Nothing Special   »   [go: up one dir, main page]
Вікіпедія

Двоїстість (теорія порядку): відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
[перевірена версія][перевірена версія]
← Попереднє редагування
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
Uawikibot1 (обговорення | внесок)
Боти
124 500 редагувань
м Тег перенесення рядка в кінці елементу списку. Виправлення некоректних або застарілих HTML-тегів та атрибутів. WikiProject Check Wikipedia ID #54,112
мНемає опису редагування
 
(Не показані 11 проміжних версій 4 користувачів)
Рядок 1:
Принцип подвійності[[дуальність|двоїстості]] [[Частково впорядкована множина|в частково впорядкованій множині]]:
''якщо вірна яка-не будь теорема [[Частково впорядкована множина|про частково впорядковану множину]], сформульована в загально-логічних термінах і термінах порядку, то вірна і подвійна до неї теорема.''▼
 
▲'':якщо вірнаправильна яка-не будьнебудь теорема [[Частково впорядкована множина|про частково впорядковану множину]], сформульована в загально-логічних термінах і термінах порядку, то вірна і подвійнадвоїста до неї теорема.''
Для отримання теореми, подвійної до даної, всі вислови і поняття, що відносяться до порядку, замінюються на подвійні (тобто всі знаки порядку < замінюються на >, і навпаки), а загально-логічні терміни залишаються без змін.▼
 
▲Для отримання теореми, подвійноїдвоїстої до даної, всі вислови і поняття, що відносяться до порядку, замінюються на подвійнідвоїсті (тобто всі знаки порядку < замінюються на >, і навпаки), а загально-логічні терміни залишаються без змін.
'''Теорема''' (принцип подвійності).<br />▼
 
''[[Відношення]], обернене до відношення часткового порядку, теж буде відношенням часткового порядку.'' <br />▼
▲'''Теорема''' (принцип подвійностідвоїстості).<br />
'''Доведення.'''<br />▼
▲''[[Відношення]], обернене до відношення часткового порядку, теж буде відношенням часткового порядку.'' <br />
 
▲'''Доведення.'''<br />
Нехай ''R<sup>-1</sup>'' – відношення, обернене до відношення часткового порядку ''R''.
Покажемо, що ''R<sup>-1</sup>'' є відношенням часткового порядку.
# рефлексивність: оскільки ''I⊆R'', то ''I = I<sup>-1</sup>⊆ R<sup>-1</sup>''
# транзитивність: якщо ''R◦R ⊆ R'', то ''R<sup>-1</sup>◦R<sup>-1</sup> = (R◦R)<sup>-1</sup>⊆ R<sup>-1</sup>''.
# антисиметричність: якщо ''R∩R<sup>-1</sup>⊆ I'' (умова антисиметричності), то ''R<sup>-1</sup>∩R ⊆ I''<br />
 
Відношення часткового порядку ''R<sup>-1</sup>'' називається '''подвійнимдвоїстим до відношення часткового порядку''' ''R''. Відношення ''≤<sup>-1</sup>''позначається ''≥'' і ''a≤<sup>-1</sup>b'' означає ''a≥b''. Якщо ''a≤b'' або ''b≤a'', то ''a'', ''b'' називаються елементами, що порівнюються відносно порядку ''≤''. <br />
 
Із справедливості деякого твердження для конкретної [[Частково впорядкована множина|частково впорядкованої множини]] (або для конкретного класу [[Частково впорядкована множина|частково впорядкованої множини]] ) ще не витікає справедливість подвійногодвоїстого твердження для цієї множини. Так, [[частково впорядкована множина]] може мати [[Найбільший та найменший елемент|найменший елемент]], але не мати [[Найбільший та найменший елемент|найбільшого]], вона може задовольняти умові мінімальності, але не задовольняти умові максимальності. Справедливість принципу подвійностідвоїстості витікає з того, що [[відношення]], зворотне до часткового порядку, саме є частковим порядком. Інколи під принципом подвійностідвоїстості розуміють саме це твердження.
<br />
 
== Приклади ==
Є велика кількість прикладів для понять, які є подвійнимидвоїстими:<br />
* [[Максимальні та мінімальні елементи]]
* [[Верхня та нижня межа]]
* [[Найбільший та найменший елемент]]
* [[Інфімум та супремум]]
== Дивись також ==▼
* [[Поєднання та зустріч]]
* [[Замкнена вверх множина]] та замкнена вниз множина (верхня та нижня)
* [[Спрямована вверх множина]] та спрямована вниз множина
* [[Ідеал (порядок)|Ідеал]] та [[фільтр (порядок)|фільтр]]
 
▲== ДивисьДив. також ==
* [[Відношення порядку]]
* [[Відношення еквівалентності]]
Рядок 28 ⟶ 36:
 
== Джерела ==
* {{Биркгоф.Теория решёток}}
* Горбатов В. А. Фундаментальные основы дискретной математики. Информационная математика. — М.: Наука. Физматлит, 2000.—544 с.— ISBN 5-02-015238-2.
* https://web.archive.org/web/20160304220312/http://oim.asu.kpi.ua/files/DM/04_Equivalence_and_order_relations.pdf
 
{{Теорія порядку|state=expanded}}
 
[[Категорія:Теорія порядку]]
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Двоїстість_(теорія_порядку)