REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE ABOU BAKR BELKAID DEPARTEMENT D’ELECTRONIQUE LABORATOIRE DE TELECOMMUNICATIONS DE TLEMCEN (LTT) FACULTE DES SCIENCES DE L’INGENIEUR Thè se de Ma g iste r e n Ele c tro niq ue Op tio n : Sig na ux & Systè me s Synt hèse de réseaux d’ant ennes à réf lect eur à f aisceaux mult iples pour syst èmes de t élécommunicat ion spat iale Présentée par : Mr: GUENAD Boumediene Soutenu en 2005 devant le jury : Pr ésident : A. BESSAI D M.C. à l’Univer sit é de Tlemcen Examinat eur s : N. BOUKLI –HACENE M.C. à l’Univer sit é de Tlemcen N. BENAHMED M.C. à l’Univer sit é de Tlemcen Dir ect eur de t hèse : F. T. BENDI MERAD Pr of . à l’Univer sit é de Tlemcen S.M. MERI AH M.C. à l’Univer sit é de Tlemcen Co Dir ect eur de t hèse : Année Universitaire 2005-2006 A M es parent s et ma f amille. A mes amis. REMERCI EMENTS Ce travail a été effectué au Laboratoire de Télécommunications de la Faculté des Sciences de l’Ingénieur de l'Université Abou Bekr Belkaid de Tlemcen. J’adresse mes sincères remerciements à Monsieur F.T.BENDIMERAD, Professeur à l’université Abou-Bekr Blkaïde et Directeur du laboratoire LTT, qui a bien voulu assurer la direction de cette thèse, pour son soutien et ses précieux conseils. Je le remercie également pour le temps qu’il a consacré pour le développement de ce manuscrit. J’adresse également mes remerciements à Monsieur S.M.MERIAH, maître de Conférences à l’université Abou-Bekr Blkaïde-Tlemcen, qui a su me soutenir malgré ses occupations, ses conseils et remarques qui ont fait avancer mes travaux. J'exprime ma profonde reconnaissance à Monsieur A.BESSAID Maître de conférences, à l’université Abou-Bekr Blkaïde-Tlemcen de me faire l’honneur de présider le jury de cette thèse. J'adresse également mes remerciements à Monsieur N. BOUKLI–HACENE, Maître de conférences à l’université Abou-Bekr Blkaïde-Tlemcen, pour avoir accepté de juger ce travail et d'en être examinateur. A Monsieur N.BENAHMED, Maître de conférences à l’université Abou-Bekr Blkaïde-Tlemcen à qui je suis entièrement redevable pour sa participation à la commission d’examen, j’adresse mes sincères remerciements. Je tiens à remercier sincèrement tous les membres du Laboratoire de Télécommunications pour leurs encouragements, sans oublier mes collègues des autres Laboratoires de recherche. RESUME Cette thèse développe une méthode de synthèse pour déterminer les excitations de chacun des éléments d’antennes multisources à couvertures multiples en amplitude et phase à partir des spécifications ou contraintes imposées au diagramme de rayonnement. Le problème de synthèse consiste à estimer les variations d’amplitude et de phase de l’alimentation des éléments rayonnants qui permettent de fournir un diagramme de directivité aussi proche que possible d’un diagramme désiré optimal spécifié à partir d’une fonction ou d’un gabarit. La méthode développée a été testée sur de nombreuses applications et une comparaison avec d’autre auteur a été réalisée. Mots clés : réseau d’antenne à réflecteur, antenne multisources, couvertures multiple, couverture à recouvrement total, couverture à recouvrement partiel, contrainte d’orthogonalité, diagramme de rayonnement, analyse, synthèse, optimisation, méthode variationnelle. SOMMAI RE Introduction générale .. .... 2 CHAPITRE I : Généralités I.1 Introduction .................................................................................................................... 5 I.2 Caracteristiques électromagnetiques des antennes spatiales ................................... 6 I.2.1 Gain d’antenne spatiale ............................................................................................. 6 I.2.2 Bande passante......................................................................................................... 6 I.2.3 Couverture et faisceaux............................................................................................. 7 I.2.4 Contourage ............................................................................................................... 8 I.3 Differents types d antennes spatiales .......................................................................... 9 I.3.1 Antenne réseau ......................................................................................................... 9 I.3.1.1 Principe............................................................................................................... 9 I.3.1.2 Circuit de formation de faisceaux BFN .............................................................. 10 I.3.2 Antenne à système focalisant .................................................................................. 10 I.3.2.1 Structure ........................................................................................................... 11 I.3.2.2 Principe de fonctionnement............................................................................... 11 I.3.2.3 Système focalisant comme antenne multifaisceaux ..........................................13 I.3.2.4 Comparaison entre Le réflecteur parabolique et l’antenne lentille ..................... 13 I.4 Le repartiteur ................................................................................................................ 15 I.4.1 Introduction ............................................................................................................. 15 I.4.2 Mode de fonctionnement du répartiteur .................................................................. 16 I.4.3 Répartiteur type matrice de Butler ........................................................................... 17 I.4.3.1 Introduction ........................................................................................................17 I.4.3.2 Avantages et inconvénients de la matrice de Butler ...........................................18 CHAPITRE II : E tude d antennes à réflecteur multifaisceaux II.1 Introduction ................................................................................................................. 20 II.2 Réflecteur parabolique en offset alimente par une seule source ............................ 20 II.2.1 Description géométrique ......................................................................................... 20 II.2.2 Influence des paramètres géométriques ................................................................. 21 II.2.3 Gain d’antenne réflecteur........................................................................................ 22 II.2.4 Champ rayonné par un réflecteur .......................................................................... 23 II.2.5 Etude comparative de diagrammes de faisceaux élementaires............................... 27 II.3 Réflecteur parabolique en offset alimente par un réseau de sources .................... 28 II.3.1 Introduction............................................................................................................. 28 II.3.2 Caractéristiques des faisceaux ............................................................................... 28 II.3.3 Disposition des faisceaux ....................................................................................... 31 II.3.3.1 Echantillonnage type carré ................................................................................31 II.3.3.2 Echantillonnage type hexagonal : .................................................................... 31 II.3.4 Zones de couvertures ............................................................................................. 32 II.3.5 La distance entre les faisceaux............................................................................... 33 II.4 Amelioration du dispositif .......................................................................................... 35 II.4.1 Système à multiples focaliseurs.............................................................................. 35 II.4.2 Système multifaisceaux à bouquets de source ...................................................... 35 II.4.2.1 Exemple de génération de faisceau ................................................................. 36 II.4.3 Diagramme de rayonnement d’un réseau d’antennes à réflecteur .......................... 37 II.5 Independance des couvertures .................................................................................. 39 II.5.1 Formulation de la condition d’orthogonalité ............................................................ 39 II.6 Conclusion .. .42 CHAPITRE III : Synthèse de réseaux d antennes a réflecteur mono_couverture III.1 Introduction ................................................................................................................ 44 III.2 Probleme de synthèse.......... .................................................................................44 III.3 Méthode de synthèse basée sur un critére variationnel .......................................... 45 III.3.1 Principe ................................................................................................................. 