 6.1 dan Gambar 6.5.
• Demonstrasikan proses pengisian setiap sel pada Tabel 6.1.
Minta siswa mengamati gerakan bilangan dari kiri dan kanan
bilangan 2.
• Tunjukkan dan jelaskan pergerakan bilangan dari kiri dan kanan
bilangan 2 di sumbu x akan mempengaruhi gerakan bilangan dari
atas dan bawah bilangan 3 di sumbu y.
Ayo Menanya
• Arahkan kelas ke sesi tanya-jawab. Guru memberi kesempatakan
kepada siswa untuk bertanya, dan siswa lainnya memberi komentar
sebelum guru memberi tanggapan dan memberi jawaban atas
pertanyaan siswa. Guru memperhatikan siswa yang belum berani
memberi komentar dan mengarahkannya berkomunikasi.
MATEMATIKA
139
Ayo Menalar
• Dengan proses yang sama, perintahkan siswa berdiskusi, menalar
x2 − 1
limit fungsi untuk f(x) = x − 1 untuk x ≠ 1, x ∈ R.
x2 − 1
• Dengan panduan yang sama untuk f(x) = x − 1 untuk x ∈ R, x ≠ 1,
minta siswa mengamati Gambar 6.6 dan Tabel 6.2. Arahkan siswa
foku smengamati nilai pendekatan ke 2 di sumbu x dan pendekatan
ke 3 di sumbu y pada Tabel 6.2.
• Arahkan siswa melakukan pengamatan pergerakan bilangan
dari kiri dan kanan angka 1 di sumbu x akan berpengaruh pada
pergerakan bilangan dari atas dan bawah angka 2 di sumbu y.
• Minta siswa mencari nilai f(1)? Minta siswa mengamati hubungan
Tabel 6.2 dan Gambar 6.6.
Ayo Mengomunikasikan
• Sesuai dengan hasil diskusi kelompok, minta siswa menyaji
pendapat atau memberi komentar mereka akan limit fungsi
x2 − 1
f(x) = x − 1 untuk x ≠ 1, x ∈ R
Ayo menalar
•
•
jika x ≤ 1
x + 1 jika x > 1
Jelaskan bentuk fungsi f(x) =
123
•
123
Limit fungsi f(x) =
x2
untuk x ∈ R.
x2
jika x ≤ 1
x + 1 jika x > 1
untuk x ∈ R
Demonstrasikan proses pengisian setiap sel pada Tabel 6.3.
Arahkan siswa mengamati pergerakan bilangan dari kiri dan kanan
bilangan 1 pada sumbu x dan pergerakan hasil f(1) pada sumbu y.
Tunjukkan dan jelaskan gerakan bilangan dari kiri dan kanan
bilangan 1 di sumbu x akan berpengaruh pada gerakan bilangan
dari atas dan bawah f(1) di sumbu y. Minta siswa mencari nilai
f(1)? Arahkan siswa memberi komentar tentang nilai f(1).
140 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
•
Perkuat pemahaman siswa tentang limit kiri dan limit kanan
dengan menggunakan Gambar 6.7.
Bantu siswa memahami bahwa fungsi tersebut tidak mempunyai
limit di x = 1. Kenapa? Perkenalkan bentuk tentu dan tak tentu
suatu limit pada titik tertentu. Guru memberikan contoh-contoh
fungsi yang dimaksud.
Berikan kesempatan kepada siswa untuk menjelaskan dengan
kata-kata sendiri tentang limit kiri dan limit kanan berdasarkan
pemahaman pada contoh-contoh di atas.
Guru dan siswa bersama-sama membangun Deinisi 6.1
•
•
•
Deinisi 6.1
Misalkan f sebuah fungsi f : R → R dan misalkan L dan c anggota
himpunan bilangan real. lim f ( x) = L jika dan hanya jika f(x)
x →c
mendekati L untuk semua x mendekati c.
Latihan 6.1
• Koordinir siswa untuk berdiskusi mengerjakan Latihan 6.1 dan
menjelaskan di depan kelas serta mengumpulkan hasil diskusi.
Ayo Menalar
• Arahkan siswa untuk membentuk kelompok diskusi (3–4 orang).
Perintahkan siswa menghubungkan deinisi limit dengan Gambar
6.8 dan Gambar 6.9.
• Setelah salah satu kelompok menyajikan hasil kerja kelompoknya,
arahkan siswa ke sesi tanya-jawab. Dengan demikian, siswa
mempunyai kesempatan untuk memberikan komentar dan saling
menanggapi. Guru harus memberikan kesimpulan akhir.
• Berikut adalah alternatif penyelesaian Latihan 6.1.
Berdasarkan Gambar 6.8 maka:
Limit di x = –3
f(–3) = 5
Limit di x = 1
f(1) = 3
Limit di x = 4
f(4) = tidak tentu
lim f ( x) = 5
lim f ( x) = 3
x →1
lim f ( x) = 2
x→4
lim f ( x) = 5
lim f ( x) = 5,5
x →1
lim f ( x) = 2
x→4
x →−3+
x →−3−
+
−
+
−
MATEMATIKA
141
lim f ( x) ≠ lim+ f ( x)
lim f ( x) = lim f ( x)
x →1−
Ada limit
Tidak ada limit
x →−3−
x →−3
x →1
lim f ( x) = lim+ f ( x)
x → 4−
x→4
Ada limit
Berdasarkan Gambar 6.9 maka:
Gambar A
f(c) = ada
Gambar B
f(c) = ∞
x →c −
lim f ( x) = ada
x →c −
lim f ( x) = ada
x →c +
x →c +
lim f ( x) = –∞
lim f ( x) = +∞
Gambar C
f(c) = tidak tentu
Gambar D
f(c)= ada
x →c −
lim f ( x) = ada
x →c −
lim f ( x) = ada
x →c +
x →c +
lim f ( x) = ada
lim f ( x) = ada
lim f ( x) = lim+ f ( x) lim− f ( x) ≠ lim+ f ( x) lim− f ( x) = lim+ f ( x) lim− f ( x) ≠ lim+ f ( x)
x →c −
Ada limit
x →c
x →c
x →c
Tidak ada limit
x →c
Ada limit
x →c
x →c
x →c
Tidak ada limit
Ayo Menalar
• Minta siswa membaca Contoh 6.1 dan membantu siswa memahami
Contoh 6.1 melalui sketsa pada Gambar 6.10. Ingatkan siswa
bentuk umum fungsi kuadrat, fungsi linier dan fungsi konstan.
• Tunjukkan pada siswa model fungsi lintasan lebah dan sketsa
lintasannya pada Gambar 6.11.
• Bantu siswa memahami Tabel 6.4 dan Tabel 6.5 dengan
keterkaitannya pada Gambar 6.11.
• Demonstrasikan proses perhitungan limit kiri dan limit kanan pada
Tabel 6.4 danTabel 6.5serta menunjukkan keterkaitannya dengan
Gambar 6.11.
Ayo Mengkomunikasikan
• Minta siswa memberi komentar akan pendekatan f(t) pada saat t
mendekati 1 dari kiri–kanan, dan pada saat t mendekati 2 dari kirikanan sesuai dengan pemahaman mereka akan limit kiri dan limit
kanan pada Contoh 6.1 tersebut.
3.
Kegiatan Penutup
• Minta siswa mengomunikasikan kembali konsep-konsep materi
yang telah diketahui setelah pembelajaran.
• Siswa dan guru bersama-sama melakukan releks idan merangkumkan semua konsep dan sifat transformasi dari yang dipelajari.
142 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
•
•
•
Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan
menggunakan rubrik penilaian. Hasil kerja kelompok dikumpulkan
oleh guru.
Beri tugas kepada siswa sebagai latihan di rumah.
Informasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan
berikutnya.
6.2 Sifat-Sifat Limit Fungsi
Sebelum Pelaksanaan Kegiatan
3.6.1 Bentuk kelompok kecil siswa (3–4 orang) yang heterogen. Perhatikan
karakteristik siswa dalam satu kelompok sehingga mendukung
pembelajaran yang eisien dan efektif.
3.6.2 Informasikan tujuan pembelajaran dan tata cara penilaian selama
proses pembelajaran.
3.6.3 Siapkan semua fasilitas yang mendukung selama proses pembelajaran
No.
Deskripsi Kegiatan
1. Kegiatan Pendahuluan
• Salam dari guru dan doa dipimpin oleh salah satu siswa.
• Apersepsi
– Ingatkan siswa akan limit kiri dan limit kanan serta deinisi
limit fungsi yang telah dipelajari sebelumnya.
– Informasikan kepada siswa, materi yang akan dipelajari
adalah sifat-sifat limit fungsi.
2. Kegiatan Inti
Ayo menalar
• Ingatkan siswa materi sebelumnya. Berdasarkan Gambar 6.1,
Masalah 6.1, Masalah 6.2, pemahaman limit fungsi secara intuitif
serta Deinisi 6.1, Arahkan siswa untuk membangun Sifat 6.1.
f ( x)
• Perkenalkan kepada siswa simbol penulisan limit kiri lim
x →c
dan limit kanan lim f ( x)
−
x → c+
MATEMATIKA
143
Ayo Menalar
• Demonstrasikan Contoh 6.2 dan mengamati Tabel 6.6. Dengan
menggunakan konsep limit, arahkan siswa membangun Sifat 6.2.
Sifat 6.1
Misalkan f sebuah fungsi f : R → R dan L, c bilangan real. lim f ( x)
x →c
= L jika dan hanya jika lim f ( x) = L = lim f ( x) .
x → c−
•
x → c+
Sifat 6.2
Misalkan f(x) = k adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x
mendekati c, dengan k dan c adalah bilangan real, maka lim
fk (=x k.
x →c
Guru menambahi pemahaman akan Sifat 6.2 dengan menggunakan
gambar fungsi y = f(x) = k.
• Minta siswa mengkomunikasikan Sifat 6.2 dengan kata-kata
sendiri.
Ayo Menalar
• Demonstrasikan Contoh 6.3 dan mengamati Tabel 6.7. Dengan
menggunakan konsep limit, arahkan siswa membangun Sifat 6.3.
• Guru menambahi pemahaman akan Sifat 6.3 dengan menggunakan
gambar fungsi y = f(x) = k.
• Minta siswa mengkomunikasikan Sifat 6.3 dengan kata-kata
sendiri.
Sifat 6.3
Misalkan f(x) = x, adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada
x mendekati c, dengan c adalah bilangan real, maka lim
fx (=x c.
x →c
Ayo Menalar
• Demonstrasikan Contoh 6.4 dan mengamati Tabel 6.8. Dengan
menggunakan konsep limit, arahkan siswa membangun Sifat 6.4.
• Guru menambahi pemahaman akan Sifat 6.4 dengan menggunakan
gambar fungsi y = f(x) = kx dengan mengambil sembarang nilai k
bilangan real.
144 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
•
Minta siswa mengkomunikasikan Sifat 6.4 dengan kata-kata
sendiri.
Sifat 6.4
Misalkan f adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x
mendekati c, dengan k dan c adalah bilangan real, maka maka
lim
[kf(x)] = k[ lim
f(x)]
x →c
x →c
Ayo Menalar
• Demonstrasikan Contoh 6.5 dan mengamati Tabel 6.9. Dengan
menggunakan konsep limit, arahkan siswa membangun Sifat 6.5.
• Guru menambahi pemahaman akan Sifat 6.5 dengan menggunakan
gambar fungsi y = f(x) = kx2 dengan mengambil sembarang nilai
k bilangan real.
• Minta siswa mengkomunikasikan Sifat 6.5 dengan kata-kata
sendiri.
Sifat 6.5
Misalkan f, g adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x
mendekati c, lim [f(x)g(x)] = [ lim f(x)] [ lim g(x)]
x →c
x →c
x →c
Ayo Menalar
• Demonstrasikan Contoh 6.6 dan mengamati Tabel 6.10 dan
Tabel 6.11. Dengan menggunakan konsep limit, arahkan siswa
membangun Sifat 6.6.
• Guru menambahi pemahaman akan Sifat 6.6 dengan menggunakan
gambar fungsi f(x) =x2 – 4x dan f(x) =x2 + 4x.
• Minta siswa mengkomunikasikan Sifat 6.6 dengan kata-kata
sendiri.
Sifat 6.6
Misalkan f, g adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x
mendekati c, lim [f(x) ± g(x)] = [ lim f(x)] ± [ lim g(x)]
x →c
x →c
x →c
MATEMATIKA
145
Ayo Menalar
• Demonstrasikan Contoh 6.7 dan mengamati Tabel 6.12. Dengan
menggunakan konsep limit, arahkan siswa membangun Sifat 6.7.
• Minta siswa mengkomunikasikan Sifat 6.7 dengan kata-kata
sendiri.
Sifat 6.7
Misalkan f, g adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x
f ( x)
mendekati c, dengan c adalah bilangan real, maka lim
=
x →c
g
(
x
)
lim
f ( x)
x →c
= lim g(x) ≠ 0
lim
g ( x) x →c
x →c
Ayo Menalar
• Demonstrasikan Contoh 6.8 dan mengamati Tabel 6.13. Dengan
menggunakan konsep limit, arahkan siswa membangun Sifat 6.8.
• Guru menambahi pemahaman akan Sifat 6.8 dengan menggunakan
gambar fungsi y = f(x) = 8x3.
• Minta siswa mengkomunikasikan Sifat 6.8 dengan kata-kata
sendiri.
Sifat 6.8
Misalkan f adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x
mendekati c, dengan c adalah bilangan real dan n adalah bilangan
positif maka lim [ f(x)]n = [ lim f(x)]n
x →c
x →c
Ayo Menalar
• Koordinir siswa untuk membentuk kelompok dan mengerjakan
Latihan 6.2 dan mendemonstrasikan di depan kelas kerja serta
mengumpulkan hasil kerja kelompok.
• Berikut adalah alternatif penyelesaian Latihan 6.2.
146 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Latihan 6.2
3
Tunjukkan dengan pendekatan nilai, lim
x = lim
(3 x)
x→ 2
x→2
x
3
x
1,5 1,7 1,9 1,99 1,999 . . . 2
. . . 2,001 2,01 2,1 2,5
1,14 1,19 1,24 1,26 1,26
. . . 1,26 1,26 1,28 1,36 1,39
. . . 1,26
( 3 x )3 1,5 1,7 1,9 1,99 1,999 . . . 2
3.
. . . 2,001 2,01 2,1 2,5
2,7
2,7
Kegiatan Penutup
• Minta siswa mengkomunikasikan kembali konsep-konsep materi
yang telah diketahui setelah pembelajaran.
• Siswa dan guru bersama-sama melakukan releksi dan merangkumkan semua konsep dan sifat-sifat limit fungsi dari yang dipelajari.
• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan
menggunakan rubrik penilaian. Hasil kerja kelompok dikumpulkan
oleh guru.
• Beri tugas kepada siswa sebagai latihan di rumah.
• Informasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya.
6.3 Menentukan Nilai Limit Fungsi
Sebelum Pelaksanaan Kegiatan
1. Bentuk kelompok kecil siswa (3–4 orang) yang heterogen. Perhatikan
karakteristik siswa dalam satu kelompok sehingga mendukung
pembelajaran yang eisien dan efektif.
2. Informasikan tujuan pembelajaran dan tata cara penilaian selama
proses pembelajaran.
3. Siapkan semua fasilitas yang mendukung selama proses pembelajaran
No.
Deskripsi Kegiatan
1. Kegiatan Pendahuluan
• Salam dari guru dan doa dipimpin oleh salah satu siswa.
• Apersepsi
– Informasikan kepada siswa tentang tujuan pembelajaran.
– Jelaskan kepada siswa bentuk tentu dan bentuk tak tentu suatu
fungsi pada titik tertentu. Ingatkan kembali Latihan 6.1.
MATEMATIKA
147
2.
Kegiatan Inti
Ayo Menalar
• Jelaskan fungsi yang berbentuk tentu dan tak tentu pada titik
tertentu serta alasannya. Tunjukkan kepada siswa bentuk tentu
dan tak tentu dengan gambar. Minta siswa mencari fungsi lainnya
yang mempunyai bentuk tentu dan tak tentu pada titik tertentu dan
memaparkan di depan kelas. Ingatkan kembali Latihan 6.1.
• Demonstrasikan kepada siswa proses penyelesaian Contoh 6.9
dan Contoh 6.10.
• Pandu siswa mendapatkan nila-nilai pada setiap sel pada Tabel
6.14, Tabel 6.15 dan Tabel 6.16.
