CÁLCULO
CICLO VI
LUIS FERNANDO LÓPEZ MUÑOZ
Colegio Los Alcázares
Bachillerato Formal para Jóvenes y Adultos
POPAYAN
2
TEMA 1
LÓGICA Y CONJUNTOS
ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS
El matemático George Ferdinand Ludwing Philip Cantor es el padre de la Teoría de Conjuntos, dio su
primer tratamiento formal en 1870. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en
matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar implícita o explícitamente,
en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y
terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y
para explicar conceptos abstractos como el infinito.
En el año 1874, apareció el primer trabajo revolucionario de Cantor sobre la Teoría de conjuntos.
Sabemos que la palabra conjunto implica la idea de una colección de objetos que se caracterizan en algo
común.
En matemática tiene el mismo significado, sólo que a estos objetos se les llama elementos o miembros del
conjunto.
No puede darse una definición satisfactoria de un conjunto en términos de conceptos simples, por lo
tanto la palabra "CONJUNTO" debe aceptarse lógicamente como un término no definido.
UN CONJUNTO es una colección bien definida de objetos de cualquier clase o también agrupación,
colección o reunión de objetos o personas con características especiales, cada una de los objetos o seres
que forman el conjunto se conoce con el nombre de ELEMENTO. Convencionalmente se utilizan letras
mayúsculas para designar los conjuntos y letras minúsculas u otros signos para designar los elementos.
Son ejemplos de conjuntos:
A =Los alumnos de un colegio.
B = Los muebles de tu casa.
C = Los días de la semana.
D = Las vocales del alfabeto.
Y muchísimos ejemplos más.
Estos dibujos también representan conjuntos:
A
B
3
C
Como se puede ver los conjuntos se pueden representar de forma gráfica encerrando los elementos en un
círculo, un cuadrado, un rectángulo, o en cualquier tipo de línea cerrada. La forma de representar los
conjuntos de modo gráfico es conocida como diagramas de Venn
Pero los conjuntos también se pueden representar de manera literal escribiendo los elementos entre un
símbolo de agrupación que se conoce con el nombre de llave, { }. Así:
A = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo,}
Los conjuntos expresados literalmente pueden a su vez representarse de dos formas por EXTENSIÓN, si se
nombran uno a uno todos los elementos del conjunto o por COMPRENSIÓN, si se da una característica
que posean todos los elementos de dicho conjunto. En el ejemplo anterior, el conjunto A está dado por
extensión, porque se están nombrando uno a uno todo los elementos. La forma de representar este
mismo conjunto por comprensión sería la siguiente:
A = los elementos de A son los días de la semana
Y esto escrito en lenguaje matemático sería:
A = {x tal que x es un día de la semana}
Pe o e
ate áti as tal ue se ep ese ta po el sí
olo /, así que A en forma simbólica sería:
A = {x/x es un día de la semana}
De aquí en adelante cada vez que representemos un conjunto por comprensión lo haremos por la forma
simbólica.
Si un elemento está dentro de un conjunto se dice que éste elemento PERTENECE a el conjunto y se nota
por el símbolo. Por ejemplo sea:
A = {a, e, i, o, u}
Se puede afirmar que a, pertenece a A, y se nota:
A.
a A. Lo mismo sucede con los demás elementos de
Si el elemento no está dentro del conjunto se dice que NO PERTENECE y se nota, en el ejemplo anterior
podemos decir que b no pertenece a A, y se nota: bA.
Gráficamente:
A
a, e, i, o, u
4
Si todos los elementos de un conjunto pertenecen a otro conjunto se dice que el primero es un
SUBCONJUNTO del segundo y se nota por el símbolo. Así por ejemplo:
Sea A = {x/x es una vocal}
Y sea B = {x/x es una letra del alfabeto}
Como todos los elementos de A están en B se dice que A es subconjunto de B, y se nota A B.
Cuando no todos los elementos de un conjunto pertenecen a otro conjunto se dice que éste NO ES
SUBCONJUNTO del otro y se nota, así, por ejemplo sea:
C = {x/x es un dígito}
Podemos observar que C no es subconjunto de B, y se nota C B.
Gráficamente
AB
Existe en las matemáticas un conjunto que contiene a todos los demás conjuntos, éste conjunto es el
CONJUNTO UNIVERSAL que se nota con el símbolo U. Éste conjunto es conocido también como conjunto
de referencia , porque abarca a todos los conjuntos que tienen una propiedad común, siendo todos ellos a
la vez subconjuntos del conjunto universal. Por ejemplo:
Sean:
A = {1, 3, 5, 7, 9}
B = {2, 4, 6, 8}
En éste caso U pude ser:
U = {x/x es un número dígito}
Porque ésta característica abarca a los dos conjuntos que tomamos de ejemplo, podemos ver además que
A y B son subconjuntos de U.
También existe en las matemáticas un con junto que no contiene elementos, y se conoce como
CONJUNTO VACÍO y se nota con el símbolo Ø o { }. Éste conjunto es a la vez subconjunto de todos los
conjuntos.
Si un conjunto tiene solo un elemento se conoce como conjunto unitario.
Otro ejemplo de estas tres clases de conjuntos:
Sea U = {x/x es un mes del año}
A = {enero}
universal
unitario
B = {x/x es un mes con 40 días}
vacío Ø
La representación gráfica de estos tres conjuntos es:
5
Universal:
Vacío: Ø
Unitario:
a
Los conjuntos también se clasifican como CONJUNTOS FINITOS si sus elementos se pueden contar y
CONJUNTOS INFINITOS si es imposible dar una cantidad exacta de ellos.
Por ejemplo:
A = {x/x es un día de la semana}
Éste es un conjunto finito pues sus elementos se pueden contar.
B = {x/x es un número par}
Éste es un conjunto infinito pues existen infinitos números pares.
Conjuntos coordinables: se dice que dos conjuntos son coordinables si a cada elemento del primero le
corresponde un único elemento del segundo y a cada elemento del segundo le corresponde un único
elemento del primero.
Por ejemplo si en un salón de clases hay tantos alumnos como pupitres, o sea, que para alumno hay un
pupitre y a cada pupitre le corresponde un alumno, se dice que existe una correspondencia uno a uno y en
ambos sentidos entre los conjuntos alumnos y pupitres. Estos dos conjuntos son coordinables.
Los conjuntos coordinables se pueden expresar gráficamente, por ejemplo en el siguiente gráfico A y B
son coordinables.
6
EJERCICIO 1:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Nombra 10 ejemplos de conjuntos.
Medellín, que es para el conjunto de ciudades de Colombia.
A = {a, e, i, o, u}, expresa este conjunto por comprensión.
Sea C = {x/x es una letra de la palabra colegio}, expresa este conjunto por extensión.
Expresa 10 conjuntos por extensión, por comprensión y gráficamente.
Nombra 5 conjuntos finitos.
Nombra 5 conjuntos infinitos.
Da 5 ejemplos de conjuntos universales.
Da 5 ejemplos de conjuntos unitarios.
Da 3 ejemplos de conjuntos vacíos.
11) Explique cuando serán coordinables un conjunto de frascos y de tapas; un conjunto de sillas y de
personas.
12) Dados los conjuntos:
A = {x, y, z, w, m}
B = {y, w, m, p}
C = {y, m}
Llenar el espacio entre los conjuntos con el símbolo o, según el caso:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
B___A
C___B
C___A
B___C
B___B
Ø___C
Llenar el espacio entre los conjuntos con el símbolo o, según el caso:
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
x___A
z___B
y___A
m___C
w___B
Ø___C
13) Expresa con diagramas de Venn los conjuntos del punto 12. expresa también
diagramas de Venn.
14) Verifica si los siguientes conjuntos son o no coordinables:
i)
ii)
tu respuesta en
7
OPERACIONES ENTRE CON JUNTOS
IGUALDAD DE CONJUNTOS: Se dice que 2 conjuntos A y B son iguales cuando ambos tienen los mismos
elementos, es decir si cada elemento de A pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece
también A. La igualdad se denota A = B.
En la igualdad, el orden de los elementos de cada conjunto no importa.
EJEMPLOS.
A = {1, 2, 3, 4}
C = {1, 2, 3, 3, 4, 1}
E = {vocal de la palabra mundo}
B = {3, 4, 1, 2}
D = {1, 2, 2, 3, 4}
F = {u, o}
A=B
C=D
E=F
UNIÓN DE CONJUNTOS. Podemos combinar los elementos de dos conjuntos cualquiera, A y B, para
producir un nuevo conjunto. Éste nuevo conjunto es el conjunto formado por la reunión de los elementos
de A con los elementos de B, teniendo en cuenta que los elementos que se repitan los tomamos una sola
vez, se llama la unión de A y B y se escribe:
AB
Entonces A B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos.
Ejemplo 1:
Sean A = {a, b, c, d, e}
B = {a, e, i, o, u}
Entonces A B = {a, b, c, d, e} {a, e, i, o, u} = {a, b, c, d, e, i, o, u}.
Ejemplo 2:
Sean A = {1, 3, 5, 7, 9}
B = {1, 2, 3, 4, 5}
Entonces A B = {1, 2, 3, 4, 5, 7,9}.
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS: al combinar los elementos de dos conjuntos podemos formar otro
conjunto. Éste nuevo conjunto es el formado por los elementos que a la vez pertenezcan a los dos
conjuntos, o sea los elementos comunes a los dos conjuntos. Ésta operación se llama intersección de A y B
y se escribe:
AB
Entonces A B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al mismo tempo a A y a B.
Ejemplo 1:
Sean A = {a, b, c, d, e}
B = {a, e, i, o, u}
Entonces A B = {a, b, c, d, e} {a, e, i, o, u} = {a, e}.
Ejemplo 2:
Sean A = {1, 3, 5, 7, 9}
B = {1, 2, 3, 4, 5}
Entonces A B = {1, 3, 5}.
Estas operaciones también pueden expresarse de forma gráfica por medio de los diagramas de VENN
Expresamos con color gris la parte que corresponde al resultado de la operación, sean los conjuntos A y B:
A B:
8
A B:
Si la intersección entre dos conjuntos es el conjunto vacío esto significa que los dos conjuntos no tienen
ningún elemento en común, cuando esto sucede se dice que los conjuntos son disyuntos. Por ejemplo:
A = {m, n, o}
B = {a, b, c}
AB=Ø
DIFERENCIA DE CONJUNTOS: Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por
todos los elementos de A pero que no pertenecen a B.