45 III.3.2 Définition du gabarit............................................................................................... 45 III.3.2.1 Spécification du gabarit ................................................................................... 45 III.3.3 Critère d’erreur ..................................................................................................... .47 III.3.4 Synthèse par la méthode variationnelle ................................................................ 48 III.3.5 Stationnarité de J....................................................................................................51 III.3.6 Algorithme de calcul .............................................................................................. 52 III.3.7 Description du programme..................................................................................... 54 III.4Résultats de simulation .............................................................................................. 54 III.4.1 Zones à échantillonnage hexagonal complet ......................................................... 55 III.4.2 Zones à échantillonnage hexagonal incomplet ...................................................... 60 III.5 Conclusion.................................................................................................................. 66 CHAPITRE IV : Synthèse de réseaux d antennes réflecteur double_couvertures IV.1 Introduction ................................................................................................................ 68 IV.2 Developpement de la methode variationnelle dans le cas deux couvertures a recouvrement total ............................................................................................................ 68 IV.2.1 Condition d’amplitude et de phase ........................................................................ 69 IV.2.2 Formulation du problème....................................................................................... 71 IV.2.3 Algorithme de calcul .............................................................................................. 72 IV.2.4 Résultats de simulation ......................................................................................... 74 IV.2.4.1 Deux zones à échantillonnage hexagonal complet à recouvrement total ........ 74 IV.2.4.2 Deux zones à échantillonnage hexagonal incomplet à recouvrement total 78 IV.2.5 Etude comparative ................................................................................................ 83 IV.3 Cas de deux couvertures a recouvrement partiel.................................................... 84 IV.3.1 Formulation du problème....................................................................................... 84 IV.4 Resultats de simulation ............................................................................................. 86 IV.4.1 Deux zones à échantillonnage hexagonal complet à recouvrement partiel ......... 87 IV.4.2 Deux zones à échantillonnage hexagonal incomplet à recouvrement partiel ......... 93 IV.4.3 Etude comparative ................................................................................................ 99 IV.5 Conclusion ................................................................................................................100 Conclusion générale Bibliographie .. .. .. 102 ... . 104 INTRODUCTION GENERALE INTRODUCTION GE NE RALE Les antennes réseaux sont appelées d’être de plus en plus utilisés pour les futures missions de satellites de télécommunications. L’intérêt d’utiliser des antennes réseaux est double. Tout d’abord, l’usage de plusieurs éléments rayonnants permet d’avoir un meilleur contrôle de l’ouverture rayonnante, et donc de mieux maîtriser le diagramme de rayonnement. D’autre part, l’application d’une loi d’alimentation calculée suivant des critères adaptés au problème,assure : la maximisation du gain dans une direction donnée, la maîtrise du niveau des lobes secondaires, l’annulation du diagramme dans la direction de brouilleurs éventuels,etc.…. Ces antennes permettent de former un ou plusieurs diagrammes de rayonnement en utilisant, par exemple, un ensemble de sources élémentaires, dont les signaux sont combinés par un dispositif appelé réseau formateur de faisceau (en anglais Beamforming Network, noté BFN) . Ce dispositif est composé de circuits passifs ou actifs, possédant autant d’entrées qu’il y’a d’éléments rayonnants, et autant de sorties qu’il y’ de spots à former. Ils recombinent les signaux avec des conditions sur l’amplitude et la phase de la loi d’alimentation. Une autre technique consiste à associer au réseau d’antennes un élément réflecteur, de géométrie le plus souvent de forme parabolique, ces antennes réseaux sont dites des antennes à réflecteurs. Il est alors possible d’obtenir un rayonnement multifaisceaux par le biais d’un réseau d’antennes primaires disposées dans le plan focal du réflecteur. A fin obtenir une couverture homogène caractérisée par une variation minime du gain, la solution consiste à générer chaque faisceau à partir d’un bouquet de source du réseau focal par l’intermédiaire de dispositifs répartiteurs en amant de l’antenne. Les couvertures que nous étudions sont du type couverture multifaisceaux. Ceci signifie que sur la zone utile, la couverture est assurée par la juxtaposition de plusieurs faisceaux très directifs. Les raisons du choix de la couverture multifaisceaux sont multiples : Elle permet d’assurer un plus grand gain sur l’ensemble de la zone, par utilisation de spots contigus à grand gain. Elle permet de faire de la réutilisation de fréquence, c’est à dire d’utiliser plusieurs fois la même bande de fréquence dans plusieurs zones géographiques Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés particulièrement à l’étude et à la synthèse d’antennes réseaux à réflecteur permettant d’assurer une ou deux couvertures ayant des zones de recouvrement total ou partiel. La synthèse est réalisée par action simultanée sur deux paramètres la loi amplitude et la loi de phase de l’alimentation du réseau d’antennes. Afin de résoudre le problème de synthèse, une méthode de type variationnelle est développée. Cette méthode est basée sur la minimisation d’une fonctionnelle caractérisant l’écart du diagramme d’amplitude avec un gabarit fixé au départ par l’utilisateur. Le premier chapitre est réservé aux généralités. Les caractéristiques électromagnétiques des antennes spatiales multisources et leurs mécanismes de fonctionnement sont présentés. Le deuxième chapitre est consacré à une étude détaillée du réflecteur parabolique multifaisceaux. Cette étude va nous permettre la modélisation du champ rayonné par l’antenne. Dans le troisième chapitre, la synthèse de réseau réflecteur mono_couverture par la méthode variationnelle est développée. Le quatrième chapitre est une extension de notre étude à de réseaux d’antennes réflecteur double couvertures. Il s’agit de la synthèse des coefficients d’excitation d’une antenne rayonnante plusieurs faisceaux formés. Plusieurs cas d’application sont présentés et commentés. CHAPITRE I GE NE RALITE S Généralités Chapitre I I.1 Introduction Les télécommunications par satellite permettent de repousser les limites de la transmission de données par voie terrestre. Ainsi, une audience de millions de foyers et d’entreprises peut être desservie par un même satellite même lorsque les utilisateurs sont situés dans des régions hostiles aux moyens classiques de transmission et de diffusion. La position en haute altitude des émetteurs autorise, bien évidemment, des zones de couverture très étendues. Avec seulement trois satellites, il est possible de transmettre sur la quasi-totalité du globe. Pour obtenir une couverture équivalente avec des moyens terrestres, il faudrait un réseau d'émetteurs au sol très dense et très coûteux. La principale fonction des antennes utilisées dans les systèmes de télécommunications par satellite est de compenser la perte de puissance du signal qui se produit lors de son émission du sol vers l’espace (et vice versa). Les antennes spatiales installées à bord des satellites géostationnaires peuvent émettre, recevoir ou les deux à la fois. La conception d’une antenne dépend des exigences de la mission, lesquelles deviennent de plus en plus complexes. Elles sont caractérisées par le nombre de zones de services, la bande passante, la réutilisation des fréquences, la connectivité des canaux entre les zones de service, la flexibilité et la tenue en puissance. Pour répondre à de nombreuses applications, le satellite embarque une multitude d’aériens comme le montre la figure I.1. Figure I. 1: Représentation des antennes embarquées sur un satellite Généralités Chapitre I Cependant, l’environnement spatial, le lanceur et le satellite imposent des contraintes sévères à la conception de l’antenne qui doit présenter le meilleur compromis entre les performances radioélectriques, mécaniques et thermiques. Son développement exige