• Arahkan siswa mengamati pergerakan nilai x dan y mendekati
2 dari kiri dan kanan pada Tabel 6.14, mengamati pergerakan
nilai x dan y mendekati1dari kiri dan kanan pada Tabel 6.15, dan
mengamati pergerakan nilai x dan y mendekati –1 dari kiri dan
kanan Tabel 6.16.
Ayo Mencoba
• Guru memberikan permasalahan yang serupa untuk dicoba atau
dikerjakan siswa secara pribadi atau berkelompok
• Arahkan siswa berani menyampaikan hasil kerjanya.
Ayo Menalar
• Instruksikan siswa mengerjakan Latihan 6.3 secara individu atau
berkelompok dan menyajikaan hasil kerjanya di depan kelas.
• Berikut adalah alternatif penyelesaian Latihan 6.3
Latihan 6.3
Tentukan nilai lim (3x − 1)3 − ( x + 1) dengan menunjukkan pendekatan
x →1
x −1
nilai dan proses pergantian fungsi dengan faktorisasi.
Alternatif Penyelesaian
• Minta siswa menunjukkan nilai limit dengan pengamatan pada tabel.
Cara I (Numerik)
3
3
Misalkan ylim
= (3x − 1) − ( x + 1) maka pendekatan fungsi pada saat x
3
x →1
x −1
mendekati 1 ditunjukkan pada tabel berikut:
3
148 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
3
Tabel 6.17 Nilai pendekatan f(x) lim
= (3x − 1) − ( x + 1)
3
x →1
x −1
mendekati 1
3
x 0,5
0,9
0,95 0,99 0,999 . . . 1
3
pada saat x
. . . 1,001 1,01 1,05 1,1
y 3,71 7,18 7,60 7,92 7,99 . . . 0/0 . . . 8,01
1,5
8,08 8,39 8,78 11,47
Dengan melihat tabel di atas, jika nilai x mendekati 1 maka akan
mendekati 8.
Ayo Mengkomunikasikan
• Minta siswa mendapatkan nilai limit dengan proses aljabar. Minta
siswa mempresentasikan hasil kerjanya di depan kelas. Arahkan
siswa untuk bertanya-jawab.
Cara II (Faktorisasi)
(3x − 1)3 − ( x + 1)3 lim (27 x3 − 27 x2 + 9 x − 1) − ( x3 + 3x2 + 3x + 1)
lim
= x →1
3
x →1
x −1
( x − 1)( x2 + x + 1)
26 x3 − 30 x2 + 6 x − 2
= lim
x →1
( x − 1)( x2 + x + 1)
26 x3 − 26 x2 − 4 x2 + 4 x + 2 x − 2
= lim
x →1
( x − 1)( x2 + x + 1)
( x − 1)(26 x 2 − 4 x + 2)
x →1
( x − 1) x 2 + x + 1
= lim
26 x2 − 4 x + 2
= lim
x →1
x2 + x + 1
= 26 − 4 + 2
12 + 1 + 1
=8
karena x ≠ 1
Ayo Menalar
• Demonstrasikan proses penyelesaian pada Contoh 6.11. Bantu
siswa memahami strategi pemisalan atau pergantian fungsi.Minta
siswa memberi komentar akan perubahan x→ 1 menjadi y → 1.
Ingatkan kembali konsep limit.
MATEMATIKA
149
Ayo Mencoba
• Guru memberikan permasalahan yang serupa untuk dikerjakan
siswa dan mendemonstrasikan prosesnya di papan tulis. Arahkan
siswa ke sesi tanya-jawab.
• Bantu siswa memahami Contoh 6.12.Berikan kesempatan kepada
siswa untuk mengamati Tabel 6.18 dan mengomunikasikan
pemahaman mereka.
• Minta siswa untuk menunjukkan konsep limit pada Tabel 6.18
dengan mengamati nilai-nilai pada setiap sel. Ingatkan siswa
konsep limit kiri dan limit kanan.
• Berikan waktu pada siswa menggunakan manipulasi aljabar pada
proses limit tersebut. (lihat alternatif penyelesaian 2 dan alternatif
penyelesaian 3).
• Berikut adalah alternatif penyelesaian 2 dan alternatif penyelesaian
3 sesuai dengan buku siswa.
Alternatif Penyelesaian 2
f(t) = 0,25t2 + 0,5t
f(5) = 0,25(5)2 + 0,5(5) = 8,75
f (t ) − f (5)
lim
t →5
t −5
(0,25t 2 + 0,5t ) − f (5)
= lim
t →5
t −5
0,25t 2 + 0,5t − 8,75
= lim
t →5
t −5
0,5(0,5t 2 + t − 17,5)
= lim
t →5
t −5
0,5(0,5t + 3,5)(t − 5)
= lim
t →5
t −5
+
lim0,5(0,5
t
3,5)
= t →5
karena t ≠ 5
= 0,5 (0,5 × 5 + 3,5)
=3
Alternatif Penyelesaian 3
Jika t diganti menjadi T + 5, maka T = t – 5 dan jika t→5 maka T→ 0,
sehingga:
150 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
f(t) = 0,25t2 + 0,5t
f(5) = 0,25(5)2 + 0,5(5) = 8,75
f(T + 5) = 0,25(T + 5)2 + 0,5(T + 5) = 0,25T 2 + 3T + 8,75
f (t ) − f (5)
f (T + 5) − f (5)
lim
lim
=
t →5
T
→
0
t −5
T
2 + 3T + 8,75) − 8,75
f
T
(0,25
= lim
T→0
T
2 + 3T
0,25
T
= lim
T→0
T
= lim0,2
0,25T
++3
T→0
=3
3.
F.
Kegiatan Penutup
• Minta siswa mengkomunikasikan kembali konsep-konsep materi
yang telah diketahui setelah pembelajaran.
• Siswa dan guru bersama-sama melakukan releksi dan merangkumkan semua konsep dan sifat transformasi dari yang dipelajari.
• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan
menggunakan rubrik penilaian. Hasil kerja kelompok dikumpulkan
oleh guru.
• Beri tugas kepada siswa sebagai latihan di rumah.
• Informasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya.
Penilaian
Prosedur Penilaian
No.
1.
2.
3.
4.
5.
Aspek yang dinilai
Berani bertanya
Berpendapat
Mau mendengar orang lain
Bekerja sama
Pemahaman konsep
Teknik Penilaian
Pengamatan
Pengamatan
Pengamatan
Pengamatan
Tes Tertulis
Waktu Penilaian
Kegiatan inti
Kegiatan inti
Kegiatan inti
Kegiatan inti
Kegiatan penutup
MATEMATIKA
151
1. Instrumen Penilaian Sikap
(Sikap Kinerja dalam Menyelesaikan Tugas Kelompok)
Aspek
Nama
Menghargai
No. Peserta Kerja KeaktifTanggung Jumlah Nilai
pendapat
Didik sama
an
jawab
teman
1.
2.
3.
4.
...
Keterangan Skor:
1 = (belum terlihat), apabila peserta didik belum memperlihatkan tandatanda awal perilaku sikap yang dinyatakan dalam indikator.
2 = (mulai terlihat), apabila peserta didik mulai memperlihatkan adanya
tanda-tanda awal perilaku yang dinyatakan dalam indikator tetapi
belum konsisten.
3 = (mulai berkembang), apabila peserta didik sudah memperlihatkan
tanda perilaku yang dinyatakan dalam indikator dan mulai konsisten.
4 = (membudaya), apabila peserta didik terus-menerus memperlihatkan
perilaku yang dinyatakan dalam indikator secara konsisten.
Skor Maksimal = 16
Perolehan ×100%
× 100%
Nilai = Skor
Skor Maksimal
2. Instrumen Penilaian Pengetahuan
Contoh rubrik penilaian hasil penyelesaian soal oleh siswa. Dengan mempertimbangkan langkah-langkah penyelesaian soal yang dilakukan oleh
siswa terhadap soal-soal yang diajukan guru maka dapat disusun rubrik
penilaiannya. Alternatif pedoman penskorannya sebagai berikut.
No. Aspek Penilaian
1. Pemahaman
terhadap konsep
limit fungsi
Rubrik Penilaian
Penyelesaian dihubungkan dengan
konsep limit fungsi
152 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Skor
5
No.
2.
3.
Aspek Penilaian
Rubrik Penilaian
Sudah menghubungkan penyelesaian
dengan konsep limit fungsi namun
belum benar
Penyelesaian sama sekali tidak dihubungkan dengan konsep limit fungsi.
Tidak ada respon/jawaban
Kebenaran jawaban Jawaban benar
akhir soal
Jawaban hampir benar
Jawaban salah
Tidak ada respon/jawaban
Proses perhitungan Proses perhitungan benar
Proses perhitungan sebagian besar benar
Proses perhitungan sebagian kecil
saja yang benar
Proses perhitungan sama sekali salah
Tidak ada respon/jawaban
Skor maksimal =
Total
Skor minimal =
Skor
3
1
0
5
3
1
0
5
3
2
1
0
15
0
3. Instrumen Penilaian Pengetahuan
(Penilaian kinerja dalam menyelesaikan tugas Presentasi)
Aspek
Nama
SisteJumlah
No. Peserta Komu- matika Penguasa- Kebera- AntuNilai
Skor
Didik nikasi penyam- an Materi nian
sias
paian
1.
2.
3.
4.
5.
...
MATEMATIKA
153
Keterangan Skor:
Komunikasi:
1 = Tidak dapat berkomunikasi
2 = Komunikasi agak lancar, tetapi
sulit dimengerti
3 = Komunikasi lancar, tetapi
kurang jelas dimengerti
4 = Komunikasi sangat lancar,
benar, dan jelas
Penguasaan Materi:
1 = Tidak menunjukkan
pengetahuan/materi
2 = Sedikit memiliki
pengetahuan/materi
3 = Memiliki pengetahuan/
materi tetapi kurang luas
4 = Memiliki pengetahuan/
materi yang luas
Antusias:
1 = Tidak antusias
2 = Kurang antusias
3 = Antusias tetapi kurang kontrol
4 = Antusias dan terkontrol
G.
Sistematika Penyampaian:
1 = Tidak sistematis
2 = Sistematis, uraian kurang, tidak
jelas
3 = Sistematis, uraian cukup
4 = Sistematis, uraian luas, jelas
Keberanian:
1 = Tidak ada keberanian
2 = Kurang berani
3 = Berani
4 = Sangat berani
Skor Maksimal = 20
Perolehan ×100%
Nilai = Skor
× 100%
Skor Maksimal
Pengayaan
Bentuk pembelajaran pengayaan adalah pemberian asesmen portofolio
tambahan yang memuat asesmen masalah autentik, proyek, keterampilan
proses, check up diri, dan asesmen kerja sama kelompok. Sebelum asesmen
ini dikembangkan, terlebih dahulu dilakukan identiikasi kemampuan belajar
berdasarkan jenis serta tingkat kelebihan belajar peserta didik. Misalnya,
belajar lebih cepat, menyimpan informasi lebih mudah, keingintahuan lebih
tinggi, berpikir mandiri, superior dan berpikir abstrak, dan memiliki banyak
minat. Pembelajaran pengayaan dapat dilaksanakan melalui belajar kelompok,
belajar mandiri, bimbingan khusus dari guru dan para ahli (mentor).
154 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Materi pembahasan pada pembelajaran pengayaan bertumpu pada
pengembangan kompetensi dasar wajib tertera pada kurikulum matematika
2013, termasuk pengembangan kompetensi dasar peminatan. Materi pembahasan dituangkan dalam asesmen masalah autentik, proyek, keterampilan
proses, check up diri, dan asesmen kerja sama kelompok. Keterampilan yang
dibangun melalui materi matematika yang dipelajari adalah kemampuan
berpikir tingkat tinggi (berpikir kreatif dan kritis) serta kemampuan adaptif
terhadap perubahan, penggunaan teknologi dan membangun kerja sama antar
siswa dan orang lain yang lebih memahami masalah yang diajukan dalam
asesmen.
H.
Remedial
Pembelajaran remedial membantu peserta didik yang mengalami
kesulitan dalam belajar. Pembelajaran remedial adalah tindakan perbaikan
pembelajaran bagi peserta didik yang belum mencapai kompetensi. Remedial
bukan mengulang tes (ulangan harian) dengan materi yang sama, tetapi guru
memberikan perbaikan pembelajaran pada KD yang belum dikuasai oleh
peserta didik melalui upaya tertentu.
Bentuk pembelajaran remedial tergantung pada jumlah peserta didik yang
mengalami kegagalan mencapai kompetensi dasar yang ditetapkan. Beberapa
alternatif bentuk pelaksanaan pembelajaran remedial di sekolah.
a. Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial lebih dari 50%, maka
tindakan yang dilakukan adalah pemberian pembelajaran ulang dengan
model dan strategi pembelajaran yang lebih inovatif berbasis pada
berbagai kesulitan belajar yang dialami peserta didik yang berdampak pada
peningkatan kemampuan untuk mencapai kompetensi dasar tertentu.
b. Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial lebih dari 20% tetapi
kurang dari 50%, maka tindakan yang dilakukan adalah pemberian tugas
terstruktur baik secara berkelompok dan tugas mandiri. Tugas yang
diberikan berbasis pada berbagai kesulitan belajar yang dialami peserta
didik yang berdampak pada peningkatan kemampuan untuk mencapai
kompetensi dasar tertentu.
c. Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial maksimal 20%, maka
tindakan yang dilakukan adalah pemberian bimbingan secara khusus,
misalnya bimbingan perorangan oleh guru dan tutor sebaya.
MATEMATIKA
155
I.
Rangkuman
Setelah kita membahas materi limit ini, terdapat beberapa hal penting
yang menjadi kesimpulan dari hasil penemuan berbagai konsep dan aturan
tentang limit, disajikan sebagai berikut.
1. Penentuan limit suatu fungsi di suatu titik c, sangat bergantung pada
kedudukan titik c dan domain fungsi tersebut. Dalam pembahasan limit
fungsi pada buku ini, yang menjadi domain fungsi adalah himpunan
bilangan real dimana fungsi tersebut terdeinisi.
2. Sebuah fungsi f dikatakan mempunyai limit di titik c jika dan hanya jika
nilai fungsi untuk x dari kiri dan kanan menuju ke bilangan yang sama.
3. Suatu fungsi f mempunyai nilai limit di titik c, apabila nilai limit kiri sama
dengan nilai limit kanan dari fungsi tersebut pada titik c.
4. Tidak semua fungsi mempunyai limit di titik c. Titik c tidak harus anggota
domain fungsi, tetapi c anggota himpunan bilangan real.
5. Misalkan f sebuah fungsi yang terdeinisi pada himpunan bilangan real dan
c dan L adalah bilangan real, fungsi f mendekati L pada saat x mendekati
c dapat kita tuliskan dengan lim f ( x) = L.
x →c
6. Misalkan f(x), g(x) adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x
mendekati c, dengan k dan c adalah bilangan real serta n adalah bilangan
bulat positif.
a. lim
kf (=xk
x →c
b.
c.
d.
e.
lim
xf (=xc
x →c
kf ( x) = k lim f ( x)
lim
x →c
x → c
f ( x) ± g ( x=
lim
)
x →c
h.
f ( x) ± lim
g ( x)
x →c
f ( x) g ( x) = lim f ( x) lim g ( x)
lim
x →c
x → c
x → c
f ( x)
f. lim
=
x →c
g ( x)
g.
lim
x → c
lim f ( x)
x →c
lim g ( x)
x → c
dengan lim
g ( x) ≠ 0
x →c
n
lim [ f ( x) ] = lim f ( x)
x →c
x →c
n
n f ( x) = n lim f ( x)
lim
x →c
x →c
156 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
BAB
7
Turunan
A.
Kompetensi Inti
Sikap
1. Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.
2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung
jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi
secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam
menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan
dunia.
Pengetahuan
3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual,
konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingin tahunya tentang
ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradab-an terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesiik
sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
Keterampilan
4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah
abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya
di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metode
sesuai kaidah keilmuan.
MATEMATIKA
157
B.
Kompetensi Dasar dan Indikator
Indikator pencapaian kompetensi pada pembelajaran dapat dikembangkan
guru sendiri berdasarkan kondisi peserta didik masing-masing di tempat guru
mengajar.
Berikut ini dipaparkan contoh Indikator Pencapaian Kompetensi Pembelajaran yang dapat dijabarkan dari KD 3.8, 3.9 dan KD 4.8, 4.9.
No.
Kompetensi Dasar
Indikator Pencapaian Kompetensi
1.
3.8 Menjelaskan
sifat-sifat turunan
fungsi aljabar dan
menentukan turunan
fungsi aljabar
menggunakan
deinisi atau sifatsifat turunan fungsi.