La diferencia se denota por: A - B que se lee: A diferencia B o A menos B. Se define la diferencia de dos
conjuntos también como:
A - B = {x / x
Ayx
B}
Mediante un diagrama de Venn - Euler:
9
Cuando no tienen
Cuando tienen
Cuando todos los elementos de un
elementos comunes
elementos comunes
conjunto pertenecen a otro conjunto
EJEMPLOS:
1. Dados los conjuntos: A = {a, b, c, d, e}, B = {a, e} y C = {d, f, g}, efectuar y construir los diagramas
respectivos:
a) A - C
b) B - C
c) A - B
Tenemos:
a) A = {a, b, c, d, e} y C = {d, f, g}
A - C = { a, b, c, e }
Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y C
b) B = {a, e} y C = {d, f, g}
B - C = { a, e }
Representación gráfica de la diferencia de conjuntos B y C
c) A = {a, b, c, d, e} y B = {a, e}
A - B = { b, c, d }
Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y B
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO: Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al
conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama complemento de A con respecto
a U. Simbólicamente se expresa:
A' = {x/x
Uyx
A}
EJEMPLOS:
a) Sean U = { m, a, r, t, e }
Su complemento de A es:
En forma gráfica:
y A = { t, e }
A' = { m, a, r }
10
b) Sean U = { letras de la palabra aritmética}
y
B = {vocales de la palabra vida}
Determinado por extensión tenemos
U = { a, r, i, t, m, e, c }
B = { i, a }
Su complemento de B es:
B' = { r, t, m, e, c }
En forma gráfica:
EJERCICIO 2
Marque en el círculo de la alternativa correcta
1) El padre de la Teoría de Conjuntos fue
Cantor
Kroneecker
6) Los que representan conjuntos disjuntos
son...
A = {e, m, a, i, l} y B = {c, o, r, e}
C = {3, 6, 9} y D = {4, 8, 12}
E = {2, 4, 8} y F = {3, 4, 5}
Gauss
2) Un conjunto es una colección...
De objetos no definidos
Bien definido de objetos de cualquier clase
De términos no definido
7) La unión de conjuntos de A = {c, h, a, t} y B =
{c, h, a, r, l}
A U B = {c, h, a}
A U B = {a, c, h, l, r, t}
A U B = {l, r, t}
3) ¿Cuántas formas hay para determinar un
conjunto?
Hay una forma
Hay cuatro formas
Hay dos formas
8) La intersección de conjuntos de A = {n, e, w, s}
y B = {n, o, t, i, c, a}
Es un conjunto vacío
Es un conjunto unitario
Es un conjunto universal
4) A = {x/x es país fronterizo con Perú} El
conjunto está por...
Comprensión
Extensión
Tabular
9) La diferencia de conjuntos de A = {c, h, a, t} y
B = {c, h, a, r, l}
A - B = {c, h, a}
A - B = {r, l}
A - B = {t}
5) B = {x/x es una vocal de Internet} El conjunto
es...
Unitario.
10) Si U = {letras de la palabra evaluación} y A =
{vocal de la palabra internet}. El complemento
de A es
Infinito.
A' = {n, t, r}
Finito.
A' = {a, c, l, n, o, u, v}
A' = {v, a, l, u, c}
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ELEMENTOS DE LÓGICA MATEMÁTICA
Expresiones o proposiciones:
En nuestro lenguaje tenemos frases de distintas clases, unas de estas clases se muestran a continuación:
Interpretativas: ¿qué haces?
Exclamativas: ¡que rico!
Imperativas:
¡vengan a estudiar!
Declarativas: Hoy es sábado
Como nuestro idioma, la matemática tiene sus símbolos propios, los cuales agrupados forman
expresiones. Las proposiciones son frases declarativas de las cuales se puede decir si son verdaderas o
falsas; las proposiciones se representan por letras minúsculas del alfabeto, (p, q, r, s,...).
Las proposiciones se pueden dividir en proposiciones gramaticales y proposiciones numéricas, veamos las
siguientes expresiones:
a.
d. 5 + 9 = 14
yo estudio
b. mi papá trabaja
e.
7–5=2
c.
f.
4<8
llueve
Las tres primeras expresiones son proposiciones gramaticales, ya que son oraciones con sentido completo
y de ellas se puede afirmar si son verdaderas o falsas.
Los otros tres ejemplos representan proposiciones numéricas, son expresiones que tienen un sentido
completo y de ellas se puede afirmar si son verdaderas o falsas.
Otros ejemplos de proposiciones:
a.
Popayán es la capital del departamento del
Cauca
b. Los gatos ladran
c. El hombre posee cuatro patas
d. 10 + 4 = 13
e. 4 > 3
f.
g.
h.
i.
j.
5 es un número impar
6<4
la luna es un satélite de la tierra
Medellín es la capital de Colombia
5 x 4 = 20
En los anteriores ejemplos se puede observar que las proposiciones a, e, f, h y j son verdades y que b, c, d,
g, e i son mentiras. Esta característica de las proposiciones se conoce como GRADO DE VERDAD, se dice
que si una proposición es una afirmación cierta su grado de verdad es verdadero (V) ó (1), y si no lo es, su
grado de verdad es falso (F) ó (0).
EJERCICIO 3:
Determina si las siguientes proposiciones son gramaticales o numéricas y escribe su grado de verdad.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
la capital de Antioquia es Medellín. ( )
Bolívar nació en Caracas. ( )
3 + 4 = 7. ( )
4 x 9 = 27. ( )
los perros hablan. ( )
9 x 3 = 27. ( )
Medellín es un departamento. ( )
4 x 3 15. ( )
el dólar es la moneda colombiana. ( )
el que estudia obtiene buenas notas. ( )
12
Representación del valor de verdad de las proposiciones:
Para operar con proposiciones es conveniente escribirlas en unas tablas que nos permitan ver las
diferentes posibilidades, en la tabla siguiente se puede notar que la proposición p puede tomar valor V
o F:
P
P
1
V
0
F
Lo que significa que el grado de verdad de la proposición P, pude ser verdadero ((V), (1)), o falso ((F), (0))
Las proposiciones se pueden dar de dos maneras diferentes, pueden ser PROPOSICIONES ATÓMICAS, si
están formadas por una proposición simple, o PROPOSICIONES COMPUESTAS, si están formadas por más
de una proposición simple.
Ejemplos de PROPOSICIONES SIMPLES O ATÓMICAS:
Luis trabaja en un hotel
Luis estudia por las noches
Ejemplos de PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES:
Luis t a aja e u hotel Y Luis estudia po las o hes
Luis o t a aja e u hotel O Luis o estudia
Se puede observar que las PROPOSICIONES COMPUESTAS se forman juntando PROPOSICIONES SIMPLES
por medio de unas palabras especiales que hacen que dos o más proposiciones tengan un sentido
completo. Estas palabras se conocen con el nombre de CONECTIVOS LÓGICOS, estas palabras, con sus
nombres más usuales y sus símbolos son las siguientes:
NEGACIÓN, (NO)
CONJUNCIÓN, (Y)
DISYUNCIÓN, (O)
CONDICIONAL, (ENTONCES)
BICONDICIONAL, (EQUIVALENTE)
El valor de verdad de una proposición compuesta depende tanto del valor de verdad de las proposiciones
simples que la forman, como del conectivo lógico que las une. Cada conectivo tiene una tabla que me
indica el valor de verdad de la proposición compuesta. Así:
NEGACIÓN: si p representa una proposición, el símbolo p se lee o p se o o e o o la ega ió de
p . Otras expresiones que se representan con el símbolo p se ía : es falso ue p , o es ie to ue
p , es e ti a ue p , ot as e uivale tes. Así, po eje plo, sea:
p: Isabel es bonita.
La negación de p se puede da de dife e tes a e as, po eje plo: Isa el no es o ita , es falso que
Isa el sea o ita , es mentira ue Isa el sea o ita , no es cierto ue Isa el sea o ita , y todas se
pueden representar como p: se hace claro que si p es (V) entonces p es (F) y si p es (F) entonces p es
(V).
13
TABLA DE VERDAD DE LA NEGACIÓN
P
p
V
F
F
V
CONJUNCIÓN: si p y q ep ese ta p oposi io es, la o ju ió de p
se simboliza como pq (se lee
p
. Ot as e p esio es ue se ep ese ta o o pq se ía : p pe o , p ta ié
, p si
e a go , ot as e uivale tes. Así, po eje plo, sea :
p: Luis trabaja en un hotel
q: Luis estudia por las noches
La conjunción de p y q se puede da de dife e tes a e as, po eje plo: Luis t a aja e u hotel y Luis
estudia po las o hes , Luis t a aja e u hotel pero Luis estudia po las o hes , Luis t a aja e u
hotel y también Luis estudia po las o hes , Luis t a aja e u hotel sin embargo Luis estudia por las
o hes , todas se ep ese ta o o pq. El valor de verdad de una conjunción es (V) si las dos
proposiciones son (V), si no es (F).
TABLA DE VERDAD DE LA CONJUNCIÓN
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
DISYUNCIÓN: si p y q ep ese ta p oposi io es, la dis u ió de p
se simboliza como pq se lee p
o
. Ot as e p esio es ue se ep ese ta o o pq se ía : p o o a as , p /o , al e os u a
de p o , ot as e uivale tes. Así, po eje plo, sea :
p: Luis trabaja en un hotel
q: Luis estudia por las noches
La disyunción de p y q se puede de i o o: Luis t a aja e u hotel o Luis estudia po las o hes
representa como pq, y es (V) verdadera, si al menos una de las dos es (V) verdadera, si no es (F).
TABLA DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN
p
q
pq
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
se
14
CONDICIONAL: ta ié lla ado i pli a ió . sea p
dos p oposi io es se di e ue p i pli a a y
se simboliza como pq, cuando se expresa a q como una consecuencia de p, la proposición p es llamada
antecedente y la proposición q o se ue te. Ot as e p esio es ue ep ese ta la i pli a ió se ía : si
p e to es , p solo si , si p , es o di ió e esa ia pa a p , p es o di ió sufi ie te pa a ,
y otras equivalentes. Así, por ejemplo, sean:
p: mi papá me da dinero
q: pago la pensión
El condicional de p y q, se puede e p esa o o: si i papá e da di e o e to es pago la pe sió , i
papá e da di e o solo si pago la pe sió , pago la pe sió si i papá e da di e o , todas estas se
representan como pq. Los valores de verdad de la implicación se dan a continuación:
TABLA DE VERDAD DEL CONDICIONAL
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
BICONDICIONAL: ta ié lla ado do le i pli a ió o e uivale ia . “ea p
dos p oposi io es se
dice que p e uivale a
y se simboliza como pq, ta ié es utilizada la e p esió si solo si pa a
representar el bicondicional.