une pluridisciplinarité nécessitant des compétences électromagnétiques mais aussi thermomécaniques et technologiques [1]: • Contraintes thermiques :Les variations de températures, généralement de -180°C à 150°C engendre des fortes contraintes thermomécaniques qui imposent d’utiliser des matériaux à faible coefficient de dilatation. • Contraintes mécaniques : Engendrées par la présence de nombreux sous-systèmes coexistant dans un satellite mais aussi par les fortes vibrations au décollage. I.2 Caractéristiques électromagnétiques des antennes bbspatiales I.2.1 Gain d antenne spatiale L’antenne satellitaire, relais hertzien situé à 36 000 Km doit avoir un grand gain pour compenser l’affaiblissement des signaux hyperfréquences sur les trajets montants et descendants. Le signal reçu sur la terre devra être de puissance suffisante afin de limiter le coût des nombreux terminaux de réceptions dont le prix est classiquement défini par la puissance des amplificateurs. L’objectif majeur pour une antenne de télécommunications est donc de maximiser le gain dans une zone géographique de forme complexe[2]. I.2.2 Bande passante Pour transmettre un débit de un Gigabit par seconde, la bande passante de l’antenne doit être approximativement de 1 GHz. Les antennes satellitaires doivent conserver un comportement homogène sur des larges bandes de fréquence (3 GHz en bande Ka). Généralités Chapitre I Bande Fréquences Largeur de bande Service fixe par satellites Bande C 6/4 GHz 1100 MHz Bande X 8/7 GHz 500 MHz Bande Ku 14/12 GHz 1000 MHz 14/11 GHz 250 MHz 30/20 GHz 2500 MHz Bande Ka Service mobile par satellite Bande L 1.6/1.5 GHz 34 MHz Bande L/S 1.6/2.5 GHz 16.5 MHz Bande S 2/2.2 GHz 40 MHz Service de radiodiffusion par satellite 17/12 GHz Bande K 800 MHz Tableau I. 1 : Les différentes bandes de fréquence [2] I.2.3 Couvertures et faisceaux Le diagramme de rayonnement d’une antenne spatiale est caractérisé par un lobe principal qui concentre la plupart de la puissance rayonnée dans une direction définie et des lobes secondaires bas afin de limiter les interférences. Le lobe principal est classiquement appelé faisceau et son intersection avec la terre constitue un spot. Etant donné que le gain d’une antenne est inversement proportionnel à l’ouverture du faisceau, il est nécessaire d’utiliser des antennes multifaisceaux pour couvrir une zone étendue. Les raisons du choix de la couverture multifaisceaux sont multiples : • Elle permet d’assurer un plus grand gain sur l’ensemble de la zone, par utilisation de spots contigus à grand gain. • Elle permet la réutilisation de fréquence, c’est à dire d’utiliser plusieurs fois la même bande de fréquence dans plusieurs zones géographiques différentes. Pour cela, la bande totale utilisée est divisée en sous bande, dont chacune est utilisée dans plusieurs Généralités Chapitre I spots. Il y a ainsi accroissement de la capacité. Le plan de fréquence est supposé régulier, c’est-à-dire que les sous-bandes sont de la même largeur. Les communications correspondant à la même bande de fréquence réutilisée sont séparées par la formation de faisceaux. Un exemple de couverture composé de 48 spots fixes fonctionnant dans quatre sous bande de fréquence (A,B,C,D) est donné par la figure I.2. Figure I. 2 : Couverture à multiples spots fixes Ce système réutilise des bandes de fréquence par diversification spatiale ; on peut ajouter encore une diversification de polarisation, deux utilisateurs situés dans la même région pouvant utiliser la même bande de fréquence, l’un avec une polarisation horizontale, l’autre avec polarisation verticale. I.2.4 Contourage La conformation du diagramme de rayonnement peut s’effectuer à l’aide d’une antenne multifaisceaux, chaque faisceau produit par une source utilise alors la même bande de fréquence [3, 4]. En combinant de façon adéquate les différents faisceaux générés par les sources, on peut produire un faisceau global unique dont la forme peut être imposée en contrôlant la puissance fournie par le répartiteur (Figure I.4). Généralités Chapitre I 1 0 Faisceau élémentaire 1 -1 -50 1 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 -20 -10 0 10 20 30 40 50 -20 -10 0 10 20 30 40 50 0 Faisceau élémentaire 2 -1 -50 2 -40 -30 0 Faisceau résultant -2 -50 -40 -30 Figure I. 3 : Combinaison optimale des faisceaux élémentaires Toute la difficulté du problème consiste à déterminer la combinaison optimale des faisceaux qui produira un faisceau résultant dont la forme est celle désirée à l’avance (figure I.3). Ce problème est désigné généralement par le nom d’optimisation d’antennes multifaisceaux. C’est le but essentiel de cette thèse. I.3 Différents types d antennes spatiales I.3.1 Antenne réseau I.3.1.1 Principe Ce type d’antenne est composé d’une multitude d’éléments identiques et indépendants. L’énergie est distribuée entre les diverses sources selon une loi donnée grâce à un répartiteur qui distribue le signal sur chaque élément avec une amplitude et une phase connue. Des déphaseurs commandables peuvent être insérés entre les éléments rayonnants et le répartiteur pour former un réseau phasé. Les antennes réseaux peuvent produire des diagrammes de rayonnement variés selon le besoin des utilisateurs (figure I.4). La mise en réseau des éléments rayonnants permet une augmentation du gain. En effet, l’utilisation de N éléments permet de multiplier par N le gain de l’élément élémentaire. La pondération de phase relative sert à diriger le lobe principal dans une direction donnée. La pondération en amplitude permet de diminuer le niveau des lobes secondaires et de conformer Généralités Chapitre I la forme du faisceau. Cependant, ce type d’aériens nécessite un nombre important d’éléments pour limiter les lobes de réseau ou pour former un faisceau avec une précision extrême [5,6]. Les caractéristiques de rayonnement du système dépendent à la fois : Du diagramme de rayonnement de l’élément de base multiplié par le facteur de bxcxcvxcvréseau. Des coefficients d’excitation en amplitude et phase de chacune des sources. De la distance entre éléments. Source Déphaseur Atténuateur ou diviseur de puissance Figure I. 4 : Représentation d un réseau phasé I.3.1.2 Circuit de formation de faisceaux BFN Il est possible de générer une multitude de faisceaux avec un même réseau d’antennes, en associant au système un circuit de formation de faisceaux (BFN : Beam Forming Network). Ce système peut être passif ou actif pour pouvoir reconfigurer les faisceaux. Les BFN sont très souvent réalisés avec des composants analogiques (coupleur, déphaseur, diviseur, croisement) mais des versions numériques plus performantes et plus coûteuses existent. Ces dispositifs possèdent un nombre de ports d’entrée correspondant au nombre de faisceaux et le nombre de sorties correspond au nombre d’éléments rayonnants. I.3.2 Antenne à système focalisant Un système focalisant transforme une onde sphérique produite par une source élémentaire placé en son foyer en une onde plane sur l’ouverture de l’antenne permettant ainsi Chapitre I Généralités d’avoir un gain maximal pour une zone donnée [7, 8]. Deux types de système sont particulièrement utilisés : la lentille et le réflecteur parabolique. I.3.2.1 Structure Ce type d’antenne est constitué des différents éléments suivants: v Source élémentaire La source primaire a pour rôle d’illuminer le projecteur d’onde collimateur à l’émission ou de recueillir l’énergie concentrée par le focalisant à la réception. Les caractéristiques électromagnétiques de l’antenne source doivent être parfaitement maîtrisées : position du centre de phase de l’onde émise, forme du diagramme de rayonnement, phase et polarisation. Différentes antennes peuvent constituer la source primaire, mais dans la grande majorité des cas ce sont les cornets qui sont les plus utilisés dans le domaine spatiale. v Surface réflectrice Généralement des formes paraboliques ou d’un jeu de surfaces réflectrices (réflecteur principale et sous réflecteurs) ou des lentilles pour l’antenne à lentilles. v Répartiteur Chargé de répartir en amplitude et en phase la puissance disponible aux différents éléments rayonnants du réseau d’alimentation. I.3.2.2 Principe de fonctionnement Un système focalisant transforme en onde plane l’onde sphérique émise par l’antenne élémentaire placée à son foyer. Dans le cas de la lentille, la focalisation s’effectue en transmission (Figure I.5) alors que dans le cas d’un réflecteur parabolique celle-ci est effectuée en réflexion (Figure I.6). L’ensemble des rayons issus du foyer, qui sont transmis ou réfléchis (suivant le focaliseur choisi) émergent parallèlement à l’axe de l’antenne. Dans un plan P orthogonal à cet axe situé en sortie de focaliseur, tous les rayons ont parcouru le même chemin optique. Ce faisceau de rayons délimite donc, dans ce plan, une ouverture équivalente circulaire équiphase de diamètre D. Généralités Chapitre I Focale F Ouverture équiphase équivalente de diamètre D Source élémentaire au foyer F Onde sphérique Onde plane Figure I. 5 : Lentille système focalisant en transmission