Dolanıklık, kuantum mekaniğine özgü bir olgudur. Kuantum fiziğine göre iki benzer parçacık birbiriyle eşzamanlılığa sahiptir. Bu parçacıklar ayrı yerlerde birbirinden eşzamanlı olarak etkilenirler. İki elektron parçası ışık yılına yakın uzaklıkta olsa dahi birbirlerini etkileyebilirler. Bu sayede birbirinden ışık yılına yakın bir uzaklıkta olan bir elektron kendi çevresi etrafında sağa dönerken diğer bir elektron parçası sola dönecektir.

Eldeki kuantum sistemi tanımlayan Hilbert uzayı bir çarpım uzayı şeklinde yazılabiliyorsa, dolanıklıktan bahsedilebilir. Örneğin ${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}}$ şeklinde yazılabilen Hilbert uzayı içinde ${\displaystyle |\psi \rangle }$ gibi vektörler düşünüldüğünde; eğer ${\displaystyle |\psi \rangle }$ vektörü ${\displaystyle |a\rangle \in {\mathcal {H}}_{A},|b\rangle \in {\mathcal {H}}_{B}}$ iki vektörün bir çarpımı şeklinde yazılamıyorsa, ${\displaystyle |\psi \rangle }$'nin dolanık bir hali temsil ettiği ifade edilir. Buna bir örnek daha verilebilir: Momentum her zaman sabit kaldığından birbiriyle çarpıştırılan bilardo topları birbirlerine dolanmış olur.

İki parçalı bir Hilbert uzayında ${\displaystyle |\psi \rangle }$ vektörü tarafından temsil edilen kuantum hali düşünülür. Bu hal, aynı zamanda bir ${\displaystyle \rho }$ yoğunluk matrisi ile de ifade bulabilir. Bu durumda ${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |}$ eşitliği sağlanır. Eğer ${\displaystyle \rho }$'nun ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{B}}$ üzerinden izi alınırsa, elde edilen yeni yoğunluk matrisi sadece ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$ üzerindeki vektörlere etkir. Bu yoğunluk matrisi genelde ${\displaystyle \rho _{A}}$ ile gösterilir ve indirgenmiş yoğunluk matrisi adıyla anılır.

Eğer ${\displaystyle \rho _{A}}$, ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$'daki birim matrisle doğru orantılıysa, ${\displaystyle |\psi \rangle }$'nin azami dolanık bir kuantum hali temsil ettiği söylenir.

Leonard Susskind, makalesinde^[1] azami dolanıklığın anlamını şöyle vermiştir:

Azami dolanıklığın anlamı şudur ki A içindeki her gözlemlenebilir için, bunun B içinde karşılık geldiği gözlemlenebilir ölçülerek eğer A için de aynı ölçüm yapılmış olsaydı ne elde edileceğinin tahmin edilebilmesidir.

Burada A ve B'den kasıt, yukarıda ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$ ve ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{B}}$ Hilbert uzayları ile ifade edilen kuantum sistemlerdir.

Kuantum dolanıklığı, bir parçacık grubu oluşturulduğunda, etkileşime girdiğinde veya uzamsal yakınlığı paylaştığında, grubun her bir parçacığının kuantum durumunun, parçacıkların büyük bir mesafe ile ayrıldığı durumlar da dahil olmak üzere, diğerlerinin durumundan bağımsız olarak tanımlanamayacak şekilde meydana gelen olgudur. Kuantum dolanıklığı konusu, klasik ve kuantum fiziği arasındaki eşitsizliğin merkezinde yer alır: dolanıklık, klasik mekanikte bulunmayan kuantum mekaniğinin birincil özelliğidir.^[2]

Dolanık parçacıklar üzerinde gerçekleştirilen konum, momentum, spin ve polarizasyon gibi fiziksel özelliklerin ölçümlerinin bazı durumlarda mükemmel bir şekilde korelasyonlu olduğu bulunabilir. Örneğin, bir çift dolaşık parçacık, toplam dönüşlerinin sıfır olduğu bilinecek şekilde üretilirse ve bir parçacığın birinci eksende saat yönünde dönüşe sahip olduğu bulunursa, o zaman diğer parçacığın aynı eksende ölçülen dönüşünün, saat yönünün tersine olduğu bulunur. Ancak, bu davranış görünüşte paradoksal etkilere yol açar: Bir parçacığın özelliklerinin herhangi bir ölçümü, o parçacığın belirgin ve geri döndürülemez bir dalga işlevinin çöküşü ile sonuçlanır ve orijinal kuantum durumunu değiştirir. Dolanık parçacıklar söz konusu olduğunda, bu tür ölçümler dolanık sistemi bir bütün olarak etkiler.

Bu tür fenomenler, Albert Einstein, Boris Podolsky ve Nathan Rosen^[3] tarafından yazılan 1935 tarihli bir makalenin ve kısa bir süre sonra Erwin Schrödinger^[4][5] tarafından yazılan ve EPR paradoksu olarak bilinen şeyi açıklayan birkaç makalenin konusuydu. Einstein ve diğerleri, yerel gerçekçiliğin nedensellik görüşünü ihlal ettiği için (Einstein buna "uzaktan ürkütücü eylem" olarak atıfta bulunduğu için)^[6] bu tür davranışları imkansız olarak değerlendirdi ve kuantum mekaniğinin kabul edilen formülasyonunun bu nedenle eksik olması gerektiğini savundu.

Ancak daha sonra, kuantum mekaniğinin mantık dışı tahminleri, dolanık parçacıkların polarizasyonunun veya spinlerinin ayrı konumlarda ölçüldüğü ve Bell eşitsizliğini istatistiksel olarak ihlal ettiği testlerde doğrulandı.^[7][8][9] Daha önceki testlerde, bir noktadaki sonucun ikinci konumdaki sonucu etkileyecek şekilde, uzak noktaya aksi bir şekilde iletilmiş olabileceği göz ardı edilemezdi.^[9] Bununla birlikte, o zamandan beri "açık kapı içermeyen" Bell testleri, ışık hızındaki iletişimin ölçümler arasındaki aralıktan daha uzun - bir durumda 10.000 kat daha uzun - sürebileceği kadar konumların yeterince ayrıldığı yerlerde gerçekleştirildi.^[7][8]

"Bazı" kuantum mekaniğinin yorumları'na göre, bir ölçümün etkisi anında gerçekleşir. Dalga işlevinin çöküşünü tanımayan diğer yorumlar, herhangi bir "etki" olduğunu tartışır. Bununla birlikte, tüm yorumlar, dolanıklığın ölçümler arasında korelasyon ürettiği ve dolanık parçacıklar arasındaki karşılıklı bilgiden yararlanılabileceği, ancak ışıktan daha hızlı herhangi bir bilgi iletiminin imkansız olduğu konusunda hemfikirdir.^[10][11]

Kuantum dolanıklığı deneysel olarak fotonlar,^[12][13] elektronlar^[14][15] ve hatta küçük elmaslarla^[16] gösterilmiştir.

Dolanıklığın iletişim, hesaplama ve kuantum radarı'nda kullanımı çok aktif bir araştırma ve geliştirme alanıdır.

Aksini iddia eden pek çok popüler düşünceye rağmen, kuantum dolanıklığı ışıktan hızlı iletişim için kullanılamaz.^[17]

1935'te Albert Einstein, Boris Podolsky ve Nathan Rosen, kuantum mekaniğinin belirli bir şekilde birlikte hazırlanmış nesne çiftleri için yaptığı mantık dışı tahminler üzerine bir makale yayınladılar.^[3] Bu çalışmada, üçü, "fiziksel gerçekliğin dalga fonksiyonları tarafından verilen kuantum-mekaniksel açıklamasının tam olmadığını" göstermeye çalışan bir düşünce deneyi olan Einstein-Podolsky-Rosen paradoksunu (EPR paradoksu) formüle etti.^[3] Bununla birlikte, üç bilim adamı dolanıklık kelimesini icat etmediler ve dikkate aldıkları Kuantum durumunun özel özelliklerini genelleştirmediler. EPR makalesinin ardından Erwin Schrödinger, Einstein'a Almanca bir mektup yazdı ve burada Verschränkung kelimesini (kendisi tarafından dolanıklık olarak tercüme edildi) "EPR deneyinde olduğu gibi etkileşime giren ve sonra ayrılan iki parçacık arasındaki korelasyonları tanımlamak için" kullandı.^[18]

Kısa bir süre sonra Schrödinger, "dolanıklık" kavramını tanımlayan ve tartışan ufuk açıcı bir makale yayınladı. Makalede, kavramın önemini kabul etti ve şunları söyledi:^[4] "[Dolanıklığı], kuantum mekaniğinin, sadece bir özelliği değil, klasik düşünce çizgilerinden tümden ayrılmasına zorlayan en önemli karakteristik özelliği olarak adlandırırdım." Einstein gibi Schrödinger de dolaşıklık kavramından memnun değildi, çünkü görelilik teorisi'nde ima edilen bilginin iletimindeki hız sınırını ihlal ediyor gibi görünüyordu.^[19] Einstein daha sonra dolanıklığı ünlü bir şekilde "spukhafte Fernwirkung"^[20] veya "uzaktan ürkütücü eylem" olarak alaya aldı.