Así, por ejemplo, sean:
p: mi papá me da dinero
q: pago la pensión
El bicondicional de p y q, se puede e p esa o o:
i papá e da di e o sí solo si pago la pe sió ,
ue i papá e de di e o es o di ió sufi ie te
e esa ia pa a ue o pague la pe sió , pago la
pe sió si solo si i papá e da di e o , todas estas se ep ese ta o o pq. Los valores de verdad
de la doble implicación se dan a continuación:
TABLA DE VERDAD DEL BICONDICIONAL
P
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
EJEMPLOS DE PROPOSICIONES COMPUESTAS:
Sean las siguientes proposiciones simples con sus respectivos valores de verdad vamos a formar
proposiciones compuestas uniéndolas por medio de los conectivos lógicos y vamos a encontrar su valor
por medio de las diferentes tablas de verdad
15
1) Ejemplos de negación:
2) Ejemplos de conjunción:
3) Ejemplos de disyunción:
4) Ejemplos de condicional:
5) Ejemplos de bicondicional:
6) Ejemplo de tabla de verdad de proposición compuesta
Sea la siguiente proposición compuesta: (pq) (pq)
En éste caso se realizan primero los paréntesis, en una columna aparte cada uno, así:
Por último en una columna se realiza la agrupación de las operaciones:
a b: (pq) (pq)
p
Q
V
V
F
F
V
F
V
F
(pq)
a
V
F
F
F
(pq)
b
V
V
V
F
(pq)(pq)
ab
V
V
V
V
16
Cuando la columna resultante (última columna) de una tabla de verdad de una proposición compuesta
solo tiene valores verdaderos (V), se dice que esta proposición es una TAUTOLOGÍA, si por el contrario en
ésta columna todos sus valores son falsos (F), se dice que ésta proposición es una CONTRADICCIÓN, pero
si los valores de la última columna son algunos verdaderos (V) y otros falsos (F), se dice que esta
proposición es una CONTINGENCIA. En el ejemplo anterior podemos concluir que (pq) (pq), es una
TAUTOLOGÍA, pues todos sus valores son verdaderos (V).
EJERCICIO 4:
Dadas las siguientes proposiciones:
p: mi gallina pone huevos todos los días ( )
v: Colombia es un país de América del sur ( )
q: el domingo no se trabaja ( )
w: Popayán queda en Colombia ( )
r: Los triángulos tienen 4 lados ( )
x: Popayán es la capital de Colombia ( )
s: el ajedrez se juega con raquetas ( )
y: 3x4 = 20 ( )
t: 5+10 < 8x 2 ( )
z: 4+ (5x6)> 44- (3x3) ( )
u: La navidad es en diciembre ( )
1) Asigne un valor de verdad a cada una de ellas
2) Niegue cada proposición e indique el valor de verdad de dicha negación
3) Realice las siguiente conjunciones indicado el valor de verdad de cada una:
a) p q
b) r s
c)
ut
d) p q
e)
f)
g)
w z
(x y) (v s)
rqp
4) realice las siguientes disyunciones indicando el valor de verdad de cada una:
a) z y
b) t y
c) t z
d) p q
e) v u
f) (w x) (r s)
g) q p
5) realice las siguientes implicaciones indicando el valor de verdad de cada una de ellas:
a)
b)
c)
d)
pq
rs
wx
uq
e) z y
f) y t
g) z t
6) realice las siguientes equivalencias indicando el valor de verdad de cada una de ellas:
a) w x
b) p z
c) q v
d) r u
e)
f)
g)
sy
t t
r p
7) realice las siguientes proposiciones compuestas e indique su valor de verdad:
a) p q ) r s p q r s
b) t s y x x y t s
17
8) sean p, q, r, s cuatro proposiciones simples cualquiera realizar la tabla de verdad de cada una de las
siguientes proposiciones compuestas y decir si es tautología, contradicción o contingencia.
a)
b)
c)
d)
e)
p q p q
p q p q
p q r p q r
r s s r
q r q r
9) PARA PENSAR:
Los siguientes problemas se resuelven por medio del pensamiento lógico, lo que significa que para
desarrollarlo solo es necesario utilizar el sentido común:
a) En una granja un señor debe regar las plantas con exactamente 4 litros de agua, pero solo posee un balde
sin marcas de 5 litros, otro de 3 litros también sin marcas, y una llave de donde sacar el agua; ¿cómo
puede hacer el señor para obtener los 4 litros exactos de agua?
b) El juego que se describe a conti ua ió e i e el o
e de to e de Hanói . o sta de t es pivotes
discos ordenados, según diámetro, de mayor a menor, colocados en el primer pivote. El juego consiste en
pasar los discos al tercer pivote de tal manera que al final queden ordenados de la misma forma. Se puede
mover solo un disco a la vez (el de la cima en la pila), se puede usar como auxiliar el segundo pivote, y
nunca puede quedar, en ninguno de los pivotes, un disco sobre uno más pequeño que él.
c)
Une los puntos del siguiente dibujo con 4 líneas rectas sin levantar el lápiz del papel y sin devolverse.
LEYES DE LA LÓGICA
TAUTOLOGÍA
Entre las proposiciones compuestas existen unas muy importantes por ser siempre verdaderas,
independientemente del valor de verdad de las proposiciones que la conforman, este tipo de
proposiciones reciben el nombre de tautologías, es decir, una tautología es una proposición que es
verdadera en todos los casos.
Ejemplo 1.
Demostrar que la proposición
es verdadera:
Para verificar la validez de esta proposición es necesario realizar la tabla de verdad y comprobar que en la
última columna solamente aparecen valores verdaderos.
18
Una proposición compuesta, que es falsa en todos los casos independientemente de los valores de verdad
de las proposiciones que la conforman se llama Contradicción.
Ejemplo 2.
¿Es
Para
responder
una tautología?
la
pregunta
se
hace
necesario
hacer
la
tabla
de
verdad,
así:
Por lo tanto esta proposición no es una tautología, es una contradicción.
Dos proposiciones compuestas se consideran lógicamente equivalentes si tienen los mismos valores de
verdad para cada una de las opciones en la tabla de verdad.
Ejemplo 3.
Establecer si las proposiciones
Para esto hay que probar que
son lógicamente equivalentes.
, la tabla de verdad es:
Como la última columna es toda verdadera (tautología), se puede concluir que las proposiciones son
lógicamente equivalentes.
19
LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Las siguientes son las leyes de la lógica.
Estas leyes están formuladas por pares debido a la naturaleza dual del algebra de proposiciones.
En los ejemplos que aparecen a continuación, se utilizan las leyes de la lógica para realizar las respectivas
demostraciones:
Ejemplo 1.
Estas demostraciones se pueden efectuar partiendo del primer miembro y llegar al segundo o partiendo
del segundo y llegar al primero.
En la parte derecha se escribe el nombre de la ley que justifica ese paso.
20
Se sugiere hacer las demostraciones partiendo del primer miembro.
Ejemplo 2.
Demostrar que:
Ejemplo 3.
Demostrar que:
Ejemplo 4.
Demostrar:
Ejemplo 5.
Demostrar:
CUANTIFICADORES
Cuantificador universal y existencial
Existen especialmente en matemáticas, expresiones que contienen variables tales como x, y, z, etc., para
las cuales su valor de verdad depende del valor que tome la variable.
Ejemplo 1.
Esta proposición es verdadera sí
a ie tas .
y falsa si
A estas proposiciones se les llama P oposi io es
Hasta el momento se han tratado proposiciones a las cuales se les puede asignar un valor de verdad, ya
sea falso o verdadero, ahora en esta sección, se estudia la lógica de proposiciones abiertas, para ello, se
asigna una expresión llamada cuantificador, que permite restringir los valores de las variables, de tal
forma que la proposición toma un solo valor de verdad para dicha restricción.
En el ejemplo, la proposición se puede enunciar de las siguientes formas:
1. Existe x = 1 tal que x + 1 = 2. Proposición verdadera.
2. Para todo x ¹ 1, se tiene que x + 1 = 2. Proposición falsa.
Simbólicamente, en el primer caso el cuantificador recibe el nombre de cuantificador existencial, pues
está informando que existe un solo valor para x que hace verdadera la proposición dada, mientras que en
el segundo caso el cuantificador se llama universal porque afirma que todos los valores de x diferentes de
21
1 hacen la proposición falsa, es decir, que un valor de x diferente de 1 convierte x + 1 = 2 en proposición
falsa.
Cualquier cuantificador de la forma para todo, todo, para cada, o cada se llama cuantificador universal y
se simboliza por
Ejemplo 2.
. Significa que todo x verifica la ecuación.
La palabra algunos(s) significa que por lo menos uno verifica la condición. Los cuantificadores de la forma
existe por lo menos uno, y se llaman cuantificadores existenciales y se representan así:
Ejemplo 3
.
Valores de verdad de expresiones con cuantificadores
Para determinar el valor de verdad de una expresión que contiene un cuantificador es importante tener
claros los siguientes conceptos:
1. Conjunto Universal: es el conjunto que contiene todos los elementos considerados en un estudio
determinado.
2. Conjunto dominio de la variable: corresponde al conjunto de valores posibles de la variable.
Ejemplo 1.
En esta proposición el conjunto universal está formado por los números reales y el dominio de la variable
es
El ejemplo afirma que todo número real verifica
, lo cual es falso, pero si se cambia el
conjunto universal, por el conjunto {1/2}, la proposición se convierte en verdadera y se enuncia así:
Lo anterior conduce a la siguiente afirmación:
Una proposición que contiene un cuantificador universal es verdadera si y solo si el dominio de la variable
es igual al conjunto universal.
Ejemplo 2.
En este caso el cuantificador existencial afirma que por lo menos existe un valor que satisface la
proposición, así, el ejemplo 2 es verdadero.
Ejemplo 3.
El conjunto universal está formado por los números reales, pero el dominio de la variable es el conjunto
vacío, pues, no hay un número real que al elevarlo al cuadrado y sumarle 1 de como resultado cero, esto
hace que la proposición sea falsa. Del análisis de los ejemplos 2 y 3 se puede afirmar: Una proposición con
un cuantificador existencial es verdadera si y solo si el dominio de la variable no es vacío.
22
TEMA 2
Desigualdades e intervalos
CONCEPTO DE INECUACIÓN:
Una desigualdad o inecuación como su nombre lo indica es la comparación entre dos cantidades de las
cuales un valor es desconocido (incógnita o variable).
La solución de dicha desigualdad consiste en calcular los valores para qué valor o valores de dicha
incógnita la desigualdad se cumple.
Para solucionar una desigualdad se siguen los mismos pasos que para solucionar una ecuación teniendo
en cuenta que ahora el signo igual
se reemplaza por los signos menor que
, mayor que
menor
o igual que
y mayor o igual que
, y que el resultado podrá ser un valor o un conjunto de valores o el
conjunto vacío y este se expresa como un intervalo.
Los tipos de intervalos son:
Intervalo abierto. Se representa como
Y representa todos los valores que estén entre los reales a y b, sin incluir ni a a ni a b. o sea:
Intervalo cerrado. Se representa como
y representa todos los valores que estén entre los reales a y b, incluyendo a a y a b. o sea:
Intervalo semi-abierto. Se representa
.
Intervalo semi-cerrado. Se representa
.
Concepto de valor absoluto:
Es en sí la distancia que hay desde un número cualquiera hasta el cero. Como es una distancia siempre
será positivo, se representa como | |, que se lee valor absoluto de x y se define:
| |
{
EJEMPLOS:
1.
