Nothing Special   »   [go: up one dir, main page]
SlideShare a Scribd company logo

1. teorema vieta

•
•
Didik Sadianto
Didik Sadianto

Materi Hari Kamis, 7 Januari 2016

1 of 8
Downloaded 265 times
Didik Sadianto, M.Pd. 2016 Langkah Emas Menuju Sukses OSN Matematika- Bidang Aljabar Hal 1 PEMBAHASAN -LATIHAN SOAL 4.(3)- TEOREMA VIETA 1. (HSMC-USC, 2000) Misalkan adalah tiga akar-akar dari . Tentukan nilai dari Solusi: Dari dan a, b, c merupakan akar-akarnya serta berdasarkan teorema vieta, maka kita peroleh Alternatif 1 Perhatikan bahwa: Sehingga kita peroleh: Jadi, ( ) ( ) Alternatif 2 Perhatikan bahwa ( ) ( )( ) ( )( ) 2. Jika adalah akar-akar dari maka tentukan nilai dari ∑ Solusi: Berdasarkan teorema vieta, kita peroleh: Perhatikan bahwa kita memiliki ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Didik Sadianto, M.Pd. 2016 Langkah Emas Menuju Sukses OSN Matematika- Bidang Aljabar Hal 2 3. Misalkan akar-akar dari . Tentukan a) b) Solusi: Berdasarkan teorema vieta maka kita peroleh: a) Dari maka ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) Dari maka ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dari maka ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4. (HSMC-USC, 2006) Misalkan bilangan real sehingga sukubanyak ( ) ( ) dan ( ) mempunyai akar persekutuan. Tentukan nilai dari a. Solusi: Misalkan akar dari P(x) dan Q(x), maka juga merupakan akar dari ( ) ( ) ( )( ) Karena ( ) ( ) ( )( ) ( ) Karena ( ) , kita menyimpulkan bahwa Sekarang ( ) hal ini mengakibatkan ( )
Didik Sadianto, M.Pd. 2016 Langkah Emas Menuju Sukses OSN Matematika- Bidang Aljabar Hal 3 5. (HSMC-USC, 2005) Misalkan dan bilangan real sedemikian sehingga [ ( )] untuk suatu sukubanyak ( ) Tentukan nilai dari Solusi: Jelas bahwa ( ) harus sukubanyak kuadrat dengan leading koef. 1 atau – 1. Kita asumsikan leading koef Q(x) adalah 1 (jika tidak, kita dapat menggunakan – Q(x) karena [ ( )] [ ( )] Misalkan ( ) [ ( )] [ ] ( ) ( ) Sehingga: ( ) ( ) Dari persamaan di atas, kita peroleh: sehingga kita mempunyai: Jadi, 6. (HSMC-USC, 2002) Andaikan adalah akar dari . Tentukan nilai dari Solusi: Perhatikan bahwa hal ini berakibat dan Sehingga Jadi, 7. (HSMC-USC, 2004) Tentukan banyaknya akar real berbeda dari sukubanyak Solusi: Misalkan ( ) Andaikan ( ) ( ) ( ) Jika adalah akar ( ) maka juga merupakan akar dari ( ) Akar real dari 1 adalah 1 dan – 1
Didik Sadianto, M.Pd. 2016 Langkah Emas Menuju Sukses OSN Matematika- Bidang Aljabar Hal 4 Perhatikan bahwa 1 jelas bukan akar dari f(x) dan – 1 adalah akar dari f(x). Jadi, banyaknya akar real dari f(x) adalah satu. 8. (HSMC-USC, 2003) Misalkan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Tentukan jumlah semua akar-akar dari ( ). Solusi: Perhatikan bahwa jumlah akar-akar dari suatu sukubanyak berderajat n adalah minus koef xn-1 dibagi oleh koef xn . Koef. x10 dari ( ) Koef. x9 dari ( ) ( ) ( ) ( ) Jadi, jumlah semua akar-akar dari ( ) ( ) 9. Misalkan dan adalah bilangan prima. Jika diketahui persamaan mempunyai akar-akar bilangan bulat maka nilai dari Solusi: Perhatikan bahwa Karena q bilangan prima, maka salah satu akar persamaan sukubanyak pada soal adalah 1 atau jika jumlah koef. suatu sukubanyak sama dengan nol, maka +1 adalah salah satu akarnya. Sehingga Karena p dan q prima, maka jelas bahwa Jadi, 10. Sukubanyak memiliki tiga solusi bulat positif. Berapakah kemungkinan nilai terkecil dari Solusi: Misalkan tiga solusi bulat positif tersebut adalah Berdasarkan rumus vieta, kita peroleh