EPR makalesi, fizikçiler arasında önemli bir ilgi uyandırdı ve bu, kuantum mekaniğinin temelleri ve özellikle Bohm'un yorumu hakkında pek çok tartışmaya ilham verdi, ancak nispeten az sayıda başka yayınlanmış çalışma üretilmesi ile sonuçlandı. İlgiye rağmen, EPR'nin argümanındaki zayıf nokta 1964'e kadar keşfedilmedi. John Stewart Bell, EPR'ın temel varsayımlarından biri olan yerellik ilkesinin, kuantum kuramının tahminleriyle matematiksel olarak tutarsız olduğunu kanıtladı.(EPR tarafından umulduğu gibi, gizli değişken türünden yorumlara uygulandığı şekliyle)

Spesifik olarak Bell, yerel gerçekçiliğe uyan herhangi bir teoride üretilebilecek korelasyonların gücüne ilişkin olarak Bell eşitsizliğinde görülen bir üst sınır gösterdi ve kuantum teorisinin belirli dolanık sistemler için bu sınırın ihlallerini öngördüğünü gösterdi.^[21] Bell eşitsizliği deneysel olarak test edilebilir ve 1972'de Stuart Freedman ve John Clauser'ın öncü çalışmaları ve 1982'de Alain Aspect'in deneyleri ile başlayan çok sayıda ilgili deney yapılmıştır.^[22]

Erken bir deneysel atılım, 1967'de bir kalsiyum atomundan art arda yayılan iki fotonun birbirine dolanıklığını gösteren bir aparat sunan Carl Kocher sayesinde oldu - ilk, dolanık, görünür ışık vakası. İki foton, klasik olarak tahmin edilenden daha yüksek olasılıkla, ancak kuantum mekaniksel hesaplamalarla niceliksel uyum içinde korelasyonlarla, çapsal olarak konumlandırılmış paralel polarizörlerden geçti. Ayrıca, korelasyonun polarizör ayarları arasındaki açının kosinüsünün karesi olarak değiştiğini ve yayılan fotonlar arasındaki zaman gecikmesiyle katlanarak azaldığını gösterdi.^[13][23] Daha iyi polarizörlerle donatılmış Kocher aparatı, kosinüs kare bağımlılığını doğrulayabilen ve onu bir dizi sabit açı için Bell eşitsizliğinin ihlalini göstermek için kullanan Freedman ve Clauser tarafından kullanıldı.^[24] Tüm bu deneyler, yerel gerçekçilik ilkesinden ziyade kuantum mekaniği ile uyum göstermiştir.

Onlarca yıldır her bir deney, sonuçların geçerliliğini sorgulamanın mümkün olduğu en az bir açık kapı bırakmıştı. Bununla birlikte, 2015 yılında, hem algılama hem de yerellik açık kapılarını aynı anda kapatan ve "kaçaksız" olarak müjdelenen bir deney gerçekleştirildi; bu deney, büyük bir yerel gerçekçilik teorileri sınıfını kesin olarak dışladı.^[25] Aspect, "... hiçbir deneyin ... tamamen boşluksuz olduğu söylenemez" diye yazıyor, ancak deneylerin yerel gizli değişkenlerden "vazgeçmemiz gerektiğine dair son şüpheleri ortadan kaldırdığını" söylüyor ve kalan açık kapıların örneklerine "çok zorlanmış" ve "fizikteki olağan akıl yürütme biçimine yabancı" şeklinde atıfta bulunuyor.^[26]

Bell'in çalışması, bu süper güçlü korelasyonları iletişim için bir kaynak olarak kullanma olasılığını artırdı. En ünlüsü Charles H. Bennett ve Gilles Brassard tarafından BB84 ve Artur Ekert tarafından E91 olan kuantum anahtar dağıtım protokollerinin 1984'te keşfedilmesine yol açtı.^[27] BB84 dolanıklığı kullanmasa da, Ekert'in protokolü güvenlik kanıtı olarak bir Bell eşitsizliğinin ihlalini kullanır.

2022'de Nobel Fizik Ödülü, Aspect, Clauser ve Anton Zeilinger'e "dolanık fotonlarla yapılan deneyler, Bell eşitsizliklerinin ihlalini tespit etme ve kuantum bilgi bilimine öncülük etme" nedeniyle verildi.^[28]

Dolanık bir sistem, kuantum durumu, yerel bileşenlerinin durumlarının bir ürünü olarak çarpanlarına ayrılamayan bir sistem olarak tanımlanır; yani ayrı ayrı parçacıklar değil, ayrılmaz bir bütündürler. Dolanıklıkta, bir bileşen diğer(ler)i dikkate alınmadan tam olarak tanımlanamaz. Bileşik bir sistemin durumu her zaman yerel bileşenlerin durumlarının çarpımlarının toplamı veya süperpozisyonu olarak ifade edilebilir; bu toplam tek bir çarpım terimi olarak yazılamıyorsa dolanıktır.

Kuantum sistemleri, çeşitli etkileşim türleri yoluyla dolanık hale gelebilir. Dolanıklığın deneysel amaçlarla elde edilebileceği bazı yollar için, aşağıdaki yöntemler bölümüne bakın. Dolanıklık, dolanık parçacıklar çevre ile etkileşim yoluyla kuantum dekoherans olduğunda bozulur; örneğin, bir ölçüm yapıldığında.^[29]

Dolanıklığa bir örnek olarak: atom altı bir parçacık, dolanık bir başka parçacık çiftine bozunur. Bozunma olayları, çeşitli koruma yasalarına uyar ve sonuç olarak, bir yavru parçacığın ölçüm sonuçları, diğer yavru parçacığın ölçüm sonuçlarıyla yüksek oranda ilişkili olmalıdır (böylece toplam momentum, açısal momentum, enerji vb. kabaca bu işlemden önce ve sonra aynı). Bozunma olayları, çeşitli korunum yasalarına uyar ve sonuç olarak, bir yavru parçacığın ölçüm sonuçları, diğer yavru parçacığın ölçüm sonuçlarıyla yüksek oranda ilişkili olmalıdır.(böylece toplam momentum, açısal momentum, enerji vb. bu süreçten önce ve sonra kabaca aynı kalır). Örneğin, spini sıfır olan bir parçacık, spini 1/2 olan bir çift parçacığa dönüşebilir. Bu bozunumdan önceki ve sonraki toplam dönüş sıfır olması gerektiğinden,(açısal momentumun korunumu) ilk parçacığın bir eksen üzerinde yukarı doğru döndüğü ölçüldüğünde, diğerinin aynı eksen üzerinde ölçüldüğünde her zaman aşağı doğru döndüğü bulunur. (Buna spin anti-korelasyon durumu denir ve her spini ölçmek için önceki olasılıklar eşitse, çiftin singlet durumunda olduğu söylenir.)

Yukarıdaki sonuç şaşırtıcı olarak algılanabilir veya algılanmayabilir. Klasik bir sistem aynı özelliği sergileyecektir ve bir gizli değişken teorisinin de kesinlikle sergilemesi gerekli olacaktır (hem klasik hem de kuantum mekaniğinde açısal momentumun korunumu ile ilgili). Aradaki fark, klasik bir sistemin başından beri tüm gözlemlenebilirler için belirli değerleri varken, kuantum sisteminin olmamasıdır. Aşağıda tartışılacak bir anlamda, burada ele alınan kuantum sistemi, birinci parçacığın ölçümü yapıldığı anda, diğer parçacığın herhangi bir ekseni boyunca dönüş ölçümünün sonucu için bir olasılık dağılımı elde ediyor gibi görünmektedir. Bu olasılık dağılımı, genel olarak, ilk parçacığın ölçümü yapılmadığı zamankinden farklıdır. Bu, uzamsal olarak ayrılmış dolanık parçacıklar söz konusu olduğunda kesinlikle şaşırtıcı olarak algılanabilir.