Resolver la siguiente inecuación:
Parta solucionar esta inecuación lo más recomendable es pasar los términos con variables a un lado del
igual, para de esta forma despejar dicha variable así:
Luego:
23
Por lo tanto:
Es decir:
Dando como resultado:
Que se representa en forma de intervalo así:
2.
Resuelva la siguiente inecuación con valor absoluto:
| |
Para solucionar esta inecuación se tiene en cuenta las propiedades del valor absoluto:
Lo que en intervalos se representa como:
EJERCICIO 5:
1. Resolver las inecuaciones:
a) 3x − 4 −1
b) 2− 3x 11
2.
Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones
a) 3x − 2 7
5x − 7 3
b) 4x − 1 −5 7x − 1 13
c) 3 − 2x −1
3 − 2x 7
3.
Resolver las desigualdades:
a) x2 + 5 6x
b)2x − 3x − 5< 1
4. Resolver las desigualdades:
a) x <1+3x
b) 3 x2 − 6x + 8 8
5.
a.
b.
c.
Resolver las ecuaciones:
|
|
|
|
|
|
6. Resolver las ecuaciones:
a. |
|
b. | |
c. |
d.
| |
|
7. Resolver las desigualdades
a. |
|
|
|
b.
24
TEMA 3
Funciones
LA RELACIÓN
Concepto de relación:
Para establecer que es una relación debemos remontarnos a otras ideas importantes de la matemática
como son el caso de:
Producto cartesiano:
se define como el producto cartesiano de dos conjuntos, al conjunto formado por las parejas ordenadas
que cumplen la condición de que la primera componente pertenece al primer conjunto y la segunda al
segundo conjunto, así por ejemplo sean:
Entonces:
Relación:
una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano, por lo regular se expresan indicando una
característica que deben cumplir las parejas, característica que llamaremos propiedad de la relación por
ejemplo, si tomamos los conjuntos del ejemplo anterior una relación entre A y B que se nota con R, o
ARB.
Podría ser la siguiente:
Ejemplo: Sean los conjuntos:
Establezcamos la relación entre los conjuntos A y B que establezca la propiedad que dice que el primer
componente de cada pareja es múltiplo del segundo componente. Así:
{
}
25
DIAGRAMA SAGITAL
Una relación representada en diagrama sagital que da de la siguiente manera:
A
B
De los elementos del primer conjunto se desprenden las flechas que van hasta el segundo conjunto.
EJERCICIO 6
1.
Realice el diagrama sagital del ejemplo anterior.
2.
Con los conjuntos del ejemplo anterior haga 5 relaciones y realice el diagrama sagital de cada una de ellas
3.
Determine dominio, codominio y rango de cada una de las relaciones anteriores.
FUNCIONES
Una función f de un conjunto A un conjunto B (A y B no necesariamente distintos) es una regla de
correspondencia que asigna a cada elemento x de un cierto subconjunto D de A, un elemento (y sólo uno)
bien determinado y de B (además, ni A ni B pueden ser el conjunto vacío).
Definición: (Función):
Sean A y B conjuntos (no vacíos y no necesariamente distintos). Una función de A B es un conjunto f de
pares ordenados de A×B con la propiedad de que si (a, b) y (a, b’) son elementos de f, entonces b = b’.
CONCEPTO:
Una función es una correspondencia entre dos conjuntos que asocia a cada elemento del primer conjunto
exactamente un elemento del otro conjunto. Una función f definida entre dos conjuntos D y C se expresa
de la forma f: D C.
26
Consideremos un elemento x de A al cual le corresponde un elemento de B. Dicho elemento es la imagen
de x y se expresa f(x)
Resulta conveniente tener siempre presente esta doble concepción de las funciones:
Una estática, como un conjunto de pares ordenados (a, b); y otra dinámica, como una transformación del
primer elemento de cada par en el segundo b = f(a).
Si (a, b) es un elemento de una función f, entonces, en vez de escribir (a, b)
f, se escribe:
b = f(a) ´o f: a → b es decir, por lo general, se hace referencia al elemento b como el valor de f en el punto
a, o la imagen de bajo f.
Al exigir que la imagen haya de estar bien determinada lo que estamos haciendo es eliminar la posibilidad
de definir una función mediante la que se estableciera, por ejemplo, que la imagen de 4 será 2 o −2, según
nos convenga en cada caso.
DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN
DOMINIO. Al conjunto de todos los elementos de A que pueden aparecer como primeros miembros de
elementos de f se le llama dominio de f, y se denota por Df, o simplemente D. Es decir, el dominio está
formado por todos los elementos de A que tienen imagen en otras palabras:
El dominio de una función es el conjunto de elementos del conjunto de partida que tienen imagen en el
conjunto de llegada. Así, el dominio de esta función f es el conjunto formado por los elementos {x, a, 3}
los cuales pertenecen al conjunto A y tienen imagen en el conjunto B.
CODOMINIO: El codominio de una función es el conjunto de llegada. Por lo tanto el codominio de esta
función f es el conjunto B.
Recorrido. Al conjunto de todos los elementos de B que puedan aparecer como segundos miembros de
elementos de f se le llama rango, recorrido, imagen o conjunto de valores de f y se denota por Rf, o
simplemente R. Es decir, el recorrido está formado por todos los elementos de B que son imagen, es decir:
El recorrido o rango de una función es el conjunto de elementos de B (f(x)) que son imagen de por lo
menos un elemento de A.
En nuestro caso para la función f, el codominio es el conjunto formado por los elementos {f(x), f(a) y f (3)}
En el caso de que
, la función se llama aplicación, y se dice que f mapea o proyecta A en B (o que
es un mapeo o proyección de A en B) y se escribe
.
Nota: No obstante, hay que advertir que algunos autores exigen en la definición de función que el
dominio coincida con el conjunto inicial
e identifican función con aplicación.
27
Sin embargo, nosotros entendemos que no es necesario incluir dicha restricción en la definición de
función, y preferimos considerar las aplicaciones como un caso particular de las funciones.
Nosotros hablaremos indistintamente de la función
con dominio D ⊆ A, y de la aplicación
, salvo que, por cualquier motivo, tengamos que diferenciarlas.
Y, en general, escribiremos f: D ⊆ A → B para hacer referencia a cualquiera de las dos funciones.
En las funciones que se estudian en Cálculo los conjuntos A y B son subconjuntos de R o de Rn, y
escribiremos:
⊆
En esta notación se enfatiza el dominio D de la función, sin embargo, el rango no queda explícito. En
Cálculo nos ocupamos mucho más del dominio que del rango.
Las funciones de este tipo se llaman funciones reales de una variable real.
Ejemplo (Evaluando una función definida por varias fórmulas).
Dada la función definida por
{
Evaluar:
Solución:
Lo que significa la expresión de f(x) es que antes de decidirnos por la fórmula a aplicar hay que ver de qué
número se trata.
Así, para evaluar los números mayores o iguales que 1 se aplica la expresión x2+3, y para evaluar los
números menores que 1 se aplica la expresión 2x + 5.
En consecuencia,
f(0) = 2 · 0 + 5 = 0 + 5 = 5
f(1) = 12 + 3 = 1 + 3 = 4
f(2) = 22 + 3 = 4 + 3 = 7
GRÁFICA DE FUNCIONES
Y la función g(x) = 3x+4
28
ALGUNAS FUNCIONES IMPORTATES
FUNCIÓN LINEAL
La gráfica de una función:
La gráfica de una función es el conjunto de puntos en el plano de la forma
en donde x está en el
dominio de la función y además
. A continuación discutiremos algunos tipos importantes de
funciones y observaremos sus gráficas.
Función constante: f(x)=k, donde k es alguna constante
Función lineal:
29
FUNCIÓN CUADRÁTICA:
El punto rojo se llama vértice de la parábola.
¿Cuáles son sus coordenadas?
¿Cómo se relacionan las coordenadas del vértice con los números en la forma:
FUNCIÓN POLINOMIAL
Función raciona Una función racional es un cociente de dos polinomios:
30
FUNCIÓN POTENCIA:
. En donde k es cualquier constante real y n es un número real.
Por lo pronto nos restringiremos a exponentes racionales.
Funciones como
serán discutidas más tarde.
El dominio de una función potencia depende del exponente n.
f(x)= x1/2
⁄
Función definida por secciones o por partes:
No es necesario que una función esté definida por una sola fórmula.
La regla de correspondencia puede depender de qué parte del dominio proviene la variable
independiente.
En las siguientes dos gráficas veremos dos ejemplos de funciones definidas por secciones.
{
La gráfica de una función puede ser simétrica con respecto al eje "y" (función par), simétrica con respecto
al origen (función impar) o sin simetría.
31
A f(x) se le llama función par si la gráfica de y=f(x) es simétrica con respecto a "y", es decir, f(x)=f(x).
A f(x) se le llama función impar si la gráfica de y=f(x) es simétrica con respecto al origen, es
decir, si f(-x)=-f(x).
Veamos
P(x)
un
=
ejemplo
x4
de
una
función
par:
3x2 P(-x)
-
P(x)=
x4
=
x
4
-
3x
2
3x2
-
Observa que las gráficas de f(x) y f(-x) son idénticas. Por lo tanto la función dada es par.
Observa también los exponentes de x. ¿Qué relación puedes deducir entre los exponentes de la variable
independiente y la paridad de la función? Veamos ahora un ejemplo de una función impar: J(x)= -x3 + 5x
J(-x)
x
=
x3
-
5
-J(x)
=
x3
-
5
x
Como ya te diste cuenta, las gráficas de -J(x) y J(-x) son iguales. Es decir, J(-x)=-J(x) y por lo tanto, J(x) es
una función impar.
EJERCICIO 7
PREGUNTAS A RESOLVER:
¿Cuál es la diferencia entre una relación y una función?:
¿Es posible que el recorrido de una función tenga un único elemento?
¿Es posible que el dominio de una función tenga un único elemento del conjunto de partida?
1.
a.
b.
c.
d.
e.
2.
a)
b)
Elaborar los gráficos de las funciones y determinar el dominio y el recorrido de cada una de ellas
f.
g.
h.
i.
j.
Dada la función
Hallar:
32
c)
d)
3. Hallar el dominio de las funciones:
a.
b.
c.
4. Dadas las funciones:
5.
Hallar dominio, codominio y rango de ellas.
Realizar las gráficas de las funciones del punto anterior; Hallar dominio, codominio y rango de ellas.
OPERACIONES ENTRE FUNCIONES
SUMA Y RESTA DE FUNCIONES
Al trazar la gráfica de f(x)+ g(x) se obtiene la siguiente función
¿Cómo se justifica este resultado?
De la misma manera se obtiene la gráfica de la función
:
33
PRODUCTO Y COCIENTE DE FUNCIONES
La función
)
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES:
Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la
1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
(g o f) (1) = 6 · 1 + 1 = 7
Dominio
D (g o f) = {x
/ f(x)
PROPIEDADES:
Asociativa:
No es conmutativa.