Focale F Ouverture équiphase équivalente de diamètre D Onde plane Figure I. 6: Réflecteur parabolique : système focalisant en réflexion Avec des dimensions d’ouverture équivalente grandes devant la longueur d’onde, le rayonnement de ces systèmes à projecteur d’onde peut donc être assimilé à celui d’une ouverture circulaire rayonnante. Le gain est directement lié aux dimensions de l’ouverture rayonnante équivalente. De nombreux ouvrages exposent la théorie des ouvertures rayonnantes et permettent de connaître l’expression des champs en zone de Fraunhoffer et donc le rayonnement en champ lointain de ces systèmes focalisants [9,10]. Généralités Chapitre I I.3.2.3 Système focalisant comme antennes multifaisceaux L’insertion de plusieurs sources au voisinage du foyer du focaliseur permet de générer une multitude de faisceaux comme le montre schématiquement la Figure I.7. Source défocalisés Lentille Source Au foyer Figure I. 7 : Principe du multifaisceaux avec un système focalisant [6] Ces antennes multifaisceaux sont constituées de trois composantes majeurs : un réseau d’antenne sources (classiquement des cornets), un focaliseur assurant la collimation, et un circuit de distribution permettant de répartir la puissance d’alimentation sur les sources. Ce circuit de distribution peut varier d’une configuration simple réalisant la commutation des sources à des configurations plus complexes permettant de reconfigurer les faisceaux. I.3.2.4 Comparaison entre le réflecteur parabolique et l antenne lentille Une énumération de caractéristiques qui différencient le réflecteur parabolique de la lentille est exposée : • Peu de pertes Les pertes diélectriques et les pertes par transmission représentent un problème majeur des lentilles car elles constituent un obstacle aux rendements de l’antenne. En effet, de multiples réflexions s’opèrent aux interfaces et engendrent une diminution de la puissance transmise. Les réflecteurs ne sont affectés que par des pertes négligeables : les pertes métalliques et les pertes liées à l’état de surface du paraboloïde. Généralités Chapitre I • Pas de réflexions parasites sur la surface du focaliseur Les lentilles sont sujettes à de multiples réflexions sur les interfaces qui engendrent des effets néfastes [6,7] comme : perte de puissance, remontée des lobes secondaires, interférences entre les ondes (Figure I.8). Source Trajet à réflexions multiples =>interférences Trajet direct Onde rétrodiffusée Lentille Figure I. 8: Réflexions multiples et néfastes d une lentille • Encombrement et poids limités Les réflecteurs possèdent une masse inférieure et une distance focale moins importante par rapport à une lentille de performance similaire. Ces critères sont capitaux dans le domaine spatial où en favorisent toujours les structures les plus légères et les plus petites [1]. • Mise en offset Le réflecteur parabolique doit être utilisé en offset afin d’éviter la zone d’ombre engendrée par la source. Cette dernière provoque une perturbation du diagramme de rayonnement du réflecteur caractérisée par une remontée excessive des lobes secondaires et une baisse du gain. Dans une application multifaisceaux où des batteries de source de taille prohibitive sont utilisées, cette notion prend une importance capitale [1,2]. Une représentation est donnée sur la figure I.9. Généralités Chapitre I Source Zone D’ombre Source Figure I. 9 : Mise en offset du réflecteur pour éviter la zone ombre I.4 Le répartiteur I.4.1 Introduction Afin de simplifier le dispositif de formation de faisceaux, de limiter la complexité de l’électronique et donc réduire les coûts, les sources et leur module peuvent être groupés en sous réseau où il est appliqué la même phase [11, 12, 13]. Un exemple simple de circuit formateur de faisceaux analogique passif est donné Figure I.10. Il permet de distribuer les signaux issus de deux faisceaux sur 4 sources rayonnantes avec les amplitudes et phases désirées afin de pouvoir former deux zones de couvertures. BFN Port Faisceau 1 Port Faisceau 2 22 Généralités Chapitre I Figure I. 10 : Schéma simplifie de circuit formateur de faisceaux associé à un réseau de 4 éléments Le répartiteur schématisé dans la figure I.11 permet de formés N zones de couvertures. De plus, chacune des N sources de l’antenne peut être utilisé M fois (M étant le nombre de faisceaux que l’on veut réalisé). Un circuit fonctionnant sur le même principe a été utilisé sur satellite GLOBSTAR et permet de former 16 faisceaux avec un réseau de 91 éléments rayonnants [14,15]. Port de faisceau1 BFN faisceau 1 Source 1 Source 2 Port de Faisceau M Source 3 BFN faisceau M Source N Figure I. 11 : Schéma simplifie d un circuit formateur de faisceaux associé à un réseau de n éléments Mode de fonctionnement du répartiteur Il existe deux modes de fonctionnement de ces répartiteurs de faisceaux [16, 17] : v soit un système de signaux indépendants connecté à chaque port, l’opération de simultanéité dans plusieurs directions peut par conséquent être obtenue. Chapitre I v Généralités soit un seul système est connecté aux ports d’entrée par une commande à chemins multiples ou commutateur « switch » donnant une antenne à balayage séquentielle. Ces antennes à multiples faisceaux commutées peuvent revenir moins cher que des réseaux d’antennes équivalents déphasés, en particulier lorsque peu de faisceaux sont nécessaires. I.4.3 Répartiteur type matrice de Butler I.4.3.1 Introduction Il existe plusieurs types de répartiteurs tels que La lentille de Rotman ; la matrice Blass et La matrice de Butler [12]; cette dernière est sûrement un des répartiteurs de faisceaux les plus pratiqués. C’est un circuit réciproque symétrique à N ports d’entrées et M ports de sorties qui pilote N éléments rayonnants produisant M faisceaux orthogonaux différents Figure I.12. C’est un système parallèle, contrairement à la matrice de Blass (système série), qui est composé de jonctions qui connectent les ports d'entrée aux ports de sortie par des lignes de transmission de longueur de chemin égal. Ainsi un signal d'entrée est à plusieurs reprises divisé sans pertes jusqu'aux ports de sortie ; le schéma d’une matrice de Butler est identique avec celui d’une FFT (Fast Fourier Transform). Les signaux alimentés à chaque port d'entrée sont divisés en signaux d'amplitudes égales aux N ports de sortie. Le réseau combine les signaux dans M chemins différents pour produire M faisceaux. Généralités Chapitre I 1 2 N-1 N N sources Matrice Butler 1 2 M-1 M M Faisceaux Figure I. 12 : Schéma système d une matrice de Butler I.4.3.2 Avantages et inconvénients de la matrice de Butler La matrice de Butler possède de nombreux avantages [12] : v Les faisceaux générés sont orthogonaux (combinaison optimale). v La matrice emploie peu de composants et son architecture est simple (les coupleurs sont tous identiques dans une matrice binaire). v Sa conception est rendue plus facile grâce à la symétrie de sa topologie. Malgré tout ceci, elle renferme de nombreux inconvénients : v Le nombre de composants devient vite considérable avec un nombre élevé de faisceaux souhaité (au-delà de 8 faisceaux généralement le système devient vite une architecture très complexe). v Le nombre de croisements croît à une vitesse prodigieuse. celui des faisceaux (pour une matrice alimentant 8 faisceaux, déjà 16 croisements sont nécessaires). CHAPITRE II E TUDE D ANTE NNE S RE FLE CTE UR MULTIFAISCE AUX Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures Chapitre IV II.1 Introduction Le but de ce chapitre est de décrire le dispositif antennaire couramment utilisé dans les applications spatiales multifaisceaux. Une étude sur le réflecteur alimenté par une seule source sera réalisée afin de mettre en évidence l’influence des différents paramètres géométriques sur le comportement électromagnétique de l’aérien. II.2 Réflecteur parabolique en offset alimenté par une seule source Description géométrique La représentation géométrique du focaliseur est donnée par la figure II.1 suivante: Point focal Figure II. 1 : Représentation d un réflecteur parabolique en offset La distance x entre le point focal et un point de la surface du focaliseur, peut être déterminé à partir de la figure II.1. Chapitre IV Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures En coordonnées cartésiennes : x= y2 4⋅ F II. 1 En coordonnées polaires : r (ϕ ) = 2⋅ F 1 + cos(ϕ ) II. 2 Avec F : Distance focale ϕ : Angle de pointage depuis le foyer vers un point du réflecteur y’. r (ϕ ) : Distance entre le foyer et un point du réflecteur y’. La géométrie de ce type d’aérien est définie par trois caractéristiques essentielles : le diamètre D, la distance focale F et l’offset H. En fonction de ces données, il est aisé de déterminer les angles remarquables de la parabole comme l’angle de pointage de la source φ0 ou l’angle d’interception de la parabole (2 ⋅ L ) donné par les formules (II.3) et (II.4). Ces dernières permettent de déterminer les caractéristiques de la source à adopter afin de se placer dans les meilleures conditions d’illumination [18, 19].  