Didik Sadianto, M.Pd. 2016 Langkah Emas Menuju Sukses OSN Matematika- Bidang Aljabar Hal 5 Dari dan faktorisasi prima ,maka kita peroleh Jadi, nilai a yang memenuhi adalah 49 11. Jika p dan q adalah akar-akar sukubanyak derajat dua: Tentukan nilai dari Solusi: Berdasarkan rumus vieta, kita peroleh Kita mempunyai: Sekarang perhatikan bahwa: Dari maka ( ) ( ) ( ) Karena p dan q merupakan akar-akar sukubanyak, maka Jadi, ( ) ( ) ( ) 12. Misalkan adalah akar-akar dari ( ) ( ) ( ) Tentukan nilai dari Solusi: Misalkan maka ( ) ( ) ( ) ( ) atau ( )( ) atau Jadi, 13. Tentukan jumlah kubik dari akar-akar real persamaan ( ) Solusi:
Didik Sadianto, M.Pd. 2016 Langkah Emas Menuju Sukses OSN Matematika- Bidang Aljabar Hal 6 Bagi kedua ruas dengan , maka kita peroleh ( ) ( ) ( ) Misalkan , maka kita mempunyai ( )( )  Untuk tidak mempunyai akar real karena  Untuk Perhatikan bahwa , sehingga persamaan ini mempunyai akar real. Misalkan akar-akar pada soal adalah a dan b, maka berdasarkan rumus vieta: Jadi, ( ) ( ) 14. Tentukan akar real terkecil dari persamaan sukubanyak Solusi: ( ) [( ) ][( ) ] [ ] [ ] Perhatikan bahwa untuk mempunyai sehingga tidak mempunyai akar real dan mempunyai akar real karena Perhatikan bahwa ( ) ( )
Didik Sadianto, M.Pd. 2016 Langkah Emas Menuju Sukses OSN Matematika- Bidang Aljabar Hal 7 √ √ Jadi, akar real terkecil adalah √ 15. Akar-akar dari adalah Tentukan akar-akar dari ( ) ( ) ( ) Solusi: Akar-akar yang dicari adalah Jadi, akar-akar yang diminta adalah 16. Sukubanyak memiliki tiga akar real berbeda. Jika r bilangan prima, tentukan nilai dari q. Solusi: Misalkan tiga akar real berbeda tersebut adalah Berdasarkan teorema vieta, maka karena r bilangan prima, maka salah satu diantara a, b, c sama dengan 1. Katakan saja a = 1. Sehingga kita mempunyai bc = r. Sekarang perhatikan bahwa: Karena r bilangan prima, maka jelas bahwa prima Sehingga, Karena prima, maka salah satu di antara b, c haruslah -1 (karena a = 1) Katakan saja b = -1. Dengan menggunakan teorema faktor kita mempunyai: ( )( ( ) ) Dari ( ) dan b = -1, maka kita peroleh; 17. Jika adalah solusi persamaan . Tentukan nilai dari ( ) ( ) ( ) Solusi:
Didik Sadianto, M.Pd. 2016 Langkah Emas Menuju Sukses OSN Matematika- Bidang Aljabar Hal 8 Dengan menggunakan rumus vieta, kita peroleh: Perhatikan bahwa: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 18. Diketahui bahwa ( ) Jika ( ) , maka tentukan nilai dari ( ) Solusi: Misalkan ( ) ( ) Jelas bahwa akar dari ( ) dan derajat dari P(x) adalah 2015 sama dengan derajat f(x). Perhatikan bahwa: ( ) ( )( )( ) ( ) Sehingga, ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