3.8.1 Menemukan sifat-sifat turunan.
3.8.2 Menentukan turunan suatu
fungsi dengan menggunakan
sifat-sifat turunan.
3.8.3 Mengomunikasikan hubungan
garis sekan, garis singgung, dan
garis normal.
3.8.4 Menemukan konsep garis sekan
dan garis singgung dengan
kaitannya dengan konsep limit
fungsi.
3.8.5 Menemukan konsep turunan
sebagai limit suatu fungsi.
3.8.6 Menemukan aturan-aturan
turunan berdasarkan konsep
limit fungsi
158 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
2.
3.9 Menganalisis
keberkaitanan
turunan pertama
fungsi dengan nilai
maksimum, nilai
minimum, dan
selang kemonotonan
fungsi, serta
kemiringan garis
singgung kurva.
3.9.1 Menemukan persamaan garis
singgung dan persamaan garis
normal pada suatu titik.
3.9.2 Menunjukkan keberkaitan
turunan dalam menentukan titik
stasioner serta kecekungan suatu
fungsi.
3.9.3 Menunjukkan keberkaitan
turunan dalam menentukan
kemonotonan dan titik belok
suatu fungsi.
3.9.4 Menyebutkan aplikasi turunan
dalam kehidupan sehari-hari
4.8 Menyelesaikan
masalah yang
berkaitan dengan
turunan fungsi aljabar.
4.8.1 Menentukan turunan suatu
fungsi dengan menggunakan
konsep limit fungsi.
4.8.2 Menyelesaikan masalah
kehidupan sehari-hari yang
berkaitan dengan konsep
turunan
4.8.3 Menentukan turunan suatu
fungsi dengan menggunakan
aturan-aturan turunan.
4.9.1 Menentukan gradien suatu garis
singgung dengan menggunakan
konsep turunan dan menentukan
persamaannya.
4.9.2 Menentukan persamaan garis
singgung dan garis normal suatu
fungsi.
4.9.3 Menentukan titik stasioner,
kecekungan, kemonotonan serta
titik belok suatu fungsi dengan
menggunakan konsep turunan.
4.9.4 Menganalisis sketsa suatu fungsi
dengan menggunakan konsep
turunan
4.9 Menggunakan turunan
pertama fungsi untuk
menentukan titik
maksimum, titik
minimum, dan selang
kemonotonan fungsi,
serta kemiringan
garis singgung
kurva, persamaan
garis singgung, dan
garis normal kurva
berkaitan dengan
masalah kontekstual.
MATEMATIKA
159
C.
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari konsep turunan melalui pengamatan, menalar, tanya
jawab, mencoba menyelesaikan persoalan, penugasan individu dan kelompok,
diskusi kelompok, dan mengomunikasikan pendapatnya, siswa mampu:
1. Melatih siswa menumbuhkan sikap perilaku jujur, disiplin, tanggung
jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun,
responsif dan pro-aktif, berani bertanya, berpendapat, dan menghargai
pendapat orang lain dalam aktivitas sehari-hari.
2. Menunjukkan rasa ingin tahu dalam memahami konsep dan menyelesaikan
masalah.
3. Mengamati dan menyebutkan contoh penggunaan konsep turunan dalam
kehidupan sehari-hari.
4. Menunjukkan garis sekan, garis singgung, garis normal, dan hubungannya
pada gambar.
5. Menemukan konsep garis sekan dan garis singgung dengan kaitannya
dengan konsep limit fungsi.
6. Menentukan persamaan garis singgung dan persamaan garis normal pada
suatu titik.
7. Menemukan konsep turunan sebagai limit suatu fungsi.
8. Menggunakan konsep limit fungsi untuk menemukan turunan suatu
fungsi.
9. Menemukan sifat-sifat turunan.
10. Menemukan aturan-aturan turunan berdasarkan konsep limit fungsi.
11. Menggunakan aturan-aturan turunan untuk menemukan turunan suatu
fungsi.
12. Menemukan titik stasioner suatu fungsi dan kecekungannya dengan
menggunakan konsep turunan.
13. Menemukan interval kemonotonan dan titik belok suatu fungsi dengan
menggunakan konsep turunan.
14. Menyelesaikan masalah kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan
konsep turunan.
15. Menganalisis dan menggambar sketsa suatu fungsi dengan menggunakan
konsep turunan.
160 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
D.
Diagram Alir
Fungsi
Materi
Prasyarat
Limit
Fungsi
Masalah
Autentik
Turunan
Fungsi
Titik
Maksimum
Turunan
Fungsi
Titik
Stasioner
Titik
Belok
Fungsi
Naik
Titik
Minimum
Graik Fungsi
MATEMATIKA
161
E.
Proses Pembelajaran
7.1 Menemukan Konsep Turunan Suatu Fungsi
Sebelum Pelaksanaan Kegiatan
1. Bentuklah kelompok kecil siswa (3–4 orang) yang heterogen. Perhatikan
karakteristik siswa dalam satu kelompok sehingga mendukung pembelajaran yang eisien dan efektif.
2. Informasikan tujuan pembelajaran dan tata cara penilaian selama proses
pembelajaran.
3. Siapkan semua fasilitas yang mendukung selama proses pembelajaran
4. Siapkan RPP dan form penilaian.
No.
Deskripsi Kegiatan
1.
Kegiatan Pendahuluan
• Salam dari guru dan doa dipimpin oleh salah satu siswa.
• Apersepsi
Ingatkan kembali siswa konsep fungsi dan konsep limit kiri dan
limit kanan suatu fungsi
Informasikan bahwa ada keterkaitan konsep limit fungsi dengan
konsep turunan suatu fungsi
Informasikan tujuan pembelajaran dan tata cara penilaian
2.
Kegiatan Inti
7.1.1 Menemukan Konsep garis sekan dan Garis Tangen
Pengantar
Informasikan kepada siswa, bahwa turunan adalah materi yang
sangat aplikatif dalam kehidupan sehari-hari. Berikan contoh nyata
aplikasi turunan dalam kehidupan sehari-hari, seperti masalah
kecepatan, percepatan, masalah nilai optimal, dan lain-lain.
162 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Ayo Menalar
Masalah 7.1
Minta siswa membaca dan memahami Masalah 7.1. Minta siswa
memberikan komentar tentang arti menyinggung pada suatu
graik.
Informasikan mengenai garis singgung dan garis sekan serta
hubungannya.
Minta siswa mengamati Gambar 7.2 dan meminta mengajukan
berbagai pertanyaan terkait gambar serta menemukan pemaknaan
istilah tali busur, garis normal, dan garis singgung pada kurva.
Ingatkan kembali konsep gradien suatu garis yang melalui dua
titik.
Minta siswa mencoba menggambarkan tali busur (garis sekan) PQ,
dengan posisi titik Q berada pada kurva yang semakin mendekati
posisi titik P. Arahkan siswa menganalisis perubahan gerakan
tali busur PQ. Untuk menemukan pengertian garis sekan arahkan
siswa mengamati Gambar 7.3.
Ayo Mengomunikasikan
Arahkan siswa secara kelompok menuliskan ciri-ciri garis sekan
dan menuliskan pengertian garis sekan, garis tangen, serta
menemukan aturan penentuan gradien garis sekan dan garis
tangen. Minta siswa mempresentasikan hasil kerja kelompok dan
arahkan ke sesi tanya jawab antara kelompok penyaji, dan siswa
pendengar. Guru memantau kebenaran konsep yang disajikan.
MATEMATIKA
163
Guru dan siswa bersama-sama membangun Deinisi 7.1.
Deinisi 7.1:
Misalkan f : S → R adalah fungsi kontinu dan titik P( x1 , y1 )
dan Q( x1 + ∆x, y1 + ∆y ) pada kurva f. Garis sekan menghubungkan
titik P dan Q dengan gradien msec =
=
f ( x1 + ∆x) − f ( x1 )
∆x
Ayo Menalar
Pandu siswa memahami Gambar 7.3. Tunjukkan, jika titik Q
mendekati P maka ∆x → 0 sehingga diperoleh garis singgung di
titik P dengan gradien:
f ( x1 + ∆x) − f ( x1 )
mPGS ==Dlim
(Jika
( limitnya ada).
lim
x
®
0
∆x → 0
∆x
)
Guru dan siswa bersama-sama membangun Deinisi 7.2.
Deinisi 7.2:
Misalkan f adalah fungsi kontinu bernilai real dan titik
P( x1 , y1 ) pada kurva f. Gradien garis singgung di titik P( x1 , y1 )
adalah limit gradien garis sekan di titik P( x1 , y1 ) , ditulis: mGS =
f ( x1 + ∆x) − f ( x1 )
(Jikalimitnya ada) )
=lim msec == lim
(Jika
∆x®
→0
D∆
x®→0
D
∆x
Ayo Mengamati
Guru mengajukan Contoh 7.1 untuk diamati. Guru mendemonstrasikan proses penyelesaian pada Contoh 7.1. Guru
memberikan contoh lain untuk dikerjakan siswa secara pribadi
atau berkelompok. Ingatkan siswa kembali konsep limit fungsi
dan konsep persamaan garis lurus.
164 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Ayo Menalar
Setelah siswa dipandu menyelesaikan Contoh 7.1, minta siswa
menyelesaikan Latihan 7.1 dan mendemonstrasikan hasil kerjanya
di depan kelas. Pandu dan bantu jika ada proses yang kurang
tepat.
Berikut adalah alternatif penyelesaian Latihan 7.1.
Latihan 7.1
Tentukan persamaan garis singgung di titik dengan absis x = -1 pada
kurva f ( x) = x 4 .
Alternatif Penyelesaian.
Misalkan x1 = −1 dan y1 = (−1) 4 = 1 sehingga titik singgung P(-1,1).
Gradien garis singgung adalah: m pgs = lim
⇔ m pgs = lim
∆x →0
f (−1 + ∆x) − f (−1)
∆x
∆x→0
f ( x1 + ∆x) − f ( x1 )
∆x
(−1 + ∆x) 4 − (−1) 4
∆x →0
∆x
⇔ m pgs = lim
⇔ m pgs = lim
[(−1 + ∆x) 2 + (−1) 2 ][(−1 + ∆x) 2 − (−1) 2 ]
∆x → 0
∆x
⇔ m pgs = lim
[(−1 + ∆x) 2 + (−1) 2 ][(−1 + ∆x) + (−1)][(−1 + ∆x) − (−1)]
∆x → 0
∆x
⇔ m pgs = lim
[(−1 + ∆x) 2 + 1](−2 + ∆x)∆x
∆x → 0
∆x
lim [(−1 + ∆x) 2 + 1](−2 + ∆x) = −4
⇔ m pgs = ∆lim[(
x →0
Jadi, persamaan garis singgung adalah y − 1 = −4( x − (−1))
y + 4x + 3 = 0 .
atau
MATEMATIKA
165
7.1.2 Turunan Sebagai Limit Fungsi
Ayo Menalar
Jelaskan tujuan pembelajaran.
Minta siswa memahami sub-bab 7.1.2. Informasikan bahwa
turunan sebagai limit fungsi. Berdasarkan konsep gradien sebagai
limit fungsi pada suatu titik, tunjukkan konsep turunan sebagai
limit fungsi. Ingatkan kembali konsep limit fungsi. Arahkan siswa
membangun Deinisi 7.3 dan Deinisi 7.4 serta memahaminya.
Deinisi 7.3
Misalkan fungsi f : S → R , S ⊆ R dengan (c − ∆x, c + ∆x) ⊆ S .
Fungsi f
dapat diturunkan di titik c jika dan hanya jika
lim f (c + ∆x) − f (c) ada.
lim
D
®00
∆xx→
∆x
Deinisi 7.4
Misalkan f : S → R dengan S ⊆ R . Fungsi f dapat diturunkan
pada S jika dan hanya jika fungsi f dapat diturunkan di setiap titik
c di S.
Ayo Mencoba
Arahkan siswa memahami langkah-langkah penyelesaian pada
Contoh 7.2.
Guru memberikan contoh lain untuk dikerjakan siswa.
Ayo Menalar
Bantu siswa memahami Deinisi 7.5. Guru mengaitkan kembali ke
materi limit fungsi (limit kiri dan kanan).
166 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Deinisi 7.5
Misalkan fungsi f : S → R , S ⊆ R dengan (c − ∆x, c + ∆x) ⊆ S
• Fungsi f memiliki turunan kanan pada titik c jika dan hanya jika
f (c + ∆x) − f (c)
lim
ada.
lim
+
D
x
®
0
+
∆x →0
∆x
• Fungsi f memiliki turunan kiri pada titik c jika dan hanya jika
f (c + ∆x) − f (c)
lim
ada.
lim
–
D
x
®
0
−
∆x →0
∆x
Berdasarkan pemahaman konsep turunan sebagai limit fungsi
maka bangun Sifat 7.1. Ingatkan kembali siswa konsep limit kiri
dan limit kanan suatu fungsi.
Sifat 7.1
Misalkan fungsi f : S → R , S ⊆ R dengan x ∈ S dan L ∈ R .
Fungsi f dapat diturunkan di titik x jika dan hanya jika turunan kiri
sama dengan turunan kanan, ditulis:
f ( x + ∆x) − f ( x)
f ( x + ∆x) − f ( x)
f ' ( x) = L ⇔ lim
lim
=L
lim++
lim–−
=
=
D∆xx®
D
→0
∆x®
→0
∆x
∆x
Ayo Menalar
Untuk memperkuat pemahaman siswa akan Deinisi dan sifat
turunan, ajukan Contoh 7.3 untuk dibaca dan dipahami. Guru
memandu menunjukkan deinisi dan sifat turunan yang
terkandung pada Gambar 7.4.
Arahkan siswa menalar Deinisi 7.5.
MATEMATIKA
167
3.
Kegiatan Penutup
Minta siswa mengomunikasikan kembali konsep-konsep materi
yang telah diketahui setelah pembelajaran.
Siswa dan guru bersama-sama melakukan releksi dan merangkum
semua konsep turunan dari yang dipelajari.
Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan
menggunakan rubrik penilaian. Hasil kerja kelompok dikumpulkan
oleh guru.
Beri tugas kepada siswa sebagai latihan dirumah.
Informasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan
berikutnya.
7.2 Turunan Fungsi Aljabar
Sebelum Pelaksanaan Kegiatan
1. Bentuk kelompok kecil siswa (3-4 orang) yang heterogen. Perhatikan
karakteristik siswa dalam satu kelompok sehingga mendukung
pembelajaran yang eisien dan efektif.
2. Informasikan tujuan pembelajaran dan tata cara penilaian selama proses
pembelajaran.
3. Siapkan semua fasilitas yang mendukung selama proses pembelajaran
4. Siapkan RPP dan form penilaian.
No.
1.
Deskripsi Kegiatan
Kegiatan Pendahuluan
• Salam dari guru dan doa dipimpin oleh salah satu siswa.
• Apersepsi
Ingatkan kembali konsep gradien dan turunan sebagai limit
fungsi.
Informasikan kepada siswa, berdasarkan turunan sebagai limit
fungsi, akan dikaji aturan-aturan turunan melalui limit fungsi.
Informasikan tujuan pembelajaran dan cara penilaian.
168 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
2.
Kegiatan Inti
Ayo Menalar
Masalah 7.2
Minta siswa membaca dan memahami Masalah 7.2.
Jelaskan kepada siswa kesulitan-kesulitan yang mungkin terjadi
pada saat menurunkan suatu fungsi dengan menggunakan limit
fungsi. Arahkan siswa memahami Contoh 7.3 (a dan b) dan
memahami kesulitan yang muncul padaproses penyelesaian pada
Contoh 7.3 (c dan d). Untuk mempermudah menyelesaikan Contoh
7.3 (c dan d), diperlukan aturan-aturan turunan.
Pandu siswa memahami aturan turunan (a) dan memberikan
contohnya. Minta siswa menyelesaikan kembali Contoh 7.3
dengan menggunakan aturan turunan (a). Guru memberikan
contoh lainnya untuk dikerjakan siswa.
Minta siswa mengerjakan Latihan 7.2. Berikan kesempatan kepada
siswa menjelaskan kinerjanya di depan kelas. Arahkan ke sesi
tanya-jawab.
Berikut penyelesaian Latihan 7.2.
Latihan 7.2
'
Coba kamu buktikan sendiri jika f ( x) = au ( x) dengan u ( x ) ada,
maka f '( x) = au '( x)
Alternatif Penyelesaian
lim f ( x + ∆x) − f ( x)
f ' ( x) = Dlim
x®0
∆x →0
∆x
lim au ( x + Dx) - au ( x)
x®0
= DDlim
x®0
Dx
lim0
= aaDlim
∆xx®
→0
u ( x + ∆x) − u ( x)
∆x
= au '( x)
MATEMATIKA
169
Minta siswa memahami aturan turunan (b). Guru memberikan
contoh dan mendemonstrasikan proses penyelesaiannya.