Paradoks şu ki, parçacıklardan herhangi biri üzerinde yapılan bir ölçüm, görünüşe göre tüm dolanık sistemin dalga işlevini çökertiyor ve bunu, ölçüm sonucuyla ilgili herhangi bir bilgi diğer parçacığa iletilmeden önce anında yapıyor (bilginin ışıktan hızlı seyahat edemeyeceğini varsayarsak) ve böylece dolanık çiftin diğer kısmının ölçümünün "uygun" sonucunu garanti eder. Kopenhag yorumunda, parçacıklardan biri üzerindeki spin ölçümünün sonucu, her parçacığın ölçüm ekseni boyunca belirli (yukarı veya aşağı) bir dönüşe sahip olduğu bir duruma (dalga işlevinin) çökmesidir. Sonuç rastgele olarak değerlendirilir ve her olasılık için değer % 50'dir. Bununla birlikte, her iki spin aynı eksen boyunca ölçülürse, bunların anti-korelasyonlu olduğu bulunur. Bu, bir parçacık üzerinde yapılan ölçümün rastgele sonucunun diğerine iletildiği anlamına gelir, böylece kendisi de ölçüldüğünde "doğru seçimi" yapabilir.^[30]

Ölçümlerin mesafesi ve zamanlaması, iki ölçüm arasındaki aralığı uzay benzeri yapacak şekilde seçilebilir, dolayısıyla olayları birbirine bağlayan herhangi bir nedensel etki, ışıktan daha hızlı hareket etmelidir. Özel görelilik ilkelerine göre, herhangi bir bilginin bu tür iki ölçüm olayı arasında gidip gelmesi mümkün değildir. Ölçümlerden hangisinin önce geldiğini söylemek bile mümkün değildir. Uzay benzeri ayrılmış iki olay x₁ ve x₂ için, x₁'in birinci olduğu ve diğerlerinde x₂'nin birinci olduğu eylemsiz referans çerçeveleri vardır. Bu nedenle, iki ölçüm arasındaki korelasyon, bir ölçümün diğerini belirlemesiyle açıklanamaz: farklı gözlemciler neden ve sonucun rolü konusunda aynı fikirde olmayabilir.

(Aslında benzer paradokslar dolanıklık olmadan da ortaya çıkabilir: tek bir parçacığın konumu uzaya yayılmıştır ve iki farklı yerde parçacığı tespit etmeye çalışan geniş ölçüde ayrılmış iki detektör, her ikisinin de parçacığı algılamayacağı şekilde anında uygun korelasyona ulaşmalıdır.)

Paradoksun olası bir çözümü, kuantum teorisinin eksik olduğunu ve ölçümlerin sonucunun önceden belirlenmiş "gizli değişkenlere" bağlı olduğunu varsaymaktır.^[31] Ölçülen parçacıkların durumu bazı gizli değişkenler içerir ve bunların değerleri ayrılma anından itibaren spin ölçümlerinin sonuçlarının ne olacağını etkili bir şekilde belirler. Bu, her bir parçacığın gerekli tüm bilgileri beraberinde taşıdığı ve ölçüm anında bir parçacıktan diğerine hiçbir şeyin iletilmesi gerekmediği anlamına gelir. Einstein ve diğerleri (önceki bölüme bakın) başlangıçta paradokstan tek çıkış yolunun bu olduğuna ve kabul edilen kuantum mekaniği tanımının (rastgele bir ölçüm sonucuyla) eksik olması gerektiğine inanıyorlardı.

Yerel gizli değişken teorileri, ancak, farklı eksenler boyunca dolanık parçacıkların dönüşünün ölçümleri dikkate alındığında başarısız olur. Bu tür ölçümlerin çok sayıda çifti yapılırsa (çok sayıda dolanık parçacık çiftinde), yerel realist veya gizli değişkenler görüşü doğruysa, sonuçlar her zaman Bell eşitsizliğini sağlar. Bir dizi deney pratikte Bell eşitsizliğinin sağlanmadığını göstermiştir. Ancak 2015'ten önce, bunların hepsinde fizikçiler topluluğu tarafından en önemli kabul edilen açık kapı sorunları vardı.^[32][33] Dolanık parçacıkların ölçümleri, her ölçümün (kendi göreli zaman çerçevesinde) diğerinden önce gerçekleştiği hareketli göreli referans çerçevelerinde yapıldığında, ölçüm sonuçları korelasyonlu kalır.^[34][35]

Farklı eksenler boyunca spin ölçümü ile ilgili temel sorun, bu ölçümlerin aynı anda kesin değerlere sahip olamamasıdır: bu ölçümlerin maksimum eşzamanlı kesinliğinin belirsizlik ilkesi tarafından kısıtlanması anlamında uyumsuzdurlar. Bu, herhangi bir sayıda özelliğin aynı anda keyfi doğrulukla ölçülebildiği klasik fizikte bulunanın tersidir. Uyumlu ölçümlerin Bell eşitsizliğini ihlal eden korelasyonları gösteremeyeceği matematiksel olarak kanıtlanmıştır ve bu nedenle dolanıklık temelde klasik olmayan bir olgudur.^[36]

Einstein'ın "uzaktan ürkütücü eylem"ini (dolanıklık) doğrulayan ilk deney, Chien-Shiung Wu ve meslektaşı I. Shaknov tarafından 1949'da bir laboratuvarda başarıyla doğrulandı ve 1950'de Yeni Yıl Günü'nde yayınlandı. Sonuç, özellikle bir çift fotonun kuantum korelasyonlarını kanıtladı.^[37] 2012 ve 2013'teki deneylerde, zaman içinde hiç bir zaman bir arada var olmayan fotonlar arasında polarizasyon korelasyonu yaratıldı.^[37][38][39] Yazarlar, bu sonucun, erken çiftin bir fotonunun polarizasyonunu ölçtükten sonra iki çift dolanık foton arasındaki dolaşıklık değiş tokuşu ile elde edildiğini ve kuantum yerel olmama durumunun sadece uzay için değil, aynı zamanda zaman için de geçerli olduğunun kanıtlandığını iddia ettiler.

2013'teki üç bağımsız deneyde, klasik olarak iletişim kuran ayrılabilir kuantum durumlarının dolanık durumları taşımak için kullanılabileceği gösterildi.^[40] İlk "açık kapısız" Bell testi, 2015 yılında Delft Teknoloji Üniversitesi'nden Ronald Hanson tarafından yapıldı ve Bell eşitsizliğinin ihlal edildiğini doğruladı.^[41]

Ağustos 2014'te Brezilyalı araştırmacı Gabriela Barreto Lemos ve ekibi, nesnelerin "fotoğraflarını çekmeyi" başardı.(Deneklerle etkileşime girmemiş, ancak fotoğrafı çekilen nesnelerle etkileşime girmiş fotonlarla dolanık hale gelmiş fotonları kullanarak.) Viyana Üniversitesi'nden Lemos, bu yeni kuantum görüntüleme tekniğinin biyolojik veya tıbbi görüntüleme gibi düşük ışıkta görüntülemenin zorunlu olduğu alanlarda uygulama bulabileceğinden emin.^[42]

2016'dan bu yana, IBM ve Microsoft gibi çeşitli şirketler, geliştiricilerin ve teknoloji meraklılarının kuantum dolanıklığı da dahil olmak üzere kuantum mekaniği kavramlarını özgürce denemelerine olanak tanıyan kuantum bilgisayarlar yarattı.^[43]

Zaman kavramını, kuantum dolanıklığının bir yan etkisi şeklinde beliren bir fenomen olarak ele almak için öneriler var.^[44][45] Başka bir deyişle, zaman, tüm eşit saat okumalarını (doğru hazırlanmış saatler veya saat olarak kullanılabilen herhangi bir nesne) aynı geçmişe yerleştiren bir dolanıklık olgusudur. Bu ilk olarak 1983'te Don Page ve William Wootters tarafından tam olarak teorileştirildi.^[46] Genel göreliliği ve kuantum mekaniğini - zamanı tamamen dışarıda bırakarak - birleştiren Wheeler-DeWitt denklemi 1960'larda tanıtıldı ve 1983'te Page ve Wootters'ın kuantum dolanıklığına dayalı bir çözüm yaptığında yeniden ele alındı. Page ve Wootters, dolanıklığın zamanı ölçmek için kullanılabileceğini savundu.^[47]

