CALCULO INTEGRAL

CALCULO INTEGRAL SERIES  TEMAS: 4.1 Definición de serie 4.2 Serie de numeración y convergencia (Criterio de D’ Aleybert) 4.3 Serie de Potencias 4.4 Radio de convergencia 4.5 Serie de Taylor 4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor 4.7 Calculo integrado de funciones expresadas como serie de Taylor  4.1 Definición de serie Una serie es una sucesión de un conjunto de términos formados según una ley determina. Por ejemplo                                1, 4,  9,  16,  25 Es la suma indicada de los términos de una secesión. Así de las sucesiones anteriores obtenemos la serie:                                                         1 + 4 + 9 + 16 + 25 Cuando el número de términos es limitado, se dice que la sucesión o serie es finita. Cuando el número de términos es ilimitado, la sucesión o serie de llama sucesión infinita. El término general o término enésimo es una expresión que indica la ley de formación de los términos. 4.1.1 Finita Sucesión de números tales que la proporción entre cualquier término (que no sea el primero) y el término que le precede es una cantidad fija llamada razón. Por ejemplo, la secuencia de números 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 es una progresión geométrica con razón 2; y 1, 1, 3, 7, 9, >, … (1)i, es una progresión geométrica con razón 1.  La primera es una progresión geométrica finita con siete términos; la segunda es una progresión geométrica infinita. En general, una progresión geométrica se puede describir utilizando la siguiente notación: a es el primer término, la razón es r y, en una progresión finita, n es el número de términos. Una progresión geométrica finita se escribe formalmente como 4.1.2 En un lenguaje sencillo, una serie a1+ a2+ a3+ a4… es una regla ordenado de número reales, uno para cada entero positiva, es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos y cuyo rango es un conjunto de números reales. Podemos indicar una sucesión mediante a1, a2, a3… mediante a(n) infinito=1, en algunos casos, extenderemos este concepto permitiendo que el dominio conste de todos los enteros mayores o iguales a un entero específico como en b1, b2, b3… y c8, c9, c10…. Que denotamos como {b(n) infinito=0} y {c(n)infinito=8, respectivamente. Se puede especificar una sucesión dando suficientes términos iniciales para establecer un patrón como en: 1, 4, 7, 10, 13… Mediante una fórmula explícita para el n-ésimo término, como en: A(n)=3(n)-2,  n >1 4.2- Serie numérica y convergencia Prueba de la razón (criterio de D’alembert) y Prueba de la raíz (criterio de Cauchy). El Criterio de D'Alembert se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos cualquiera. Definiendo con n a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si llamamos L al límite para n tendiendo a infinito de  An+1/An se obtiene un número L: El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera: Sea:  Tal que: §  f(n) > 0 (o sea una sucesión de términos positivos) y §  f(n) tienda a cero cuando n tiende a infinito (condición necesaria de convergencia) Se procede de la siguiente manera: sí obtenemos L y se clasifica de la siguiente manera:  §  L < 1 la serie converge §  L > 1 la serie diverge §  L = 1 el criterio no sirve hay que aplicar otro criterio Criterio de Cauchy (raíz enésima) Tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe. Entonces, si: §  L < 1, la serie es convergente. §  L > 1 entonces la serie es divergente. §  L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión. 4.3 Serie de Potencias. Series de Potencias Una serie de potencias es aquella que tiene la forma: En donde “x” es una variable y los cn son constantes, llamadas “constantes de la serie” y cada “x”, fija, la serie (1) es una serie de constantes que podemos probar para ver si es convergente. Una serie de potencias puede converger ante ciertos valores de “x” y divergir de otros. La suma de la serie de una función: Cuyo dominio es el conjunto de todas las  para las cuales la serie es convergente. Observe que  es parecida a un polinomio. La única diferencia es que  tiene una cantidad infinita de términos. Se llama serie de potencias en (x-a), o serie de potencias centrada en a o serie de potencia alrededor de a. Ejemplo: ¿Para que valores de   la serie  es                       convergente? Al aplicar la regla de comparación. Si denota con   como se acostumbra, el n-ésimo término de la serie, después   Si Según la regla de comparación, la serie es divergente cuando. En estos términos, la serie dada converge cuando x=0 4.4. Radio de convergencia En matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma, con  viene dado por la expresión: Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma, con , recibe el nombre de serie de potencias centrada en . La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de  que verifica que, donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de pertenecientes al intervalo  , ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para , . Si lo hace para cualquier valor de ,   4.5 Serie de Taylor En matemáticas, una serie de Taylor es una aproximación de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como  llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para un determinado valor o punto  suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie. Si esta serie está centrada sobre el punto cero, , se le denomina serie de McLaurin. Esta aproximación tiene tres ventajas importantes: la derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales; se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones; es posible calcular la optimidad de la aproximación. Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent). Por ejemplo f(x) = ex (−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent. Definición: La serie de Taylor de una función f real o compleja ƒ(x) infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias: Que puede ser escrito de una manera más compacta como la siguiente suma: , Donde: n! es el factorial de n f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f para el valor a de la variable respecto de la cual se deriva. La derivada de orden cero de f es definida como la propia f y tanto (x − a)0 como  son ambos definidos como 1 ( = 1). En caso de ser a = 0, como ya se mencionó, la serie se denomina también de McLaurin. Cabe destacar que en una serie de Taylor de potencias centrada en a de la forma  siempre se puede hacer el cambio de variable  (con lo que  en la función a desarrollar original) para expresarla como  centrada en 0. Luego hay que deshacer el cambio de variable. Por ejemplo, si se quiere desarrollar la función  alrededor de a = 1 se puede tomar, de manera que se desarrollaría  centrada en 0. Historia El filósofo eleata Zenón de Elea consideró el problema de sumar una serie infinita para lograr un resultado finito, pero lo descartó por considerarlo imposible: el resultado fueron las paradojas de Zenón. Posteriormente, Aristóteles propuso una resolución filosófica a la paradoja, pero el contenido matemático de esta no quedó resuelto hasta que lo retomaron Demócrito y después Arquímedes. Fue a través del método exhaustivo de Arquímedes que un número infinito de subdivisiones geométricas progresivas podían alcanzar un resultado trigonométrico finito.1 Independientemente, Liu Hui utilizó un método similar cientos de años después.2 En el siglo XIV, los primeros ejemplos del uso de series de Taylor y métodos similares fueron dados por Madhava de Sangamagrama.3 A pesar de que hoy en día ningún registro de su trabajo ha sobrevivido a los años, escritos de matemáticos hindúes posteriores sugieren que él encontró un número de casos especiales de la serie de Taylor, incluidos aquellos para las funciones trigonométricas del seno, coseno, tangente y arcotangente. En el siglo XVII, James Gregory también trabajó en esta área y publicó varias series de Maclaurin. Pero en 1715 se presentó una forma general para construir estas series para todas las funciones para las que existe y fue presentado por Brook Taylor, de quién recibe su nombre. Las series de Maclaurin fueron nombradas así por Colin Maclaurin, un profesor de Edinburgo, quién publicó el caso especial de las series de Taylor en el siglo XVIII. 4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias: Que puede ser escrito de una manera más compacta como Donde n! es el factorial de n y f (n) (a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son ambos definidos como uno.  Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r)  y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), suele usar una estimación del resto del Teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor. Continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos los desarrollos son también validos para valores complejos. Función exponencial y logaritmo natural: Serie geométrica: Teorema del binomio: Funciones trigonométricas: 4.7 Calculo de integración de funciones expresadas como serie de Taylor En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma: Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a. Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor. Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin. Esta representación tiene tres ventajas importantes: ·                     La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales. ·                     Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función. ·                     Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible. Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent. Sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1,3, 5, 7, 9, 11 y 13. La función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n+1 términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo) CALCULO INTEGRAL CALCULO INTEGRAL | SERIES CALCULO INTEGRAL | SERIES