Minta siswa mengerjakan Latihan 7.3. Berikan kesempatan kepada
siswa menjelaskan kinerjanya di depan kelas. Arahkan ke sesi
tanya-jawab.
Berikut penyelesaian Latihan 7.3.
Latihan 7.3
Buktikan bahwa turunan fungsi f ( x) = u ( x) − v( x) adalah
f ' ( x) = u ' ( x) − v' ( x)
Alternatif Penyelesaian
f '( x) =
=
=
=
=
f ( x + ∆x) − f ( x)
∆x → 0
∆x
( u ( x + ∆x) − v( x + ∆x) ) − ( u ( x) − v( x) )
lim
∆x → 0
∆x
( u ( x + ∆x) − u ( x) ) − ( v( x + ∆x) − v( x) )
lim
∆x → 0
∆x
u ( x + ∆x) − u ( x)
v( x + ∆x) − v( x)
lim
− lim
→
x
∆x → 0
∆
0
∆x
∆x
lim
u′(x) – v′(x)
Ayo Menalar
Dengan menggunakan aturan-aturan turunan yang telah
diperoleh, arahkan siswa memahami Contoh 7.5. Guru dapat
memberikan contoh lainnya untuk dikerjakan.
Pandu siswa memahami aturan turunan (c) pada Contoh 7.5.
Guru memberikan contoh dan mendemonstrasikan proses
penyelesaiannya.
170 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Ayo Mencoba
Guru mengajukan beberapa contoh dan mengajak siswa mencoba
menyelesaikannya.
Aturan Turunan 7.1:
Misalkan f , u, v adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan di
interval I, a bilangan real dapat diturunkan maka:
1. f ( x) = a → f ' ( x) = a
2. f ( x) = ax → f ' ( x) = a
n
3. f ( x) = ax → f '( x) = n.ax n-1
4. f ( x) = au ( x) → f '( x) = au '( x)
5. f ( x) = u ( x) ± v( x) → f ' ( x) = u ' ( x) ± v' ( x)
6. f ( x) = u ( x)v( x) → f ' ( x) = u ' ( x)v( x) + u ( x)v' ( x)
u '( x)v( x) − u ( x)v '( x)
7. f ( x) = v( x) → f '( x) =
[v( x)]2
u ( x)
Ayo Menalar
Perintahkan siswa memahami Contoh 7.5 dan alternatif
penyelesaiannya.
Minta siswa mengerjakan Latihan 7.4 dengan memanfaatkan
pemahaman konsep pada sub-bab 7.1 dan aturan turunan.
Berikut alternatif penyelesaian latihan 7.4
MATEMATIKA
171
Latihan 7.4
Tentukan persamaan garis singgung kurva f ( x) =
P(2, 4).
Alternatif Penyelesaian:
Titik P(2,4) berada pada kurva
subtitusikan nilai x = 2 maka f (2) =
f ( x) =
x2
x −1
x2
x −1
sebab jika kita
22
=4.
2 −1
Pertama, kita tentukan turunan pertama dari fungsi f ( x) =
dengan
u ( x) = x 2
memisalkan
di titik
u ' ( x) = 2 x
sehingga
x2
x −1
dan
−
1
v( x) = x − 1 = ( x − 1) sehingga v' ( x) = ( x − 1) 2 . Dengan demikian,
2
1
2
1
turunan pertama fungsi adalah f ' ( x) =
u ' ( x )v ( x ) − u ( x )v ' ( x )
atau
(v ( x ) 2
−
x2
2 x x − 1 − ( x − 1) 2
2
f ' ( x) =
. Gradien garis singgung kurva di titik
x −1
1
P(2,4) adalah f ' (2) = 4 − 2 = 2 sehingga persamaan garis singgung
tersebut adalah y − 4 = 2( x − 2) atau y − 2 x = 0 .
1
172 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
3.
Kegiatan Penutup
Minta siswa mengomunikasikan kembali konsep-konsep materi
yang telah diketahui setelah pembelajaran.
Siswa dan guru bersama-sama melakukan releksi dan merangkumkan semua konsep dari yang dipelajari.
Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan
menggunakan rubrik penilaian. Hasil kerja kelompok dikumpulkan
oleh guru.
Beri tugas kepada siswa sebagai latihan di rumah.
Informasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan
berikutnya.
7.3 Aplikasi Turunan
Sebelum Pelaksanaan Kegiatan
1. Bentuk kelompok kecil siswa (3-4 orang) yang heterogen. Perhatikan
karakteristik siswa dalam satu kelompok sehingga mendukung
pembelajaran yang eisien dan efektif.
2. Informasikan tujuan pembelajaran dan tata cara penilaian selama proses
pembelajaran.
3. Siapkan semua fasilitas yang mendukung selama proses pembelajaran.
4. Siapkan RPP dan form penilaian.
No.
1.
Deskripsi Kegiatan
Kegiatan Pendahuluan
• Salam dari guru dan doa dipimpin oleh salah satu siswa.
• Apersepsi
Ingatkan siswa kembali konsep turunan dan aturan-aturannya.
Informasikan tujuan pembelajaran kepada siswa. Informasikan
aplikasi-aplikasi turunan.
MATEMATIKA
173
2.
Kegiatan Inti
7.3.1 Konsep Kemonotonan Fungsi
Ayo Mengamati
Minta siswa mengamati Gambar 7.5a dan Gambar 7.5b. Minta
siswa memberikan pendapatnya. Arahkan siswa memahami fungsi
naik dan turun dari gambar-gambar.
Jelaskan Deinisi 7.6 kepada siswa serta menunjukkan dengan
graik.
Deinisi 7.6:
Misalkan fungsi f : S → R , S ⊆ R
• Fungsi f dikatakan naik jika ∀x1 , x2 ∈S , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 )
• Fungsi f dikatakan turun jika ∀x1 , x2 ∈S , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 )
Ayo Mengamati
Guru mengajukan Contoh 7.7 dan mengajak siswa bersama-sama
mencoba menyelesaikannya. Guru memberikan contoh lain untuk
dicoba dikerjakan siswa.
Minta siswa mengerjakan Latihan 7.5 dengan berkelompok. Siswa
mempresentasikan kinerjanya di depan kelas. Guru memantau
kebenaran konsep yang dipresentasikan siswa.
Berikut alternatif penyelesaian Latihan 7.5.
Latihan 7.5
Bagaimana jika f ( x) = x3 , x ∈ R dan x < 0 , apakah graik fungsi f
adalah fungsi naik? Selidiki!
174 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Alternatif Penyelesaian
Ambil sebarang x1 , x2 ∈ R dengan x1 < x2 < 0
x = x1 ⇒ f ( x1 ) = x13
x = x2 ⇒ f ( x2 ) = x23
Karena x1 < x2 < 0 maka x13 < x23
Karena x13 < x23 maka f ( x1 ) < f ( x2 )
Dengan demikian, ∀x∈S , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) . Dapat disimpulkan
f adalah fungsi naik.
Masalah 7.3
Ayo Menalar
Arahkan siswa memahami Masalah 7.3. Minta siswa memahami
masalah dengan Gambar 7.6 dan memahami fungsi naik dan fungsi
turun pada Gambar 7.7.
Minta siswa memahami interval pada sumbu t untuk gerak naik dan
turun fungsi pada Gambar 7.7.
Minta siswa mengerjakan Latihan 7.6 dengan berkelompok dan
menyajikan hasil diskusi kelompoknya didepan kelas. Guru
memantau kebenaran konsep.
Berikut alternatif penyelesaian Latihan 7.6.
MATEMATIKA
175
Latihan 7.6
Coba kamu amati beberapa garis singgung yang menyinggung kurva
di saat fungsi naik atau turun di bawah ini. Garis singgung 1 dan 3
menyinggung kurva pada saat fungsi naik dan garis singgung 2 dan 4
menyinggung kurva pada saat fungsi turun.
PGS 3
PGS 1
y = f(x)
a1
a2
a3
a4
PGS 2
PGS 4
Gambar 7.8: Garis singgung di interval fungsi naik dan fungsi turun
Garis singgung menyinggung fungsi di interval naik atau turun. Pada
konsep persamaan garis lurus, gradien garis adalah tangen sudut yang
dibentuk oleh garis itu sendiri dengan sumbu x positif. Konsep gradien
garis singgung adalah tangen sudut garis terhadap sumbu positif
sama dengan nilai turunan pertama di titik singgungnya. Berdasarkan
gambar di atas diperoleh data pada tabel berikut:
176 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Tabel 7.1: Hubungan gradien garis singgung dengan fungsi naik/turun
PGS
Sudut
Nilai tangen
Menyinggung di
PGS 1
m = tan
tan(a 3 ) = f ' ( x ) > 0
1
PGS 2 360o PGS 3
2
3
PGS 4 360o -
4
m = tan
tan(3600 − a 4 ) = f ' ( x) < 0
m = tan
tan(a 3 ) = f ' ( x ) > 0
m = tan
tan(3600 − a 4 ) = f ' ( x) < 0
Fungsi Naik
Fungsi Turun
Fungsi Naik
Fungsi Turun
Berdasarkan Gambar 7.8 dan Tabel 7.1 dapat disimpulkan:
• Jika garis singgung menyinggung graik di interval fungsi naik
maka garis singgung akan membentuk sudut di kuadran I. Hal ini
•
menyebabkan gradien adalah positif atau m = f ' ( x) > 0 .
Jika garis singgung menyinggung graik di interval fungsi turun
maka garis singgung akan membentuk sudut di kuadran IV. Hal
ini menyebabkan gradien adalah negatif atau m = f ' ( x) < 0 .
Dengan demikian, dapat kita simpulkan kembali:
Tabel 7.1a: Hubungan turunan pertama dengan fungsi naik/turun
No.
1
2
3
4
Nilai turunan pertama
f ' ( x) = a
f ' ( x) = a
f ' ( x) = a
f ' ( x) = a
Keterangan
Fungsi selalu naik
Fungsi selalu turun
Fungsi tidak pernah turun
Fungsi tidak pernah naik
MATEMATIKA
177
Arahkan siswa membaca Sifat 7.2. Guru menjelaskan kembali
dengan melalui Gambar 7.8
Sifat 7.2
Misalkan f adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan pada setiap
x ∈ I maka
1. Jika f ' ( x) > 0 maka fungsi selalu naik pada interval I.
2. Jika f ' ( x) < 0 maka fungsi selalu turun pada interval I.
3. Jika f ' ( x) ≥ 0 maka fungsi tidak pernah turun pada interval I.
4. Jika f '(x) ≥ 0 maka fungsi tidak pernah naik pada interval I.
Ayo Mencoba
Guru mengajukan Contoh 7.8, Contoh 7.9, dan Contoh 7.10 dan
mengajak siswa bersama-sama mencoba menyelesaikan soal yang
diajukan dengan menggunakan Sifat 7.2.
Guru memberikan persoalan yang serupa untuk dikerjakan siswa.
7.3.2 Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi
Ayo Mengamati
Informasikan kepada siswa, aplikasi turunan dalam menentukan
nilai optimaldan titik belok suatu fungsi.
Minta siswa membaca dan memahami Masalah 7.4.
Ayo Mengamati
Masalah 7.4
Guru boleh menggunakan media (tali) untuk memperlihatkan
gelombang berjalan dan mengarahkan siswa memahaminya
berdasarkan Gambar 7.11.
178 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Ingatkan siswa kembali konsep garis singgung di suatu titik pada
graik fungsi. Perintahkan siswa mengamati garis singgung (PGS)
yaitu PGS 1, PGS 2, PGS 3, dan PGS 4 yang menyinggung kurva
tepat dititik optimal (maksimum/minimum) fungsi tersebut.
Pandu siswa memahami Gambar 7.12 dan hubungannya dengan
Gambar 7.11 sehingga diperoleh Tabel 7.2.
Pandu siswa membangun Sifat 7.3.
Sifat 7.3
Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang kontinu dan memiliki
turunan pertama dan kedua pada sehingga:
1. Jika f ' ( x1 ) = 0 maka titik ( x1 , f ( x1 ) disebut stasioner/kritis.
2. Jika f ' ( x1 ) = 0 dan f ' ' ( x1 ) < 0 maka titik ( x1 , f ( x1 ) disebut
titik minimum fungsi.
3. Jika f ' ( x1 ) = 0 dan f ' ' ( x1 ) < 0 maka titik ( x1 , f ( x1 ) disebut
titik maksimum fungsi.
4. Jika f ' ' ( x1 ) < 0 maka titik ( x1 , f ( x1 ) disebut titik belok.
Guru mengajukan Contoh 7.11 dan Contoh 7.12. Ingatkan siswa
konsep fungsi kuadrat.
7.3.3 Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi pada Suatu Interval
Masalah 7.5
Ayo Mengamati
Perintahkan siswa membaca, mengamati, menalar Gambar 7.15
dan meminta siswa mengkomunikasikan pendapatnya.
Minta siswa mencari contoh fungsi sesuai Gambar 7.15
Ajukan Contoh 7.13 untuk dikerjakan siswa kembali.
MATEMATIKA
179
7.3.4 Konsep Turunan dalam Permasalahan Kecepatan dan
Percepatan
Ayo Menalar
Minta siswa membaca dan memahami aplikasi turunan dalam
masalah percepatan dan kecepatan.
Pandu siswa mempelajari konsep berdasarkan Masalah 7.6.
Ayo Mengamati
Masalah 7.6
Minta siswa membaca dan memahami aplikasi turunan dalam
kecepatan dan percepatan berdasarkan Masalah 7.6.
Pandu siswa memahami Gambar 7.17 dengan kaitannya dengan
Tabel 7.3 dan Tabel 7.4.
Guru mengajukanContoh 7.14 dan Contoh 7.15 untuk dikerjakan
kembali secara bersama-sama.
Guru memberikan contoh lainnya untuk dikerjakan siswa secara
pribadi atau berkelompok.
3.
Kegiatan Penutup
Minta siswa mengomunikasikan kembali konsep-konsep materi
yang telah diketahui setelah pembelajaran.
Siswa dan guru bersama-sama melakukan releksi dan merangkum
semua konsep dari yang dipelajari.
Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan
menggunakan rubrik penilaian. Hasil kerja kelompok dikumpulkan
oleh guru.
Beri tugas kepada siswa sebagai latihan di rumah.
Informasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya.
180 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
7.4 Menggambar Graik Fungsi
Sebelum Pelaksanaan Kegiatan
1. Bentuk kelompok kecil siswa (3–4 orang) yang heterogen. Perhatikan
karakteristik siswa dalam satu kelompok sehingga mendukung
pembelajaran yang eisien dan efektif.
2. Informasikan tujuan pembelajaran dan tata cara penilaian selama proses
pembelajaran.
3. Siapkan semua fasilitas yang mendukung selama proses pembelajaran
4. Siapkan RPP dan form penilaian.
No.
Deskripsi Kegiatan
1.
Kegiatan Pendahuluan
• Salam dari guru dan doa dipimpin oleh salah satu siswa.
• Apersepsi
Ingatkan siswa kembali konsep turunan, aturan turunan dan
aplikasinya.
Informasikan kepada siswa, aplikasi turunan dalam menentukan
titik stasioner, kecekungan dan kemonotonan suatu fungsi
berguna untuk mensketsa graik fungsi tersebut.
2.
Kegiatan Inti
Ayo Menalar
Pandu siswa menggunakan konsep turunan untuk menganalisis
kurva suatu fungsi dan mensketsanya.
Minta siswa memahami Contoh 7.16. Pandu siswa memahami
langkah-langkah penggunaan konsep turunan.
MATEMATIKA
181
Ayo Mencoba
Pandu siswa mensketsa kurva fungsi tersebut. Tunjukkan kembali
langkah a – d pada graik (Gambar 7.18). Guru memberikan contoh
lain untuk dikerjakan siswa secara berkelompok.
Minta siswa mengerjakan Latihan 7.7.
Berikut alternatif penyelesaian Latihan 7.7
Latihan 7.7
Analisis dan sketsalah kurva fungsi f ( x) = x 4 + 2 x 3 .
Alternatif Penyelesaian:
Langkah 1.
Menentukan nilai pembuat nol fungsi.
f ( x ) = x 4 + 2 x 3 = 0 x 3 ( x + 2) = 0
x 3 = 0 atau x + 2 = 0
x = 0 atau x = −2
Jadi, kurva melalui sumbu x di titik A(0, 0) atau B(–2, 0)
Langkah 2.
