En az eylem ilkesi

En az eylem ilkesi diğer bi adıyla minimum eylem prensibi, mekanik sistemlerdeki eylem kavramına varyasyon prensipleri uygulandığında hareket denklemlerinin bulunması esasına dayanır. Görelilik teorisinde, göreli etkiler fiziksel olarak dahil oldukları için, klasik mekanik sistemlere göre farklı eylem fonksiyonları tanımlanmalıdır. Bu prensip, Newton, Lagrange ve Hamilton ve görelilik prensiplerini ve onlardan çıkartılan hareket denklemlerini türetmek için kullanılır. “En az” kavramı çözümlerde iki nokta arasındaki yollardan; çevre yollara göre değişimin en az olduğu yolu bulma problemi irdelendiği için kullanılır.^[1] Bu prensibin klasik mekanik ve elektromanyetik prensipleri kuantum mekaniğinin dolayısıyla da en az eylem ilkesinin sonuçlarına dayanır. En az eylem ilkesi ve varyasyon prensipleri, kuantum mekaniğini de geliştirmiş olan doğanın en kapsamlı temel davranış yasalarını içerir.^[2]

Bu prensip modern fiziğin ve matematiğin merkezinde yer almış ve görelilik teorisi, kuantum mekaniği ve kuantum alan teorisi gibi genel alanlarda etkin olarak kullanılmıştır. Ayrıca modern matematikte Morse teorisi ile ilişkili çalışmıştır. Maupertuis prensibi ve Hamilton prensibi de daha genel olan en az eylem ilkesinin birer alt örnekleridir.

Eylem prensibi matematiksel olarak geliştirilmesinden önce topoğrafi ve optik gibi alanlarda aslında gözlemleniyordu. Antik mısırda, ipler etkili şekilde gerilerek iki nokta arasındaki mesafeyi ölçmekte kullanılıyordu. Çünkü bu durumda ipler, potansiyel enerjilerini en aza indirgeyecek şekilde davranış gösteriyorlardı. Ayrıca, ışığın kırınımında da benzer davranış gözükmektedir. Işık, farklı indislere sahip ortamlar boyunca ilerlerken farklı hızlara sahip olur ve bu farklı hızlarla karşı bir noktaya gitmek istediğinde bunu mümkün olabilecek en kısa yoldan yapar. Bu basit prensibi, geometrik olarak ispatlarken rahatça görelilik esasları ve temel kuantum mekaniği davranışları gözlenebilir. Esasen, ışığın ve elektronların davranışları bu temel fiziksel yasanın ve genel ve uzay-zaman/eğrisel geometrinin prensiplerinin bir sonucudur. Geçmişte ise maddelerin yapmaları gereken işleri en kısa yoldan(değişkenden) yaptıkları temel Öklid geometrisi gibi matematiksel yapıları kullanarak gözlenip gösterilebiliyordu.

Genel olarak bilim insanları, 1744^[3]-1746^[4] arasında, en az eylem ilkesinin ilk formülasyonunu Pierre Louis Maupertuis’e atfederler. Ancak Euler bu prensipten 1744'te^[5] çeşitli yayınlarında bahsetmiş ve Leibniz de bu tartışmalarda yer almıştır.^[6][7][8]

1932’de Paul Dirac aynı prensiplerin kuantum mekaniğindeki geçerliliğini ve etkilerini gözlemlemiştir.

Eylem ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, Lagrange mekaniği L nin iki an arasındaki zamana göre integraline verilen isimdir. Teknik olarak eylem, fonksiyonların fonksiyonu yani bir fonksiyoneldir ve N tane genelleştirilmiş q koordinatına bağlıdır ve q = (q₁, q₂ ... q_N) de sistemin konfigürasyon uzayını tanımlamaktadır.

${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),\mathbf {\dot {q}} (t),t)dt}$

Matematiksel olarak;^[9][10][11]${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=0}$

olarak ifade edilebilir.Delta (δ) ise burada diferansiyel değişimleri ifade eder.^[12]]]

1600’lerde Pierre de Fermat, ışığın iki nokta arasında gideceği zaman; en az sürede bu işi yapacağını öne sürmüştü. Buna en az zaman ilkesi veya Fermat Prensibi de denir.^[11]

En az eylem ilkesi tam olarak Pierre Louis Maupertuis tarafından tanımlanmıştır. Maupertuis doğanın herhangi bir olay sırasında tutumlu davrandığını düşünmüş ve bu düşüncesini genelleştirmiştir:

"Hareket yasaları ve ondan türetilenler veya başka şekilde gözlenenler esasında doğanın aynı esaslarına dayanır. Hayvanların hareketlerini, bitkilerin büyümelerini gözlemlediğimizde hepsi en az eylem ihtiyacının bir sonucudur."

