UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA, DEPARTAMENTO DE QUÍMICA.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE QUÍMICA
TÉCNICAS Y MEDIDAS BÁSICAS EN EL LABORATORIO DE
QUÍMICA
CARLOS ALEXANDER TRUJILLO
Dr. Sc. Químico, Profesor del Departamento de Química,
Universidad Nacional de Colombia
JOSÉ EDILBERTO SÁNCHEZ ROJAS
Dr. Sc. Químico, Profesor Pensionado, del Departamento de
Química,
Universidad Nacional de Colombia
Bogotá, 2006
TÉCNICAS Y MEDIDAS BÁSICAS EN EL LABORATORIO DE QUÍMICA
31
32
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA, DEPARTAMENTO DE QUÍMICA.
12. MEDIDAS
Aún con todos los avances realizados en el
modelamiento molecular y la Química teórica,
la química sigue siendo una ciencia con fuerte
base experimental. La gran mayoría de las
publicaciones realizadas en química están
basadas en hechos experimentales. En
química se recolectan y evalúan datos, que
con frecuencia son la base para tomar
decisiones de vital importancia para la
comunidad, como por ejemplo: la salud de las
personas, la protección del medio ambiente, la
circulación en el mercado de un producto o un
servicio confiable y seguro para el usuario, etc.
Medir es comparar. Para conocer nuestro
universo comparamos y analizamos sus
propiedades, y para poder comunicar los
resultados de nuestras comparaciones y
análisis debemos asegurar que nuestras
medidas sean realizadas de forma tal que para
los demás indiquen lo mismo que para
nosotros.
La medición es el proceso de cuantificar
i
nuestra experiencia del mundo exterior ;
cuando se mide se asocian números a
cantidades y fenómenos, así, es conveniente y
necesario conocer algunos conceptos básicos
sobre la calidad y validez de las medidas.
En general cualquier medición implica:
a) Un objeto al cual se le mide una
propiedad.
b) Un patrón de comparación, como el
kilogramo, el metro, el segundo, etc.
c) Un sistema de unidades, por ejemplo el
Sistema Internacional SI.
d) Un instrumento de medida calibrado de
acuerdo con el patrón, por ej. balanza,
probeta, barómetro, etc.
UNIDADES DE MEDIDA
El proceso de medida se realiza cuando se
hace una comparación entre la propiedad que
se desea cuantificar y un patrón de la misma
clase.
El resultado de una medida produce un
número que acompañado de una unidad indica
la magnitud del valor medido, ej. La longitud de
una varilla es de 3,5 m . La unidad identifica la
propiedad medida (en este caso la longitud) y
el número indica cuantas veces está contenido
el patrón de referencia (el metro) en la longitud
de la varilla.
Los patrones de referencia han sido
establecidos en convenios internacionales. En
1960, la XI Conferencia General de Pesas y
Medidas de París, la autoridad máxima en
metrología,
fijó
las
siete
unidades
fundamentales del sistema internacional de
ii
medidas (SI) , que hoy es aceptado por la
mayor parte de los científicos del mundo.
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
(SI)
Las
unidades
fundamentales
del
SI
corresponden a las propiedades: longitud,
masa, tiempo, temperatura, cantidad de
sustancia, intensidad de corriente eléctrica e
intensidad luminosa, siendo sus nombres y
símbolos
respectivamente:
metro
(m),
kilogramo (kg), segundo (s), kelvin (K), mol
(mol), ampere (A) y candela (cd).
iii
Definiciones
El metro (m): Un metro es la longitud del
trayecto recorrido por la luz en el vacío,
d) La persona que realiza la medida.
ii
i
D. C. Baird, “Experimentación, una introducción a la
teoría de mediciones y al diseño de experimentos” 2 ed.
Prentice Hall Hispanoamericana S. A. México, 1991. pág.
8.
Se entiende por Sistema de Unidades el conjunto
sistemático y organizado de unidades, adoptado por
convención. El sistema internacional de unidades está
descrito en la Norma Técnica Colombiana (NTC) 1000.
iii
Fuente: http://www.bipm.org/
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-
durante un intervalo de tiempo de 229 792 458
1
segundos.
Un segundo (s) es la duración de
9 192 631 770 periodos de la radiación
correspondiente a la transición entre los dos
niveles hiperfinos del estado fundamental del
átomo de cesio.
El kilogramo (kg) es la unidad de masa, este
es igual a la masa del prototipo internacional
de kilogramo, hecho de platino e iridio y
mantenido por el Bureau International des
Poids et Mesures en Francia.
El kelvin (K), la unidad de temperatura es la
fracción
1/273,16
de
la
temperatura
termodinámica del punto triple del agua.
La candela (cd) es la intensidad luminosa
dada por una fuente que emite una radiación
12
monocromática de frecuencia 540 x 10 hertz
y de la cual la intensidad radiada en esa
dirección es 1/683 watt por estereorradián.
El ampere (A) es la intensidad de una
corriente constante que, mantenida en dos
conductores paralelos rectilíneos, de longitud
infinita, de sección circular despreciable y
colocados a una distancia de un metro el uno
del otro en el vacío, produce entre estos
-7
conductores una fuerza igual a 2x10 newton
por metro de longitud.
El mol es la cantidad de sustancia de un
sistema que contiene tantas entidades
elementales
como
átomos
hay
en
exactamente 0,012 kg de carbono 12, no
enlazados, en estado de reposo y en su estado
basal. La palabra mol se usa como la palabra
docena, siempre se especifica una docena de
algo, así mismo, cuando se usa el mol se debe
especificar a que tipo de entidad se hace
referencia:
átomos,
iones,
moléculas,
electrones, otras partículas etc. Mol al igual
que docena, gruesa, millón, millardo, etc. hace
referencia a un número. Mol es un número que
al contrario de los anteriores no se ha podido
establecer hasta la unidad y su incertidumbre
aún es muy grande.
El SI también tiene otras unidades, llamadas
unidades derivadas. Entre éstas se distinguen
unas que no tienen nombres especiales como
2
3
las de superficie (m ), volumen (m ), densidad
3
(kg/m ), velocidad (m/s), entre otras. Existen
37
unidades derivadas con nombres especiales,
las más importantes para los químicos están
en la tabla No. 1.
Tabla No 1. Unidades SI derivadas con
nombres especiales.
Magnitud
Unidad
Símbolo
Frecuencia
hertz
Hz
Fuerza
newton
N
Presión
pascal
Pa
Energía
joule
J
Potencia
watt
W
Cantidad de coulomb
C
electricidad,
carga eléctrica
Voltaje
volt
V
Resistencia
Ohm
eléctrica
Cantidad
farad
F
eléctrica
También, muy importantes para los químicos,
son las unidades aceptadas que no
pertenecen al SI descritas en la tabla No. 2.
Tabla No 2. Unidades aceptadas que no
pertenecen al SI
Magnitud Nombre
Símbolo Valor
en
unidades SI
Masa
tonelada
t
1 t =1 000 kg
Tiempo
minuto
min
1 min = 60 s
Hora
h
1 h = 60 min
= 3600 s
Día
d
1 d = 24 h =
86400 s
Tempera- Grado
°C
°C = (Ktura
Celsius
273,15)
3
Volumen Litro
Lól
1 L = 1 dm
REGLAS GENERALES PARA EL USO DEL
iv
SI EN COLOMBIA :
1. Uso del nombre de las unidades
a) El nombre completo de las unidades SI se
escribe con letra minúscula, con la única
excepción de grado Celsius, salvo en el
caso de comenzar la frase o luego de un
punto.
Correcto
metro
Incorrecto
Metro
iv
Fuente: Superintendencia de Industria y Comercio,
República de Colombia.
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kilogramo
newton
watt
Kilogramo
Newton
Watt
b) Las unidades, los múltiplos y submúltiplos,
solo podrán designarse por sus nombres
completos
o
por
sus
símbolos
correspondientes
reconocidos
internacionalmente. No está permitido el
uso de cualquier otro.
Correcto
m (metro)
kg (kilogramo)
km (kilometro)
g (gramo)
L ó l (litro)
K (kelvin)
3
cm
(centímetro
cúbico)
km/h (kilómetros por
cada hora)
Incorrecto
mts. mt. Mt. M
kgr. kilo, KG, Kg
Km. KM, kM,
gr. grs. GRS. g.
lts. lt. Lt.
k, kelv. °K
cc, cmc, c.c.
kph, kmh, km x h,
Km/h
c) Las unidades cuyos nombres son los de
los científicos no se deben traducir, deben
escribirse tal como en el idioma de origen.
Correcto
joule
sievert
newton
watt
ampere
Incorrecto
julio, Julio
sievertio
Niutonio
vatio
Amperio
cuales no exista riesgo de confusión al
escribir únicamente el símbolo.
e) Se usarán los prefijos SI y sus símbolos,
para formar los múltiplos y submúltiplos de
las unidades SI. Ej. centímetro = cm .
f)
No deberán combinarse nombres y
símbolos al expresar el nombre de una
unidad derivada. Ej. metro/s , lo correcto
es m/s ó metro/segundo.
g) Todos los símbolos de las unidades SI se
escriben con letras minúsculas del
alfabeto latino, con la excepción del ohm
( ) letra mayúscula omega del alfabeto
griego, y de los que provienen del nombre
de científicos como (A) ampere, (K) kelvin,
(J) joule, (N) newton, (Hz) hertz, (Pa)
pascal, (W) watt, (C) coulomb , (V) volt, y
(F) farad.
h) Luego de un símbolo no debe escribirse
ningún signo de puntuación, salvo por
regla de puntuación gramatical, dejando
un espacio de separación entre el símbolo
y el signo de puntuación. Ej. ...cuya masa
es de 456,23 g .
i)
Los símbolos se escriben a la derecha de
los valores numéricos separados por un
espacio en blanco. El espacio en blanco
se eliminará cuando se trate de unidades
sexagesimales de ángulo plano. Ej. 220 V
, 31 kg , 40° 30' 20" .
j)
Todo valor numérico debe expresarse con
su unidad, incluso cuando se repite o
cuando se especifica la tolerancia. Ej. 35
mL 0,1 mL . Entre las 08 h y las 17 h.