Menentukan titik stasioner.
f ' ( x) = 4 x 3 + 6 x 2 = 0
2 x 2 = 0 atau 2 x + 3 = 0
x = 0 atau x = −
3
2
Nilai f(0) = 0 atau
3 27
Jadi, titik stasioner fungsi adalah A(0, 0) atau C (- , - ) .
2 16
182 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Langkah 3.
Menentukan interval fungsi naik/turun
Interval pembuat fungsi naik adalah:
f ' ( x) = 4 x 3 + 6 x 2 > 0 2 x 2 (2 x + 3) > 0
x = 0 atau x = −
3
2
Ingat pelajaran pertidaksamaan
Interval Naik
‒
− 32
Interval Naik
+
+
0
Interval Turun
Langkah 4.
3
Jadi, fungsi akan naik pada x > − , x ≠ 0 dan turun
2
3
pada x < − .
2
Menentukan titik balik fungsi
Untuk menentukan titik balik maksimum atau
minimum fungsi, kita akan menguji titik stasioner ke
turunan kedua fungsi.
f "( x) = 12 x 2 + 12 x sehingga f " ( x) = 0
Titik A(0,0) bukanlah sebuah titik balik.
3
f "( x) = 12 x 2 + 12 x sehingga f ' ' (− ) = 9 > 0
2
3 27
Titik C (- , - ) adalah titik balik minimum.
2 16
MATEMATIKA
183
Langkah 5.
Menentukan titik belok
f ''( x) = 12 x 2 + 12 x = 0 12 x( x + 1) = 0
12 x = 0 atau x + 1 = 0
x = 0 atau x = −1
Nilai f (0) = 0 atau f (−1) = −1
Jadi, titik belok fungsi adalah A(0, 0) atau D(–1, –1).
Langkah 6.
Menentukan beberapa titik bantu
x
y = x 4 + 2x 3
–7/4
–1/2
1/4
1/2
–343/256
–3/16
9/256
5/16
(x,y)
P(–7/4,–343/256)
Q(–1/2,–3/16)
R(1/4,9/256) S(1/2,5/16)
Perhatikan gambar.
y = f(x)
naik
turun
S
B
A
naik
R
Q
T. Belok A(0; 0)
D
P
C
T. Belok D(–1; –1)
T. Balik Min C(–1,5; –1,688)
Gambar 7.19 Sketsa kurva fungsi f(x) = x4 + 2x3
184 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
3.
F.
Kegiatan Penutup
Minta siswa mengomunikasikan kembali konsep-konsep materi
yang telah diketahui setelah pembelajaran.
Siswa dan guru bersama-sama melakukan releksi dan merangkum
semua konsep dan aturan turunan dari yang dipelajari.
Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan
menggunakan rubrik penilaian. Hasil kerja kelompok dikumpulkan
oleh guru.
Beri tugas kepada siswa sebagai latihan di rumah.
Informasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya.
Penilaian
Prosedur Penilaian
No.
Aspek yang dinilai
Teknik Penilaian
Waktu Penilaian
1
Berani bertanya
Pengamatan
Kegiatan inti
2
Berpendapat
Pengamatan
Kegiatan inti
3
Mau mendengar orang lain
Pengamatan
Kegiatan inti
4
Bekerja sama
Pengamatan
Kegiatan inti
5
Konsep
Tes tertulis
Kegiatan penutup
MATEMATIKA
185
1.
Instrumen Penilaian Sikap
(Sikap Kinerja dalam Menyelesaikan Tugas Kelompok)
Nama
No. Peserta
Didik
Aspek
Kerja
sama
Menghargai
Tanggung Jumlah Nilai
Keaktifan Pendapat
Jawab
Teman
1
2
3
4
...
Keterangan Skor:
1 = (belum terlihat), apabila peserta didik belum memperlihatkan tanda-tanda
awal perilaku sikap yang dinyatakan dalam indikator
2 = (mulai terlihat), apabila peserta didik mulai memperlihatkan adanya
tanda-tanda awal perilaku yang dinyatakan dalam indikator tetapi belum
konsisten
3 = (mulai berkembang), apabila peserta didik sudah memperlihatkan tanda
perilaku yang dinyatakan dalam indikator dan mulai konsisten
4 = (membudaya), apabila peserta didik terus-menerus memperlihatkan
perilaku yang dinyatakan dalam indikator secara konsisten
Skor Maksimal = 16
186 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
2. Instrumen Penilaian Pengetahuan
Contoh rubrik penilaian hasil penyelesaian soal oleh siswa. Dengan
mempertimbangkan langkah-langkah penyelesaian soal yang dilakukan
oleh siswa terhadap soal-soal yang diajukan guru maka dapat disusun
rubrik penilaiannya. Alternatif pedoman penskorannya sebagai berikut.
No.
1.
2.
3.
Total
Aspek
Penilaian
Pemahaman
terhadap
konsep turunan
Kebenaran
jawaban akhir
soal
Proses
perhitungan
Rubrik Penilaian
Skor
Penyelesaian dihubungkan dengan
konsep turunan
5
Sudah menghubungkan penyelesaian
dengan konsep turunan namun belum
benar
3
Penyelesaian sama sekali tidak
dihubungkan dengan konsep turunan.
1
Tidak ada respons/jawaban
0
Jawaban benar
5
Jawaban hampir benar
3
Jawaban salah
1
Tidak ada respons/jawaban
0
Proses perhitungan benar
5
Proses perhitungan sebagian besar
benar
3
Proses perhitungan sebagian kecil saja
yang benar
2
Proses perhitungan sama sekali salah
1
Tidak ada respons/jawaban
0
Skor maksimal =
15
Skor minimal =
0
MATEMATIKA
187
3. Instrumen Penilaian Pengetahuan
(Penilaian kinerja dalam menyelesaikan tugas Presentasi)
Aspek
Nama
No. Peserta
Sistematika
Penguasaan
Komunikasi
Didik
Penyampaian
Materi
Jumlah
Nilai
Keberanian Antusias Skor
1
2
3
4
5
...
Keterangan Skor:
Komunikasi:
1 = Tidak dapat berkomunikasi
2 = Komunikasi agak lancar, tetapi sulit dimengerti
3 = Komunikasi lancar tetapi kurang jelas dimengerti
4 = Komunikasi sangat lancar, benar, dan jelas
Sistematika Penyampaian:
1 = Tidak sistematis
2 = Sistematis, uraian kurang jelas
3 = Sistematis, uraian cukup
4 = Sistematis, uraian luas, jelas
Penguasaan Materi:
1 = Tidak menunjukkan pengetahuan/materi
2 = Sedikit memiliki pengetahuan/materi
3 = Memiliki pengetahuan/materi tetapi kurang luas
4 = Memiliki pengetahuan/materi yang luas
188 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Keberanian:
1 = Tidak ada keberanian
2 = Kurang berani
3 = Berani
4 = Sangat berani
Antusias:
1 = Tidak antusias
2 = Kurang antusias
3 = Antusias tetapi kurang kontrol
4 = Antusias dan terkontrol
G.
Pengayaan
Bentuk pembelajaran pengayaan adalah pemberian asesmen portofolio
tambahan yang memuat asesmen masalah autentik, proyek, keterampilan
proses, check up diri, dan asesmen kerja sama kelompok. Sebelum asesmen
ini dikembangkan terlebih dahulu dilakukan identiikasi kemampuan belajar
berdasarkan jenis serta tingkat kelebihan belajar peserta didik. Misalnya,
belajar lebih cepat, menyimpan informasi lebih mudah, keingintahuan lebih
tinggi, berpikir mandiri, superior, berpikir abstrak, dan memiliki banyak
minat. Pembelajaran pengayaan dapat dilaksanakan melalui belajar kelompok,
belajar mandiri, bimbingan khusus dari guru dan para ahli (mentor).
Materi pembahasan pada pembelajaran pengayaan bertumpu pada
pengembangan kompetensi dasar wajib tertera pada Kurikulum Matematika
2013, termasuk pengembangan kompetensi dasar peminatan. Materi pembahasan dituangkan dalam asesmen masalah autentik, proyek, keterampilan
proses, check up diri, dan asesmen kerja sama kelompok. Keterampilan yang
dibangun melalui materi matematika yang dipelajari adalah kemampuan
berpikir tingkat tinggi (berpikir kreatif dan kritis) serta kemampuan adaptif
terhadap perubahan, penggunaan teknologi dan membangun kerja sama antar
siswa dan orang lain yang lebih memahami masalah yang diajukan dalam
asesmen.
MATEMATIKA
189
H.
Remedial
Pembelajaran remedial membantu peserta didik yang mengalami
kesulitan dalam belajar. Pembelajaran remedial adalah tindakan perbaikan
pembelajaran bagi peserta didik yang belum mencapai kompetensi. Remedial
bukan mengulang tes (ulangan harian) dengan materi yang sama, tetapi guru
memberikan perbaikan pembelajaran pada KD yang belum dikuasai oleh
peserta didik melalui upaya tertentu.
Bentuk pembelajaran remedial tergantung pada jumlah peserta didik yang
mengalami kegagalan mencapai kompetensi dasar yang ditetapkan. Beberapa
alternatif bentuk pelaksanaan pembelajaran remedial di sekolah.
a. Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial lebih dari 50%, maka
tindakan yang dilakukan adalah pemberian pembelajaran ulang dengan
model dan strategi pembelajaran yang lebih inovatif berbasis pada
berbagai kesulitan belajar yang dialami peserta didik yang berdampak pada
peningkatan kemampuan untuk mencapai kompetensi dasar tertentu.
b. Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial lebih dari 20% tetapi
kurang dari 50%, maka tindakan yang dilakukan adalah pemberian tugas
terstruktur baik secara berkelompok dan tugas mandiri. Tugas yang
diberikan berbasis pada berbagai kesulitan belajar yang dialami peserta
didik yang berdampak pada peningkatan kemampuan untuk mencapai
kompetensi dasar tertentu.
c. Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial maksimal 20%, maka
tindakan yang dilakukan adalah pemberian bimbingan secara khusus,
misalnya bimbingan perorangan oleh guru dan tutor sebaya.
I.
Rangkuman
Kita telah menemukan konsep turunan fungsi dan sifat-sifatnya dari berbagai
pemecahan dunia nyata. Berdasarkan sajian materi terkait berbagai konsep
dan sifat turunan fungsi di atas, beberapa hal penting dapat kita rangkum
sebagai berikut:
1. Misalkan
f : R → R adalah fungsi kontinu dan titik P( x1 , y1 ) dan
Q( x1 + ∆x, y1 + ∆y ) pada kurva f. Garis sekan adalah yang menghubungkan
f ( x1 + ∆x) − f ( x1 )
titik P dan Q dengan gradien msec
sec =
∆x
190 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
2. Misalkan f adalah fungsi kontinu bernilai real dan titik P( x1 , y1 ) pada kurva.
f ( x1 + ∆x) − f ( x1 )
∆x
Gradien garis tangen/singgung di titik P( x1 , y1 ) adalah nilai limit garis
=
=
mtan lim
msec lim
sekan di titik P( x1 , y1 ) , ditulis
∆x → 0
∆x → 0
3. Misalkan fungsi f : S → R , S ⊆ R dengan (c − ∆x, c + ∆x) ⊆ S dengan
∆x > 0 . Fungsi f dapat diturunkan pada titik c jika dan hanya jika nilai
lim f (c + ∆x) − f (c) ada.
D
∆xx®
→00
∆x
4. Misalkan f : S → R dengan S ⊆ R . Fungsi f dapat diturunkan pada S
jika dan hanya jika fungsi f dapat diturunkan pada setiap titik c di S.
5. Misalkan fungsi f : S → R , S ⊆ R dengan c ∈ S dan L ∈ R . Fungsi f dapat
diturunkan di titik c jika dan hanya jika nilai turunan kiri sama dengan nilai
f ( x ) − f (c )
f ( x ) − f (c )
lim++
lim−–
= L.
= lim
turunan kanan, ditulis: f ' (c) = L ⇔ Dlim
®c0
Dxx→
®c0
xx→
x−c
x−c
6. Aturan Turunan:
Misalkan f , u, v adalah fungsi bernilai real pada interval I, a bilangan real
dapat diturunkan maka:
1. f ( x) = a → f ' ( x) = 0
2. f ( x) = ax
ax → f ' ( x) = a
ax n −1
3. f ( x) = ax
ax n → f ' ( x) = ax
MATEMATIKA
191
7. Misalkan f adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan pada x ∈ I
maka:
1. Jika f ' ( x) > 0 maka kurva selalu naik pada interval I
2. Jika f ' ( x) < 0 maka kurva selalu turun pada interval I
3. Jika f ' ( x) ≥ 0 maka kurva tidak pernah turun pada interval I
4. Jika f ' ( x) ≤ 0 maka kurva tidak pernah naik pada interval I
8. Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang kontinu dan ada turunan
pertama dan kedua pada x1 ∈ I sehingga:
1. Jika f ' ( x1 ) = 0 maka titik P ( x1 , f ( x1 ) disebut dengan stasioner/
kritis.
2. Jika f ' ( x1 ) = 0 dan f ' ' ( x1 ) > 0 maka titik P ( x1 , f ( x1 ) disebut titik
balik minimum fungsi.
3. Jika f ' ( x1 ) = 0 dan f ' ' ( x1 ) < 0 maka titik P ( x1 , f ( x1 ) disebut titik
balik maksimum fungsi.
4. Jika f ' ' ( x1 ) = 0 maka titik P ( x1 , f ( x1 ) disebut titik belok.
9. Kecepatan adalah laju perubahan dari fungsi s = f (t ) terhadap perubahan
waktu t, yaitu:
f (t + ∆t ) − f (t )
=
v(t ) lim
= f '(t )eiθ atau v(t ) = s ' (t )
∆t → 0
∆t
Percepatan adalah laju perubahan dari fungsi kecepatan v(t ) terhadap
perubahan waktu t, yaitu:
v(t + ∆t ) − v(t )
=
a (t ) lim
= v '(t ) atau a (t ) = v' (t ) = s ' ' (t )
∆t → 0
∆t
Selanjutnya, kita akan membahas tentang materi integral. Materi prasyarat
yang harus kamu kuasai adalah himpunan, fungsi, limit fungsi, dan turunan.
Hal ini sangat berguna dalam penentuan integral suatu fungsi sebagai
antiturunan. Semua apa yang kamu sudah pelajari sangat berguna untuk
melanjutkan bahasan berikutnya dan seluruh konsep dan aturan-aturan
matematika dibangun dari situasi nyata dan diterapkan dalam pemecahan
masalah kehidupan.
192 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
BAB
8
Integral
A.
Kompetensi Inti
Sikap
1. Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.
2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung
jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi
secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam
menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan
dunia.
Pengetahuan
3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual,
konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingin tahunya tentang
ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradab-an terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesiik
sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
Keterampilan
4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah
abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya
di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metode
sesuai kaidah keilmuan.
MATEMATIKA
193
B.
Kompetensi Dasar dan Indikator
Indikator pencapaian kompetensi pada pembelajaran dapat dikembangkan
guru sendiri berdasarkan kondisi peserta didik masing-masing di tempat guru
mengajar. Berikut ini dipaparkan contoh Indikator Pencapaian Kompetensi
Pembelajaran yang dapat dijabarkan dari KD 3.10 dan KD 4.10.
No.
Kompetensi Dasar
1.
3.10 Mendeskripsikan integral
tak tentu (antiturunan) fungsi aljabar dan menganalisis
sifat-sifatnya berdasarkan
sifat-sifat turunan fungsi.
2.
4.10 Menyelesaikan masalah
yang ber kaitan dengan
integral tak tentu
(antiturunan) fungsi aljabar.
194 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Indikator Pencapaian
Kompetensi
3.10.1 M e n e m u k a n k o n s e p
integral tak tentu sebagai
kebalikan dari turunan
fungsi.
3.10.2 Memahami notasi integral.
3.10.3 Menemukan rumus dasar
dan sifat dasar integral tak
tentu.
4.10.1 Menggunakan konsep
Integral tak tentu sebagai kebalikan dari
turunan fungsi dalam
menyelesaikan masalah.
4.10.2 M e n g g u n a k a n n o t a s i
integral.
4.10.3 M e n g g u n a k a n r u m u s
dasar dan sifat dasar
integral tak tentu dalam
menyelesaikan masalah.
C.