D g}
34
El elemento neutro es la función identidad, i(x) = x.
Sean las funciones:
EJERCICIO 8:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
35
FUNCIÓN INVERSA
Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f − 1 que cumple que:
Si f(a) = b, entonces f −1 (b) = a.
Podemos observar que:
El dominio de f −1 es el recorrido de f.
El recorrido de f − 1 es el dominio de f.
Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su
función inversa.
Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad .
fof
-1
=f
-1
of=x
Las gráficas de f y f
-1
son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
36
Hay que distinguir entre la función inversa , f −1 (x), y la inversa de una función ,
Cálculo de la función inversa
1. Se escribe la ecuación de la función con x e y.
2. Se despeja la variable x en función de la variable y.
3. Se intercambian las variables.
Calcular la función inversa de:
Vamos a comprobar el resultado para x = 2
.
37
FUNCIONES SIMÉTRICAS
Simetría respecto del eje de ordenadas. Función par
Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo x del
dominio se verifica:
Las funciones simétricas respecto del eje de ordenadas reciben el nombre de
funciones pares.
Simetría respecto al origen. Función impar
Una función f es simétrica respecto al origen cuando para todo x del dominio se
verifica:
f −
= −f
Las funciones simétricas respecto al origen reciben el nombre de funciones impares.
38
EJERCICIO 9
1. Calcular el dominio de las funciones polinómicas:
a.
b.
2. Calcular el dominio de las funciones racionales:
1
2
3
4
5
3. Calcular el dominio de las funciones radicales:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
4. Calcular el dominio de las funciones exponenciales:
1
2
5. Calcular el dominio de las funciones logarítmicas:
1
2
6. Calcular el dominio de las funciones trigonométricas:
1
2
7. Estudia la simetría de las siguientes funciones:
1 f(x) = x 6 + x 4 - x 2
2f(x) = x 5 + x 3 - x
3 f(x)= x |x|
39
4f
=| |−
8. Estudia el crecimiento o decrecimiento de las siguientes funciones en los puntos que se
indican:
1f(x) = 5x² - 3x + 1 en x = 1
2
9. Hallar las funciones inversas de:
1
2
4
10. Dadas las funciones:
Calcular:
1
2
3
4
5
6
7Probar que:
11. Dadas las funciones:
Calcular:
1
2
40
TEMA 4
LÍMITES Y CONTINUIDAD
Límite de una función en un punto
El límite de la función f(x) en el punto x 0 , es el valor al que se acercan las imágenes
(las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0 . Es decir el valor al que tienden
las imágenes cuando los originales tienden a x 0 .
Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x 2 en el punto x 0
x
f(x)
x
1,9
3,61
2,1
1,99
3,9601
2,01
1,999
3,996001
2,001
...
...
...
↓
↓
↓
2
4
2
= 2.
f(x)
4.41
4,0401
4,004001
...
↓
4
Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a
4.
Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L , cuando x tiende a x 0 , si
fijado un número real positivo , mayor que cero, existe un numero
positivo dependiente de , tal que, para todos los valores de x distintos de x 0 que
cumplen la condición |x - x 0 | < , se cumple que |f(x) - L| < .
También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:
Si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño
que sea su radio
, existe un entorno de x 0 , E (x 0 ) , cuyos elementos (sin contar x 0 ),
tienen sus imágenes dentro del entorno de L , E (L).
41
LÍMITES UNILATERALES:
Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda
es L, si y sólo si para todo > existe > tal que si x
a+ , a , entonces |f (x) - L|
< .
Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la derecha
es L , si y sólo si para todo > existe > tal que si x
a, a + , , entonces |f (x) - L|
< .
El límite de una función en un punto si existe, es único.
En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando
x tiende a 2 es 4.
El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.
Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dich o
punto sino a su alrededor.
Ejemplo
Dada la función:
42
Hallar
.
LÍMITE INFINITO
Una función f(x) tie e po lí ite +∞ ua do x
a, si fijado un número real
positivo K>0 se verifica quef(x)>k para todos los valores próximos a a.
Límite menos infinito
Una función f(x) tiene por límite -∞ ua do x
a, si fijado un número real
negativo K < 0 se verifica quef(x) < k para todos los valores próximos a a.
43
LÍMITE EN EL INFINITO
Límite cuando x tiende a infinito
Límite cuando x tiende a menos infinito
44
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
Límite de una constante
Límite de una suma
Límite de un producto
Límite de un cociente
Límite de una potencia
Límite de una función
g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.
Límite de una raíz
Límite de un logaritmo
45
OPERACIONES CON INFINITO
Sumas con infinito
Infinito más un número
Infinito más infinito
Infinito menos infinito
Productos con infinito
Infinito por un número
Infinito por infinito
Infinito por cero
Cocientes con infinito y cero
Cero partido por un número
Un número partido por cero
Un número partido por infinito
Infinito partido por un número
Cero partido por infinito
Infinito partido por cero
Cero partido por cero
Infinito partido por infinito
46
Potencias con infinito y cero
Un número elevado a cero
Cero elevado a cero
Infinito elevado a cero
Cero elevado a un número
Un número elevado a infinito
Cero elevado a infinito
Infinito elevado a infinito
Uno elevado a infinito
No disti gui os e t e +∞
con saber:
-∞ pa a
La regla de los signos y que a -n = 1/a
o ala ga e
esiva e te la lista. Nos
asta
n
CÁLCULO DE LÍMITES
Cálculo del límite en un punto
Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales,
logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:
Es decir: para calcular el límite se sustituye en la funció n el valor al que tienden las
x.
47
No podemos calcular
porque el dominio de definición está en el intervalo
, ∞ , po ta to o puede to a valo es ue se a e ue a -2.
Sin embargo si podemos calcular
, aunque 3 no pertenezca al
dominio, D=
− {2, 3}, si podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como
queramos.
Cálculo del límite en una función definida a trozos
En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión
de los diferentes trozos.
Si coinciden, este es el valor del límite.
Si no coinciden, el límite no existe.
.
En
= − , los límites laterales son:
Por la izquierda :
Por la derecha:
Como en ambos casos coinciden, existe el límite y vale 1.
En x = 1, los límites laterales son:
Por la izquierda :
Por la derecha:
Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.
CÁLCULO DE LÍMITES CUANDO X TIENDE A INFINITO
Para calcular el límite de una función cuando x
∞ se sustitu e las
po ∞.
Límite de funciones polinómicas en el infinito
El límite cuando x
∞ de u a fu
de mayor grado sea positivo o negativo.
ió poli ó i a es +∞ o -∞ segú
ue el té
i o
48
Límite de la inversa de un polinomio en el infinito
Si P(x) es un polinomio, entonces :
.
Cálculo de límites cuando x
-∞
No existe el límite, porque el radicando toma valores negativos.
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Si a > 0
Si 0 < a < 1
49
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Si a > 0
50
Si 0 < a < 1
Límites de logaritmos
51
INDETERMINACIONES
Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar,
sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciadas no
son válidas.
En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de
las indeterminaciones.
Tipos de indeterminación
1. Infinito partido por infinito
2. Infinito menos infinito
3. Cero partido por cero
4. Cero por infinito
5. Cero elevado a cero
6. Infinito elevado a cero
7. Uno elevado a infinito
COMPARACIÓN DE LÍMITES
1. f(x) es un infinito de orden superior a g(x) si:
2. f(x) es un infinito de orden inferior a g(x) si:
52
2. f(x) es un infinito de igual orden a g(x) si:
Dadas dos potencias de x, la de mayor exponente es un infinito de orden superior.
Dadas dos funciones exponenciales de base mayor que 1, la de mayor base es un
infinito de orden superior.
Cualquier función exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior
a cualquier potencia de x.
Las potencia s de x son infinitos de orden superior a las funciones logarítmicas.
Dos polinomios del mismo grado o dos exponenciales de la misma base son infinitos
del mismo orden.
Hallar los límites por comparación de infinitos:
LÍMTE DE UN NÚMERO DIVIDIDO ENTRE CERO
El lí ite puede se +∞, −∞ ó o te e lí ite.
To a os los lí ites late ales pa a dete
i a el sig o de ∞.
“i le da os a la u valo ue se a e ue a − po la iz uie da o o − , ; ta to el
numerador como denominador son negativos, por lo que el límite por la izquierda será:
+∞.
53
“i le da os a la
u valo
ue se a e ue a − po la de e ha o o − , . El
numerador será positivo y el denominador negativo, por lo que el límite por la derecha
se á: − ∞.
Como no coinciden los límites lat erales, la función no tiene límite cuando x
INDETERMINACIÓN INFINITO SOBRE INFINITO
Podemos resolver esta indeterminación por dos métodos:
1. Por comparación de infinitos.
El numerador tiene mayor grado que el denominador.
El denominador tiene mayor grado que el numerador.
1.
54
Al tener el mismo grado el límite es el cociente entre los coeficientes de mayor
grado.
2. Si se trata de funciones potenciales dividimos todos los sumandos por la x
elevada al mayor exponente.
Si son funciones exponenciales dividimos por la exponencial de mayor base.
55
INFINITO MENOS INFINITO
1. Por comparación de infinitos.
2. Con funciones racionales .
Ponemos a común denominador .
3. Cuando se trata de funciones irracionales podemos multiplicar y dividir por el
conjugado.
56
CERO SOBRE CERO
1. Función racional sin radicales:
Se descomponen en factores los polinomios y se simplifica la fracción.
No tiene límite en x = −
2. Función racional con radicales:
En primer lugar multiplicamos numerador y denominador por el conjugado de la
expresión irracional.
Realizamos las operaciones y simplificamos la fracción.
57
CERO POR INFINITO
Se transforma a
óa
UNO ELEVADO AL INFINITO
Se resuelve transformando la expresión en una potencia del número e.
1 e r Método:
58
2º Método:
Ejercicio 10
1. Aplicando la definición de límite, probar que:
Tiene límite -1 cuando x
0
59
Calcular los siguientes límites:
2
3
4
5
6
1Aplicando la definición de límite, probar que:
2Observa la gráfica de esta función f(x) y calcular estos límites.
Calcular los siguientes límites:
3
4
5
6
60
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18Calcular:
1
2
3
61
4
5
6
7
8
CONTINUIDAD
CONTINUIDAD EN UN PUNTO
Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es
continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.
Continuidad de una función en un punto
Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las
tres condiciones siguientes:
1. Que el punto x= a tenga imagen.
2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.
3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.
62
Estudiar la continuidad de
en x =2
f(2)= 4
CONTINUIDAD UNILATERAL
Continuidad por la izquierda
Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto x = a si:
63
Continuidad por la derecha
Una función f(x) es continua por la derecha en el punto x = a si:
Una función f es continua en un punto si es continua por la izquierda y es continua
por la derecha:
64
CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y
trigonométricas son continuas en todos los puntos de su dominio.