Entre 45 m y 50 m .
2. Uso de los símbolos
a) No se colocarán puntos luego de los
símbolos de las unidades del SI, sus
múltiplos o submúltiplos. Ej. kg , dm , mg .
Si el símbolo está al final de una frase, se
deja un espacio entre el símbolo y el signo
de puntuación.
3. Uso de los prefijos
b) El símbolo de la unidad será el mismo
para el singular que para el plural. Ej. 1 kg
, 5 kg , 1 g , 324 g , 9 A .
a) Todos los nombres de los prefijos se
escriben con letra minúscula. Ej. kilo,
mega, micro, giga...
c) Cuando se deba escribir (o pronunciar) el
plural del nombre de una unidad SI, se
usarán las reglas de la
gramática
española. Ej. metro - metros; mol - moles.
b) Los símbolos de los prefijos para formar
múltiplos se escriben con letra mayúscula,
con excepción del prefijo kilo, que por
convención se escribe con la letra k
minúscula para que no se confunda con
kelvin (K). Ej. exa (E), giga (G), ver tabla
No. 3.
d) Cuando sea necesario referirse a una
unidad, se recomienda escribir el nombre
completo de la unidad, salvo casos en los
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generalmente escogidos de modo que los
valores numéricos estén entre 1 y 1000,
pero con las cifras significativas correctas
según el instrumento de medida. Ej. Una
medida realizada con resolución al km se
expresaría así: 820 km , incorrecto:
820 000 m .
c) Los símbolos de los prefijos para formar
los submúltiplos se escriben con letra
latina minúscula, salvo el prefijo de micro
para el cual se utiliza la letra griega mu ( )
minúscula. Ej. mili (m), nano (n).
Tabla No 3. Prefijos del SI
Nombre
Símbolo
yotta
Y
zetta
Z
exa
E
peta
P
tera
T
giga
G
mega
M
kilo
k
hecto
h
deca
da
deci
d
centi
c
mili
m
micro
nano
n
pico
p
femto
f
atto
a
zepto
z
yocto
y
Factor
24
10
21
10
18
10
15
10
12
10
9
10
6
10
3
10
2
10
1
10
-1
10
-2
10
-3
10
-6
10
-9
10
-12
10
-15
10
-18
10
-21
10
-24
10
d) Los múltiplos y submúltiplos de las
unidades
de
medida
se
forman
anteponiendo, sin dejar espacio, los
nombres o símbolos de los prefijos a los
nombres o símbolos de las unidades. Ej.
kilómetro (km), milivolt (mV), picoampere
(pA).
e) Los múltiplos y submúltiplos de medida de
masa se forman anteponiendo los
nombres o símbolos de los prefijos a la
palabra gramo. Ej. Mg (megagramo), mg
(miligramo).
f)
No se usarán dos o más prefijos delante
del símbolo o nombre de la unidad de
medida,
Correcto
m
nA
MW
g)
Incorrecto
mmm
mA
kkW
Los múltiplos y
submúltiplos de las
unidades
de
medida
deben
ser
39
h) Los prefijos hecto, deca, deci y centi solo
se usan para unidades de longitud, área y
de volumen. No está permitido su uso para
otras magnitudes.
4. Representación del tiempo
Correcto
15 h 00 min
05 h 08 min
10 h 45 min
Incorrecto
3 pm, 3 de la tarde
las 5 de la mañana y 8
minutos, V de la mañana y
ocho minutos
10 y 45 am o 15 para las 11.
El día esta dividido en 24 horas y se
denominan desde las 00 h hasta las 24 h . El
tiempo se expresa utilizando dos cifras para
los valores numéricos de las horas, minutos y
segundos, separados de los símbolos de estas
unidades por espacios en blanco y de acuerdo
al siguiente orden: hora, minuto, segundo. Ej.
15 h 36 min 14 s .
5. Representación de la fecha en forma
numérica.
Para expresar el año se utilizarán cuatro cifras,
las que se escribirán en bloque. Cuando no
exista riesgo de confusión podrán utilizarse
solo dos cifras. Se utilizarán dos cifras para
representar los días y los meses. Al escribir la
fecha completa se usará el orden año, mes,
día y se usará un guión para separarlos. Ej. 24
de mayo de 2006 se representará 2 006-05-24.
6. Escritura de números
En Colombia se utiliza la coma para separar la
parte fraccionaria de la parte entera por las
siguientes razones:
a)
La coma es reconocida por la
Organización
Internacional
de
Normalización (ISO), a la cual pertenecen
más de 100 países, como único signo
ortográfico en la escritura de números,
utilizados en documentos y normalización.
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b)
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de seis potencias de 10), que establece
las equivalencias siguientes:
La grafía de la coma se identifica y
distingue mucho más fácil que la del
punto.
c)
La coma es una grafía que, por tener
forma propia, demanda del escritor la
intención de escribirla, el punto puede ser
accidental o producto de un descuido.
d)
El punto facilita el fraude, puede ser
transformado en coma pero no viceversa.
1 millón
1 billón
1 trillón
1 cuatrillón
1 quintillón
g)
En Colombia y en los países afiliados a la ISO,
en la escritura de números se deben usar las
siguientes reglas:
e)
f)
En números de muchas cifras, éstas se
agrupan de tres en tres, a partir de la
coma, tanto para la parte entera como
para la decimal. Entre cada grupo se
debe dejar un espacio en blanco, igual o
menor al ocupado por una cifra pero
mayor al dejado normalmente entre las
cifras.
Ej. 2 345 649,831 03
Para el orden de numeración de números
grandes se sigue la "regla 6N" (múltiplos
6
10
12
10
18
10
24
10
30
10
La primera cifra a la izquierda de la coma
decimal, tiene como valor el de la unidad
en la que se expresa el número.
Ej. 452,90 kg , la cifra 2 indica kilogramos.
3 456,12 m , la cifra 6 indica metros.
El símbolo de la unidad en la que se
expresa el número debe ser escrito luego
del valor numérico completo dejando un
espacio.
h)
Si un símbolo que contiene un prefijo está
afectado por un exponente, el exponente
afecta toda la unidad. Ej.
2
2
2
1 cm = (0,01 m) = 0,0001 m
-6
1 s = 1x10 s
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41
INCERTIDUMBRE EN LAS MEDIDAS
Las reflexiones acerca de las medidas del
tiempo y del espacio fueron fundamentales
para la formulación de la teoría de la
relatividad de Einstein. La imposibilidad de
medir simultáneamente con resolución infinita
variables conjugadas como el tiempo y el
espacio constituyen uno de los pilares de la
física cuántica expresado en el principio de
incertidumbre de Heisenberg.
En ciencia se distinguen dos tipos de datos
numéricos; en primer lugar aquellos que se
obtienen por la enumeración de cantidades
discretas, como por ejemplo, el número de
sillas dentro del salón de clase. Los valores
obtenidos por estos procesos de conteo se
consideran sin incertidumbre y se conocen
como números exactos.
Una segunda clase de números son los
obtenidos por medidas. Estos números son
obtenidos por comparación con un patrón de
referencia, o con un instrumento calibrado
contra el patrón, y no son completamente
exactos ya que están sujetos a un cierto grado
de duda o incertidumbre. En general el
resultado de una medición es solo una
aproximación o estimación del valor del
mensurando (magnitud medible) y entonces
está completo solo cuando va acompañado
por una declaración de la incertidumbre de esa
estimación.
La palabra "incertidumbre" significa duda, sin
embargo, "incertidumbre en las medidas" no
necesariamente significa duda en la validez de
los resultados obtenidos por medidas, por el
contrario, el conocimiento de la incertidumbre
aumenta la confianza que se puede tener
sobre la validez de un resultado obtenido por
medidas.
Los
instrumentos
de
medida
son
manufacturados
dentro
de
unas
especificaciones limitadas y al utilizarlos
confiamos en nuestros sentidos y habilidades,
- que pueden ser muy buenos pero no
perfectos - esto implica que nunca podremos
medir o conocer exactamente la magnitud de
la propiedad que se desea medir; por lo tanto,
cada medida incluye algún grado de
incertidumbre y el dato obtenido toma la forma
de un intervalo en donde se tiene confianza de
hallar el valor esperado.
Algunos instrumentos miden directamente la
propiedad buscada - por ejemplo, la longitud
de un objeto medida con una regla - en otros
se mide una propiedad a través de otra, por
ejemplo, en un termómetro de mercurio, se
mide la longitud de la columna de mercurio y
se traduce a una escala de temperatura.
Cuando una variable se mide indirectamente
se aumenta su incertidumbre. En los análisis
químicos además de los procesos de medida,
se involucran con frecuencia procedimientos
físicos y/o químicos, como evaporaciones,
filtraciones, calcinaciones, combustiones, que
contribuyen también a introducir incertidumbre
en el resultado final.
Para que una medida pueda ser compartida y
entendida por una comunidad científica,
comercial, industrial, etc., debe ir acompañada
de alguna estimación de la incertidumbre
inherente a ella.
Aparte de las imperfecciones de los
instrumentos y de las capacidades de
observación de los experimentadores, existen
otros factores que son fuente de incertidumbre
en las medidas; por ejemplo: las fluctuaciones
en las condiciones ambientales durante la
medida, la falta de control sobre otras
propiedades directamente relacionadas con la
propiedad a medir, la definición incompleta del
sistema al que se le va a medir la propiedad,
muestras no representativas del sistema,
valores inexactos de patrones de medición o
de materiales de referencia, valores inexactos
de constantes y otros parámetros obtenidos de
fuentes externas usados en los cálculos que
se utilizan para manipular los datos,
aproximaciones y suposiciones incorporadas
en los métodos de medición, etc.
El Proceso de Medición:
Para ilustrar el proceso de medición se
propone el siguiente experimento: medir la
longitud de una hoja de papel con una regla
ordinaria cuya división más fina es de 1 mm .
La respuesta puede ser 14,6 cm . ¿Pero será
que podemos afirmar que la hoja de papel
mide 14,600 000 cm ? Seguramente que no,
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el instrumento no está construido para
distinguir
hasta
las
millonésimas
de
centímetro, el observador por simple
apreciación no puede distinguir millonésimas
de centímetro y los bordes de la hoja no son lo
suficientemente rectos.
Una mirada más cercana al proceso de
medida de la longitud de la hoja de papel con
la regla nos muestra que, lejos de determinar
el valor real de la longitud de la hoja de papel,
lo único que podemos hacer en forma realista
es acercarnos a la orilla de la hoja sobre la
escala de la regla, diciéndonos conforme
avanzamos: “puedo asegurar que la hoja mide
menos de 15,0 cm , menos de 14,9 cm ,
menos de 14,8 cm ...etc.”, pero a medida que
avanzamos llegamos a un punto donde ya es
incierto asegurar que la hoja de papel mide
menos de....
. En ese punto debemos
detenernos y de ese modo identificamos un
extremo del intervalo dentro del cual está la
longitud de la hoja de papel. De manera
semejante, podemos acercarnos a la orilla de
la hoja por los valores bajos y asegurar que su
longitud es mayor de 14,0 cm , mayor de 14,1
cm , 14,2 cm ..., y así sucesivamente. Una vez
más llegaremos a un punto en el cual es
incierto asegurar que la hoja mide más de ese
valor. Mediante la combinación de esos dos
procesos identificamos un intervalo sobre la
escala en donde existe alguna confianza de
hallar el valor real de la longitud de la hoja de
papel.
Como ilustra el ejemplo, lo que se halla al
efectuar un proceso de medición es un
intervalo. Se espera que la persona que realiza
la medida, en las condiciones del experimento,
sea capaz de diferenciar entre dos de las
líneas más finas del instrumento. Es
probable que el experimentador encuentre que
la longitud de la hoja de papel está entre 14,6
cm y 14,7 cm . Él tiene certeza de que su
medida se encuentra dentro de este intervalo y
si las condiciones lo permiten puede asignar
una cifra adicional aproximada a la medida.
En el ejemplo, la medida de la longitud del
papel puede ser renombrada como 14,62 cm .
El dos que el experimentador ha adicionado al
final de la medida es una cifra aproximada y
dudosa, pero tiene significado físico,
representa la apreciación que hace el
experimentador para indicar que el valor de la
medida está más cerca de 14,6 cm que de
14,7 cm .
¿Cómo escribir
medida?
el
resultado
de
una
En los instrumentos graduados como la regla,
las cifras de la escala se consideran cifras
ciertas (que se leen sin incertidumbre) y las
cifras que se obtienen por apreciación se
consideran cifras dudosas, así el 1, el 4 y el 6
de la medida de la longitud de la hoja de papel
son cifras ciertas, mientras que el 2 es una
cifra dudosa. En los instrumentos digitales por
lo menos el último dígito es dudoso.
Por convención al realizar una medida con
un instrumento el resultado se debe
escribir con todos los dígitos que se
pueden leer sin incertidumbre de acuerdo
con la escala del instrumento (cifras
ciertas) y un solo dígito dudoso.
Los dígitos obtenidos por medidas (ciertos y
dudosos) se conocen con el nombre de cifras
significativas.
Cuando se expresa el resultado de una
medición de una magnitud física es necesario
proporcionar alguna indicación de la calidad
del valor escrito, de manera tal que el usuario
pueda apreciar hasta donde puede creer en un
determinado resultado. Esto se logra
escribiendo
adecuadamente
las
cifras
significativas producto de la medida. Cuando
se lee un número que ha sido obtenido por
medidas se asume, entonces, que el último
dígito es dudoso y los demás son ciertos.
Si se requiere indicar el intervalo donde se
espera encontrar el valor verdadero, en
ausencia de un análisis estadístico, un criterio
arbitrario que se utiliza, en el caso de
instrumentos graduados, con divisiones
cercanas entre si, es definir el tamaño del
intervalo como la división más fina de la escala
del instrumento. En el caso de la longitud de la
hoja de papel se espera que el valor verdadero
de la medida se encuentre en el intervalo
14,62 cm ± 0,05 cm . Los valores ± 0,05 cm
representan los límites del intervalo en que la
lectura 14,62 cm es incierta.
±0,05 cm
representa un intervalo de 1 mm que es la
división más fina de la regla.
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A la magnitud del intervalo se le llama
incertidumbre absoluta (I), que para este
ejemplo sería la de una sola medida y se
supone que solo depende de la apreciación
que realiza el experimentador. Sin embargo, lo
aconsejable es que el valor de una propiedad
no se mida sólo una vez, sino que se realicen
una serie de réplicas, en ese caso el valor de
la propiedad será dado por el promedio
aritmético y la incertidumbre por algún
parámetro que expresa la dispersión de las
medidas en torno al promedio.
El ancho del intervalo o incertidumbre es la
duda que se tiene sobre la medida y no
depende solo de la lectura del instrumento. La
incertidumbre de una medida depende de
muchos
factores,
tales
como:
las
características del objeto a medir, las
condiciones ambientales, las condiciones
físicas del experimentador, si el objeto está en
reposo o en movimiento, si la variable a ser
medida está cambiando rápida o lentamente,
la iluminación, etc. La determinación de la
incertidumbre de las medidas realizadas con
un instrumento se debe hacer preferiblemente
estadísticamente, según lo expresa la GTC
i
51 .
La GTC 51 define la Incertidumbre (de la
medición) como: parámetro asociado con el
resultado de una medición que caracteriza la
dispersión de los valores, que en forma
razonable se le podría atribuir a una magnitud
por medir (mesurando).
El parámetro asociado con el resultado puede
ser: la desviación estándar (o un múltiplo dado
de ella), o la semilongitud de un intervalo que
tenga un nivel de confianza determinado, las
distribuciones de probabilidad supuestas o
basadas en la experiencia u otra información.
La incertidumbre puede provenir de diversas
fuentes y su estimación depende de la calidad
de la información disponible, la GTC51
recomienda que todos los parámetros de los
cuales depende el valor del mesurando se
varíen en su máxima extensión practicable, de
modo tal que se pueda conocer su influencia
sobre los datos observados.
Incertidumbre es un concepto más cualitativo
que cuantitativo, no se puede tener completa
certeza sobre la magnitud de la incertidumbre
y el valor obtenido siempre será una
estimación. La magnitud que se asocia a la
incertidumbre refleja la variabilidad de las
medidas que se hacen de una propiedad.
Cuando se hace una sola medida, un criterio
alternativo, al de la mitad de la división más
fina, para establecer el ancho del intervalo o
ii
incertidumbre absoluta es la tolerancia del
instrumento de medida. La tolerancia es un
intervalo dentro del cual el fabricante del
instrumento garantiza con 99,6% de confianza
que el valor medido se halla dentro de ese
intervalo, si el instrumento se usa
correctamente.
La tolerancia (Tol.) es un estimativo del error
máximo que se espera cometer al realizar la
medida en ausencia de otras fuentes de error
(errores personales) distintas a las inherentes
al instrumento (errores aleatorios) cuando éste
se utiliza correctamente. Su determinación
será descrita más adelante.
Estimar la incertidumbre de una medida es
importante para saber hasta donde se puede
confiar en la medida y para expresar el
resultado con el número apropiado de cifras
significativas.
La incertidumbre posee componentes que
pueden ser estimados con ayuda de la
estadística porque su comportamiento es
aleatorio, pero puede poseer componentes de
comportamiento no aleatorio que deben ser
estimados con base en criterios científicos
acerca del comportamiento del mesurando.
i
Guía Técnica Colombiana 51. Instituto Colombiano de
Norma Técnicas (ICONTEC) 1997; documento basado en
la ISO Guide to the Expression of Uncertainty in
Measurement (1995).
43
ii
La tolerancia, límite de error y error máximo son
sinónimos.
TÉCNICAS Y MEDIDAS BÁSICAS EN EL LABORATORIO DE QUÍMICA
44
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA, DEPARTAMENTO DE QUÍMICA.
división más fina del instrumento es un
miligramo (0,001 g) pero el instrumento posee
un nonio que permite apreciar muy bien la
separación entre una división de un miligramo
y la siguiente, lo que permite leer con más
confianza la cifra aproximada (cuarta cifra
decimal). Por lo tanto, se puede considerar
que, en ausencia de otras fuentes de error, la
incertidumbre en la medida es ± 0,000 2 g en
lugar de ±0,000 5 g .
Siempre que se requieran medidas de
buena calidad no se debe suponer o
considerar la incertidumbre como igual a la
tolerancia declarada por el fabricante, o
como la mitad o la quinta parte de la
división más fina. La incertidumbre se
debe estimar preferiblemente con ayuda de
la estadística. (GTC 51).
Figura 14. Etiquetas de una pipeta aforada y
de una bureta (material graduado) donde se
muestra la tolerancia especificada por el
fabricante.
Para el caso del material, en el que el
fabricante no especifique la tolerancia, se
deben consultar las normas que especifican el
error máximo permitido para esa clase de
instrumentos. En este libro Ud. encontrará las
tablas de error máximo permitido (tolerancia)
para los diferentes instrumentos volumétricos
utilizados en un laboratorio de química.
i
Si el instrumento posee nonio o es de lectura
digital debe tenerse en cuenta que la última
cifra que se lee en el instrumento es dudosa y
ha sido determinada por aproximación visual o
electrónica. En estos casos el error máximo
que se espera cometer al realizar la medida,
puede tomarse arbitrariamente como más o
menos un quinto (1/5) de la división más fina
(dos unidades de la última cifra significativa
leída en el instrumento utilizando el nonio). Por
ejemplo, la incertidumbre absoluta estimada
para una balanza analítica de cuatro cifras
-4
decimales sería de ± 2x10 g .
Así, si en una balanza analítica Mettler H15, se
lee la masa de un objeto como 60,3154 g . El
resultado de la medida se puede expresar
como 60,315 4 g ± 0,000 2 g . En este caso la
i
El nonio es un dispositivo que permite realizar mejor la
apreciación. La cifra leída con él no corresponde a una
división del instrumento.
Tenemos tendencia a pensar que un
instrumento digital es de mejor calidad que uno
graduado porque la medida no oscila u oscila
poco o porque no hay que esforzarse en hacer
la apreciación del dígito dudoso. Esta
tendencia no tiene ninguna base real, es
posible colocar al instrumento una pantalla que
ofrezca una cifra adicional y un sencillo circuito
electrónico que reduce la oscilación del
número presentado en la pantalla, sin que en
realidad el aparato tenga la capacidad de
determinar ese último dígito. Para descubrir
estas situaciones hay que calibrar los
instrumentos haciendo uso de la estadística
que se explicará adelante.
Con frecuencia es deseable comparar la cifra
de la incertidumbre absoluta con el valor de la
medición misma. De esta manera se puede
evaluar que tan significativa es la
incertidumbre respecto de la magnitud medida.
Se define la incertidumbre relativa (Ir) como
el cociente entre la incertidumbre absoluta y el
valor medido.
Ir = Incertidumbre absoluta/valor medido
En el ejemplo de la medida de la longitud de la
hoja de papel con la regla, aceptando que la
incertidumbre absoluta sea de ± 0,05 cm , la
incertidumbre relativa sería:
Ir = ± (0,05 cm /14,62 cm) = ± 0,003
Con frecuencia la incertidumbre relativa se
expresa como porcentaje.
TÉCNICAS Y MEDIDAS BÁSICAS EN EL LABORATORIO DE QUÍMICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA, DEPARTAMENTO DE QUÍMICA.
% Ir = ± (0,05 cm x 100/14,62 cm) = ± 0,3%
La incertidumbre relativa nos da un sentido
más claro de la calidad de la medida. Es de
anotar que la incertidumbre absoluta tiene las
mismas unidades de la medida, mientras que
la incertidumbre relativa, por ser un cociente,
no tiene unidades.
La incertidumbre relativa es inversamente
proporcional a la magnitud de la medida. Por
ejemplo; si pesamos un objeto de 0,001 6 g
y otro de 1,008 0 g en una balanza analítica de
cuatro decimales, y se acepta que la
incertidumbre absoluta de las medidas
realizadas en la balanza es ± 0,000 2 g el
porcentaje de incertidumbre relativa sería
respectivamente:
1
%Ir = ± 0,000 2 g x 100 / 0,001 6 g = ± 1x10 %
%Ir = ± 0,000 2 g x 100/1,008 0 g = ± 0,02 %
Del ejemplo anterior deducimos que en la
medida en que utilicemos un instrumento
en su máxima capacidad estamos
disminuyendo la duda sobre la medida que
se realiza.
Como la incertidumbre es solo una estimación
y no un valor exacto por lo general no se
utilizan más de dos cifras significativas en su
valor numérico.
En medidas no existen valores absolutos o
verdaderos, ya que toda medida es una
comparación contra un patrón al cual se le ha
asignado un valor mediante convención o
acuerdo entre los representantes de muchos
países. Al medir podemos diferenciar dos
grandes casos: cuando existe un valor
esperado conocido y cuando el valor esperado
es desconocido.
El primer caso se presenta cuando, por
ejemplo, se calibra un instrumento; se espera
que una pipeta aforada de 10 mL entregue un
volumen de 10,00 mL tolerancia, si la pipeta
está bien calibrada y se usa correctamente. En
esa medida existe un valor esperado o nominal
que cuando se trata de un patrón del SI es
llamado “valor convencionalmente verdadero”.
El segundo caso es el más común, por lo
general cuando se mide una propiedad como
la longitud de una hoja de papel el valor
45
esperado es desconocido. Estas dos
situaciones típicas de las medidas nos
permiten introducir dos conceptos muy
importantes en la discusión sobre la calidad de
las medidas, estos son la exactitud y la
precisión.
Exactitud:
La exactitud es la cercanía del valor medido
con el valor real del mesurando. La exactitud
indica la situación del valor medido
respecto al valor esperado, aceptado,
nominal o convencionalmente verdadero.
Si no es posible conocer el valor esperado, no
se puede cuantificar la exactitud.
La exactitud se estima en términos del error
absoluto o con más frecuencia del error
relativo. La palabra error no debe entenderse
necesariamente como equivocación; en este
contexto, se trata de la diferencia de un valor
con otro. El error se define como la diferencia
entre un valor individual y el valor verdadero
del mesurando. En principio si se conoce el
valor de un error se puede aplicar una
corrección al mesurando, sin embargo, error
es un concepto idealizado y con frecuencia no
es posible conocer su valor exactamente. .
Error e incertidumbre no son iguales, el error
cuantifica que tan lejos está el valor medido del
valor esperado si éste se conoce; una medida
puede estar muy cerca del valor esperado y
por lo tanto tener un error pequeño pero aún
así puede tener una gran incertidumbre a
causa del proceso para su determinación. La
incertidumbre representa un intervalo donde se
tiene algún nivel de confianza de hallar el
verdadero valor del mesurando.
El error absoluto (E):
El error absoluto (E) para una sola medida se
define como el valor absoluto de la diferencia
entre el valor medido (X) y el valor aceptado,
esperado o nominal (µ).
E = X- µ
Para un conjunto de medidas el error absoluto
será la diferencia entre el promedio ( X ) y el
valor aceptado (µ).
E=
X
-µ
TÉCNICAS Y MEDIDAS BÁSICAS EN EL LABORATORIO DE QUÍMICA
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46
El Promedio o media aritmética ( X ), es el
resultado de sumar los valores de una serie de
medidas repetidas (Xi) y dividir por el número
de datos individuales (n).
X1 X2 X3
X
n
Xn
El error relativo es la relación entre el error
absoluto y el valor aceptado (µ).
Er
E
µ
Se puede expresar como porcentaje:
%Er
E
100
µ
Precisión:
La precisión de una medida es un concepto
i
que informa acerca de la repetibilidad o
ii
reproducibilidad de una serie de medidas;
expresa la incertidumbre debida únicamente a
los errores aleatorios (se definirán más
adelante). La precisión informa sobre la
concordancia o similitud entre los valores de
dos o más medidas, se expresa en términos
de parámetros estadísticos como la desviación
estándar, el coeficiente de variación y el
intervalo.
Un símil que nos ayuda a aclarar los
conceptos de precisión y exactitud se ilustra
con los resultados obtenidos al tiro al blanco
que se muestran en la figura 15.
La precisión y la exactitud de los valores
obtenidos mediante medidas son afectadas
i
La repetibilidad es la cercanía entre los resultados de
mediciones sucesivas de la misma magnitud por medir,
efectuadas en las mismas condiciones de medición.
Implica realizar las medidas con: El mismo procedimiento
de medición, el mismo observador, el mismo instrumento
de medición utilizado en las mismas condiciones, el
mismo lugar y la repetición de la medida se realiza dentro
de un tiempo corto.
ii
La reproducibilidad es la cercanía entre los resultados de
las mediciones de la misma magnitud por medir,
efectuadas bajo condiciones diferentes. Las condiciones
que cambian pueden ser entre otras: el principio de
medición, el método de medición, el observador, el
instrumento, el lugar, las condiciones de uso, el tiempo,
etc.
por los errores cometidos durante el proceso
de medida.
ERRORES EN LAS MEDIDAS.
iii
Los errores se clasifican en tres grupos: los
errores sistemáticos o determinables, los
errores personales y los errores aleatorios o
indeterminables.
Errores sistemáticos o determinables.
Son definidos como los componentes del error,
que en el transcurso de un número de análisis
del mismo mesurando permanecen constantes
o varían de manera predecible.
Se
caracterizan por tener magnitud constante o
proporcional a un parámetro de medida y
presentan el mismo signo, es decir, llevan a
resultados siempre mayores o menores que
los reales. Los errores sistemáticos afectan la
exactitud pero no la precisión de la medida, por
lo tanto no pueden ser detectados por simple
repetición de las medidas. Se pueden detectar
y reducir realizando determinaciones por
métodos
independientes.
Los
errores
sistemáticos se agrupan según su causa en
errores instrumentales y de método.
Errores instrumentales:
Se originan en imperfecciones de los
instrumentos de medida. Por ejemplo, una
pipeta aforada puede verter un volumen de
líquido mayor al indicado por el fabricante y la
diferencia entre el valor real y el especificado
es igual en todos los casos (error instrumental
constante). Una balanza cuya sensibilidad ha
variado y señala en la escala, por ejemplo, 96
mg para una carga real de 100 mg , indicará
48 mg para una carga real de 50 mg (error
instrumental proporcional). Los errores
instrumentales
se
evitan
haciendo
calibraciones frecuentes.
iii
Error es un concepto idealizado y los errores no pueden
ser conocidos exactamente.
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Mala reproducibilidad:
Los resultados están muy
dispersos
Mala Exactitud: Los
resultados están lejos del
centro.
El aparato con que se
hace la medida es de mala
calidad y está
descalibrado
Mala reproducibilidad:
No hay grandes errores pero
los resultados están muy
dispersos.
Buena Exactitud: Los
resultados están en término
medio repartidos regularmente
alrededor del centro.
El aparato con que se hace la
medida es de mala calidad
pero está calibrado.
47
Buena reproducibilidad:
Los resultados están muy
juntos entre si.
Buena reproducibilidad:
Los resultados están muy
juntos entre si.
Mala Exactitud: A pesar
de que los resultados
están muy juntos entre si
están lejos del valor
aceptado o nominal.
Buena Exactitud: Los
resultados están muy
próximos al centro, o sea
muy cerca del valor
aceptado.
El aparato con que se
hace la medida es de
buena calidad pero está
descalibrado.
El aparato con que se
hace la medida es de
buena calidad y está
calibrado.
Figura 15. Representación gráfica de los conceptos de precisión y exactitud. El valor nominal o
aceptado es el centro de la diana, los valores medidos son los diferentes impactos.
Errores del método:
Suponga que se desea obtener óxido de cobre por calentamiento al aire de pequeñas esferas del
metal. Se encontrará que la reacción es incompleta a menos que se tomen cuidados especiales para
evitarlo; a medida que se forma el óxido en la superficie de las esferas éste impide que el oxígeno
entre en contacto con la parte central de la esfera y la reacción se detiene. Por ese método es muy
difícil lograr una reacción completa y si el objetivo es obtener óxido de cobre(II) de forma cuantitativa
habrá un error de método.
En general, impurezas en las sustancias, reacciones secundarias, interferencias, etc. pueden conducir
a errores importantes que sólo se detectan al comparar el resultado por diferentes métodos.
2. Errores personales:
En este grupo están los errores causados por la falta de cuidado, de habilidad, de experiencia, las
limitaciones físicas del operador, los originados en la tendencia a tomar los valores que mejor se
acomoden en un conjunto de datos - prejuicio - y los llamados “grandes errores”. Estos últimos son
muy comunes entre las personas que se inician y no preparan su trabajo. Los errores personales
pueden reducirse al mínimo si se pone esfuerzo en tratar de hacer las cosas bien y dar lo mejor de sí
en las labores asignadas. Todos estos errores se deben evitar para tener medidas de buena calidad.
La estadística no puede corregir errores personales.
3. Errores aleatorios:
Aún después de tener en cuenta todos los errores sistemáticos y personales, siguen existiendo
pequeñas variaciones cuyas causas, magnitudes y signo no se pueden predecir ni calcular. Si la
medida se pudiera realizar un gran número de veces, en ausencia de errores sistemáticos y
personales, se obtendrían valores que oscilan alrededor del valor aceptado o esperado. Los errores
aleatorios afectan la precisión de la medida y se estiman con ayuda de la estadística.
TÉCNICAS Y MEDIDAS BÁSICAS EN EL LABORATORIO DE QUÍMICA
48
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA, DEPARTAMENTO DE QUÍMICA.
Estadística
La estadística es una ciencia amplia y en este texto solo daremos unas herramientas mínimas pero
útiles en el trabajo en el laboratorio. Si se desean más detalles se deben consultar textos
especializados.
Los científicos, en general, utilizamos la estadística para comunicarle a otros que nuestras medidas se
encuentran dentro de unos límites de confianza y para interpretar mejor el significado de las medidas.
Por lo general en química se hacen medidas donde existe un valor único para una determinada
propiedad y se espera que las diferencias entre los valores obtenidos al repetir la medida sean
11
causadas solo por errores aleatorios. Por ejemplo, la densidad de un objeto es un valor único (a
temperatura y presión constantes). Independiente de que los valores obtenidos al hacer la medida de
la densidad del objeto varíen, la densidad del objeto tendrá un valor único y real ( ) probablemente
desconocido para los experimentadores pero es único. Existen propiedades que no poseen valores
únicos, por ejemplo la altura de la población colombiana. Esta propiedad no posee un valor único y
puede ser necesario determinar un valor medio o promedio para asignarle un número. En este libro
haremos referencia solo a la estadística aplicada en los casos donde la propiedad medida posee un
valor único.
Cuando se repite un experimento para medir una propiedad, los datos que se obtienen se pueden
representar en tablas. Por ejemplo; en un laboratorio se propuso a unos estudiantes determinar la
densidad de una solución acuosa. Los datos recopilados, ordenados de menor a mayor, aparecen en
la tabla No. 4.
La lista de datos presentada en la tabla 4, si bien está organizada, difícilmente permite responder a
preguntas, tales como: ¿existe alguna regularidad en los resultados? ¿alguno de ellos aparece con
más frecuencia que los demás? Para responder estas preguntas una forma común de representar los
resultados de experimentos que se repiten es el histograma.
El histograma es una gráfica de barras donde la altura de las barras representa el número de veces
que aparecen valores de la propiedad dentro de un rango seleccionado de valores.
Tabla No. 4: Datos obtenidos al determinar la densidad de una solución acuosa en g/mL .
1,110
1,133
1,143
1,152
1,115
1,134
1,143
1,153
1,116
1,134
1,143
1,154
1,120
1,135
1,143
1,154
1,121
1,135
1,144
1,155
1,122
1,136
1,145
1,155
1,122
1,136
1,145
1,156
1,124
1,137
1,146
1,157
1,125
1,137
1,146
1,158
1,126
1,137
1,147
1,159
1,127
1,138
1,147
1,160
1,127
1,138
1,148
1,161
1,128
1,139
1,148
1,162
1,129
1,140
1,149
1,163
1,130
1,141
1,149
1,165
1,131
1,141
1,150
1,165
1,131
1,141
1,151
1,170
1,132
1,142
1,151
11
En esta afirmación se desconocen de adrede las oscilaciones cuánticas y los términos relativísticos, parámetros de poca
importancia desde el punto de vista del trabajo práctico de la determinación de una densidad en el laboratorio
TÉCNICAS Y MEDIDAS BÁSICAS EN EL LABORATORIO DE QUÍMICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA, DEPARTAMENTO DE QUÍMICA.
1,132
1,142
49
1,152
Para construir un histograma, se ordenan los datos y se organizan en intervalos. El número de datos
de cada intervalo se representa en una escala vertical en función de los valores de los intervalos
mismos.
En el ejemplo representado en la figura 16 se han seleccionado 13 intervalos y se ha escogido como
ancho del intervalo 0,005 g/mL . El ancho de los intervalos y por lo tanto su número se escoge
12
buscando la mejor representación de los datos .
Representar los datos en un histograma mejora enormemente nuestra comprensión; podemos
apreciar, de un solo vistazo, como se distribuyen los valores. La gráfica muestra que existe una
tendencia, los datos del centro aparecen con mayor frecuencia mientras que los datos de los extremos
aparecen menos.
Histograma
Número de datos en el
intérvalo
12
10
8
6
4
2
1.1
10
1.1
15
1.1
20
1.1
25
1.1
30
1.1
35
1.1
40
1.1
45
1.1
50
1.1
55
1.1
60
1.1
y m 65
ay
or
...
0
Clase o intervalos
Figura 16. Histograma con la representación de la
distribución de los datos de la tabla No. 4.
Una organización de los datos como los presentados en la figura 16 es común en experimentos que
se repiten, donde la propiedad medida posee un valor real único y los errores sistemáticos y
personales se han reducido al mínimo.
El número de medidas no necesariamente tiene límite y si se hiciera un número muy grande de
medidas el histograma se volvería una curva continua llamada distribución normal o de Gauss, como
las mostradas en la figura 17.
La curva de distribución normal se puede caracterizar por dos parámetros, el valor central ( ) que
13
corresponde al promedio aritmético de una población y se conoce como el valor verdadero y la
desviación estándar ( ) que mide la dispersión de los datos de la población en torno al valor central.
En nuestro ejemplo, sería el valor real de la densidad de la solución acuosa, valor desconocido.
La desviación estándar de la población,
, se define como:
N
σ
(Xi - )2
i 1
N
12
Existen reglas para definir el ancho del intervalo, por lo general lo deseable es que el número de intervalos no sea menor de
7 y no mayor de 20, con frecuencia se escoge un número impar de intervalos para hacer mas visible el centro. Mayores detalles
en libros especializados.
13
El término población involucra tener en cuenta todos los miembros del conjunto. En el caso de medidas implica realizar un
número infinito de observaciones de una propiedad de la misma manera, algo imposible.
TÉCNICAS Y MEDIDAS BÁSICAS EN EL LABORATORIO DE QUÍMICA
50
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Donde Xi representa cada uno de los datos obtenidos y N el número total de miembros de la
población.
En experimentos no es posible tener una población porque jamás se realizará un número infinito de
medidas, siempre se trabajará con muestras y, por consiguiente, ni ni pueden conocerse. Como
no se puede tener una población, es necesario tomar una muestra de los miembros de la población.
B
A
1,95
2,05
2,15
Figura 17: Curvas de distribución normal. Estas
curvas se han obtenido pesando muchas veces un objeto en 2 balanzas con graduación en
centésimas de gramo (0,01 g). El ejeY representa el número de veces que se ha obtenido el valor de
masa representada en el eje X. La curva A corresponde a los datos obtenidos en la balanza menos
precisa (menor repetibilidad), la curva B es la de los datos obtenidos en la balanza más precisa (mayor
repetibilidad). La desviación estándar de la curva A es ± 0,05 g , la desviación estándar de la curva B
es ± 0,02 g . X (2,05 g), es el valor promedio de las medidas y sería igual a si se tratara de una
población.
Una muestra es un grupo de datos, escogidos de manera aleatoria, que pertenece a la población. Los
datos de la tabla No. 4 son una muestra del número infinito de medidas que podrían hacerse para
determinar la densidad de la solución acuosa del experimento. El promedio de la muestra ( X ) y la
desviación estándar de la muestra (S) sirven para estimar el valor verdadero
dentro de ciertos
niveles de confianza. En ausencia de errores sistemáticos, el promedio de las medidas X se acerca
al valor real de la propiedad a medida que crece el número de datos.
La desviación estándar (S) para una muestra se define como:
n
(Xi - X)2
S
i 1
n-1
TÉCNICAS Y MEDIDAS BÁSICAS EN EL LABORATORIO DE QUÍMICA
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51
Donde Xi representa cada uno de los datos experimentales y n el número total de medidas realizadas.
La fórmula es aparentemente complicada pero en realidad no lo es. El primer paso para hallar la
desviación estándar es obtener el promedio de los datos X . Para los datos de la tabla 4, el promedio
es 1,142 g/mL . Luego se resta de cada dato experimental el promedio y el resultado es la desviación
de cada dato.
Para el primer dato de la tabla 4 la desviación sería Xi- X = 1,110 - 1,142 = -0,032 g/mL .
Cada desviación se eleva al cuadrado y se suman todos los cuadrados de las desviaciones. El
resultado de la suma de los cuadrados se divide por el número total de datos menos uno (n-1). Al
cociente obtenido se le saca la raíz cuadrada, el resultado es la desviación estándar. Revise el manual
de su calculadora y aprenderá como realizar todo ese cálculo en una sola operación.
Para los datos de la tabla No. 4
n = 74
S = 0,013 g/mL
Cuando se trabaja con una muestra, para estimar los límites de confianza dentro de los cuales se
encuentra el valor verdadero se utiliza la desviación estándar del promedio ( S X ),que se calcula así:
SX
S
n
Donde S es la desviación estándar definida antes y n es el número total de medidas realizadas. Para
los datos de la tabla No. 4, S X = 0,0015 g/mL .
La desviación estándar del promedio sirve para expresar la incertidumbre y si esto se hace se le llama
“incertidumbre estándar”.
14
De acuerdo con la teoría conocida como Distribución t o Distribución t Student , en una muestra de
datos, tomada al azar, de una población que sigue una distribución normal, el valor promedio X
permite calcular el rango donde, con un nivel de confianza dado, se encuentra el valor verdadero ,
según la siguiente expresión:
X
tSX
El nivel de confianza hace referencia a la probabilidad de encontrar el valor verdadero
dentro del
intervalo X tSX . El factor t que aparece en la fórmula depende del nivel de confianza deseado en
la estimación del valor verdadero ( ) y del número de datos adquiridos en el experimento, más
específicamente del número de datos menos uno (n-1), término conocido como número de grados de
libertad.
La tabla No. 5 presenta algunos valores para t en función de n-1 y del nivel de confianza.
Para el ejemplo de la determinación de la densidad de la solución acuosa y cuyos valores se reportan
en la tabla No. 4, el número de grados de libertad n-1 es de 73 y el promedio es 1,142 g/mL . El valor t
para un nivel de confianza del 95,0% es de 1,995 ; por lo tanto, según lo que nos dice la teoría
14
“Student” fue el seudónimo utilizado por W.S. Gosset. (Biometrika 1908, 6, 1.)
TÉCNICAS Y MEDIDAS BÁSICAS EN EL LABORATORIO DE QUÍMICA
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52
estadística existe un 95,0% de probabilidad de que el valor verdadero de la densidad de la solución,
objeto de medida en el experimento, se encuentre en el rango X 1,995SX o sea:
1,142 g/mL
1,142 g/mL
(1,995 x 0,0015 g/mL)
0,003 g/mL
Si se da una mirada a los números del valor t de la tabla No. 5 se observa que se hacen más grandes
a medida que aumenta el nivel de confianza, esto quiere decir que si queremos mayor probabilidad de
que el valor verdadero se halle en el rango seleccionado entonces el rango debe hacerse más grande.
Por ejemplo si queremos tener una probabilidad del 99,0% de que el valor verdadero de la densidad
de la solución se halle en el rango X tSX el valor de t debe ser 2,653 en lugar de 1,995 y el rango
será: 1,142 g/mL
0,004 g/mL .
15
Tabla No. 5: Valores del término t en función de n-1 y del nivel de confianza .
Valores t según el nivel de confianza
n-1 80,0% 90,0% 95,0% 98,0% 99,0%
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
73
120
3,078
1,886
1,638
1,533
1,476
1,440
1,415
1,397
1,383
1,372
1,363
1,356
1,350
1,345
1,341
1,337
1,333
1,330
1,328
1,325
1,323
1,321
1,319
1,318
1,316
1,315
1,314
1,313
1,311
1,310
1,303
1,296
6,314
2,920
2,353
2,132
2,015
1,943
1,895
1,860
1,833
1,812
1,796
1,782
1,771
1,761
1,753
1,746
1,740
1,734
1,729
1,725
1,721
1,717
1,714
1,711
1,708
1,706
1,703
1,701
1,699
1,697
1,684
1,671
1,289
1,282
1,658
1,645
12,706
4,303
3,182
2,776
2,571
2,447
2,365
2,306
2,262
2,228
2,201
2,179
2,160
2,145
2,131
2,120
2,110
2,101
2,093
2,086
2,080
2,074
2,069
2,064
2,060
2,056
2,052
2,048
2,045
2,042
2,021
2,000
1,995
1,980
1,960
31,821
6,965
4,541
3,747
3,365
3,143
2,998
2,896
2,821
2,764
2,718
2,681
2,650
2,624
2,602
2,583
2,567
2,552
2,539
2,528
2,518
2,508
2,500
2,492
2,485
2,479
2,473
2,467
2,462
2,457
2,423
2,390
2,358
2,236
63,657
9,925
5,841
4,604
4,032
3,707
3,499
3,355
3,250
3,169
3,106
3,055
3,012
2,977
2,947
2,921
2,898
2,878
2,861
2,845
2,831
2,819
2,807
2,797
2,787
2,779
2,771
2,763
2,756
2,750
2,704
2,660
2,653
2,617
2,576
15
Los datos de esta tabla se reportan de modo tal que los valores de t se puedan utilizar directamente en la ecuación
X tSX .
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53
En las determinaciones de rutina o en los experimentos aplicados en la enseñanza, lo común es hacer
experimentos por triplicado. En estas circunstancias también es posible aplicar la estadística. Por
ejemplo al hacer una titulación una estudiante utilizó los siguientes volúmenes de reactivo en los tres
experimentos: 24,50 mL , 24,53 mL y 24,55 mL . El promedio de los volúmenes utilizados es 24,53 mL
, n es tres, la desviación estándar S = 0,025 mL y la desviación estándar del promedio S X = 0,015 mL
. Según la Distribución t de Student el valor real se debe encontrar en el rango 24,53 mL t 0,015 mL .
La tabla No. 5 nos informa que el valor t para un 95,0% de confianza para n-1 = 2 es 4,303. Por lo
tanto existe una probabilidad del 95,0% de que el valor esté entre 24,53 mL 0,06 mL
La desviación estándar del promedio ( S X ) indica que tan reproducible es una serie de medidas, así,
un valor alto indica alta dispersión de datos y baja precisión de las medidas, en cambio un valor bajo
de la desviación estándar indica baja dispersión de datos y buena precisión. Una desviación estándar
del promedio más pequeña significa un instrumento más preciso o la determinación de una propiedad
de manera más precisa. También, de la fórmula se puede deducir que cuanto más grande el tamaño
de la muestra menores serán S X y t y más confiable será el resultado. La incertidumbre de un
conjunto de medidas disminuye proporcionalmente a la raíz cuadrada del número de observaciones.
La desviación estándar del promedio sirve para estimar la dispersión de los datos en términos
absolutos. Sin embargo, cuando se desea comparar la precisión de los instrumentos o conjuntos de
medidas entre si, se utiliza el coeficiente de variación que es un número adimensional y que mide la
dispersión relativa de los datos.
Coeficiente de variación (CV).
Se obtiene al dividir la desviación estándar (S) sobre el promedio y es expresado como porcentaje.
CV
S
100%
X
Entre más pequeño sea el coeficiente de variación, más preciso será el instrumento o el resultado de
las medidas realizadas. Lo conveniente es comparar coeficientes de variación obtenidos con el mismo
número de medidas n.
Para los datos de la tabla 4 el coeficiente de variación será:
(0,013 g/mL/1,142 g/mL)x100%= 1,1%.
No se debe hablar de precisión de una sola medida, la precisión necesariamente implica varias
medidas realizadas de manera repetible o reproducible.
Determinación de la Tolerancia, Límite de error o Límite máximo de error:
Los fabricantes de material de vidrio e instrumentos de medida en laboratorios de química
generalmente determinan la tolerancia o límite de error según el resultado de por lo menos 10 réplicas
16
de la medida del volumen, realizadas en una muestra extraída al azar de los instrumentos de
medición que fabrican.
Para calcular la tolerancia o límite máximo de error utilizan la siguiente fórmula:
16
El tamaño de la muestra a analizar por lo general es igual a
N donde N es el número total de instrumentos fabricados.
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54
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Tol.
%Er
2 CV (%)
Vn
100 %
Donde Tol. Es la tolerancia o límite de error (LE), %Er es el porcentaje de error relativo o porcentaje
de exactitud, CV es el coeficiente de variación expresado como porcentaje y Vn es el volumen nominal
del instrumento.
Las normas de fabricación de instrumentos exigen al fabricante que el 99,7% de las medidas
realizadas con el instrumento, en ausencia de otras fuentes de error, estén dentro del valor nominal
la tolerancia o error límite LE.
CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Como se anotó anteriormente una cifra significativa es todo digito que se expresa en una medida y
que tiene significado físico. Las cifras significativas necesariamente son obtenidas por medidas.
Recuerde que al realizar una medida, para escribir el dato, por convención se escriben todas las cifras
ciertas que nos da el instrumento y un solo dígito dudoso.
En los instrumentos graduados la resolución está dada por las divisiones más finas del instrumento.
Las cifras que se leen en la escala se consideran cifras ciertas, por lo tanto, al medir con un
instrumento graduado se debe escribir una cifra adicional a las que se pueden determinar por
la lectura directa en escala, siempre y cuando el instrumento se utilice de acuerdo con las
instrucciones dadas por el fabricante y las condiciones en las que se hace la medida lo permitan.
Las cifras significativas dependen de los instrumentos y de las condiciones en que se realiza la
medida.
Por ejemplo, la lectura del volumen descargado por una bureta de 50 mL de capacidad nominal,
calibrada en incrementos de décima de mL , puede ser 37,42 mL . Especificar esa medida de volumen
como 37,421 mL no tendría sentido porque difícilmente una persona puede dividir mentalmente la
separación que hay entre una décima de mL y la siguiente en 100 partes y ser capaz de distinguir
entre la parte 21 y la parte 22. Además, la incertidumbre de la medida realizada con la bureta está en
la centésima de mL (por lo general la tolerancia de esas buretas es de ± 0,05 mL), si no se puede
tener seguridad en la centésima mucho menos en la milésima. De otro lado, reportar el dato solo
como 37,4 mL es desperdiciar la calidad del instrumento ya que el experimentador está observando
que el valor señalado por el instrumento es mayor que 37,4 mL .
Si en la medida anterior el experimentador observa que el menisco coincide con la línea del 37,4 y no
puede afirmar que la medida es mayor o menor de 37,4 mL entonces la medida se debe escribir como
37,40 mL 0,05 mL , para indicar que el valor está más cerca del 37,40 que de cualquier otro valor.
Esta medida, por ejemplo sería distinta de 37,42 mL 0,05 mL . En ambos casos el último dígito es
dudoso pero tiene significado físico ya que con ese dígito el experimentador está especificando que
las medidas son diferentes.