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari konsep integral melalui pengamatan, menalar, tanya
jawab, mencoba menyelesaikan persoalan, penugasan individu dan kelompok,
diskusi kelompok, dan mengomunikasikan pendapatnya, siswa mampu:
1. Melatih siswa menumbuhkan sikap perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab,
peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan
pro-aktif, berani bertanya, berpendapat, dan menghargai pendapat orang
lain dalam aktivitas sehari-hari.
2. Menunjukkan rasa ingin tahu dalam memahami konsep dan menyelesaikan
masalah.
3. Menemukan konsep integral tak tentu sebagai kebalikan dari turunan fungsi.
4. Memahami notasi integral.
5. Menemukan rumus dasar dan sifat dasar integral tak tentu.
6. Menggunakan konsep integral tak tentu sebagai kebalikan dari Turunan
Fungsi dalam menyelesaikan masalah.
7. Menggunakan notasi integral.
8. Menggunakan rumus dasar dan sifat dasar integral tak tentu dalam
menyelesaikan masalah.
MATEMATIKA
195
D.
Diagram Alir
Masalah Autentik
Integral
Integral Tak Tentu
Fungsi Aljabar
Penerapan
196 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Integral Tentu
E. Proses Pembelajaran
8.1 Menemukan Konsep Integral Tak Tentu sebagai Kebalikan dari
Turunan Fungsi
No.
Deskripsi Kegiatan
1. Kegiatan Pendahuluan
• Pembelajaran dimulai dengan doa dan salam
• Apersepsi
1. Guru memberikan beberapa pengantar tentang aplikasi
turunan pada beberapa bidang, misalnya bidang isika
tentang kecepatan dan menceritakan keterlibatan integral
dalam terapan ilmu lain seperti geometri, teknologi, biologi,
ekonomi sangat membantu untuk pengembangan ilmu lain
tersebut maupun perkembangan integral yang masuk dalam
ilmu kalkulus.
2. Informasikan kepada siswa bahwa mereka akan mempelajari
tentang menemukan konsep integral tak tentu sebagai
kebalikan dari turunan fungsi.
2. Kegiatan Inti
Pengantar Pembelajaran
• Minta siswa untuk memperhatikan Masalah 8.1.
Mengamati
• Ajaklah siswa untuk mengamati dan memahami Masalah 8.1.
• Berilah kesempatan kepada siswa untuk mendiskusikan tentang
informasi yang diperoleh dari kegiatan memindahkan barang di
dermaga.
Menanya
• Selanjutnya minta siswa untuk bertanya tentang apa-apa saja yang
belum dipahaminya dalam Masalah 8.1 tersebut.
Menalar
• Ajaklah siswa untuk mendiskusikan permasalahan yang terdapat
pada kegiatan menalar. Perhatikan siswa yang sedang melakukan
kegiatan menalar.
MATEMATIKA
197
Alternatif Penyelesaian
Misalkan masalah di atas kita sketsa dengan sederhana pada gambar
berikut:
Gambar 8.1. Barang diturunkan ke bidang miring
Sekarang, kita misalkan jaring (barang) yang diturunkan adalah
sebuah fungsi, bidang miring sebuah garis, ketinggian adalah sumbu y,
dan permukaan dermaga adalah sumbu x maka gambar tersebut dapat
disketsa ulang dengan sederhana pada bidang koordinat kartesius.
Jika jaring tersebut sebuah kurva dan diturunkan pada Gambar 8.2
maka berdasarkan konsep Transfromasi (translasi), terjadi perubahan
nilai konstanta pada fungsi tersebut sampai akhirnya kurva tersebut
akan menyingung bidang miring atau garis. Perhatikan gambar kembali.
Berdasarkan Gambar 8.3, kurva yang bergerak turun akan menyinggung
garis tersebut. Ingat kembali konsep gradien sebuah garis singgung
bahwa gradien garis singgung adalah turunan pertama fungsi yang
disinggung garis tersebut. Berdasarkan konsep tersebut maka Gambar
8.3 memberikan informasi bahwa: m adalah turunan pertama y′.
Gambar 8.2. Jaring dan bidang miring
sebagai kurva dan garis pada bidang koordinat
kartesius
198 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Gambar 8.3. Perubahan konstanta
fungsi pada translasi kurva
dydy
Atau m =
= f ' ( x ) sehingga y adalah anti turunan dari m. dengan
dxdx
demikian antiturunan dari m adalah y = f (x) + ck. Hal ini berarti
bahwa nilai konstanta ck dapat berubah-ubah.
Jadi, kita telah memahami bahwa integral adalah antiturunan dari
sebuah fungsi. Antiturunan dari sebuah fungsi akan mempunyai
konstanta yang belum dapat ditentukan nilainya. Untuk lebih
memahaminya, kita ingat kembali proses turunan sebuah fungsi pada
masalah berikut.
Mengamati
• Ajaklah siswa untuk mengamati dan memahami Masalah 8.2.
• Berilah kesempatan kepada siswa untuk mendiskusikan tentang
informasi yang diperoleh dari kegiatan memindahkan barang di
dermaga.
Menanya
• Selanjutnya minta siswa untuk bertanya tentang apa-apa saja yang
belum dipahaminya dalam Masalah 8.2 tersebut.
Menalar
• Ajaklah siswa untuk mendiskusikan permasalahan yang terdapat
pada kegiatan menalar. Perhatikan siswa yang sedang melakukan
kegiatan Menalar
Alternatif Penyelesaian:
turunan fungsi
1
a) F(x) = x 4 adalah
4
d 1
F ' ( x) = f ( x) = y ' = x 4 = x 3
dx
dx 4
1 4
x + 4 adalah
4
d 1 4
3
F’(x) = =f(x)( =) y'= =y ' dx x + 4 = x
dx 4
b) F(x) =
MATEMATIKA
199
1 4
x − 8 , maka:
4
d 1
F ' ( x) = f ( x) = y ' = x 4 − 8 = x 3
ddx
x 4
c) F(x) =
1 4 1
x − , maka:
4
2
1
d 1
F ' ( x) = f ( x) = y ' = x 4 − = x 3
dx
2
dx 4
13
1
13
e) F(x) = x 4 −
, maka:
4
207
13
13
d 1
F ' ( x) = f ( x) = y ' = x 4 −
= x3
dx
207
dx 4
Jika dilakukan pengamatan terhadap kelima fungsi, maka seluruh
fungsi F(x) tersebut merupakan antiturunan dari fungsi f(x) = x3,
sementara fungsi F(x) memiliki konstanta yang berbeda-beda. Jadi,
dapat ditunjukkan bahwa sebuah fungsi dapat memiliki banyak
antiturunan. Jika F(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan, yaitu
f(x) maka antiturunan dari f(x) adalah F(x) + c dengan c adalah
sembarang konstanta.
Menarik Kesimpulan
• Berdasarkan penyelesaian masalah dan bantuan guru minta siswa
untuk dapat membuat deinisi tentang antiturunan.
• Berdasarkan pemahaman beberapa contoh minta siswa untuk
membuat tentang sifat-sifat yang terkait dengan turunan dan
antiturunan.
Kegiatan Penutup
• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan
menggunakan rubrik penilaian.
d) F(x) =
3.
200 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
8.2 Notasi Integral
No.
Deskripsi Kegiatan
1. Kegiatan Pendahuluan
• Apersepsi
1. Informasikan kepada siswa bahwa mereka hanya akan
mengenal tentang lambang integral yang akan digunakan
sebagai lambang antiturunan.
2.
Kegiatan Inti
Minta siswa untuk memperhatikan Masalah 8.2 dan penyelesaiannya
dan minta juga siswa untuk menggunakan lambang integral pada
penyelesaiannya.
1
a) F(x) = x 4 , maka:
4
d 1
F ' ( x) = f ( x) = y ' = x 4 = x 3 sehingga diperoleh
dx
dx 4
1
F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ x 3 dx = x 4 + c
4
1
b) F(x)= x 4 + 4 , maka:
4
dd 1
y ' x 4 + 4 = x 3 sehingga diperoleh
==
F'(x) ==f(x)( =) y'
dx
dx 4
F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ x 3 dx =
1 4
x +c
4
1 4
x − 8 , maka:
4
d 1
F ' ( x) = f ( x) = y ' = x 4 − 8 = x 3 sehingga diperoleh
dx
dx 4
1
F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ x 3 dx = x 4 + c
4
c) F(x) =
MATEMATIKA
201
1 4 1
x − , maka:
4
2
d 1
1
F ' ( x) = f ( x) = y ' = x 4 − = x 3 sehingga diperoleh
dx
2
dx 4
1
F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ x 3 dx = x 4 + c
4
d) F(x) =
e) F(x) =
, maka:
13
1 4 13
x
= x 3 sehingga diperoleh
−
4
207
1
F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ x 3 dx = x 4 + c
4
F ' ( x) = f ( x) = y ' =
3.
d
dx
dx
Kegiatan Penutup
• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan
menggunakan rubrik penilaian.
8.3 Rumus Dasar dan Sifat Dasar Integral Tak Tentu
No.
Deskripsi Kegiatan
1. Kegiatan Pendahuluan
• Apersepsi
1. Guru meminta siswa untuk melihat penyelesaian masalah dan
contoh-contoh yang sudah diselesaikan sebelumnya.
2. Informasikan kepada siswa bahwa mereka akan mempelajari
tentang rumus dasar dan sifat dasar integral tak tentu
2.
Kegiatan Inti
Mengamati
• Minta siswa untuk mengamati beberapa penyelesaian masalah dan
contoh-contoh.
Menanya
• Selanjutnya minta siswa untuk bertanya tentang apa-apa saja yang
belum dipahaminya dalam penyelesaian masalah dan contohcontoh tersebut.
202 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Menalar
• Ajaklah siswa untuk mendiskusikan permasalahan yang terdapat
pada kegiatan menalar. Perhatikan siswa yang sedang melakukan
kegiatan Menalar, dan minta siswa untuk memahami tentang sifat
8.3
Sifat 8.3
Jika F(x) adalah fungsi dengan F′(x) = f (x) maka
dengan C sebarang konstanta
Mengamati
• Ajaklah siswa untuk mengamati dan memahami Masalah 8.3
• Berilah kesempatan kepada siswa untuk mendiskusikan tentang
informasi yang diperoleh tentang aturan proses integrasi.
Menanya
• Selanjutnya minta siswa untuk bertanya tentang apa-apa saja yang
belum dipahaminya dalam Masalah 8.3 tersebut.
Menalar
• Ajaklah siswa untuk mendiskusikan permasalahan yang terdapat
pada kegiatan menalar. Perhatikan siswa yang sedang melakukan
kegiatan menalar.
Alternatif Penyelesaian:
Untuk menjawab permasalahan ini, akan dilakukan beberapa
pengamatan pada beberapa contoh turunan dan antiturunan suatu
fungsi yang sederhana. Kamu diminta mengamati dan menemukan
pola dari proses antiturunan fungsi tersebut. Perhatikan Tabel 8.1.
MATEMATIKA
203
Tabel 8.1 Pola Hubungan Turunan dan Antiturunan
fungsi y = axn
Turunan
Antiturunan
Fungsi
Pola
Fungsi (F(x))
(f(x))
1
x
2x
x2
3x2
x3
8x3
2x4
…
…
anxn – 1
axn
axn
…
?
ax ndx
dx =
integral atau pola antiturunan dari turunannya yaitu ∫ax
Dari pengamatan pada tabel tersebut, dapat dilihat sebuah aturan
a n +1
x .
n +1
Mencoba
Selanjutnya minta siswa untuk menemukan pola hubungan turunan
dan antiturunan beberapa fungsi yang ada pada Tabel 8.2.
Menalar
• Ajaklah siswa untuk mendiskusikan permasalahan yang terdapat
pada kegiatan menalar. Perhatikan siswa yang sedang melakukan
kegiatan Menalar, dan minta siswa untuk memahami tentang Sifat
8.4 , 8.5, dan 8.6.
204 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Sifat 8.4
n bilangan rasional dan n ≠ – 1, maka
1 n +1
(i) ∫ x n dx
dx =
x +C
n +1
a n +1
(ii) ∫ax
x +C
ax n dx
dx =
n +1
dengan a dan c konstanta real
Sifat 8.5
Misalkan k bilangan real, f(x) dan g(x) merupakan fungsi yang
dapat ditentukan integralnya, maka :
dx = x + C
1. ∫ dx
dx = kx
kx + C
∫ k dx
x n +1
n
=
+C
x
d
x
dx
∫
n +1
x = k ∫ f ( x) dx
dx
∫ k f ( x) ddx
dx = ∫ f ( x) dx
dx + ∫ g ( x) dx
dx
∫ [ f ( x) + g ( x)]dx
dx = ∫ f ( x) dxdx − ∫ g ( x)dx
dx
∫ [ f ( x) − g ( x)]dx
2.
3.
4.
5.
6.
Sifat 8.6
Misalkan
adalah fungsi yang dapat
diintegralkan. Integral tak tentu hasil penjumlahan dua fungsi
atau lebih sama dengan integral tak tentu dari masing-masing
fungsi, yaitu:
dx + ... + ∫ f ( x ) dx
∫ ( f ( x ) + f ( x) + ... + f ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x)dx
1
2
n
1
2
n
Selanjutnya, minta siswa memahami contoh-contoh yang diberikan
untuk melatih kemampuan dalam menguasai sifat-sifat yang sudah
dipahami.
MATEMATIKA
205
Menarik Kesimpulan
• Berdasarkan penyelesaian masalah dan bantuan guru minta siswa
untuk dapat membuat kesimpulan dari hasil pembahasan materi
integral yaitu:
1. Integral merupakan antiturunan, sehingga integral saling
invers dengan turunan.
2. Jika F(x) adalah sebuah fungsi dengan F '(x) = f(x) dapat
dikatakan bahwa:
a. turunan dari F(x) adalah f(x) dan,
b. antiturunan dari f(x) adalah F(x).
3. Jika F(x) adalah sebarang antiturunan dari f(x) dan C adalah
sebarang konstanta, maka F(x) + C juga antiturunan dari f(x).
4. Jika F'(x) = f(x) maka
3.
F.
Kegiatan Penutup
• Berikan penilaian terhadap proses dan hasil karya siswa dengan
menggunakan rubrik penilaian
Penilaian
Prosedur Penilaian
No.
Aspek yang dinilai
1. Berani bertanya
2. Berpendapat
3. Mau mendengar orang lain
4. Bekerjasama
5. Konsep
Teknik Penilaian
Pengamatan
Pengamatan
Pengamatan
Pengamatan
Tes Tertulis
206 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Waktu Penilaian
Kegiatan inti
Kegiatan inti
Kegiatan inti
Kegiatan inti
Kegiatan penutup
1. Instrumen Penilaian Sikap
(Sikap Kinerja dalam Menyelesaikan Tugas Kelompok)
No.
Nama
Peserta
Didik
Kerja
sama
Aspek
Menghargai
Keaktifan
pendapat
teman
Tanggung
jawab
Jumlah
Nilai
1.
2.
3.
4.
....
Keterangan Skor:
1 = (belum terlihat), apabila peserta didik belum memperlihatkan tandatanda awal perilaku sikap yang dinyatakan dalam indikator.
2 = (mulai terlihat), apabila peserta didik mulai memperlihatkan adanya
tanda-tanda awal perilaku yang dinyatakan dalam indikator tetapi belum
konsisten.
3 = (mulai berkembang), apabila peserta didik sudah memperlihatkan tanda
perilaku yang dinyatakan dalam indikator dan mulai konsisten.
4 = (membudaya), apabila peserta didik terus-menerus memperlihatkan
perilaku yang dinyatakan dalam indikator secara konsisten.
Skor Maksimal = 16
Nilai =
Skor Perolehan
× 100%
Skor Maksimal
MATEMATIKA
207
2. Instrumen Penilaian Pengetahuan
Contoh rubrik penilaian hasil penyelesaian soal oleh siswa. Dengan
mempertimbangkan langkah-langkah penyelesaian soal yang dilakukan
oleh siswa terhadap soal-soal yang diajukan guru maka dapat disusun rubrik
penilaiannya. Alternatif pedoman penskorannya sebagai berikut.
No.
Aspek Penilaian
1. Pemahaman terhadap
konsep integral
2.
Kebenaran jawaban
akhir soal
3.