La función
no está definida.
es continua en
−
. E
=
o es o ti ua po
ue
Funciones definidas a trozos
Las funciones definidas a trozos son continuas si cada función lo es en su intervalo
de definición, y si lo son en los puntos de división de los intervalos , por tanto tienen que
coincidir sus límites laterales.
La función
es continua en
.
Porque las funciones que la componen son polinómicas y los límites laterales en los
puntos de división coinciden.
Operaciones con funciones continuas
65
DISCONTINUIDAD DE FUNCIONES
Si
alguna
de
las tres
la función es discontinua en a.
condiciones
continuidad de
no
se
cumple,
La función es discontinua porque en x = 2 no existe imagen .
La función es discontinua porque en x = 2 no tiene límite.
La función es discontinua porque en x = 2 no coincide la imagen con el límite .
66
TIPOS DE DISCONTINUIDAD
1. Discontinuidad evitable.
1. No existe imagen.
2. La imagen no coincide con el límite.
2. Discontinuidad inevitable o de primera especie .
1. De salto finito.
2. De salto infinito.
3. Discontinuidad esencial o de segunda especie .
DISCONTINUIDAD EVITABLE
Una discontinuidad es evitable en un punto x = a si existe
finito.
Nos encontramos con dos tipos de discontinuidad evitable:
1. La función no está definida en x = a .
2. La imagen no coincide con el límite.
y éste es
67
Cuando una función presenta una discontinuidad evitable en un punto se puede
redefinir en dicho punto para convertirla en una función continua.
La dos funciones estudiadas anteriormente las redefinimos de modo que:
DISCONTINUIDAD INEVITABLE
Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existen los límites
laterales en x = a, pero son distintos.
Salto
Salto es la diferencia en valor absoluto de los límites laterales.
Según el tipo de salto nos encontramos con dos tipos de discontinuidad inevitable:
1. Discontinuidad inevitable de salto finito
La diferencia entre los límites laterales es un número real.
68
En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto finito 3.
2. Discontinuidad inevitable de salto infinito
La diferencia entre los límites laterales es infinito.
En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto infinito.
69
DISCONTINUIDAD ESENCIAL
Una discontinuidad es esencial o de segunda especie si no existe alguno de los
límites laterales en x = a.
En x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no tiene límite por la derecha.
En x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no tiene límite por la izquierda.
EJERCICIO 11
Ejercicios de continuidad de funciones
1Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:
1
2
3
70
4
5
6
2Estudia la continuidad de f(x) en x = 0.
3Estudia, en el intervalo (0,3), la continuidad de la función:
4¿Son continuas las siguientes funciones en x = 0?
1
2
5Dada la función:
1 Demostrar que f(x) no es continua en x = 5.
2¿E iste u a fu ió
o ti ua
caso afirmativo dar su expresión.
ue oi
ida o
f
pa a todos los valo es
6Estudiar la continuidad de la función:
7Estudiar la continuidad de la función f(x) = x · sgn x.
8Estudiar la continuidad en x = 0 de la función:
≠ ?E
71
9Calcular el valor de a para que la función siguiente sea continua:
10La función definida por:
Es o ti ua e
,∞ .
Hallar el valor de a que hace que esta afirmación sea cierta.
Continuidad en un intervalo cerrado
Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] si:
f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a, b)
f es continua en a por la izquierda:
f es continua en a por la derecha:
Consecuencia
Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f está acotada en dicho
intervalo.
Estudiar la continuidad de
en el intervalo [0, 4].
f(x) es continua por la izquierda en x = 0 , ya que f(x) = x 2 por ser una función
polinómica es continua en toda
.
f(x) es continua por la derecha en x = 4 , ya que f(x) = 4 por ser una función
polinómica es continua en toda
.
Para que f(x) sea continua en todos los puntos del intervalo (0, 4) tenemos que
estudiar la continuidad en el punto x = 2, que es el único d udoso por tratarse de una
función definida a trozos.
f(2)= 4
72
Por tanto f(x) es continua en el intervalo [0, 4] .
TEOREMA DE WEIERSTRASS
Si una función f(x) está definida y es continua en un intervalo cerrado [a, b],
entonces f(x) alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo [a, b].
Es decir, que hay al menos dos puntos x 1 , x 2 pertenecientes a [a, b] donde f alcanza
valores extremos absolutos:
El teorema de Weierstrass no nos indica donde se encuentra el máximo y el mínimo ,
sólo afirma que existen.
Es o ti ua e el i te valo − ,
73
TEOREMA DE BOLZANO
Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de signo
contrario en los extremos, entonces existe al menos un c
(a, b) tal que f(c) = 0.
3
Comprobar que la ecuación x +
intervalo [0,1].
−
=
tie e al
e os u a solu ió
Consideramos la función f(x) = x 3 +
− , ue es o ti ua e
polinómica. Estudiamos el signo en los extremos del intervalo:
f
eal e
,
po
el
se
=− <
f(1) = 1 > 0
un c
Como los signos son distintos se cumple el teorema de Bolzano , por tanto existe
(0. 1) tal que f(c) = 0. Lo que demuestra que tiene una solución en ese intervalo.
PROPIEDAD DE DARBOUX
Si una función es continua en el intervalo [a, b] y k es un número comprendido
entre los valores f(a) y f(b), entonces existe algún c en (a, b) tal que f(c) = k.
Si observamos el dibujo podemos definir la propiedad de Darboux de este otro
modo:
Si una función es continua en el intervalo [a, b] la función alcanza en este intervalo
todos los valores comprendidos entre
Probar que la función
toma el valor 2.
74
La función es continua en toda
Tomamos el intervalo
extremos:
Por tanto existe un c
por ser el producto de dos funciones continuas.
y estudiamos el valor de las imágenes de los
tal que f(c) = 2.
75
TEMA 5
DERIVADAS
Consideremos una función
eje de abscisas
, siendo
y consideremos dos puntos próximos sobre el
un número real que corresponde al incremento de
Se llama tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo
que se
representa por
a la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de
abscisas
.
Tasa de variación media
Se llama tasa de variación media (T.V.M.) en intervalo
por
ó
, al cociente entre la tasa
intervalo considerado sobre el eje de abscisas,
y se representa
de variación
, esto es:
y
la
amplitud
Interpretación geométrica
La expresión anterior coincide con la pendiente de la recta secante a la
que pasa por los puntos de abscisas
Ya que en el triángulo PQR resulta que:
Calcular la T.V.M. de la función f(x) = x 2 −
e el i te valo
,
.
del
76
El índice de la bolsa de Madrid pasó cierto año de 1350 a 1510. Hallar la tasa de
variación media mensual.
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un
cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.
.
77
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta
se a te tie de a se la e ta ta ge te a la fu ió f
e P, po ta to el á gulo α tie de
a se β.
La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la
función en ese punto.
Dada la parábola f(x) = x 2 , hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela
a la bisectriz del primer cuadrante.
78
Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:
Porque la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x =
a.
INTERPRETACIÓN FÍSICA DE LA DERIVADA
Velocidad media
La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido
transcurrido
.
y el tiempo
79
Velocidad instantánea
La velo idad i sta tá ea es el lí ite de la velo idad
es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.
edia ua do Δt tie de a e o,
La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en
segundos es e(t) = 6t 2 . Calcular:
1 la velocidad media entre t = 1 y t = 4.
La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].
2 La velocidad instantánea en t = 1.
La velocidad instantánea es la derivada en t = 1.
FUNCIÓN DERIVADA
La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número
real su derivada , si existe. Se denota por f'(x).
Calcular la función derivada de f(x) = x 2 −
+ .
80
DREIVADAS LATERALES
Derivada por la izquierda
Derivada por la derecha
Una función es derivable en un punto sí, y sólo si, es derivable por la izquierda y
por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.
Derivada de las funciones a trozos
En las funciones definidas a trozos es necesario estudiar las derivadas laterales en
los puntos de separación de los distintos trozos.
Estudiar la derivabilidad de la función f(x) = |x|.
Puesto que las derivadas laterales en x = 0 son distintas, la función no es derivable
en dicho punto.
81
Las derivadas laterales no coinciden en los picos ni en los puntos angulosos de las
funciones. Por tanto en esos puntos no existe la derivada.
No es derivable en x = 0.
DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD
.
El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que,
sin embargo, no son derivables.
Estudiar la continuidad y derivabilidad de las funciones:
En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.
La función no es continua, por tanto tampoco es derivable.
82
En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.
La función es continua, po r tanto podemos estudiar la derivabilidad.
Como no coinciden las derivadas laterales no es derivable en x = 1.
La función es continua en x= 0, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.
En x = 0 la función es continua y derivable.
83
CÁLCULO DE DERIVADAS
Reglas de derivación
Sean a, b y k constantes (números reales) y consideremos a: u y v como funciones.
Derivada de una constante
Derivada de x
Derivada de la función lineal
Derivada de una potencia
Derivada de una raíz cuadrada
Derivada de una raíz
Ejemplos de derivadas
84
ÁLGEBRA DE DERIVADAS
Derivada de una suma
Derivada de una constante por una función
Derivada de un producto
Derivada de una constante partida por una función
Derivada de un cociente
Ejemplos de derivadas con operaciones de funciones
85
Derivada de la función exponencial
Derivada de la función exponencial de base e
86
Ejemplos de derivadas exponenciales
Derivada de un logaritmo
Como
, también se puede expresar así:
Derivada de un logaritmo neperiano
87
Ejemplos de derivadas logarítmicas
Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:
Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:
88
DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS
Derivada del seno
Derivada del coseno
Derivada de la tangente
Derivada de la cotangente
Derivada de la secante
Derivada de la cosecante
Ejemplos de derivadas trigonométricas
89
DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Derivada del arcoseno
Derivada del arcocoseno
Derivada del arcotangente
Derivada del arcocotangente
90
Derivada del arcosecante
Derivada del arcocosecante
Ejemplos de derivadas trigonométricas inversas
Regla de la cadena
Ejemplos de derivadas compuestas
91
DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA
Si f y g son funciones inversas, es decir
. Entonces
Derivar, usando la derivada de la función inversa: y = arc sen x
Derivar, usando la derivada de la función inversa: y = arc tg x
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POTENCIA
Estas funciones son del tipo:
Para derivarla se puede utilizar esta fórmula:
O bien tomamos logaritmos y derivamos:
.
.
.
92
.
.
Derivar tomando logaritmos:
.
.
.
.
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Si derivamos la derivada de una función, derivada primera , obtenemos una nueva
función que se llama d erivada segunda, f''(x) .
Si volvemos a derivar obtenemos la derivada tercera, f'''(x) .
Si derivamos otra vez obtenemos la cuarta derivada f' v y así sucesivamente.
Calcula las derivadas 1ª, 2ª, 3ª y 4ª de:
Derivada enésima
En algunos casos, podemos encontrar una fórmula general para cualquiera de las
derivadas sucesivas (y para todas ellas). Esta fórmula recibe el nombre de derivada
enésima
Calcula la derivada enésima de:
93
DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Funciones implícitas
Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no
aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos
incógnitas cuyo segundo miembro es cero .