AdS/CFT yazışmalarına dayanarak, Mark Van Raamsdonk, uzay-zamanın, uzay-zamanın sınırında yaşayan dolanık kuantum serbestlik derecelerinin belirmiş bir fenomeni olarak ortaya çıktığını öne sürdü.^[48] İndüklenmiş yerçekimi dolanıklığın birinci yasasından ortaya çıkabilir.^[49][50]

Medyada ve popüler bilimde, kuantum yerel olmama, genellikle dolanıklığa eşdeğer olarak tasvir edilir. Bu, saf iki parçalı kuantum durumları için doğru olsa da, genel olarak dolanıklık yalnızca yerel olmayan korelasyonlar için gereklidir, ancak bu tür korelasyonlar üretmeyen karışık dolanık durumlar vardır.^[51] İyi bilinen bir örnek, ${\displaystyle p_{sym}}$'nin belirli değerleri için dolanık olan, ancak her zaman yerel gizli değişkenler kullanılarak tanımlanabilen Werner durumlarıdır.^[52] Dahası, gelişigüzel sayıdaki parçacıklar için gerçekten dolanık ancak yerel bir modeli kabul eden durumların var olduğu gösterildi.^[53] Yerel modellerin varlığıyla ilgili bahsedilen kanıtlar, kuantum durumunun aynı anda yalnızca bir kopyasının mevcut olduğunu varsayar. Parçacıkların bu tür durumların birçok kopyası üzerinde yerel ölçümler yapmasına izin verilirse, o zaman görünüşte yerel olan pek çok durum (örneğin, qubit Werner durumları) artık yerel bir model tarafından tanımlanamaz. Bu, özellikle tüm saflaştırılabilir dolanıklık durumları için geçerlidir. Bununla birlikte, yeterince çok sayıda kopya verildiğinde, tüm dolanık durumların yerel olmaması, açık bir soru olmaya devam ediyor.^[54]

Kısacası, iki parçacık tarafından paylaşılan bir durumun dolanıklığı, bu durumun yerel olmaması için gereklidir ancak yeterli değildir. Dolanıklığın daha yaygın olarak cebirsel bir kavram olarak görüldüğünü, kuantum ışınlanma ve süper yoğun kodlama kadar, yerel olmamanın da önkoşulu olarak görüldüğünü kabul etmek önemlidir, oysa yerel olmama deneysel istatistiklere göre tanımlanır ve kuantum temelleri ve kuantum mekaniğinin yorumları ile çok daha fazla ilgilidir.^[55]

Aşağıdaki alt bölümler, kuantum mekaniğinin biçimsel, matematiksel tanımı hakkında iyi bir çalışma bilgisine sahip olanlar içindir. (makalelerde geliştirilen biçimcilik ve teorik çerçeveye aşinalık dahil: bra-ket gösterimi ve kuantum mekaniğinin matematiksel formülasyonu.)

H_A ve H_B Hilbert uzayına karşılık gelen, A ve B gibi keyfi iki kuantum sistemini ele alalım. Bileşik sistemin Hilbert uzayı aşağıdaki tensör çarpımı olur:

${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}.}$

İlk sistem ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$ durumundaysa ve ikincisi ${\displaystyle |\phi \rangle _{B}}$ durumundaysa, bileşik sistemin durumu şu şekildedir:

${\displaystyle |\psi \rangle _{A}\otimes |\phi \rangle _{B}.}$

Bileşik sistemin bu formda gösterilebilen durumlarına ayrılabilir durumlar veya çarpım durumları denir.

Tüm durumlar ayrılabilir durumlar değildir (ve dolayısıyla çarpım durumları da değildir). H_A için ${\displaystyle \{|i\rangle _{A}\}}$ tabanını ve H_B için ${\displaystyle \{|j\rangle _{B}\}}$ tabanını ele alın. H_A ⊗ H_B'deki en genel durum şu şekildedir:

${\displaystyle |\psi \rangle _{AB}=\sum _{i,j}c_{ij}|i\rangle _{A}\otimes |j\rangle _{B}}$.

Bu durum, ${\displaystyle [c_{i}^{A}],[c_{j}^{B}]}$ vektörleri varsa ayrılabilir, böylece ${\displaystyle c_{ij}=c_{i}^{A}c_{j}^{B},}$ olur ve bu da ${\textstyle |\psi \rangle _{A}=\sum _{i}c_{i}^{A}|i\rangle _{A}}$ ve ${\textstyle |\phi \rangle _{B}=\sum _{j}c_{j}^{B}|j\rangle _{B}.}$'yi verir. Herhangi ${\displaystyle [c_{i}^{A}],[c_{j}^{B}]}$ vektörleri için, ${\displaystyle c_{i}^{A},c_{j}^{B}}$ koordinatlarının en az bir çifti için ${\displaystyle c_{ij}\neq c_{i}^{A}c_{j}^{B}.}$'ye sahipsek, bir önceki durum ayrılamaz. Bir durum ayrılmazsa, buna 'dolanık durum' denir.

Örneğin, H_A'nın iki temel vektörü ${\displaystyle \{|0\rangle _{A},|1\rangle _{A}\}}$ ve H_B'nin iki temel vektörü ${\displaystyle \{|0\rangle _{B},|1\rangle _{B}\}}$ verildiğinde, aşağıdaki bir dolanık durumdur:

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\right).}$

Bileşik sistem bu durumdaysa, ne A sistemine ne de B sistemine belirli bir saf durum atfetmek imkansızdır. Bunu söylemenin başka bir yolu, tüm durumun Von Neumann entropisinin sıfır olmasına rağmen (herhangi bir saf durumda olduğu gibi), alt sistemlerin entropisinin sıfırdan büyük olmasıdır. Bu anlamda sistemler “dolanıktır”. Bunun interferometri için spesifik ampirik sonuçları vardır.^[56] Yukarıdaki örnek, (maksimum olarak) dolanık saf durumlar olan dört Bell durumundan biridir. (H_A ⊗ H_B uzayının saf halleri, ancak her bir H_A ve H_B'nin saf hallerine ayrılamaz.)

Şimdi, Alice'in A sistemi için bir gözlemci olduğunu ve Bob'un B sistemi için bir gözlemci olduğunu varsayalım. Yukarıda verilen dolanık durumda Alice, A'nın öztabanı ${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$'de bir ölçüm yaparsa, eşit olasılıkla meydana gelen iki olası sonuç vardır:^[57]

1. Alice 0'ı ölçer ve sistemin durumu ${\displaystyle |0\rangle _{A}|1\rangle _{B}}$'ye çöker.
2. Alice 1'i ölçer ve sistemin durumu ${\displaystyle |1\rangle _{A}|0\rangle _{B}}$'ye çöker.

İlki meydana gelirse, Bob tarafından aynı temelde gerçekleştirilen herhangi bir sonraki ölçüm her zaman 1 döndürür. İkincisi gerçekleşirse (Alice 1'i ölçer), o zaman Bob'un ölçümü kesinlikle 0 döndürür. Böylece, B sistemi, Alice'in A sistemi üzerinde yerel bir ölçüm gerçekleştirmesiyle değiştirilmiş olur. A ve B sistemleri uzamsal olarak ayrılmış olsa bile bu durum geçerlidir. EPR paradoksu'nun temeli budur.

Alice'in ölçümünün sonucu rastgeledir. Alice, bileşik sistemin hangi duruma çökeceğine karar veremez ve bu nedenle, sistemi üzerinde etki ederek Bob'a bilgi iletemez. Nedensellik böylece bu özel şemada korunur. Genel argüman için, iletişimsizlik teoremine bakın.

Yukarıda bahsedildiği gibi, bir kuantum sisteminin durumu, bir Hilbert uzayındaki bir birim vektör tarafından verilir. Sistem hakkında daha az bilgi varsa, o zaman buna 'ensemble' denir ve bir yoğunluk matrisi ile tanımlanır. (durum uzayı sonsuz boyutlu olduğunda, "trace" değeri 1 olan "trace" sınıfı, pozitif-yarı-belirli bir matris). Yine spektral teorem ile böyle bir matris aşağıdaki biçimi alır:

${\displaystyle \rho =\sum _{i}w_{i}|\alpha _{i}\rangle \langle \alpha _{i}|,}$

burada w_i pozitif değerli olasılıklardır (toplamları 1'dir), α_i birim vektörlerdir ve sonsuz boyutlu durumda, bu tür durumların kapanışını "trace" normunda alırdık. ρ'yi, ${\displaystyle w_{i}}$'nin, durumları ${\displaystyle |\alpha _{i}\rangle }$ olan "ensemble"ın oranı olduğu bir "ensemble"ı temsil ediyor olarak yorumlayabiliriz. Karışık bir durum 1. dereceye sahip olduğunda, bu nedenle bir 'saf ensemble'ı tanımlar. Bir kuantum sisteminin durumu hakkında toplamdan daha az bilgi olduğunda, durumu temsil etmek için yoğunluk matrislerine ihtiyacımız var.