Proses perhitungan
Total
Rubrik Penilaian
Penyelesaian dihubungkan dengan
konsep integral
Sudah menghubungkan
penyelesaian dengan konsep
integral namun belum benar
Penyelesaian sama sekali tidak
dihubungkan dengan konsep
integral
Tidak ada respon/jawaban
Jawaban benar
Jawaban hampir benar
Jawaban salah
Tidak ada respon/jawaban
Proses perhitungan benar
Proses perhitungan sebagian besar
benar
Proses perhitungan sebagian kecil
saja yang benar
Proses perhitungan sama sekali
salah
Tidak ada respon/jawaban
Skor maksimal =
Skor minimal =
208 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Skor
5
3
1
0
5
3
1
0
5
3
2
1
0
15
0
3. Instrumen Penilaian Pengetahuan
(Penilaian kinerja dalam menyelesaikan tugas Presentasi)
Aspek
Nama
No. Peserta
Didik
Komunikasi
Sistematika
penyampaian
Penguasaan
Materi
Keberanian
Antusias
Jumlah
Skor
Nilai
1.
2.
3.
4.
5.
...
Keterangan Skor:
Komunikasi:
1 = Tidak dapat berkomunikasi
2 = Komunikasi agak lancar, tetapi
sulit dimengerti
3 = Komunikasi lancar, tetapi
kurang jelas dimengerti
4 = Komunikasi sangat lancar,
benar dan jelas
Penguasaan Materi:
1 = Tidak menunjukkan
pengetahuan/materi
2 = Sedikit memiliki
pengetahuan/materi
3 = Memiliki pengetahuan/
materi tetapi kurang luas
4 = Memiliki pengetahuan/
materi yang luas
Sistematika Penyampaian:
1 = Tidak sistematis
2 = Sistematis,uraian kurang,
tidak jelas
3 = Sistematis, uraian cukup
4 = Sistematis, uraian luas, jelas
Keberanian:
1 = Tidak ada keberanian
2 = Kurang berani
3 = Berani
4 = Sangat berani
MATEMATIKA
209
Antusias:
1 = Tidak antusias
2 = Kurang antusias
3 = Antusias tetapi kurang kontrol
4 = Antusias dan terkontrol
G.
Skor Maksimal = 20
Skor Perolehan
Nilai =
× 100%
Skor Maksimal
Pengayaan
Bentuk pembelajaran pengayaan adalah pemberian asesmen portofolio
tambahan yang memuat asesmen masalah autentik, proyek, keterampilan
proses, check up diri, dan asesmen kerja sama kelompok. Sebelum asesmen
ini dikembangkan, terlebih dahulu dilakukan identiikasi kemampuan belajar
berdasarkan jenis serta tingkat kelebihan belajar peserta didik. Misalnya,
belajar lebih cepat, menyimpan informasi lebih mudah, keingintahuan lebih
tinggi, berpikir mandiri, superior dan berpikir abstrak, dan memiliki banyak
minat. Pembelajaran pengayaan dapat dilaksanakan melalui belajar kelompok,
belajar mandiri, bimbingan khusus dari guru dan para ahli (mentor).
Materi pembahasan pada pembelajaran pengayaan bertumpu pada pengembangan
kompetensi dasar wajib tertera pada kurikulum matematika 2013, termasuk
pengembangan kompetensi dasar peminatan. Materi pembahasan dituangkan
dalam asesmen masalah autentik, proyek, keterampilan proses, check up diri,
dan asesmen kerja sama kelompok. Keterampilan yang dibangun melalui materi
matematika yang dipelajari adalah kemampuan berpikir tingkat tinggi (berpikir
kreatif dan kritis) serta kemampuan adaptif terhadap perubahan, penggunaan
teknologi dan membangun kerja sama antar siswa dan orang lain yang lebih
memahami masalah yang diajukan dalam asesmen.
210 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
G.
Remedial
Pembelajaran remedial membantu peserta didik yang mengalami kesulitan
dalam belajar. Pembelajaran remedial adalah tindakan perbaikan pembelajaran
bagi peserta didik yang belum mencapai kompetensi. Remedial bukan
mengulang tes (ulangan harian) dengan materi yang sama, tetapi guru
memberikan perbaikan pembelajaran pada KD yang belum dikuasai oleh
peserta didik melalui upaya tertentu.
Bentuk pembelajaran remedial tergantung pada jumlah peserta didik yang
mengalami kegagalan mencapai kompetensi dasar yang ditetapkan. Beberapa
alternatif bentuk pelaksanaan pembelajaran remedial di sekolah.
a. Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial lebih dari 50%, maka
tindakan yang dilakukan adalah pemberian pembelajaran ulang dengan
model dan strategi pembelajaran yang lebih inovatif berbasis pada
berbagai kesulitan belajar yang dialami peserta didik yang berdampak pada
peningkatan kemampuan untuk mencapai kompetensi dasar tertentu.
b. Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial lebih dari 20% tetapi
kurang dari 50%, maka tindakan yang dilakukan adalah pemberian tugas
terstruktur baik secara berkelompok dan tugas mandiri. Tugas yang
diberikan berbasis pada berbagai kesulitan belajar yang dialami peserta
didik yang berdampak pada peningkatan kemampuan untuk mencapai
kompetensi dasar tertentu.
Jika jumlah peserta didik yang mengikuti remedial maksimal 20%, maka
tindakan yang dilakukan adalah pemberian bimbingan secara khusus,
misalnya bimbingan perorangan oleh guru dan tutor sebaya.
MATEMATIKA
211
H.
Rangkuman
Beberapa hal penting sebagai kesimpulan dari hasil pembahasan materi
Integral, disajikan sebagai berikut:
1. Integral merupakan antiturunan, sehingga integral saling invers dengan
turunan.
2. Jika F(x) adalah sebuah fungsi dengan F '(x) = f(x) dapat dikatakan bahwa:
a. Turunan dari F(x) adalah f(x) dan,
b. Antiturunan dari f(x) adalah F(x),
3. Jika F(x) adalah sebarang antiturunan dari f(x) dan C adalah sebarang
konstanta, maka F(x) + C juga antiturunan dari f(x).
4. Jika F’(x) = f(x) maka
212 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Anton. Howard, Rorres. Chris. (2005). Elementary Linear Algebra with
Applications. John Wiley & Sons, Inc.
Ball, Deborah Loewenberg. (2003). Mathematical Proficiency for All
Students (Toward a Strategic Research and Development Program in
Mathematics Education). United States of America: RAND.
Checkley , Kathy (2006). The Essentials of Mathematics, Grades 7 -12. United
States of America: The Association for Supervision and Curriculum
Development (ASCD).
Chung, Kai Lai. (2001). A Course in Probability Theory, USA: Academic Press.
Committee on science and mathematics teacher preparation, center for education
national research council (2001). Educating Teachers of Science,
Mathematics, and Technology (New Practice for New Millennium).
United States of America: the national academy of sciences.
Douglas. M, Gauntlett. J, Gross. M. (2004). Strings and Geometry. United
States of America: Clay Mathematics Institute.
Hefferon, Jim (2006). Linear Algebra. United States of America: Saint Michael’s
College Colchester.
Howard, dkk. (2008). California Mathematics. Consepts, Skills, and Problem
Solving 7. Columbus-USA, The McGraw-Hill Companies, Inc.
Johnstone. P.T. (2002). Notes on Logic and Set Theory. New York: University
of Cambridge.
Magurn A, Bruce. (2002). Encyclopedia of Mathematics and Its Applications.
United Kingdom: United Kingdom at the University Press, Cambridge.
Slavin, Robert, E. (1994). Educational Psychology, Theories and Practice.
Fourth Edition. Masschusetts: Allyn and Bacon Publishers.
MATEMATIKA
213
Sinaga, Bornok. (2007). Pengembangan Model Pembelajaran Matematika
Berdasarkan Masalah Berbasis Budaya Batak. Surabaya: Program
Pascasarjana UNESA.
Tan, Oon Seng. (1995). Mathematics. A Problem Solving Approach. Singapore:
Federal Publication (S) Pte Lsd.
Urban. P, Owen. J, Martin. D, Haese. R, Haese. S. Bruce. M. (2005). Mathematics
For The International Student (International Baccalaureate
Mathematics HL Course). Australia: Haese & Harris Publication.
Van de Walle, John A. (1990). Elementary School Mathematics: Teaching
Developmentally. New York: Longman.
Van de Walle. Jhon, dkk. (2010). Elementary and Middle School Mathematics
(Teaching Developmentally). United States of America: Allyn & Bacon.
214 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Proil Penulis
Nama Lengkap
Telp. Kantor/HP
E-mail
Akun Facebook
Alamat Kantor
:
:
:
:
:
Prof. Dr. Bornok Sinaga, M.Pd
(061) 661365
bornoksinaga48@gmail.com
Sekolah Pasca Sarjana Universitas Negeri
Medan. Jl. Willem Iskandar Psr V Medan
Estate, Medan, Sumatera Utara
Bidang Keahlian : Pendidikan Matematika
Riwayat Pekerjaan/Profesi dalam 10 Tahun Terakhir
1. Dosen di Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Pattimura, Ambon.
(1991 - 1999)
2. Dosen di Jurusan Matematika Universitas Negeri Medan (2000 - sekarang)
Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar
1. S3 : Program Pasca Sarjana/Pendidikan Matematika/Universitas Negeri
Surabaya (2004 – 2007)
2. S2 : Program Pasca Sarjana/Pendidikan Matematika/IKIP Negeri Surabaya
(1996 – 1999)
3. S1 : Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam/Pendidikan
Matematika/IKIP Negeri Medan (1984 – 1989)
Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir)
1. Matematika Kelas VII SMP - Untuk Siswa (Buku Kemendikbud Kurikulum 2013)
(2013)
2. Buku Matematika Untuk Guru Kelas VII SMP (Buku Kemendikbud Kurikulum 2013)
(2013)
MATEMATIKA
215
Nama Lengkap
Telp. Kantor/HP
E-mail
Akun Facebook
Alamat Kantor
:
:
:
:
:
Andri Kristianto S., S.Pd., M.Pd.
(061) 6625970
andritanggang84@gmail.com
Jl .Willem Iskandar Pasar V
Medan Estate, Medan 20222
Bidang Keahlian : Matematika
Riwayat Pekerjaan/Profesi dalam 10 tahun Terakhir:
1. Dosen Matematika di Fakultas Ilmu Pendidikan UNIMED (2012 - sekarang)
2. Dosen di STKIP Riama Medan (2010 - 2012)
3. Dosen Di Universitas Darma Agung Medan (2010 - 2012)
4. Guru Matematika di SMK 11 Medan (2007 - 2010)
Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar
1. S2 : Program Pascasarjana Universitas Negeri Medan/ Pendidikan Dasar
Matematika/Universitas Negeri Medan/ (2007 – 2010)
2. S1 : Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam/Matematika/Pendidikan
Matematika/Universitas Negeri Medan (2002 – 2007)
Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir)
1. Buku Matematika Kelas VII SMP Penerbit Kemendikbud (2013)
2. Buku Matematika Kelas X SMA Penerbit Kemendikbud (2013)
3. Buku Matematika Kelas X SMA Penerbit Kemendikbud (2013)
Judul Penelitian dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir)
1. Efektivitas Pembelajaran Konstruktivisme Pada Pokok Bahasan Himpunan di
Kelas VII SMP Swasta Trisakti 2 Medan. 2007
2. Upaya Meningkatkan Kemampuan Berpikir Logis dan Komunikasi Matematis
Siswa SMP Melalui Pembelajaran Matematika Realistik. 2010
3. Pengembangan Model Pembelajaran Matematika dan Asesmen Otentik Berbasis
Kurikulum 2013 untuk Meningkatkan Kualitas Sikap, Kemampuan Berpikir Kreatif
dan Koneksi Matematika Siswa SMA. 2016.
216 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Nama Lengkap
Telp. Kantor/HP
E-mail
Akun Facebook
Alamat Kantor
:
:
:
:
:
Tri Andri Hutapea, S.Si., M.Sc
(061) 661356
triandh_A19@yahoo.com
Universitas Negeri Medan
Jl.Willem Iskandar Pasar V Medan
Estate,
Medan Sumatera Utara
Bidang Keahlian : Matematika
Riwayat Pekerjaan/Profesi dalam 10 tahun Terakhir
1. Dosen Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Negeri Medan.
(2006 - sekarang)
2. Penulis Buku Matematika (Buku Siswa dan Buku Guru) Berbasis Kurikulum
2013 Kelas X dan Kelas XI SMA/SMK. (2013 - 2016)
Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar
1. S2 : MIPA/Matematika/Matematika (Matematika Terapan)/Universitas
Gadjah Mada (2008 – 2010)
2. S1 : MIPA/Matematika/Matematika Sains/Universitas Negeri Medan
(2000 – 2005)
Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir)
1. Buku Matematika (Buku Siswa) Berbasis Kurikulum 2013 Kelas X SMA/ SMK
(2013 – 2016).
2. Buku Matematika (Buku Guru) Berbasis Kurikulum 2013 Kelas X SMA/ SMK
(2013 – 2016).
3. Buku Matematika (Buku Siswa) Berbasis Kurikulum 2013 Kelas XI SMA/ SMK
(2013 – 2016).
4. Buku Matematika (Buku Guru) Berbasis Kurikulum 2013 Kelas XI SMA/ SMK
(2013 – 2016).
MATEMATIKA
217
Nama Lengkap
Telp. Kantor/HP
E-mail
Akun Facebook
Alamat Kantor
:
:
:
:
:
Lasker Pangarapan Sinaga, S.Si., M.Si
(061) 661365
lazer_integral@yahoo.com
–
Jl.Willem Iskandar Pasar V Medan Estate,
Medan Sumatera Utara.
Bidang Keahlian : Matematika
Riwayat Pekerjaan/Profesi dalam 10 Tahun Terakhir
1. Dosen di Fakultas Ilmu Pendidikan UNIMED
Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar
1. S2: SPs USU/Matematika/Optimisasi dan Teori Riset/Universitas Sumatera Utara
(2007–2009)
2. S1: FMIPA/Matematika/Matematika Murni/Universitas Sumatera Utara (1998–
2003)
Judul Penelitian dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir)
1. Analisis Persoalan Optimisasi Konveks Dua Tahap (2010)
2. Konvergensi dan Stabilitas Solusi Persamaan Laplace pada Batas Dirichlet (2011)
3. Konvergensi dan Kontinuitas Deret Kuasa Solusi Persamaan Laplace Dimensi N
(2013)
4. Analisis Solusi Eksak dan Solusi Elemen Hingga Persamaan Laplace Orde Dua
(2014)
218 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Nama Lengkap
Telp. Kantor/HP
E-mail
Akun Facebook
Alamat Kantor
:
:
:
:
:
Sudianto Manullang S.Si., M.Sc
(061) 6625970
Sudianto.manullang@unimed.ac.id
Jalan Williem Iskandar Pasar V
Medan Estate, Medan – Sumatera Utara.
Bidang Keahlian : Matematika
Riwayat Pekerjaan/Profesi dalam 10 Tahun Terakhir
1. Dosen di Jurusan Matematika Universitas Negeri Medan (2006-sekarang)
2. Staf Ahli Program Pascasarjana UNIMED (2005-2006)
Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar
1. S2 : Fakultas MIPA/Jurusan Matematika/Program Studi Matematika/Universitas
Gadjah Mada (UGM) (2008-2011)
2. S1 : Fakultas MIPA/Jurusan Matematika/Program Studi Matematika/Universitas
Negeri Medan (UNIMED) 2000-2005
Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir)
1. Buku Siswa: Pelajaran Matematika Kelas 7 SMP Kurikulum 2013 (2013)
2 Buku Guru: Pelajaran Matematika Kelas 7 SMP Kurikulum 2013 (2013)
3 Buku Siswa: Pelajaran Matematika Kelas 10 SMA Kurikulum 2013 (2013)
4 Buku Guru: Pelajaran Matematika Kelas 10 SMA Kurikulum 2013 (2013)
5 Buku Siswa: Matematika Kelas 7 SMP (2013)
6 Buku Guru: Matematika Kelas 7 SMP (2013)
7 Buku Siswa: Matematika Kelas 10 SMA (2013)
8 Buku Guru: Pelajaran Matematika Kelas 10 SMA (2013)
9 Buku Guru: Pelajaran Matematika Kelas 11 SMA Kurikulum 2013 (2014)
10 Buku Siswa: Pelajaran Matematika Kelas 11 SMA Kurikulum 2013 (2014)
Judul Penelitian dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir)
1. Peramalan Kebutuhan Listrik Kota Medan (2007)
2. Application of Vasicek’s Rate Interest Model in Term Insurance Premiums Calculation. (2011)
3. Pendanaan Dana Pensiun dengan Metode Beneit Prorate (2012)
MATEMATIKA
219
Nama Lengkap
Telp. Kantor/HP
E-mail
Akun Facebook
Alamat Kantor
:
:
:
:
:
Mangaratua Marianus S., S.Pd., M.Pd.