— Pierre Louis Maupertuis^[13]

Günümüzde bu söz deterministik kalsa da, mekaniğin özünü çok iyi ifade etmektedir.

Bu prensip fiziğe uygulanırken, Maupertuis, minimize edilmesi gereken niceliğin zamanında "vis viva" olarak ifade edilen kinetik enerji ile zamanın çarpım integrali olduğunu ifade etmiştir.

${\displaystyle \delta \int 2T(t)dt=0}$

Bu, kinetik enerji ve zamanın çarpımının iki kere integrale alınmasından ibarettir.

Leonhard Eulerise 1744'te bir formülasyon vermiştir ve bu formülasyonda, Lagrange gibi fonksiyonlar yerine alışılagelmiş ifadeler kullanılmaktadır.Additamentum 2 to his Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minive Proprietate Gaudentes‘de ikinci paragrafta;

Dolayısıyla;

${\displaystyle \delta \int p\,dq=0}$

olarak bulunur ve modern fizikte bu indirgenmiş eylem olarak tanımlanır. Dolayısıyla, Euler denk ama bağımsız bir tanım yapmış ve varyasyon prensibini Maupertuis ile aynı yıllarda tanımlamıştır.

Euler bu konu üzerinde Reflexions sur quelques loix generales de la nature (1748) kitabında daha çok çalıştı ve eylemi "efor" olarak ifade etti. O zamanki tanımları şimdi potansiyel enerji olarak adlandırılabilecek tanımlarla eşdeğerdi. Dolayısıyla, Euler'in en az eylem ilkesi statikte çeşitli gövdelerden oluşan bir sistemin toplam potansiyel enerjisini en aza indirgeyecek şekilde dengeye geldiği gibi bir sonuç türetmede kullanılabilir.

Değişimler hesabının modern temelleri Joseph Louis Lagrange tarafından 1760'ta atıldı^[14][15] ve dinamik problemlerine uygulanabilir hale geldi. Lagrange'ın Méchanique Analytique (1788) kitabında mekanik sistemlerin hareket denklemleri türetilmiştir.^[16] William Rowan Hamilton in 1834 and 1835^[17] varyasyon ilkelerini Lagrange fonksiyonuna uygulayarak Euler-Lagrange denklemlerini elde etmiştir:

${\displaystyle L=T-V}$

1842'de Carl Gustav Jacobi iki boyutlu, jeodezikler ve keseller üzerine çalışmış ve bu tip fonksiyonların maksimum ve minimumları üzerine düşünmüştür.^[18] Marston Morse tarafından da bu fikirler üzerine Morse teorisi geliştirilmiştir.

Hertz'in en az kavislik ilkesi de Gauss'un harekette en az kısıt ilkesinin bir sonucudur.

Richard Feynman'a göre, en az eylem ilkesi matematiksel olarak Newton'un 2. Yasasından daha spesifik ve çok daha kapsamlıdır. Çünkü sadece mekanik harekette değil neredeyse tüm fiziksel yasalarda geçerliliğini korur ve uygulanabilir. Ayrıca, Newton'un ikinci yasasından en az eylem ilkesi türetilebilir ancak tam tersi yapılamaz. Bunun yapılması için ancak Newton'un 1. Ve 3. Yasalarının da korunumsuz kuvvetlerin olmadığı ortamlarda türetilmeye dahil edilmesi gerekir.En az eylem ilkesi momentum'un ve enerjinin korunumunu da türetmede kullanılabilir. Elbette uzayda ve zamanda sistemin simetrisi bulunuyorsa bu mümkündür.^[19]

En az eylem ilkesindeki sorun, korunumsuz kuvvetlerin kullanımının dinamiğe katılmasındaki zorluklardır. Newton yasaları ise bu konuda daha güçlüdür ve eğer kuvvetler korunum sahibi ise rahatlıkla birbirlerinden 2 yasa da türetilebilir.