Deneysel olarak, karma bir "ensemble" aşağıdaki gibi gerçekleştirilebilir. Bir gözlemciye elektronlar fırlatan bir "kara kutu" aparatı düşünün. Elektronların Hilbert uzayları özdeş parçacıklardır. Aparat, hepsi aynı durumda olan elektronlar üretebilir; bu durumda, gözlemci tarafından alınan elektronlar saf bir "ensemble" olur. Bununla birlikte, aparat farklı durumlarda elektronlar üretebilir. Örneğin, iki elektron popülasyonu üretebilir: biri pozitif z yönünde hizalanmış spinler ile ${\displaystyle |\mathbf {z} +\rangle }$ durumuna sahip ve diğeri, dönüşleri negatif y yönünde hizalanmış ${\displaystyle |\mathbf {y} -\rangle }$ durumuna sahip. Genel olarak, her biri farklı bir duruma karşılık gelen herhangi bir sayıda popülasyon olabileceğinden, bu karma bir "ensemble"dır.

Yukarıdaki tanımı takiben, iki parçalı bir bileşik sistem için karışık durumlar, yalnızca H_A ⊗ H_B üzerindeki yoğunluk matrisleridir. Yani genel formu aşağıdaki gibidir:

${\displaystyle \rho =\sum _{i}w_{i}\left[\sum _{j}{\bar {c}}_{ij}(|\alpha _{ij}\rangle \otimes |\beta _{ij}\rangle )\right]\left[\sum _{k}c_{ik}(\langle \alpha _{ik}|\otimes \langle \beta _{ik}|)\right]}$

burada w_i pozitif değerli olasılıklardır (${\textstyle \sum _{j}|c_{ij}|^{2}=1}$) ve vektörler birim vektörlerdir. Bu kendine eş ve pozitiftir ve "trace" 1'e sahiptir.

Ayrılabilirlik tanımını saf durumdan genişleterek, şu şekilde yazılabilirse karma bir durumun ayrılabilir olduğunu söylüyoruz:^{[58]:131–132}

${\displaystyle \rho =\sum _{i}w_{i}\rho _{i}^{A}\otimes \rho _{i}^{B},}$

burada w_i pozitif değerli olasılıklardır ve ${\displaystyle \rho _{i}^{A}}$'lar ve ${\displaystyle \rho _{i}^{B}}$'ler sırasıyla A ve B alt sistemlerinde karışık durumlardır (yoğunluk operatörleri). Diğer bir deyişle, bir durum, ilişkisiz durumlar veya çarpım durumları üzerinde bir olasılık dağılımı ise ayrılabilirdir. Yoğunluk matrislerini saf "ensemble"ların toplamı olarak yazıp genişleterek, genelliği kaybetmeden ${\displaystyle \rho _{i}^{A}}$ ve ${\displaystyle \rho _{i}^{B}}$'nin kendilerinin saf "ensemble"lar olduğunu varsayabiliriz. Bir durum ayrılabilir değilse, bu durumun dolanık olduğu söylenir.

Genel olarak, karışık bir durumun dolanık olup olmadığını anlamak zor kabul edilir. Genel ikili durumun NP-zorluk derecesinin zor olduğu gösterilmiştir.^[59] 2 × 2 ve 2 × 3 durumları için, ayrılabilirlik için gerekli ve yeterli bir kriter, ünlü Pozitif Kısmi Transpoze (PPT) koşulu tarafından verilir.^[60]

Düşük yoğunluklu matris fikri, 1930'da Paul Dirac tarafından ortaya atıldı.^[61] Her biri bir Hilbert uzayı olan A, B ile H_A, H_B sistemlerini yukarıdaki gibi düşünün. Bileşik sistemin durumu şöyle olsun:

${\displaystyle |\Psi \rangle \in H_{A}\otimes H_{B}.}$

Yukarıda belirtildiği gibi, genel olarak saf bir durumu A bileşen sistemiyle ilişkilendirmenin bir yolu yoktur. Ancak yine de bir yoğunluk matrisini ilişkilendirmek mümkündür.

${\displaystyle \rho _{T}=|\Psi \rangle \;\langle \Psi |}$. olsun.

yukarıdaki, bu durum üzerine projeksiyon operatörüdür. A'nın durumu, B sistemi temelinde ρ_T'nin kısmi "trace"idir:

${\displaystyle \rho _{A}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j}^{N_{B}}\left(I_{A}\otimes \langle j|_{B}\right)\left(|\Psi \rangle \langle \Psi |\right)\left(I_{A}\otimes |j\rangle _{B}\right)={\hbox{Tr}}_{B}\;\rho _{T}.}$

Toplam, ${\displaystyle H_{A}}$'daki kimlik operatörü olan ${\displaystyle N_{B}:=\dim(H_{B})}$ ve ${\displaystyle I_{A}}$ üzerinden gerçekleşir. ρ_A bazen A alt sistemindeki ρ'nin indirgenmiş yoğunluklu matrisi olarak adlandırılır. Resmi olmayan dilde, A üzerinde indirgenmiş yoğunluklu matrisi elde etmek için B sisteminin "trace"ini takip ederiz.

Örneğin, yukarıda belirtilen, aşağıdaki dolanık durum için indirgenmiş yoğunluk matrisi A

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\right),}$

${\displaystyle \rho _{A}={\tfrac {1}{2}}\left(|0\rangle _{A}\langle 0|_{A}+|1\rangle _{A}\langle 1|_{A}\right).}$

olur.

Bu, beklendiği gibi, dolanık saf bir "ensemble" için indirgenmiş yoğunluklu matrisin karma bir "ensemble" olduğunu gösterir. Ayrıca şaşırtıcı olmayan bir şekilde, yukarıda tartışılan saf çarpım durumu ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}\otimes |\phi \rangle _{B}}$ için A'nın yoğunluk matrisi şu şekildedir:

${\displaystyle \rho _{A}=|\psi \rangle _{A}\langle \psi |_{A}}$.

Genel olarak, iki parçalı bir saf durum ρ, ancak ve ancak indirgenmiş durumları saf değilde karma ise dolanık olur.

İndirgenmiş yoğunluk matrisleri, benzersiz temel duruma sahip farklı spin zincirlerinde açıkça hesaplandı. Bir örnek, tek boyutlu AKLT spin zinciridir:^[62] temel durum bir bloğa ve bir ortama bölünebilir. Bloğun indirgenmiş yoğunluk matrisi, başka bir "Hamiltonian"ın dejenere temel durumuna bir projektörle orantılıdır.

İndirgenmiş yoğunluklu matrisi, aynı zamanda, tam sıralamaya sahip olduğu XY spin zincirleri için de değerlendirilmiştir. Termodinamik limitte, büyük bir spin bloğunun indirgenmiş yoğunluklu matrisinin spektrumunun bu durumda tam bir geometrik dizi olduğu kanıtlanmıştır.^[63]