(061) 661365
mangaratuasimanjorang@gmail.com
Jl. Willem Iskandar Psr V Medan Estate,
Medan, Sumatera Utara
Bidang Keahlian : Matematika
Riwayat Pekerjaan/Profesi dalam 10 Tahun Terakhir:
1. Guru Matematika Seminari Menengah Pematang Siantar. (2001 - 2005)
2. Guru Matematika di SMA Universitas HKBP Nommensen, Pematang Siantar.
(2002 - 2005)
3. Guru di SMA Budi Mulia Pematang Siantar (2004 - 2005)
4. Dosen di Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan HKBP Nommensen, Pematang
Siantar (2008 - 2009)
5. Dosen di Jurusan Matematika, FaKultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Universitas negeri Medan (2008 - sekarang)
Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar:
1. S3: School Of Education, Murdoch University, Perth, Australia (2011)
2. S2: Program Pasca Sarjana/Pendidikan Matematika/ Universitas Negeri Surabaya
(2005 – 2007)
3. S1: Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan/Pendidikan Matematika/Universitas
HKBP Nommensen (1998 – 2003)
Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir):
1. Buku Ajar Matematika SD Kelas 1 (Pembelajaran Matematika Realistik) (2009)
2 Matematika Kompeten Berhitung untuk Sekolah Dasar Kelas V (2010)
3 Matematika Kompeten Berhitung untuk Sekolah Dasar Kelas VI (2010)
4 Buku Panduan Guru Kelas X SMA/MA terkait kurikulum 2013 Jilid 1 (2013)
5 Buku Teks Siswa Kelas X SMA/MA terkait kurikulum 2013 Jilid 1 (2013)
6 Buku panduan guru kelas VII SMP/MTs terkait kurikulum 2013 Jilid 1 (2013)
7 Buku Teks siswa kelas VII SMP/MTs terkait kurikulum 2013 Jilid 1 (2013)
Judul Penelitian dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir):
1. Pengembangan Model Pembelajaran Matematika Berdasarkan Masalah Berbasis
Budaya Batak (PBM-B3) (2007)
2. Pembelajaran Matematika Realistik Untuk Topik Dimensi Tiga di Kelas X SMA
Kampus FKIP Universitas HKBP Nommensen Pematangsiantar (2007)
220 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Nama Lengkap
Telp. Kantor/HP
E-mail
Akun Facebook
Alamat Kantor
:
:
:
:
:
Pardomuan N. J. M. Sinambela, S.Pd., M.Pd.
(061)661365
pardomuannjmsinambela@gmail.com
Jl.Willem Iskandar Pasar V Medan Estate,
Medan Sumatera Utara.
Bidang Keahlian : Pendidikan Matematika
Riwayat Pekerjaan/Profesi dalam 10 Tahun Terakhir
1. Dosen di Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Karo, Kabanjahe.
(2006 - 2008)
2. Dosen di Program Studi Pendidikan Matematika Universitas HKBP Nommensen.
(2007)
3. Dosen di Jurusan Matematika Universitas Negeri Medan (2008 - sekarang)
Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar
1. S2 : Program Pasca Sarjana/Pendidikan Matematika/ Universitas Negeri
Surabaya (2003 - 2006)
2. S1 : Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam/Pendidikan
Matematika/Universitas Negeri Medan (1997 - 2002)
Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir)
1. Matematika Kompeten Berhitung untuk Sekolah Dasar Kelas V (2010)
2 Matematika Kompeten Berhitung untuk Sekolah Dasar Kelas VI (2010)
3 Buku panduan guru kelas X SMA/MA terkait kurikulum 2013 Jilid 1 (2013)
4 Buku Teks siswa kelas X SMA/MA terkait kurikulum 2013 Jilid 1 (2013)
5 Buku panduan guru kelas VII SMP/MTs terkait kurikulum 2013 Jilid 1 (2013)
6 Buku Teks siswa kelas VII SMP/MTs terkait kurikulum 2013 Jilid 1 (2013)
Judul Penelitian dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir)
1. Keefektifan Model Pembelajaran Berdasarkan Masalah (Problem Based
Instruction) Dalam Pembelajaran Matematika Untuk Pokok Bahasan Sistem
Persamaan Linear dan Kuadrat di Kelas X SMA Negeri 2 Rantau Selatan, Sumatera
Utara (2006)
2. Penerapan Model Pembelajaran Bermuatan Soft Skill dan Pemecahan Masalah
dengan bantuan Asesmen Autentik dalam meningkatkan kemampuan
komunikasi matematis dan kreatiitas berikir mahasiswa dalam pemecahan
masalah serta meningkatkan kualitas proses pembelajaran mata kuliah
Matematika Diskrit 1 (2009)
3. Pemetaan dan Pengembangan Model Peningkatan Mutu Pendidikan di
Kabupaten Simalungun dan Kota Pematang siantar Sumatera Utara (2011)
4. Pengembangan model pembelajaran matematika dan asesmen otentik berbasis
kurikulum 2013 untuk meningkatkan kualitas sikap, kemampuan berpikir kreatif
dan koneksi matematika siswa SMA (2015)
MATEMATIKA
221
Proil Penelaah
Nama Lengkap
Telp. Kantor/HP
E-mail
Akun Facebook
Alamat Kantor
:
:
:
:
:
Dr. Agung Lukito, M.S.
+62 31 829 3484
gung_lukito@yahoo.co.id
Kampus Unesa Ketintang
Jalan Ketintang Surabaya 60231
Bidang Keahlian : Matematika dan Pendidikan Matematika
Riwayat Pekerjaan/Profesi dalam 10 Tahun Terakhir:
1. Dosen pada Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Surabaya.
(2010 - 2016)
Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar:
1. S3 : Faculty of Mathematics and Informatics/Delft University of Technology
(1996 - 2000)
2. S2 : Fakultas Pascasarjana/Matematika/ITB Bandung (1988 - 1991)
3. S1 : Fakultas PMIPA/Pendidikan Matematika/Pendidikan Matematika/IKIP
Surabaya (1981 - 1987)
Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir):
1. Buku Teks Matematika kelas 7 dan 10 (2013)
2. Buku Teks Matematika kelas 7, 8, dan 10, 11 (2014)
3. Buku Teks Matematika kelas 7, 8, 9, dan 10, 11, 12 (2015)
Judul Penelitian dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir):
1. Pengembangan Perangkat Pendampingan Guru Matematika SD dalam Implementasi Kurikulum 2013 (2014)
2. Peluang Kerjasama Unit Pendidikan Matematika Realistik Indonesia dengan
Pemangku Kepentingan, LPPM Unesa (2013)
3. Pemanfaatan Internet untuk Pengembangan Profesi Guru-guru Matematika SMP
RSBI/SBI Jawa Timur, 2010, (Stranas 2010)
4. Relevansi Pendidikan Matematika Realistik Indonesia (PMRI) dengan Kurikulum
Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP), 2009, (Stranas 2009)
222 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Nama Lengkap
Telp. Kantor/HP
E-mail
Akun Facebook
Alamat Kantor
:
:
:
:
:
Dr. Muhammad Darwis M., M.Pd
(0411) 840 860
darwismath2011@yahoo.com
Muhammad Darwis
Kampus UNM Parang Tambung Jalan Dg. Tata
Raya, Makassar.
Bidang Keahlian : Pendidikan Matematika
Riwayat Pekerjaan/Profesi dalam 10 Tahun Terakhir
1. Dosen pada program S1, S2, dan S3 Universitas Negeri Makassar. (2007 - 2016)
2. Dosen di Pasca Sarja Universitas Cokroaminoto Palopo, Sulawesi Selatan. (2015 2016)
3. Pengembang Instrumen Penilaian BTP dan Penelaah Buku Matematika SMA/MA
dan SMK. (2007 - 2016)
4. Instruktur pada Pelatihan Nasional Kurikulum 2013 (2014 - 2016)
Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar
1. S3 : Program Pasca Sarjana/Pendidikan Matematika/Universitas Negeri
Surabaya (2000-2006)
2. S2 : Program Pasca Sarjana/Pendidikan Matematika/IKIP Malang (1989-1993)
3. S1 : FPMIPA/Matematika/Pendidikan Matematika/IKIP Ujung Pandang
(1978-1982)
Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir)
1. Buku Teks Pelajaran Matematika SMA dan SMK.
Judul Penelitian dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir)
1. Pengembangan Model Pembelajaran Matematika yang Melibatkan Kecerdasan
Emosional Guru Dan Siswa (2006)
2. Analisis Kompetensi Guru Matematika di Kota Makassar (2010)
MATEMATIKA
223
Nama Lengkap :
Telp. Kantor/HP :
E-mail
:
Akun Facebook :
Alamat Kantor :
Bidang Keahlian :
Drs. Turmudi, ., M.Sc., Ph.D.
(0264)200395/ 081320140361
turmudi@upi.edu
Jl. Veteran 8 Purwakarta/Jl. Dr. Setiabudi 229 Bandung,
Pendidikan Matematika
Riwayat Pekerjaan/Profesi dalam 10 Tahun Terakhir
1. Dosen Pendidikan Matematika di S1, S2, dan S3 Universitas Pendidikan
Indonesia.
2. Ketua Jurusan Pendidikan Matematika (2007-2015)
3. Ketua Prodi S2 dan S3 Pendidikan Matematika SPs UPI (2012-2015)
(dalam konteks terintegrasi dengan S1 Pendidikan Matematika FPMIPA UPI)
4. Direktur Kampus Daerah UPI Purwakarta (2015- sekarang)
Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar
1. S3 : Mathematics Education, Graduate School of Education, Educational
Studies, La Trobe University Australia, Victoria Campus (1995-1997)
2. S2 : Educational and Training System Designs, Twente University Enschede, Th
3. S2 : Mathematics Education (Graduate School of Education), Educational
Studies, La Trobe University Australia, Victoria Campus (1995-1997)
4. S1 : Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Jurusan
Pendidikan Matematika, IKIP Bandung (Universitas Pendidikan Indonesia),
(1984-1986).
5. D3 : Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Jurusan
Pendidikan Matematika, IKIP Bandung (Universitas Pendidikan Indonesia),
(1983-1984).
6. D2 : Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Jurusan
Pendidikan Matematika, IKIP Bandung (Universitas Pendidikan Indonesia),
(1980-1982).
Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir)
1. Designing Contextual Learning Strategies Mathematics for Junior Secondary
School in Indonesia (2006)
2. Pengembangan Pemodelan Matematika di SMP dan SMA (2009)
3. Kajian Efektivitas Pelaksanaan Program DAK Bidang Pendidikan Tahun 2003 2008 (Sensus di Kota Manado, Kendari, dan Baros) (2009)
4. Peningkatan Kesadaran Bernovasi dalam Pembelajaran Matematika Guru SMP
Melalui Lesson Study (2010)
5. Identiikasi Keberbakatan dalam Bidang Matematika untuk Siswa SMA (2011)
6. Pengembangan Desain Didaktis Subjek Spesiik Pedagang Bidang Matematika
dalam Pendidikan Profesi Guru (2011)
7. Eksplorasi Etnomatematika Mayarakat Baduy dan Kampung Naga (2013)
8. Pengembangan Pembelajaran Matematika Berbasis Fenomena Didaktis (2014)
9. Pengembangan Literasi, Sains, dan Matematika di Sekolah Menengah Pertama
(2014)
10. Pengembangan Pembelajaran Matematika Berbasis Fenomena Didaktis di
Pendidikan Dasar (2015)
224 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Nama Lengkap
Telp. Kantor/HP
E-mail
Akun Facebook
Alamat Kantor
:
:
:
:
:
Prof. Dr. H. Nanang Priatna, M.Pd
nanang_priatna@yahoo.com.
Departemen Pendidikan Matematika FPMIPA UPI, Jl. Dr.
Setiabudhi No. 229 Bandung
Bidang Keahlian : Pembelajaran Matematika
Riwayat Pekerjaan/Profesi dalam 10 Tahun Terakhir:
1. Bekerja sebagai Dosen Departemen Pendidikan Matematika UPI dan mengajar di
Sekolah Pascasarjana UPI. (1988 - sekarang)
2. Mengajar di President University Cikarang-Bekasi (2013 - sekarang)
3. Mengajar di Universitas Widyatama Bandung (2012 - sekarang)
4. Sebagai konsultan manajemen pada Direktorat TK & SD Ditjen Dikdasmen
Kemdikbud (2007-2010)
5. Sebagai konsultan manajemen pada Direktorat P2TK Pendidikan Dasar Ditjen
Pendidikan Dasar Kemdiknas (2011)
Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar:
1. S3 : Program Studi Pendidikan Matematika dari Universitas Pendidikan
Indonesia (1998 - 2003)
2. S2 : Program Studi Pendidikan Matematika dari IKIP Malang (1990 - 1994)
3. S1 : Program Studi Pendidikan Matematika di IKIP Bandung (1982 - 1987)
Judul Penelitian dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir):
1. Analisis Daya Serap Matematika Siswa SD Tingkat Nasional (Tahun 2008).
2. Capaian Hasil Ujian Akhir Sekolah Berstandar Nasional dan Pemetaan Mutu Pendidikan SD secara Nasional (Tahun 2008).
3. Kajian Pembelajaran Calistung (Membaca, Menulis, dan Berhitung) Kelas Awal di
Sekolah Dasar Wilayah Indonesia Bagian Timur (Tahun 2009).
4. Analisis Daya Serap Matematika Siswa SD Tingkat Nasional (Tahun 2010).
5. Pembelajaran Matematika Interaktif untuk Meningkatkan Kemampuan Penalaran, Komunikasi, dan Pemecahan Masalah Matematis Tahap I (Tahun 2012).
6. Pembelajaran Matematika Interaktif untuk Meningkatkan Kemampuan Penalaran, Komunikasi, dan Pemecahan Masalah Matematis Tahap II (Tahun 2013).
7. Desain dan Pengembangan Pembelajaran Berbasis Masalah Berbantuan Komputer untuk Meningkatkan Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis, Berpikir
Kreatif, dan Disposisi Matematis Siswa SMP (Tahun 2013).
8. Desain dan Pengembangan Pembelajaran dengan Pendekatan Open-Ended
Berbantuan Geogebra untuk Meningkatkan Spatial Ability, Berpikir Kritis, dan
Self-Concept Siswa SMP (Tahun 2014).
9. Desain dan Pengembangan Model Brain-Based Learning untuk Meningkatkan
Kemampuan Representasi Matematis, Berpikir Logis, dan Self-Eicacy Siswa SMP
(Tahun 2015).
10. Penerapan Prinsip Brain-Based Learning Berbantuan Geogebra untuk Meningkatkan Spatial Ability, Kemampuan Abstraksi, dan Berpikir Kreatif Matematis Siswa
SMP Tahap I (Tahun 2016).
MATEMATIKA
225
Proil Editor
Nama Lengkap :
Telp. Kantor/HP :
E-mail
:
Akun Facebook :
Alamat Kantor :
Bidang Keahlian :
Taryo, S.Si
021-8717006/085691997883
ayo_math@yahoo.com
Taryo Abdillah
Jl. H. Baping Raya 100 Ciracas, Jakarta - 13740
Matematika
Riwayat Pekerjaan/Profesi dalam 10 Tahun Terakhir:
1. 2005 – 2010
: Guru Bimbingan Belajar PT Bintang Pelajar
2. 2010 – Sekarang : Editor Buku Pelajaran PT Penerbit Erlangga Mahameru
Riwayat Pendidikan Tinggi dan Tahun Belajar:
1. S1 : Fakultas MIPA Jurusan Matematika Uiversitas Negeri Jakarta (2002-2007)
Judul Buku dan Tahun Terbit (10 Tahun Terakhir):
1. Buku Teks Matematika kelas 7 dan 10 (2013)
2. Buku Teks Matematika kelas 7, 8, dan 10, 11 (2014)
3. Buku Teks Matematika kelas 7, 8, 9, dan 10, 11, 12 (2015)
Judul Buku yang Pernah Diedit (10 Tahun Terakhir)
1. Mathematics Bilingual For Senior High School 1A-3B, 2010 – 2011
2. LPR (Lembar Pekerjaan Rumah) Matematika, 2010 – 2013
3. Smart Mathematics, 2011
4. Erlangga Fokus UN, 2011 – 2016
5. SPM (Seri Pendalaman Materi) Matematika, 2012 – 2015
6. Mandiri Matematika, 2013 – 2015
7. Matematika SMP/MTs, 2013 – 2016
8. Matematika SMA/MA, 2013 – 2016
9. Bupena (Buku Penilaian Autentik) Matematika, 2013 – 2016
10. Erlangga X-Press UN Matematika, 2015 – 2016
226 Buku Guru Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK