Makalah mm

MAKALAH PENDIDIKAN MATEMATIKA SD MODUL 2 BILANGAN CACAH D I S U S U N OLEH RINI NURSEJATI (NIM 826006506) ROCE MARSAULINA (NIM 826006728) SITI CHOERIYAH (852947253) BILANGAN CACAH Pendahuluan Pada modul ini menyajikan uraian tentang bilangan cacah. Bilangan Cacah adalah himpunan bilangan asli ditambah dengan bilangan nol. Konsep yang dibahas menyangkut pengertian bilangan cacah, pengoperasian antara dua atau lebih bilangan cacah, meliputi operasi penjumlahan, pengurangan,perkalian dan pembagian.Melalui uraian dan pembahasan diharapkan dapat menambah wawasan dan pengetahuan yang akan diterapkan dalam melakasanakan tugas mengajar sehari-hari. Pembahasan Uraian Materi a. Bilangan dan lambang Diawali dengan menyiapkan media atau kartu bilangan : 1, 10, 1000, 100.000 dst. Langkah-langkah yang harus dilakukan guru : Menjelaskan nilai tempat yang ditempati oleh angka oleh angka-angka suatu bilangan yang terdiri dari 5 angka dengan pertolongan kartu bilangan Membaca dan menulis lambang bilangan Menjelaskan kartu bilangan Menulis beberapa lambangan bilangan yang terdiri dari 6 angka Menulis beberapa lambang bilangan b.Bilangan kardinal dan ordinal Kardinal dikenal sebagai bilangan cacah sedangkan kardinal dikenal sebagai bilangan asli. c.Nilai tempat dan ketidaksamaan Alat peraga yang diperlukan berupa kertas atau kartu bilangan mulai 1, 10, 100, 1000, 10.000, 100.000. Langkah-langkah pembelajaran : Menjelaskan nilai tempat yang ditempat angka atau lambang bilangan yang terdiri dari 5 angka. Menjelaskan angka-angka bilangan 6 angka berurtan dari kiri, ratusan ribu hingga satuan. Menulis beberapa lambang bilangan 6 angka lalu siswa menentukan nilai setiap angka. Bisa dilakukan diskusi kelompok, diberikan 2 bilangan 6 angka untuk menentukan bilangan yang kecil dari yang besar. Contoh soal Tulislah nama bilangan ! Tuliskah lambang bilangan lima ribu seratus tiga puluh empat yang digaris bawahi ! Tentukan nilai angka nilai angka yang digaris bawahi 136. 762 ! Tuliskan lambang bilangan berdasarkan nilai yang digaris bawahi dari 382. 657 ! Tentukan bilangan yang terkecil dari sepasang bilangan 357.812 dan 148.967 ! Rangkuman Langkah-langkah yang dilakukan dalam proses pembelajaran pokok bahasan bilangan dan bilangan yaitu menyiapkan kartu bilangan yang terbuat dari kertas, membaca dan menulis lambang bilangan, serta menjelaskan konsep nilai tempat. Untuk membandingkan dua buah bilangan, bandingkan masing-masing angka yang bersesuaian nailai tempatnya dari kedua bilangan tersebut. Jawaban tes formatif Dibaca tiga puluh lima ribu enam ratus tujuh puluh dua Lambang bilangan + 25.135 136.762 = 700 382.657 + nilai tempat ribuab 357.812>146.967 BILANGAN CACAH, OPERASIONAL SERTA TEKNIK PENYELESAIANNYA DAN PEMBELAJARANNYA DI SD Bilangan Cacah Bilangan cacah merupakan himpunan bilangan asli ditambah dengan bilangan nol. Bilangan asli sendiri merupakan bilangan yang dimulai dari 1 selanjutnya bertambah satu-satu. Ketidaksamaan pada bilangan cacah Kita bandingkan dua bilangan yang tidak sama misal : 3 < 8 dibaca 3 kurang dari 8 9> 5 dibaca 9 lebih dari 5 Pernyataan diatas ini disebut ketidaksamaan Penjumlahan Pengerjaan jumlah atau penjumlahan merupakan pengerjaan hitung yang pertama kali dikenal anak-anak. Fakta-fakta dasar penjumlahan Yang dimaksud dengan fakta-fakta dasar penjumlahan ialah penjumlahan atau kombinasi bilangan dari 0 sampai 9, misalnya : 9 + 1, 9 + 2, tetapi 12 + 9 bukan dasar penjumlahan sebab 12 bukan bilangan yang lambangnya terdiri satu angka ada 4 pendekatan atau jalan untuk menerangan penjumlahan yaitu : Penjumlahan melalui kumpulan Penjumlahan dengan menggunakan dasar kumpulan didasarkan kepada gabungan dua kumpulan lepas Contoh soal : Saya punya kelereng dua buah. Kemudian saya membeli lagi tiga buah. Berapa jumlah jumlah kelereng yang sekarang saya miliki ? Penjumlahan melalui pengukuran Garis bilangan Timbangan bilangan Dengan batang kuesioner Penjumlahan melalui mesin fungsi Pada umumnya mesin fungsi tidak dipergunakan untuk menerangkan penjumlahan atau pengerjaan hitung lainnya, tetapi lebih banyak dipergunakan untuk latihan dan pengenalan fungsi Penjumlahan dengan cara bersusun panjang dan pendek Pak Agus mempunyai kebun kelapa. Pada bulan Januari ia memetik 2.438 buah. Pada bulan Februari ia memetik 1.562 buah. Pada bulan Maret ia memetik 3. 724 buah jumlah kelapa yang dipetik selama 3 bulan adalah : + 1.562 + 3.724 = Cara susunan Panjang 2.438 = 2000 + 400 + 30 + 8 1.562 = 1000 + 500 + 60 +2 3.724 = 3000 + 700 + 20 + 4 = 6000 + 1600 + 110 + 14 = 6000 + (1000 + 600 ) + (100 +10) + (10+4) = (6000+1000) + (600+100) + (10+10)+4 = 7000+ 700 + 20 + 4 = 7.724 Cara susun pendek 2.438 1.562 3.724 + 7.724 Sifat-sifat penjumlahan Tertutup (jumlah setiap dua bilangan cacah sembarangan adalah bilangan cacah pula) Pertukaran (komutatif) Pengurangan Pada pengurangan kita mencari selisih Fakta-fakta dasar pengurangan Pada fakta-fakta dasar pengurangan, bilangan yang dikurangi harus kurang atau sama dengan , sedaangkan pengurangannya ialah bilangan cacah dari 0 sampai dengan 9.Penjumlahan itu berkaitan dengan penggabungan atau penyatuan himpunan benda-benda sejenis. Pengurangan berkaitan dengan pemisahan himpunan benda-benda sejenis.Pada umumnya persoalan pengurangan dapat dilihat dalam 3 macam keadaan, yaitu : Membuang Mencari suku yang hilang Membandingkan Pengurangan melalui kumpulan Contoh soal : Ada 5 buah anak ayam. Dua ekor lari mengejar kupu-kupu. Berapa ekor anak ayam yang tinggal ? Pengurangan melalui pengukuran Pengurangan dengan pengukuran dapat dilakukan dengan tiga cara yaitu : Pengurangan dengan garis bilangan. Pengurangan dengan timbangan bilangan. Pengurangan dengan batang kuesioner. Pengurangan melalui mesin fungsi Pengurangan dengan cara bersusun pendek Contoh soal : Didi mengikuti perlombaan jalan cepat. Jarak yang harus ditempuh adalah 8.743 meter. Ia sudah menempuh 5.281 meter. Berapakah jarak yang masih harus ditempuh Didi 8.743 5.281 _______ _ 3.462 Sifat-sifat pengurangan Sifat pengurangan itu tidak cukup pada bilangan cacah, sebab selisih dua bilangan cacah tidak selalu hasilnya bilangan cacah lagi. Misalnya dalam 4 – 9 + - 5, meskipun 4 dan 9 itu bilangan cacah tetapi – 5 bukan bilangan cacah. Sifat pengurangan pada bilangan cacah tidak memenuhi sifat pertukaran Latihan 3.241 2.123 4.414 _______ + Selesaikan dengan cara bersusun panjang 2.346 3.213 4.414 Selesai dengan cara bersusun pendek Adi mempunyai kelereng 30 buah. Untuk bermain ia harus membawa 40 buah kelereng. Berapa buah kelereng lagi harus ia miliki ? 8 3 2 7 3 2 1 3 3 1 4 2 _______ - 7.243 5.162 _____ - Kunci jawaban 3000 + 200 + 40 + 1 2000 + 100 + 20 + 3 4000 + 400 + 10 + 4 9000 + 700 + 70 +8 = 9.778 8.701 3.204 30 + 10 = 40 2.081 PERKALIAN Perkalian bagi anak – anak di tingkat rendah dijelaskan melalui benda-benda konkret atau gambar benda-benda konkret dan dikaitkan pula dengan kehidupan sehari-hari Contoh : Ibu Ani punya 2 dus telur. Masing-masing dus berisi 6 butir. Berapa butir telur bu Ani Fakta Dasar perkalian Fakta dasar perkalian ialah perkalian bilangan dari 0 sampai dengan 9. Ada 7 pendekatan yang dapat ditempuh yaitu kumpulan, pengukuran, jajaran, produk cartesius, kartu nilai tempat, blok model Dianes, kantong nilai tempat, abakus, mesin fungsi dan cara mendatar/bersusun panjang/bersusun pendek Perkalian melalui Himpunan (kumpulan) Perkalian dapat diterangkan dengan menggunakan pendekatan himpunan, yaitu himpunan-himpunan lepas yang ekuivalen dan sejenis Contoh soal Fazar mempunya 3 bungkus permen karet, masing-masing bungkus berisi 4 buah permen karet. Berapa buah permen karet yang dimiliki Fajar ? 3 x 4 = 12 Banyaknya anggota himpunan dari 3 himpunan yang masing-masing anggota 4 buah adalah 3 x 4 = 12 Perkalian melalui Pengukuran Perkalian melalui pendekatan pengukur ada beberapa, yaitu dengan garis bilang, timbangan bilangan, batang kuesioner dan luas Perkalian dengan garis bilangan 3 x 2 = 6 Perkalian dengan timbangan bilangan Untuk menunjukan bahwa 2 x 3 = 6 adalah untuk posisi 3 di sebelah kiri kita gantungkan dua keping batu timbangan lalu untuk posisi 6 di sebelah kanan kita gantung satu keping batu timbangan. Perkalian dengan batang kuesioner Contoh 2 x 5 buatlah persegi panjang dengan lebar 2 satuan dan panjang 5 satuan : 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 Perkalian dengan luas Jajaran (arrange) adalah susunan benda-bena dalam bentuk persegi panjang Perkalian melalui jajaran a b Ada 2 baris dan 4 lajur Ada 3 baris dan 5 lajur Perkalian melalui Produk Cartesius Perkalian silang dari 2 himpunan, Contoh : Tono punya 2 buah celana dan 3 buah baju. Bila dipasangkan, berapa buah pasangan yang berbeda yang dimiliki Tono Perkalian dengat alat Nilai peraga Nilai Tempat Perkalian yang menggunakan alat peraga : kartu nilai tempat, blok model, Dienes, kantong nilai tempat dan abakus. Perkalian melalui Mesin fungsi Perkalian ini untuk latihan (drill) dan bersifat untuk rekreasi Perkalian sebagai Penjumlahan Berulang