En los instrumentos graduados la última cifra se lee por apreciación entre dos de las divisiones más
finas de una escala graduada (reglas, buretas, balanzas, etc.). Cuando se utilizan instrumentos
graduados que poseen nonio (por ejemplo balanzas y calibradores), la cifra determinada con el nonio
es aproximada y no se debe, ni se requiere, escribir otra cifra adicional. Lo mismo es válido para los
instrumentos digitales, la última cifra leída en la pantalla es la cifra dudosa.
En los instrumentos aforados las cifras significativas se expresan según la tolerancia certificada por el
fabricante o en su defecto por la especificada en las normas aceptadas internacionalmente para los
instrumentos de su tipo y clase. Si los instrumentos aforados se utilizan de acuerdo con las
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55
instrucciones especificadas por el fabricante, y que se hallan en este libro, generalmente el error de las
medidas es inferior a la tolerancia.
Por ejemplo al llenar hasta su línea de afore un balón aforado de cien mL , clase B (tolerancia ± 0,20
mL) el volumen se debe escribir 100,0 mL ± 0,20 mL . El último dígito de la medida debe coincidir con
el primero de la tolerancia.
Los números obtenidos por conteo de cantidades discretas o que representan una definición se tratan
como si tuvieran un número infinito de cifras significativas. Ej. Un metro tiene 100 cm ; en este caso
100 es un número dado por definición, no tiene ninguna incertidumbre, entonces se considera como si
tuviera un número infinito de ceros después de la coma 100,000 000 000 000 000 000 000 .....
¿Cómo escribir el resultado de un conjunto de medidas cuando se han aplicado los cálculos
estadísticos?
Cuando se ha realizado una serie de medidas las cifras significativas del promedio van hasta donde
comienza el término
tSX . Por lo general se adopta el intervalo con 95,0% de confianza. El
intervalo
tSX
representa la incertidumbre que se tiene sobre el valor verdadero de la propiedad
medida. En el ejemplo de la tabla 4 el promedio se debe reportar como 1,142 g/mL ya que
igual a
tSX
es
0,003 g/mL , la incertidumbre está en la milésima de g/mL .
Con frecuencia es necesario realizar cálculos con valores a los que no se les conoce el rango de
incertidumbre. Recuerde que todo número obtenido por medidas es un número inexacto y lleva una
incertidumbre asociada. Cuando no se conoce el intervalo de incertidumbre se asume que por lo
menos ésta es representada por el último dígito (dígito dudoso) y que como mínimo es igual a 5 del
valor representado por ese dígito.
A continuación se presentan las reglas para determinar las cifras significativas de valores de medidas
reportados.
Reglas para determinar el número de cifras significativas
1. Dígitos que no son ceros son siempre significativos.
2. Ceros entre dígitos diferentes a cero, son significativos.
3. Ceros al comienzo de los números (a la izquierda) no son significativos, ejemplo: 0,075 cm solo
tiene dos cifras significativas.
4. Ceros a la derecha de la coma (decimal) son significativos, ejemplo: 0,750 m tiene tres cifras
significativas, la incertidumbre de la medida está en los mm .
5. Ceros al final de números que no poseen coma decimal pueden ser o no significativos. Para evitar
esta caótica situación se utiliza la notación exponencial.
Recuerde que las cifras significativas de un número obtenido por medidas están definidas por
el instrumento con que se hace la medida al momento de hacer la lectura.
Por ejemplo; al leer una bureta graduada el número obtenido es 17,50 mL 0,05 mL ese número tiene
cuatro cifras significativas. Si por alguna razón, al hacer la medida, Ud. no determinó el dígito dudoso y
solo escribió 17,5 mL , al hacer el informe o utilizar el valor para hacer algún cálculo no debe reescribir 17,50 mL , puesto que en ese momento ya no se tiene la certeza de que el menisco se
encontraba justo sobre la línea del 17,5 y no algo por encima o algo por debajo de ese valor y el dato
se debe dejar con solo tres cifras significativas, siendo el cinco el dígito dudoso. El cero al final, bajo
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56
esas circunstancias ya no tiene significado físico, colocar el cero adicional bajo esas condiciones es
falsear el dato y es una falta contra la ética que debe regir nuestros actos.
Tabla No. 6: Ejemplos para determinar el número de cifras significativas:
Cantidad
Número de cifras
significativas
322,19
5
567
3
6,040
4
0,003
1
23
6,02 x 10
3
0,007 5
2
11,000 06
7
234,000 7
7
23,010 0
6
1 900 032
7
100,00
5
1 000 000
1ó6
Cifras significativas en la conversión de unidades
Las cifras significativas parten del instrumento de medida y no deben cambiar si el resultado de la
medida se expresa en otras unidades. Para ilustrar esto continuemos con el ejemplo de la longitud de
la hoja de papel que el experimentador determinó como 14,62 cm 0,05 cm , ¿que pasa si deseamos
expresar este valor en m o en km o en pm ?
La incertidumbre de la medida está en la décima de mm y debe mantenerse en las operaciones
matemáticas de conversión de unidades. Para mantener la incertidumbre en su lugar puede ser
necesario utilizar la notación exponencial como se ilustra a continuación:
1m
0,1462 m
100 cm
1m
0,0005 m
0,05 cm
100 cm
14,62 cm
El resultado expresado en metros será:
0,1462 m 0,0005 m
1m
1km
0,0001462 km
100 cm 1000 m
ó 1,462X10 -4 km
1km
1m
0,0000005 km
0,05 cm
100 cm 1000 m
ó 5X10 -7 km
14, 62 cm
-4
Y el resultado expresado en kilómetros será: 1,462x10 km
-7
5x10 km
1x1010 pm
1,462x1011 pm
1cm
1x1010 pm
5x108 pm
0,05 cm
1cm
14,62 cm
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11
Expresada en picómetros la medida será: 1,462x10 pm
57
8
5x10 pm .
Observe que en los ejemplos anteriores el número 2 mantiene la posición que corresponde a las
décimas de mm , sin importar en que unidad de longitud expresemos la medida, la incertidumbre se
mantiene en su lugar porque depende del proceso de medida y no de la unidad en que ésta se
exprese.
Cálculos que involucran números obtenidos por medidas:
Todo número obtenido por medidas es un número inexacto, esto quiere decir que lleva una
incertidumbre asociada. ¿Qué pasa con las incertidumbres cuando debemos utilizar los números
obtenidos por medidas para hacer cálculos?
17
Las incertidumbres se propagan en los cálculos de la siguiente forma :
En operaciones de adición y sustracción la incertidumbre del resultado (Ires.) es igual a la raíz cuadrada
de la suma de los cuadrados de las incertidumbres de cada uno de los datos involucrado en el cálculo
Ires.
(I12 I22 I32
In2 )
Ejemplo: Suponga que se desea realizar las siguientes operaciones aritméticas con números
obtenidos por medidas
82,05 g
3,2475 g
- 0,4
g
0,01g
0,0002 g
0,1g
La calculadora ofrece el siguiente resultado: 84,897 5 pero ¿será que las incertidumbre en las medidas
permite creer en ese resultado hasta la diezmilésima de gramo?
La incertidumbre del resultado será:
Ires.
(0,01 g)2 (0,0002 g)2 (0,1 g)2
0,1005 g
Este valor nos indica que la incertidumbre del resultado comienza en la décima de gramo y por lo tanto
el resultado se debe escribir
84,9 g
0,1 g
Observe que en la operación el número 0,4 g está restando pero la incertidumbre de ese número
suma en la ecuación para determinar la incertidumbre del resultado.
En operaciones de multiplicación y división es necesario hacer uso de la incertidumbre relativa en
lugar de la incertidumbre absoluta. La incertidumbre relativa del resultado (Irres) se determina con
ayuda de las incertidumbres relativas (Ir) de los datos individuales de acuerdo con la siguiente
ecuación:
%Irres.
%Ir12
%Ir22
%Ir32
%Irn2
Recuerde que el % de incertidumbre relativa se define como:
17
Las formulas aquí presentadas para el cálculo de la propagación de la incertidumbre son una aproximación basada en la ley
de la propagación de la incertidumbre y por simplificación no se han considerado las posibles covarianzas que se pueden
presentar entre las variables, ni se han incluido coeficientes de sensibilidad en los cálculos. A los lectores que deseen ser más
rigurosos se les invita a continuar con el estudio del tema en las lecturas sugeridas en la bibliografía.
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58
Incertidumbre absoluta (I)
*100%
valor medido o promedio (X )
%Ir
Ejemplo: Se determinó la densidad de una solución acuosa, pesando en una balanza analítica un
volumen de 8,5 mL medido con una probeta graduada cada 0,2 mL (tolerancia 0,1 mL).
Masa: 9,3122 g 0,0002 g
Volumen: 8,4 0,1 mL
El resultado dado por la calculadora es:
D= m/V = 1,108 595 238 g/mL
%Irmasa=(0,0002 g/9,3122 g)x100%= 0,00215%
%Irvolumen = (0,1 mL/8,4 mL)x100%= 1,19%
%IrDensidad
0,002152
1,192
1,19%
El error relativo es debido prácticamente solo al error en la medida del volumen, como era de
esperarse. La incertidumbre de la densidad será igual a:
I = 1,108 595 238 g/mL*1,19/100= 0,0132 g/mL
Observe que la incertidumbre comienza en la centésima de los g/mL , entonces el valor de la densidad
de la solución acuosa se debe recortar hasta la centésima.
D = 1,11 g/mL
0,013 g/mL
A pesar de que el volumen se midió con solo dos cifras significativas, el resultado del cálculo de la
propagación de error nos dice que podemos expresar el resultado de la operación con tres cifras
significativas. Por lo general la incertidumbre no se expresa con más de dos cifras significativas, por
eso el número 0,0132 g/mL se ha recortado en el resultado a 0,013 g/mL .
En la tabla No. 7 se hallan las fórmulas para estimar la propagación de la incertidumbre al hacer
cálculos matemáticos con diferentes funciones.
Tabla No. 7: Resumen de las reglas para la propagación de la incertidumbre en cálculos con números
18
obtenidos por medidas .