More Related Content

1. teorema vieta

  • 1. Didik Sadianto, M.Pd. 2016 Langkah Emas Menuju Sukses OSN Matematika- Bidang Aljabar Hal 1 PEMBAHASAN -LATIHAN SOAL 4.(3)- TEOREMA VIETA 1. (HSMC-USC, 2000) Misalkan adalah tiga akar-akar dari . Tentukan nilai dari Solusi: Dari dan a, b, c merupakan akar-akarnya serta berdasarkan teorema vieta, maka kita peroleh Alternatif 1 Perhatikan bahwa: Sehingga kita peroleh: Jadi, ( ) ( ) Alternatif 2 Perhatikan bahwa ( ) ( )( ) ( )( ) 2. Jika adalah akar-akar dari maka tentukan nilai dari ∑ Solusi: Berdasarkan teorema vieta, kita peroleh: Perhatikan bahwa kita memiliki ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
  • 2. Didik Sadianto, M.Pd. 2016 Langkah Emas Menuju Sukses OSN Matematika- Bidang Aljabar Hal 2 3. Misalkan akar-akar dari . Tentukan a) b) Solusi: Berdasarkan teorema vieta maka kita peroleh: a) Dari maka ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) Dari maka ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dari maka ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4. (HSMC-USC, 2006) Misalkan bilangan real sehingga sukubanyak ( ) ( ) dan ( ) mempunyai akar persekutuan. Tentukan nilai dari a. Solusi: Misalkan akar dari P(x) dan Q(x), maka juga merupakan akar dari ( ) ( ) ( )( ) Karena ( ) ( ) ( )( ) ( ) Karena ( ) , kita menyimpulkan bahwa Sekarang ( ) hal ini mengakibatkan ( )
  • 3. Didik Sadianto, M.Pd. 2016 Langkah Emas Menuju Sukses OSN Matematika- Bidang Aljabar Hal 3 5. (HSMC-USC, 2005) Misalkan dan bilangan real sedemikian sehingga [ ( )] untuk suatu sukubanyak ( ) Tentukan nilai dari Solusi: Jelas bahwa ( ) harus sukubanyak kuadrat dengan leading koef. 1 atau – 1. Kita asumsikan leading koef Q(x) adalah 1 (jika tidak, kita dapat menggunakan – Q(x) karena [ ( )] [ ( )] Misalkan ( ) [ ( )] [ ] ( ) ( ) Sehingga: ( ) ( ) Dari persamaan di atas, kita peroleh: sehingga kita mempunyai: Jadi, 6. (HSMC-USC, 2002) Andaikan adalah akar dari . Tentukan nilai dari Solusi: Perhatikan bahwa hal ini berakibat dan Sehingga Jadi, 7. (HSMC-USC, 2004) Tentukan banyaknya akar real berbeda dari sukubanyak Solusi: Misalkan ( ) Andaikan ( ) ( ) ( ) Jika adalah akar ( ) maka juga merupakan akar dari ( ) Akar real dari 1 adalah 1 dan – 1
  • 4. Didik Sadianto, M.Pd. 2016 Langkah Emas Menuju Sukses OSN Matematika- Bidang Aljabar Hal 4 Perhatikan bahwa 1 jelas bukan akar dari f(x) dan – 1 adalah akar dari f(x). Jadi, banyaknya akar real dari f(x) adalah satu. 8. (HSMC-USC, 2003) Misalkan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Tentukan jumlah semua akar-akar dari ( ). Solusi: Perhatikan bahwa jumlah akar-akar dari suatu sukubanyak berderajat n adalah minus koef xn-1 dibagi oleh koef xn . Koef. x10 dari ( ) Koef. x9 dari ( ) ( ) ( ) ( ) Jadi, jumlah semua akar-akar dari ( ) ( ) 9. Misalkan dan adalah bilangan prima. Jika diketahui persamaan mempunyai akar-akar bilangan bulat maka nilai dari Solusi: Perhatikan bahwa Karena q bilangan prima, maka salah satu akar persamaan sukubanyak pada soal adalah 1 atau jika jumlah koef. suatu sukubanyak sama dengan nol, maka +1 adalah salah satu akarnya. Sehingga Karena p dan q prima, maka jelas bahwa Jadi, 10. Sukubanyak memiliki tiga solusi bulat positif. Berapakah kemungkinan nilai terkecil dari Solusi: Misalkan tiga solusi bulat positif tersebut adalah Berdasarkan rumus vieta, kita peroleh