Kuantum bilgi teorisinde, dolanık durumlar bir 'kaynak', yani üretilmesi maliyetli olan ve değerli dönüşümlerin uygulanmasına izin veren bir şey olarak kabul edilir.^[64][65] Bu bakış açısının en belirgin olduğu ortam, "uzak laboratuvarlar"dır: yani, her biri üzerinde gelişigüzel kuantum işlemi gerçekleştirilebilen, ancak kuantum mekaniksel olarak birbirleriyle etkileşime girmeyen, "A" ve "B" olarak etiketlenmiş iki kuantum sistemi. İzin verilen tek etkileşim, en genel yerel kuantum işlemleriyle birleştiğinde LOCC adı verilen işlem sınıfını ortaya çıkaran klasik bilgi alışverişidir(yerel işlemler ve klasik iletişim). Bu işlemler, A ve B sistemleri arasında dolanık durumların üretilmesine izin vermez. Ancak A ve B'ye bir dolanık durum kaynağı sağlanırsa, bunlar, LOCC işlemleriyle birlikte daha büyük bir dönüşüm sınıfı sağlayabilir. Örneğin, A'nın kübiti ile B'nin kübiti arasındaki etkileşim, önce A'nın kübitini B'ye ışınlayarak, sonra B'nin kübiti ile etkileşime girmesine izin verip, (her iki kübit de B'nin laboratuvarında olduğundan, bu artık bir LOCC işlemidir) ardından kübiti A'ya geri ışınlayarak gerçekleştirilebilir. Bu süreçte iki kübitin iki maksimum dolanık durumu kullanılır. Bu nedenle dolanık durumlar, yalnızca LOCC'nin mevcut olduğu, ancak süreçte tüketildiği bir ortamda kuantum etkileşimlerinin (veya kuantum kanallarının) gerçekleştirilmesini sağlayan bir kaynaktır. Dolanıklığın bir kaynak olarak görülebileceği başka uygulamalar da vardır, örneğin özel iletişim veya kuantum durumlarının ayırt edilmesi.^[66]

Tüm kuantum durumları bir kaynak olarak eşit derecede değerli değildir. Bu değeri ölçmek için, her bir kuantum durumuna sayısal bir değer atayan farklı dolanıklık ölçüleri (aşağıya bakın) kullanılabilir. Bununla birlikte, kuantum durumlarını karşılaştırmak için daha az detaylı bir yol bulmak genellikle ilginçtir. Bu, farklı sınıflandırma şemalarına yol açar. Çoğu dolanıklık kategorisi, durumların LOCC veya bu işlemlerin bir alt sınıfı kullanılarak başka durumlara dönüştürülüp dönüştürülemeyeceğine göre tanımlanır. İzin verilen işlemler kümesi ne kadar küçük olursa, sınıflandırma o kadar iyi olur. Önemli örnekler:

• İki durum yerel üniter bir işlemle birbirine dönüştürülebiliyorsa, aynı "LU sınıfında" oldukları söylenir. Bu, genellikle kabul edilen sınıfların en iyisidir. Aynı LU sınıfındaki iki durum, dolanıklık ölçümleri için aynı değere ve uzak laboratuvarlar ortamındaki bir kaynak olarak aynı değere sahiptir. Sonsuz sayıda farklı LU sınıfı vardır. (saf durumdaki iki kübitin en basit durumunda bile).^[67][68]
• İki durum, 0'dan büyük olasılıklı ölçümler dahil olmak üzere yerel işlemlerle birbirine dönüştürülebiliyorsa, bunların aynı 'SLOCC sınıfında' ("stokastik LOCC") olduğu söylenir. Niteliksel olarak, aynı SLOCC sınıfındaki iki durum ${\displaystyle \rho _{1}}$ ve ${\displaystyle \rho _{2}}$ eşit derecede güçlüdür (çünkü birini diğerine dönüştürebilirim ve sonra bana ne izin verirse onu yapabilirim) ancak ${\displaystyle \rho _{1}\to \rho _{2}}$ ve ${\displaystyle \rho _{2}\to \rho _{1}}$ dönüşümleri farklı olasılıkla başarılı olabileceğinden, artık eşit derecede değerli değildirler. Örneğin, iki saf kübit için yalnızca iki SLOCC sınıfı vardır: dolanık durumlar (hem Bell durumlarını hem de ${\displaystyle |00\rangle +0.01|11\rangle }$ gibi zayıf dolanık durumları içerir) ve ayrılabilir (yani, ${\displaystyle |00\rangle }$ gibi çarpım durumları) olanlar.^[69][70]
• Bir durumun (${\displaystyle \rho _{1}\to \rho _{2}}$ gibi) tek kopyalarının dönüşümlerini dikkate almak yerine, çok kopyalı dönüşüm olasılığına dayalı sınıflar tanımlanabilir. Örneğin, ${\displaystyle \rho _{1}\to \rho _{2}}$'nin LOCC'e göre imkansız olduğu ancak ${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{1}\to \rho _{2}}$'nin mümkün olduğu örnekler vardır. Çok önemli (ve çok az detaylı) bir sınıflandırma, bir ${\displaystyle \rho }$ durumunun keyfi olarak çok sayıda kopyasını en az bir saf dolanık duruma dönüştürmenin mümkün olup olmadığı özelliğine dayanmaktadır. Bu özelliğe sahip olan durumlara damıtılabilir denir. Bu durumlar, yeterince varsa, herhangi bir dolanık duruma dönüştürülebildikleri(yerel operasyonlarla) ve dolayısıyla tüm olası kullanımlara izin verdikleri için en yararlı kuantum durumlarıdır. Tüm dolanık durumların damıtılabilir olmaması başlangıçta bir sürpriz olarak geldi. Olmayanlara 'bağlı dolanık' denir.^[66][71]

Farklı bir dolanıklık sınıflandırması, bir durumda bulunan kuantum korelasyonlarının A ve B'nin yapmasına izin verdiği şeye dayanır: dolanık durumların üç alt kümesi ayırt edilir: (1) yerel bir gizli değişken modeliyle açıklanamayan ve dolayısıyla bir Bell eşitsizliğini ihlal eden korelasyonlar üreten yerel olmayan durumlar, (2) A'nın B'nin koşullu indirgenmiş durumunu yerel ölçümlerle değiştirmesi ("yönlendirmesi") için yeterli bağıntılar içeren yönlendirilebilir durumlar, öyle ki A, B'ye sahip oldukları durumun gerçekten dolaşık olduğunu kanıtlayabilir ve son olarak (3) ne yerel olmayan ne de yönlendirilebilir olan dolanık durumlar. Üç set de boş değil.^[72]

Bu bölümde, karma bir durumun entropisinin yanı sıra kuantum dolanıklığının bir ölçüsü olarak nasıl değerlendirilebileceği tartışılmaktadır.

Klasik bilgi teorisi'nde, H, Shannon entropisi, bir olasılık dağılımı olan ${\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n}}$ ile şu şekilde ilişkilendirilir:

${\displaystyle H(p_{1},\cdots ,p_{n})=-\sum _{i}p_{i}\log _{2}p_{i}.}$

Karma durum ρ bir ensemble üzerindeki bir olasılık dağılımı olduğundan, bu doğal olarak von Neumann entropisi tanımına götürür:

${\displaystyle S(\rho )=-{\hbox{Tr}}\left(\rho \log _{2}{\rho }\right).}$

Genel olarak, log₂(ρ) gibi polinom olmayan bir fonksiyonu hesaplamak için Borel fonksiyonel hesabı kullanılır. Negatif olmayan ρ operatörü sonlu boyutlu bir Hilbert uzayı üzerinde hareket ediyorsa ve ${\displaystyle \lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}}$ özdeğerlerine sahipse, log₂(ρ) aynı özvektörlere sahip operatörden başka bir şey değildir, ancak özdeğerleri ${\displaystyle \log _{2}(\lambda _{1}),\cdots ,\log _{2}(\lambda _{n})}$'tür. Shannon entropisi şu şekildedir:

${\displaystyle S(\rho )=-{\hbox{Tr}}\left(\rho \log _{2}{\rho }\right)=-\sum _{i}\lambda _{i}\log _{2}\lambda _{i}}$.

Olasılığı 0 olan bir olay entropiye katkıda bulunmamalıdır ve

${\displaystyle \lim _{p\to 0}p\log p=0,}$ ile

0 log(0) = 0 kuralı benimsenmiştir. Bu, sonsuz boyutlu duruma da uzanır: eğer ρ spektral çözünürlüğe sahipse

${\displaystyle \rho =\int \lambda dP_{\lambda },}$

hesaplarken aynı kuralı varsayın

${\displaystyle \rho \log _{2}\rho =\int \lambda \log _{2}\lambda dP_{\lambda }.}$

İstatistik mekaniği'nde olduğu gibi, sistemin sahip olması gereken belirsizlik (mikro durum sayısı) ne kadar fazlaysa, entropi o kadar büyük olur. Örneğin, herhangi bir saf halin entropisi sıfırdır ve bu, saf haldeki bir sistem hakkında hiçbir belirsizlik olmadığı için şaşırtıcı değildir. Yukarıda tartışılan dolanık durumun iki alt sisteminden herhangi birinin entropisi log(2)'dir (bu, 2 × 2 karışık durumlar için maksimum entropi olarak gösterilebilir).