Contoh soal : 5 x 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 4 x 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 Perlu diingat bahwa walaupun hasil akhirnya sama, namun proses 5 x 2 tidak sama dengan 2 x 5 5 x 2 = 2 + 2 + 2 + 2 +2 = 10 2 x 5 = 5 + 5 = 10 Perkalian dengan cara Mendatar, Bersusun Panjang dan Bersusun Pendek Soal : sebuah hotel mempunyai 376 kamar. Setiap kamar dapat ditempati 4 orang. Berapa orang dapat menempati hotel itu ? Hasil kali 4 x 376 dapat kita cari dengan cara : Cara mendatar 4 x 376 = 4 x (300 + 70 + 6 ) = ( 4 x 300 ) + (4 x 70) + (4 x 6) = 1480 + 24 = 1.504 Cara bersusun panjang 3 7 6 4 ________ x 24 ↔ ( 4 x 6) 280 ↔ ( 4 x 70) 1.200 ↔ ( 4 x 300) _________ + Cara bersusun pendek 32 376 4 _________ x 1 5 0 4 Sifat-sifat Perkalian Perkalian merupakan operasi penjumlahan berulang dengan bilangan yang sama. Misalnya 3 × 2 = 2 + 2 + 2 dan 2 × 3 = 3 + 3. Meskipun hasil akhirnya sama, perkalian 3 × 2 dan 2 × 3 memiliki arti yang berbeda, di mana 3 × 2 artinya tiga kali duanya, sedangkan 2 × 3 artinya dua kali tiganya.Penjelasan di atas merupakan definisi perkalian pada bilangan bulat  yang sudah dibahas pada postingan sebelumnya. Sifat Tertutup Salah satu  sifat operasional penjumlahan bilangan bulat  yakni bersifat tertutup, begitu juga pada perkalian bilangan bulat juga bersifat tertutup. Sifat tertutup maksudnya bahwa pada perkalian pada bilangan bulat, akan selalu menghasilkan bilangan bulat juga. Hal ini dapat dituliskan bahwa “Untuk setiap bilangan bulat p dan q, selalu berlaku p × q = r dengan r juga bilangan bulat”. Untuk lebih memantapkan pemahaman Anda tentang sifat tertutup operasi perkalian pada bilangan bulat, silahkan simak contoh soal di bawah ini. Contoh Soal 1 3 × 8 = 24 di mana kita ketahui bahwa 3 dan 8 merupakan bilangan bulat dan 24 juga merupakan bilangan bulat. Sifat Komutatif (Pertukaran) Operasi perkalian dua bilangan bulat selalu diperoleh hasil yang sama walaupun kedua bilangan tersebut dipertukarkan tempatnya. Hal ini dapat dituliskan bahwa “Untuk setiap bilangan bulat p dan q, selalu berlaku p × q = q × p”. Untuk lebih memantapkan pemahaman Anda tentang sifat komutatif (pertukaran) pada perkalian bilangan bulat, silahkan simak contoh soal di bawah ini. Contoh Soal 2 a. 2 × (–5) = (–5) × 2 = –10 b. (–3) × (–4) = (–4) × (–3) = 12 Sifat Asosiatif (Pengelompokan) Sifat ini menyatakan bahwa “Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlaku (p × q) × r = p × (q × r)”.  
Untuk lebih memantapkan pemahaman Anda tentang sifat asosiatif (pengelempokan) operasi perkalian pada bilangan bulat, silahkan simak contoh soal di bawah ini. Contoh Soal 3 a. 3 × (–2 × 4) = (3 × (–2)) × 4 = –24 b. (–2 × 6) × 4 = –2 × (6 × 4) = –48 Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan Sifat ini menyatakan bahwa “Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlaku p × (q + r) = (p × q) + (p × r)”. Untuk lebih memantapkan pemahaman Anda tentang sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan pada bilangan bulat, silahkan simak contoh soal di bawah ini. Contoh Soal 4 a.  2 × (4 + (–3)) = 2 × 1 = 2 =>(2 × 4) + (2 × (–3)) = 8 – 6 = 2 Jadi, 2 × (4 + (–3)) = (2 × 4) + (2 × (–3)) = 2 b.  (–3) × (–8 + 5) = (–3) × (–3) = 9 =>((–3) × (–8)) + (–3 × 5) = 24 – 14 = 9 Jadi, (–3) × (–8 + 5) = ((–3) × (–8)) + (–3 × 5) = 9 Perkalian dengan Bilangan kelipatan 10 Untuk perkalian bilangan kelipatan 10 maka diperluhkan mencongkak Contoh guru menulis beberapa soal perkalian di papan tulis dan murid menulis hasilnya di kertas masing-masing contoh 4 x 30, 4 x 300, 40 x 30, 40 x 300 PEMBAGIAN Operasi pembagian merupakan operasi yang paling sukar dibandingkan dengan penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Oleh karena itu perlu dipilih cara yang tepat untuk menjelaskan operasi hitung ini. Konsep pembagian diperkenalkan pada siswa dengan menggunakan benda-beda real atau gambar-gambar real yang dikaitkan dengan kehidupan sehari-hari Fakta Dasar Pembagian Fakta dasar pembagian harus dibagi adalah dari 0 sampai 81 dimana pembaginya ialah bilangan bulat dari 0 sampai 9 Contoh soal : ada 6 buah kue yang harus dibagi sama diantara 3 anak. Berapa kue setiap anak ? Soal diatas dapat diselesaikan dengan menggunakan bermacam-macam pendekatan yaitu: Pembagian melalui Himpunan Ada 8 kue yang harus dibagi rata kepada 4 orang anak. Berapa kue untuk tiap anak ? = 8 : 4 = 2 Pembagian melalui Pengukuran Pembagian melalui pemgukkuran yaitu : Dengan garis bilangan Soal 10 : Dengan timbangan bilangan Soal 6: 3 = Penyelesaiannya : Pada posisi 6 sebelah kiri timbangan kaitkan sebuah batu timbangan agar seimbangan mengaitkan 2 batu pada posisi 3 sebelah kanan maka : 6 : 3 = 2 Dengan batang kuesioner Soal 8 : 2 = Ambil sebuah batang kuesioner dari 8 satuan (warna cokelat). Kemudian letakan disampingnya 4 batang kuesioner dari 2 satuan sehingga pas menutupi batang dari 8 satuan jadi 8 : 2 = 4 Pembagian melalui jajaran Soal 12 : 4 caranya dengan menyusun 12 ke dalam jajaran tang setiap barisnya terdiri atas 4 anggota 12 : 4 = 3 Pembagian melalui Mesin Fungsi Ambillah mensin fungsi pembagian 3 atau mesin fungsi 3. Bila ke dalam mesin fangsi dimasukan kartu dengan angka 6 maka kartu yang keluar itu adalah angka 6. Pembagian sebagai Pengurangan Berulang Soal :Misal, seorang Ayah memiliki uang Rp 6.000,- dan ingin membagikan kepada anaknya yang berjumlah 3 orang dengan sama rata masing-masing Rp 2.000,-. Berapa akan menerima pembagian uang Ayah? 6.000 : 2.000 = 3 Maksudnya, 6.000 – 2.000 = 4.000 (1) 4.000 – 2.000 = 2.000 (2) 2.000 – 2.000 = 0 (3) Pembagian sebagai Kebalikan Perkalian Jajaran di sebelah kiri itu berarti juga 3 x 4 = 12, jadi dari 12 : 4 = 3 Dari 12 : 4 = 3 diperoleh 3 x 4 = 12 Jajaran di sebelah kanan berart 4 x 3 = 12 Dari 12 : 3 = 4 diperoleh 4 x 3 = 12 Membagi dengan cara bersusun Pendek Soal 6.822 :9 Bagilah ratusan dengan 9, 68 : 9 = 7 Sifat-sifat Pembagian Sifat Tertutup Salah satu sifat operasi penjumlahan bilangan bulat akni bersifat