2⋅ H + D  ϕ = 2 arctan   4⋅ F  II. 3   H   H + D  2β L = 2 ×  arctan   − arctan     2⋅ F   2⋅ F   II. 4 Influence des paramètres géométriques v Diamètre D Le diamètre D de la parabole est généralement choisi en fonction du gain et de l’angle d’ouverture du faisceau désiré. La parabole peut être assimilable à une surface circulaire rayonnante de diamètre D. Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures Chapitre IV v Rapport F/D Le rapport F/D globalement est voisin de 1. Un rapport trop petit engendre une dissymétrie du rayonnement du réflecteur et un problème d’astigmatisme qui limitent la performance du système. v Rapport H/D Quant au choix de l’offset, il ne dépend que de l’encombrement de la source ou de la batterie de sources afin qu’aucun effet d’ombre ne se produise. Classiquement un rapport compris entre 0.2 et 0.5 est adopté. Gain d antenne réflecteur Si une antenne d’aire S réalisait parfaitement une ouverture équiphase sur laquelle la distribution du champ en amplitude était uniforme, son gain serait donné par : G= 4 ⋅π ⋅ S 2 λ0 II. 5 Cependant, les systèmes réflecteurs sont tributaires du rayonnement de la source primaire et sont donc affectés de pertes qui limitent le gain. G= 4 ⋅π ⋅ S ⋅ k1 ⋅ k 2 λ2 0 II. 6 Avec k1, k2 facteurs de gain qui sont respectivement dépendants de : Pertes par débordement qui correspondent à l’énergie rayonnée par la source primaire qui n’est pas intercepté par le focaliseur. Pertes par apodisation qui correspondent au facteur de gain d’une ouverture dont la loi d’illumination n’est pas uniforme. D’autres phénomènes inévitables qui proviennent d’une conception maladroite du système, diminuent également le gain. On peut citer les pertes ohmiques, les pertes par désadaptation, les pertes liées à l’état de surface du réflecteur (rugosité). Des problèmes issus Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures Chapitre IV de la fabrication ou provenant d’un positionnement erroné de la source limitent également l’efficacité du système. Champ rayonné par un réflecteur Un paraboloïde alimenté à partir de son foyer par une source dont le rayonnement se réfléchit à sa surface, peut être assimilé, du point de vue du rayonnement, à une ouverture circulaire de diamètre D sur laquelle le champ électrique a la même répartition-en amplitude, phase et polarisation que sur l’ouverture de diamètre D du paraboloïde (figure II.2). Le modèle analytique d’une ouverture rayonnante circulaire est donné [10] : Figure II. 2 : Représentation d un paraboloïde à ouverture rayonnante circulaire Le champ rayonné par une ouverture rayonnante circulaire est donnée par l’expression analytique suivante [9, 10, 20]: E( p) = 4 1 + e0  J1 ( p ) J 2 ( p ) e e ( ) + − 2 1 0 0   p p2   II. 7 Avec • e0 représente le niveau de champ sur le bord de l’ouverture rayonnante. Pour avoir un compromis intéressant entre le niveau des lobes secondaires et la largeur de lobe principale, nous avons choisi un niveau de champ égal à -3dB sur le bord d’ouverture [9]. Chapitre IV Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures • p est une variables secondaire donné par : p= πD sin θ λ II. 8 Les angles du repère sphérique sont définis dans un repère cartésien de la manière suivante : Figure II. 3: Définition du repère sphérique r Le vecteur direction d’observation u est défini par les angles (θ , φ ) , a pour composantes en coordonnées cartésiennes : u = sin θ cos φ  v = sin θ sin φ II. 9 (u, v) : les cosinus directeurs. Après un simple calcul la variable secondaire peut s’écrire: p= πD u 2 + v2 λ II. 10 Donc la relation II.7 peut être exprimée en fonction des cosinus directeurs par:  π D u 2 + v2  J1  4  λ  E (u, v ) = e0 πD 1 + e0  u 2 + v2  λ     π D  J2 u 2 + v2   λ  + 2(1 − e0 ) 2 π D   u 2 + v2     λ   II. 11 Un diagramme élémentaire quelconque doit être représenté par une relation comportant des translation sur u,v : Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures Chapitre IV E (u, v ) = 4 1 + e0  J 1 (η n ) J (η )  + 2(1 − e0 ) 2 2n  e0 ηn η n   II. 12 Avec ηn = πD λ (u − u n ) 2 + (v − vn ) 2 II. 13 Avec les (u n , v n ) donne la position des faisceaux élémentaires associé à chaque source. v Largeur à mi-puissance La largeur à mi-puissance du lobe principal est donnée par la formule approximative [9,10] : 2θ −3dB λ = 60.91  D ° II. 14 Si on fixe une largeur à mi-puissance égale à 1.5°, ce qui correspond à une antenne d’ouverture : D = 40λ II. 15 Par exemple, pour une antenne qui fonctionne à 15 GHz ,la relation II.15 va nous donnés un diamètre D= 80 cm. La figure II.4 et II.5 représente respectivement le diagramme de rayonnement d’un faisceaux élémentaire en cordonnés sphériques et cartésiennes : 0 -5 -10 Gain en dB -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50 -10 -8 -6 -4 -2 0 θ° 2 4 6 8 10 Figure II. 4: Diagramme de rayonnement du faisceau élémentaire en coordonnées sphériques en (θ , φ ) avec φ = 0 Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures Chapitre IV 0 -5 -10 Gain en dB -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 u Figure II. 5 : Diagramme de rayonnement du faisceau élémentaire en coordonnées cartésiennes en (u,v)avec v=0 (en dB) La figure II.6 représente e diagramme de rayonnement dans tout l’espace. 0 Gain en dB -10 -20 -30 -40 -50 -60 0.2 0.1 0.2 0.1 0 0 -0.1 v -0.1 -0.2 -0.2 u Figure II. 6: Représentation tridimensionnelle de diagramme de rayonnement du faisceau élémentaire Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures Chapitre IV Etude zdddzzz comparative de diagrammes des faisceaux élémentaires Afin de tester la fiabilité du modèle analytique choisi, nous avons comparé le modèle analytique avec le modèle réel d’un réflecteur paraboloïde avec différentes types de sources figure II.7. 1 0.8 Gain 0.6 0.4 0.2 0 -10 -8 -6 -4 -2 0 θ° (a) (b) 2 4 6 8 10 Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures Chapitre IV (c) Figure II. 7 : Diagramme de rayonnement de réflecteur paraboloïde (a) : Modèle utilisé (b) : Cas d une source de type guide d onde [20] (c) : Cas d une source de type cornet pyramidale [20] On y voit clairement que l’allure de lobe principale de digramme de rayonnement du modèle utilisé est similaire à celle trouvée par ORFANIDIS [20] avec une légère différence dans les lobes secondaires. II.3 Réflecteur parabolique en offset alimenté par un dsfréseau de sources I.1.2 Introduction Dans le cas d’une couverture multispots fixes de la terre par une antenne spatiale, plusieurs faisceaux peuvent être générés en disposant dans le plan focal du réflecteur autant de sources que de spots désirés [21,22,23]. Caractéristiques des faisceaux Il est possible d’obtenir un rayonnement par faisceaux multiples du focaliseur par le biais d’un groupe de sources primaires disposés dans le plan focal du réflecteur. A chacun de Chapitre IV Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures ces éléments correspond un faisceau fin rayonné dont la direction dépend de la position de la source considérée par rapport au point focal comme le montre la Figure II.8. Direction des faisceaux Plan focal Figure II. 8 : Faisceaux multiples engendrés par le réflecteur Les directions de pointage des faisceaux sont multiples d’une grandeur angulaire θ f Avec une batterie de 2n+1 sources, les angles de pointage des faisceaux sont compris entre − n × θ f et n × θ f en considérant que le faisceau engendré par la source focale pointe à 0°. L’écart entre deux faisceaux est tributaire de θ b , il représente la différence d’angle de pointage de deux sources adjacentes vers le centre du focaliseur. Cette notion est exprimée par le facteur de déviation des faisceaux (BDF). Ce terme dépend de la géométrie du focaliseur est donné par la formule (II.16) pour une distance entre sources petite (ce qui est le cas dans une application de couverture terrestre) [24, 25]. 2   D     1 + .36 ×   4 F   θ b  = BDF = θf   D 2    1 +  4 F     Avec II. 16 Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures Chapitre IV F : Distance focale du réflecteur. D : Diamètre du réflecteur. Le facteur de déviation des faisceaux approximé par la formule (II.16) est représenté par : 1 0.9 BDF 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0 0.5 1 1.5 F/D Figure II. 9 : Facteur de déviation des faisceaux La plupart des réflecteurs présentent un rapport F/D compris entre 0.75 et 1.5, il est donc possible de considérer que le BDF équivaut à 1. Par conséquent, l’écart angulaire entre les faisceaux émergents θ f est égale à θ b . Dans ce cas, l’expression de θ f est donnée par la formule suivante:  d   θ b = θ f = arctan R ϕ ( ) 0   II. 17 Avec R(ϕ 0 ) : distance entre le point focal et le centre de la parabole (Figure II.1). d : distance entre deux sources contiguës. D’après (II.3), la formule (II.17) devient :  d × (1 + cos(ϕ 0 ))  θ b = θ f = arctan  2F   II. 18 Pour une géométrie de focaliseur donnée, la distance d entre les sources est un critère majeur pour fixer l’écart angulaire entre les faisceaux. Chapitre IV Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures Disposition des faisceaux Le principe de base d’une antenne à faisceaux multiples repose sur l’échantillonnage du champ de vue de l’antenne à l’aide d’un ensemble de faisceaux élémentaire. Suivant la forme des zones géographiques à couvrir, il convient de déterminer la disposition optimale des faisceaux élémentaires « échantillons ». Il existe principalement deux types d’échantillonnage [26, 27, 28] : II.3.1.1 Echantillonnage type carré En premier lieu, c’est cette configuration qui a été adoptée par les chercheurs, car l’échantillonnage carré est simple à réaliser ; mais cette configuration n’est pas optimale car trop d’énergie est dispersée en bord de la couverture (figure II.10). Limite de la zone de couverture D1 v Faisceau élémentaire u Energie dissipée hors la couverture Figure II. 10 : Echantillonnage en carré du disque terrestre II.3.1.2 Echantillonnage type hexagonal : Comme l’échantillonnage carré n’est pas optimale, Mayan [27] a proposé un nouveau type d’échantillonnage qui va permettre de limiter les pertes d’énergie, c’est l’échantillonnage hexagonale figure II.11. Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures Chapitre IV Limite de la zone de couverture D1 v Faisceau élémentaire u Figure II. 11 : Echantillonnage en hexagonal du disque terrestre Zones de couverture Dans l’exemple donné sur la Figure II.12, l’antenne multifaisceaux est alimentée par une batterie passive de sept cornets qui est répartie par exemple sur une grille hexagonale de maille d au niveau du plan focal. Faisceaux engendrés par le focaliseur Niveau de recoupement des faisceaux Diamètre du focaliseur Source -R dB Plan focal Offset Distance focale d Répartition des sources élémentaires dans le plan Figure II. 12 : Antenne multifaisceaux alimentée par une batterie de sept cornets Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures Chapitre IV Cette répartition des sources placées sur le réseau focal du focaliseur permet de générer sept faisceaux qui se recoupent dans le plan YoZ à -R dB du gain maximum. La largeur angulaire d’un faisceau est définie à partir du diagramme de rayonnement du réflecteur à l’endroit où ils se recoupent dans le plan YoZ. Ces faisceaux réalisent une couverture multitâche sur la terre, comme le montre la figure suivant(figure II.13): Gain minimum sur l’empreinte Niveau de recoupement des faisceaux –R dB de Gmax Zone d’ombre Gmax sur l’empreinte Figure II. 13 : Empreintes au sol générées par les faisceaux issus du réflecteur La distance entre les faisceaux Le diagramme de rayonnement d’une antenne spatiale est typiquement caractérisé par un lobe principal qui concentre la plupart de la puissance rayonnée dans une direction définie. Ce lobe principal est classiquement appelé faisceau et son intersection avec la terre constitue un spot (figure II.14). Faisceaux engendrés par le focaliseur Niveau de recoupement des faisceaux - R dB Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures Chapitre IV Figure II. 14 : représentation du niveau de recoupement Afin de garantir une ondulation faible du diagramme de rayonnement sur la zone à couvrir, la distance angulaire entre deux points voisins où le champ est évalué doit être inférieur à λ / D . En pratique, un pas de maillage de λ / 2 D est souvent adopté. Par la suite, nous avons choisi un pas de 0.015 radian (0.85°). Le point de recoupement optimum entre faisceaux se fait environ à -4 dB. φ v Recoupement des faisceaux a -4 dB u θ 1.7° 0.03 (a) (b) Figure II. 15 : Représentation des ouvertures des faisceaux élémentaires (a) plan sphérique en (θ , φ ) (b) plan cartésiennes en (u, v) Ce point de recoupement va nous donner une autre caractéristique importante, il s’agit du découplage (orthogonalité) entre les faisceaux élémentaires figure II.16. 0 -4 -5 -10 Gain en dB -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 θ° Figure II. 16 : Diagramme de rayonnements des faisceaux élémentaires orthogonaux en coordonnées sphériques en (θ ,φ ) avec φ = 0 en dB Chapitre IV Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures II.4 Amélioration du dispositif L’homogénéité du gain sur la couverture terrestre qui est déduite du niveau de recoupement entre les spots est un critère primordial. Pour cela, il est indispensable que l’écart angulaire entre les faisceaux f engendrés par le focaliseur soit petit de façon à ce que le niveau de recoupement R entre les spots S soit élevé (classiquement de l’ordre de -4 dB). Pour se placer dans ces conditions, l’espacement d entre les centres de phase des sources devra être de petite dimension impliquant un encombrement limité de ces dernières. En effet, l’utilisation de sources de grande ouverture éloignant les centres de phases des différents éléments augmente le décalage entre les faisceaux au détriment d’un bon niveau de recouvrement. Pour pallier à ces problèmes, des dispositifs plus complexes et plus volumineux ont été développés. Nous allons décrire deux procédés différents permettant d’obtenir une couverture répondant aux exigences spatiales. Le premier est conçu à partir d’une multitude de réflecteurs, chacun alimenté par un réseau focal. Ce dispositif est caractérisé par un encombrement et un poids excessif. Le deuxième requiert un simple réflecteur mais nécessite en amont des dispositifs de répartition complexes et coûteux, c’est cette deuxième approche que nous avons adoptée dans la suite de notre étude. I.1.3 Système à multiples focaliseurs Ce concept emploie plusieurs réflecteurs paraboliques en offset où deux spots adjacents de la couverture terrestre sont générés par deux réflecteurs différents. Les faisceaux engendrés par un même réflecteur ont donc un écart angulaire plus important. Chaque réseau comportera des sources de plus grandes dimensions et implicitement plus directives. Malgré ces nombreux avantages, ce système à multiples réflecteurs est pénalisé par son encombrement excessif. I.1.4 Système multifaisceaux à bouquets de source Dans les dispositifs décrits précédemment, chaque faisceau était généré à partir d’une seule source. Il a été vu que pour obtenir une couverture homogène caractérisée par une variation minime du gain, il était primordial d’utiliser des sources peu espacées. Cependant, Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures Chapitre IV cette configuration conduisait à des pertes par débordement au niveau du focaliseur du fait du rayonnement large des petites sources utilisées. La solution qui été proposée par les chercheurs est de générer un faisceau à partir d’un bouquet de sources du réseau focal par l’intermédiaire de dispositifs répartiteurs en amont de l’antenne[26,28]. L’utilisation de plusieurs sources élémentaires en réseau permet de générer un rayonnement plus directif et donc limiter les pertes par débordement. Cependant, les éléments centraux de deux bouquets de sources engendrant deux faisceaux adjacents correspondent à deux sources élémentaires adjacentes. En effet, la distance séparant deux sources élémentaires adjacentes est choisie suffisamment petite de façon à obtenir des faisceaux rapprochés et ainsi limiter les pertes par recoupement. Les bouquets ont donc des sources en commun et chaque source élémentaire participe à plusieurs bouquets (et donc implicitement à la génération de plusieurs faisceaux). II.4.1.1 Exemple de génération de faisceau Le concept " un faisceau généré par un bouquet de sources " est comparé au concept basique " un faisceau généré par une source ". Dans notre exemple illustré sur la figure II.17, les deux systèmes permettent de générer trois faisceaux. Le premier dispositif nécessite 3 sources alors que le second en requiert 13. Le tableau II.2 permet de répertorier les sources utilisées pour chacun des faisceaux émis. 1 2 3 3 6 7 13 10 Faisceau A Faisceau B (a) 12 9 5 4 11 8 2 1 Faisceau C (b) Figure II. 17 : Illustration des sources utilisées dans la génération de trois faisceaux pour les 2 dispositifs (a) (a): Un faisceau généré par une source Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures Chapitre IV (b): Un faisceau généré par un réseau de sources Sources utilisées Faisceaux générés Systèmes « un faisceau généré par une source» Systèmes « un faisceau généré par un réseau de sources » Faisceau A 1 réseau A : 1,2,3,4,5,6,7 Faisceau B 2 réseau B : 2,4,5,7,8,9,10 Faisceau C 3 réseau C : 5,8,9,10,11,12,13 Tableau II. 1 : Sources utilisées suivant les faisceaux générés Diagramme de rayonnement d un réseau d antennes à sfqfsréflecteur Dans le cas un faisceau généré par un réseau de sources, le diagramme formé sur une couverture est donnée par la superposition des diagrammes élémentaires qui appartiennent à chacune des couvertures (figure II.18). Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures Chapitre IV Réflecteur Réseau de sources Faisceau élémentaire Figure II. 18 : Couverture générée par un réseau d antennes Nous pouvons exprimer le champ rayonné par l’antenne du faisceau k vers une région déterminé par la somme des diagrammes secondaire associe à chacune des sources prises indépendamment, cette sommation est pondérée par les coefficients d’excitation des sources : Nl Fk (u, v ) = ∑ Cnk f n (u, v ) n=1 II. 19 Où u,v sont les consinus directeurs. u = sin (θ ) cos(φ ) v = sin (θ ) sin (φ ) Cnk : Coefficients d’excitation des sources. f n (u , v ) :Faisceaux élémentaires associes à chaque source, c’est dire le diagramme secondaire obtenu lorsque la source n seule est excités . Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures Chapitre IV II.5 Indépendance des couvertures Plus la région à couvrir est importante en surface plus le diagramme d’antenne sera étalé dans l’espace donc de directivité faible. Le développement de la télécommunication spatiale consiste à augmenter le gain sur la couverture en divisant la zone à couvrir en plusieurs zones de surfaces faibles mais avec des diagrammes directifs (Figure II.19). Antenne satellite rayonnant 7 faisceaux étroits Antenne satellite rayonnant un large faisceau Figure II. 19: Représentation d une antenne à larges faisceaux et à des faisceaux étroits Cette division de couverture va entraîner des empreintes disjointes, à recouvrement total ou à recouvrement partiel. Il est nécessaire donc de remplir la condition d’orthogonalité entre les faisceaux, afin de satisfaire un bon découplage entre les signaux véhiculés par chaque faisceau. Formulation de la condition d orthogonalité Les deux diagrammes de rayonnement représentés par les fonctions caractéristique Fl (u , v ) et Fk (u, v ) sont indépendants, si et seulement si ces fonctions sont orthogonales sur leur domaine de définition, ce qui s’exprime par [29, 30, 31, 32]: ∫∫ F (u, v ) ⋅F (u, v ) = 0 l Ω * k II. 20 Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures Chapitre IV Avec u, v : Consinus directeurs. Ω ≡ (u, v ) : Le domaine de définition. Les diagrammes sont à la même fréquence. La relation II.20 ne sera jamais vérifiée exactement, elle sera simplement approchée: ∫∫ F (u, v) ⋅F (u, v ) = ε l * k II. 21 Ω Un premier exemple de diagrammes indépendants peut être donné avec deux diagrammes à la même fréquence, dont les lobes principaux ne se recoupent pas. Plus le niveau de lobes secondaires est faibles plus ε est faible. Supposons deux couvertures à recouvrement partiel décrit par la figure II.20 : Limite de la zone de couverture Dk v Limite de la zone de couverture Dl u Faisceau élémentaire commun Figure II. 20 : Représentation de deux couvertures en recouvrement partiel On peut écrire l’équation II.19 pour les couvertures l et k de la figure II.20 en séparant les coefficients d’excitation des sources communs aux deux régions. Pour la région l nous avons : N lk ~ Fl (u, v ) = ∑ C ⋅ f n (u , v ) + n =1 l n Nl ∑C n = N lk +1 l n ⋅ f n (u, v ) II. 22 Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures Chapitre IV Pour la région k nous avons : N lk Nk ~ Fk (u, v ) = ∑ C ⋅ f p (u, v ) + k n p =1 ∑C p = N lk +1 k p ⋅ f p (u, v ) II. 23 Nous avons noté : ~ C l n , ~ C nk les coefficients des N lk sources communes aux deux couvertures. On multipliant l’équation II.22 par le conjugué de l’équation II.23 et en faisont une intégration sur le domaine de définition nous obtenons : N lk N lK ~ l ~ k * ∫∫ F F dΩ = ∑∑ C l * k Ω n Cp n =1 p =1 Nl ∑ ∫f n Ω l ~ k* N lK N lk ∑Cn C p n = N lk +1 p =1 ∫ f dΩ + ∑ * p f n f dΩ + * p Ω NK ~ l ∑C n k* Cp n =1 p = N lk +1 Nl ∑ Nk ∫f f p*dΩ + Ω l k* ∑C n C p n = N lk +1 p = N lK +1 n ∫ f n f p*dΩ II. 24 Ω Chaque terme de l’équation II.24 est composé d’une série d’intégrales qui représente les produits hermétiques de diagramme élémentaires, ces intégrales exprimant « le couplage » entre deux diagrammes élémentaires. Le recouvrement partiel de couverture génère trois régions distinctes dont une commune. Chaque région à un effet de couplage sur l’autre. Le premier terme représente le couplage des diagrammes rayonnant sur la zone commune (voire la zones grise dans la figure II.20). Les trois autres termes représentent le couplage des diagrammes d’une zone avec l’autre. On peut dire que l’effet de couplage entre ces zones est très faible car elles mettent en jeu des diagrammes disjoints. L’équation II.24 peut se simplifiée à: N lk N lK ~ l ~ k * ∫∫ F F dΩ = ∑∑ C l * k Ω n Cp n =1 p =1 ∫f n f p* dΩ II. 25 Ω Si les faisceaux élémentaires rayonnés par l ‘antenne sont orthogonaux sur le domaine d’intégration; ce qui est le cas dans notre étude (voir II.3.5) l’expression II.25 devient: N lk ~ l ~ k * ∫∫ F F dΩ = G(u, v )∑ C l Ω Avec * k n =1 n Cn II. 26 Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures Chapitre IV G (u, v ) = ∫ f n dΩ 2 II. 27 Ω Finalement, si en développe l’équation II.21en utilisant l’expression de l’équation II.27 on obtient : N lk ~ l ~ k * G (u , v )∑ C n C n = ε II. 28 n =1 Pour la formation de couvertures multiples orthogonales sans perte, on voit qu’il est nécessaire d’avoir : (a) Des faisceaux élémentaires orthogonaux. N lk ~ l (b) la condition d’orthogonalité des coefficients d’excitation ∑C n =1 n ~ k* Cn =ε . II. 6 Conclusion Ce chapitre a fait l’objet de généralités sur les antennes multifaisceaux. Ce type d’antenne représente une nouvelle génération qui a accaparé un large usage dans le domaine de télécommunications spatiales. Nous intéressons dans les chapitres suivants à la synthèse de ces réseaux par action sur les paramètres électriques des sources, permettant d’obtenir un diagramme de rayonnement désiré exigé à l’avance par l’utilisateur tout en satisfaisant la contrainte d’orthogonalité dans le cas de couvertures à recouvrement total ou partiel. Chapitre IV Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures CHAPITRE III SYNTHE SE DE RE SE AU D ANTE NNE S À RE F LE CTE UR MONO_COUVE RTURE Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures Chapitre IV III.2 Introduction La dernière décennie a vu le développement de plusieurs méthodes pour l’optimisation du réseau d’antennes. Dans ce chapitre, nous allons présenter et détailler la méthode variationnelle qui sera appliquée à la synthèse des réseaux d’antennes à faisceaux unique et multiples. Cette méthode permet de déterminer la loi d’alimentation des éléments de l’antenne à partir de la définition des limites, en module, du diagramme de rayonnement souhaité. III.3 Problème de synthèse Considérons un réseau à N sources rayonnantes identiques de diagramme élémentaire f(u,v). Chacune d’elles est alimentée par une excitation complexe C k . Son diagramme de rayonnement sur une couverture k est donné par la formule II.19. Dans le cas des problèmes directes de rayonnement, la connaissance a priori de la loi d’alimentation est suffisante pour déterminer le diagramme de rayonnement Fk(u,v) . Notre problème est posé différemment, le départ n’est plus la loi d’excitation, mais le diagramme de rayonnement spécifié par le gabarit. La loi d’alimentation du réseau est pour nous l’inconnu à retrouver, nous avons donc un problème inverse, on peut le partager en deux classes : Problème inverse bien posé: est un problème direct inversible qui admet une solution exacte. Problème inverse mal posé: est un problème qui admet plusieurs solutions approchées, si toute fois elles existent. Etant donné qu’on part d’un espace réel (module du diagramme de rayonnement) et que le point d’arrivée est un espace complexe (loi d’alimentation en amplitude et phase), nous nous situons ici dans la seconde classe de problème, celle des mal posés, ceci implique qu’on aura à chercher la solution la plus proche, dite solution optimale [33]. Les méthodes de synthèse ont pour but de minimiser l’écart entre le gabarit fixé par l’utilisateur et le gabarit synthétisé, donc on peut définir le problème d’optimisation par : Une fonctionnelle J à minimiser. Les contraintes qui définissent l’ensemble des solutions du problème d’optimisation. Chapitre IV Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures III.4 Méthode de synthèse basée sur un critère variationnel Principe Cette méthode choisie basée sur les travaux de SEMENOV concernant la synthèse d’ouvertures continues, a été appliquée à la synthèse de diagrammes par VOYTOVICH et MANGENOT [33]. Le principe de cette méthode consiste à créer une variation des coefficients d’excitation des sources, cette variation agit sur le diagramme de rayonnement et donc sur le critère de minimisation. Un développement analytique nous a permet de déterminer la condition pour qu’une variation des coefficients n’entraîne pas de variation du critère. Cette condition prend la forme de N1 équations non linéaires à N1 inconnues qui doivent être résolues par itérations successifs. Définition du gabarit Lorsqu’on optimise un problème, on veut que la fonction obtenue s’approche le plus possible du résultat désiré. Ce dernier peut être défini soit à partir d’une fonction que l’on devra approcher, soit d’un gabarit qui devra contenir le résultat. Nous avons retenu cette dernière suggestion car il est beaucoup plus facile de définir un gabarit pour un diagramme de rayonnement qu’une fonction. De plus ceci offre plus de degrés de liberté aux solutions. L’avantage du gabarit est qu’il permet d’obtenir une solution plus facilement réalisable en imposant des intervalles plutôt que des valeurs. Le gabarit peut être défini dans tout l’espace ou dans une partie de l’espace selon les deux plan principaux E (v=0) ou H (u=0)[33]. III.4.1.1 Spécification du gabarit Le gabarit est doté de deux niveaux bas et haut qui devront piéger les caractéristiques de rayonnement du réseau. Il est représenté par la figure III.1. Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures Chapitre IV u v v LargGMv Zone u Utile D1 LargGMu Domaine d’étude Figure III. 1: Représentation des gabarits pour la région D1 Toutes les grandeurs servant à définir le gabarit de puissance sont résumées à partir d’un plan. Dans la figure III.2, le gabarit est tracé en décibel. La définition des niveaux des gabarits exprimés en décibel est donnée par : GM Fonctions définissant le gabarit maximum pour la région D1, caractérisée par : o LargGmax o Le gain maximum du lobe principal Gsp=0 dB. o Le gain maximum des lobes secondaires Gss. Gm Fonctions définissant le gabarit minimum pour la région D1, caractérisée par : o LargGmin o Le gain minimum du lobe principal Gip. o Le gain minimum des lobes secondaires Gis. Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures Chapitre IV Gsp GM Gip Gm Gss Gis LargGmin LargGmax Figure III. 2 : Niveaux des gains du gabarit Critère d erreur Le critère d’erreur peut être définie comme la somme [34,35] : v de l’aire du diagramme de rayonnement dans les lobes secondaires (notés LS). Plus cette aire sera petite, plus l’énergie dissipée dans les lobes secondaires sera petite. v de l’aire de la valeur absolue de la différence entre le diagramme de rayonnement et la forme de lobe voulue dans le lobe principal (notés LP).Cette aire sera d’autant plus petite que le diagramme sera proche de la forme voulue du lobe principal. Avec cette formulation, le critère peut s’écrire : J= ∫ L(GM , Gm , f , p ) ⋅ du ⋅ dv + LP ∫ F1 (u , v ) ⋅ du ⋅ dv 2 III. 1 LS Avec L(G M , G m , f , p ) :est la fonction mesurant l’écart entre le diagramme calculé et le gabarit, définie sur D1 par : Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures Chapitre IV L(GM , Gm , f , p ) = K (u, v ) + K (u, v ) ⋅ p(u, v) 2 III. 2 v K (u, v ) = (G M (u, v ) − F (u, v ) )⋅ (Gm (u, v ) − F1 (u , v ) ) v G M , G m : est le gabarit maximum et minimum. v F1 (u , v ) est le diagramme rayonné par le réseau, l’expression est déjà donné par la relation (II.19). p(u, v) est la fonction de pondération éventuelle, dans notre cas cette fonction v est égale à 1 car le réseau est sur une surface plane. Synthèse par la méthode variationnelle Le développement analytique qui permet de déterminer la condition de stationnarité du critère se fait à partir de l’expression des variations des coefficients d’excitations des éléments rayonnantes, cette variation agit sur le critère de minimisation [34].On développe l’expression de (δ J ) , à partir de celle de (J). Si nous donnons une perturbation δ F1 à la fonction F1 nous avons : J + δ J = ∫∫ (K + δ K ) + K + δ D1 2 K ⋅ p1 dudv + ∫∫ F1 + δ F1 dudv 2 III. 3 D2 Avec K + δ K = (G M − F1 + δ F1 ) ⋅ (Gm − F1 + δ F1 ) III. 4 K + δ K = GM Gm − GM F1 + δ F1 − Gm F1 + δ F1 + F1 + δ F1 2 III. 5 Sachant que : ( ) F1 + δ F1 = (F1 + δ F1 ) ⋅ (F1 + δ F1 ) = F12 + 2 Re F1 ⋅ δ F1* + δ F1 2 * 2 III. 6 On peut dire que le carrée de la variation de F1 est négligeable et on peut mettre l’équation III.6 comme suit: Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures Chapitre IV ( 2 F1 + δ F1 ≈ F12 + 2 Re F1 ⋅ δ F1* ) III. 7 On peut mètre III.7 sous la forme III.8 : F1 + δ F1 ≈ F1 + ( 1 Re F1 ⋅ δ F1* F1 ) III. 8 L’équation III.5 s’écrit sous la forme : K + δ K ≈ (GM − F1 ) ⋅ (Gm − F1 ) − K + δ K ≈ (GM − F1 ) ⋅ (Gm − F1 ) 1 − ( ) 1 Re F1 ⋅ δ F1* (GM + Gm − 2 F1 ) F1 GM + Gm − 2 F1 1 Re F1 ⋅ δ F1* (GM − F1 )⋅ (Gm − F1 ) F1 ( ) III. 9 III. 10 Pour simplifier cette équation on sépare les termes tels que : A = (G M − F1 ) ⋅ (Gm − F1 ) B= ( 1 Re F1 ⋅ δ F1* F1 III. 11 ) III. 12 D = GM + Gm − 2 F1 III. 13 On obtient ainsi le carré de l’équation III.10 comme suit : K +δ K 2 D = A − B ⋅ D = A 1− B ⋅ A 2 2 2 III. 14 2  D Comme B entraîne une petite variation alors  B ⋅  à une valeur très faible qu’on peut A  négliger : K +δ K = D A 1− B ⋅ A 2 K +δ K = D A 1− B ⋅ A 2 2 2 III. 15 Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures Chapitre IV Après développement, on déduit :  B⋅D  K + δ K = A ⋅ 1 −  A   III. 16 On pose : σ= A A (GM − F1 )⋅ (Gm − F1 ) (GM − F1 )⋅ (Gm − F1 ) = III. 17 On obtient donc : (K + δ K ) + K + δ K = (GM − F1 )⋅ (Gm − F1 ) + (GM − F1 )⋅ (Gm − F1 ) − (1 − σ ) ( ) 1 Re F1 ⋅ F1* (GM + Gm − 2 F1 ) F1 III. 18 On exprime ainsi la variation de la fonctionnelle par : [ J + δ J = ∫∫ (G M − F1 ) ⋅ (Gm − F1 ) + (GM − F1 ) ⋅ (Gm − F1 ) D1 + ∫∫ F1 dudv − ∫∫ 2 D2 ( D1 + ∫∫ 2 Re F1 ⋅ δF1 * ) ( ) ] 2p dudv 1 p * Re F1 ⋅ δF1 (GM + Gm − 2 F1 ) (1 + σ ) dudv 2 F1 III. 19 D2 Après développement et identification terme à terme avec la fonction d’erreur initiale, on aboutit à l’expression suivante :    G + G m  p  δ J = 2 Re− ∫∫ F1δ F1*  M − 1(1 + σ ) + 1 dudv + ∫∫ F1δ F1* dudv   2   D1   2 F1 D1 + D2  III. 20 L’expression du diagramme de rayonnement pour un réseau d’antennes à réflecteur est déjà donnée par l’équation II.19. Les perturbations δ F1 sont obtenues à partir des variations δ Cn1 , on peut écrire : N1 δ F1 (u, v ) = ∑ δ C n1 f n (u, v ) n =1 III. 21 Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures Chapitre IV En introduisant la relation III.21 dans l’équation III.20, on obtient finalement :  N1  δ J = 2 R ∑ δ Cn1Φ1   n =1  III. 22 Avec :  G + Gm   p Φ1 = ∫∫ F1 f n* dudv − ∫∫ F1 f n*   M − 1[1 + σ ] 1 + 1 dudv 2   2 F1   D1 D1 + D2 III. 23 Stationnarité de J Deux méthodes sont possibles pour rendre J minimum : Soit nous cherchons directement à faire décroître J en remarquant que la fonctionnelle est toujours à valeurs positives ;pour la faire décroître, il suffit de calculer numériquement les variations de coefficients telles que δ J < 0 . Soit nous exprimons la stationnarité de J par l ‘équation δ J = 0 ; Lorsque δ J = 0 quelles que soient les variations des coefficients, c’est-à-dire ∀C n il faut que Φ1 = 0 , nous aboutissons alors à un système d’équations non linéaires que nous résolvons numériquement suivant un processus itératif. Nous avons adapté la deuxième méthode pour sa simplicité, ce qui permet d’écrire l’équation III.22:   GM + Gm  p1  * * [ ] σ = − 1 1 F f dudv F f − + 1 dudv    1 1 n n ∫∫ ∫∫ F 2 2 1 D1 D1 + D2     III. 24 ∀n = 1,2,L , N1 Ainsi III.24 peut se mettre matricielle : N1 ∑ Cm1 m=1   G M + Gm  p1  * * [ ] σ = − 1 1 f f dudv F f − + 1 dudv  m n 1 n  ∫∫ ∫∫ F 2 2   1 D1 D1 + D2     ∀n = 1,2,L , N1 III. 25 On obtient ainsi un système de N1 équations non linéaires que l’on peut écrire sous la forme matricielle : Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures Chapitre IV N1 ∑C m =1 I 1 m m ,n = bn , ∀n = 1..N1 III. 26 Où : I m ,n est le membre d’une matrice complexe. bn est le nième élément d’un vecteur complexe. Algorithme de calcul Les coefficients d’excitations recherchés sont solutions du système d’équations non linéaires III.26. Pour résoudre ce système, nous avons utilisé un processus itératif déjà utilisé [36, 37], selon les étapes suivantes : nous fixons le nombre maximum d’itération. nous calculons la matrice de terme constant I. partant d’un jeu initial de coefficients C1, nous calculons F1 et la matrice bn. nous résolvons alors le système III.26 ce qui nous donne un nouveau jeu de coefficients C1. Le contrôle de convergence se fait en évaluant à chaque itération, le critère d’écart J. L’organigramme est représenté par la figure III.3. Chapitre IV Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures Début Loi initiale C1 « Coefficients aléatoires » N : nombre d itération maximum k=0 Calcul de (F1 )k Calcul de (bn )k Calcul des (C1 )k +1 Critère erreur Oui Non k=k+1 Oui Critère d arrêt k<N Non Solution C1 Fin Figure III. 3: Organigramme de résolution numérique Synthèse de réseau d’antennes à réflecteur double_couvertures Chapitre IV Description du programme Le programme réalisé, écrit sous Matlab, évalue les coefficients d’excitation d’une antenne réseau à réflecteur et s’insère dans une chaîne de traitement. En entrée, il nécessite les données suivantes : v fichier contenant le diagramme de rayonnement d’un faisceau élémentaire (II.2.4). v fichier contenant : le nombre de faisceaux élémentaires. la distance entre faisceaux. la disposition des faisceaux élémentaires. la loi d’excitation initiale désirée. la spécification du module du gabarit GM et Gm sur un domaine de définition dans le plan (u,v). En sortie v fichier contenant la liste des coefficients d’excitation optimisés en amplitude et phase. v fichier contenant : représentation tridimensionnelle du diagramme de rayonnement du réseau d’antennes. des coupes du diagramme de rayonnement dans le plan u et v. les tracés des courbes iso-niveaux. III.5 Résultats de simulation Dans le parag