  • 5. Didik Sadianto, M.Pd. 2016 Langkah Emas Menuju Sukses OSN Matematika- Bidang Aljabar Hal 5 Dari dan faktorisasi prima ,maka kita peroleh Jadi, nilai a yang memenuhi adalah 49 11. Jika p dan q adalah akar-akar sukubanyak derajat dua: Tentukan nilai dari Solusi: Berdasarkan rumus vieta, kita peroleh Kita mempunyai: Sekarang perhatikan bahwa: Dari maka ( ) ( ) ( ) Karena p dan q merupakan akar-akar sukubanyak, maka Jadi, ( ) ( ) ( ) 12. Misalkan adalah akar-akar dari ( ) ( ) ( ) Tentukan nilai dari Solusi: Misalkan maka ( ) ( ) ( ) ( ) atau ( )( ) atau Jadi, 13. Tentukan jumlah kubik dari akar-akar real persamaan ( ) Solusi:
  • 6. Didik Sadianto, M.Pd. 2016 Langkah Emas Menuju Sukses OSN Matematika- Bidang Aljabar Hal 6 Bagi kedua ruas dengan , maka kita peroleh ( ) ( ) ( ) Misalkan , maka kita mempunyai ( )( )  Untuk tidak mempunyai akar real karena  Untuk Perhatikan bahwa , sehingga persamaan ini mempunyai akar real. Misalkan akar-akar pada soal adalah a dan b, maka berdasarkan rumus vieta: Jadi, ( ) ( ) 14. Tentukan akar real terkecil dari persamaan sukubanyak Solusi: ( ) [( ) ][( ) ] [ ] [ ] Perhatikan bahwa untuk mempunyai sehingga tidak mempunyai akar real dan mempunyai akar real karena Perhatikan bahwa ( ) ( )
  • 7. Didik Sadianto, M.Pd. 2016 Langkah Emas Menuju Sukses OSN Matematika- Bidang Aljabar Hal 7 √ √ Jadi, akar real terkecil adalah √ 15. Akar-akar dari adalah Tentukan akar-akar dari ( ) ( ) ( ) Solusi: Akar-akar yang dicari adalah Jadi, akar-akar yang diminta adalah 16. Sukubanyak memiliki tiga akar real berbeda. Jika r bilangan prima, tentukan nilai dari q. Solusi: Misalkan tiga akar real berbeda tersebut adalah Berdasarkan teorema vieta, maka karena r bilangan prima, maka salah satu diantara a, b, c sama dengan 1. Katakan saja a = 1. Sehingga kita mempunyai bc = r. Sekarang perhatikan bahwa: Karena r bilangan prima, maka jelas bahwa prima Sehingga, Karena prima, maka salah satu di antara b, c haruslah -1 (karena a = 1) Katakan saja b = -1. Dengan menggunakan teorema faktor kita mempunyai: ( )( ( ) ) Dari ( ) dan b = -1, maka kita peroleh; 17. Jika adalah solusi persamaan . Tentukan nilai dari ( ) ( ) ( ) Solusi:
  • 8. Didik Sadianto, M.Pd. 2016 Langkah Emas Menuju Sukses OSN Matematika- Bidang Aljabar Hal 8 Dengan menggunakan rumus vieta, kita peroleh: Perhatikan bahwa: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 18. Diketahui bahwa ( ) Jika ( ) , maka tentukan nilai dari ( ) Solusi: Misalkan ( ) ( ) Jelas bahwa akar dari ( ) dan derajat dari P(x) adalah 2015 sama dengan derajat f(x). Perhatikan bahwa: ( ) ( )( )( ) ( ) Sehingga, ( ) ( )( )( ) ( ) ( )