Derivadas de funciones implícitas
Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y . Basta derivar
miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:
x'=1.
E ge e al '≠ .
Por lo que omitiremos x' y dejaremos y' .
Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el
cálculo:
DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
Sea f(x) una función derivable. Diferencial de una función correspondiente al
incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) · h. Se representa por dy .
94
La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente,
correspondiente a un incremento de la variable independiente.
Calcular la diferencial de las funciones:
Calcular el incremento del área del cuadrado de 2 m de lado, cuando aumentamos
1mm su lado.
95
TABLA DE DERIVADAS INMEDIATAS
Derivada de una constante
Derivada de x
Derivada de la función lineal
Derivada de una potencia
Derivada de una raíz cuadrada
Derivada de una raíz
Derivada de una suma
Derivada de una constante por una función
Derivada de un producto
Derivada de una constante partida por una función
Derivada de un cociente
Derivada de la función exponencial
Derivada de la función exponencial de base e
Derivada de un logaritmo
96
Como
, también se puede expresar así:
Derivada del seno
Derivada del coseno
Derivada de la tangente
Derivada de la cotangente
Derivada de la secante
Derivada de la cosecante
Derivada del arcoseno
Derivada del arcocoseno
Derivada del arcotangente
Derivada del arcocotangente
Derivada del arcosecante
Derivada del arcocosecante
Derivada de la función potencial -exponencial
97
Regla de la cadena
Derivadas implícitas
EJERCICIO 11
Cálculo de derivadas. Ejercicios y problemas
1Calcula las derivadas de las funciones:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2Calcula mediante la fórmula de la derivada de una potencia:
1
2
3
4
5
98
6
7
3Calcula mediante la fórmula de la derivada de una raíz:
1
2
3
4Deriva las funciones exponenciales
1
2
3
4
5
5Calcula la derivada de las funciones logarítmicas:
1
2
3
4
5
99
APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
REGLA DE L'HÔPITAL
Si
, en donde f y g son derivables en un entorno de a y
existe
, este límite coincide con
.
Para aplicar la regla de L'Hôpital hay que tener un límite de la forma
donde a puede ser un número o infinito, y aparecer las indeterminaciones:
Ejemplos
,
100
Indeterminación infinito menos infinito
En la indeterminación infinito menos infinito , si son fracciones, se ponen a común
denominador.
Indeterminación cero por infinito
La indeterminación cero por infinito, se transforma del siguiente modo:
101
Indeterminaciones
En las indeterminaciones cero elevado cero, infinito elevado a cero y uno elevado a
infinito; se realiza en primer lugar las siguientes operaciones:
Ejemplos
102
ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE
Pendiente de la recta tangente
La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la
función en dicho punto.
Recta tangente a una curva en un punto
La recta tangente a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a))
y cuya pendiente es igual a f '(a).
Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola
.
paralela a la
103
ECUACIÓN DE LA RECTA NORMAL
Pendiente de la recta normal
La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa
de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.
Es decir, es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.
Recta normal a una curva en un punto
La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a,
f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f'(a).
Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola
paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
104
APLICACIONES FÍSICAS DE LA DERIVADA
Velocidad media
La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido
transcurrido
.
y el tiempo
Velocidad instantánea
La velo idad i sta tá ea es el lí ite de la velo idad
es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.
edia ua do Δt tie de a e o,
Aceleración instantánea
La aceleración instantánea es la derivada de la velocidad respecto al tiempo.
Por tanto, la aceleración es la derivada segunda del espacio respecto al tiempo.
El espacio recorrido por un móvil viene dado por la función e(t) = 3t² - t +1. El
espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.
105
EJERCICO 12
1. Ejercicios de la regla de L'Hôpital
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
106
15
16
2. Aplicaciones de la derivada. Ejercicios y problemas
1Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x 3 −
eje OX.
2
−
+
es pa alela al
2Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x 3 , cuya pendiente es 3 y pasa por
el pu to ,− . Halla el pu to de ta g encia.
3Buscar los puntos de la curva f(x) = x 4 + 7x 3 + 13x 2 + x +1, para los cuales la
tangente forma un ángulo de 45º con OX.
4Dada la función f(x) = tg x, hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica
de la función f(x) en el origen, con el eje de abscisas.
5Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln tg 2x en el
pu to de a s isa: = π/ .
6Hallar los coeficientes de la ecuación y = ax 2 + bx + c, sabiendo que su gráfica pasa
por (0, 3) y por (2, 1), y en este últim o punto su tangente tiene de pendiente 3.
7La gráfica de la función y = ax 2 + bx + c pasa por los puntos (2, 3) y (3, 13). siendo
la tangente a la misma en el punto de abscisa 1 paralela a la bisectriz del primer
cuadrante. Hallar el valor numérico de a, b y c.
8Dada la función f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, determina a, b, c y d; sabiendo que la
u va pasa po los pu tos − ,
,
,
ue las ta ge tes a ellas e los pu tos de
a s isa
− so pa alelas al ejes de a s isas.
9¿En qué punto de la curva y = ln x, la tangente es paralela a la cuerda que une los
puntos (1, 0) y (e, 1)?
10La e ua ió de u
ovi ie to i ula es: φ t = ½t . ¿Cuál es la velo idad
aceleración angulares al cabo de siete segundos?
la
11Un observador se encuentra a 2000 m de la torre de lanzamiento de un cohete.
Cua do éste despega ve ti al e te ide la va ia ió del á gulo Φ t ue fo a la lí ea
visual que le une con el cohete y la del suelo horizontal en función del tiempo
transcurrido. Sabiendo que Φ' t = Π/ , se pide:
1. ¿Cuál es la altu a del ohete ua do Φ = Π/
adia es?
2. ¿Cuál es la velo idad del ohete ua do Φ = Π/
adia es?
12Se bombea gas a un globo esférico a razón de 6m 3 /min. Si la presión se mantiene
constante. ¿Cuál es la velocidad con la que cambia el radio del globo cuando el diámetro
mide 120 cm?
13Dada la ecuación 9x 2 + y 2 = 18, hallar la ecuación de la recta tangente que sea
pa alela a la e ta de e ua ió
− + = .
14Hallar el área del triángulo determinado por los ejes de coordenadas y la
tangente a la curva xy = 1 en el punto x = 1.
15La e ua ió de u
ovi ie to e tilí eo es: e t = t −
velocidad en nula? Hallar la aceleración en ese instan te.
t. ¿E
ué
o e to la
107
ANÁLISIS DE FUNCIONES POR MEDIO DE LAS DERIVADAS
CRITERIO DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
Función estrictamente creciente
Función creciente
Función estrictamente decreciente
108
Función decreciente
Crecimiento
Si f es derivable en a:
Decrecimiento
Si f es derivable en a:
INTERVALOS DE CRECIMIENTO
Crecimiento
Si f es derivable en a:
Decrecimiento
Si f es derivable en a:
Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento
Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de:
109
Para hallar su crecimiento y decrecimiento vamos a realizar los siguientes pasos:
1. Derivar la función.
2. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.
3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los
puntos de discontinuidad (si los hubiese).
4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada
primera.
Si f'(x) > 0 es creciente.
Si f'(x) < 0 es decreciente.
5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
De crecimiento: −∞, −
,∞
De decrecimiento: − ,
Ejemplo de intervalos de crecimiento y decrecimiento
110
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:
1. Si f'(a) = 0.
2. “i f'' a ≠ .
Máximos locales
Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:
1. f'(a) = 0
2. f''(a) < 0
Mínimos locales
Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:
1. f'(a) = 0
2. f''(a) > 0
Cálculo de máximos y mínimos
Estudiar los máximos y mínimos de:
Para hallar sus extremos locales, seguiremos los siguientes pasos:
1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.
.
111
2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de
derivada primera y si:
3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.
INTERVALOS DE CONCAVIDAD DE UNA FUNCIÓN
Hemos tomado el criterio que el valle tiene forma cóncava y la montaña forma
convexa.
Intervalos de concavidad y convexidad
Estudiar los intervalos la concavidad y la convexidad de la función:
Para estudiar la concavidad y la convexidad, efectuaremos los siguientes pasos:
1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.
2. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los
puntos de discontinuidad (si los hubiese).
3. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada
segunda.
Si f''(x) > 0 es cóncava.
Si f''(x) < 0 es convexa.
112
4. Escribimos los intervalos:
Co
avidad:
,∞
Co ve idad: −∞,
Ejemplo de intervalos de concavidad y convexidad
PUNTOS DE INFLECCIÓN
En ellos la función no es cóncava ni convexa sino que hay cambio de concavidad a
convexidad o viceversa.
113
Estudio de los puntos de inflexión
Calcular los puntos de inflexión de:
Para hallar los puntos de inflexión, seguiremos los siguientes pasos:
1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.
2. Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros
de derivada segunda y si:
3. Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.
Punto de inflexión: (0, 2)
114
RESUMEN DE ANÁLISIS DE FUNCIONES
115
EJERCICIO 13
Ejercicios y problemas de aplicaciones de la derivada
1Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones siguientes:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
2Calcula los máximos y mínimos de las funciones siguientes:
1.
2.
3.
4.
3Hallar los intervalos de concavidad y convexidad, y los puntos de inflexión de las
funciones:
1.
2.
3.
4La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la
Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley:
2
C = 0.01x 3 − .
+ 2.43x + 300
1. Determinar la cotización máxima y mínima, así como los días en que ocurrieron,
en días distintos del primero y del último.
2. Determinar los períodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron.
5Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de una hora
viene dado por:
=
t −t .
Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide:
1. ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?
2. ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?
3. ¿Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?
Ejercicios de aplicaciones de la derivada
1Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
2Hallar los máximos y mínimos de la función:
3Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto de inflexión a la
u va: f
=
−
+
+ .
4La cantidad (y) expresa el dinero acumulado en una máquina tragaperras durante
un día y sigue una ley del tipo:
3
2
y = 1/3x — 19x + 352x + 100
donde la variable x representa el tiempo en horas (de 0 a 24). Responde a las
siguientes preguntas:
1. ¿Se queda alguna vez vacía de dinero la máquina?
2. Si se realiza la "caja" a las 24 horas. ¿Arroja ganancias para los dueños de la
máquina?
3. ¿A qué hora la recaudación es máxima y a qué hora es mínima?
4. ¿Cuándo entrega el mayor premio?
5Sea f(x) = x 3 + ax 2 + bx + 7. Hallar a y b de manera que la gráfica de la función f(x)
tenga para x= 1 una inflexión, y cuya recta tangente en ese punto forme un ángulo de 45°
con el eje OX.
116
2
6Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) = 2x 3 −
+ 4 en su punto
de inflexión.
7Determinar a, b y c para que la función f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c tenga un máximo
para x = − , u
í i o, pa a x = 0 y tome el valor 1 para x = 1.
