ตรรกศาสตร์

คำว่า "ตรรกศาสตร์" ในปัจจุบัน เป็นศัพท์บัญญัติที่ใช้แทนแนวคิดเรื่อง Logic ในภาษาอังกฤษ ซึ่งมีรากศัพท์มาจากคำว่า λόγος (logos) ในภาษากรีก ที่มีความหมายเดิมว่าคำ หรือสิ่งที่ถูกกล่าว หลาย ๆ ประเทศที่ใช้อักษรโรมันในการเขียนก็มีศัพท์ที่พูดถึงแนวคิดนี้ในลักษณะชื่อที่คล้ายๆกัน

ในภาษาไทย เดิมมีคำนี้ใช้อยู่แล้ว ซึ่งน่าจะได้มาจากภาษาบาลี สันสกฤต (อย่างเช่นใน กาลามสูตร 10 ข้อ ที่ มีกล่าวไว้ว่าข้อหนึ่งว่า "อย่าเชื่อ เพราะ ได้คิดคำนึงเอาด้วย ตักฺกะ") ซึ่งอาจจะมีความหมายไม่ตรงทีเดียวนักกับคำว่าตรรกศาสตร์ที่ใช้ในภาษาปัจจุบัน

คือ ประโยคที่มีค่าความจริง เป็นจริงหรือเท็จ อย่างใดอย่างหนึ่ง โดย

• ประโยคที่เป็นประพจน์ จะมีลักษณะเป็นประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธ

• ประโยคที่ไม่เป็นประพจน์ จะมีลักษณะเป็นประโยคคำถาม คำสัง ขอร้อง และประโยคอุทาน
• ประโยคที่มีค่าความจริงไม่แน่นอน หรือไม่อาจระบุได้ว่ามีค่าความจริงว่าเป็นจริงหรือเท็จได้ จะไม่เป็นประพจน์

ถ้าให้ p และ q เป็นประพจน์ เมื่อนำประพจน์มาเชื่อมกันด้วยตัวเชื่อมแล้ว เราเรัยกประพจน์ใหม่ว่า ประพจน์เชิงประกอบ ซึ่งตัวเชื่อมที่ใช้จะมี 5 ตัว คือ

• “และ” ใช้สัญลักษณ์ ∧
• “หรือ” ใช้สัญลักษณ์ ∨
• “ถ้า…แล้ว…” ใช้สัญลักษณ์ →
• “ก็ต่อเมื่อ” ใช้สัญลักษณ์ ↔
• “นิเสธ” ใช้สัญลักษณ์ ~

ประพจน์ที่สมมูลกัน (Equivalent) คือ รูปแบบของประพจน์สองรูปแบบที่มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ≡

กำหนดให้ p, q และ r เป็นรูปแบบของประพจน์

• การสะท้อน: p ≡ p
• การสมมาตร: ถ้า p ≡ q แล้ว q ≡ p
• การถ่ายทอด: ถ้า p ≡ q แล้ว q ≡ r แล้ว p ≡ r

• p ∧ q สมมูลกับ q ∧ p
• p ∨ q สมมูลกับ q ∨ p
• (p ∧ q) ∧ r สมมูลกับ p ∧ (q ∧ r)
• (p ∨ q) ∨ r สมมูลกับ p ∨ (q ∨ r)
• p ∧ (q ∨ r) สมมูลกับ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
• p ∨ (q ∧ r) สมมูลกับ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
• p → q สมมูลกับ ~p ∨ q
• p → q สมมูลกับ ~q → ~p
• p ↔ q สมมูลกับ (p → q) ∧ (q → p)

คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามทุกกรณี ใช้สัญลักษณ์ ~ แทนนิเสธ จากนิยาม รูปแบบประพจน์ A เป็นนิเสธของ รูปแบบประพจน์ B ก็ต่อเมื่อ

• ค่าความจริงของ A และ B ต่างกันทุกกรณี
• ค่าความจริงของ A และ ~B เหมือนกันทุกกรณี
• A ≡ ~B
• ดังนั้น A เป็นนิเสธของ B ก็ต่อเมื่อ A สมมูลกับ ~B

ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นนิเสธกันที่ควรรู้

• ~(p ∧ q) สมมูลกับ ~p ∨ ~q
• ~(p ∨ q) สมมูลกับ ~p ∧ ~q
• ~(p → q) สมมูลกับ p ∧ ~q
• ~(p ↔ q) สมมูลกับ (p ↔ ~q) ∨(q ↔ ~p)
• ~(p ↔ q) สมมูลกับ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧~p)

คือ รูปแบบของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี

ประโยคเปิด (Open Sentence) คือ ข้อความที่อยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธ ที่มีตัวแปรและสื่อแทนค่าของตัวแปรนั้น จะได้ค่าความจริงแน่นอน หรือเป็นประพจน์ นิยมใช้สัญลักษณ์ P(x), P(x , y), Q(x , y) แทนประโยคเปิดที่มีตัวแปรระบุในวงเล็บ

คือ ตัวระบุจำนวนสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ประโยคเปิดกลายเป็นประพจน์ ตัวบ่งปริมาณมี 2 ชนิด คือ

• ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึงสมาชิกทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ ∀ อ่านว่า “สำหรับสมาชิก x ทุกตัว”
• ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึงสมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์ ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ ∃ อ่านว่า “สำหรับสมาชิก x บางตัว”

ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ

• ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ทำให้ P(x) เป็นจริง
• ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อมี x อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นเท็จ
• ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมี x อย่าน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นจริง
• ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อไม่มี x ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ P(x) เป็นจริง

นิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ

• ~∀x[P(x)] สมมูลกับ ∃x[~P(x)]

• ~∃x[P(x)] สมมูลกับ ∀x[~P(x)]
• ~∀x[~P(x)] สมมูลกับ ∃x[P(x)]
• ~∃x[~P(x)] สมมูลกับ ∀x[P(x)]

คือ การอ้างว่า สำหรับเหตุการณ์ P1, P2,…, Pn ชุดหนึ่ง สามารถสรุปผลที่ตามมา C ได้ โดยการอ้างเหตุผลประกอบด้วย 2 ส่วน คือ เหตุ (สิ่งที่กำหนดให้) และ ผล (สิ่งที่ตามมา)

สำหรับการพิจารณาว่า การอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผลหรือไม่ สามารถพิจารณาได้จากประพจน์

${\displaystyle (P1\land P2\land ...\land Pn)\longrightarrow C}$ 

ถ้าประพจน์ดังกล่าวมีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ (เป็นสัจนิรันดร์) เราสามารถสรุปได้ว่าการอ้างเหตุผลดังกล่าวเป็นการอ้างที่สมเหตุสมผล

• ตรรกะวิบัติ ที่ไม่เป็นไปตามหลักตรรกะอย่างถูกต้อง