tertutup, Apakah pada pembagian bilangan bulat juga bersifat tertutup? Untuk membuktikan hal tersebut silahkan simak contoh soal di bawah ini. => 6 : 1 = 6 => 6 : 2 = 3 => 6 : 3 = 2 Sifat Komutatif (Pertukaran) Operasi perkalian dua bilangan bulat selalu diperoleh hasil yang sama walaupun kedua bilangan tersebut dipertukarkan tempatnya. Misalnya 2 × (–5) akan sama hasilnya dengan (–5) × 2 yakni –10. Bagaimana dengan operasi bentuk pembagian pada bilangan bulat? Untuk membuktikan hal tersebut silahkan simak contoh soal di bawah berikut ini. => 8 : 4 = 2 => 4 : 8 = ½ Ternyata 8 : 4 ≠ 4 : 8. Oleh karena itu, pada pembagian bilangan bulat tidak berlaku sifat komutatif (pertukaran).  Jadi, dapat disimpulkan bahwa operasi pembagian pada bilangan bulat tidak bersifat komutatif. Sifat Asosiatif (Pengelompokan) Pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat asosiatif (pengelompokan), misalnya (2 × 3) × 4 akan sama hasilnya 2 × (3 × 4) yakni 24. Bagaimana dengan pada pembagian bilangan bulat? Apakah akan berlaku sifat asosiatif? Untuk membuktikan hal tersebut silahkan simak contoh soal di bawah berikut ini : => (12 : 6) : 2 = 1 => 12 : (6 : 2) = 4. Ternyata (12 : 6) : 2 ≠ 12 : (6 : 2). Oleh karena itu, pada pembagian bilangan bulat tidak berlaku sifat asosiatatif (pengelompokan). Perpangkatan dan penarikan Akar Pangkat (2 dan 3) Untuk menentukan rumus pepangkatan tiga maka kalian harus ingat KUNCI Akar pangkat dua. Akar pangkat dua merupakan kebalikan dari pangkat dua. Coba mengingat Akar pangkat pangkat dua yuk... 32= 3 × 3 = 9 42= 4 × 4 = 16 Karena 32= 9, maka = = 3 Karena 42= 16, maka = = 4 Caranya Dua angka terakhir pada kuadrat itu selalu 25. Dalam menulis kuadratnya, tulislah lebih dahuu 25 dengan ruang kosong di depannya. Kuadrat 35 ialah ... 25. Untuk menemukan angka di depan 25, kalikan angka pertama dari bilangannya dengan angka pertama dari bilangannya dengan yang satu lebih besar dari angka tersebut. Pola-pola pada operasi Bilangan Cacah Untuk menyelesaikan operasi campuran pada bilangan cacah perlu diperhatikan hal-hal berikut : Operasi penjumlahan dan pengurangan sama kuat, artinya operasi yang ditulis lebih dahulu (di sebelah kiri) dikerjakan lebih dahulu. Operasi perkalian dan pembagian sama kuat, artinya operasi yang ditulis lebih dahulu (di sebelah kiri) dikerjakan lebih dahulu Operasi perkalian dan pembagian lebih kuat daripada operasi penjumlahan dan pengurangan, artinya operasi perkalian dan pembagian harus dikerjakan lebih dahulu walaupun ditulis di belakang operasi penjumlahan atau pengurangan Apabila dalam suatu terdapat tanda kurung, kerjakan operasi yang didalam tanda kurang terlebih dahulu. DAFTAR PUSTAKA Karsos, dkk. 2011. Modul Pendidikan Matematika I. Universitas Terbuka : Jakarta http://mafia.mafiaol.com/2014/06/sifat-sifat-perkalian-pada-bilangan-bulat.html diakses pada hari kamis tanggal 01-10-2015 http://mafia.mafiaol.com/2014/07/sifat-sifat-pembagian-pada-bilangan-bulat.html diakses pada hari kamis tanggal 01 – 10- 2015