8Determinar el valor de a, b, c y d para que la función f(x) = a x 3 + bx 2 + cx + d tenga
un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0).
9Determinar a, b, c, d y e, de modo que la curva f(x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e, tenga
un punto crítico en (1, 3) y un punto de inflexión con tangente de ecuación y = 2x en (0,
0).
10La curva f(x) =
corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un
punto de inflexión en (2/3, 1/9). Hallar a, b y c.
11Dada la función:
Calcula a, b y c, de modo ue f
te ga e
, − u e t e o lo al
ue la u va
pase por el origen de coordenadas.
12Hallar a y b para qué la función: f(x) = a · ln x + bx 2 + x tenga extremos en los
puntos x 1 = 1 y x 2 = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos tienen la función
en 1 y en 2?
OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES
Pasos para la resolución de problemas de optimización
1. Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar.
2. Se plantea una ecuación que relacione las distintas variables del problema , en el
caso de que haya más de una variable.
3. Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en la función de modo que
nos quede una sola variable.
4. Se deriva la función y se iguala a cero , para hallar los extremos locales.
5. Se realiza la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.
Ejemplo
De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los lados del que
tome área máxima.
La función que tenemos que maximizar es el área del triángulo:
Relacionamos las variables:
2x + 2y = 12
117
=
−
Sustituimos en la función:
Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.
Realizamos la 2ª derivada y sustituimos por 2, ya que la solución y = 0 la
descartamos porque no hay un triángulo cuyo lado sea cero.
Por lo que queda probado que en y = 2 hay un máximo.
La base (2y) mide 4m y los lados oblicuos (x) también miden 4 m, por lo que el
triángulo de área máxima sería un triángulo equilátero.
EJERCICIO 14
Problemas de optimización de funciones
1Obtener el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un círculo de radio 12
cm.
2Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira alrededor de su altura
engendrando un cono. ¿Qué valor debe darse a la base para que el volumen del cono sea
máximo?
3Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de
capacidad. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de
metal?
4Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado
del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo.
5Se tiene un alambre de 1 m de longitud y se desea dividirlo en dos trozos para
formar con uno de ellos un círculo y con el otro un cuadrado. Determinar la longitud que
se ha de dar a cada uno de los trozos para que la s uma de las áreas del círculo y del
cuadrado sea mínima.
118
6Hallar las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en un triángulo isósceles que
tiene por base 10 cm y por altura 15 cm.
7Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tien e
forma de paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen ha de ser 9 m 3 , su altura 1
m y el coste de su construcción por m 2 es de
€ pa a la ase;
pa a la etapa
pa a
cada pared lateral.
8Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de
dimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase
figura), se construye una caja. Calcular x para que volumen de dicha caja sea máximo.
9Una hoja de papel debe tener 18 cm 2 de texto impreso, márgenes sup erior e
inferior de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener
razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie del papel.
10El beneficio neto mensual, en millones de euros, de una empresa que fabrica
autobuses viene dado por la función:
B
= .
−
.
3
Donde x es el número de autobuses fabricados en un mes.
1. Calcula la producción mensual que hacen máximo el beneficio.
2. El beneficio máximo correspondiente a dicha producción.
11Una huerta tiene actualmente 25 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se
calcula que por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en
15 frutos. Calcular:
1. La producción actual de la huerta.
2. La producción que se obtendría de cada árbol si se plantan x árboles más.
3. La producción a la que ascendería el total de la huerta si se plantan x árboles
más.
4. ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para qué la
producción sea máxima?
12Un sector circular tiene un perímetro de 10 m. Calcular El radio y la amplitud del
sector de mayor área.
13El valor de un rubí es proporcional al cuadrado de su peso. Divide un rubí de 2 g
en dos partes de forma que la suma de los valores de los dos rubíes formados sea mínima.
14Encontrar, de entre todas las rectas que pasan por por el punto (1, 2) aquella que
forma con la partes positivas de los ejes de coordenadas un triángulo de área mínima.
15Una boya, formada por dos conos rectos de hierro unidos por sus bases ha de ser
construido mediante dos placas circulares de 3 m de radio. Calcular las dimensiones de la
boya para que su volumen sea máximo.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
Gráfica de una función
Gráfica (f) = {(x, f(x)) /
x
D}
Para representar una función tenemos estudiaremos los siguientes apartados:
Dominio de una función
D = {x
/
f (x)}
119
Dominio de la función polinómica
D=
Dominio de la función racional
El dominio es
menos los valores que anulan al denominador .
Dominio de la función radical de índice impar
D=
Dominio de la función radical de índice par
El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea
mayor o igual que cero.
Dominio de la función logarítmica
El dominio está formado por todos los valores que hacen qu e el radicando sea
mayor que cero.
Dominio de la función exponencial
D=
Dominio de la función seno
D=
.
Dominio de la función coseno
D=
.
Dominio de la función tangente
Dominio de la función cotangente
Dominio de la función secante
120
Dominio de la función cosecante
Dominio de operaciones con funciones
Simetría
Simetría respecto del eje de ordenadas
f(-x) = f(x)
Simetría respecto al origen
f(-x) = -f(x)
Periodicidad
Si f es periódica de período T, también lo es f(mx +n), y su período es T/m.
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con el eje OX
Para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos y = 0 y resolvemos la
ecuación resultante.
Punto de corte con el ejes OY
Para hallar el punto de corte con el eje de ordenadas hacemos x = 0 y calculamos el
valor de f(0).
Asíntotas
Asíntotas horizontales
Asíntotas verticales
Asíntotas oblicuas
121
Ramas parabólicas
Rama parabólica en la dirección del eje OY
Rama parabólica en la dirección del eje OX
Crecimiento y decrecimiento
Para hallar el crecimiento y decrecimiento seguiremos los siguientes pasos:
1. Derivar la función:
2. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.
3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los
puntos de discontinuidad (si los hubiese)
4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada
primera.
5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento .
Máximos y mínimos relativos
Para hallar los extremos relativos seguiremos los siguientes pasos:
1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.
2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces de
derivada primera y si:
3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.
Si ya hemos estudiado el crecimiento y decrecimiento de una función habrá:
1. Un máximo en el punto, de la función, en la que ésta pasa de creciente a
decreciente.
2. Un mínimo en el punto, de la función, en la que ésta pasa de decreciente a
creciente.
Concavidad y convexidad
Para calcular los intervalos la concavidad y convexidad de una función seguiremos
los siguientes pasos:
1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.
2. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los
puntos de discontinuidad (si los hubiese).
3. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada
segunda.
122
4. Escribimos los intervalos:
Puntos de inflexión
Para hallar los puntos de inflexión , seguiremos los siguientes pasos:
1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.
2. Realizamos la derivada tercera, y calculamos e l signo que toman en ella los ceros
de derivada segunda y si:
3. Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.
Si ya hemos estudiado la concavidad y convexidad de una función habrá:
Un punto de inflexión en el punto, de la función, en los puntos en que ésta pasa de
cóncava a convexa o viceversa.
EJEMPLOS
1Representar la siguiente función:
Dominio
Simetría
Simetría respecto al origen.
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con OX :
Punto de corte con OY :
Asíntotas
No tiene asíntotas .
Ramas parabólicas
123
Crecimiento y decrecimiento
Creciente:
Decreciente:
Mínimos
Máximos
Concavidad y convexidad
Cóncava:
Convexa
Puntos de inflexión
(0, 0)
Representación gráfica
124
2 Representar la siguiente función:
Dominio
Simetría
Simetría respecto al eje OY .
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con OX :
Punto de corte con OY :
Asíntotas
No tiene asíntotas .
Ramas parabólicas
Crecimiento y decrecimiento
Mínimos
Máximos
Concavidad y convexidad
125
Puntos de inflexión
Representación gráfica
3 Representar la siguiente función:
Dominio
Simetría
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con OX:
Punto de corte con OY :
Asíntotas
Asíntota horizontal:
Asíntotas verticales .
126
Asíntota oblicua .
Crecimiento y decrecimiento
Creciente:
Mínimos
Concavidad y convexidad
127
Puntos de inflexión
Representación gráfica
EJERCICIO 15
Representar las siguientes funciones, estudiando su:
Dominio.
Simetría.
Puntos de corte con los ejes.
Asíntotas y ramas parabólicas.
Crecimiento y decrecimiento.
Máximos y mínimos.
Concavidad y convexidad.
Puntos de inflexión
1.
2.
3.
4.
5.
128
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
129
TEMA 6
INTEGRALES
Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x),
busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).
Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x) ; dicho de otro
modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:
F'(x) = f(x) .
Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas
ellas en una constante.
[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)
Integral indefinida
Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una
función.
Se representa por
.
Se lee: integral de x diferencial de x .
.
.
Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.
Propiedades de la integral indefinida
1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas
funciones.
2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante
por la integral de la función.
130
TABLA DE INTEGRALES
Si u = x (u' = 1), tenemos una tabla de integrales simples:
131
INTEGRALES INMEDIATAS
Integral de una constante
La integral de una constante es igual a la constante por x.
Integral de cero
Integral de una potencia
EJEMPLOS:
132
133
134
135
INTEGRALES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES
136
EJEMPLOS:
137
138
INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS
EJEMPLOS:
139
140
141
INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
EJEMPLOS:
142
143
Vamos a transformar el denominador de modo que podamos aplicar la fórmula de la
integral del arcotangente.
Transformamos el denominador en un binomio al cuadrado.
Multiplicamos numerador y denominador por 4/3, para obtener uno en el
denominador.
Dentro del binomio al cuadrado multiplicaremos por su raíz cuadrada de 4/3.
144
EJERCICIO 16
Resolver las siguientes integrales:
2
1
2
3
4
3
4
5
5
6
6
7
7
8
2 Calcular las integrales:
8
1
3 Resolver las siguientes integrales exponenciales:
1
5
2
6
3
4
4 Calcular las integrales:
7
1
5
2
3
6
7
4
5 Resolver las integrales:
1
4
2
3
5
6
6 Calcular las integrales:
145
1
2
3
4
6
7
8
9
5
7 Resolver las integrales:
1
4
2
5
3
8 Calcular las integrales:
1
4
2
3
Ejercicios de integrales inmediatas
1
11
2
12
3
13
4
14
5
15
6
16
7
17
8
18
9
19
10
146
20
Problemas de integrales
1 De las infinitas funciones primitivas de la función y = x² - x + 1, ¿cuál es la que
para x = 3 toma el valor 5?
2Escribe la función primitiva de y = x² + 2x cuya representación gráfica pasa por él
punto (1, 3).
3 Hallar una función F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2 tome el
valor 25.
4 Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pas a por él punto P(0, 4).
5 Calcular la ecuación de la curva que pasa por P(1, 5) y cuya pendiente en
ual uie pu to es
+
− .
6Hallar la primitiva de la función
, que se anula para x = 2