Entropi, başka dolanıklık ölçümleri olmasına rağmen, dolanıklığı ölçmek için kullanılabilecek bir araç sağlar.^[73][74] Genel sistem saf halde ise, bir alt sistemin entropisi, diğer alt sistemlerle dolanıklık derecesini ölçmek için kullanılabilir. İki parçalı saf durumlar için, azaltılmış durumların von Neumann entropisi, bir dolanıklık ölçüsü için gerekli olan belirli aksiyomları karşılayan durumlar ailesi üzerindeki tek işlev olması anlamında, benzersiz dolanıklık ölçüsüdür.^[75]

Shannon entropisinin maksimumuna yalnızca ve yalnızca tek biçimli olasılık dağılımı {1/n,...,1/n} ile ulaştığı klasik bir sonuçtur. Bu nedenle, iki parçalı bir saf durum ρ ∈ H_A ⊗ H_B olduğu söylenir. Bu nedenle, ρ'nin her bir alt sisteminin indirgenmiş durumu aşağıdaki köşegen matris ise, iki parçalı bir saf durum ρ ∈ H_A ⊗ H_B'nin maksimum dolanık durum olduğu söylenir.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{n}}&&\\&\ddots &\\&&{\frac {1}{n}}\end{bmatrix}}.}$

Karma durumlar için, indirgenmiş von Neumann entropisi tek makul dolanıklık ölçüsü değildir.

Bir yana, bilgi-kuramsal tanım, istatistiksel mekanik anlamında entropi ile yakından ilişkilidir.^[76] (mevcut bağlamda iki tanım karşılaştırıldığında, Boltzmann sabiti'ni k = 1 olarak ayarlamak gelenekseldir) Örneğin, Borel fonksiyonel hesabı özelliklerine göre, herhangi bir birimsel operatör U için,

${\displaystyle S(\rho )=S\left(U\rho U^{*}\right).}$

Aslında, bu özellik olmadan, von Neumann entropisi iyi tanımlanamazdı.

Özellikle U, sistemin zaman geliştirme operatörü olabilir, yani,

${\displaystyle U(t)=\exp \left({\frac {-iHt}{\hbar }}\right),}$

burada H, sistemin Hamilton işlemcisi'dir. Burada entropi değişmez.

Bir sürecin tersine çevrilebilirliği, sonuçta ortaya çıkan entropi değişikliği ile ilişkilidir. Yani, bir süreç ancak ve ancak sistemin entropisini değişmez bırakırsa tersine çevrilebilir. Bu nedenle, zaman okunun termodinamik dengeye doğru ilerlemesi, basitçe kuantum dolanıklığının büyüyen yayılmasıdır.^[77] Bu, kuantum bilgi teorisi ve termodinamik arasında bir bağlantı sağlar.

Rényi entropisi de dolanıklığın bir ölçüsü olarak kullanılabilir.

Bununla birlikte, 23 Ocak 2023'te fizikçiler, her şeyden önce, dolanıklık manipülasyonunun ikinci yasası olmadığını bildirdiler. Araştırmacıların sözleriyle, "termodinamiğin ikinci yasasının doğrudan bir karşılığı kurulamaz".^[78]

Dolanıklık ölçümleri, (genellikle iki parçalı olarak görülen) bir kuantum durumundaki dolanıklık miktarını ölçer. Daha önce belirtildiği gibi, dolanıklık entropisi, saf durumlar için dolanıklığın standart ölçüsüdür (ancak artık karışık durumlar için bir dolanma ölçüsü değildir). Karma durumlar için, literatürde bazı dolanıklık ölçüleri vardır ve hiçbiri standart değildir.

• Dolanıklık maliyeti
• Damıtılabilir dolanıklık
• Oluşum dolanıklığı
• Uzlaşma (kuantum bilgiişlem)
• Dolanıklığın göreli entropisi
• Ezilmiş dolanıklık]]
• Logaritmik olumsuzluk

Bu dolanıklık ölçümlerinin çoğu (hepsi değil) saf haller için dolanıklık entropisini azaltır ve hesaplanması zordur (NP-zor).^[79]

Kuantum alan teorisinin Reeh-Schlieder teoremi bazen kuantum dolanıklığının bir benzeri olarak görülür.

Dolanıklığın kuantum bilgi teorisi içinde birçok uygulaması vardır. Dolanıklığın yardımıyla, aksi takdirde imkansız görevler başarılabilir.

En iyi bilinen dolaşıklık uygulamaları arasında süper yoğun kodlama ve kuantum ışınlanma yer alır.^[80]

Çoğu araştırmacı, dolanıklığın kuantum bilgi işlemi gerçekleştirmek için gerekli olduğuna inanıyor (gerçi bu bazıları tarafından tartışılıyor).^[81]

Dolanılık, bazı Kuantum kriptografi protokollerinde kullanılır,^[82][83] ancak standart varsayımlar altında QKD'nin güvenliğini kanıtlamak için dolanıklık gerekmez.^[84] Bununla birlikte, QKD'nin cihazdan bağımsız güvenliğinin, iletişim ortakları arasındaki dolanıklığı kullandığı gösterilmiştir.^[85]

Teoride ve deneylerde sıklıkla görünen birkaç dolanık durum vardır.

İki qubit için, Bell durumları

${\displaystyle |\Phi ^{\pm }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\pm |1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})}$

${\displaystyle |\Psi ^{\pm }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}\pm |1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}).}$

Bu dört saf halin tümü maksimum düzeyde dolaşıktır (dolanıklık entropisine göre) ve iki kübitin Hilbert uzayının bir ortonormal taban oluşturur. Bell teoremi'nde temel bir rol oynarlar.

M>2 kübitler için GHZ durumu şu şekildedir:

${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {|0\rangle ^{\otimes M}+|1\rangle ^{\otimes M}}{\sqrt {2}}},}$

bu da ${\displaystyle M=2}$ için Bell durumu ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$'e indirgenir. Geleneksel GHZ durumu ${\displaystyle M=3}$ için tanımlanmıştır. GHZ durumları zaman zaman quditlere, yani 2 boyuttan ziyade d sistemlerine genişletilir.

Ayrıca M>2 kübitler için, mutlaka dolanık olan spin ölçümlerinin belirsizliğine ilişkin belirli kısıtlamaları karşılayan bir "sıkıştırılmış tutarlı durumlar" sınıfı olan "sıkıştırılmış spin durumları" vardır.^[86] Sıkıştırılmış spin durumları, kuantum dolanıklığı kullanarak hassas ölçümleri geliştirmek için iyi adaylardır.^[87]

İki bozonik mod için, bir NOON durumu

${\displaystyle |\psi _{\text{NOON}}\rangle ={\frac {|N\rangle _{a}|0\rangle _{b}+|{0}\rangle _{a}|{N}\rangle _{b}}{\sqrt {2}}},\,}$, şeklindedir

Bu, 0 ve 1 temel ketlerinin "N fotonlar bir moddadır" ve "N fotonlar diğer moddadır" ile değiştirilmiş olması dışında Bell durumu ${\displaystyle |\Psi ^{+}\rangle }$1 gibidir.

Son olarak, bozonik modlar için ikiz Fock durumları da vardır; bunlar, bir Fock durumunu bir ışın ayırıcıya götüren iki kola besleyerek oluşturulabilir. Bunlar, birden çok NOON durumunun toplamıdır ve Heisenberg sınırına ulaşmak için kullanılabilir.

Uygun şekilde seçilen dolanıklık ölçüleri için, Bell, GHZ ve NOON durumları maksimum düzeyde dolanıkken, sıkıştırılmış spin ve ikiz Fock durumları yalnızca kısmen dolanıktır. Kısmen dolanık durumların deneysel olarak hazırlanması genellikle daha kolaydır.