Función
Incertidumbre
Y = X1 + X2
Iy. (IX12 IX22
Y = X1 - X2
Y = X1*X2
X1
X2
Y
a
%Iry.
Y= X
%IrY = a %IrX
Y= Log X
IY
X
Y=10
X
Y=e
IY
IY
%IrX12 %IrX22
I
1 IX
0,43429 X
X
Ln10 X
Y IX ln10 Y 2,3026 IX
Y IX
Nota: a representa una constante sin incertidumbre.
18
Fuente: Daniel C. Harris “Quantitative Chemical Analysis“ 5 Ed. W. H. Freeman and Company, New York, 1998, pág. 63.
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59
La exactitud de un resultado está limitada por la exactitud de las medidas, no se pueden
mejorar datos mal tomados con cálculos matemáticos.
Cuando no se hace el cálculo de la propagación de la incertidumbre, una forma aproximada para
escribir las cifras significativas del resultado de operaciones con números obtenidos por medidas es
aplicar las siguientes reglas:
Suma y Resta:
En operaciones de adición y sustracción el resultado debe ser expresado hasta la posición decimal (o
entera) del número involucrado en el cálculo que tenga la mayor incertidumbre.
Suponga que se desean sumar los números 3,271 g + 2 980,1 g obtenidos mediante medidas. El
primero de estos números tiene cuatro cifras significativas y el segundo tiene cinco. La incertidumbre
de las medidas fue diferente; el primero fue obtenido con aproximación a la milésima de gramo,
mientras que el segundo tuvo aproximación a la décima de gramo. El resultado de la suma debe ser
escrito con aproximación a la décima de gramo y no a la milésima, ya que la incertidumbre del
resultado debe ser por lo menos del mismo orden de magnitud del número menos exacto.
3,271 g + 2 980,1 g = 2 983,4 g
Observe que el resultado no está limitado a las cuatro cifras significativas del primer número. Tenga
en cuenta que estas reglas son aproximadas y que un tratamiento mejor es utilizar las fórmulas de la
tabla No. 7 para la propagación de errores.
Multiplicación y División:
En multiplicación y división la respuesta debe ser dada con el mismo número de cifras significativas
del número con menos cifras significativas involucrado en el cálculo.
Suponga que se desean multiplicar dos números obtenidos por medidas; la operación según la
calculadora sería:
2,28 x 3,147 7 = 7,176 756.
El número 2,28 tiene tres cifras significativas y el número 3,1477 tiene cinco cifras significativas. Al
aplicar la regla el resultado de la operación anterior no debe contener más de tres cifras significativas
2,28 x 3,1477 = 7,18.
Para eliminar las cifras que no son significativas obtenidas como resultado de operaciones
matemáticas se deben tener en cuenta las reglas del redondeo:
Si la cifra que se va a descartar es mayor que 5, la última que se conserva se incrementa en una
unidad.
Ejemplo: Redondear a tres cifras significativas el número 58,16. El número a descartar es mayor que
5 por lo tanto se debe redondear a 58,2 .
Si la cifra que se va ha descartar es menor que 5, la última cifra se conserva sin modificación.
Ejemplo: Redondear a cuatro cifras significativas el número 49,544. El número a descartar es menor
que 5 y el redondeo queda 49,54 .
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60
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Si la cifra a descartar es 5 la última que se conserva se incrementa en una unidad si el número a
obtener es par. Si el número a obtener es impar el cinco se descarta y la cifra que se conserva no
se modifica.
Ejemplo: Redondear a cuatro cifras significativas el número 14,365. El número a descartar es un
cinco, si el número anterior que es seis se aumenta en una unidad se obtiene un número impar (siete),
por lo tanto sencillamente el cinco se descarta y el número con cuatro cifras sería 14,36 .
Ejemplo: Redondear a cuatro cifras significativas el número 18,275; el número con cuatro cifras sería
18,28 ya que el número a descartar es cinco y al aumentar el anterior (siete) en una unidad se obtiene
un número par (ocho).
Si se va ha descartar más de una cifra es necesario considerar las cifras a descartar como un
solo número, no se debe ir descartando una por una.
Ejemplo: Redondear a tres cifras significativas el número 10,746 8: el número expresado con tres
cifras significativas sería 10,7 ya que 10,746 8 está más cerca de 10,7 que de 10,8. Observe que si se
va eliminando cifra por cifra y se aplican las reglas anteriores el número obtenido sería 10,8 , el cual es
menos lógico ya que 10,746 8 está más cerca de 10,7 que de 10,8 .
Ejemplo: Redondear a 2 cifras significativas el número 18,543: el número expresado con dos cifras
significativas sería 19, ya que 18,543 está más cerca de 19 que de 18.
Si no se hace el cálculo de la propagación de la incertidumbre y se aplican las reglas aproximadas
para escribir las cifras significativas del resultado de operaciones con números obtenidos por medidas,
el redondeo en operaciones de suma y resta se debe hacer inmediatamente se termina la
operación y no se debe dejar para hacerlo sobre el resultado final de varias operaciones
seguidas.
De igual manera, el redondeo al número adecuado de cifras significativas, en operaciones de
multiplicación o división, se debe realizar sobre el resultado, al final de las operaciones.
Cada vez que sea necesario utilizar un valor obtenido por medidas, pero aceptado ampliamente por la
comunidad científica, como los pesos atómicos, el número de Avogadro, las constantes R (constante
de los gases ideales), h (constante de Planck), C (velocidad de la luz en el vacío), g (aceleración
gravitacional estándar), , etc., mientras sea posible el valor de la constante se debe utilizar con
un número de cifras significativas tal, que no sea el dato que limite el número de cifras
significativas del resultado. Si esto no es posible, como el valor de la constante también fue
obtenido por medidas, será el dato que limite el resultado.
Un aspecto a tener en cuenta es que muchas de las técnicas que Ud. va ha utilizar le son nuevas,
cuando estamos aprendiendo a manejar un instrumento existe mucha mayor probabilidad de cometer
errores personales que cuando ya tenemos práctica. La estadística que hemos expuesto en este libro
no puede corregir los errores personales ni los errores sistemáticos.
A la hora de evaluar los resultados de un experimento utilice el sentido común. Si está consiente de
haber cometido un error en una medida, (cualquiera de los errores personales o sistemáticos)
obviamente ese dato se debe descartar y no promediar. Esta presunción supone que aprendemos con
base en la experiencia.
RECHAZO DE DATOS
Con frecuencia nos vemos enfrentados a datos que son sospechosos de incorporar errores
personales o sistemáticos y los identificamos como tales porque se salen de la tendencia que
presentan los demás. Ante esta situación nos vemos ante la disyuntiva de si incorporar o no ese dato
en nuestros cálculos. Lo ideal es tener un criterio que permita tomar esa decisión sin sentir que
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61
faltamos a la ética intentando ajustar los resultados a nuestra voluntad. Para este propósito existen
19
varios criterios basados en la estadística, uno de lo más populares es la prueba Q .
La prueba Q consiste en determinar que tan lejos está el valor sospechoso de su vecino más cercano
y luego dividir esa distancia entre el rango, el valor obtenido se compara contra una tabla de un nivel
de confianza determinado, si el valor obtenido es mayor o igual al de la tabla el dato sospechoso
puede ser desechado.
Q=
Distancia entre el dato sospechoso y su vecino más cercano
Rango
20
Tabla de valores de Q para rechazo de datos .
Número
de Q para 95%
observaciones
3
0,970
4
0,829
5
0,710
6
0,625
7
0,568
8
0,526
9
0,493
10
0,466
11
0,444
12
0,426
13
0,410
14
0,396
15
0,384
16
0,374
17
0,365
18
0,356
19
0,349
20
0,342
21
0,337
22
0,331
23
0,326
24
0,321
25
0,317
26
0,312
27
0,308
28
0,305
29
0,301
30
0,398
Ejemplo: en una titulación se obtuvieron los siguientes datos: 10,63 mL , 10,57 mL , 10,22 mL y 10,59
mL ; el dato 10,22 mL parece sospechoso de incorporar errores personales o sistemáticos por estar
alejado de los otros tres datos. El dato más cercano al sospechoso es 10,57 mL por lo tanto la
distancia entre el dato sospechoso y el vecino más cercano es 0,35 mL . El rango es el dato mayor
(10,63 mL) menos el dato más pequeño (10,22 mL), así el rango es igual a 0,41 mL
Q = 0,35 mL /0,41 mL = 0,854
19
20
R. B. Dean, W. J. Dixon. Anal. Chem. 1951, 23, pág. 636.
Fuente: D. B. Rorabacher, Anal. Chem. 1991, 63 pág. 139.
TÉCNICAS Y MEDIDAS BÁSICAS EN EL LABORATORIO DE QUÍMICA
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA, DEPARTAMENTO DE QUÍMICA.
Al revisar la tabla se encuentra que Q para 4 observaciones es 0,829 , por lo tanto, el valor obtenido
en la prueba es mayor y el dato sospechoso se puede rechazar con 95% de confianza, o lo que es lo
mismo con solo un 5% de probabilidad de estar eliminando un dato posiblemente correcto.
Esta prueba se aplica solo para datos que son considerados adquiridos de la misma manera; si el
investigador o analista identifican un dato que contiene errores personales o sistemáticos ese dato se
debe descartar independiente de su magnitud y si pasa o no la prueba Q. Esta prueba presupone una
distribución normal de los datos y por lo tanto no es aplicable cuando la magnitud de la desviación
estándar es del mismo orden que el promedio; esto sucede, por ejemplo, cuando las técnicas
analíticas o instrumentos se utilizan muy cerca de su límite de detección.
Bibliografía y lecturas adicionales:
Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement. ISO, 1995.
nd
Eurachem / CITAC Guide “Quantifying Uncertainty in Analytical Measurement” 2
http://www.measurementuncertainty.org/
Ed. 2000.
EURACHEM / CITAC Guide “Traceability in Chemical Measurement, A guide to achieving comparable
results in chemical measurement” 2003. http://www.measurementuncertainty.org/
TÉCNICAS Y MEDIDAS BÁSICAS EN EL LABORATORIO DE QUÍMICA