Dolanıklık genellikle atom altı parçacıklar arasındaki doğrudan etkileşimler tarafından oluşturulur. Bu etkileşimler çok sayıda biçim alabilir. En yaygın kullanılan yöntemlerden biri, polarizasyonda dolanık bir çift foton oluşturmak için spontane parametrik aşağı dönüşüm yöntemidir.^[66][88] Diğer yöntemler arasında fotonları, bir kuantum noktasında bi-eksitonun bozunma kademesinden yayılan fotonları hapsetmek ve dolanık hale getirmek için bir fiber-optik adaptörü kullanılması, Hong–Ou–Mandel etkisi kullanımı vb. vardır. Elektron ve [[pozitron gibi bir parçacığın ve onun antiparçacığının kuantum dolanıklığı, Hardy'nin interferometresindeki karşılık gelen kuantum dalga fonksiyonlarının kısmi örtüşmesiyle yaratılabilir.^[89][90] Bell teoreminin ilk testlerinde, dolaşık parçacıklar atomik kaskadlar kullanılarak üretildi.^[24]

Dolanıklık değiş tokuşu kullanılarak hiçbir zaman doğrudan etkileşime girmeyen kuantum sistemleri arasında dolanıklık oluşturmak da mümkündür. Birbirinden bağımsız olarak hazırlanmış iki özdeş parçacık, dalga fonksiyonları en azından kısmen, yalnızca uzamsal olarak üst üste binerse dolanık olabilir.^[91]

Bir yoğunluk matrisi ρ, çarpım durumlarının dışbükey toplamı olarak yazılabiliyorsa, ayrılabilir olarak adlandırılır, yani

$${\displaystyle {\rho =\sum _{j}p_{j}\rho _{j}^{(A)}\otimes \rho _{j}^{(B)}}}$$

${\displaystyle 1\geq p_{j}\geq 0}$ olasılıkları ile. Tanım gereği, bir durum ayrılamazsa dolanıktır.

2-Qubit ve Qubit-Qutrit sistemleri için (sırasıyla 2 × 2 ve 2 × 3), basit Peres-Horodecki kriteri, ayrılabilirlik için hem gerekli hem de yeterli bir kriter ve dolayısıyla - istemeden - dolanıklığı tespit etmek kriter için sağlar. Bununla birlikte, genel durum için, sorun genelleştirildiğinde NP-zor olduğundan, kriter yalnızca ayrılabilirlik için gerekli bir kriterdir.^[92][93] Diğer ayrılabilirlik kriterleri, aralık kriteri, redüksiyon kriteri ve belirsizlik ilişkilerine dayalı olanları içerir (ancak bunlarla sınırlı değildir).^{[94][95][96][97]} Ayrık değişkenli sistemlerde ayrılabilirlik kriterlerinin bir incelemesi için referans'a^[98] ve ayrık değişkenli sistemlerde deneysel dolanıklık sertifikasyonundaki teknikler ve zorluklarla ilgili bir inceleme için Referans'a^[99] bakın.

Soruna sayısal bir yaklaşım Jon Magne Leinaas, Jan Myrheim ve Eirik Ovrum tarafından "Dolanıklığın geometrik yönleri" adlı makalelerinde önerilmiştir.^[100] Leinaas ve ark. test edilecek hedef duruma doğru tahmin edilen ayrılabilir durumu yinelemeli olarak iyileştirerek ve hedef duruma gerçekten ulaşılıp ulaşılamayacağını kontrol ederek sayısal bir yaklaşım sunar. Algoritmanın bir uygulaması (yerleşik bir Peres-Horodecki kriteri testi dahil) "StateSeparator" web uygulamasıdır.

Sürekli değişken sistemlerde Peres-Horodecki kriteri de geçerlidir. Spesifik olarak Simon,^[101] kanonik operatörlerin ikinci dereceden momentleri açısından Peres-Horodecki kriterinin belirli bir versiyonunu formüle etti ve bunun ${\displaystyle 1\oplus 1}$-modu Gauss durumları için gerekli ve yeterli olduğunu gösterdi (görünüşte farklı ama temelde eşdeğer bir yaklaşım için bkz. Referans^[102]). Daha sonra Simon'ın koşulunun ${\displaystyle 1\oplus n}$-modu Gauss durumları için gerekli ve yeterli olduğu, ancak ${\displaystyle 2\oplus 2}$-modu Gauss durumları için artık yeterli olmadığı bulundu.^[103] Simon'ın durumu, kanonik operatörlerin yüksek dereceli momentleri dikkate alınarak^[104][105] veya entropik önlemler kullanılarak genelleştirilebilir.^[106][107]

2016 yılında Çin, dünyanın ilk kuantum iletişim uydusunu fırlattı.^[108] 100 milyon dolarlık Uzay Ölçeğinde Kuantum Deneyleri (QUESS) görevi, 16 Ağustos 2016'da yerel saatle 01:40'ta Çin'in kuzeyindeki Jiuquan Uydu Fırlatma Merkezinden fırlatıldı.

Önümüzdeki iki yıl boyunca, eski Çinli filozoftan sonra "Micius" lakaplı araç, Dünya ile uzay arasındaki kuantum iletişiminin uygulanabilirliğini gösterecek ve benzeri görülmemiş mesafelerde kuantum dolanıklığını test edecek. Science dergisinin 16 Haziran 2017 tarihli sayısında Yin ve ark., 1.203 km'lik yeni bir kuantum dolanıklık mesafesi rekoru kırdığını bildirdi. 2,37 ± 0,09'luk bir CHSH değerine ulaşarak iki foton çiftinin hayatta kaldığını ve Bell eşitsizliğinin ihlal edildiğini gösterdi. Micius uydusundan Lijian, Yunnan ve Delingha, Quinhai'deki üslere kadar katı Einstein yerellik koşulları altında gerçekleşti ve önceki fiberoptik deneylere göre iletim verimliliğini bir bir değerden bu değerin on katına kadar uzanan bir büyüklük aralığı kadar artırdı.^[109][110]

Princeton Üniversitesi araştırmacıları, kuantum fizik ve hesaplama bilimi için dönüm noktası niteliğinde bir keşif olan bireysel moleküller arası kuantum dolanıklığı başarısını elde etmiştir. Bu deneysel başarı, kuantum mekaniğinin daha önce gösterilenden daha karmaşık sistemlere uygulanma potansiyelini genişletmektedir ve moleküllerin kuantum bilgisayarlarında kubit olarak işlev görebileceğini öne sürmektedir. Kesin deneysel yöntemlerle detaylandırılan bu bulgular, dolanıklığın anlaşılmasını ve gelecekteki kuantum teknolojilerindeki muhtemel kullanımını geliştirmektedir. Üniversitenin Fizik Bölümü tarafından bildirilen bu başarı, ölçeklenebilir kuantum bilgisayarlar yolunda ileriye doğru atılmış bir adımı temsil etmektedir.^[111]

Çok elektronlu atomların elektron kabukları her zaman dolanık elektronlardan oluşur. Doğru iyonlaşma enerjisi, yalnızca elektron dolanıklığı dikkate alınarak hesaplanabilir olabilir.^[112]

Fotosentez sürecinde, ışık hasadı kompleksleri ile emilen her bir fotonun enerjisinin kimyasal enerji şeklinde toplandığı fotosentetik reaksiyon merkezleri arasındaki enerji transferinde dolanıklığın yer aldığı öne sürülmüştür. Böyle bir süreç olmadan ışığın verimli bir şekilde kimyasal enerjiye dönüştürülmesi açıklanamaz. Femtosaniye spektroskopisi kullanılarak, Fenna-Matthews-Olson kompleksi içindeki dolanıklığın tutarlılığı yüzlerce femtosaniye üzerinden ölçülmüştür (bu açıdan nispeten uzun bir süre),ve bu sonuç teoriye destek sağlamaktadır.^[113][114] Bununla birlikte, kritik takip çalışmaları, bu sonuçların yorumlanmasını sorgular ve bildirilen elektronik kuantum tutarlılık imzalarını, kromoforlardaki nükleer dinamiklere veya fizyolojik sıcaklıklardan ziyade kriyojenik sıcaklıklarda gerçekleştirilen deneylere atar.^{[115][116][117][118][119][120][121]}

2020'de araştırmacılar, milimetre büyüklüğünde bir mekanik osilatörün hareketi ile bir atom bulutunun apayrı bir uzak spin (fizik) sistemi arasındaki kuantum dolaşıklığını bildirdiler.^[122][123] Later work complemented this work by quantum-entangling two mechanical oscillators.^{[124][125][126]}

Ekim 2018'de fizikçiler, canlı organizmaları kullanarak, özellikle canlı bakteri içindeki fotosentetik moleküller ile kuantize ışık arasında kuantum dolanıklığı ürettiklerini bildirdiler.^[127][128] Canlı organizmalar (yeşil kükürt bakterileri), aksi takdirde etkileşime girmeyen ışık modları arasında kuantum dolanıklığı oluşturmak için aracılar olarak incelendi ve bu çalışma ışık ve bakteri modları arasında yüksek dolanıklık, hatta bir dereceye kadar bakteriler içinde dolanıklık gösterdi.^[129]